% 
% Vorlesung Fundamentalgruppen
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2009/10 ab Dezember
% 
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\hyphenation{Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
% \frontmatter

\title{Fundamentalgruppen}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz,
  Universit\"atsstr. 10, 78464 Konstanz, Germany}
% Current address
\curraddr{}
\def\fuaddress{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

% General info
\subjclass[2000]{54-01, 55-01, 57-01; 57M05, 57M10}
% General Topology, 54-01; Algebraic Topology, 55-01; Manifolds and
% Cell Complexes 57-01: Instructional exposition (textbooks, tutorial
% papers, etc.); 
% 57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
% 57M10 Covering spaces

% \date{Oktober 2006-\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Fundamentalgruppen an der Universit\"at Konstanz im Wintersemester
  2009/10. 
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% \mainmatter

\section{Motivation -- Beispiele}

\subsection{Was macht man in der (algebraischen) Topologie?}
In der Topologie betrachtet man Objekte nur bis auf stetige
Deformationen. Man will also beispielsweise nicht zwischen einer Tasse
und einem Ring unterscheiden, da sich diese beiden Objekte stetig
ineinander \"uberf\"uhren lassen. \par In der algebraischen Topologie
versucht man, topologischen Objekten algebraische Invarianten
zuzuordnen, die sich unter solchen Deformationen nicht \"andern. Mit
diesen Invarianten kann man dann Objekte unterscheiden. Sie geben
Obstruktionen (= Hindernisse) f\"ur m\"ogliche Deformationen an. \par
Beachte aber, dass es hochgradig nichttrivial ist, so viele
algebraische Invarianten anzugeben, dass bei \"Ubereinstimmung aller
dieser Invarianten auch eine Deformation zwischen den betrachteten
Objekten m\"oglich ist.

\subsection{Beispiele f\"ur topologische Invarianten}
Eine ganz einfache Invariante erh\"alt man, wenn man die
Zusammenhangskomponenten eines Raumes z\"ahlt.\par Die
Fundamentalgruppe beschreibt, welche nicht stetig ineinander
\"uberf\"uhrbaren M\"oglichkeiten es gibt, eine $\S^1$ in einen Raum
abzubilden.

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. (Ein topologischer Raum ist eine
  Verallgemeinerung eines metrischen Raumes.) 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine geschlossene Kurve (in $X$) ist eine stetige Abbildung
    $\gamma:\S^1\to X$.
  \item Eine geschlossene Kurve ist \emph{nullhomotop} (oder
    zusammenziehbar), wenn es eine stetige Abbildung
    $f:\S^1\times[0,1]\to X$, eine Homotopie, mit den folgenden
    Eigenschaften gibt:
    \begin{itemize}
    \item $f(p,0)=\gamma(p)$ f\"ur alle $p\in\S^1$,
    \item $f(p,1)=f(q,1)$ f\"ur alle $p,q\in\S^1$. 
    \end{itemize}
    Die Anfangskurve wird also in stetiger Weise zu einem konstanten
    Weg deformiert.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir betrachten hier $\S^1$ als Teilmenge von $\R^2$:
    \[\S^1=\{(x,y)\in\R^2:x^2+y^2=1\}.\]
    Die geschlossene Kurve $\gamma:S^1\to\R^2$ mit $p\mapsto p$ ist
    nullhomotop. Eine Homotopie $f$ die dies zeigt ist
    $f(p,t)=(1-t)p$.
  \item Die geschlossene Kurve $\gamma:\S^1\to\R^2\setminus\{0\}$ mit
    $p\mapsto p$ ist \glqq offensichtlicherweise\grqq{} nicht
    nullhomotop. Dies ist nichttrivial und erfordert einen Beweis.
  \item Betrachte eine Tasse mit einem geschlossenen Seil (eine
    $\S^1$) durch den Henkel. Dann lassen sich Seil und Tasse nicht
    trennen, d.\,h.{} so stetig deformieren, dass am Ende beide auf
    verschiedenen Seiten einer Ebene liegen.
  \item Betrachte eine Fl\"ache vom Geschlecht 2, eine \glqq Tasse mit
    zwei Henkeln\grqq{}. F\"uhre ein geschlossenes Seil durch genau
    einen Henkel. Dann lassen sich Tasse und Seil so stetig
    deformieren, dass am Ende das Seil durch beide Henkel
    verl\"auft. \"Uberraschenderweise ist also die Zahl, die angibt,
    durch wieviele Henkel ein Seil verl\"auft, keine Invariante. \par
    Eine Visualisierung gibt es unter   
    \texttt{www.youtube.com/watch?v=S5fPwE7GQOA}
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{beispiel}\label{seil bsp}
  Es gibt eine M\"oglichkeit, ein Bild mit Hilfe eines Seiles so an
  zwei N\"ageln aufzuh\"angen, so dass es herunterf\"allt, wenn man
  einen beliebigen der beiden N\"agel entfernt.\par Dies ist die
  umgangssprachliche Formulierung zu dem folgenden Problem. (Ganz
  \"aquivalent sind die beiden Formulierungen jedoch nicht, da sich
  das Seil nicht selbst durchdringen kann. Probleme in diesem
  Zusammenhang vermeidet man jedoch, indem man das Seil stets von oben
  auf den bereits \glqq verlegten\grqq{} Teil des Seiles legt.) \par
  Behauptung: Es gibt eine stetige Abbildung
  $\gamma:\S^1\to\R^2\setminus N$, die f\"ur $N=\{(1,0)\}$ und
  $N=\{(0,1)\}$ nullhomotop ist, jedoch nicht f\"ur
  $N=\{(1,0),(0,1)\}$. \par Die zweielementige Menge entspricht dabei
  der Situation, in der beide N\"agel in der Wand stecken, die
  einelementige Menge genau einem Nagel in der Wand. Ist die Abbildung
  nullhomotop kann man daran kein Bild aufh\"angen, es f\"allt
  herunter. \par Die (wahrscheinlich erst sp\"ater verst\"andliche
  Begr\"undung) f\"ur das H\"angenbleiben ist wie folgt: Die Abbildung
  $\gamma$ ist im Wesentlichen dadurch charakterisiert, wie sich ihr
  Bild um die Punkte $(1,0)$ und $(0,1)$ herumwindet. Beschreibe $a$
  eine Kurve, die sich einmal im Uhrzeigersinn um $(1,0)$ herumwindet
  und $b$ eine Kurve, die sich einmal im Uhrzeigersinn um $(0,1)$
  herumwindet. Dann ist $\gamma$ als $ab^{-1}a^{-1}b$ definiert. Hier
  ist die Konvention, dies von links nach rechts zu lesen, die Kurve
  windet sich also einmal im Uhrzeigersinn um $(1,0)$ herum, dann
  einmal im Gegenuhrzeigersinn um $(0,1)$, einmal im
  Gegenuhrzeigersinn um $(1,0)$ und schlie\ss{}lich im Uhrzeigersinn
  um $(0,1)$ herum. Dies ist gerade der Kommutator der beiden
  (erzeugenden) Elemente $a$ und $b^{-1}$: $[a,b^{-1}]$. Wir werden
  sp\"ater lernen, dass alle Kurven in der doppelt punktierten Ebene
  durch die freie Gruppe mit zwei Erzeugern beschrieben werden
  k\"onnen. \par
  Offensichtlich ist, dass die Kurve nullhomotop ist, wenn man einen
  der beiden N\"agel entfernt. Man braucht nur die offensichtliche
  Homotopie als Formel hinzuschreiben. Algebraisch: Das Entfernen
  eines Nagels entspricht einer zus\"atzlichen Relation $a=1$ und
  $b^{-1}b$ ist trivial. \par In der einfach punktierten Ebene
  gen\"ugt die (vielleicht aus der Funktionentheorie oder vom
  Abbildungsgrad her bekannte) Umlaufzahl. Diese ist nach Entfernen
  von einem der beiden N\"agel trivial und damit ist die Kurve
  zusammenziehbar. Bei zwei N\"ageln ist die Umlaufzahl um jeden
  einzelnen der beiden N\"agel ebenfalls Null. Trotzdem ist die Kurve
  aber nicht zusammenziehbar. \par Beachte: Solange beide N\"agel in
  der Wand stecken ist keineswegs offensichtlich, dass die Kurve nicht
  nullhomotop ist. Dies beruht darauf, dass $ab^{-1}a^{-1}b$ ein
  nichttriviales Element der Fundamentalgruppe ist. Die Details dazu
  gibt es sp\"ater in der Vorlesung.
\end{beispiel}

\begin{aufgabe}
  Wie h\"angt man ein Bild mit einem Seil so an drei N\"agel, dass
  das Bild herunterf\"allt, wenn man einen beliebigen Nagel entfernt?
  \par
  Zusatz: Untersuche weitere Fragen wie beispielsweise: Wie h\"angt
  man ein Bild so an drei N\"agel, dass es herunterf\"allt, wenn 
  man zwei beliebige N\"agel entfernt? Wie lassen sich mit einem
  solchen Vorgehen logische Formeln umsetzen? Welche Bedingungen
  muss eine logische Formel erf\"ullen, damit sie sich in dieser
  Weise logisch umsetzen l\"asst? 
\end{aufgabe}

Das folgende Theorem wurde 2002/3 von Grisha Perelman (in
allgemeinerer Form) bewiesen.
\begin{theorem}
  Sei $M$ eine geschlossene einfach zusammenh\"angende
  dreidimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist $M$ hom\"oomorph zu
  einer dreidimensionalen Sph\"are.
\end{theorem}
Diese Version ist als Poincar\'evermutung bekannt. Die zentrale
Annahme ist, dass $M$ einfach zusammenh\"angend ist, also eine
triviale Fundamentalgruppe hat; wir werden das sp\"ater noch genau
definieren.  Die Poincar\'evermutung wurde mit Hilfe des Ricciflusses
bewiesen. Der Beweis macht noch allgemeinere Aussagen \"uber
dreidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten. \par Zur
Poincar\'evermutung gibt es Verallgemeinerungen f\"ur $n$-dimensionale
Mannigfaltigkeiten. Hierbei nimmt man an, dass alle Homotopiegruppen
mit denen der Sph\"are \"ubereinstimmen. Diese Vermutung ist f\"ur
alle $n$ bekannt:
\begin{itemize}
\item $n=0,1,2$: Gibt es nicht bzw.{} einfach
\item $n\ge5$: Stephen Smale 1960, Fields-Medaille
\item $n=4$: Michael Freedman 1982, Fields-Medaille
\item $n=3$: Grischa Perelman 2002/3, Fields-Medaille, abgelehnt
\end{itemize}
Homotopiegruppen sind Verallgemeinerungen der Fundamentalgruppe. Statt
Abbildungen von $\S^1$ in einen topologischen Raum betrachtet man
Abbildungen von $\S^n$. Homotopiegruppen werden in der algebraischen
Topologie betrachtet.

\section{Grundlagen der menengentheoretischen Topologie}

\subsection{Topologische R\"aume}
\begin{definition}[Topologie]
  Sei $X$ eine Menge. Sei $\O\subset\P(X)$ eine Teilmenge der
  Potenzmenge von $X$ bzw.{} eine Menge von Teilmengen von $X$ oder
  $\O\in\P(\P(X))$. $\O$ hei\ss{}t Topologie auf $X$, falls die
  folgenden Axiome erf\"ullt sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\emptyset\in\O$, $X\in\O$.
  \item $\O$ ist unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen, \dh
    $$O_i\in\O,\quad i\in I\quad\Longrightarrow\quad\bigcup\limits_{i\in I}
    O_i\in\O.$$
  \item $\O$ ist unter endlichen Schnitten abgeschlossen, \dh
    $$O_i\in\O,\quad i=1,\ldots,n\quad 
    \Longrightarrow\quad\bigcap\limits_{i=1}^nO_i\in\O.$$
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Topologischer Raum]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein topologischer Raum ist ein Paar $(X,\O)$, wobei $X$ eine
    Menge und $\O$ eine Topologie auf $X$ ist. (Wir werden sp\"ater
    auch sagen, dass $X$ ein topologischer Raum ist, wenn es bei der
    Wahl der Topologie nicht zu Verwechslungen kommen kann.)
  \item Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss{}t genau dann offen, wenn
    $A\in\O$ gilt.
  \item Eine Teilmenge $A\subset X$ hei\ss{}t genau denn
    abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, $(X\setminus
    A)\in\O$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Umgebung]
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum, $x\in X$. Eine Teilmenge $U$
  von $X$ hei\ss{}t Umgebung von $x$, wenn es eine offene Menge
  $O\in\O$ mit $x\in O\subset U$ gibt. Ist $U$ zus\"atzlich offen, so
  hei\ss{}t $U$ eine offene Umgebung von $x$. Die Menge aller
  Umgebungen von $x$ hei\ss{}t Umgebungssystem und wird mit $\U(x)$
  bezeichnet.
\end{definition}

\begin{definition}[Rand, \ldots]
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum, $A\subset X$ eine Teilmenge von
  $X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $x\in X$ hei\ss{}t Ber\"uhrpunkt von $A$, wenn jede Umgebung
    von $x$ einen nichtleeren Durchschnitt mit $A$ hat.
  \item Die Menge der Ber\"uhrpunkte von $A$ hei\ss{}t Abschluss (oder
    abgeschlossene H\"ulle) von $A$ und wird mit $\ol A$ bezeichnet.
  \item Ein Punkt $x$ ist ein innerer Punkt von $A$, falls $A$ eine
    Umgebung von $x$ ist.
  \item Das Innere von $A$ ist als die Menge der inneren Punkte
    definiert und wird mit $\dot A$ bezeichnet, der einfachereren
    Schreibweise wegen aber auch mit $\interior(A)$.
  \item Ein Punkt $x$ hei\ss{}t Randpunkt, $x\in\partial A$, wenn er
    Ber\"uhrpunkt von $A$ und von $X\setminus A$ ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\subsection{Stetige Abbildungen}

\begin{definition}[Stetigkeit]
  Seien $(X,\O_1)$ und $(Y,\O_2)$ topologische R\"aume. Eine Abbildung
  $f:X\to Y$ hei\ss{}t stetig (von $(X,\O_1)$ nach $(Y,\O_2)$), falls
  die Urbilder beliebiger offener Mengen in $(Y,\O_2)$ offene Mengen
  in $(X,\O_1)$ sind, \dh
  $$\fueralle\limits_{O\in\O_2}f^{-1}(O)\in\O_1.$$  
\end{definition}

Der folgende kurze Beweis zeigt die Vorteile der topologischen
Definition der Stetigkeit gegen\"uber der 
$\epsilon$-$\delta$-Definition.
\begin{satz}
  Seien $(X,\O_1)$, $(Y,\O_2)$ und $(Z,\O_3)$ topologische 
  R\"aume. Sind die Abbildungen $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$
  stetig, so ist auch die Abbildung $g\circ f:X\to Z$ stetig.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Ist $A\subset Z$
  offen, so auch $g^{-1}(A)$ und $f^{-1}\circ g^{-1}(A)$
  und damit $(g\circ f)^{-1}(A)$. 
\end{proof}

Die Bilder von offenen oder abgeschlossenen Mengen unter stetigen
Abbildungen sind im allgemeinen nicht offen oder abgeschlossen.
\begin{definition}[Hom\"oomorphismus]
  Eine bijektive Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen R\"aumen
  hei\ss{}t Hom\"oomorphismus oder topologische Abbildung, falls $f$ 
  und $f^{-1}$ stetig sind.
\end{definition}

\begin{definition}[Induzierte Topologie]\label{def ind top}
  Sei $(X,\O)$ ein topologischer Raum. Sei $A\subset X$. Dann ist das
  Mengensystem \[\O_A:=\{B\subset A:\exists\, C\in\O \text{ so
    dass }B=C\cap A\}\] eine Topologie auf $A$, die induzierte
  Topologie, Relativtopologie, Unterraumtopologie oder Spurtopologie.
\end{definition}
\begin{remark}
  Man rechnet direkt nach, dass $\O_A$ tats\"achlich eine Topologie
  auf $A$ ist.
\end{remark}

\begin{satz}\label{stet abg vereinig}
  Seien $A_1,\ldots, A_n$ abgeschlossene Mengen eines topologischen
  Raumes und
  $$X=\bigcup\limits_{i=1}^nA_i.$$
  Sei $Y$ ein weiterer topologischer Raum. Eine Abbildung $f:X\to Y$
  ist genau dann stetig, wenn f\"ur alle $i$ die Restriktionen
  $f|_{A_i}$ stetig sind.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $O\subset Y$ offen. Aufgrund der Stetigkeit ist
  auch $f^{-1}(O)\subset X$ offen. Nach Definition der
  Relativtopologie, Definition \ref{def ind top}, ist somit
  \[(f|_{A_i})^{-1}(O)=f^{-1}(O)\cap A_i\subset A\] offen. Daher ist
  $f|_{A_i}$ stetig.\par
  \Rueckrichtung Sei $B$ eine abgeschlossene Teilmenge von $Y$.  Wir
  wollen nachweisen, dass $f^{-1}(B)$ in $X$ abgeschlossen ist. Es
  gilt
  \begin{align*}
    f^{-1}(B)=&f^{-1}(B)\cap X
    =f^{-1}(B)\cap\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right)\\
    =&\bigcup\limits_{i=1}^n\left(f^{-1}(B)\cap A_i\right)
    =\bigcup\limits_{i=1}^n(f|_{A_i})^{-1}(B)
  \end{align*}
  Da $f|_{A_i}$ stetig ist, ist $(f|_{A_i})^{-1}(B)$ in $A_i$
  abgeschlossen. Da $A_i$ selber abgeschlossen ist, ist
  $(f|_{A_i})^{-1}(B)$ auch in $X$ abgeschlossen. Die endliche
  Vereinigung abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Also
  ist $f^{-1}(B)$ in $X$ abgeschlossen.
\end{proof}

\begin{definition}[Feinheit]
  Seien $\O_1$ und $\O_2$ Topologien auf einer Menge $X$.  Dann
  hei\ss{}t $\O_1$ feiner als $\O_2$ und $\O_2$ gr\"ober als $\O_1$,
  falls $\O_2\subset\O_1$ ist, d.\,h., falls jede offene Menge
  bez\"uglich der Topologie von $\O_2$ auch bez\"uglich der Topologie
  $\O_1$ offen ist.
\end{definition}

\subsection{Erzeugung topologischer R\"aume}

\begin{definition}[Finaltopologie]\label{def final top}
  Sei $E$ eine Menge, $(X_i,\O_i)_{i\in I}$ eine Familie topologischer
  R\"aume und $(f_i:X_i\to E)_{i\in I}$ eine Familie von Abbildungen.
  Eine Topologie auf $E$ hei\ss{}t Finaltopologie bez\"uglich der 
  Familie $(X_i,\O_i,f_i)_{i\in I}$, falls sie die folgende Eigenschaft 
  hat:
  $$\xymatrix{X_i\ar[r]^{f_i}\ar[dr]_{g\circ f_i}&E\ar[d]^g\\ &Y}$$
  F\"ur jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $g:E\to Y$
  ist $g$ genau dann stetig, wenn $g\circ f_i$ f\"ur jedes
  $i\in I$ stetig ist. 
\end{definition}

\begin{satz}[Existenz- und Eindeutigkeitssatz]\label{final eind}
  Definiere \[\mathcal M_i:=\left\{O\subset
    E:f_i^{-1}(O)\in\O_i\right\}\] und $\mathcal
  M:=\bigcap\limits_{i\in I}\mathcal M_i$. Dann ist $\mathcal M$ die
  Finaltopologie auf $E$.\par
  Die Finaltopologie auf $E$ bez\"uglich der Familie
  $(X_i,\O_i,f_i)_{i\in I}$ ist die feinste Topologie auf $E$, f\"ur
  die alle Abbildungen $f_i$ stetig sind. Sie ist eindeutig bestimmt.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme an, $E$ trage die Finaltopologie.  Setze $Y=E$ und
  $g=\id$. Dann ist $g$ stetig. Somit ist nach Definition der
  Finaltopologie auch $f_i:X_i\to E$ stetig. \par Sei $h:A\to B$ eine
  stetige Abbildung. Betrachtet man eine feinere Topologie auf $B$, so
  wird $h$ m\"oglicherweise unstetig, betrachtet man eine gr\"obere
  Topologie auf $B$, so bleibt $h$ stetig. Die feinste Topologie auf
  $E$, so dass die Abbildung $f_i$ stetig ist, ist durch $\mathcal
  M_i:=\{O\subset E:f_i^{-1}(O)\in\O_i\}$ gegeben. Wegen $h^{-1}(A\cap
  B)=h^{-1}(A)\cap h^{-1}(B)$ und $h^{-1}(A\cup B)=h^{-1}(A)\cup
  h^{-1}(B)$ und den entsprechenden Verallgemeinerungen auf beliebige
  Schnitte und Vereinigungen handelt es sich dabei tats\"achlich um
  eine Topologie. Weiterhin ist $\mathcal M:=\bigcap\limits_{i\in I}$
  eine Topologie auf $E$. Dies ist die feinste Topologie auf $E$, so
  dass alle $f_i:X_i\to E$ stetig sind. \par Sei $\O$ eine weitere
  Topologie auf $E$, die die Eigenschaften der Finaltopologie
  erf\"ullt. Dann kann $\O$ h\"ochstens gr\"ober als $\mathcal M$
  sein. Betrachte das Diagramm
  $$\xymatrix{X_i\ar[r]^{f_i}\ar[dr]_{f_i}&(E,\O)\ar[d]^\id\\
    &(E,\mathcal M).}$$ Wir haben bereits gesehen, dass die
  Abbildungen $f_i$ stetig sind. Ist aber $\mathcal M$ echt feiner als
  $\O$, so ist die Identit\"at nicht stetig. Nach Definition der
  Finaltopologie ist daher auch $f_i:X_i\to(E,\mathcal M)$ nicht
  stetig. Widerspruch. Somit ist die Finaltopologie, wenn sie
  existiert, eindeutig bestimmt.\par Wir m\"ussen noch die
  Eigenschaften der Finaltopologie f\"ur $\mathcal M$ nachrechnen. Sei
  $g:E\to Y$ stetig. Dann ist auch $g\circ f_i$ stetig. Sei umgekehrt
  $g\circ f_i$ stetig. Sei $A\subset Y$ offen. Dann ist
  $f_i^{-1}(g^{-1}(A))$ f\"ur alle $i\in I$ offen. Nach Definition von
  $\mathcal M_i$ ist daher $g^{-1}(A)$ in allen Mengen $\mathcal M_i$
  enthalten und somit auch in $\mathcal M$. Daher ist $g^{-1}(A)$ in
  $(E,\mathcal M)$ offen. $g$ ist also stetig und $(E,\mathcal M)$
  erf\"ullt die Definition der Finaltopologie. 
\end{proof}

\begin{definition}[Quotiententopologie]
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation
  auf $X$. Sei $\pi:X\to X/\!\!\sim$ die kanonische Projektion auf die
  \"Aquivalenzklassen $X/\!\!\sim$. Die finale Topologie auf $X/\!\!\sim$
  bez\"uglich $\pi$ hei\ss{}t Quotiententopologie auf $X/\!\!\sim$. 
  Versehen mit dieser Topologie hei\ss{}t $X/\!\!\sim$ Quotientenraum
  oder Faktorraum bez\"uglich der Relation $\sim$.  
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Betrachte auf $\R$ die \"Aquivalenzrelation $x\sim
    y\aequivalent x-y\in\mathbb Z$. Der Quotientenraum $\R/\!\!\sim$
    ist hom\"oomorph zum Einheitskreis $\S^1$.
  \item Sei $E:=\dot {\bigcup\limits_{i\in I}}X_i$ die disjunkte
    Vereinigung topologischer R\"aume. Seien $f_i$ die
    Inklusionsabbildungen. Dann ist eine Menge $A$ in $E$ bez\"uglich
    der Finaltopologie genau dann offen, wenn $A\cap f_i(X_i)$ f\"ur
    alle $i$ offen ist. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Zusammenkleben von R\"aumen]
  Seien $X$ und $Y$ disjunkte topologische R\"aume, $A\subset X$
  eine abgeschlossene Teilmenge und $f:A\to Y$ eine Abbildung.
  Wir definieren auf $X\cup Y$ eine \"Aquivalenzrelation $\sim$
  durch
  $$z_1\sim z_2:\aequivalent                                                  
  \begin{cases}                                         
    (z_1,\,z_2\in A&\text{und}\quad f(z_1)=f(z_2))\quad\text{oder}\\
    (z_1\in A,\,z_2\in f(A)&\text{und}\quad
    f(z_1)=z_2)\quad\text{oder}\\
    (z_2\in A,\,z_1\in f(A)&\text{und}\quad
    f(z_2)=z_1)\quad\text{oder}\\
    &\phantom{\text{und}}\quad(z_1=z_2).
  \end{cases}$$
  Den Faktorraum $(X\cup Y)/\!\!\sim$ bezeichnen wir mit $Y\cup_f X$.
  $Y\cup_f X$ hei\ss{}t der durch Zusammenkleben von $X$ mit $Y$
  mittels $f$ entstandene Raum.
\end{definition}

CW-Komplexe wurden von J. H. C. Whitehead eingef\"uhrt. 
Sie werden induktiv definiert.
(CW steht f\"ur ``closure-finite weak topology''.)
\begin{definition}[CW-Komplex]
  Ein nulldimensionaler CW-Komplex ist eine Menge von Punkten,
  die mit der diskreten Topologie versehen ist.\par 
  Ein $n$-dimensionaler CW-Komplex ist ein Raum der Form 
  $X\cup_f e^n_I$, wobei $f$ stetig, 
  $X$ ein $k$-dimensionaler CW-Komplex
  mit $k<n$ und $e^n_I=\bigcup\limits_{i\in I}(e^n_i\times\{i\})$
  die topologische Summe von $n$-Zellen mit $n\ge1$ ist.
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\S^2$ ist hom\"oomorph zu einem zweidimensionalen
    CW-Komplex. Man klebt zun\"achst eine $1$-Zelle $e^1$ an 
    einen Punkt und erh\"alt einen zu $\S^1$ hom\"oomorphen
    Raum. Durch Ankleben von zwei $2$-Zellen $e^2_1$ und $e^2_2$
    an den entstandenen Raum erh\"alt man einen zu $\S^2$ 
    hom\"oomorphen Raum. 
  \item Man erh\"alt auch einen zu einer $\S^2$ hom\"oomorphen
    CW-Komplex, indem man eine $2$-Zelle an einen Punkt klebt.
  \item Klebt man eine $n$-Zelle an einen Punkt, so erh\"alt
    man einen $n$-dimensionalen CW-Komplex hom\"oomorph zu
    $\S^n$.  
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Basis]
  Eine Familie $\B$ von offenen Mengen eines topologischen Raumes
  $(X,\O)$ hei\ss{}t Basis der Topologie $\O$, wenn jede offene Menge
  von $(X,\O)$ Vereinigung von Mengen aus $\B$ ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Produkttopologie]
  Sei $(X_i,\O_i)_{i\in I}$ eine Familie topologischer
  R\"aume. Definiere $X:=\prod\limits_{i\in I}X_i$ sowie die
  nat\"urlichen Projektionen $p_i:X\to X_i$ durch $X\ni x=(x^j)_{j\in
    I}\mapsto x^i\in X_i$.\par
  Auf $X$ definieren wir Elementarmengen: Sei $K\subset I$ endlich und
  $O_k\subset X_k$ f\"ur alle $k\in K$ offen.  Dann hei\ss{}t
  $$\bigcap\limits_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)$$
  Elementarmenge von $X$. Die Elementarmengen bilden die Basis einer
  Topologie $\O$ (da insbesondere endliche Schnitte von
  Elementarmengen wieder offen sind). Diese Topologie hei\ss{}t
  Produkttopologie. $(X,\O)$ hei\ss{}t Produktraum oder topologisches
  Produkt der $(X_i,\O_i)_{i\in I}$.
\end{definition}

Die Produkttopologie ist ein Beispiel f\"ur eine Initialtopologie
(ohne Beweis):
\begin{definition}[Initialtopologie]
  Sei $E$ eine Menge, $(X_i,\O_i)_{i\in I}$ eine Familie von
  topologischen R\"aumen und $(f_i:E\to X_i)_{i\in I}$ eine Familie
  von Abbildungen.  Eine Topologie auf $E$ hei\ss{}t Initialtopologie
  bez\"uglich $(X_i,\O_i,f_i)_{i\in I}$, wenn sie die folgende
  Eigenschaft hat: F\"ur jeden topologischen Raum $Y$ und jede
  Abbildung $g:Y\to E$ ist $g$ genau dann eine stetige Abbildung, wenn
  $f_i\circ g$ f\"ur jedes $i\in I$ stetig ist.
  $$\xymatrix{Y\ar[r]^g\ar[dr]_{f_i\circ g}&E\ar[d]^{f_i}\\  &X_i.}$$
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Auf $\R^n$ stimmt die nat\"urliche Topologie mit der
    Produkttopologie \"uberein.
  \item Seien $X_i$ topologische R\"aume und $A_i\subset X_i$.  Dann
    stimmt auf $\prod A_i\subset\prod X_i$ die Unterraumtopologie der
    Produkttopologie von $\prod X_i$ mit der Produkttopologie der
    Unterraumtopologie der $A_i\subset X_i$ \"uberein.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\section{Die Fundamentalgruppe: Erste Konstruktionen}
Die Fundamentalgruppe beschreibt in einem gegebenen Raum alle
geschlossenen Kurven bis auf stetige Deformationen.  Wie in Beispiel
\ref{seil bsp} kann man mit ihrer Hilfe angeben, dass sich ein Knoten
nicht aufl\"osen l\"asst.  Weitere Beispiele befinden sich in
\cite{Hatcher}, wonach wir auch vorgehen.
\subsection{Wege und Homotopien}
\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein \emph{Weg} in einem topologischen Raum $X$ ist eine
    stetige Abbildung $f:I\equiv[0,1]\to X$.
  \item Eine \emph{Homotopie} von Wegen in $X$ ist eine Familie
    $f_t:I\to X$, $0\le t\le1$, so dass
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item die Endpunkte (bzw.\ Anfangspunkte) $f_t(0)=:x_0$ und
      $f_t(1)=:x_1$ von $t$ unabh\"angig sind.
    \item die Abbildung $F:I\times I\to X$ mit $F(s,t):=f_t(s)$ stetig
      ist.
    \end{enumerate}
  \item Gibt es zwischen zwei Wegen $f_0$ und $f_1$ eine solche
    Homotopie $f_t$, so hei\ss{}en sie \emph{homotop}. Wir schreiben
    $f_0\simeq f_1$.
  \item Ein Weg $f$ hei\ss{}t \emph{nullhomotop}, wenn er homotop zu
    einem konstanten Weg $c$ ist. (Ein Weg $c$ hei\ss{}t konstant,
    wenn $c(s)=x_0$ f\"ur ein $x_0\in X$ und f\"ur alle $0\le s\le1$
    gilt.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\label{Rn hom triv}
  Seien $f_0$ und $f_1$ im $\R^n$ Wege mit gleichen Anfangs- und
  Endpunkten $x_0$ bzw.{} $x_1$. Dann sind $f_0$ und $f_1$ homotop,
  $f_0\simeq f_1$. Es gen\"ugt konvex zu interpolieren:
  $f_t(s):=(1-t)f_0(s)+tf_1(s)$.  Daher gilt eine solche Aussage auch
  f\"ur Wege in konvexen Teilmengen von $\R^n$.
\end{beispiel}

\begin{proposition}\label{hom rel prop}
  Die Homotopierelation auf Wegen mit fixierten Endpunkten in einem
  topologischen Raum ist eine \"Aquivalenzrelation.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Reflexivit\"at $f\simeq f$ ist klar, $f_t=f$ ist die
  gew\"unschte Homotopie.  Ist $f_t$ eine Homotopie zwischen $f$ und
  $g$, so ist $f_{1-t}$ eine Homotopie zwischen $g$ und $f$. Somit
  folgt die Symmetrie.\par
  Zur Transitivit\"at: Sei $f_0\simeq f_1$ verm\"oge der Homotopie
  $f_t$ und $g_0\simeq g_1$ verm\"oge der Homotopie $g_t$. Sei
  $f_1=g_0$. Dann ist $h_t$, definiert durch
  $$h_t:=\begin{cases}
    f_{2t}&\text{f\"ur }0\le t\le\tfrac12,\\
    g_{2t-1}&\text{f\"ur }\tfrac12\le t\le1.
  \end{cases}$$ eine Homotopie zwischen $f_0$ und $g_1$.  Diese beiden
  Teildefinitionen stimmen f\"ur $t=\frac12$ \"uberein und die
  Stetigkeit von $H(s,t):=h_t(s)$ folgt aus Satz \ref{stet abg
    vereinig}.
\end{proof}

\begin{definition}[Homotopieklasse]
  Die \"Aquivalenzklasse aller zu einem festen Weg $f$ homotopen Wege
  hei\ss{}t \emph{Homotopieklasse} von $f$ und wird mit $[f]$
  bezeichnet.
\end{definition}

Das nun definierte Produkt von Wegen bezeichnet das
Nacheinander-Durchlaufen von zwei Wegen mit doppelter Geschwindigkeit.
\begin{definition}[Produkt von Wegen]
  Seien $f$, $g:I\to X$ Wege in einem topologischen Raum mit
  $f(1)=g(0)$. Dann definieren wir ein Produkt von $f$ und $g$ als
  $$f\cdot g(s):=
  \begin{cases}
    f(2s)&0\le s\le\tfrac12,\\
    g(2s-1)&\tfrac12\le s\le1.
  \end{cases}$$
\end{definition}

\begin{remark}
  Beachte, dass bei dieser Definition zun\"achst der links stehende
  Weg durchlaufen wird (anders als bei der Verkettung von
  Abbildungen).\par
  Diese Definition des Produktes von Wegen induziert auch ein Produkt
  auf Homotopieklassen von Wegen. Denn seien $f_0\simeq f_1$ und
  $g_0\simeq g_1$ homotop verm\"oge Homotopien $f_t$ und $g_t$, so
  dass $f_0(1)=g_0(0)$ ist (also $f_0\cdot g_0$ definiert ist), dann
  ist auch $f_t\cdot g_t$ definiert und liefert eine Homotopie, die
  $f_0\cdot g_0\simeq f_1\cdot g_1$ zeigt.  Wir definieren
  $[f_0]\cdot[g_0]:=[f_0\cdot g_0]$.
\end{remark}

\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wege, bei denen $f(0)=f(1)=x_0\in X$ gilt, hei\ss{}en
    geschlossene Wege. $x_0$ hei\ss{}t Basispunkt.
  \item Die Menge aller Homotopieklassen $[f]$ geschlossener Wege
    $f:I\to X$ mit Basispunkt $x_0$ wird mit $\pi_1(X,x_0)$
    bezeichnet. $\pi_1(X,x_0)$ hei\ss{}t \emph{Fundamentalgruppe}
    (oder \emph{erste Homotopiegruppe}) von $X$ zum Basispunkt $x_0$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Die folgende Proposition rechtfertigt den Namen Fundamentalgruppe.
\begin{proposition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum mit $x_0\in X$.  Dann ist die Menge
  $\pi_1(X,x_0)$ eine Gruppe bez\"uglich des Produktes
  $[f]\cdot[g]:=[f\cdot g]$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da wir nur Wege mit Endpunkten $x_0$ betrachten, k\"onnen wir solche
  Wege hintereinander durchlaufen. Wir hatten gesehen, dass die
  angegebene Pro\-dukt\-ope\-ra\-ti\-on unabh\"angig vom gew\"ahlten
  Repr\"asentanten der Homotopieklasse, also wohldefiniert, ist.\par
  Assoziativit\"at: Zeige, dass $(f\cdot g)\cdot h\simeq f\cdot(g\cdot
  h)$ f\"ur alle $f$, $g$, $h$ mit $[f]$, $[g]$, $[h]\in\pi_1(X,x_0)$
  gilt, was \"aquivalent zu $([f]\cdot[g])\cdot[h]=
  [f]\cdot([g]\cdot[h])$ ist.\par
  Zun\"achst einmal betrachten wir Umparametrisierungen. Sei
  $\phi:I\to I$ eine stetige Abbildung mit $\phi(0)=0$ und
  $\phi(1)=1$. Dann ist die Verkn\"upfung $f\circ\phi$ eine
  Umparametrisierung von $f$. Unter Reparametrisierungen \"andert sich
  die Homotopieklasse nicht, denn $f\circ\phi\simeq f$ verm\"oge der
  Homotopie $f\circ\phi_t$ mit $\phi_t(s):=(1-t)\phi(s)+ts$, da
  $\phi_0=\phi$ und $\phi_1(s)=s$ gelten. Da $\phi_t(s)\in I$ f\"ur
  alle $(s,t)\in I^2$ gilt, ist $f\circ\phi_t$ wohldefiniert.\par
  F\"ur $f$, $g$, $h$ mit $[f]$, $[g]$, $[h]\in\pi_1(X,x_0)$ gilt
  $f(1)=g(0)$ und $g(1)=h(0)$.  Also sind die Verkn\"upfungen
  wohldefiniert. In $(f\cdot g)\cdot h$ und $f\cdot(g\cdot h)$ werden
  jeweils die Wege $f$, $g$ und $h$ hintereinander durchlaufen, jedoch
  in unterschiedlichen Geschwindigkeiten.  Die beiden Produkte sind
  also gerade Umparametrisierungen voneinander, also insbesondere
  homotop zueinander.\par
  Auch die Verkn\"upfung von einem Weg $f$ mit $[f]\in\pi_1(X,x_0)$
  mit dem konstanten Weg $c(s)=x_0$ f\"ur alle $s\in I$ ist lediglich
  eine Umparametrisierng von $f$. Es gilt daher $[f]=[f\cdot
  c]=[c\cdot f]$.\par
  Die Aussagen der letzten beiden Abschnitte bleiben richtig, sobald
  $f\cdot g$ wohldefiniert ist. Man ben\"otigt hierf\"ur nicht, dass
  alle Endpunkte \"ubereinstimmen.\par
  Sei $f:I\to X$ ein Weg von $f(0)=x_0$ nach $f(1)=x_1$. Definiere den
  dazu inversen Weg $\ol f:I\to X$ durch $\ol f(s):=f(1-s)$. Definiere
  weiterhin
  $$f_t(s):=
  \begin{cases}
    f(s)&0\le s\le1-t,\\
    f(1-t)&1-t\le s\le 1.
  \end{cases}$$ Dann ist $h_t:=f_t\cdot\ol{f_t}$ eine Homotopie, die
  zeigt, dass $f\cdot\ol f$ homotop zu einem konstanten Weg
  ist. Analog folgt auch, dass $\ol f\cdot f$ homotop zu einem
  konstanten Weg ist.  Somit ist $\ol f$ ein beidseitiges Inverses zu
  $f$ mit $[f]\in\pi_1(X,x_0)$.
  \par
  Daher ist $\pi_1(X,x_0)$ eine Gruppe.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Es gilt $\pi_1\left(\R^n,x\right)=\{1\}$ f\"ur alle $x\in\R^n$, da
  sich im $\R^n$, wie wir in Beispiel \ref{Rn hom triv} gesehen haben,
  alle geschlossenen Wege zu einem Punkt zusammenziehen lassen.
\end{beispiel}

Wir wollen nun die Homotopiegruppen f\"ur unterschiedliche 
Basispunkte vergleichen.
\begin{proposition}\label{fund gr x0 x1}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $x_0$, $x_1\in X$. Sei $h$ ein Weg
  von $x_0$ nach $x_1$ und $\ol h$ der umgekehrt durchlaufene
  Weg. Dann ist die Abbildung
  \begin{align*}
    \beta_h:\pi_1(X,x_1)\to&\pi_1(X,x_0),\\
    \beta_h[f]:=&\left[h\cdot f\cdot\ol h\right]
  \end{align*}
  ein Isomorphismus.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen die Abk\"urzung $\beta_h[f]$ f\"ur $\beta_h([f])$.\par
  Zun\"achst einmal ist zu zeigen, dass die Definition von der Wahl
  des Repr\"asentanten in der Homotopieklasse unabh\"angig ist.  Ist
  $f_t$ eine Homotopie zwischen Wegen mit Basispunkt $x_1$, so ist
  $h\cdot f_t\cdot\ol h$ eine Homotopie zwischen Wegen mit Basispunkt
  $x_0$. Daher ist $\beta_h$ auf Homotopieklassen wohldefiniert.\par
  Die Abbildung $\beta_h$ ist ein Gruppenhomomorphismus, denn es gilt
  \begin{align*} 
    \beta_h([f]\cdot[g])=&\,\beta_h[f\cdot g]=\left[h\cdot f\cdot
      g\cdot\ol h\right] =\left[h\cdot f\cdot\ol h\cdot h\cdot
      g\cdot\ol h\right]\\ =&\,\left[h\cdot f\cdot\ol h]\cdot[h\cdot
      g\cdot\ol h\right] =\beta_h[f]\cdot\beta_h[g].
  \end{align*}
  Die Inverse von $\beta_h$ ist durch $\beta_{\ol h}$ gegeben, denn es
  gilt $\beta_h\beta_{\ol h}[f]=\beta_h\left[\ol h\cdot f\cdot
    h\right] =\left[h\cdot\ol h\cdot f\cdot h\cdot\ol
    h\right]=[f]$. Analog rechnet man f\"ur die Inverse nach, dass
  $\beta_{\ol h}\beta_h[f]=[f]$ gilt.
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist also $X$ wegzusammenh\"angend, so h\"angt $\pi_1(X,x_0)$ -- bis
  auf Gruppenisomorphismen -- nicht vom Basispunkt $x_0$ ab. Daher
  schreiben wir auch $\pi_1(X)$ oder $\pi_1X$. Wir sprechen dann auch
  einfach von der Fundamentalgruppe ohne einen Basispunkt explizit zu
  erw\"ahnen.
\end{remark}

\begin{definition}[einfach zusammenh\"angend]
  Ein topologischer Raum $X$ hei\ss{}t \emph{einfach
    zusammenh\"angend}, wenn $X$ wegzusammenh\"angend ist und eine
  triviale Fundamentalgruppe (aus nur einem Element bestehend)
  besitzt.
\end{definition}

\begin{proposition}
  Ein Raum $X$ ist genau dann einfach zusammenh\"angend, wenn es f\"ur
  je zwei Punkte $x_0$, $x_1\in X$ bis auf Homotopie nur genau einen
  Weg von $x_0$ nach $x_1$ gibt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeilealt
  \Hinrichtung Da $X$ wegzusammenh\"angend ist, gibt es einen Weg, der
  zwei beliebige Punkte in $X$ miteinander verbindet. Nehme an, dass
  $\pi_1(X)=\{1\}$ gilt. Seien $x_0$, $x_1\in X$ und seien $f$ und $g$
  zwei Wege von $x_0$ nach $x_1$. Nach Voraussetzung sind dann die
  geschlossenen Wege $\ol g\cdot g$ und $f\cdot\ol g$ nullhomotop,
  denn sie haben jeweils gleiche Start- und Endpunkte. Also gilt
  $f\simeq f\cdot\ol g\cdot g\simeq g$ und die Behauptung folgt.\par
  \Rueckrichtung Gibt es -- bis auf Homotopie -- nur einen Weg von
  $x_0$ nach $x_0$, dann ist nach Definition die Fundamentalgruppe
  $\pi_1(X,x_0)$ trivial.
\end{proof}

\subsection{Die Fundamentalgruppe des Kreises}
Wir wollen nun nachweisen, dass $\pi_1\S^1\cong\Z$ ist, also
-- bis auf einen Gruppenisomorphismus -- $\pi_1\S^1$ und $\Z$ 
\"ubereinstimmen. Wir sagen dann auch, dass $\Z$ die Fundamentalgruppe
von $\S^1$ ist. Dies folgt aus dem folgenden Theorem. Den Beweis
f\"uhren wir so, dass er implizit das Konzept einer \"Uberlagerung 
benutzt, das wir sp\"ater noch allgemeiner kennenlernen werden.

\begin{theorem}\label{S1 fund gr}
  Die Abbildung $\Phi:\Z\to\pi_1\left(\S^1\right)$, wobei eine ganze
  Zahl $n$ auf die Homotopieklasse des Weges $[0,1]\ni
  s\mapsto\omega_n(s):= (\cos2\pi ns,\sin2\pi ns)$ (mit Basispunkt
  $(1,0)$) abgebildet wird, ist ein Isomorphismus.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Beweisidee ist es, Wege in $\S^1$ mit solchen in $\R$ zu
  vergleichen.  Dazu verwenden wir die Abbildung $p:\R\to\S^1$,
  definiert durch $p(x):=(\cos2\pi s,\sin2\pi s)$. Diese Abbildung
  l\"asst sich geometrisch durch die Einbettung von $\R$ in den $\R^3$
  als Helix, parametrisiert duch $s\mapsto(\cos2\pi s, \sin2\pi s,s)$,
  visualisieren. Dann ist $p$ gerade die orthogonale Projektion
  $\R^3\to\R^2$ auf die ersten beiden Komponenten
  $(x,y,z)\mapsto(x,y)$.  Somit ist der geschlossene Weg $\omega_n$
  gerade die Verkn\"upfung $p\circ\tilde\omega_n$, wobei
  $\tilde\omega_n:I\to\R$ ($\R$ identifiziert mit der Helix) gerade
  die Abbildung mit $\tilde\omega_n(s)=ns$ ist, die $0$ mit $n$
  verbindet und sich dabei $|n|$-mal um die Helix (nach oben oder
  unten, je nach Vorzeichen von $n$) windet. Die Identit\"at
  $\omega_n=p\circ\tilde\omega_n$ besagt dann gerade, dass
  $\tilde\omega_n$ der Abbildung $\omega_n$ \"uberlagert ist.  (Dies
  werden wir in Kapitel \ref{ueberlager sec} noch genau
  definieren.)\par
  Die Abbildung $\Phi$ kann man nun auch wie folgt definieren:
  Definiere $\Phi(n)$ als die Homotopieklasse der geschlossenen Kurve
  $p\circ\tilde f$, wobei $\tilde f$ ein beliebiger Weg in $\R$ von
  $0$ nach $n$ ist. Solch eine Abbildung $\tilde f$ ist zu
  $\tilde\omega_n$ verm\"oge der linearen Homotopie $(1-t)\tilde
  f+t\tilde\omega_n$ homotop. Daher ist auch $p\circ\tilde f$ zu
  $p\circ\tilde\omega_n=\omega_n$ homotop und somit stimmt die alte
  Definition von $\Phi(n)$ mit der neuen \"uberein.\par
  Um nachzuweisen, dass $\Phi$ ein Homomorphismus ist, definieren wir
  f\"ur $m\in\Z$ die Abbildung $\tau_m:\R\to\R$ als die Translation
  $\tau_m(x):=x+m$. Dann ist $\tilde\omega_m\cdot
  (\tau_m\circ\tilde\omega_n)$ ein Weg von $0$ nach $m+n\in\R$, also
  ist $\Phi(m+n)$ die Homotopieklasse in $\S^1$ dieses Weges unter der
  Abbildung $p$. Es gilt aber
  $p(\tilde\omega_m\cdot(\tau_m\circ\tilde\omega_n))=
  \omega_m\cdot\omega_n$. Somit ist $\Phi(m+n)=\Phi(m)\cdot
  \Phi(n)$.\par
  Um nachzuweisen, dass $\Phi$ ein Isomorphismus ist, wollen wir die
  folgenden beiden Tatsachen benutzen (und sp\"ater beweisen):
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{S1 fact i} Zu jedem Weg $f:I\to\S^1$, der im Punkt
    $x_0\in\S^1$ beginnt, und zu jedem Punkt $\tilde x_0\in
    p^{-1}(\{x_0\})$ gibt es eine eindeutig bestimmte stetige
    Abbildung $\tilde f:I\to\R$ mit $\tilde f(0)=\tilde x_0$, die $f$
    \"uberlagert ist, d.\,h., es gibt eine eindeutig bestimmte stetige
    Abbildung $\tilde f$, die das folgende Diagramm kommutativ macht
    $$\xymatrix{&\R\ar[d]^p\\
      I\ar[ur]^{\tilde f}\ar[r]_f&\S^1.}$$
  \item\label{S1 fact ii} Zu jeder Homotopie $f_t:I\to\S^1$ von Wegen,
    die in $x_0$ beginnen und f\"ur jedes $\tilde x_0\in p^{-1}(\{x_0\})$
    gibt es eine eindeutige \"uberlagernde Homotopie $\tilde f$ von
    Wegen, die in $\tilde x_0$ beginnen. Die folgenden Diagramme sind
    also kommutativ:
    $$\xymatrix{&\R\ar[d]^p&& &\tilde{f}_t(s)\ar@{|->}[d]^p\\
      I\times I\ar[ru]^{\tilde f}\ar[r]_f&\S^1&\text{und}&
      (s,t)\ar@{|->}[ru]\ar@{|->}[r]&f_t(s).}$$
  \end{enumerate}
  Wir wollen nun zun\"achst mit diesen beiden Tatsachen das Theorem
  beweisen und dann die Beweise f\"ur die angegebenen Aussagen in
  einem Lemma nachholen.\par
  \textbf{Surjektivit\"at:} Um zu zeigen, dass die Abbildung $\Phi$
  surjektiv ist, betrachten wir einen Weg $f:I\to\S^1$ mit Basispunkt
  $(1,0)$, der ein Element in $\pi_1\left(\S^1\right)$
  repr\"asentiert.  Nach \eqref{S1 fact i} finden wir einen dem Weg
  $f$ \"uberlagerten Weg $\tilde f$, der im Punkt $0$ beginnt. Dieser
  Weg $\tilde f$ endet in einer ganzen Zahl $n$, da $p\circ\tilde
  f(1)=f(1)=(1,0)$ gilt und $p^{-1}(\{(1,0)\})=\Z\subset\R$ ist. Wir
  benutzen nun die erweiterte Definition von $\Phi$ und erhalten
  $\Phi(n)= \left[p\circ\tilde f\right]=[f]$. Daher ist $\Phi$
  surjektiv.\par
  \textbf{Injektivit\"at:} Nehme an, dass $\Phi(m)=\Phi(n)$ ist.  Wir
  wollen also nachweisen, dass $m=n$ ist. Nach Definition folgt aus
  $\Phi(m)=\Phi(n)$ gerade, dass $\omega_m\simeq\omega_n$ ist. Sei
  also $f_t$ eine Homotopie von $\omega_m=f_0$ nach
  $\omega_n=f_1$. Nach \eqref{S1 fact ii} gibt es eine eindeutig
  bestimmte $f$ \"uberlagerte Homotopie $\tilde f_t$, die im Punkt $0$
  beginnt. Ebenso gibt es nach \eqref{S1 fact i} \"uberlagernde
  Abbildungen $\tilde\omega_m$ und $\tilde\omega_n$ zu $\omega_m$ und
  $\omega_n$, die auch jeweils im Punkte $0$ starten. Aufgrund der
  Eindeutigkeit der \"uberlagernden Abbildungen gilt daher $\tilde
  f_0=\tilde\omega_m$ und $\tilde f_1=\tilde\omega_n$.  Nun ist aber
  $\tilde f_t$ eine Homotopie von Wegen. Also ist insbesondere der
  Endpunkt $\tilde f_t(1)$ unabh\"angig von $t$.  F\"ur $t=0$ gilt
  $\tilde f_0(1)=\tilde\omega_m(1)=m$ und f\"ur $t=1$ erhalten wir
  $\tilde f_1(1)=\tilde\omega_n(1)=n$. Somit gilt $m=n$.
\end{proof}

Statt die beiden Behauptungen \eqref{S1 fact i} und \eqref{S1 fact ii}
zu beweisen, zeigen wir die folgende allgemeinere Behauptung:
\begin{lemma}\label{S1 lift lem}
  Sei $Y$ ein topologischer Raum, $F:Y\times I\to\S^1$ stetig und
  $\tilde F:Y\times\{0\}\to\R$ eine $F|_{Y\times\{0\}}$ \"uberlagerte
  Abbildung, \dh es gilt $p\circ\left(\tilde F|_{Y\times
      \{0\}}\right)=F|_{Y\times\{0\}}$ mit $p:\R\to\S^1$ wie in
  Theorem \ref{S1 fund gr}. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
  Abbildung $\tilde F:Y\times I\to\R$, die $F$ \"uberlagert ist, \dh
  es gilt $p\circ\tilde F=F$, so dass $\tilde F$ eine Fortsetzung der
  oben angegebenen Abbildung $\tilde F:Y\times\{0\}\to\R$ ist.
\end{lemma}
Hieraus folgen dann die Behauptungen \eqref{S1 fact i} und
\eqref{S1 fact ii} im Theorem \ref{S1 fund gr}, wenn wir f\"ur
$Y$ einen einpunktigen Raum $\{q\}$ bzw.\ $I$ w\"ahlen. Behauptung
\eqref{S1 fact i} ist damit direkt klar, da wir $\tilde F((q,0))$
vorgeben. F\"ur Behauptung \eqref{S1 fact ii} betrachten wir wie
\"ublich die Abbildung $F:I\times I\to\S^1$, die durch
$F(s,t):=f_t(s)$ definiert ist. Wir wenden nun \eqref{S1 fact i}
an, um die eindeutig bestimmte \"uberlagernde Abbildung
$\tilde F:I\times\{0\}\to\R$ mit vorgegebenem Anfangspunkt
$\tilde F(0,0)$ zu bekommen. Dann liefert
Lemma \ref{S1 lift lem} eine eindeutig bestimmte \"uberlagernde
Abbildung $\tilde F:I\times I\to\R$. Die Einschr\"ankungen
$\tilde F|_{\{0\}\times I}$ und $\tilde F|_{\{1\}\times I}$
sind konstanten Wegen \"uberlagert, also aufgrund der 
Eindeutigkeit der \"uberlagernden Abbildungen mit fixiertem
Anfangspunkt wieder konstante
Wege. Somit ist $\tilde f_t(s):=\tilde F(s,t)$ eine Homotopie von Wegen 
und $\tilde f_t$ ist $f_t$ \"uberlagert, denn es gilt
$p\circ\tilde F=F$. 
\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{S1 lift lem}]
  Wir wollen benutzen, dass es eine offene \"Uberdeckung
  $\{U_\alpha\}_\alpha$ von $\S^1$ gibt, so dass f\"ur jedes $\alpha$
  die Mengen $p^{-1}(U_\alpha)$ sich als disjunkte Vereinigung von
  Mengen hom\"oomorph zu $U_\alpha$ darstellen lassen und die
  Abbildung $p$ ein solcher Hom\"oomorphismus ist. Dies ist
  offensichtlich, wenn wir $\S^1$ nur fein genug zerlegen (zwei offene
  Kreisb\"ogen gen\"ugen). Beachte f\"ur sp\"ater, wenn wir eine
  analoge Aussage f\"ur allgemeinere \"Uberlagerungen zeigen wollen,
  dass wir im Folgenden nur diese Eigenschaft von $p$ ausn\"utzen.\par
  Sei $y_0\in Y$.  Wir wollen zun\"achst eine \"uberlagernde Abbildung
  $\tilde F:N\times I\to\R$ konstruieren, wobei $N$ eine Umgebung von
  $y_0$ ist. Da die Abbildung $F$ stetig ist, besitzt jeder Punkt
  $(y_0,t)\in Y\times I$ eine Umgebung in Produktform der Gestalt
  $N_t\times(a_t,b_t)$ (geschnitten mit dem Definitionsbereich), so
  dass $F(N_t\times(a_t,b_t))\subset U_\alpha$ f\"ur ein $\alpha$
  gilt. Aufgrund der Kompaktheit \"uberdecken bereits endlich viele
  dieser Umgebungen die Menge $\{y_0\}\times I$.  Daher k\"onnen wir
  eine feste Umgebung $N$ von $y_0$ w\"ahlen und Zahlen
  $0=t_0<t_1<\ldots<t_m=1$, so dass f\"ur jedes $i$ die Menge
  $F(N\times[t_i,t_{i+1}])$ in einem $U_\alpha$ enthalten ist. Dieses
  wollen wir mit $U_i$ bezeichnen. Nehme nun induktiv an, dass $\tilde
  F$ auf $N\times[0,t_i]$ bereits konstruiert sei.  Nach Voraussetzung
  gilt $F(N\times[t_i,t_{i+1}])\subset U_i$.  Daher gibt es eine Menge
  $\tilde U_i\subset\R$, die unter $p$ hom\"oomorph auf $U_i$
  abgebildet wird und die $\tilde F(y_0,t_i)$ enth\"alt. Nun braucht
  nicht $\tilde F(N\times\{t_i\})\subset\tilde U_i$ zu gelten (z.\,B.\
  wenn $N$ nicht zusammenh\"angend ist), aber wir k\"onnen dies
  erreichen, indem wir die Umgebung $N\in\U(y_0)$ verkleinern; wir
  w\"ahlen dazu statt $N\times\{t_i\}$ die Menge $\left(\tilde
    F|_{N\times\{t_i\}}\right)^{-1} \left(\tilde U_i\right)$,
  schreiben aber weiterhin $N$.  Nun k\"onnen wir $\tilde F$ auf
  $N\times[t_i,t_{i+1}]$ durch $\tilde F:=p_i^{-1}\circ F$ definieren,
  wobei $p_i:\tilde U_i\to U_i$ der Hom\"oomorphismus ist, den man aus
  $p$ durch Einschr\"ankung erh\"alt. Nach endlich vielen solchen
  Schritten erhalten wir dann eine \"uberlagernde Abbildung $\tilde
  F:N\times I\to\R$ f\"ur eine Umgebung $N$ von $y_0$.\par
  Wir betrachten nun die Eindeutigkeit in dem Falle, dass $Y$
  einpunktig ist. In diesem Spezialfall lassen wir $Y$ in den
  Bezeichnungen ersatzlos weg. Nehme also an, dass $\tilde F$ und
  $\tilde F'$ zwei \"uberlagernde Abbildungen von $F:I\to\S^1$ sind,
  so dass $\tilde F(0)=\tilde F'(0)$ gilt. Wie im Existenzteil
  w\"ahlen wir Zahlen $0=t_0<t_1<\ldots<t_m=1$, so dass
  $F([t_i,t_{i+1}])$ stets in einer Menge $U_i$ wie oben enthalten
  ist. Wir wollen induktiv annehmen, dass wir schon wissen, dass
  $\tilde F=\tilde F'$ auf $[0,t_i]$ gilt. Das Intervall
  $[t_i,t_{i+1}]$ ist zusammenh\"angend und damit auch $\tilde
  F([t_i,t_{i+1}])$ sowie $\tilde F'([t_i,t_{i+1}])$. Somit muss
  $\tilde F([t_i,t_{i+1}])$ in einer der Mengen $\tilde U_i$ enthalten
  sein, die unter $p$ hom\"oomorph auf $U_i$ abgebildet werden. Auch
  $\tilde F'([t_i,t_{i+1}])$ muss in einer solchen Menge enthalten
  sein und zwar in derselben, da $\tilde F'(t_i)=\tilde F(t_i)$
  gilt. Da $p|_{\tilde U_i}$ injektiv ist und $p\circ\tilde
  F=p\circ\tilde F'$ auf $[t_i,t_{i+1}]$ gilt, folgt dass auch $\tilde
  F=\tilde F'$ auf dieser Menge gilt.  Der Induktionsschritt
  folgt.\par
  Wir beobachten nun, dass die oben auf Mengen der Form $N\times I$
  konstruierten \"uberlagernden Abbildungen eindeutig bestimmt sind,
  wenn wir sie auf Mengen der Form $\{y\}\times I$ einschr\"anken.
  Daher stimmen sie im Schnitt von Mengen der Form $N\times I$
  \"uberein und wir k\"onnen sie damit auf ganz $Y\times I$ definieren
  und erhalten eine wohldefiniert \"uberlagernde Abbildung $\tilde
  F:Y\times I\to\R$. Die Eindeutigkeit folgt, da die
  Einschr\"ankungen auf Mengen der Form $\{y\}\times I$ eindeutig
  bestimmt sind. Die Abbildung $\tilde F$ ist auch stetig, da die
  Einschr\"ankungen $\tilde F:N\times I\to\R$ stetig sind, woraus
  folgt, dass $\tilde F$ insgesamt stetig ist.
\end{proof}

Hieraus erhalten wir die Aussage, dass jedes nichtkonstante Polynom
in $\C$ eine Nullstelle besitzt.
\begin{theorem}[Fundamentalsatz der Algebra]
  Sei $p(z):=z^n+a_1z^{n-1}+\ldots+a_n$, $n\ge1$, ein(e)
  Polynom(funktion) $p:\C\to\C$. Dann besitzt $p$ eine Nullstelle.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wenn $p(z)$ keine Nullstelle besitzt, dann definiert f\"ur jede Zahl
  $r\ge0$ die Formel
  $$f_r(s):=\frac{p\left(re^{2\pi is}\right)/p(r)}
  {|p\left(re^{2\pi is}\right)/p(r)|}$$ eine geschlosse Kurve
  $f_r:I\to\S^1\subset\C$ mit Basispunkt $1$.  In $r$ ist $f_r$ eine
  Homotopie von geschlossenen Wegen mit Basispunkt $1$. Da $f_0$ ein
  trivialer geschlossener Weg ist, folgt, dass
  $[f_r]\in\pi_1\left(\S^1\right)$ f\"ur alle $r\ge0$ das neutrale
  Element ist. Wir betrachten nun ein gro\ss{}es $r$ mit
  $r\ge1+\max\{|a_1|+\cdots+|a_n|,\,1\}$. Dann gilt f\"ur $|z|=r$ die
  Absch\"atzung
  $$|z|^n=r^n=r\cdot r^{n-1}>(|a_1|+\cdots+|a_n|)|z|^{n-1}\ge
  \left|a_1z^{n-1}+\cdots+a_n\right|.$$ Wir schlie\ss{}en also, dass
  die Polynome $p_t(z):= z^n+t\cdot\left(a_1z^{n-1}+\cdots+a_n\right)$
  f\"ur $0\le t\le 1$ keine Nullstellen auf dem Kreis $|z|=r$
  besitzen. Damit induzieren sie, in die obige Formel f\"ur $f_r$
  statt $p$ eingesetzt, eine Homotopie von $f_r$ zu
  $\omega_n(s):=e^{2\pi ins}$. Nach Theorem \ref{S1 fund gr} ist
  $\omega_n$ gerade die $n$-mal ein Erzeuger der unendlichen
  zyklischen Gruppe $\pi_1\left(\S^1\right)$ und somit vom neutralen
  Element verschieden. Dies widerspricht $[f_0]=1$. Somit hat $p$ doch
  eine Nullstelle.
\end{proof}

Wir erhalten auch einen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes in zwei
Dimensionen:
\begin{theorem}[Brouwerscher Fixpunktsatz]
  Jede stetige Selbstabbildung $h:D^2\to D^2$ der abgeschlossenen
  Einheitskreisscheibe $D^2$ besitzt einen Fixpunkt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls $h$ keinen Fixpunkt besitzt, definieren wir eine stetige
  Retraktion von $D^2$ nach $\S^1$, \dh eine stetige Abbildung
  $r:D^2\to\S^1$, so dass $r|_{\S^1}$ die Identit\"at ist.  Sei $x\in
  D$. Definiere $r(x)$ als den Punkt, in dem eine Halbgerade, die in
  $h(x)$ startet und durch $x$ geht, den Rand $\partial D^2=\S^1$
  schneidet. Aufgrund der Stetigkeit von $h$ und der Fixpunktfreiheit
  ist dies eine stetige Abbildung $D^2\to\S^1$. Nach Definition ist
  auch klar, dass $r$ eine Retraktion ist.\par
  Wir zeigen nun, dass es keine solche Retraktion geben kann.  Sei
  $f_0$ ein geschlossener Weg in $\S^1$. In $D^2$ gibt es eine
  Homotopie zu einem konstanten Weg, beispielsweise die lineare
  Homotopie $f_t(s):=(1-t)f_0(s)+tx_0$, wobei $x_0$ der Basispunkt von
  $f_0$ ist. Da die Retraktion $r$ auf $\S^1$ die Identit\"at ist, ist
  die Verkettung $r\circ f_t$ eine Homotopie in $\S^1$ von $r\circ
  f_0=f_0$ zu einem konstanten Weg im Basispunkt $x_0$.  Dies geht
  aber nicht, denn $\pi_1\left(\S^1\right)$ ist nichttrivial und $f_0$
  ist ein beliebiger geschlossener Weg.
\end{proof}
In beliebigen Dimensionen beweist man den Brouwerschen Fixpunktsatz
beispielsweise in der algebraischen Topologie.

Aus dem angegebenen Beweis folgt noch:
\begin{corollary}\label{brouwer kein retrakt}
  Es gibt keine stetige Retraktion (vergleiche auch Definition
  \ref{retrakt def}) von $D^2$ auf $\S^1$.
\end{corollary}

Das folgende Resultat zeigt beispielsweise, dass es auf der Erde
stets zwei gegen\"uberliegende Punkte gibt, in denen die Temperatur
und die Niederschlagsmenge \"ubereinstimmen (falls diese sich
stetig verhalten und die Erde topologisch eine Kugel ist).
\begin{theorem}[Borsuk-Ulam]\label{borsuk ulam thm}
  Sei $f:\S^2\to\R^2$ stetig. Dann gibt es $x\in\S^2$, so dass $f$ an
  den beiden antipodalen Punkten $x$ und $-x$ \"ubereinstimmt,
  $f(x)=f(-x)$.
\end{theorem}
In einer Dimension ist das analoge Resultat offensichtlich, da die
Funktion $f(x)-f(-x)$ das Vorzeichen wechselt, wenn man ein halbes Mal
um $\S^1$ heruml\"auft.\par
Im allgemeinen gibt es nicht mehr als dieses eine Paar von Punkten,
betrachte beispielsweise die Orthogonalprojektion von
$\S^2\subset\R^3$ auf $\R^2\subset\R^3$.\par
Die Verallgemeinerung f\"ur Abbildungen $\S^n\to\R^n$ gilt ebenfalls,
erfordert aber einen anderen Beweis.
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{borsuk ulam thm}]
  Falls nicht, dann k\"onnen wir eine stetige Abbildung
  $g:\S^2\to\S^1$ durch
  $$g(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}$$
  definieren. Definiere eine geschlossene Kurve
  $\eta:I\to\S^2\subset\R^3$, die den \"Aquator entlangl\"auft durch
  $\eta(s):=(\cos2\pi s,\sin2\pi s,0)$.  Definiere weiterhin
  $h:I\to\S^1$ durch $h:=g\circ\eta$. Nach Definition von $g$ gilt
  $g(-x)=-g(x)$, also folgt $h\left(s+\frac12\right)=-h(s)$ f\"ur alle
  $s$ im Intervall $\left[0,\frac12\right]$.  Wie wir bei der
  Berechnung der Fundamentalgruppe von $\pi_1\left(\S^1\right)$
  gesehen haben, l\"asst sich der Weg $h:I\to\S^1$ zu einem Weg
  $\tilde h:I\to\R$ \glqq liften\grqq{}, \dh wir finden eine Abbildung
  $\tilde h$, so dass $\tilde h$ der Abbildung $h$ \"uberlagert
  ist. Die Gleichung $h\left(s+\frac12\right)=-h(s)$ liefert nun, dass
  $\tilde h(s+\frac12)=\tilde h(s)+\frac q2$ f\"ur eine ungerade Zahl
  $q\in\Z$ gilt. Wir behaupten, dass $q$ nicht von $s$ abh\"angt.
  Dies folgt aber direkt aus der definierenden Gleichung $\tilde
  h(s+\frac12)=\tilde h(s)+\frac q2$ f\"ur $q$, in der alle anderen
  Summanden stetig von $s$ abh\"angen. Dies gilt daher auch f\"ur $q$
  und da $q\in\Z$ ist, ist $q$ von $s$ unabh\"angig.  Es gilt
  insbesondere $\tilde h(1)=\tilde h\left(\frac12\right)+\frac q2
  =\tilde h(0)+q$. Dies bedeutet, dass $h$, als Element von
  $\pi_1\left(\S^1\right)$ aufgefasst, gerade $q$-mal der Erzeuger von
  $\pi_1\left(\S^1\right)$ ist. Da $q$ ungerade ist, ist $h$ damit
  nicht nullhomotop. Aber nach Definition ist
  $h=g\circ\eta:I\to\S^2\to\S^1$ und die Abbildung $\eta$ ist
  offensichtlich in $\S^2$ nullhomotop. Durch Komposition der
  entsprechenden Homotopie mit $g$ sehen wir also, dass auch $h$
  nullhomotop ist. Dies ist ein Widerspruch und das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die Mengen $\S^2$ und $\R^2$ sind nicht hom\"oomorph.  $\S^2$ ist
  auch zu keiner Teilmenge von $\R^2$ hom\"oomorph.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die erste Aussage folgt auch noch leicht aus der Kompaktheit von
  $\S^2$, die zweite nicht mehr. F\"ur einen Hom\"oomorphismus $f$
  gibt es aufgrund der Injektivit\"at nat\"urlich kein $x\in\S^2$, so
  dass $f(x)=f(-x)$ gilt.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Seien $A_1$, $A_2$, $A_3\subset\S^2$ drei abgeschlossene Teilmengen
  mit $A_1\cup A_2\cup A_3=\S^2$. Dann gibt es eine Menge $A_i$, die
  ein Paar von antipodalen Punkten $\{x,-x\}$ enth\"alt.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $d_i:\S^2\to\R$ die Distanz zu $A_i$, \dh $d_i(x):=
  \inf\limits_{y\in A_i}|x-y|_{\R^3}$. Dies ist eine stetige
  Funktion. Daher k\"onnen wir den Satz von Borsuk-Ulam auf die
  Abbildung $\S^2\to\R^2$ mit $x\mapsto(d_1(x),d_2(x))$ anwenden. Wir
  finden also ein $x\in\S^2$ mit $d_1(x)=d_1(-x)$ und
  $d_2(x)=d_2(-x)$. Ist einer dieser beiden Abst\"ande Null, so liegen
  $x$ und $-x$ beide in $A_1$ oder beide in $A_2$.  Falls weder
  $d_1(x)=0$ noch $d_2(x)=0$ gilt, so liegt $x$ weder in $A_1$ noch in
  $A_2$. Analog erh\"alt man, dass auch $-x$ nicht in $A_1\cup A_2$
  liegt. Aufgrund der \"Uberdeckungseigenschaft gilt daher $x\in A_3$
  und $-x\in A_3$. Die Behauptung folgt.
\end{proof}
Hier ist die Anzahl der Mengen scharf, wie man sich \"uberlegt,
wenn man vier Mengen betrachtet, die die Symmetrien eines
Tetraeders haben. In h\"oheren Dimensionen bekommt man eine
\"ahnliche Aussage, wenn man $\S^n$ mit $n+1$ abgeschlossenen
Mengen \"uberdeckt. 

Das folgende Resultat liefert eine erste M\"oglichkeit, bei der
Konstruktion eines topologischen Raumes die Fundamentalgruppe
des neu konstruierten Raumes aus der seiner Komponenten zu bestimmen.
Wir betrachten nur den Fall, dass $X$ und $Y$ wegzusammenh\"angend
sind. Den allgemeinen Fall erh\"alt man dann, indem man das
Resultat auf Wegzusammenhangskomponenten anwendet. 
\begin{proposition}\label{pi eins prod}
  Sind $X$ und $Y$ wegzusammenh\"angend, so ist $\pi_1(X\times Y)$
  isomorph zu $\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $Z$ ein topologischer Raum und $f:Z\to X\times Y$ eine
  Abbildung. Definiere $g$ und $h$ durch $f(z)=(g(z),h(z))$. Dann ist
  nach Definition der Produkttopologie $f$ genau dann stetig, wenn
  $g:Z\to X$ und $h:Z\to Y$ stetig sind.  Daher lassen sich Wege in
  $X\times Y$ mit Basispunkt $z_0=(x_0,y_0)$ bijektiv auf Paare von
  Wegen abbilden, wobei der eine Weg in $X$ mit Basispunkt $x_0$ und
  der andere in $Y$ mit Basispunkt $y_0$ ist.  Genauso entspricht eine
  Homotopie $f_t$ von Wegen in $X\times Y$ bijektiv Paaren $(g_t,h_t)$
  von Homotopieen, wobei $g_t$ eine Homotopie von Wegen in $X$ und
  $h_t$ eine Homotopie von Wegen in $Y$ ist. Somit erhalten wir die
  Bijektion $\pi_1(X\times
  Y,(x_0,y_0))\cong\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0)$ mit
  $[f]\mapsto([g],[h])$, wobei $g$ und $h$ die Verkettungen von $h$
  mit den jeweiligen Projektionen sind. Auf der rechten Seite
  multiplizieren wir komponentenweise. Die angegebene Abbildung ist
  ein Gruppenhomomorphismus. Da sie bijektiv ist, ist es ein
  Gruppenisomorphismus.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  F\"ur einen zweidimensionalen Torus gilt
  $\pi_1\left(\S^1\times\S^1\right)\cong
  \pi_1\left(\S^1\right)\times\pi_1\left(\S^1\right)\cong
  \Z\times\Z$. Bis auf Homotopie ist also eine geschlossene Kurve
  durch zwei ganze Zahlen charakterisiert. (Beispiel, etwa $(2,3)$, im
  Bild veranschaulichen.)\par
  Induktiv folgt, dass die Fundamentalgruppe eines $n$-dimensionalen
  Torus isomorph zu $\Z^n$ ist.\par
  Insbesondere sind diese Fundamentalgruppen also abelsch. (F\"ur
  ``Doughnut'' und Rechteck mit identifizierten Seiten skizzieren.)
\end{beispiel}

\subsection{Induzierte Homomorphismen}
Sei $\phi:X\to Y$ eine stetige Abbildung, die den Basispunkt $x_0\in
X$ auf den Basispunkt $y_0\in Y$ abbildet. Wir k\"urzen dies mit
$\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ ab. Dann induziert $\phi$ einen
Homomorphismus $\phi_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,y_0)$, definiert durch
$\phi_*[f]:=[\phi\circ f]$ f\"ur einen geschlossenen Weg $f:I\to X$
mit Basispunkt $x_0$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Die Abbildung ist wohldefiniert, denn wenn $f_t$ eine Homotopie
  in $X$ ist, dann ist $\phi\circ f_t$ eine Homotopie in $Y$.
\item Die angegebene Abbildung ist ein Homomorphismus, denn es gilt
  $\phi\circ(f\cdot g)=(\phi\circ f)\cdot(\phi\circ g)$, da beide
  Seiten f\"ur $0\le s\le\frac12$ mit $\phi\circ f(2s)$ und f\"ur
  $\tfrac12\le s\le1$ mit $\phi\circ g(2s-1)$ \"ubereinstimmen.
\end{enumerate}

Zwei grundlegende Eigenschaften induzierter Homomorphismen sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Es gilt $(\phi\circ\psi)_*=\phi_*\circ\psi_*$ f\"ur Abbildungen
  $\xymatrix{(X,x_0)\ar[r]^-\psi&(Y,y_0)\ar[r]^-\phi& (Z,z_0)}$.
\item $\eins_*=\eins$, \dh die Identit\"at $\eins:X\to X$ induziert
  die Identit\"at $\eins:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(X,x_0)$.
\end{enumerate}
Die erste Behauptung folgt, das die Komposiition von Abbildungen
assoziativ ist: $(\phi\circ\psi)\circ f=\phi\circ(\psi\circ f)$, die
zweite ist offensichtlich.\par
Diese beiden Eigenschaften besagen, das die Abbildung, die jedem
Punktierten Raum $(X,x_0)$ die Fundamentalgruppe zum Basispunkt $x_0$
zuordnet, ein Funktor ist. Ein Funktor ist eine Abbildung zwischen
Kategorien, die Objekte auf Objekte und Morphismen auf Morphismen
abbildet. Hier wird die Anwendung auf Morphismen mit $\cdot_*$
bezeichnet. Ein Funktor muss $\eins_*=\eins$ und
$(\phi\circ\psi)_*=\phi_*\circ\psi_*$ erf\"ullen. Die Definition eines
Funktors brauchen wir in diesem Kurs nicht mehr.\par
Sei $\phi$ ein Hom\"oomorphismus mit Umkehrabbildung $\psi$.  Dann ist
$\phi_*$ ein Isomorphismus und die Umkehrabbildung ist durch $\psi_*$
gegeben, denn es gilt $\phi_*\circ\psi_*=
(\phi\circ\psi)_*=\eins_*=\eins$ und analog folgt auch
$\psi_*\circ\phi_*=\eins$.

Wir berechnen nun die Fundamentalgruppen f\"ur alle Sph\"aren.
Da wir schon wissen, dass $\pi_1\left(\S^1\right)\cong\Z$ ist
und da $\pi_1\left(\S^0,p\right)$ f\"ur $p\in\S^0$ einelementig ist,
bleibt noch, $\pi_1\left(\S^n\right)$ f\"ur $n\ge2$ zu bestimmen. 
\begin{proposition}
  Die Gruppen $\pi_1\left(\S^n\right)$ sind f\"ur $n\ge2$ trivial, \dh
  sie bestehen nur aus einem Element.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\S^n$ beliebig und $f$ ein geschlossener Weg mit
  Basispunkt $x_0$. Nehme zun\"achst an, dass das Bild von $f$ einen
  Punkt $x\in\S^n$ ausl\"asst. Dann ist $f$ nullhomotop, denn
  $\S^n\setminus\{x\}$ ist hom\"oomorph zu $\R^n$ und der ist einfach
  zusammenh\"angend. Daher gen\"ugt es, wenn wir eine gegebene
  Abbildung so homotopieren k\"onnen, dass sie irgendeinen Punkt auf
  der Sph\"are vermeidet, also nicht surjektiv ist. Fixiere dazu
  $x\neq x_0$, $x\in\S^n$, und eine offene Kugel $B\subset\S^n$ um $x$
  mit $x_0\not\in\ol B$. Wir wollen nun zeigen, dass die Anzahl, wie
  oft $f$ in diese Kugel hineinkommt, $x$ als Wert annimmt und wieder
  $B$ verl\"asst, endlich ist und dass auf jedem dieser Intervalle die
  Abbildung $f$ mit Hilfe einer Homotopie so deformiert werden kann,
  dass sie au\ss{}erhalb von $B$ unver\"andert ist und den Punkt $x$
  vermeidet. (Beachte, dass so etwas nicht vollkommen trivial ist, da
  es raumf\"ullende Kurven gibt. W\"urden wir beispielsweise nur
  st\"uckweise $C^1$-Kurven betrachten, g\"abe es keine Probleme,
  solch einen Punkt zu finden.)\par
  Die Menge $f^{-1}(B)$ ist eine offen Teilmenge von $(0,1)$ und daher
  eine (m\"oglicherweise unendliche) disjunkte Vereinigung offener
  Intervalle der Form $(a_i,b_i)$. Die Menge $f^{-1}(\{x\})$ ist
  abgeschlossen, in $(0,1)$ enthalten und da $x_0\not\in B$ ist, auch
  kompakt. Somit wird sie von endlich vielen Intervallen der Form
  $(a_i,b_i)$ \"uberdeckt. Nur auf ihnen brauchen wir $f$
  abzu\"andern. Schr\"anken wir $f$ auf die Intervalle $[a_i,b_i]$ ein
  und definieren $f_i:=f|_{[a_i,b_i]}$ f\"ur diese endliche Kollektion
  von Intervallen, so sind die Bilder der $f_i$ in $\ol B$ enthalten,
  es gilt insbesondere $f_i(a_i)$, $f_i(b_i)\in\ol B$.  Da $n\ge2$
  ist, finden wir einen Weg $g_i$ in $\ol B$ von $f_i(a_i)$ nach
  $f_i(b_i)$, der $x$ vermeidet. Da $\ol B$ konvex ist (genauer:
  hom\"oomorph zu einer konvexen Menge ist), ist $f_i$ zu $g_i$ in
  $\ol B$ homotop. Wenden wir die entsprechenden Homotopien auf jedes
  der endlich vielen Intervalle an, die $f^{-1}(x)$ enthalten,
  erhalten wir einen zu $f$ homotopen geschlossenen Weg $g$, so dass
  $x\not\in g(I)$ gilt. Zusammen mit den obigen \"Uberlegungen folgt
  nun die Behauptung.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Sei $x\in\R^n$. Dann ist $\R^n\setminus\{x\}$ hom\"oomorph zu
  $\S^{n-1}\times\R$. Nach Proposition \ref{pi eins prod} ist also
  $\pi_1\left(\R^n\setminus\{x\}\right)
  \cong\pi_1\left(\S^{n-1}\times\R\right)
  \cong\pi_1\left(\S^{n-1}\right)\times\pi_1(\R)
  \cong\pi_1\left(\S^{n-1}\right)$. Diese Gruppe ist also isomorph zu
  $\Z$ f\"ur $n=2$ und trivial f\"ur $n>2$.
\end{beispiel}

\begin{corollary}
  F\"ur $n\neq2$ ist der $\R^n$ nicht hom\"oomorph zu $\R^2$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f:\R^2\to\R^n$ ein Hom\"oomorphismus. Dann ist zun\"achst
  einmal $n\neq1$, da $\R^1\setminus\{0\}$ nicht wegzusammenh\"angend,
  $\R^2\setminus\{0\}$ aber wegzusammenh\"angend ist. (Das Argument
  funktioniert auch, wenn wir einen beliebigen anderen Punkt
  entfernen, etwa $f^{-1}(0)$ oder $f(0)$.)\par
  Ist $n>2$, so k\"onnen wir $\R^2\setminus\{0\}$ nicht von
  $\R^n\setminus\{f(0)\}$ anhand der Zusammenhangskomponenten
  unterscheiden, die Fundamentalgruppen
  $\pi_1\left(\R^n\setminus\{f(0)\}\right)$ und
  $\pi_1\left(\R^2\setminus\{0\}\right)$ sind aber nicht isomorph. Das
  ist unm\"oglich, wenn $f$ ein Hom\"oomorphismus ist.  Widerspruch.
\end{proof}
In der algebraischen Topologie zeigt man mit Hilfe von lokalen
Homologiegruppen dass es auch keine Ho\-m\"oo\-mor\-phis\-men zwischen
offenen Teilmengen des $\R^n$ und offenen Teilmengen des $\R^m$ gibt,
wenn $m\neq n$ ist.

Mit Hilfe von induzierten Homomorphismen k\"onnen wir Relationen auf
topologischen R\"aumen auf ihre Fundamentalgruppen \"ubertragen.  Wir
betrachten nun ein Beispiel hierf\"ur:
\begin{definition}[Retrakte]\label{retrakt def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Retrakt} von $X$, wenn es eine stetige
    Abbildung $r:X\to A$ (\emph{Retraktion}) gibt, so dass
    $r|_A=\eins_A$ ist.
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Deformationsretrakt} von $X$, wenn es
    eine stetige Familie $(f_t)_{t\in I}$ von stetigen Abbildungen
    $f_t:X\to X$ gibt, so dass $f_0=\eins_X$, $f_1(X)=A$ und
    $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle $t\in I$ gelten.  Genauer verlangt die
    (oben recht vage beschriebene) Stetigkeitsforderung, dass die
    Abbildung $X\times I\to X$ mit $(x,t)\mapsto f_t(x)$ stetig ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\partial B_1((-1,0))\cup\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt
    und ein Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.
  \item Die Menge $\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt, aber kein
    Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.\par
    Die Tatsache, dass es sich nicht um einen Deformationsretrakt
    handelt, sieht man mit Hilfe von Proposition \ref{fund gr
      retrakt}, da die Fundamentalgruppen von $\S^1$ und zwei in einem
    Punkt zusammengeklebten Kopien von $\S^1$ nicht \"ubereinstimmen
    (Vergleiche Kapitel \ref{van kampen sec}), was aber der Fall sein
    m\"usste, wenn es sich in beiden F\"allen um einen
    Deformationsretrakt handeln w\"urde.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{proposition}\label{fund gr retrakt}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$ und $x_0\in A$. Sei
  $i:A\hookrightarrow X$ die kanonische Inklusionsabbildung.  L\"asst
  sich $X$ auf $A$ retrahieren, so ist der Homomorphismus
  $i_*:\pi_1(A,x_0)\to\pi_1(X,x_0)$ injektiv. Ist $A$ ein
  Deformationsretrakt von $X$, dann ist $i_*$ sogar ein Isomorphismus.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $r:X\to A$ eine Retraktion, dann gilt $r\circ i=\eins_A$. Somit
  folgt $r_*\circ i_*={\eins_A}_*=\eins_{\pi_1(A,x_0)}$.  Daher ist
  $i_*$ injektiv.\par
  Ist $r_t:X\to X$ eine Familie von Abbildungen, die belegt, dass $A$
  ein Deformationsretrakt von $X$ ist, so gilt $r_0=\eins_X$,
  $r_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle $t\in I$ und $r_1(X)\subset A$.  Sei
  $f:I\to X$ ein geschlossener Weg (in $X$) mit $x_0\in A$ als
  Basispunkt, dann ist $r_t\circ f$ eine Homotopie von $f$ zu einem
  Weg in $A$. Somit ist $i_*$ auch surjektiv.
\end{proof}

\begin{remark}
  Wir sehen hieraus nochmals (siehe auch Korollar \ref{brouwer kein
    retrakt}), dass $\S^1$ kein Retrakt von $D^2$ ist, da die durch
  die Inklusionsabbildung induzierte Abbildung
  $\pi_1\left(\S^1\right)\to\pi_1\left(D^2\right)$ ein
  Hom\"oomorphismus von (bis auf Isomorphie) $\Z$ auf eine
  einelementige Gruppe ist, also nicht injektiv sein kann, wie es aber
  nach Proposition \ref{fund gr retrakt} im Falle eines Retraktes der
  Fall w\"are.
  % Das Verh\"altnis zwischen Retraktionen und Untergruppen ist
  % nach Prop. 1.17 (Hatcher) noch genauer beschrieben.
  % Man erh\"alt die Form eines semidirekten Produktes. 
  % Dies liegt daran, dass eine kurze exakte Sequenz splittet
  % und benutzt noch ein wenig Algebra. 
\end{remark}

\begin{definition}[Homotopie]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine \emph{Homotopie} ist eine Familie $(\phi_t)_{t\in I}$ von
    Abbildungen $\phi_t:X\to Y$, so dass die Abbildung $\Phi:X\times
    I\to Y$, definiert durch $\Phi(x,t):=\phi_t(x)$, stetig ist.
  \item Eine Homotopie $\phi_t:X\to Y$ hei\ss{}t \emph{relativ} zu
    einer Menge $A\subset X$, wenn $\phi_t(a)$ f\"ur beliebiges aber
    festes $a\in A$ unabh\"angig von $t\in A$ ist. (Einen Spezialfall
    davon haben wir bereits beim Deformationsretrakt kennengelernt.
    Dort hatten wir gefordert, dass $\phi_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gilt.)
  \item Zwei Abbildungen $f_0$, $f_1:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}en \emph{homotop}, wenn es eine Homotopie
    $(g_t)_{t\in I}$ mit $g_t:X\to Y$, $g_0=f_0$ und $g_1=f_1$
    gibt. Wir schreiben $f_0\simeq f_1$.  (Wir kennen diese Definition
    bereits im Spezialfall von homotopen Wegen.)
  \item Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}t \emph{Homotopie\"aquivalenz}, wenn es eine
    stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, so dass $f\circ g\simeq\eins_Y$
    und $g\circ f\simeq\eins_X$ gelten. (Einen Spezialfall davon haben
    wir beim Deformationsretrakt gesehen. (Eigentlich m\"usste man nun
    beim Definitionsbereich exakter sein.) Sei $f_t:X\to X$ eine
    Deformation mit $f_t|_A=\eins_A$, $r:=f_1$ und $i:A\hookrightarrow
    X$ die Inklusionsabbildung. Dann gilt $r\circ i=\eins_A$ und
    $i\circ r\simeq\eins_X$, wobei die zugeh\"orige Homotopie durch
    $f_t$ gegeben ist.)
  \item Zwei topologische R\"aume $X$ und $Y$ haben den gleichen
    \emph{Homotopietyp} oder sind bis auf Homotopie \"aquivalent oder
    sind \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es eine
    Homotopie\"aquivalenz zwischen ihnen gibt. Wir schreiben $X\simeq
    Y$.
  \item Sei $\phi_t:X\to Y$ eine Homotopie und seien $A\subset X$ und
    $B\subset Y$. Falls $\phi_t(A)\subset B$ f\"ur alle $t\in I$ gilt,
    so sprechen wir von einer Homotopie von Paaren
    $\phi_t:(X,A)\to(Y,B)$. Im Spezialfall, dass $A=\{x_0\}$ und
    $B=\{y_0\}$ gelten, sprechen wir von einer Homotopie von
    punktierten R\"aumen und schreiben $\phi_t:(X,x_0)\to(Y,y_0)$.
  \item Entsprechend hei\ss{}en punktierte R\"aume $(X,x_0)$ und
    $(Y,y_0)$ \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es stetige
    Abbildungen $\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ und $\psi:(Y,y_0)\to (X,x_0)$
    gibt, so dass $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$ und
    $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$ gelten, wobei \glqq$\simeq$\grqq{}
    sich auf Homotopien punktierter R\"aume bezieht. Die Abbildungen
    $\phi$ und $\psi$ hei\ss{}en dann \emph{Homotopieinverse}
    voneinander.  Wir schreiben $(X,x_0)\simeq(Y,y_0)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}\label{hom aequ iso rem}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\phi_t:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ eine Homotopie von punktierten
    R\"aumen, so gilt $(\phi_0)_*=(\phi_1)_*$.\par
    Es gilt n\"amlich (unter Verwendung von $\phi_t$ beim mittleren
    Gleichheitszeichen) $(\phi_0)_*[f]=[\phi_0\circ f] =[\phi_1\circ
    f]=(\phi_1)_*[f]$, wobei $f$ ein beliebiger geschlossener Weg mit
    Basispunkt $x_0\in X$ ist.
  \item\label{hom aequ iso rem ii} Seien $(X,x_0)$ und $(Y,y_0)$
    homotopie\"aquivalent verm\"oge der Abbildungen
    $\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ und $\psi:(Y,y_0)\to(X,x_0)$.  Dann folgt
    aus $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$, dass
    $\phi_*\circ\psi_*=(\phi\circ\psi)_*=\eins_*=\eins$ gilt, und aus
    $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$, dass $\psi_*\circ\phi_*=\eins$
    gilt. Somit sind $\phi_*$ und $\psi_*$ inverse Isomorphismen und
    es gilt $\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(Y,y_0)$.\par
    Dieses formale Argument zeigt nochmals, dass eine
    Deformationsretraktion einen Isomorphismus der Fundamentalgruppen
    induziert, da eine Deformationsretraktion von $X$ auf $A\subset X$
    die Homotopie\"aquivalenz $(X,x_0)\simeq(A,x_0)$ f\"ur einen
    beliebigen Punkt $x_0\in A$ liefert.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Bemerkung \ref{hom aequ iso rem} \eqref{hom aequ iso rem ii} wollen
wir noch als Proposition festhalten:
\begin{proposition}\label{hom aequ iso punkt prop}
  Die Fundamentalgruppen homotopie\"aquivalenter punktierter R\"aume
  sind isomorph.
\end{proposition}

Bei Fundamentalgruppen ist der Basispunkt in vielen F\"allen
unerheblich. Dies folgt aus dem folgenden Resultat.  Es
verallgemeinert Proposition \ref{hom aequ iso punkt prop} von
homotopie\"aquivalenten punktierten R\"aumen auf
homotopie\"aquivalente R\"aume.
\begin{proposition}\label{fund gr iso ohne x0}
  Sei $\phi:X\to Y$ eine Homotopie\"aquivalenz. Dann ist der
  induzierte Homomorphismus $\phi_*:\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,\phi(x_0))$
  f\"ur beliebiges $x_0\in X$ ein Isomorphismus.
\end{proposition}
F\"ur den Beweis wollen wir das folgende Resultat benutzen.
\begin{lemma}\label{fund gr versch lem}
  Sei $\phi_t:X\to Y$ eine Homotopie und $h(s):=\phi_s(x_0)$ der Weg,
  den man als Bild des Basispunktes $x_0\in X$ unter der Homotopie
  bekommt. Dann gilt $(\phi_0)_* =\beta_h\circ(\phi_1)_*$, wobei
  $\beta_h[f]:=\left[h\cdot f\cdot\ol h\right]$ in der Notation von
  Proposition \ref{fund gr x0 x1} definiert ist.  Das folgende
  Diagramm kommutiert also:
  $$\xymatrix{&\pi_1(Y,\phi_1(x_0))\ar[dd]^{\beta_h}\\
    \pi_1(X,x_0)\ar[ur]^{(\phi_1)_*}\ar[dr]_{(\phi_0)_*}&\\
    &\pi_1(Y,\phi_0(x_0)).}$$
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $h_t$ die Einschr\"ankung von $h$ auf das Intervall $[0,t]$ mit
  einer Umparametrisierung, so dass der Definitionsbereich wieder $I$
  wird, genauer: $h_t(s):=h(ts)$. Ist nun $f$ eine geschlossene Kurve
  in $X$ mit Basispunkt $x_0$, so ist $h_t\cdot(\phi_t\circ f)\cdot\ol
  h_t$ eine Homotopie von Wegen mit Basispunkt $\phi_0(x_0)$. Wir
  betrachten diese Homotopie an den Endpunkten $t=0$ und $t=1$ und
  erhalten $(\phi_0)_*([f])=[\phi_0\circ f]
  =\left[h_1\cdot(\phi_1\circ f)\cdot\ol h_1\right]
  =\beta_{h_1}[\phi_1\circ f]=\beta_h((\phi_1)_*([f]))$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{fund gr iso ohne x0}]
  Sei $\psi:Y\to X$ eine Homotopie-Inverse zu $\phi$, \dh eine
  Abbildung mit $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$ und
  $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$.  Wir betrachten die Abbildungen
  $$\xymatrix{\pi_1(X,x_0)\ar[r]^-{\phi_*}&
    \pi_1(Y,\phi(x_0))\ar[r]^-{\psi_*}&
    \pi_1(X,\psi\circ\phi(x_0))\ar[r]^-{\phi_*}&
    \pi_1(Y,\phi\circ\psi\circ\phi(x_0)).}$$ Die Verkn\"upfung der
  ersten beiden Abbildungen ist ein Isomorphismus, denn aus
  $\psi\circ\phi\simeq\eins$ folgt nach Lemma \ref{fund gr versch
    lem}, dass $\psi_*\circ\phi_*=\beta_h$ f\"ur einen Weg $h$ in $X$
  gilt. Da $\psi_*\circ\phi_*=\beta_h$ nach Proposition \ref{fund gr
    x0 x1} ein Isomorphismus ist, ist $\phi_*$ insbesondere
  injektiv. Wenden wir dasselbe Argument auf die zweite und die dritte
  Abbildung an, so folgt, dass $\psi_*$ injektiv ist. (Beachte aber,
  dass die Notation $\phi_*$ f\"ur die dritte Abbildung zwar korrekt
  ist, dies aber nicht dieselbe Abbildung wie die erste ist, da sich
  der Basispunkt gegen\"uber der ersten Abbildung ge\"andert hat.)
  Nun sind die ersten beiden Abbildungen im obigen Diagramm injektiv
  und ihre Verkn\"upfung ist ein Isomorphismus. Daher muss $\phi_*$
  auch surjektiv sein.  Es folgt, dass $\phi_*$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\section{Das van Kampen Theorem}\label{van kampen sec}
K\"onnen wir einen topologischen Raum in geeigneter Weise in
Teilr\"aume zerlegen, deren Fundamentalgruppen wir kennen, so gibt das
van Kampen Theorem eine M\"oglichkeit, die Fundamentalgruppe zu
bestimmen.

\subsection{Freie Produkte von Gruppen}
Wie wir in Beispiel \ref{seil bsp} bereits erw\"ahnt haben, hat
$\S^1\vee\S^1$, definiert als die disjunkte topologische Summe von
zwei $\S^1$-en, wobei wir einen Punkt auf der ersten $\S^1$ mit einem
Punkt auf der zweiten $\S^1$ identifizieren ($\S^1\vee\S^1$ ist also
hom\"oomorph zur Figur \glqq$8$\grqq), als Fundamentalgruppe die freie
Gruppe, die von zwei Elementen erzeugt wird.

Die universelle Eigenschaft aus Lemma \ref{freie forts lem} hat andere
Pfeile als die der Produkttopologie. Daher w\"are es algebraisch
korrekter, von einem Koprodukt von Gruppen zu sprechen.

\begin{definition}[Freie Gruppe]
  Sei $(G_\alpha)_\alpha$ eine Familie von Gruppen. Definiere
  $*_\alpha G_\alpha$, das freie Produkt der Gruppen $G_\alpha$, wie
  folgt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Wort aus Elementen der Gruppen $G_\alpha$ ist eine
    endliche Folge $g_1g_2g_3\cdots g_m$ von Elementen, genannt
    Buchstaben, wobei $g_i\in G_{\alpha_i}$ f\"ur alle $1\le i\le m$
    gilt und $\alpha_i$ geeignete Indizes sind.
  \item Auf Worten definieren wir eine Verkn\"upfung $\circ$ durch
    $$(g_1\cdots g_m)\circ(h_1\cdots h_n):=g_1\cdots g_mh_1\cdots h_n.$$
  \item Wir definieren das Inverse eines Wortes $g_1\cdots g_m$ als
    $g_m^{-1}\cdots g_1^{-1}$.
  \item Wir bezeichnen das leere Wort mit $e$.
  \item Mit diesen Definitionen bilden die Worte keine Gruppe.
  \item Ein reduziertes Wort ist definiert als ein Wort $g_1\cdots
    g_m$ ohne Einselemente, in dem benachbarte Buchstaben $g_i$ und
    $g_{i+1}$ von verschiedenen Gruppen her kommen: $g_i\in
    G_{\alpha_i}$ und $g_{i+1}\in G_{\alpha_{i+1}}$ \impliziert
    $\alpha_i\neq\alpha_{i+1}$. Wir erhalten aus einem Wort ein
    reduziertes Wort, indem wir benachbarte Elemente $g_i$ und
    $g_{i+1}$, die zur selben Gruppe $G_\alpha$ geh\"oren, durch deren
    Produkt in $G_\alpha$ ersetzen. Weiterhin lassen wir die Eins
    einer Gruppe und aufeinanderfolgende Buchstaben der Form $gg^{-1}$
    ganz weg. Beachte insbesondere, dass das Produkt reduzierter
    W\"orter im Allgemeinen nicht reduziert ist.
  \item Man rechnet nach, z.\,B.\ in einer Algebravorlesung, dass die
    reduzierten Worte eine Gruppe bilden, die \emph{freie Gruppe} der
    Gruppen $G_\alpha$.\par
    Nachzuweisen ist insbesondere:
    \begin{itemize}
    \item Assoziativit\"at.
    \item Fassen wir Worte, die durch Reduktion auseinander
      hervorgehen als \"aquivalent auf (ebenso, wenn mehrere solche
      Schritte dazwischenliegen), so liegt in jeder \"Aquivalenzklasse
      genau ein reduziertes Wort.
    \end{itemize}
  \item Die Gruppe $G_\beta$ ist in $*_\alpha G_\alpha$ kanonisch als
    Untergruppe enthalten. $G_\beta$ ist isomorph zu den
    einbuchstabigen Worten der Form $g$ in $*_\alpha G_\alpha$, f\"ur
    die $g\in G_\beta$ gilt.
  \item Wir schreiben $\Z*\Z$ f\"ur das freie Produkt von zwei Kopien
    von $\Z$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}\label{freie forts lem}
  Sei $(G_\alpha)_\alpha$ eine Familie von Gruppen und sei $H$ eine
  Gruppe. Seien $\phi_\alpha:G_\alpha\to H$ Gruppenhomomorphismen.
  Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus
  $\phi:*_\alpha G_\alpha\to H$, der $\phi_\alpha$ f\"ur alle
  Untergruppen $G_\alpha\subset *_\alpha G_\alpha$ fortsetzt.  Dieser
  ist gegeben durch
  $$\phi(g_1\cdots g_n):=\phi_{\alpha_1}(g_1)\cdots
  \phi_{\alpha_n}(g_n),$$ wenn die Indices $\alpha_i$ so gew\"ahlt
  sind, dass $g_i\in G_{\alpha_i}$ gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Beachte insbesondere, dass $\phi$ auf gek\"urzten und \"aquivalenten
  ungek\"urzten W\"ortern denselben Wert ergibt. Vergleiche eine
  Algebravorlesung f\"ur Details.
\end{proof}

\subsection{Das van Kampen Theorem}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $x_0\in X$. Seien $A_\alpha$
wegzusammenh\"angende Mengen, die $X$ \"uberdecken, \dh
$\bigcup\limits_\alpha A_\alpha=X$ erf\"ullen, und die alle $x_0$
enthalten, also $x_0\in A_\alpha$ f\"ur alle $\alpha$ erf\"ullen. Die
Inklusionen $A_\alpha\hookrightarrow X$ induzieren Homomorphismen
$j_\alpha:\pi_1(A_\alpha)\to \pi_1(X)$. Nach Lemma \ref{freie forts
  lem} lassen sich diese Homomorphismen zu einem Homomorphismus
$\Phi:*_\alpha\pi_1(A_\alpha)\to\pi_1(X)$ erweitern.  Nach dem van
Kampen Theorem ist $\Phi$ oft surjektiv.
\par
Im Allgemeinen k\"onnen wir nicht erwarten, dass $\Phi$ auch injektiv
ist. Bezeichnen wir n\"amlich mit $i_{\alpha\beta}:\pi_1(A_\alpha\cap
A_\beta)\to\pi_1(A_\alpha)$ den durch die Inklusion $A_\alpha\cap
A_\beta\hookrightarrow A_\alpha$ induzierten Homomorphismus, so gilt
$j_\alpha\circ i_{\alpha\beta}=j_\beta\circ i_{\beta\alpha}$, denn
beide Verkettungen sind durch die Inklusion $A_\alpha\cap
A_\beta\hookrightarrow X$ induziert.
$$\xymatrix{&\pi_1(A_\alpha)\ar[rd]^{j_\alpha}&\\
  \pi_1(A_\alpha\cap A_\beta)\ar[rr]\ar[ur]^{i_{\alpha\beta}}
  \ar[dr]_{i_{\beta\alpha}}& &\pi_1(X)\\
  &\pi_1(A_\beta)\ar[ur]_{j_\beta}&}$$ Somit enh\"alt der Kern von
$\Phi$ mindestens alle Elemente der Form
$i_{\alpha\beta}(\omega)(i_{\beta\alpha}(\omega))^{-1}$ f\"ur
$\omega\in\pi_1(A_\alpha\cap A_\beta)$, denn nach Definition von
$\Phi$ werden diese unter $\Phi$ auf
$$(j_\alpha i_{\alpha\beta}(\omega))\left(j_\beta i_{\beta\alpha}
  (\omega)^{-1}\right)=(j_\alpha i_{\alpha\beta}(\omega)) (j_\beta
i_{\beta\alpha}(\omega))^{-1}=1$$ abgebildet. Das Theorem von van
Kampen (oder Seifert-van Kampen) gibt nun insbesondere Bedingungen an,
unter denen diese Elemente bereits den Kern erzeugen.
\begin{theorem}[van Kampen]
  Sei $X$ die Vereinigung von offenen
  weg\-zu\-sam\-men\-h\"an\-gen\-den Mengen $A_\alpha$, die jeweils
  den Basispunkt $x_0\in X$ enthalten. Ist jeder Schnitt der Form
  $A_\alpha\cap A_\beta$ wegzusammenh\"angend, so ist der
  Homomorphismus $\Phi:*_\alpha\pi_1(A_\alpha)\to\pi_1(X)$
  surjektiv. Ist zus\"atzlich noch jeder Schnitt der Form
  $A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma$ wegzusammenh\"angend, dann ist
  der Kern von $\Phi$ gerade die normale Untergruppe $N$, die von
  allen Elementen der Form $i_{\alpha\beta}(\omega)
  i_{\beta\alpha}(\omega)^{-1}$ mit $\omega\in\pi_1(A_\alpha\cap
  A_\beta)$ erzeugt wird. Somit induziert $\Phi$ in diesem Fall einen
  Isomorphismus $\pi_1(X)\cong*_\alpha\pi_1(A_\alpha)/N$.
\end{theorem}
Als Homomorphismus muss $\Phi$ ein Normalteiler als Kern haben. Auf
den angegebenen Elementen verschwindet $\Phi$, somit auch auf dem
kleinsten Normalteiler, der diese Elemente enth\"alt. Der kleinste
Normalteiler ist wohldefiniert, da der Schnitt zweier Normalteiler
wieder ein Normalteiler ist.
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst zeigen wir, dass $\Phi$ surjektiv ist. Sei dazu $f:I\to
  X$ ein geschlossener Weg mit Basispunkt $x_0$. Dann gibt es Zahlen
  $s_i$ mit $0=s_0<s_1<\ldots<s_m=1$, so dass jedes Intervall
  $[s_i,s_{i+1}]\subset I$ unter $f$ in eine einzige Menge $A_\alpha$
  abgebildet wird. Solch eine Partition existiert, denn da $f$ stetig
  ist, gibt es f\"ur jeden Punkt $s\in I$ eine offene Umgebung, ohne
  Einschr\"ankung ein offenes Intervall $V_s$ , das in ein $A_\alpha$
  abgebildet wird. Durch Verkleinern der Intervalle k\"onnen wir ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass auch noch die Abschl\"usse jeweils in
  eine Menge $A_\alpha$ abgebildet werden. Aufgrund der Kompaktheit
  \"uberdecken nun bereits endlich viele dieser (in $I$ relativ)
  offenen Intervalle ganz $I$. Als Zahlen $s_i$ kann man nun gerade
  die Endpunkte dieser Intervalle nehmen.
  \par
  Wir bezeichnen nun die Menge $A_\alpha$, die $f([s_{i-1},s_i])$
  enth\"alt, mit $A_i$. Definiere $f_i:=f|_{[s_{i-1},s_i]}$. Dann gilt
  $f=f_1\cdots f_m$, wobei $f_i$ ein Weg in $A_i$ ist. Nun sind nach
  Voraussetzung die Mengen $A_i\cap A_{i+1}$ jeweils
  wegzusammenh\"angend und enthalten den Basispunkt $x_0$.  Wir
  k\"onnen daher Wege $g_i$ von $x_0$ nach $f(s_i)\in A_i\cap A_{i+1}$
  in $A_i\cap A_{i+1}$ w\"ahlen. Dann ist der Weg
  $$(f_1\cdot\ol g_1)\cdot(g_1\cdot f_2\cdot\ol g_2)\cdot
  (g_2\cdot f_3\cdot\ol g_3)\cdots(g_{m-1}\cdot f_m)$$ homotop zu
  $f$. Er ist aber auch eine Hintereinanderausf\"uhrung von Wegen, die
  jeweils in einer einzigen Menge $A_i$ liegen, wie die Klammern
  andeuten. Daher ist $[f]\in\im\Phi$, $\Phi$ ist also surjektiv.
  \par
  Der komplizierte Teil des Beweises ist nun, dass $\ker\Phi=N$ gilt,
  falls alle Mengen der Form $A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma$
  wegzusammenh\"angend sind. Daf\"ur f\"uhren wir zun\"achst noch
  folgende Bezeichnung ein. Eine \emph{Faktorisierung} eines Elementes
  $[f]\in\pi_1(X)$ ist ein formales Produkt $[f_1]\cdots[f_k]$, wobei
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item jedes $f_i$ ein geschlossener Weg in einer Menge $A_\alpha$
    mit Basispunkt $x_0$ und $[f_i]\in\pi_1(A_\alpha)$ die
    Homotopieklasse von $f_i$ ist.
  \item der Weg $f$ zu $f_1\cdots f_k$ in $X$ homotop ist.
  \end{enumerate}
  (Dabei kommt es nat\"urlich insbesondere nicht darauf an, welchen
  Repr\"asentanten $f_i$ wir w\"ahlen, um eine Homotopieklasse $[f_i]$
  zu beschreiben; wir k\"onnten auch einen zu $f_i$ homotopen Weg
  verwenden.)
  \par
  Eine Faktorisierung von $[f]$ ist also ein (m\"oglicherweise nicht
  reduziertes) Wort in $*_\alpha\pi_1(A_\alpha)$, das unter $\Phi$ auf
  $[f]$ abgebildet wird. Wie wir beim Beweis der Surjektivit\"at
  gesehen haben, besitzt jedes $[f]\in\pi_1(X)$ eine Faktorisierung.
  \par
  Wir untersuchen nun die Eindeutigkeit einer Faktorisierung. Dazu
  nennen wir zwei Faktorisierungen von $[f]\in\pi_1(X)$ \"aquivalent,
  wenn sie durch eine endliche Folge der folgenden beiden Operationen
  oder ihrer Inversen auseinander hervorgehen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Kombiniere aufeinanderfolgende Ausdr\"ucke $[f_i][f_{i+1}]$ in
    einen einzigen Ausdruck $[f_i\cdot f_{i+1}]$, wenn $[f_i]$ und
    $[f_{i+1}]$ in derselben Gruppe $\pi_1(A_\alpha)$ liegen.
  \item Betrachte den Ausdruck $[f_i]\in\pi_1(A_\alpha)$ als einen
    Ausdruck in der Gruppe $\pi_1(A_\beta)$ statt in
    $\pi_1(A_\alpha)$, falls $f_i$ ein geschlossener Weg in
    $A_\alpha\cap A_\beta$ ist.
  \end{enumerate}
  Die erste Operation \"andert das durch die Faktorisierung in
  $*_\alpha\pi_1(A_\alpha)$ definierte Element nicht. Nach Definition
  von $N$ \"andert die zweite Operation nicht das Bild dieses
  Elementes in der Quotientengruppe $Q:=*_\alpha\pi_1(A_\alpha)/N$.
  Somit ergeben \"aquivalente Faktorisierungen dasselbe Element in
  $Q$.
  \par
  Nun fehlt nur noch der Nachweis, dass je zwei Faktorisierungen einer
  Homotopieklasse $[f]$ \"aquivalent sind. Dann folgt n\"amlich, dass
  die von $\Phi:*_\alpha\pi_1(A_\alpha)\to\pi_1(X)$ induzierte
  Abbildung $Q\to\pi_1(X)$ injektiv ist. Dann ist $\ker\Phi=N$ und das
  Theorem folgt.
  \par
  Seien also $[f_1]\cdots[f_k]$ und $[f_1']\cdots[f_l']$ zwei
  Faktorisierungen von $[f]$. Dann sind die Wege $f_1\cdots f_k$ und
  $f_1'\cdots f_l'$ homotop. Sei also $F:I\times I\to X$ eine
  Homotopie von $f_1\cdots f_k$ nach $f_1'\cdots f_l'$. \"Ahnlich wie
  beim Beweis der Surjektivit\"at d\"urfen wir annehmen (verwende nun
  Mengen der Form $[a,b]\times[c,d]\subset I\times I$ statt
  Intervallen), dass Zahlen $s_i$ und $t_j$ existieren mit
  $0=s_0<s_1<\ldots<s_m=1$ und $0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1$, so dass jedes
  der Rechtecke $R_{ij}:=[s_{i-1},s_i]\times[t_{j-1},t_j]$ in eine
  einzige Menge $A_\alpha$ abgebildet wird. Wir wollen diese Menge mit
  $A_{ij}$ bezeichnen. Wir d\"urfen annehmen, dass die
  $s$-Unterteilung die Hintereinanderausf\"uhrungen $f_1\cdots f_k$
  und $f_1'\cdots f_l'$ liefert. Da $F$ auch eine Umgebung von
  $R_{ij}$ in $A_{ij}$ abbildet, k\"onnen wir bei den Rechtecken, die
  nicht zu $t=0$ oder $t=1$ geh\"oren, die durch die $s$-Koordinate
  definierten Begrenzungen so verschieben, dass jeder Punkt in
  $I\times I$ zu h\"ochstens drei der abgeschlossenen Rechtecke
  geh\"ort. Dabei nehmen wir ohne Einschr\"ankung an, dass $n\ge4$
  f\"ur den Index bei $t_n$ gilt. Wir wollen die Rechtecksgrenzen so
  verschieben, dass weiterhin ein Rechteck $R_{ij}$ in eine Menge
  $A_{ij}$ abgebildet wird. Die Eigenschaft, dass kein Punkt zu mehr
  als drei Rechtecken geh\"oren soll, korrespondiert zu der
  Schnittbedingung mit $A_\alpha\cap A_\beta\cap A_\gamma$, die auch
  drei Mengen beinhaltet. Wir nummerieren die Rechtecke wie folgt neu
  durch (horizontal $\leftrightarrow s$, vertikal $\leftrightarrow t$)
  $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
    R_{m(n-1)+1}&R_{m(n-1)+2}&\cdots&R_{mn}\\\hline
    \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\hline
    R_1&R_2&\cdots&R_m\\\hline
  \end{array}.$$ 
  Ist nun $\gamma$ ein Weg in $I\times I$ von ganz links ($s=0$) 
  nach ganz rechts ($s=1$) (vergleiche das Bild), dann ist 
  $F\circ\gamma$ ein
  geschlossener Weg mit Basispunkt $x_0$, da $F(\{0\}\times I)
  =F(\{1\}\times I)=\{x_0\}$ gilt.
  \par 
  W\"ahle nun (im Wesentlichen eindeutig bestimmte) Wege $\gamma_r$,
  die die ersten $r$ Rechtecke $R_1$, \ldots, $R_r$ von den \"ubrigen
  Rechtecken trennen. Wir k\"onnen diese Wege so w\"ahlen, dass wir
  von $\gamma_r$ zu $\gamma_{r+1}$ kommen, indem wir den Weg
  $\gamma_r$ in $R_{r+1}$ modifizieren, ihn also \glqq \"uber
  $R_{r+1}$ hin\"uberziehen\grqq. Dann ist $\gamma_0$ ein Weg entlang
  der unteren Kante und $\gamma_{mn}$ ein Weg entlang der oberen
  Kante.
  \par
  Die Ecken der Dreiecke $R_r$ nennen wir Knoten. W\"ahle f\"ur jeden
  Knoten $\nu$ mit $F(\nu)\neq x_0$ einen Weg $g_\nu$ von $x_0$ nach
  $F(\nu)$. Da wir angenommen haben, dass der Schnitt von jeweils drei
  Mengen der Form $A_\alpha$, also $A_\alpha\cap A_\beta\cap
  A_\gamma$, wegzusammenh\"angend ist und da jeder Knoten nach
  Konstruktion in h\"ochstens drei Rechtecken liegt, k\"onnen wir den
  Weg $g_\nu$ so w\"ahlen, dass er im Schnitt der Mengen $A_{ij}$
  liegt, in die die Rechtecke in denen $\nu$ enthalten ist, unter $F$
  abgebildet werden.\par
  Wenn wir nun in $F\circ\gamma_r$ an den jeweils den Knoten
  entsprechenden Stellen \"ahnlich wie beim Beweis der Surjektivit\"at
  Wege der Form $\ol g_\nu g_\nu$ einf\"ugen, so erhalten wir eine
  Faktorisierung der Homotopieklasse $[F\circ\gamma_r]$. Dabei fassen
  wir die Teile des Weges, die einem Entlanglaufen an einer
  gemeinsamen Kante von Rechtecken entsprechen, als Wege in einer
  beliebigen der entsprechenden Mengen $A_{ij}$ auf. W\"ahlen wir hier
  andere Mengen, so erhalten wir eine zur gew\"ahlten Faktorisierung
  $[F\circ\gamma_r]$ \"aquivalente Faktorisierung.
  \par
  Nach Wahl der Rechtecke sind nun die Faktorisierungen, die wir zu
  $[F\circ\gamma_r]$ und $[F\circ\gamma_{r+1}]$ erhalten,
  \"aquivalent, denn sie unterscheiden sich (wenn wir oben jeweils
  geeignete Mengen $A_{ij}$ gew\"ahlt haben) nur durch eine Homotopie
  in einer entsprechenden Menge $A_{ij}$: Dazu d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass wir die von den Kanten des
  zugeh\"origen Rechtecks induzierten Wege alle als Wege in ein und
  demselben $A_{ij}$ auffassen. Dann ist die Homotopie in $A_{ij}$
  gegeben durch $F\circ\gamma^r_t$, wobei $\gamma^r_t$ gerade den Teil
  des Weges $\gamma_r$, der links und unten an $R_{r+1}$
  entlangf\"uhrt, in $R_{r+1}$ zu einem Weg homotopiert, der oben und
  rechts an $R_{r+1}$ entlangf\"uhrt, also gerade eine Homotopie von
  $\gamma_r$ zu $\gamma_{r+1}$ auf dem Teil ist, auf dem sich diese
  beiden Wege unterscheiden.
  \par
  Wir wollen nun einsehen, dass die Faktorisierung zu $\gamma_0$
  \"aquivalent zur gegebenen Faktorisierung $[f_1]\cdots[f_k]$
  ist. Dies beendet den Beweis, da dann $[f_1]\cdots[f_k]$ induktiv
  \"aquivalent zu den Faktorisierungen zu $[F\circ\gamma_0]$,
  $[F\circ\gamma_1]$, \ldots, $[F\circ\gamma_{mn}]$ ist. Analog zur
  noch ausstehenden Behauptung ist dann auch $[F\circ\gamma_{mn}]$
  \"aquivalent zur Faktorisierung $[f_1']\cdots[f_l']$. Somit sind
  dann auch $[f_1]\cdots[f_k]$ und $[f_1']\cdots[f_l']$ \"aquivalent.
  \par
  Um zu sehen, dass $[f_1]\cdots[f_k]$ und die zu $[F\circ\gamma_0]$
  geh\"orende Faktorisierung \"aquivalent sind, unterscheiden wir zwei
  F\"alle. Geh\"ort ein Knoten $\nu$ in der unteren Kante zu einem
  Endpunkt eines Weges $f_i$, so gilt $F(\nu)=x_0$ und wir brauchen an
  dieser Stelle \"uberhaupt keinen Weg der Form $\ol g_\nu g_\nu$
  einzuschieben. (Das Ergebnis w\"are ohnehin eine zur gegebenen
  Faktorisierung \"aquivalente Faktorisierung.)  F\"ur die anderen
  Knoten $\nu$ in der unteren Kante benutzen wir nochmals die
  Bedingung \"uber dreifache Schnitte und w\"ahlen einen Weg $g_\nu$,
  den wir als $\ol g_\nu g_\nu$ einschieben, der nicht nur in den
  Mengen $A_{ij}$ enthalten ist, die zu den Rechtecken geh\"oren, in
  denen $\nu$ liegt, sondern der auch in der Menge $A_i$ liegt, die zu
  dem Teilst\"uck $[f_i]$ geh\"ort, zu dem $\nu$ geh\"ort. Dies
  beendet den Beweis.
\end{proof}

\begin{definition}[Einpunktvereinigung]
  Seien $(X_i,x_i)_{i\in I}$ punktierte topologische R\"aume, \dh
  topologische R\"aume $X_i$ mit einem ausgezeichneten Punkt $x_i\in
  X_i$.  Dann definieren wir ihre \emph{Einpunktvereinigung} durch
  $$\bigvee\limits_{i\in I}X_i:=\bigcup\limits_{i\in I}X_i/
  \bigcup\limits_{i\in I}\{x_i\}\equiv\coprod\limits_{i\in I}X_i/
  \coprod\limits_{i\in I}\{x_i\},$$ also als disjunkte Vereinigung,
  die in den ausgezeichneten Punkten zusammengeklebt ist. Wir
  schreiben auch beispielsweise $\S^1\vee\S^1$, wenn der
  ausgezeichnete Punkt irrelevant ist.

  Die Einpunktvereinigung wird auch Bouquet, Wedgeprodukt oder
  Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen R\"aume
  genannt.
\end{definition}

\begin{example}[Einpunktvereinigung]
  Seien $(X_\alpha,x_\alpha)_\alpha$ punktierte topologische
  R\"au\-me, so dass $x_\alpha\in X_\alpha$ eine offene Umgebung
  $U_\alpha\subset X_\alpha$ besitzt, so dass $\{x_\alpha\}$
  Deformationsretrakt von $U_\alpha$ ist.  Dann ist $X_\alpha$
  Deformationsretrakt der offenen Umgebung
  $A_\alpha:=X_\alpha\vee\bigvee\limits_{\beta\neq\alpha}U_\beta$.
  (Beachte dazu, dass die aus den einzelnen Homotopien
  zusammengesetzte Homotopie nach Definition \ref{def final top}
  stetig ist.) Der Schnitt von zwei oder mehr verschiedenen Mengen
  $A_\alpha$ ist $\bigvee\limits_\alpha U_\alpha$, was einen Punkt als
  Deformationsrektrakt besitzt. Daher ist nach dem Theorem von van
  Kampen die Abbildung $\Phi:*_\alpha\pi_1(X_\alpha)\to\pi_1\left(
    \bigvee\limits_\alpha X_\alpha\right)$ ein Isomorphismus.
  \par
  Insbesondere ist f\"ur $\bigvee\limits_\alpha\S^1$, die
  Einpunktvereinigung von Kreisen, $\pi_1\left(\bigvee
    \limits_\alpha\S^1\right)$ isomorph zum freien Produkt von
  (entsprechend vielen) Kopien von $\Z$.  Beispielsweise gilt
  $\pi_1\left(\S^1\vee\S^1\right)\cong \Z*\Z$.
  \par
  In moderner algebraischer Sprache induziert also das Koprodukt von
  punktierten topologischen R\"aumen (mit deformationsretrahierbaren
  offenen Umgebungen der Basispunkte) einen Isomorphismus der
  Fundamentalgruppen in das Koprodukt dieser Gruppen.
\end{example}

Es gilt der allgemeine Satz, dass die Fundamentalgruppen von Graphen
freie Gruppen sind, siehe \cite[Proposition 1.A.2, S. 84]{Hatcher}.
Wir behandeln hier nur ein Beispiel.
\begin{example}
  Wir wollen die Fundamentalgruppe des Graphen $X$ berechnen, der aus
  den zw\"olf Kanten des Einheitsw\"urfels $[0,1]^3\in\R^3$
  besteht. \par
  Es gibt einen einfach zusammenh\"angenden Teilgraphen $T$ aus sieben
  Kanten, der alle Knoten enth\"alt. Dann ist $\pi_1(X)\cong
  \bigvee\limits_{i=1}^5\Z$, wobei f\"unf auch gerade die Anzahl der
  Kanten ist, die nicht in $T$ enthalten sind. Definiere zu jeder
  Kante $e_\alpha\not\in T$ eine offene Umgebung $A_\alpha$ in $X$,
  die $e_\alpha\cup T$ als Deformationsretrakt enth\"alt. Der Schnitt
  von mindestens zwei solcher Mengen besitzt $T$ als
  Deformationsretrakt, ist also einfach zusammenh\"angend.  Es gilt
  $X=\bigcup\limits_{\alpha=1}^5A_\alpha$. Auf diese Mengen ist das
  Theorem von van Kampen anwendbar und da alle Schnitte von
  verschiedenen Mengen $A_\alpha$ einfach zusammenh\"angend sind,
  tritt kein Kern auf, es gilt
  $$\pi_1(X)\cong*_{\alpha=1}^5\pi_1(A_\alpha)\cong*_{\alpha=1}^5
  \pi_1\left(\S^1\right)\cong\Z*\Z*\Z*\Z*\Z.$$ Die Fundamentalgruppe
  ist von geschlossenen Wegen erzeugt, die in $T$ verlaufen und genau
  eine Kante $e_\alpha$ einmal monoton durchlaufen, die nicht in $T$
  enthalten ist.
\end{example}

\begin{example}[Verschlingungen]\label{verschlingen bsp}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $A$ eine in $\R^3$ eingebettete $\S^1$,
    $\S^1\ni(x,y)\mapsto(x,y,0)$. Dann ist $\S^2\vee\S^1$
    Deformationsretrakt von $\R^3\setminus A$.  (Deformiere alternativ
    das Komplement auf eine $\S^2$ mit einem Durchmesser des
    \"Aquators. Das Ergebnis ist dann homotopie\"aquivalent zu
    $\S^2\vee\S^1$. Dies sieht man beispielsweise, indem man an die
    Wege vom ausgezeichneten Punkt zu den Endpunkten des Durchmessers
    Streifen einklebt und beobachtet, dass die beiden betrachteten
    R\"aume jeweils Deformationsretrakte hiervon sind.) Also gilt
    $\pi_1\left(\R^3\setminus
      A\right)\cong\pi_1\left(\S^1\vee\S^2\right)
    \cong\pi_1\left(\S^1\right)*\pi_1\left(\S^2\right)
    \cong\Z*\{1\}\cong\Z$.
  \item Seien $A$ und $B$ zwei unverschlungen in den $\R^3$
    eingebettete $\S^1$-en. Unverschlungen sind diese beiden
    eingebetteten $\S^1$-en beispielsweise, wenn sie beide Radius
    eins und Abstand zehn haben, $\S^1_A\ni(x,y)\mapsto(x+6,y,0)$,
    $\S^1_B\ni(x,y)\mapsto (x-6,y,0)$. Dann folgt
    \begin{align*}
      \pi_1\left(\R^3\setminus(A\cup B)\right)\cong&\,
      \pi_1\left(\S^2\vee\S^1\vee\S^2\vee\S^1\right)\\
      \cong&\,\pi_1\left(\S^2\right)*\pi_1\left(\S^1\right)*
      \pi_1\left(\S^2\right)*\pi_1\left(\S^1\right)\\
      \cong&\,\{1\}*\Z*\{1\}*\Z\\
      \cong&\,\Z*\Z.
    \end{align*}
  \item Seien $A$ und $B$ nun zwei verschlungen in den $\R^3$
    eingebettete $\S^1$-en, beispielsweise mittels
    $\theta\mapsto(\sin\theta,\cos\theta,0)$ und
    $\theta\mapsto(1+\sin\theta,0,\cos\theta)$, wobei
    $\theta\in\R/2\pi\Z$ ist.  Dann ist
    $\left(\S^1\times\S^1\right)\vee\S^2\equiv\mathbb T^2\vee\S^2$ ein
    Deformationsretrakt von $\R^3\setminus(A\cup B)$, wobei der Torus
    der Rand eines Volltorusses um eine eingebettete $\S^1$ ist.  Wir
    erhalten
    \begin{align*}
      \pi_1\left(\R^3\setminus(A\cup B)\right)\cong&\,
      \pi_1\left(\left(\S^1\times\S^1\right)\vee\S^2\right)\\
      \cong&\,\pi_1\left(\S^1\times\S^1\right)*\pi_1\left(\S^2\right)\\
      \cong&\,\pi_1\left(\S^1\right)\times\pi_1\left(\S^1\right)\\
      \cong&\,\Z\times\Z.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  Da (vergleiche eine Algebravorlesung) $\Z*\Z$ nicht abelsch ist,
  aber $\Z\times\Z$ abelsch ist, gibt es keinen Hom\"oomorphismus des
  $\R^3$ der die unverschlungen und die verschlungen eingebetteten
  $\S^1$-en ineinander \"uberf\"uhrt, da ein Hom\"oomorphismus die
  Homotopiegruppen der Komplemente invariant l\"asst.\par
  Eigentlich sind wir aber nicht daran interessiert, auch noch den
  umgebenden Raum zu deformieren. Dies spielt aber zumindest im
  glatten Fall keine Rolle, da sich glatte Deformationen glatter
  Kurven leicht zu stetigen Deformationen des umgebenden Raumes
  fortsetzen lassen: Um eine glatte Kurve gibt es eine
  Tubenumgebung. Auf diese l\"asst sich eine kleine Deformation der
  Kurve leicht fortsetzen. Au\ss{}erhalb der Tubenumgebung deformieren
  wir nichts. Die Hintereinanderausf\"uhrung solcher Deformationen des
  umgebenden Raumes ist dann die gesuchte Deformation.
\end{example}

\begin{definition}[Abbildungszylinder]
  Sei $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen
  R\"aumen. Dann ist der \emph{Abbildungszylinder} $M_f$ als $(X\times
  I)\coprod Y/\!\!\sim$ definiert, wobei $\sim$ die durch $X\times
  I\ni(x,1)\sim f(x)\in Y$ induzierte \"Aquivalenzrelation ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Der Abbildungszylinder $M_f$ besitzt $Y$ als Deformationsretrakt, da
  wir das Segment $\{x\}\times I\subset M_f$ auf $f(x)$ schieben
  k\"onnen.
\end{remark}

\begin{example}[Torusknoten]
  Seien $m$, $n\in\N$ teilerfremd (was die Injektivit\"at sichert) und
  sei $g:\S^1\times\S^1\equiv\mathbb T^2\to\R^3$ eine
  Standardeinbettung des Torus. Definiere $f:\S^1\to\S^1\times\S^1$
  durch $f(\exp(2\pi i\theta))= (\exp(2\pi im\theta),\exp(2\pi
  in\theta))$.  Definiere $K_{m,n}\equiv K:=g\circ
  f\left(\S^1\right)$.  Wir wollen $\pi_1\left(\R^3\setminus K\right)$
  bestimmen.
  \par
  Wir k\"onnen den $\R^3$ auch kompaktifizieren, $K$ als Teilmenge von
  $\S^3$ auf\/fassen, und die Fundamentalgruppe von $\S^3\setminus K$
  ausrechnen.  Das Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis in $\R^3$
  \"uberein: Wenden wir n\"amlich das van Kampen Theorem auf $\R^3$
  und auf einen Ball $B$ um den unendlich fernen Punkt an, so sind
  $B$ und $B\cap\R^3$, was hom\"oomorph zu $\S^2\times\R$ ist,
  nullhomotop. Also folgt $\pi_1\left(\R^3\setminus K\right)
  \cong\pi_1\left(\S^3\setminus K\right)$.\par
  Wir behaupten, dass $\S^3\setminus K$ als Deformationsretrakt einen
  Raum $X=X_{m,n}$ hom\"oomorph zu $\left(\S^1\times
    I\right)/\!\!\sim$ besitzt, wobei die \"Aquivalenzrelation f\"ur
  $z\in\S^1$ durch $(z,0)\sim(\exp(2\pi i/m)z,0)$ und
  $(z,1)\sim(\exp(2\pi i/n)z,1)$ induziert ist.  Seien $X_m$ und $X_n$
  die beiden H\"alften von $X$, die sich als Quotienten von
  $\S^1\times[0,1/2]$ beziehungsweise $\S^1\times[1/2,1]$ ergeben,
  also die Abbildungszylinder von $\S^1\ni z\mapsto z^m$ und $z\mapsto
  z^n$.  Dann ist $X_m\cap X_n$ hom\"oomorph zu einer $\S^1$.\par
  Betrachte die Standardzerlegung von $\S^3$ in zwei Volltori
  $\S^1\times D^2$ und $D^2\times\S^1$. Beachte dazu, dass $\S^3$
  hom\"oomorph zu
  \begin{align*}
    \partial D^4=&\partial\left(D^2\times D^2\right)\\
    =&\left(\partial D^2\times D^2\right)\cup
    \left(D^2\times\partial D^2\right)\\
    =&\left(\S^1\times D^2\right)\cup\left(D^2\times\S^1\right)
  \end{align*}
  ist. Visualisieren l\"asst sich dies in $\R^3$ als ein Volltorus
  vereinigt mit einem Volltorus, dessen Rand mit dem Rand des anderen
  Torus verklebt wird (\glqq Breitenkreise auf
  L\"angenkreise\grqq).\par
  Im ersten Volltorus schneidet $K$ die Kreise $\{x\}\times\partial
  D^2$ in $m$ gleichverteilten Punkten. In $\{x\}\times D^2$ k\"onnen
  diese Punkte durch jeweils dazwischenliegende Punkte und radiale
  Verbindungsstrecken zu $\{x\}\times\{0\}$ getrennt werden.
  Durchl\"auft nun $x$ einmal $\S^1$, so durchlaufen die radialen
  Strecken gerade eine Kopie des Abbildungszylinders $X_m$ im ersten
  Volltorus. Analoges funktioniert f\"ur den zweiten Volltorus und
  $X_n$. Anhand eines Bildes kann man sich \"uberzeugen, dass es im
  ersten Volltorus eine Deformationsretraktion, jeweils innerhalb der
  entsprechenden Scheibe $\{x\}\times D^2$, gibt, die das Komplement
  von $K$ auf $X_m$ deformiert. W\"ahlt man die Deformationen auch
  noch so, dass sie insbesondere $\S^1\times\S^1$ nicht verlassen,
  wenn sie dort starten, so kann man durch Modifikation der
  Deformation nahe $\S^1\times\S^1$ die beiden Deformationen stetig
  zusammenf\"ugen und erh\"alt, dass $X_{m,n}$ ein Deformationsretrakt
  von $\S^3\setminus K$ ist.
  \par
  Zerlegt man $X$ in $X_m$ und $X_n$ (genauer: in kleine geeignete
  offene Umgebungen davon), so gibt es Deformationsretrakte von $X_m$
  und $X_n$ auf Mengen hom\"oomorph zu $\S^1$ in $X_m$ beziehungsweise
  $X_n$. Nun ist $X_m\cap X_n$ hom\"ooomorph zu einer $\S^1$. Alle
  diese Bausteine haben also eine Fundamentalgruppe isomorph zu
  $\Z$. Eine geschlossene Kurve in $X_m\cap X_n$, die einen Erzeuger
  der Fundamentalgruppe repr\"asentiert, wird unter der Inklusion
  $X_m\cap X_n\hookrightarrow X_m$ zu dem $m$-fachen eines
  Repr\"asentanten eines Erzeugers von $\pi_1(X_m)$ und unter $X_m\cap
  X_n\hookrightarrow X_n$ zum $n$-fachen eines Repr\"asentanten eines
  Erzeugers von $\pi_1(X_n)$. Daher ist nach dem Theorem von van
  Kampen $\pi_1(X)$ isomorph zur freien von $a$ und $b$ erzeugten
  Gruppe, aus der die von $a^mb^{-n}$ erzeugte normale Untergruppe
  herausgeteilt ist. Bezeichne diese Gruppe mit $G_{m,n}$.\par
  Man kann nun mit etwas Algebra zeigen, dass $G_{m,n}$ f\"ur
  nat\"urliche Zahlen $m$, $n\in\N=\N\cup\{0\}$ nur zu $G_{n,m}$
  isomorph ist, aber zu keiner anderen Gruppe in dieser Familie. Somit
  k\"onnen die entsprechenden Torusknoten f\"ur unterschiedliche Werte
  von $0\le m\le n$ durch einen Hom\"oomorphismus des umgebenden
  Raumes $\R^3$ beziehungsweise $\S^3$ nicht ineinander \"uberf\"uhrt
  werden.
\end{example}

\subsection{Klassifikation zweidimensionaler Fl\"achen}
Wir kleben $2$-Zellen $(e^2_\alpha)_\alpha$ mit Abbildungen
$\phi_\alpha:\S^1\to X$ an einen wegzusammenh\"angenden Raum $X$ an
und nennen das Ergebnis $Y$. Sei $x_0\in X$.  Die Abbildung
$\phi_\alpha$ induziert einen geschlossen Weg $\tilde\phi_\alpha$
(sp\"ater einfach auch wieder mit $\phi_\alpha$ bezeichnet) in $X$ mit
einem Basispunkt $\phi_\alpha(s_0)$. W\"ahle einen Weg $\gamma_\alpha$
von $x_0$ nach $\phi_\alpha(s_0)$. Dann ist $\gamma_\alpha
\tilde\phi_\alpha\ol\gamma_\alpha$ ein geschlossener Weg zum
Basispunkt $x_0$. Nach Ankleben der Zellen sind alle diese Wege
nullhomotop, liegen also im Kern der Abbildung
$\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$, die von $X\hookrightarrow Y$ induziert
ist. Sei $N$ die von diesen Wegen erzeugte normale Untergruppe.  (Wir
bemerken, dass die von diesen Elementen erzeugte normale Untergruppe
nicht von der Wahl von $\gamma_\alpha$ abh\"angt, denn f\"ur einen
anderen solchen Weg $\eta_\alpha$ sind
$\gamma_\alpha\phi_\alpha\ol\gamma_\alpha$ und
$\eta_\alpha\phi_\alpha\ol\eta_\alpha=
(\eta_\alpha\ol\gamma_\alpha)\gamma_\alpha\phi_\alpha\ol\gamma_\alpha
(\gamma_\alpha\ol\eta_\alpha)$ in $\pi_1(X,x_0)$ konjugiert, erzeugen
also dieselbe normale Untergruppe, da f\"ur jedes Gruppenelement $g$
und einen Normalteiler $N$ stets $gNg^{-1}=N$ gilt.)

\begin{proposition}\label{cell surjection}
  Die Inklusion $X\hookrightarrow Y$ induziert eine Surjektion
  $\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$ mit Kern $N$. Es gilt also
  $\pi_1(Y)\cong\pi_1(X)/N$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Statt $Y$ betrachten wir einen Raum $Z$, der aber als
  Deformationsretrakt den Raum $Y$ besitzt. Dazu kleben wir an $Y$ die
  Quadrate $Q_\alpha=I\times I$ entlang $I\times\{0\}$ und entlang der
  Wege $\gamma_\alpha$ ein. Wir identifizieren die Kanten $\{1\}\times
  I$ mit einem kleinen Wegst\"uck von $\gamma_\alpha(1)$ in
  $e^2_\alpha$ und alle Kopien von $\{0\}\times I$ identifizieren wir
  zu einem Einheitsintervall $I$.  (Stellt man sich $X$ in der Ebene
  vor und die angeklebten $e^2_\alpha$'s als Halbkugeln, so \glqq
  sitzen\grqq\ die angeklebten $I\times I$'s gerade \"uber den Wegen
  $\gamma_\alpha$. Daher ist auch $Y$ ein Deformationsretrakt von
  $Z$.)  W\"ahle Punkte $y_\alpha\in e^2_\alpha$, die disjunkt vom Weg
  sind, entlang dessen $I\times I$ angeklebt wird. Definiere
  $A:=Z\setminus\bigcup\limits_\alpha\{y_\alpha\}$ und $B:=Z\setminus
  X$. Dann besitzt $A$ als Deformationsretrakt den Raum $X$ und $B$
  ist kontrahierbar, \dh besitzt einen Punkt als
  Deformationsretrakt. Also ist $\pi_1(B)=\{1\}$.  Nach dem Theorem
  von van Kampen, angewandt auf $A$ und $B$ ist
  $\pi_1(Z)\cong\pi_1(A)/L$, wobei $L$ die vom Bild der Abbildung
  $\pi_1(A\cap B)\to\pi_1(A)$ erzeugte normale Untergruppe ist. Es
  gen\"ugt also einzusehen, dass $\pi_1(A\cap B)$ von zu Wegen der
  Form $\gamma_\alpha\phi_\alpha\ol\gamma_\alpha$ homotopen Wegen in
  $A\cap B$ erzeugt wird. Dazu wenden wir noch einmal das Theorem von
  van Kampen an. Diesmal \"uberdecken wir $A\cap B$ mit den offenen
  Mengen $A_\alpha:=(A\cap B)\setminus
  \bigcup\limits_{\beta\neq\alpha}e^2_\beta$. Da $A_\alpha$ als
  Deformationsretrakt das Bild einer $\S^1$ in $e^2_\alpha\setminus
  \{y_\alpha\}$ besitzt, gilt $\pi_1(A_\alpha)\cong\Z$, wobei die
  Gruppe von einem Weg der Form
  $\gamma_\alpha\phi_\alpha\ol\gamma_\alpha$ erzeugt wird. Ein Kern
  tritt hier nicht auf, da $A_\alpha \cap A_\beta$ f\"ur
  $\alpha\neq\beta$ zusammenziehbar (= kontrahierbar) ist. Die
  Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{remark}\label{flaechen normalform}
  Wir folgen \cite{JostMinimalflaechen}: Plausibel sind die folgenden
  \"Uberlegungen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Jede glatte geschlossene Fl\"ache $M$, \dh jede
    zweidimensionale kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand, l\"asst sich
    triangulieren, \dh in Mengen $(D_i)_{1\le i\le N}$
    ho\-m\"oo\-morph zu Dreiecken zerlegen, so dass
    $M=\bigcup\limits_{i=1}^ND_i$ gilt. Dabei ist $D_i\cap D_j$
    entweder (bis auf einen Hom\"oomorphismus) ein Dreieck, eine
    Dreiecksseite oder ein Punkt.
  \item Sei $M$ nun stets eine glatte geschlossene Fl\"ache.  Nehme
    an, dass $M$ zusammenh\"angend ist. Wir stellen nun $M$ als ein
    regul\"ares Polygon dar, an dem wir Kanten identifizieren. Dazu
    w\"ahlen wir ein festes \glqq Dreieck\grqq\ $D_1$. Nehme ohne
    Einschr\"ankung an, dass $D_1\cap D_2$ eine Menge hom\"oomorph zu
    einer Kante enth\"alt. Dann ist $D_1\cap D_2$ hom\"oomorph zu
    einem Quadrat, gegebenenfalls bis auf Au\ss{}enkanten, die wir
    identifizieren m\"ussen, falls $D_1\cap D_2$ aus mehr als aus
    einer Kante besteht. Iterativ f\"ugen wir nun stets ein weiteres
    Dreieck an und sehen am Ende, dass $M$ hom\"oomorph zu einem
    regul\"aren Polygon ist, wenn wir die Au\ss{}enkanten geeignet
    identifizieren.
  \item Die unterschiedlichen (Au\ss{}en-)Kanten des Polygons
    bezeichnen wir nun mit Buchstaben und dr\"ucken die
    Identifizierungen symbolisch aus durch Worte, beispielsweise durch
    $aba^{-1}b^{-1}$ f\"ur einen Torus. $a^{-1}$ dr\"uckt dabei aus,
    dass die Kante in umgekehrter Richtung durchlaufen wird.  Wir
    schreiben auch $aa$ f\"ur den projektiven Raum und $aba^{-1}b$
    oder $aacc$ f\"ur die Kleinsche Flasche. Die letzten beiden
    Darstellungen sind \"aquivalent, wie man sich durch Aufschneiden
    entlang einer Diagonalen \"uberlegt.
  \item Die letzten beiden Beispiele sind nicht orientierbar.  Eine
    zweidimensionale F\"ache hei\ss{}t \emph{orientierbar}, wenn es
    auf ihr zwei linear unabh\"angige stetige Vektorfelder gibt.  Man
    \"uberlegt sich, dass eine Fl\"ache genau dann orientierbar ist,
    wenn in einer Darstellung wie oben zu jeder Kante $a$ auch
    $a^{-1}$ vorkommt. Tritt eine Kante $b$ doppelt auf, so ist $M$
    nicht orientierbar. Wir wollen ab jetzt nur noch orientierbare
    Fl\"achen betrachten.
  \item Die symbolische Darstellung der Randkanten ist nicht
    eindeutig. Wir werden uns nun \"uberlegen, dass eine orientierbare
    geschlossene Fl\"ache sich aber immer in Normalform darstellen
    l\"asst. Die Normalform ist entweder $aa^{-1}$ oder
    $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-2}\ldots
    a_pb_pa_p^{-1}b_p^{-1}$ f\"ur ein $1\le p\in\N$. Im zweiten Fall
    sind alle Ecken \"aquivalent. In drei Schritten werden wir nun die
    oben hergeleitete Darstellung auf Normalform bringen.
  \item Zun\"achst einmal lassen wir alle Ausdr\"ucke der Form
    $aa^{-1}$ in der Darstellung ersatzlos weg, wenn die Darstellung
    noch weitere Zeichen enth\"alt.
  \item Wir wollen die Darstellung nun so modifizieren, dass alle
    Ecken \"aquivalent sind. Wir schreiben zun\"achst die Ecken als
    Gro\ss{}buchstaben mit in die Darstellung hinein.  Tritt eine
    Kante $PaQ$ mit $P\neq Q$ auf und sind wir nicht im Fall
    $aa^{-1}$, so liegt neben $a$ eine von $a$ verschiedene Kante,
    also ohne Einschr\"ankung $PaQbR$, wobei $R$ nicht
    notwendigerweise von $P$ und $Q$ verschieden sein muss. Wir
    schneiden das Polygon entlang einer Hilfskante $PcR$ im Inneren
    auf und kleben die beiden Teile entlang $QbR$ und $Rb^{-1}Q$ (das
    auch vorkommen muss) wieder zusammen. Wir erhalten dann ein
    Polygon, das an einer Stelle $PcR$ enth\"alt und an einer anderen
    Stelle $Rc^{-1}PaQ$ und beobachten, dass die Anzahl der Ecken $Q$
    sich um eins vermindert hat.  Wir setzen dies fort, bis maximal
    einmal $Q$ als Ecke auftritt. Sind alle Ecken $Q$ verschwunden,
    sind wir (mit diesem Eckpunkt) fertig, tritt genau einmal $Q$ auf,
    dann sind wir in einer Situation der Form $aQa^{-1}$, das haben
    wir aber schon im ersten Schritt weggelassen, wenn die Darstellung
    mehr als zwei Buchstaben enth\"alt.
  \item Wir sagen, dass zwei Kanten $a$ und $b$ gekreuzt sind, wenn in
    der Darstellung von $M$, in genau dieser Reihenfolge $\ldots
    a\ldots b\ldots a^{-1}\ldots b^{-1}\ldots$ auftaucht. Au\ss{}er im
    Fall, wenn die gesamte Darstellung die Form $aa^{-1}$ hat, ist nun
    jede Kante $c$ mit einer anderen Kante gekreuzt. W\"are n\"amlich
    $c$ mit keiner anderen Kante gekreuzt, so w\"urden alle Kanten
    zwischen $c$ und $c^{-1}$ bereits miteinander identifiziert. Dies
    widerspricht aber der bereits erreichten Normalisierung, denn wir
    hatten gesehen, dass die Kanten so identifiziert werden, dass
    dadurch auch automatisch alle Ecken identifiziert werden. Die
    Ecken, die in der Darstellung von $M$ au\ss{}erhalb von $c$ und
    $c^{-1}$ liegen, werden nun aber mit einem anderen Punkt
    identifiziert, als die, die innerhalb davon liegen. Somit ist jede
    Kante mit mindestens einer weiteren Kante gekreuzt.
  \item Wir modifizieren nun das Polygon, so dass jeweils zwei
    miteinander gekreuzte Kanten in der Darstellung nebeneinander
    liegen. Die Darstellung sei nicht von der Form
    $aa^{-1}$. Bezeichne $(k_i)_{1\le i\le4}$ eine nicht n\"aher
    spezifizierte Folge von Kanten. Sei die Darstellung gegeben durch
    $aPk_1bk_2Qa^{-1}k_3b^{-1}k_4$. Die markierten Ecken dienen hier
    nur der einfacheren Bezeichnungsweise beim Hinzuf\"ugen von
    Hilfskanten. Durch k\"unstliches Einf\"ugen einer inneren Kante
    $PcQ$ und Verkleben der Teile entlang von $b$ und $b^{-1}$
    erhalten wir die Darstellung
    $acRa^{-1}k_3k_2Sc^{-1}k_1k_4$. F\"uge nun $RdS$ ein und
    identifiziere $a$ und $a^{-1}$. Wir erhalten
    $cdc^{-1}k_1k_4k_3k_2d^{-1}$ und da wir einen Buchstaben vom Ende
    an den Anfang stellen d\"urfen eine zus\"atzliche Folge der Form
    $d^{-1}cdc^{-1}$ ohne die Kantenzahl vergr\"o\ss{}ert zu
    haben. Per Induktion kommen wir nun auf die behauptete Normalform.
  \item Wir schreiben $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Sei $M$ eine geschlossene orientierbare Fl\"ache. Sie l\"asst sich
darstellen, indem wir an die in Bemerkung \ref{flaechen normalform}
erhaltene Normalform eine $2$-Zelle entlang des Weges
$[a_1,b_1]\ldots[a_g,b_g]$ einkleben.  Wir bezeichnen diese Fl\"ache
mit $M_g$.  Als Fundamentalgruppe erhalten wir die von den Elementen
$a_1,\,b_1,\,\ldots,\,a_g,\,b_g$ erzeugte freie Gruppe modulo der von
$[a_1,\,b_1]\cdots[a_g,\,b_g]$ erzeugten normalen Untergruppe.

Zu Proposition \ref{cell surjection} erhalten wir das folgende
Korollar.
\begin{corollary}[Klassifikationssatz]
  Die Fl\"achen $M_g$ und $M_l$ sind f\"ur $g\neq l$ weder
  hom\"oomorph noch homotopie\"aquivalent zueinander.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir machen die Gruppe $\pi_1(M_g)$ k\"unstlich abelsch und erhalten
  die direkte Summe von $2g$ Kopien von $\Z$. F\"ur hom\"oomorphe oder
  homotopie\"aquivalente Fl\"achen $M_g$ und $M_l$ folgt
  $\pi_1(M_g)\cong\pi_1(M_l)$, also auch $g=l$.
\end{proof}

\section{\"Uberlagerungen}\label{ueberlager sec}

\begin{definition}[\"Uberlagerungen]
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann ist $\tilde X$ zusammen mit
  einer Abbildung $p:\tilde X\to X$ eine \"Uberlagerung von $X$, wenn
  es eine offene \"Uberdeckung $(U_\alpha)_\alpha$ von $X$ gibt, so
  dass $p^{-1}(U_\alpha)$ f\"ur alle $\alpha$ eine disjunkte
  (m\"oglicherweise leere) Vereinigung von offenen Mengen ist, die
  jeweils unter $p$ hom\"oomorph auf $U_\alpha$ abgebildet werden.
\end{definition}

Die wichtigsten Existenzaussagen f\"ur Abbildungen in \"Uberlagerungen
sind:

Wie im Falle $p:\R\to\S^1$ zeigt man
\begin{proposition}
  Sei $p:\tilde X\to X$ eine \"Uberlagerung und $f_t:Y\to X$ eine
  Homotopie. Gibt es eine $f_0$ \"uberlagerte Abbildung $\tilde
  f_0:Y\to\tilde X$, \dh gilt $p\circ\tilde f_0=f_0$, so existiert
  eine eindeutig bestimmte Homotopie $\tilde f_t:Y\to\tilde X$, die
  $f_t$ \"uberlagert ist, also $p\circ\tilde f_t=f_t$ erf\"ullt, so
  dass $\tilde f_0$ in beiden Definitionen \"ubereinstimmt.
\end{proposition}
In diesem Falle hei\ss{}t $\tilde f_t$ eine $f_t$ \"uberlagerte
Abbildung oder ein \emph{Lift} von $f_t$.

Es gilt das folgende allgemeinere Liftbarkeitskriterium
\begin{proposition}
  Sei $p:\left(\tilde X,\tilde x_0\right)\to(X,x_0)$ eine
  \"Uberlagerung, \dh $p:\tilde X\to X$ sei eine \"Uberlagerung wie
  oben definiert und es gelte $p(\tilde x_0)=x_0$.  Sei $Y$
  wegzusammenh\"angend und lokal wegzusammenh\"angend.  Dann gibt es
  zu einer stetigen Abbildung $f:(Y,y_0)\to(X,x_0)$ genau dann einen
  Lift $\tilde f:(Y,y_0)\to\left(\tilde X,\tilde x_0\right)$, wenn
  $f_*(\pi_1(Y,y_0))\subset p_*\left(\pi_1\left(\tilde X,\tilde x_0
    \right)\right)$ gilt.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Siehe \cite[Proposition 1.33, S. 61]{Hatcher}.  
\end{proof}

\begin{appendix}
  
  \section{Brouwerscher Fixpunktsatz}
  % Das hier war einmal Weihnachtsvorlesung
  Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, dass jede stetige Abbildung $f$
  von der abgeschlossenen Einheitskugel $D^n$ in sich einen 
  Fixpunkt besitzt, \dh es gibt $x\in D^n$ mit $f(x)=x$.
  Wir folgen dabei \cite{ProofBook}.

  Wir f\"uhren den Beweis hier nur f\"ur $n=2$. F\"ur $n=1$ folgt
  der Brouwersche Fixpunktsatz aus dem Zwischenwertsatz und f\"ur 
  $n\ge3$ l\"asst sich das Spernersche Lemma, geeignet 
  verallgemeinert, per Induktion beweisen.

  Das Spernersche Lemma gilt auch f\"ur andere Triangulierungen, f\"ur
  uns gen\"ugt aber hier die folgende Version.
  \begin{satz}[Spernersches Lemma]
    Sei $V$ ein gleichseitiges Dreieck in $\R^2$, das in $4^k$, $k\ge1$, 
    kleinere kongruente gleichseitige Dreiecke aufgeteilt ist. 
    Dann bilden die Kanten und Ecken der kleineren Dreiecke einen
    Graphen $G$. Seien die Ecken so gef\"arbt (wir verwenden die
    Farben $1$, $2$ und $3$), dass die Ecken des 
    gro\ss{}en Dreiecks drei verschiedene Farben haben und auf jeder
    Kante des gro\ss{}en Dreiecks nur genau zwei verschiedene Farben
    vorkommen. Dann gibt es ein kleines Dreieck, dessen Ecken drei
    verschiedene Farben haben.  
  \end{satz}
  \begin{proof}[Beweis]
    Wir betrachten einen neuen Graphen $G'$, den dualen Graphen zum 
    gegebenen Graphen. Er besteht aus jeweils einer Ecke in jedem
    der kleinen Dreiecke und einer Ecke au\ss{}erhalb des gro\ss{}en
    Dreiecks. Zwei Ecken sind nun genau dann durch eine Kante verbunden,
    wenn es einen Weg zwischen den Ecken gibt, der nur eine Kante
    von $G$ genau einmal kreuzt und wenn diese Kante in $G$ 
    eine Ecke der Farbe $1$ und eine Ecke der Farbe $2$ hat.\par
    Da entlang der \"au\ss{}eren Ecken in $G$ eine ungerade Anzahl
    von Farbwechseln zwischen $1$ und $2$ stattfindet, gibt es in 
    $G'$ eine ungerade Anzahl von Kanten, $2l+1$, die an der Ecke 
    au\ss{}erhalb des gro\ss{}en Dreiecks starten oder enden.
    Aus den M\"oglichkeiten, ein kleines Dreieck zu f\"arben, folgt,
    dass in den Ecken von $G'$ im Inneren des gro\ss{}en Dreiecks
    maximal zwei Kanten beginnen oder enden k\"onnen. Wenn in solch
    einem Punkt (Ecke) genau eine Kante beginnt oder endet, so haben wir
    ein dreifarbiges Dreieck, wie wir es gesucht haben. 
    Es gibt also in $G'$ Punkte innerhalb des gro\ss{}en Dreiecks
    mit $0$, $1$ oder $2$ Kanten. Ihre Anzahl wollen wir mit 
    $E_0$, $E_1$ und $E_2$ bezeichnen. Sei $k$ die Anzahl der
    Kanten in $G'$. Dann gilt
    $$2k=0\cdot E_0+1\cdot E_1+2\cdot E_2+(2l+1).$$
    Es folgt, dass $E_1$ ungerade ist. Wir finden also eine
    ungerade Anzahl von dreifarbigen kleinen Dreiecken.
  \end{proof}

  \begin{satz}[Brouwerscher Fixpunktsatz]
    Sei $f:D^n\to D^n$ stetig. Dann gibt es einen
    Fixpunkt $x\in D^n$, \dh es gibt einen Punkt
    $x\in D^n$ mit $f(x)=x$.   
  \end{satz}
  \begin{proof}[Beweis]
    Auch hier wollen wir wieder nur den zweidimensionalen Fall betrachen.
    Die $n$-dimensionale Variante folgt analog.\par
    Da $D^2$ hom\"oomorph zu einem Dreieck $\Delta$ ist, gen\"ugt es,
    die Existenz eines Fixpunktes f\"ur stetige Abbildungen 
    $f:\Delta\to\Delta$ zu beweisen. Sei $\Delta\subset\R^3$ das
    Dreieck mit Ecken $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ und $e_3=(0,0,1)$.
    Es gilt $x\in\Delta$ genau dann, wenn $x_1+x_2+x_3=1$ ist
    und alle $x_i\ge0$ sind.  
    \par
    Wir unterteilen nun das Dreieck $\Delta$ wie im Spernerschen
    Lemma in $4^k$ Dreiecke. Diese wollen wir einf\"arben. 
    Wir wollen annehmen, dass es eine Abbildung $f:\Delta\to\Delta$
    gibt, die keinen Fixpunkt besitzt. Dann ist $f(x)-x\neq0$ f\"ur
    alle $x\in\Delta$. Wir wollen nun einer Ecke $x\in\Delta$ die
    Farbe $i$ geben, wenn dies die kleinste nat\"urliche Zahl ist,
    f\"ur die $\langle f(x)-x,e_i\rangle$ negativ ist. Dies ist 
    eine wohldefinierte F\"arbung. Denn wenn wir $x=(x_1,x_2,x_3)$
    und $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ schreiben, gilt 
    $x_1+x_2+x_3=1$ und $f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=1$. Da nicht
    $x_1=f_1(x)$, $x_2=f_2(x)$ und $x_3=f_3(x)$ f\"ur $x\in\Delta$
    gilt, gibt es f\"ur jedes $x\in\Delta$ 
    mindestens ein $i$, so dass $f_i(x)-x_i
    =\langle f(x)-x,e_i\rangle$ negativ ist und ein $i$, so dass
    $f_i(x)-x_i$ positiv ist. Damit ist die F\"arbung wohldefiniert.
    \par
    Wir wollen nun zeigen, dass dies eine F\"arbung wie im
    Spernerschen Lemma ist. F\"ur die Ecke $e_i$ kann nur
    $f_i(e_i)-e_i$ negativ sein, also hat sie die Farbe $i$.
    Liegt $x$ auf der Ecke gegen\"uber von $e_i$, so gilt
    dort $x_i=0$. Also kann $f_i(x)-x_i$ nicht negativ sein 
    und somit kann $x$ nicht die Farbe $i$ bekommen. Somit erhalten
    wir eine F\"arbung der gew\"unschten Art. 
    \par
    Wir finden also nach dem Spernerschen Lemma ein kleines Dreieck
    mit Eckpunkten $v_1^k$, $v_2^k$ und $v_3^k$, so dass
    diese die Farben $1$, $2$ und $3$ bekommen. Daher gilt
    $\langle f(v_1^k)-v_1^k,e_1\rangle<0$,
    $\langle f(v_2^k)-v_2^k,e_2\rangle<0$
    und $\langle f(v_3^k)-v_3^k,e_3\rangle<0$. 
    Diese Punkte haben jeweils einen Abstand von genau
    $\sqrt 2\cdot 2^{-k}$ (oder Null). 
    \par
    Wir betrachten nun eine Folge von Punkten
    $(v_1^k)_{k\in\N}$. Da $\Delta$ eine kompakte Menge ist,
    konvergiert eine (nicht umbenannte) Teilfolge,
    $v_1^k\to x\in\Delta$ f\"ur $k\to\infty$.
    Man \"uberzeugt sich mit Hilfe der Dreiecksungleichung direkt, 
    dass auch die Folgen $v_2^k$
    und $v_3^k$ gegen denselben Grenzwert konvergieren.
    Da die Funktion $f$ stetig ist, folgt damit
    $f_1(x)-x_1\le0$, $f_2(x)-x_2\le0$ und $f_3(x)-x_3\le0$. 
    Hieraus erhalten wir 
    $$1=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)\le x_1+x_2+x_3=1$$
    mit Gleichheit genau dann, wenn in den obigen drei Ungleichungen
    Gleichheit gilt. Daher hat $f$ eine Fixpunkt. Widerspruch.
  \end{proof}

  \begin{corollary}\label{brouwer retr cor}
    Es gibt keine stetige Retraktion von $D^n$ nach $\S^{n-1}$, 
    \dh es gibt keine stetige Abbildung $f:D^n\to\S^{n-1}$,
    so dass $f(x)=x$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$ gilt.  
  \end{corollary}
  \begin{proof}[Beweis]
    Falls doch, so ist $g:D^n\to D^n$ mit $g(x):=-f(x)$ eine Abbildung,
    die keinen Fixpunkt besitzt. Sei n\"amlich $x\in D^n$ mit
    $g(x)=x$. Da $f(D^n)=\S^{n-1}$ ist, folgt $x\in\S^{n-1}$.
    Es gilt also $g(x)=-f(x)=-x$. Widerspruch zum Brouwerschen
    Fixpunktsatz.  
  \end{proof}

  \begin{corollary}
    Sei $V:D^n\to\R^n$ ein stetiges Vektorfeld mit 
    $\langle V(x),x\rangle\le0$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$.
    Dann gibt es $x\in D^n$ mit $V(x)=0$, das Vektorfeld
    besitzt also eine Nullstelle.   
  \end{corollary}
  \begin{proof}[Beweisskizze]
    Wir wollen annehmen, dass $V(x)\neq0$ f\"ur $x\in \S^{n-1}$
    gilt.\par
    Betrachte die Abbildung $f:D^n\to D^n$ mit $x\mapsto x+\epsilon
    V(x)$ f\"ur ein kleines $\epsilon>0$.  Die Abbildung ist genau dann
    eine fixpunktfreie Selbstabbildung von $D^n$, wenn $V(x)$ keine
    Nullstelle besitzt.\par
    Um sicherzustellen, dass es sich bei $f$ um eine Selbstabbildung von
    $D^n$ handelt, gen\"ugt es nicht, $f$ wie oben definiert zu
    betrachten. Durch Hinzuf\"ugen eines Annulus und nullstellenfreies
    Fortsetzen des Vektorfeldes kann man ohne Einschr\"ankung annehmen,
    dass sogar $V(x)=-x$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$ gilt. W\"ahlt man nun
    $\epsilon>0$ klein genug, so ist die oben definierte Abbildung $f$
    eine Selbstabbildung von $D^n$.
  \end{proof}

\end{appendix}

\bibliographystyle{amsplain}
% \bibliography{/Users/os/uni/math/tools/biblio.bib}
% \end{document}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{ProofBook} Martin Aigner and G{\"u}nter~M. Ziegler,
  \emph{Proofs from {T}he {B}ook}, Springer-Verlag, Berlin, 1999,
  Including illustrations by Karl H. Hofmann, Corrected reprint of the
  1998 original.

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  Allen Hatcher, \emph{Algebraic topology}, Cambridge University Press,
  Cambridge, 2002,\\ {\tt http://www.math.cornell.edu/\~{}hatcher/}.

\bibitem{JostMinimalflaechen}
  J{\"u}rgen Jost, \emph{Differentialgeometrie und {M}inimalfl\"achen},
  Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

  % \bibitem{Schubert}
  %   Horst Schubert, \emph{Topologie}, B. G. Teubner, Stuttgart, 1975, Eine
  %   Einf\"uhrung, Vierte Auflage, Mathematische Leitf\"aden.

\bibitem{Querenburg}
  Boto von Querenburg, \emph{Mengentheoretische {T}opologie}, Springer-Verlag,
  Berlin, 1973, Hochschultext.
\end{thebibliography}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
