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\pagestyle{empty} \begin{document} \newcommand{\rn}{\mathbb{R}^n}
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\newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand{\s}{\sum_{n=1}^\infty}
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O. Schn"urer, J. Ehrt \hfill Sommersemester 2005 \bigskip \medskip\par \begin{center}
{\large\textsc{ \"Ubungen zur Funktionentheorie}}\\ \medskip {Blatt 8} \end{center}


\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 29:}} \\[+1ex]
Sei $\emptyset\neq D\subset\C$ abgeschlossen 
und $\mathcal{K}$ sei die Menge aller kompakten
nichtleeren Teilmengen von $D$.
Zeige, dass dann $\mathcal{K}$ zusammen mit dem in der Vorlesung definierten
Hausdorffabstand $d_H$ einen metrischen Raum bildet. 

Zeige ferner, dass
$(\mathbb{P}(D),\,d_H)$ keinen metrischen Raum bildet. 

Zusatz: $(\mathcal{K},\,d_H)$ ist ein vollst\"andiger metrischer Raum.

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\underline{{\bf Aufgabe 30:}} \\[+1ex] 
Sei $f:\C\longrightarrow\C$ definiert durch $f(z)=z^2$. Zeige, dass dann gilt
\[J(f)=J_0(f)=S^1.\]
Hinweis: Auch das erste Gleichheitszeichen ist zu beweisen, da wir den Satz,
dass dies f\"ur Polynome gilt, nicht bewiesen haben.

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\underline{{\bf Aufgabe 31:}} %\\[+1ex]\rule{0mm}{1mm} 
\begin{itemize}
\item[(i)] Sei $f:\C\longrightarrow\C$ ein analytisches Polynom mit 
$\deg(f)\geq 2$. Zeige,
dass dann f"ur die Menge der nicht normalen Punkte $J_0(f)$ gilt:

$J_0(f)$ ist kompakt und nicht leer.

\item[(ii)] Sei $F_0(f)$ das Komplement von $J_0(f)$ in $\C$. Zeige, dass dann
gilt $f(F_0(f))\subset F_0(f)$.\footnote{$F_0(f)$ hei"st Fatou Menge oder
stabile Menge. Sie ist als Menge der Punkte definiert, 
in denen die Familie
$\left\{f^k\right\}_{k\in\N}$ normal ist.}
\end{itemize}
\bigskip\bigskip\bigskip

\underline{{\bf Aufgabe 32:}} \\[+1ex] 
Sei $\gamma$ eine geschlossene Kurve und $a\in\C$, so dass die Windungszahl
$n(\gamma,a)$ von $\gamma$ um $a$ ungleich null ist.
Betrachte $\gamma$ als stetige Abbildung der Kreislinie nach $\C$.
Zeige, dass dann jede stetige Fortsetzung der Kurve $\gamma$
auf die abgeschlossene Kreisscheibe irgendwo den
Funktionswert $a$ annimmt.
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\underline{{\bf Zusatzaufgabe:}} \\[+1ex] 
Sei $f:[0,1]\longrightarrow [0,1]$ definiert durch $f(x)=\lambda x(1-x)$,
$\lambda\ge0$. F"ur 
$\lambda> 4$ gibt es Punkte, die nicht mehr in das Intervall $[0,1]$
abgebildet werden. 

Sei nun $\lambda=9/2$. Gibt es Punkte, die unter beliebigen Iterationen von $f$
das Intervall $[0,1]$ nicht verlassen? Wenn ja, wie sieht die Menge dieser
Punkte aus? (Beschreibung und Beweis, dass dies genau die Menge ist.)

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{\bf Abgabe:}  Bis Di, 14.06.2005, 14.00 Uhr, in das Tutorenfach oder in der Vorlesung.
\end{document}

