O. Schnürer, J. Ehrt Sommersemester 2005

Übungen zur Funktionentheorie

Blatt 8

\underline{Aufgabe 29:}

Sei ∅ ≠ D ⊂ ℂ abgeschlossen und K sei die Menge aller kompakten nichtleeren Teilmengen von D. Zeige, dass dann K zusammen mit dem in der Vorlesung definierten Hausdorffabstand d_{H} einen metrischen Raum bildet. Zeige ferner, dass (ℙ(D), d_{H}) keinen metrischen Raum bildet. Zusatz: (K, d_{H}) ist ein vollständiger metrischer Raum.

\underline{Aufgabe 30:}

Sei f : ℂ ⟶ ℂ definiert durch f(z) = z^{2}. Zeige, dass dann gilt

J(f) = J_{0}(f) = S^{1}.

Hinweis: Auch das erste Gleichheitszeichen ist zu beweisen, da wir den Satz, dass dies für Polynome gilt, nicht bewiesen haben.

\underline{Aufgabe 31:}

(i) Sei f : ℂ ⟶ ℂ ein analytisches Polynom mit deg(f) ≥ 2. Zeige, dass dann für die Menge der nicht normalen Punkte J_{0}(f) gilt: J_{0}(f) ist kompakt und nicht leer.

(ii) Sei F_{0}(f) das Komplement von J_{0}(f) in ℂ. Zeige, dass dann gilt f(F_{0}(f)) ⊂ F_{0}(f).^{1}

\underline{Aufgabe 32:}

Sei γ eine geschlossene Kurve und a ∈ ℂ, so dass die Windungszahl n(γ, a) von γ um a ungleich null ist. Betrachte γ als stetige Abbildung der Kreislinie nach ℂ. Zeige, dass dann jede stetige Fortsetzung der Kurve γ auf die abgeschlossene Kreisscheibe irgendwo den Funktionswert a annimmt.

Zusatzaufgabe:

Sei f : [0, 1] ⟶ [0, 1] definiert durch f(x) = λx(1 − x), λ ≥ 0. Für λ > 4 gibt es Punkte, die nicht mehr in das Intervall [0, 1] abgebildet werden. Sei nun λ = 9/2. Gibt es Punkte, die unter beliebigen Iterationen von f das Intervall [0, 1] nicht verlassen? Wenn ja, wie sieht die Menge dieser Punkte aus? (Beschreibung und Beweis, dass dies genau die Menge ist.)

Abgabe: Bis Di, 14.06.2005, 14.00 Uhr, in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.

1F_{0}(f) heißt Fatou Menge oder stabile Menge. Sie ist als Menge der Punkte definiert, in denen die Familie {f^{k}}_{k∈ℕ} normal ist.