% 
% Gew\"ohnliche Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2012/3
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Gew\"ohnliche Differentialgleichungen mit geometrischen
  Anwendungen} 

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Mathematik, Universit\"at Konstanz}
%\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
%  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank an Jonas Blessing, Ben Lambert, Wolfgang Maurer
  und Lena Reichle f\"ur Anregungen und an Elisabeth Greiler f\"ur die
  Mithilfe beim Setzen.}

%    General info
\subjclass[2000]{53C44, 37B25}
% 53C44 Geometric evolution equations (mean curvature flow)
% 34-XX Ordinary differential equations
% 37B25 Lyapunov functions and stability; attractors, repellers 

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Geometrische Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen
  an der Universit\"at Konstanz im Wintersemester 2012/13 und
  2016/17. 
  % Auch im Sommer 2016 als Seminargrundlage benutzt. 
  \par In dieser Vorlesung betrachten wir ausgew\"ahlte
  geometrische Fragestellungen, die analytisch durch gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen behandelt werden k\"onnen.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
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{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

\Section{Geometrische Grundbegriffe}

\Subsection{Hyperfl\"achen}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann hei\ss{}t $X\in C^1(\Omega,\R^m)$ 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Immersion, falls $dX(x)\colon\R^n\to\R^m$ f\"ur alle
    $x\in\Omega$ injektiv ist.
  \item Einbettung, falls $X$ eine Immersion und $X\colon\Omega\to
    X(\Omega)$ ein Hom\"oomorphismus ist, wobei wir auf $X(\Omega)$
    die Unterraumtopologie betrachen.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Parametrisierte Hyperfl\"ache]\neueZeilealt
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $X\in
  C^1\left(\Omega,\R^{n+1}\right)$ eine Immersion, besitze also die
  Ableitung $dX(x)$ in jedem Punkt $x\in\Omega$ den Rang $n$. Dann
  hei\ss{}t $X$ eine parametrisierte oder immersierte
  Hyperfl\"ache. \par
  Ist $X\colon\Omega\to X(\Omega)\subset\R^{n+1}$ ein
  Hom\"oomorphismus, wobei $X(\Omega)$ die Unterraumtopologie tr\"agt,
  so hei\ss{}t $X$ eingebettete Hyperfl\"ache. \par 
  Wir nennen auch das Bild $X(\Omega)$ eine immersierte Hyperfl\"ache
  in $\R^{n+1}$.\par
  Ist $n=2$, so hei\ss{}en Hyperfl\"achen auch Fl\"achen.
\end{definition}

Wir werden nun sehen, dass Untermannigfaltigkeiten und Niveaufl\"achen
Beispiele f\"ur Hyperfl\"achen sind. 

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeit]
  Eine Teilmenge $M\subset\R^{n+1}$ hei\ss{}t $n$-dimensionale
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $\R^{n+1}$, falls es f\"ur jedes
  $x_0\in M$ eine Umgebung $U$ von $x_0$ und einen
  $C^k$-Diffeomorphismus (bzw.{} Hom\"oomorphismus im Falle $k=0$)
  $\psi\colon U\to\psi(U) \subset\R^{n+1}$ mit $\psi(M\cap
  U)=\psi(U)\cap \left(\R^{n}\times\{0\}\right)$ gibt.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $M\subset\R^{n+1}$ eine $C^k$-Untermannigfaltigkeit. Sei
  $k\ge1$. Dann gibt es zu jedem $x_0\in M$ eine Umgebung $U$, so dass
  $M\cap U$ eine eingebettete Hyperfl\"ache ist.  
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze $X(x):=\psi^{-1}(x,0)$ f\"ur den Diffeomorphismus $\psi$ aus
  der Definition einer Untermannigfaltigkeit. 
\end{proof}

\begin{definition}[Niveaufl\"achen]
  Sei $f\in C^1\left(\R^{n+1},\R\right)$ mit $df(x)\neq0$ f\"ur alle
  $x\in f^{-1}(\{0\})$. Dann hei\ss{}t $f^{-1}(\{0\})$ Niveaufl\"ache
  (von $f$ zum Niveau $0$).
\end{definition}

\begin{lemma}
  Eine Niveaufl\"ache $f^{-1}(\{0\})$ ist eine Untermannigfaltigkeit. 
\end{lemma}
Im Beweis werden wir sehen, dass sich eine Niveaufl\"ache lokal als
Graph darstellen l\"a\ss{}t. 
\begin{proof}[Beweis]
  Nach dem Satz \"uber implizite Funktionen gibt es zu jedem $x_0\in
  f^{-1}(\{0\})$ nach Umbenennen der Koordinaten, so dass $\fracp
  f{x^{n+1}}(x_0)\neq0$ gilt, eine offene Umgebung $U$ von $x_0$ und
  eine Funktion $u\colon\Omega\to\R$ f\"ur eine offene Umgebung
  $\Omega$ von $\hat x_0\equiv\left(x_0^1,\ldots,x_0^n\right)$, so
  dass $f(x)=0$ genau dann gilt, wenn es ein $\hat y\in\Omega$ mit
  $x=(\hat y,u(\hat y))$ gibt. Dann ist $\psi\colon
  U\cap(\Omega\times\R)\to\R^{n+1}$ mit $\psi\left(\hat
    x,x^{n+1}\right)=\left(\hat x,x^{n+1}-u(\hat x)\right)$ der
  gesuchte Diffeomorphismus.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u\in C^1(\Omega)$. Dann ist
  \[\graph u=\{(x,u(x))\colon x\in\Omega\},\] der Graph von $u$, eine
  Hyperfl\"ache in $\R^{n+1}$, denn $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit
  $X(x)=(x,u(x))$ ist die zugeh\"orige Immersion. Da $X\colon\Omega\to
  X(\Omega)$ injektiv, stetig und offen ist, ist $X$ sogar eine
  Einbettung.\par Alternativ kann man $\graph u=f^{-1}(\{0\})$ mit
  $f\colon\Omega\times\R\to\R$, $f\left(\hat x,x^{n+1}\right)
  :=x^{n+1}-u(\hat x)$, schreiben.
\end{beispiel}

\Subsection{Normale, Metrik, zweite Fundamentalform und mittlere
  Kr\"ummung} 
\def\unterabschnitt{Normale, Metrik, 2. Fundamentalform und mittlere
  Kr\"ummung} 

\begin{definition}[Normale]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine
  immersierte Hyperfl\"ache. Dann hei\ss{}t eine stetige Funktion
  $\nu\colon\Omega\to\R^{n+1}$ mit
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $|\nu(x)|=1$ f\"ur alle $x\in\Omega$ und
  \item $\nu(x)\perp X_i(x)$ f\"ur alle $x\in\Omega$ und $1\le i\le
    n$, wobei $X_i\equiv\fracp X{x^i}$ ist,
  \end{enumerate}
  ein Einheitsnormalenfeld an $X$. $\nu(x)$ hei\ss{}t
  (Einheits-)Normale an $X$ im Punkt $x$ bzw.{} $X(x)$. 
\end{definition}

\begin{definition}
  Eine kompakte Untermannigfaltigkeit hei\ss{}t geschlossene
  Untermannigfaltigkeit. 
  % So definiert, da abstrakte Mannigfaltigkeiten noch
  % nicht bekannt sind, sonst h\"atte man hier geschlossene
  % Untermannigfaltigkeiten als Immersionen kompakter abstrakter
  % Mannigfaltigkeiten ohne Rand definieren k\"onnen.
\end{definition}

\begin{remark}[Vorzeichenkonvention]
  Bei geschlossenen Hyperfl\"achen wollen wir stets die \"au\ss{}ere
  Normale und bei graphischen Hyperfl\"achen stets die untere Normale
  w\"ahlen. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $T>0$. Sei
  $u\colon\Omega\times(0,T)\to\R$ differenzierbar. Dann schreiben
  wir \[Du=\left(\fracp u{x^1},\ldots,\fracp u{x^n}\right)\] und
  $\nabla u=Du^T$, den transponierten Vektor zu $Du$. Weder $Du$ noch
  $\nabla u$ beinhalten eine Zeitableitung $\dot u$. \par Sp\"ater
  schreiben wir auch laxerweise $Du$ statt $\nabla u$, wenn keine
  Missverst\"andnisse zu bef\"urchten sind.
  % !!!
  % Ersetze Du's durch \nabla u's und entferne diesen Kommentar!
  % !!!
\end{remark}

\begin{beispiel}
  Ist $X(x)=(x,u(x))$ ein Graph, wobei $\Omega\subset\R^n$ offen und
  $u\in C^1(\Omega)$ sind, so gilt f\"ur die \glqq untere\grqq{}
  Normale, $\nu(x)=\frac{(\nabla u(x),-1)}{\sqrt{1+|\nabla u|^2(x)}}$.
\end{beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $X_i=(e_i,u_i)\in\R^n\times\R$ mit $u_i\equiv\fracp
  u{x^i}$. Wir erhalten \[\langle X_i,\nu\rangle =\frac{\langle
    e_i,\nabla u\rangle_{\R^n} -u_i}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}}=0.\]
  Weiterhin gilt $|\nu|=1$.
\end{proof}

\begin{remark}[Einsteinsche Summenkonvention]
  Tauchen in einem Ausdruck lateinische Indices doppelt und zwar als
  obere und untere Indices auf, so wird \"uber sie von $1$ bis $n$
  summiert, \"uber paarweise ebenfalls oben und unten auftretende
  griechische Indices wird von $1$ bis $n+1$ summiert. Es gilt
  also \[X^\alpha_i\eta_\alpha g^{ij} \equiv\sum\limits_{i=1}^n
  \sum\limits_{\alpha=1}^{n+1} X^\alpha_i\eta_\alpha g^{ij},\] wobei
  wir auf der rechten Seite die Einsteinsche Summenkonvention nicht
  anwenden. \par Ab sofort gilt die Einsteinsche Summenkonvention
  \"uberall. 
\end{remark}

\begin{definition}[Metrik]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X$ eine immersierte
  Hyperfl\"ache. Definiere die Metrik $g=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$ mit
  $g_{ij}=g_{ij}(x)$ von $X$ durch \[g_{ij}(x):=\langle X_i,X_j\rangle
  \equiv X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta} X^\beta_j.\] Mit
  $\left(g^{ij}\right)_{1\le i,j\le n}$ bezeichnen wir die Inverse von
  $(g_{ij})$. Es gilt also $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(g_{ij}(x))$ ist positiv definit und symmetrisch, ebenso
    $\left(g^{ij}(x)\right)$.
  \item Sei $\alpha\colon [a,b]\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve. Dann ist
    die L\"ange von $X\circ\alpha$ durch
    \[L(X\circ\alpha)=\int\limits_a^b\left|\dt X(\alpha(t))\right|\,dt
    =\int\limits_a^b
    \sqrt{g_{ij}(\alpha(t))(\alpha')^i(t)(\alpha')^j(t)}\]
    gegeben. Dies bestimmt ein symmetrisches $g$ bereits eindeutig.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{beispiel}
  Ist $X(x)=(x,u(x))$, so gilt $X_i=(e_i,u_i)$. Wir erhalten
  also \[g_{ij} =\langle X_i,X_j\rangle
  =\langle(e_i,u_i),(e_j,u_j)\rangle  =\langle e_i,e_j\rangle_{\R^n}
  +u_iu_j =\delta_{ij}+u_iu_j.\] Weiterhin gilt \[g^{ij} =\delta^{ij}
  -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2},\] wobei wir $u^i:=\delta^{ik}u_k$ gesetzt
  haben. 
\end{beispiel}

\begin{definition}[Zweite Fundamentalform]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X$ eine immersierte
  $C^2$-Hyperfl\"ache mit Normale $\nu$. Dann definieren wir die
  zweite Fundamentalform $(h_{ij}(x))_{1\le i,j\le n}$ von $X$
  durch \[h_{ij} =-\langle X_{,ij},\nu\rangle\] mit
  $X_{,ij}:=\fracp{^2X}{x^i\partial x^j}$. $(h_{ij})$ ist symmetrisch.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Ist $X(x)=(x,u(x))$, so gilt $X_{,ij}=(0,u_{ij})$, wobei wir mit
  $u_{ij}$ die partiellen zweiten Ableitungen von $u$ bezeichnen, und
  wir erhalten nach Definition der Normalen
  \[h_{ij}=\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\] 
\end{beispiel}

\begin{definition}
  Seien $(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ und $(b_{ij})_{1\le i,j\le n}$ zwei
  symmetrische quadratische Formen. Dann hei\ss{}t
  $\xi=\left(\xi^k\right)$ Eigenvektor von $(a_{ij})$ bez\"uglich
  $(b_{ij})$ zum Eigenwert $\lambda$, falls $\xi\neq0$ ist
  und \[a_{ij}\xi^j=\lambda b_{ij}\xi^j\] f\"ur alle $1\le i\le n$
  gilt.
\end{definition}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  Die Eigenwerte von $h_{ij}$ (genauer $(h_{ij})$) bez\"uglich
  $g_{ij}$ hei\ss{}en Hauptkr\"ummungen und werden mit
  $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ bezeichnet. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sind $A,B\in\R^{n\times n}$ symmetrisch sowie $B$ positiv definit,
  \dh gilt $\xi^T B\xi>0$ f\"ur $\xi\neq0$, so besitzt $A$ bez\"uglich
  $B$ mit Vielfachheit gez\"ahlt $n$ Eigenwerte. Mit $B$ ist n\"amlich
  auch $\sqrt B$ invertierbar und $A\xi=\lambda B\xi$ ist \"aquivalent
  zu \[\left({\sqrt B}^{-1}A{\sqrt B}^{-1}\right) \left(\sqrt
    B\xi\right) =\lambda{\sqrt B}^{-1} B{\sqrt B}^{-1}\sqrt B\xi
  =\lambda\left(\sqrt B\xi\right).\] Die Matrix auf der linken Seite
  ist symmetrisch. Sei n\"amlich $B$ durch eine orthogonale Matrix $O$
  diagonalisiert, $B=O^TDO$, so ist $\sqrt B$ durch $\sqrt B=O^T\sqrt
  DO$ definiert. Die symmetrische Matrix auf der linken Seite besitzt
  $n$ Eigenwerte.
\end{remark}

\begin{definition}
  Elementarsymmetrische Funktionen der Hauptkr\"ummungen sind
  wohldefiniert. Wir nennen $S_1(\lambda)=\lambda_1+\ldots
  +\lambda_n=:H$ die mittlere Kr\"ummung und $S_n(\lambda)
  =\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n=:K$ die Gau\ss{}kr\"ummung. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Im graphischen Fall gelten \[H=g^{ij}h_{ij}
  =\frac{\delta^{ij}u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}
  -\frac{u^iu^ju_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}^3}
  =\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)\]
  sowie \[K=\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}} =\frac{\det
    D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}.\]
\end{beispiel}

Die folgende Bemerkung werden wir noch sehr h\"aufig verwenden.
\begin{remark}
  Sei $u\colon\R^n\setminus\{0\}\to\R$
  durch \[u(x)=|x|=\sqrt{x^i\delta_{ij}x^j}\] gegeben. Dann gelten
  \[u_i(x)=\frac{x_i}{|x|} \equiv \frac{\delta_{ij}x^j}{|x|}
  \quad\text{und}\quad u_{ij}(x)
  =\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).\] Die
  Matrix $(u_{ij})_{1\le i,j\le n}$ hat bez\"uglich
  $(\delta_{ij})_{1\le i,j\le n}$ den Eigenwert $0$ zum Eigenvektor
  $x$ und den $n-1$-fachen Eigenwert $\frac1{|x|}$ mit Eigenvektoren
  senkrecht zu $x$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe unter Verwendung der Definition
  \[|x|=\left(\sum\limits_{i=1}^n\left(x^i\right)^2\right)^{1/2}
  =\left(x^i\delta_{ij}x^j\right)^{1/2}.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{beispiele} 
  \label{hauptkr bsp}
  Sei $R>0$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Hauptkr\"ummungen einer Hyperebene in $\R^{n+1}$ sind alle
    gleich $0$.
  \item Die Hauptkr\"ummungen einer Sph\"are vom Radius $R$, $\mathbb
    S^n_R(x_0) \equiv\partial B_R(x_0) \equiv\partial B^{n+1}_R(x_0)$,
    $x_0\in\R^{n+1}$, sind alle gleich $\frac1R$.
  \item Die Hauptkr\"ummungen eines runden Zylinders $\partial
    B_R^{k+1}(x_0)\times\R^{n-k}$, $x_0\in\R^{k+1}$, sind $0$ mit
    Vielfachheit $n-k$ und $\frac1R$ mit Vielfachheit $k$.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar.
  \item Ohne Einschr\"ankung betrachten wir $x_0=0$ und die Funktion
    \[u(x)=-\sqrt{R^2-|x|^2} \equiv\phi(|x|)\] und erhalten
    \begin{align*}
      u_i=&\,\phi'\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
      u_{ij}=&\,\phi''\frac{x_ix_j}{|x|^2} +\phi'\frac1{|x|}
      \left(\delta_{ij} -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
      \sqrt{1+|Du|^2}=&\,\sqrt{1+\phi'^2},\umbruch\\
      g_{ij}=&\,\delta_{ij}+\phi'^2\frac{x_ix_j}{|x|^2},\umbruch\\
      h_{ij}=&\,\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}
      =\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+\phi'^2}}.
    \end{align*}
    Man liest direkt ab, dass
    $g_{ij}x^j=\left(1+\phi'^2\right)\delta_{ij}x^j$ und
    $g_{ij}\xi^j=\delta_{ij}\xi^j$ f\"ur alle $\xi\perp x$ sowie
    $h_{ij}x^j=\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}\phi''\delta_{ij}x^j$ und
    $h_{ij}\xi^j=\frac1{\sqrt{1+|Du|^2}}\frac{\phi'}{|x|}\delta_{ij}\xi^j$
    f\"ur alle $\xi\perp x$ im Falle $x\neq0$ gilt. Somit ist $x$ ein
    Eigenvektor von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ zum Eigenwert
    $\lambda_1=\frac{\phi''}{\left(1+\phi'^2\right)^{3/2}}$ und jedes
    $\xi\perp x$ mit $\xi\neq0$ ein Eigenvektor von $h_{ij}$
    bez\"uglich $g_{ij}$ zum Eigenwert $\lambda_2=\ldots=\lambda_n
    =\frac{\phi'}{|x|\sqrt{1+\phi'^2}}$. Wir erhalten mit $r=|x|$
    f\"ur $0<r<R$
    \begin{align*}
      \phi'(r)=&\,\frac r{\sqrt{R^2-r^2}},\umbruch\\
      1+\phi'^2=&\,1+\frac{r^2}{R^2-r^2}
      =\frac{R^2}{R^2-r^2},\umbruch\\
      \phi''(r)=&\,\frac1{\sqrt{R^2-r^2}}
      +\frac{r^2}{\left(R^2-r^2\right)^{3/2}}
      =\frac1{\sqrt{R^2-r^2}}\cdot\left(1+\frac{r^2}{R^2-r^2}\right)\\
      =&\,\frac1{\sqrt{R^2-r^2}}\cdot\frac{R^2}{R^2-r^2},\umbruch\\
      \lambda_1=&\,\frac1{\sqrt{R^2-r^2}}\cdot\frac{R^2}{R^2-r^2}\cdot
      \frac{\left(R^2-r^2\right)^{3/2}}{R^3} =\frac1R,\umbruch\\
      \lambda_2=&\,\frac{\phi'}{|x|}\cdot \frac1{\sqrt{1+\phi'^2}}
      =\frac r{\sqrt{R^2-r^2}} \cdot\frac1r
      \cdot\frac{\sqrt{R^2-r^2}}R =\frac1R.
    \end{align*}
    Da $u$ von der Klasse $C^2$ ist, gilt dies auch f\"ur $x=0$.
    Eine analoge Rechnung funktioniert auch f\"ur die obere
    Hemisph\"are mit der oberen Normalen. Die Behauptung gilt
    schlie\ss{}lich aus Stetigkeitsgr\"unden auch auf dem noch
    fehlenden \"Aquator. 
  \item \"Ubung, analog zur Sph\"are. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Der graphische mittlere Kr\"ummungsfluss}

\begin{definition}[Mittlerer Kr\"ummungsfluss]
  Eine Familie $(X(\cdot,t))_{t\in[0,T)}$, $T>0$, von immersierten
  Hyperfl\"achen $X(\cdot,t)\colon\Omega\to\R^{n+1}$ erf\"ullt den
  mittleren Kr\"um\-mungs\-fluss, falls
  \[\dt X=-H\nu\] f\"ur alle $(x,t)\in\Omega\times(0,T)$ gilt und $X$
  auf $\Omega\times[0,T)$ stetig ist.   
\end{definition}
Der mittlere Kr\"ummungsfluss wird h\"aufig mit MCF (mean curvature
flow) abgek\"urzt. 

\begin{theorem}\label{mcf pde thm}
  Sei $(X(\cdot,t))_{t\in[0,T)}$ eine L\"osung des mittleren
  Kr\"ummungsflusses, so dass $\im X(\cdot,t)=\graph u(\cdot,t)$ f\"ur
  alle $t\in[0,T)$ f\"ur eine $C^{2;1}$-Funktion $u$ gilt.  (Dabei
  bezeichnet $C^{2;1}$ den Raum der im Ort zweimal stetig und in der
  Zeit einmal stetig differenzierbaren Funktionen.) Dann erf\"ullt $u$
  die Differentialgleichung \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot \divergenz
  \left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ auf $\Omega\times[0,T)$ definiert. Wir bezeichnen die
  Koordinaten in $\Omega$ mit $\xi$. Wir bezeichnen die orthogonale
  Projektion von $X(\xi,t)$ auf die Hyperebene
  $\R^n\equiv\R^n\times\{0\}$ mit $x(\xi,t)$. Dann
  gilt \[X(\xi,t)=(x(\xi,t),u(x(\xi,t),t)).\] Aus der
  Evolutionsgleichung folgt \[\dt X= \left(\dot x,u_i\dot x^i+\dot
    u\right) =-H\nu =H\frac{(-u^1,\ldots,-u^n,1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\]
  Dabei bezeichnet $\dot u=\fracp ut$ und $u_i=\fracp u{x^i}$. Durch
  Komponentenvergleich erhalten wir
  \begin{align*}
    {\dot x}^i =&\,\frac{-Hu^i}{\sqrt{1+|Du|^2}},\umbruch\\
    \dot u=&\,\frac H{\sqrt{1+|Du|^2}} -u_i\dot x^i =\frac
    H{\sqrt{1+|Du|^2}} +\frac{H|Du|^2}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    =\sqrt{1+|Du|^2}\cdot H.
  \end{align*}
  Bis hier gelten die Rechnungen auch f\"ur andere
  Normalengeschwindigkeiten als $H$. Die Formel f\"ur $H$ im
  graphischen Fall haben wir bereits oben hergeleitet. Somit folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\Subsection{Der mittlere Kr\"ummungsfluss als geometrische
  Evolutionsgleichung} 

Aus der obigen Herleitung kann man bereits erkennen, dass die
Evolutionsgleichung in einem gedrehten Koordinatensystem wieder
dieselbe Form hat, weil wir die auftretenden Gr\"o\ss{}en in
``invarianter Weise'', \dh koordinatensystemunabh\"angig eingef\"uhrt
haben. Die explizite Rechnung dazu ist wie folgt:
\begin{lemma}\label{mcf geom evolgl lem}
  Sei $X\colon\Omega\times[0,T)\to\R^{n+1}$ eine L\"osung des
  mittleren Kr\"ummungsflusses $\dt X=-H\nu$ oder eine L\"osung, deren
  Normalengeschwindigkeit gerade die mittlere Kr\"um\-mung ist:
  $\left\langle\dt X,\nu\right\rangle =-H$. Sei $R\in O(n+1)$ eine
  orthogonale Abbildung und $\psi\colon\hat\Omega\times[0,T)\to\Omega$
  glatt, so dass $\psi(\cdot,t)\colon\hat\Omega\to\Omega$ f\"ur alle
  $t\in[0,T)$ ein Diffeomorphismus ist. Dann ist die
  Normalengeschwindigkeit von $\hat X(x,t):=RX(\psi(x,t),t)$, in
  Koordinaten $\hat X^\alpha(x,t) =R^\alpha_\beta
  X^\beta(\psi(x,t),t)$, gerade die mittlere
  Kr\"ummung: \[\left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =-\hat H.\]
  Weiterhin gilt $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$.
\end{lemma}
Den Diffeomorphismus $\psi$ kann man verwenden, um die Hyperfl\"achen
anders zu parametrisieren. Daher kann man nicht mehr erwarten, dass
die Tangentialgeschwindigkeit verschwindet, wenn wir $\psi$
verwenden. Die Bilder von $X$ und $X\circ\psi$ stimmen aber
\"uberein. Daher passiert in beiden F\"allen geometrisch das Gleiche.
\begin{proof}[Beweis]
  Gr\"o\ss{}en zu $\hat X$ bezeichnen wir mit $\hat\nu$, $\hat H$,
  $\hat g_{ij}$, \ldots. \par Es gilt
  \begin{align*}
    \dt\hat X^\alpha =&\,R^\alpha_\beta \fracp{}t X^\beta
    +R^\alpha_\beta
    X^\beta_k\dot\psi^k,\umbruch\\
    \hat X_i^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_i,\umbruch\\
    \hat X_{,ij}^\alpha =&\,R^\alpha_\beta X^\beta_k\psi^k_{ij}
    +R^\alpha_\beta X^\beta_{,kl}\psi^k_i\psi^l_j.
  \end{align*}
  W\"ahlen wir $\hat\nu^\alpha =R^\alpha_\beta\nu^\beta$, also
  $\hat\nu =R\nu$, so ist dies eine Normale an die Fl\"ache $\hat X$,
  da $\langle R\nu,R\nu\rangle =\langle\nu,\nu\rangle =1$ und
  $\left\langle R\nu,\left(R^\alpha_\beta
      X^\beta_k\psi^k_i\right)_\alpha \right\rangle =\langle \nu,
  X_k\rangle\psi^k_i=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$ gelten. 
  Wir erhalten
  \begin{align*}
    \left\langle\dt\hat X,\hat\nu\right\rangle =&\,\fracp{}tX^\alpha
    R_\alpha^\beta \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta\nu^\delta
    +\dot\psi^i X^\alpha_iR_\alpha^\beta
    \delta_{\beta\gamma}R^\gamma_\delta
    \nu^\delta\umbruch\\
    =&\, -H\nu^\alpha\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta
    +\dot\psi^iX^\alpha_i\delta_{\alpha\delta}\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-H+0. 
  \end{align*}
  Andererseits gilt 
  \begin{align*}
    \hat g_{ij}=&\,\hat X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}\hat X^\beta_j
    =\psi_i^kX^\gamma_kR^\alpha_\gamma \delta_{\alpha\beta}
    R^\beta_\delta X^\delta_l\psi^l_j =\psi^k_iX^\gamma_k
    \delta_{\gamma\delta} X^\delta_l\psi^l_j
    =\psi^k_ig_{kl}\psi^l_j,\\
    \hat h_{ij}=&\,-\left\langle\hat X_{,ij},\hat \nu\right\rangle
    =-\psi^k_{ij}X^\beta_kR^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta -\psi^k_i\psi^l_j
    X^\beta_{,kl}R^\alpha_\beta \delta_{\alpha\gamma}
    R^\gamma_\delta\nu^\delta\umbruch\\
    =&\,-\psi^k_{ij}X^\beta_k\delta_{\beta\delta}\nu^\delta
    +\psi^k_i\left(-X^\beta_{,kl}\delta_{\beta\delta}
      \nu^\delta\right) \psi^l_j =0+\psi^k_ih_{kl}\psi^l_j.
  \end{align*}
  $\psi$ ist ein Diffeomorphismus. Also ist
  $\left(\psi^i_j\right)_{1\le i,j\le n}$ eine invertierbare Matrix
  und die Eigenwerte von $h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ und von $\hat
  h_{ij}$ bez\"uglich $\hat g_{ij}$ stimmen \"uberein: Sei n\"amlich
  $\xi$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, \dh gelte \[\lambda
  g_{ij}\xi^j =h_{ij}\xi^j\] und $\xi\neq0$. Dann folgt f\"ur
  $\hat\xi^i:=\Psi^i_k\xi^k$ mit $\Psi(\cdot,t):=(\psi(\cdot,t))^{-1}$
  \[\lambda\hat g_{kl}\hat\xi^l =\lambda\psi^i_kg_{ij}
  \psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\lambda\psi^i_k g_{ij}\xi^m
  =\psi^i_kh_{ij}\xi^j =\psi^i_kh_{ij}\psi^j_l\Psi^l_m\xi^m =\hat
  h_{kl}\hat\xi^l.\] Andersherum argumentiert man analog. Somit folgt
  $\hat H(x,t)=H(\psi(x,t),t)$ und damit die Behauptung.
\end{proof}

\Subsection{Kontrahierende Sph\"aren}
Wir haben gerade in Lemma \ref{mcf geom evolgl lem} gesehen, dass die
mittlere Kr\"ummung sich unter Rotationen nicht \"andert. Da
$\S^n\subset\R^{n+1}$ unter Rotationen invariant ist, \dh es gilt
$R\S^n=\S^n$ f\"ur alle $R\in O(n+1)$, ist die mittlere Kr\"ummung der
Sph\"are \"uberall gleich. Daher erhalten wir eine L\"osung des
mittleren Kr\"ummungsflusses, die aus zentrierten Sph\"aren
besteht. Der Nachweis, dass es keine weitere L\"osung gibt ist nicht
ganz so trivial, wie man am Beispiel der partiellen
Differentialgleichung $\dot u=\Delta u$ mit $u(\cdot,0)=0$ im $\R^n$
sieht (aber nicht in dieser Vorlesung).

Der folgende Satz beschreibt die Evolution runder Sph\"aren unter dem
mittleren Kr\"ummungsfluss. 
\begin{theorem}\label{sphere evol mcf thm}
  Sei $Y\colon\R^n\to\S^n\subset\R^{n+1}$ eine Einbettung einer
  offenen Menge einer Sph\"are. 
  Sei $X\colon\R^n\times[0,T)\to\R^{n+1}$ durch $X(x,t)=r(t)Y(x)$ mit
  $r(0)=r_0>0$ eine L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses. Dann
  gilt f\"ur $0\le t<\min\left\{\frac{r_0^2}{2n},T\right\}$
  \[r(t)=\sqrt{r_0^2-2nt}.\]
\end{theorem}
Nat\"urlich handelt es sich auch f\"ur beliebige $t<0$ noch um eine
L\"osung; die angegebene L\"osung ist eine sogenannte ``ancient
solution''. Eine ``eternal solution'' w\"are eine L\"osung, die f\"ur
alle $-\infty<t<\infty$ existiert. Solch eine L\"osung kann aber nicht
mehr kompakt sein, da keine solche L\"osung aufgrund des
Vergleichsprinzips (nicht Inhalt dieser Vorlesung) f\"ur beliebige
positive Zeiten existieren kann. 

Als Vorbereitung \"uberlegen wir uns, wie sich geometrische
Gr\"o\ss{}en unter Skalierungen \"andern. 
\begin{lemma}\label{geom gr skal lem}
  Sei $X\colon\R^n\to\R^{n+1}$ eine Immersion. Sei $\mu>0$. Dann gilt
  f\"ur $\tilde X:=\mu X$, wenn wir s\"amtliche geometrische
  Gr\"o\ss{}en der Einbettung $\tilde X$ mit Schlangen
  markieren \[g_{ij} =\mu^2g_{ij},\quad \tilde\nu=\nu,\quad \tilde
  h_{ij}=\mu h_{ij}\quad\text{und}\quad\tilde H=\frac1\mu H.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt \[\tilde g_{ij} =\left\langle\tilde X_i,\tilde
    X_j\right\rangle =\mu^2\left\langle X_i,X_j\right\rangle
  =\mu^2g_{ij}.\] Die Normale $\nu$ steht nicht nur auf den
  Tangentialvektoren $X_i$, sondern auch auf $\tilde X_i=\mu X_i$
  senkrecht. Deshalb gilt $\tilde\nu =\nu$. F\"ur die zweite
  Fundamentalform erhalten wir \[\tilde h_{ij} =-\left\langle\tilde
    X_{,ij},\tilde\nu\right\rangle =-\langle\mu X_{,ij},\nu\rangle
  =\mu h_{ij}.\] Somit ergibt sich schlie\ss{}lich f\"ur die mittlere
  Kr\"ummung \[\tilde H=\tilde g^{ij}\tilde h_{ij}
  =\frac1{\mu^2}g^{ij} \mu h_{ij} =\frac1\mu H.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{sphere evol mcf thm}]
  Wir benutzen Lemma \ref{geom gr skal lem} um eine
  Evolutionsgleichung f\"ur $r(t)$ zu erhalten. Es gilt 
  \begin{align*}
    \dt X =&\,\dt(r(t)Y) =\dot r(t)Y\umbruch\\
    =\dt X =&\,-H\nu =-\frac1{r(t)}H^Y\nu =-\frac1{r(t)}H(1)Y, 
  \end{align*}
  wobei $H^Y$ die mittlere Kr\"ummung der Einbettung $Y$
  bezeichnet. Wegen $H^Y=n$, siehe Beispiele \ref{hauptkr bsp}
  erf\"ullt $r(t)$ die gew\"ohnliche Differentialgleichung \[\dt
  r(t)=-\frac n{r(t)}.\] 
  % Wir geben zun\"achst eine Methode an, bei der wir lernen, wie sich
  % $g_{ij}$ und $h_{ij}$ unter Skalierungen verhalten. \par
  % Sei $\sigma_{ij}$ die Metrik der Einheitssph\"are. Dann gilt f\"ur
  % die Einbettung $X\colon\S^n\to \R^{n+1}$ mit $X(p)=rp$
  % \[g_{ij}(r) =\langle X_i(r),X_j(r)\rangle =r^2\langle
  % X_i(1),X_j(1)\rangle =r^2\sigma_{ij}.\] Aus $\nu(r)=\nu(1)$ und
  % $h_{ij}(r)=-\langle rX_{,ij}(1),\nu\rangle =rh_{ij}(1)$ erhalten wir
  % \[H(r)=g^{ij}(r)h_{ij}(r) =\frac1{r^2}g^{ij}(1)rh_{ij}(1) =\frac1r
  % H(1).\] Also folgt 
  % \begin{align*}
  %   \dt X =&\,\dt(r(t)p) =\dot r(t)p\umbruch\\
  %   =\dt X =&\,-H\nu =-\frac1{r(t)}H(1)\nu =-\frac1{r(t)}H(1)p. 
  % \end{align*}
  % Es gilt $H(1)=n$. Wir rechnen dies hier nochmals ein wenig
  % expliziter als im obigen Beispiel \ref{hauptkr bsp} nach. F\"ur die
  % untere Einheits-Hemisph\"are liefert $u(x)=-\sqrt{1-|x|^2}$ eine
  % Graphendarstellung. Es folgt
  % \begin{align*}
  %   u_i=&\,\frac{x_i}{\sqrt{1-|x|^2}},\umbruch\\
  %   \sqrt{1+|Du|^2} =&\,\sqrt{1+\frac{|x|^2}{1-|x|^2}}
  %   =\sqrt{\frac1{1-|x|^2}},\umbruch\\
  %   u_{ij}=&\,\frac1{\sqrt{1-|x|^2}}\left(\delta_{ij}
  %     +\frac{x_ix_j}{1-|x|^2}\right)
  %   =\frac1{\sqrt{1-|x|^2}}\left(\delta_{ij} +u_iu_j\right)\\
  %   =&\,\sqrt{1+|Du|^2}g_{ij},\umbruch\\
  %   h_{ij}=&\,\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}} =g_{ij},\umbruch\\
  %   H=&\,g^{ij}h_{ij}=n. 
  % \end{align*}
  % Damit erhalten wir $\dot r(t)=-\frac n{r(t)}$. 
  Also folgt nach Multiplikation mit
  $r(t)$ \[\frac12\dt\left(r^2(t)\right)=r(t)\dot r(t)=-n\] und daher
  die oben angegebene L\"osung.
\end{proof}

% Aus den Rechnungen im Beweis von Theorem \ref{sphere evol mcf thm}
% erhalten wir. 
% \begin{corollary}
%   Sei $\sigma_{ij}$ die Metrik der Einheitssph\"are, dann gilt f\"ur
%   eine Sph\"are vom Radius $r$ \[g_{ij}=r^2\sigma_{ij}\quad\text{sowie}
%   \quad h_{ij}=r\sigma_{ij}.\] 
% \end{corollary}

\begin{aufgabe}
  Benutze die lokale Graphendarstellung $u(x,t)=-\sqrt{r^2(t)-|x|^2}$
  in $B_{r(t)}(0)$ und die Gleichung des graphischen mittleren
  Kr\"ummungsflusses um Theorem \ref{sphere evol mcf thm} nochmals zu
  beweisen.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Bestimme das Verhalten von Sph\"aren, die sich mit
  Normalengeschwindigkeit $|A|^2$, $K$, $-\frac1H$, $-\frac1K$ oder
  $H^k$, $k>0$, bewegen.
\end{aufgabe}

\Section{Unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss translatierende ganze
  Graphen} 
\def\abschnitt{MCF Translatierer}

Wir folgen teilweise \cite{JCOSFSMCFStability}. \par Ein ganzer Graph
ist der Graph einer Funktion, die auf ganz $\R^n$ definiert ist. 

\Subsection{Reduktion auf eine gew\"ohnliche Differentialgleichung}

Wir betrachten stets in vertikaler Richtung translatierende
L\"osungen. 

\begin{lemma}
  \label{translat mcf ode lem}
  Sei $u\colon\R^n\times(-\infty,\infty)\to\R$ eine translatierende
  L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses, \dh
  gelte \[\lambda=\dot u=\v\cdot\H\] f\"ur ein $\lambda\in\R$.  Es
  folgt $u(x,t)=U(x)+\lambda t$. Sei $U\in C^2_\loc\left(\R^n\right)$
  und gelte $U(x)=\Phi(|x|)$. Dann folgt \[\lambda
  =\frac{\Phi''}{1+(\Phi')^2} +\Phi'\frac{n-1}r,\]
  wobei wir $r=|x|$ benutzt haben. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt \[\lambda =\Delta U-\frac{U_{ij}U^iU^j}{1+|DU|^2},\] wobei
  wir $U^i\equiv\delta^{ij}U_j$ abk\"urzen. Wir erhalten 
  \begin{align*}
    U_i=&\,\Phi'\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
    U_{ij}=&\,\Phi'\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
      -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
    +\Phi''\frac{x_ix_j}{|x|^2},\umbruch\\ 
    \Delta U=&\,\Phi'\frac{n-1}{|x|} +\Phi'',\umbruch\\
    U_{ij}U^iU^j=&\,\Phi''(\Phi')^2,\umbruch\\
    1+|DU|^2=&\,1+(\Phi')^2,\umbruch\\
    \Delta U-\frac{U_{ij}U^iU^j}{1+|DU|^2} =&\,\Phi'\frac{n-1}r
    +\Phi'' -\frac{\Phi''(\Phi')^2}{1+(\Phi')^2} =\Phi'\frac{n-1}r
    +\frac{\Phi''}{1+(\Phi')^2}.     
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Haben wir die gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur eine
    rotationssymmetrische translatierende L\"o\-sung gel\"ost und
    damit eine translatierende L\"osung gefunden, so erhalten wir
    weitere rotationssymmetrische translatierende L\"osungen durch
    Addition einer Konstanten.
  \item Wir werden sp\"ater translatierende L\"osungen mit
    Geschwindigkeit eins betrachten. Dann erf\"ullt $\phi:=\Phi'$ die
    Differentialgleichung 
    \begin{equation}
      \label{translat ode}
      \phi'=\left(1+\phi^2\right)
      \left(1-\frac{n-1}r\phi\right).
    \end{equation}
  \item Im Fall von Kurven, also $n=1$, k\"onnen wir die
    Differentialgleichung explizit l\"osen. Ist
    $\Phi(r)=-\log\cos(r)$, $-\frac\pi2<r<\frac\pi2$, so gilt $\phi(r)
    =\Phi'(r) =\frac{\sin r}{\cos r}$, $\phi'(r)
    =\frac{\cos^2r+\sin^2r}{\cos^2r} =\frac1{\cos^2r}$ und somit
    l\"ost $\phi$ die Differentialgleichung. Nur in diesem Falle ist
    die L\"osung lediglich auf einer beschr\"ankten Menge definiert. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}[Reduktion auf Geschwindigkeit eins]
  Sei $u\colon\R^n\times(-\infty,\infty)\to\R$ eine translatierende
  L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses, \dh
  gelte \[\lambda=\dot u=\v\cdot\H\] f\"ur ein $\lambda\in\R$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $\hat u(x,t):=-u(x,t)$ ist eine mit
    Geschwindigkeit $-\lambda$ translatierende L\"osung.
  \item Ist $\lambda>0$, so ist $\hat u(x,t):=\lambda u\left(\frac
      x\lambda,\frac t{\lambda^2}\right)$ eine mit (vertikaler)
    Geschwindigkeit $1$ translatierende L\"osung.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Klar.
  \item Es gilt $\dot{\hat u}=\frac1\lambda\dot u$, $\hat u_i=u_i$,
    $\hat u_{ij} =\frac1\lambda u_{ij}$. Die Differentialgleichung
    k\"onnen wir durch Ausrechnen der Divergenz auch als \[\dot
    u=\Delta u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}\] schreiben. Diese wird
    auch von $\hat u$ erf\"ullt. Somit folgt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Aus dem obigen Beweis liest man ab, dass man durch Spiegelungen oder
  parabolische Skalierungen in Raum und Zeit die Eigenschaft, eine
  L\"osung des (graphischen) mittleren Kr\"ummungsflusses zu sein,
  erh\"alt.
\end{remark}

Es gen\"ugt also, translatierende L\"osungen mit Geschwindigkeit $0$
oder $1$ zu betrachten. 

\begin{remark}[Geschwindigkeit Null]
  Sei $\phi\colon(0,\infty)\to\R$ ein L\"osung
  von \[\phi'=-\left(1+\phi^2\right)\phi\frac{n-1}r,\] wobei $\phi$ zu
  einer $C^2$-L\"osung $u$ geh\"ort. Diese Differentialgleichung wird
  von einer translatierenden L\"osung mit Geschwindigkeit Null
  erf\"ullt. Dann gilt $\phi\equiv 0$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $r\to0$ gilt $\phi\to0$, da der zugeh\"orige Graph im Ursprung
  von der Klasse $C^2$ sein soll. Ist $\phi>0$, so folgt $\phi'<0$ und
  umgekehrt. Dies ist nur f\"ur $\phi\equiv 0$ m\"oglich.   
\end{proof}

\Subsection{Existenz nahe $r=0$}

\begin{lemma}[Regularit\"at im Ursprung]
  \label{regularitaet ursprung lem} 
  Die Funktion $U\colon\R^n\to\R$, $n\ge2$, mit $U(x)=\Phi(|x|)$ mit
  $\Phi\in C^2_{loc}((0,\infty))$ ist genau dann in einer Umgebung des
  Ursprungs von der Klasse $C^2$, wenn
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lim\limits_{r\searrow0}\frac{\Phi'(r)}r$ in $\R$ existiert 
    und
  \item $\Phi'(r)\to0$ sowie
  \item $-\frac{\Phi'(r)}r+\Phi''(r)\to0$ 
  \end{enumerate}
  f\"ur $r\searrow0$ gelten oder
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lim\limits_{r\searrow0}\frac{\phi(r)}r$ existiert in $\R$
    und
  \item $\phi(r)\to0$ sowie
  \item $-\frac{\phi(r)}r+\phi'(r)\to0$
  \end{enumerate}
  f\"ur $r\searrow0$ gelten. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die folgt direkt aus den Ausdr\"ucken f\"ur $U_i$ und $U_{ij}$ in
  Lemma \ref{translat mcf ode lem}. Benutze den Beweis des Satzes von
  Taylor. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{aequiv psi ode reg bed lem}
  Die Differentialgleichung \eqref{translat ode} f\"ur
  $r\in(0,\infty)$ ist \"aquivalent zu
  \begin{equation}
    \label{translat inf ode}
    \psi'=\left(1+\psi^2\right)
    \cdot\left((n-1)\cdot\psi-e^{-r}\right) 
  \end{equation}
  mit $\psi(r):=\phi\left(e^{-r}\right)$ und $r\in\R$. \par
  Die Regularit\"atsbedingungen aus Lemma \ref{regularitaet ursprung
    lem} werden zu 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lim\limits_{r\to\infty}\frac{\psi(r)}{e^{-r}}$ existiert in
    $\R$,
  \item $\psi(r)\to0$ sowie 
  \item $e^r\left(\psi(r)+\psi'(r)\right)\to0$ 
  \end{enumerate}
  f\"ur $r\to\infty$. 
\end{lemma}
% Ueberlegen, ob hier die Variable r in rho umbenannt werden sollte. 
\begin{proof}[Beweis]
  Aus \eqref{translat ode} erhalten wir an der Stelle $e^{-r}$ nach
  Durchmultiplizieren mit $e^{-r}$ \[e^{-r}\phi'\left(e^{-r}\right)
  =\left(1+\phi^2\left(e^{-r}\right)\right)
  \cdot\left(e^{-r}-(n-1) \cdot\phi\left(e^{-r}\right)\right).\]
  Wir setzen $\psi(r):=\phi\left(e^{-r}\right)$ und erhalten
  \begin{align*}
    \psi'(r)=&\,\phi'\left(e^{-r}\right)\cdot(-1)\cdot
    e^{-r}\umbruch\\
    =&\,\left(1+\phi^2\left(e^{-r}\right)\right)
    \cdot\left((n-1)\cdot\phi\left(e^{-r}\right)
      -e^{-r}\right)\umbruch\\
    =&\,\left(1+\psi^2(r)\right)\cdot
    \left((n-1)\cdot\psi-e^{-r}\right).
  \end{align*}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt $\lim\limits_{r\searrow0}\frac{\phi(r)}r
    =\lim\limits_{r\to\infty}\frac{\phi\left(e^{-r}\right)}{e^{-r}}
    =\lim\limits_{r\to\infty}\frac{\psi(r)}{e^{-r}}$.
  \item Ist klar. 
  \item Es gilt $0\overset!\leftarrow e^r(\psi(r)+\psi'(r))
    =e^r\left(\phi\left(e^{-r}\right)
      -e^{-r}\phi'\left(e^{-r}\right)\right)
    =\frac{\phi\left(e^{-r}\right)}{e^{-r}}-\phi'\left(e^{-r}\right)$
    f\"ur $r\to\infty$ oder $e^{-r}\to0$. \qedhere  
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{exist nahe r null thm}
  Sei $n\ge2$. Es gibt genau ein $a\in(0,1)$, so dass \eqref{translat
    inf ode}, also \[\psi'(r)=\left(1+\psi^2(r)\right)\cdot
  \left((n-1)\cdot\psi(r) -e^{-r}\right),\] mit $\psi(0)=a$ eine
  L\"osung $\psi$ f\"ur alle $r\in[0,\infty)$ besitzt. Diese L\"osung
  $\psi$ erf\"ullt die Regularit\"atsbedingungen aus Lemma \ref{aequiv
    psi ode reg bed lem}.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wegen \[\left(1+\psi^2\right)(n-1)\psi\ge
    \psi'\ge\left(1+\psi^2\right)\left((n-1)\psi-1\right)\] f\"ur
    $r\ge0$ gibt es zu jeder L\"osung mit $\psi(r_0)\in[0,1]$,
    $r_0\ge0$, ein $\epsilon=\epsilon(n)>0$ so dass die maximale
    L\"osung mindestens bis $r_0+\epsilon$ existiert.
  \item Ist $\psi$ eine L\"osung mit $(n-1)\psi(r_0)-e^{-r_0}\ge0$
    f\"ur ein $r_0\ge0$, so existiert diese L\"osung nicht auf ganz
    $[0,\infty)$: Setze $w(r):=(n-1)\psi(r)-e^{-r}$. Dann gilt
    \begin{align*}
      \frac d{dr}w(r) =&\,(n-1)\psi'(r)+e^{-r}>(n-1)\psi'(r)\umbruch\\
      =&\,(n-1)\left(1+\psi^2(r)\right) w(r).
    \end{align*}
    Somit gibt es ein $\delta>0$, so dass $w(r)>\delta$ f\"ur alle
    $r\ge r_0+1$ gilt. Wir erhalten f\"ur $r\ge r_0+1$
    \begin{align*} 
      \frac d{dr}w(r) \ge&\,(n-1)\left(1+\psi^2(r)\right)\delta >
      (n-1)\delta\psi^2(r)
      \ge(n-1)\delta\left(\frac{w(r)}{n-1}\right)^2\umbruch\\
      \equiv&\,\tilde\delta w^2(r).       
    \end{align*}
    Diese Differentialungleichung besitzt keine L\"osung $w(r)>\delta$
    f\"ur alle $r_0+1\le r<\infty$: $\hat
    w(r):=\frac1{\tilde\delta(R-r)}$ l\"ost die Differentialgleichung
    und es gilt $(w-\hat w)'\ge\tilde\delta w^2-\tilde\delta\hat w^2
    =\tilde\delta(w+\hat w)(w-\hat w)$. Ist also $R\gg1$ so gro\ss{}
    gew\"ahlt, dass anfangs, \dh f\"ur $r=r_0+1$, die Ungleichung
    $w-\hat w\ge0$ gilt, so gilt sie f\"ur alle gr\"o\ss{}eren $r$
    ebenfalls. Wegen $\lim\limits_{r\nearrow R}\hat w=\infty$ kann
    auch $w$, und damit $\psi$, nicht f\"ur alle $r\in[r_0,\infty)$
    existieren. \par 
    Damit gilt f\"ur eine L\"osung, die bis $r=\infty$ existiert,
    stets $w<0$ und daher auch $\psi'<0$.\par 
    Dies gilt insbesondere auch f\"ur $r=0$. F\"ur die gesuchte
    globale L\"osung muss also $a<\frac1{n-1}$ gelten. 
  \item Eine auf $[0,\infty)$ definierte L\"osung erf\"ullt
    $\psi(r)>0$ f\"ur alle $r$: Sonst erhalten wir $\psi'(r_0)<0$
    f\"ur ein $r_0$ und somit $\psi(r_1)\le-\delta$ f\"ur ein $r_1>0$
    und ein $\delta>0$. Diese Ungleichung gilt auch f\"ur alle
    $r>r_1$: Sei $r_2>r_1$ minimal mit $\psi(r_2)=0$ oder setze
    $r_2:=\infty$ falls kein solches $r_2$ existiert. Dann gilt
    $\psi(r)\le 0$ f\"ur $r\in[r_1,r_2]$ und aufgrund der
    Differentialgleichung $\psi'(r)<0$ ebenfalls f\"ur
    $r\in[r_1,r_2]$. Integrieren liefert dort $\psi(r)\le
    \psi(r_1)\le-\delta$. \par
    Folglich ist $r_2=\infty$ und es
    gilt \[\psi'(r)=\left(1+\psi^2(r)\right)
    \left((n-1)\psi(r)-e^{-r}\right)\le-\delta\psi^2(r).\] Ebenso wie
    oben sehen wir, dass solch eine L\"osung nicht f\"ur alle $r\ge0$
    existieren kann.
  \item Sei $\psi_a$ die L\"osung von \eqref{translat inf ode} mit
    Anfangswert $\psi_a(0)=a$, $a\in[0,1]$. Dann existiert $\psi_a$
    mindestens auf $[0,\epsilon]$. Es gilt aufgrund der obigen
    \"Uberlegungen $\psi_1(\epsilon)>1$ und $\psi_0(\epsilon)<0$. Die
    L\"osungen h\"angen stetig vom Anfangswert $a\in[0,1]$ ab und
    f\"ur $a\neq b$ gilt aufgrund der eindeutigen L\"osbarkeit
    $\psi_a(r)\neq\psi_b(r)$ f\"ur alle $r\in[0,\epsilon]$. Somit gibt
    es ein maximales abgeschlossenes Intervall $I_1\subset[0,1]$ mit
    $\psi_a(\epsilon)\in[0,1]$ f\"ur alle $a\in I_1$.\par
    Hieraus folgt, dass $\psi_a$ f\"ur alle $a\in I_1$ mindestens auf
    dem Intervall $[0,2\epsilon]$ existiert. Sei $I_2$ das maximale
    abgeschlossene Intervall in $I_1$ mit $\psi_a(2\epsilon)\in[0,1]$
    f\"ur alle $a\in I_2$. Iterativ erhalten wir f\"ur $k\in\N$
    Intervalle $I_k$, so dass $\psi_a$ mindestens auf $[0,k\epsilon]$
    existiert und dort $\psi_a\in[0,1]$ erf\"ullt, falls $a\in I_k$
    gilt, denn L\"osungen, die bereits vorher eine der beiden Grenzen
    erreichen, k\"onnen nicht mehr in das Intervall $[0,1]$
    zur\"uckkehren.\par
    Setze $I:=\bigcap\limits_{k\in\N_+}I_k$. Da $I\neq\emptyset$ ist,
    haben wir eine L\"osung von \eqref{translat inf ode} gefunden.
  \item Zur Eindeutigkeit: Bestehe $I$ aus mehr als einem Punkt. Seien
    $\psi$ und $\chi$ zwei zugeh\"orige unterschiedliche L\"osungen
    von \eqref{translat inf ode}. Setze $w:=\psi-\chi$. Sei ohne
    Einschr\"ankung $w\ge0$. Wir erhalten
    \begin{align*}
      w'=&\,\psi'-\chi'
      =\left(1+\psi^2\right)\left((n-1)\psi-e^{-r}\right)
      -\left(1+\chi^2\right)\left((n-1)\chi-e^{-r}\right)\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^1\dt \left\{\left(1+(t\psi+(1-t)\chi)^2\right)
        \left((n-1)(t\psi+(1-t)\chi)-e^{-r}\right)\right\}\,dt\umbruch\\
      =&\,2\int\limits_0^1(t\psi+(1-t)\chi)
      \left((n-1)(t\psi+(1-t)\chi)-e^{-r}\right)\,dt\cdot(\psi-\chi)\\
      &\quad+\int\limits_0^1\left(1+(t\psi+(1-t)\chi)^2\right)
      (n-1)\,dt\cdot(\psi-\chi).
    \end{align*}
    Aus $e^{-r}\ge(n-1)\psi\ge0$ und einer entsprechenden Ungleichung
    f\"ur $\chi$ erhalten wir \[w'\ge (n-3/2)w\] f\"ur $r\ge r_0$. Wir
    d\"urfen ohne Einschr\"ankung $w(r_0)>0$ annehmen, da sonst
    $w\equiv0$ gilt. Somit w\"achst $w$ exponentiell, was $|w|\le
    2e^{-r}$ widerspricht.
  \item Die Regularit\"atsbedingung $\psi(r)\to0$ f\"ur $r\to\infty$
    ist aufgrund der obigen \"Uberlegungen erf\"ullt. 
  \item Definiere $w(r):=e^r\psi(r)$ f\"ur die L\"osung $\psi$. Wir
    wissen bereits, dass $0\le\psi\le\frac1{n-1}e^{-r}$ und somit
    $0\le w\le\frac1{n-1}$ gilt. Wir erhalten als
    Differentialgleichung f\"ur $w$
    \begin{align*}
      w'=&\,e^r\psi+e^r\psi'\umbruch\\
      =&\,e^r\psi+e^r\left(1+\psi^2\right)
      \left((n-1)\psi-e^{-r}\right)\umbruch\\ 
      =&\,e^r\psi+(n-1)e^r\psi-1+(n-1)e^r\psi\psi^2-\psi^2\umbruch\\
      =&\,\left(n+(n-1)\psi^2\right)w -1-\psi^2.
    \end{align*}
    Wir wollen nun zeigen, dass 
    \begin{equation}
      \label{w lim eq}
      \lim\limits_{r\to\infty}w=\frac1n      
    \end{equation}
    gilt. Zu $\epsilon>0$ gibt es $r_0\gg1$ mit
    $(n-1)\psi^2\le\epsilon$ f\"ur $r\ge r_0$.  Somit erhalten wir die
    Dif\-fe\-ren\-tial\-un\-glei\-chun\-gen
    \[nw-1-\epsilon\le w'\le (n+\epsilon)w-1\quad\text{f\"ur }r\ge
    r_0.\] Um \eqref{w lim eq} zu zeigen, beweisen wir: Es
    gilt 
    \begin{equation}
      \label{w schranken eq}
      \frac1{n+\epsilon}\le w(r)\le \frac{1+\epsilon}n
    \end{equation}
    f\"ur alle $r\ge r_0$. Da $\epsilon>0$ beliebig war, folgt daraus
    die Behauptung. \par \textbf{Obere Schranke:} Unsere Strategie ist
    es, eine untere Barriere $w_1$ zu konstruieren, konkreter eine
    Funktion, die $w_1'=nw_1-1-\epsilon$ erf\"ullt zu finden (wobei
    \glqq$\le$\grqq{} auch reichen w\"urde). Ist dann die obere
    Schranke verletzt, gilt $w(r_1)\ge w_1(r_1)$ f\"ur ein $r_1\ge
    r_0$ und aufgrund der Barriereneigenschaft folgt dann $w(r)\ge
    w_1(r)$ f\"ur alle $r\ge r_1$, was zu einem Widerspruch f\"uhren
    wird: \par
    Sei also $w_1$ eine L\"osung von $w'=nw-1-\epsilon$. Definiere
    $u:=w_1-\frac{1+\epsilon}n$. Wir erhalten die
    Differentialgleichung $u'=w'_1=nw_1-1-\epsilon =nu$, also
    $u=Ae^{nr}$ und $w_1=Ae^{nr}+\frac{1+\epsilon}n$. Die Funktion
    $w_1$ ist eine untere Barriere f\"ur $w$. Falls die rechte
    Ungleichung in \eqref{w schranken eq} verletzt ist, finden wir
    $r_1\ge r_0$ mit $w(r_1)> \frac{1+\epsilon}n$. Dann gibt es ein
    kleines $A>0$ mit $w_1(r_1)=Ae^{nr_1}+\frac{1+\epsilon}n
    <w(r_1)$. Aufgrund der Differentialungleichung folgt $w_1(r)<w(r)$
    f\"ur alle $r\ge r_1$. Dies liefert aber einen Widerspruch, da
    $w_1$ exponentiell w\"achst und $w\le\frac1{n-1}$ gilt.\par
    \textbf{Untere Schranke:} Wir argumentieren \"ahnlich wie f\"ur
    die obere Schranke. Sei $w_2$ eine L\"osung von
    $w'=(n+\epsilon)w-1$. Wir erhalten mit $u:=w_2-\frac1{n+\epsilon}$
    die Differentialgleichung $u'=w'_2 =(n+\epsilon)w_2-1
    =(n+\epsilon)u$ und daher $u(r)=Ae^{(n+\epsilon)r}$ sowie
    $w_2=Ae^{(n+\epsilon)r} +\frac1{n+\epsilon}$. Falls die linke
    Ungleichung in \eqref{w schranken eq} verletzt w\"are, g\"abe es
    ein $r_1\ge r_0$ mit $w(r_1)<\frac1{n+\epsilon}$. F\"ur ein
    betragsm\"a\ss{}ig kleines $A<0$ erhalten wir
    $w(r_1)<w_2(r_1)$. Da $w_2$ eine obere Barriere f\"ur $w$ ist,
    folgt \[0\le w(r)<w_2(r)= Ae^{(n+\epsilon)r} +\frac1{n+\epsilon}\]
    f\"ur alle $r\ge r_1$. Wegen $A<0$ erhalten wir f\"ur $r\to\infty$
    einen Widerspruch.\par
    \eqref{w lim eq} folgt.
  \item Multiplizieren wir die Differentialgleichung mit $e^r$, so
    konvergiert die rechte Seite aufgrund der obigen \"Uberlegungen,
    \[e^r\psi'=\left(1+\psi^2\right)\left((n-1)e^r\psi-1\right)
    \to1\cdot\left(\frac{n-1}n-1\right) =-\frac1n.\] Wir erhalten
    $e^r(\psi(r)+\psi'(r))\to0$ f\"ur $r\to\infty$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Wir haben somit in $B_1(0)$ die Existenz einer rotationssymmetrischen
translatierenden L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses
mit Geschwindigkeit eins gezeigt. Bis auf additive Konstanten ist
diese L\"osung eindeutig bestimmt. 

Alternativ k\"onnen wir den Existenzbeweis aus Theorem \ref{exist nahe
  r null thm} wie folgt f\"uhren:
\begin{theorem}
  Es gibt eine L\"osung $\psi\in C^1([0,\infty))$ der
  Differentialgleichung
  \[\psi'(r)=\left(1+\psi^2(r)\right)\left((n-1) \psi-e^{-r}\right)\]  
  mit $\psi(r)\to 0$ f\"ur $r\to\infty$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir betrachten die Differentialgleichung auf dem Intervall
    $[0,k]$ mit Anfangswert $\psi(k)=0$, $k\in \N$, und wollen zeigen,
    dass die zugeh\"origen L\"osungen $\psi_k$ auf ganz $[0,k]$
    existieren und a priori Absch\"atzungen erf\"ullen, die es
    erlauben, zu zeigen, dass zumindest eine Teilfolge der $\psi_k$
    f\"ur $k\to\infty$ gegen eine L\"osung mit $\psi(r)\to 0$ f\"ur
    $r\to\infty$ konvergiert.
  \item Da wir den Anfangswert lieber an der linken als an der rechten
    Intervallgrenze vorgeben, definieren wir $\chi(r)=\psi(-r)$ und
    schreiben das Anfangswertproblem
    \[\begin{cases}
      \psi'(r)=\left(1+\psi^2(r)\right)\left((n-1)\psi-e^{-r}\right),
      & r\in[0,k],\\ 
      \psi(+k)=0
    \end{cases}\]
    \"aquivalent um:
    \[\begin{cases}
      \chi'(r)=-\psi'(-r)\,=\left(1+\chi^2(r)\right)
      \left(e^r-(n-1)\chi(r)\right), & r\in[-k,0],\\ 
      \chi(-k)=0.
    \end{cases}\] Dieses Anfangswertproblem besitzt eine L\"osung
    $\chi_k$ auf einem maximalen Existenz\-intervall $I_k\subset
    [-k,0]$ mit $-k\in I_k$.\par
    Wir leiten nun Absch\"atzungen f\"ur $\chi_k$ her. Dabei schreiben
    wir $\chi$ statt $\chi_k$.
  \item Es gilt $\chi>0$ auf $I_k\backslash \{-k\}$: Aufgrund der
    Differentialgleichung gilt $\chi'(-k)=e^r>0$. Somit gilt die
    Behauptung f\"ur $r$ nahe $-k$. Angenommen, es gibt ein minimales
    $r_0\in I_k$ mit $r_0>-k$ und $\chi(r_0)=0$. Wegen
    $\chi(r_0)\leq\chi(r)$ f\"ur alle $r$ mit $-k\leq r\leq r_0$
    erhalten wir $\chi'(r_0)\leq0$. Andererseits gilt aufgrund der
    Differentialgleichung $\chi'(r_0)>0$.  Widerspruch. Somit
    existiert kein solches $r_0$ und die Behauptung folgt.
  \item Es gilt $\chi(r)<\frac{e^r}{n-1}$ f\"ur $r\in I_k$: Zun\"achst
    gilt $\chi(-k)=0<\frac{e^{-k}}{n-1}$. Angenommen, es gibt $r_0\in
    I_k$ mit $\chi(r_0)=\frac{e^{r_0}}{n-1}$, so erhalten wir
    $e^{r_0}-(n-1) \chi(r_0)=0$ und somit $\chi'(r_0)=0$. Weiterhin
    gilt f\"ur $r=r_0$
    \[\left(e^r-(n-1)\chi(r)\right)' = e^r-(n-1)\chi'(r)=e^r>0.\]
    Wie oben sehen wir, dass dies nicht m\"oglich ist und erhalten
    $e^r-(n-1)\chi(r)>0$ f\"ur $r\in I_k$ oder
    $\chi(r)<\frac{e^r}{n-1}$.
  \item Aufgrund der Absch\"atzung $0\leq\chi_k(r)< \frac{e^r}{n-1}$
    in $I_k$ k\"onnten wir die L\"osung im Falle $I_k\subsetneq
    [-k,0]$ \"uber $I_k$ hinaus fortsetzen und erhielten einen
    Widerspruch. Somit gilt $I_k=[-k,0]$ f\"ur alle $k\in\N$.  Wegen
    $r\leq0$ gilt $e^r\leq1$ und wir erhalten aus der
    Differentialgleichung gleichm\"a\ss ige Absch\"atzungen f\"ur
    $\chi'_k(r)$, unabh\"angig von $k$ und $r$. Wir setzen nun
    $\chi_k$ verm\"oge $\chi_k(r):=0$ f\"ur $r\leq-k$ auf
    $(-\infty,0]$ fort, wenden den Satz von Arzel\`{a}-Ascoli an und
    erhalten eine Teilfolge $\chi_{k_l}$ mit $\chi_{k_l}\to\chi$ in
    $C^0_{loc}((-\infty,0])$. Wegen $\chi_k\geq\chi_l$ f\"ur $k\geq l$
    konvergiert sogar die gesamte Folge. In der zur
    Differentialgeichung \"aquivalenten Integralformulierung
    \[\chi_k(r)=\chi_k(r_0)+\int
    \limits^{r}_{r_0}\left(1+\chi^2_k(\rho)\right)
    \left(e^\rho-(n-1)\chi_k(\rho)\right) \, d\rho\] k\"onnen wir zum
    Grenzwert $k\to\infty$ \"ubergehen und erhalten, dass $\chi$ die
    Integralgleichung und somit auch die Differentialgleichung
    l\"ost. Schlie\ss lich folgt aus der Absch\"atzung
    \[0\leq\chi_k(r)<\frac{e^r}{n-1}\]
    auch 
    \[0\le\chi(r)\leq \frac{e^r}{n-1}\] 
    und somit 
    $\chi(r)\to0$ f\"ur $r\to-\infty$ bzw. $\psi(r)\to0$ f\"ur $r\to
    \infty$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Asymptotisches Verhalten f\"ur $r\to\infty$}

\begin{lemma}
  Sei $n\ge2$.  Eine L\"osung der gew\"ohnlichen Differentialgleichung
  \eqref{translat ode}, \[\phi'=\left(1+\phi^2\right)
  \left(1-\frac{n-1}r\phi\right),\] mit gegebenem Anfangswert
  $\phi(r_0)$, $r_0>0$ existiert f\"ur alle $r\in[r_0,\infty)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt der Nachweis, dass die L\"osung auf kompakten
  Teilintervallen beschr\"ankt ist. F\"ur $\phi(r)>r$ ist $\phi'<0$
  und f\"ur $\phi<-r$ ist $\phi'>0$. Dies liefert die erforderlichen
  Schranken.
\end{proof}

\begin{remark}
  Computeralgebrarechnungen legen nahe, dass sich jede L\"osung $\phi$
  von \eqref{translat ode} f\"ur $n\ge2$ auf $[r_0,\infty)$ mit
  $r_0>0$ f\"ur $r\to\infty$ wie folgt verh\"alt:
  \begin{align*}
    \phi=&\,\frac r{n-1}-\frac1r+(n-1)(n-4)\frac1{r^3}
    -(n-1)^2\left(n^2-12n+31\right)\frac1{r^5}\\
    &\,+(n-1)^3\left(n^3-24n^2+164n-330\right)\frac1{r^7}\\
    &\,-(n-1)^4\left(n^4-40n^3+510n^2-2554n+4315\right)\frac1{r^9}
    +O(r^{-11}).
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{translat lsg mcf lem}
  Sei $\phi$ eine L\"osung von \eqref{translat ode} mit Anfangswert
  $\phi(r_0)$, $r_0>0$, und $n\ge2$. Dann gilt
  \[\phi(r)=\frac r{n-1} -\frac 1r +\frac{(n-1)(n-4)}{r^3}
  +o\left(r^{-3}\right)\]
  f\"ur $r\to\infty$. 
\end{lemma}
Den Nachweis der Korrektheit der folgenden Terme in der asymptotischen
Entwicklung lassen wir als \"Ubungsaufgabe.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zu $\epsilon>0$ und $r_1>r_0$ gibt es ein $r_2>r_1$
    mit \[\phi(r_2)\ge\frac{r_2}{n-1}(1-\epsilon).\] Sonst g\"alte
    $\epsilon\le 1-\frac{n-1}r\phi(r)$ und somit
    $\phi'(r)\ge\left(1+\phi^2\right)\epsilon$ f\"ur alle $r\ge
    r_1$. Dies ist jedoch unm\"oglich, da $\phi$ auf ganz
    $[r_0,\infty)$ existiert.
  \item Definiere $\zeta:=\frac r{n-1}(1-\epsilon)$ f\"ur ein
    $0<\epsilon<1$. Dann folgt \[\zeta'\le\left(1+\zeta^2\right)
    \left(1-\frac{n-1}r\zeta\right)\] f\"ur hinreichend gro\ss{}es
    $r$, also $r\ge r_3$. Sei ohne Einschr\"ankung $r_1>r_3$. Dann ist
    $\phi\ge\zeta$ f\"ur $r=r_2$. Dies gilt dann auch f\"ur alle $r\ge
    r_2$.
  \item Es gilt $\phi\le\frac r{n-1}$ f\"ur $r\ge r_4$, $r_4\gg1$,
    denn sonst gilt aufgrund der Differentialgleichung $\phi'\le0$ bis
    die Ungleichung erf\"ullt ist. Also erhalten wir
    \[\frac r{n-1}(1-\epsilon)\le\phi(r)\le\frac r{n-1}\] f\"ur
    beliebiges $\epsilon>0$, falls $r\gg1$ gro\ss{} genug ist. Somit
    gilt \[\phi(r)=\frac r{n-1}+o(r).\] 
  \item Schreibe nun $\phi(r)=\frac r{n-1} +\psi(r)$ mit einem
    sublinear wachsenden $\psi$, \dh es gilt f\"ur jedes $c>0$ die
    Ungleichung $|\psi(r)|\le cr$, falls wir nur $r$ gro\ss{} genug
    w\"ahlen. F\"ur gro\ss{}e Werte von $r$ gilt aufgrund unserer
    bisherigen \"Uberlegungen $\psi(r)\le0$. F\"ur $\psi$ erhalten wir
    die Differentialgleichung 
    \begin{align*}
      \psi'=&\,\phi'-\frac1{n-1}\umbruch\\
      =&\,\left(1+\phi^2\right) \left(1-\frac{n-1}r\phi\right)
      -\frac1{n-1}\umbruch\\ 
      =&\,\left(1+\left(\frac r{n-1}+\psi\right)^2\right)
      \left(1-\frac{n-1}r \left(\frac
          r{n-1}+\psi\right)\right) -\frac1{n-1}\umbruch\\
      =&\,-\frac{n-1}r\psi \left(1+\left(\frac
          r{n-1}+\psi\right)^2\right) -\frac1{n-1}.
    \end{align*}
  \item Wir wollen nun zeigen, dass $\psi\to0$ f\"ur $r\to\infty$
    gilt. Sei dazu $\epsilon>0$ beliebig. Wir betrachten Punkte
    $r\gg1$ mit $\psi(r)\le-\epsilon$. Da $\psi$ sublinear w\"achst,
    d\"urfen wir annehmen, dass dort auch $\frac{-r}{(2n-2)}<\psi(r)$
    gilt. Dann erhalten wir dort \[\psi'(r) \ge\frac{\epsilon(n-1)}r
    \left(1+\frac{r^2}{4(n-1)^2}\right)-\frac1{n-1}\ge c>0\] f\"ur $r$
    gro\ss{} genug. Somit bleibt $\psi\le-\epsilon$ nicht lange
    erhalten. Es folgt daher $\psi(r)\ge-\epsilon$ falls $r$ gro\ss{}
    genug ist.
  \item Definiere nun $\lambda(r):=r\psi(r)$. Wir m\"ochten
    nachweisen, dass $\lambda\to-1$ gilt. Da $\psi=\lambda/r$ gilt
    sowie $\psi\to0$, erhalten wir f\"ur beliebiges $\mu>0$ die
    Absch\"atzung $|\lambda(r)|\le\mu r$, falls $r$ gro\ss{} genug
    ist. F\"ur $\lambda$ erhalten wir die
    Dif\-fe\-ren\-tial\-glei\-chung
    \begin{align*}
      \lambda'=&\,\psi+r\psi'\umbruch\\
      =&\,\frac\lambda r-\frac{n-1}r\lambda\left(1+\left(\frac
          r{n-1}+\frac\lambda r\right)^2\right) -\frac
      r{n-1}\umbruch\\ =&\,-\frac
      r{n-1}\left(1+\lambda+2(n-1)\frac{\lambda^2}{r^2}\right)
      -(n-2)\frac\lambda r-(n-1)\frac{\lambda^3}{r^3}.
    \end{align*}
  \item Nehme an, dass $\lambda(r)\ge -1+\epsilon$ gilt. Dann folgt in
    solch einem Punkt
    \[\lambda'\le-\frac r{n-1}\underbrace{(1+\lambda)}_{\ge\epsilon}
    +\mu(n-2) +\mu^3(n-1)\le -c\] f\"ur ein beliebiges $c>0$ falls $r$
    gro\ss{} genug ist. Daher erhalten wir $\lambda(r)\le-1+\epsilon$
    falls $r$ gro\ss{} genug ist. $\lambda\ge-1+\epsilon$ kann also
    nicht lange erf\"ullt bleiben.
  \item Wir erinnern f\"ur die folgende Absch\"atzung an $\psi\le0$,
    was $\lambda\le 0$ impliziert.  Nehmen wir nun
    $\lambda(r)\le-1-\epsilon$ an, so erhalten wir aus der
    Differentialgleichung f\"ur $\lambda$
    \[\lambda'\ge-\frac r{n-1}\left(-\epsilon
      +2(n-1)\mu^2\right) \ge c\] f\"ur ein
    beliebiges $c>0$, wobei wir hier zun\"achst $\mu=\mu(\epsilon)>0$
    klein und dann $r$ gro\ss{} gew\"ahlt haben. Somit erhalten wir
    $\lambda(r)\ge-1-\epsilon$ f\"ur gro\ss{}e Werte von $r$.\par
    Zusammen mit dem letzten Schritt erhalten wir $\lambda\to-1$ f\"ur
    $r\to\infty$.
  \item Wir schreiben nun $\lambda(r)=-1+\frac{\eta(r)}{r^2}$ und
    behaupten, dass $\eta\to(n-4)(n-1)$ f\"ur $r\to\infty$ gilt.  Da
    wir bereits wissen, dass $\eta/r^2\to0$ gilt, erhalten wir f\"ur
    beliebiges $\mu>0$ und $r$ gro\ss{} genug die Ungleichung
    $|\eta(r)|\le\mu r^2$. Wir leiten nun die Differentialgleichung
    f\"ur $\eta$ her. Es gilt
    \begin{align*}
      \eta=&\,r^2(\lambda+1),\umbruch\\
      \eta'=&\,r^2\lambda'+2r(\lambda+1)\umbruch\\
      =&\,-\frac{r^3}{n-1}\left(\frac{\eta}{r^2}
        +2(n-1)\frac1{r^2}\left(-1+\frac\eta{r^2}\right)^2\right)
      -(n-2)r\left(-1+\frac\eta{r^2}\right)\\
      &\quad-\frac{n-1}r\left(-1+\frac\eta{r^2}\right)^3
      +2r\frac\eta{r^2}\umbruch\\ 
      =&\,\frac r{n-1}(-2(n-1)+(n-2)(n-1)-\eta)
      +\frac1r(4\eta-(n-2)\eta+(n-1)+2\eta)\\
      &\quad+\frac1{r^3}(-2\eta^2-3(n-1)\eta) +3(n-1)\frac{\eta^2}{r^5}
      -(n-1)\frac{\eta^3}{r^7}\umbruch\\
      =&\,\frac r{n-1}[(n-4)(n-1)-\eta] +\frac1r[(8-n)\eta+(n-1)]\\
      &\quad -\frac\eta{r^3}[2\eta+3(n-1)] +3(n-1)\frac{\eta^2}{r^5}
      -(n-1)\frac{\eta^3}{r^7}.
    \end{align*}
    Nehme nun an, dass f\"ur gro\ss{}e $r$ die Ungleichung
    $\eta(r)\ge(n-4)(n-1)+\epsilon$ gilt. Dann erhalten wir
    \[\eta'\le\frac r{n-1}[-\epsilon] +|8-n|\mu r
    +\frac{n-1}r +0 +O(1) \le-c\] f\"ur ein $c>0$, wobei wir
    zun\"achst $\mu>0$ klein gew\"ahlt haben und dann angenommen
    haben, dass $r$ gro\ss{} ist.  Somit erhalten wir
    $\eta(r)\le(n-4)(n-1)+\epsilon$, falls $r$ gro\ss{} genug ist.
  \item Sei Schlie\ss{}lich $\eta(r)\le(n-4)(n-1)-\epsilon$ f\"ur
    gro\ss{}e $r$. Dann erhalten wir dort analog zu oben 
    \[\eta'\ge\frac r{n-1} \left[\epsilon -\mu|8-n|(n-1)
      -2(n-1)\mu^2\right] +O(1)\ge c\]
    und damit $\eta(r)\ge(n-4)(n-1)-\epsilon$ falls $r$ gro\ss{} genug
    ist. Wir erhalten, dass es f\"ur jedes $\epsilon>0$ ein $r_5$
    gibt, so dass f\"ur alle $r\ge r_5$ 
    \[(n-4)(n-1)-\epsilon\le\eta(r)\le(n-4)(n-1)+\epsilon\]
    gilt.
  \item Wir benutzen nun die Definitionen von $\lambda(r)$ und
    $\psi(r)$, um daraus die Behauptung zu erhalten. Aufgrund der
    L\"ange der Formeln benutzen wir dabei
    $N:=(n-4)(n-1)$. Nacheinander erhalten wir
    \begin{align*}
      -1+\frac N{r^2}-\frac{\epsilon}{r^2} \le&\,
      -1+\frac{\eta(r)}{r^2} =\lambda(r)
      \le-1+\frac N{r^2}+\frac\epsilon{r^2},\umbruch\\ 
      -\frac1r+\frac N{r^3}-\frac\epsilon{r^3}
      \le&\,\frac{\lambda(r)}r =\psi(r)\le-\frac1r
      +\frac N{r^3} +\frac\epsilon{r^3}\umbruch\\
      \intertext{sowie}
      \frac r{n-1}-\frac1r +\frac N{r^3}-\frac\epsilon{r^3}
      \le&\,\frac r{n-1}+\psi(r) =\phi(r) \le\frac r{n-1}-\frac1r
      +\frac N{r^3} +\frac\epsilon{r^3}
    \end{align*}
    und damit die Behauptung. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Alternativ kann man eine solche Asymptotik auch direkt in einem
Schritt zeigen. Dazu macht man einen Ansatz wie beispielsweise
\[\phi (r)=\frac {r}{n-1} - \frac {1}{r} + \frac {\psi(r)}{r}\]
und versucht zu beweisen, dass $\psi(r)\to0$ f\"ur $r \to \infty$
gilt.  Wir illustrieren dieses Vorgehen hier nur f\"ur eine Ordnung
weniger in der Asymptotik und $n\geq3$. F\"ur $n=2$ gilt die Aussage
ebenfalls, erfordert jedoch eine genauere Untersuchung.
\begin{theorem}
  Sei $n\geq3$.  Sei $\phi:[1,\infty) \to \R$ eine L\"osung der
  Differentialgleichung \[\phi'=\left(1+\phi^2\right)\left(1-\frac
    {n-1}{r} \phi\right).\] Dann gilt \[\phi (r) = \frac {r}{n-1} +
  \psi(r)\] mit $\psi(r) \to 0$ f\"ur $r \to \infty$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir leiten eine Differentialgleichung f\"ur $ \psi$ her: 
  \begin {align*}
    \psi(r) =&\,\phi(r)-\frac {r}{n-1},\umbruch\\
    \psi' =&\,\phi'- \frac {1}{n-1}\umbruch\\
    =&\,\left(1+\phi^2\right)\left(1-\frac{n-1}{r} \phi\right) -
    \frac{1}{n-1}\umbruch\\
    =&\, \left(1+\left(\frac
        {r}{n-1}+\psi\right)^2\right)\left(1-\frac{n-1}{r}\left(\frac
        {r}{n-1} + \psi\right)\right)-\frac{1}{n-1}\umbruch\\
    =&\, \left(1+\frac{r^2}{(n-1)^2}+2\frac{r\psi}{n-1}+\psi^2 \right)
    \cdot \left(1-1-\frac{n-1}{r}\psi\right) -
    \frac{1}{n-1}\umbruch\\
    =&\,-\frac{n-1}{r}\psi-
    \frac{r}{n-1}\psi-2\psi^2-\frac{n-1}{r}\psi^3-\frac{1}{n-1}.
  \end {align*}
  Solange $\psi$ positiv ist, erhalten wir $\psi' \leq
  -\frac{1}{n-1}$. Folglich kann $\psi$
  nur auf einem endlichen Intervall positiv sein. \par
  Da die Situation f\"ur negative $\psi$ etwas komplizierter ist,
  definieren wir $\chi:=-\psi$ und d\"urfen daher f\"ur den Rest des
  Beweises $\chi\geq0$ annehmen. Es gilt:
  \begin{align*}
    \chi'=&\,-\psi'=\frac{n-1}{r}\psi+\frac{r}{n-1}\psi+2\psi^2+
    \frac{n-1}{r}\psi^3+\frac{1}{n-1}\umbruch\\
    =&\,-\frac{n-1}{r}\chi-\frac{r}{n-1}\chi+2\chi^2
    -\frac{n-1}{r}\chi^3+\frac{1}{n-1}.
  \end {align*}
  Wir k\"onnen
  zwar \[2\chi^2\leq\frac{r}{n-1}\chi+\frac{n-1}{r}\chi^3\]
  absch\"atzen, die
  Differentialungleichung \[\chi'\leq-\frac{n-1}{r}\chi+\frac{1}{n-1}\]
  erlaubt es jedoch nicht, $\chi(r)\to 0$ f\"ur $r\to \infty$ zu
  zeigen. \par
  Ohne Absch\"atzung erhalten wir
  \[\chi'=-\frac{n-1}{r}\chi-\chi\left(\sqrt{\frac{r}{n-1}}
    -\sqrt{\frac{n-1}{r}}\chi\right)^2+\frac{1}{n-1}.\] Wir definieren
  \[\alpha:=\frac{1}{2} \frac{n}{(n-1)^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{n-1}
  +\frac{1}{2}\frac{1}{(n-1)^2}\] und unterscheiden die F\"alle
  $\alpha r\leq\chi$ und $0 \leq \chi \leq \alpha r $. Je nach Wert
  von $r$ kann f\"ur eine L\"osung der eine oder der andere Fall
  auftreten.\par
  Sei zun\"achst $\chi \geq\alpha r$. Dann erhalten wir
  \begin {align*}
    \chi' \leq&\,-(n-1)\alpha + \frac{1}{n-1}=-\frac {1}{2}
    \frac{n}{n-1} + \frac{1}{n-1} \umbruch\\ 
    \leq&\, \frac{1}{n-1}\left(-\frac{3}{2}+1\right) = - \frac{1}{2}
    \frac {1}{n-1},  
  \end {align*}
  da $n\geq 3$. Somit f\"allt $\chi$ in diesem Fall hinreichend schnell.
  \par Sei nun $0\leq\chi\leq\alpha r$. Dann gilt
  \begin{align*}
    \sqrt{\frac{r}{n-1}}-\sqrt{\frac{n-1}{r}} \chi \geq
    &\,\sqrt{r}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\alpha \sqrt{n-1}\right) =
    \sqrt{\frac{r}{n-1}} \left(1-\frac{1}{2} \frac
      {n}{n-1}\right)\umbruch\\ 
    =&\, \sqrt{\frac{r}{n-1}} \frac{n-2}{2(n-1)}.
  \end {align*}
  Wir erhalten damit
  \[\chi' \leq -\chi \frac {r}{n-1} \left( \frac{n-2}{2(n-1)}\right)^2
  + \frac{1}{n-1}.\] Also gilt $\chi' \leq -1$ f\"ur $\chi\geq
  \epsilon>0$ und $r$ hinreichend gro\ss{}.\par
  Hieraus folgt die behauptete Konvergenz $\chi (r) \to 0$ und damit
  $\psi(r)\to 0$ f\"ur $r \to\infty.$
\end{proof}

Das folgende Lemma stammt aus \cite{OSAlbert}. Die
Differentialgleichung hat mit rotationssymmetrischen Solitonen des
K\"ahler-Ricci-Flusses zu tun und dient hier als \"Ubung f\"ur das
Arbeiten mit asymptotischen Entwicklungen. 
\def\nm{(n-1)}
\newcommand{\LOG}[1]{%
  \ifthenelse{#1 = 1}
  {\log\left(n^ns^{n-1}\right)}%
  {\log^{#1}\left(n^ns^{n-1}\right)}%
}
\begin{lemma}
  Sei $\phi:\R\to\R$, $\phi=\phi(s)$, eine L\"osung der gew\"ohnlichen
  Differentialgleichung 
  \[\phi^{n-1}\phi'e^\phi=e^{ns}\]
  mit $\phi\to0$ f\"ur $s\to-\infty$. Dann hat $\phi$ f\"ur
  $s\to\infty$ die folgende asymptotische Entwicklung
  \begin{align*}
    \phi=&\,ns-{\LOG1}+\nm\frac{\LOG1}{ns}+\nm\frac1{ns}\umbruch\\
    &\,+\frac12\nm\frac{\LOG2}{n^2s^2}
    -\nm(n-2)\frac{\LOG1}{n^2s^2}\umbruch\\
    &\,-\frac12\nm(3n-5)\frac1{n^2s^2}
    +\frac13\nm\frac{\LOG3}{(ns)^3}\umbruch\\
    &\,-\frac12\nm(3n-5)\frac{\LOG2}{(ns)^3}\umbruch\\
    &\,+\nm\left(n^2-6n+7\right)\frac{\LOG1}{(ns)^3}\umbruch\\
    &\,+\frac16\nm\left(11n^2-46n+47\right)\frac{1}{(ns)^3}
    +o\left(\frac1{s^3}\right),
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufw\"andigere \"Ubung. 
\end{proof}

\Section{Fl\"ugelartige translatierende L\"osungen}
Neben den translatierenden rotationssymmetrischen graphischen
L\"osungen, die auf ganz $\R^n$ definiert sind, gibt es noch weitere
rotationssymmetrische L\"osungen des mittleren
Kr\"ummungsflusses. Diese bestehen aus zwei Graphen, die beide auf
$\R^n\setminus B_r(0)$ definiert sind und am Rand $\partial B_r(0)$
zusammengesetzt sind (Skizze). 

\Subsection{Lokale Existenz im gekipptem Koordinatensystem}
\label{gekippt sub sec}
\begin{theorem}
  Sei $n\ge2$ und $R>0$. Dann gibt es rotationssymmetrische
  Funktionen\"osungen $W^+_R$ und $W^-_R\colon\left(\R^n\setminus
    B_R(0)\right)\times[0,\infty)\to\R$, die im Inneren ihres
  Definitionsgebietes L\"osungen des graphischen mittleren
  Kr\"ummungsflusses sind, mit $\dot W^+_R\equiv1\equiv\dot W^-_R$ mit
  $|DW^\pm_R|\to\infty$ f\"ur $|x|\searrow R$.\par
  Nach Lemma \ref{translat lsg mcf lem} gilt
  \[W^\pm_R(x,t)=c^\pm+t +\frac{|x|^2}{2(n-1)} -\log|x|
  -\frac{(n-1)(n-4)}{2r^2} +o\left(r^{-2}\right)\] f\"ur $|x|\equiv
  r\to\infty$ und geeignet gew\"ahlte Konstanten $c^\pm$.  Bei
  geeigneter Wahl von $c^\pm$ ist $\graph W^+_R\cup\graph W^-_R$ eine
  glatte Untermannigfaltigkeit des $\R^{n+1}$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{translat lsg mcf lem} gen\"ugt es, eine L\"osung
  nahe $|x|=R$ zu finden, so dass f\"ur die noch zu definierende
  Funktion $h$ au\ss{}er in einem Punkt mit $h=R$ stets $h'\neq0$
  gilt. Solange $DW^\pm_R\neq0$ gilt, l\"asst sich $\graph
  W^+_R\cup\graph W^-_R$ lokal f\"ur ein Intervall $I$ auch in der
  Form
  \begin{equation}
    \label{rot graph eq}
    \bigcup\limits_{x^{n+1}\in I}
    h\left(x^{n+1},t\right)\cdot \S^{n-1}\times\left\{x^{n+1}\right\}
  \end{equation}
  f\"ur eine Funktion $h$ schreiben. Da sich die Hyperfl\"achen mit
  Geschwindigkeit $1$ in Richtung $x^{n+1}$ bewegen, gilt
  $h(x^{n+1},t) =h(x^{n+1}-t,0)$. Zur Zeit $t$ geh\"ort demnach eine
  zentrierte Sph\"are mit Radius $h(x^{n+1}-t,0)$ in der Ebene mit
  vorgegebener Koordinate $x^{n+1}$ zur translatierenden
  L\"osung. F\"ur Punkte $\left(x^i\right)_{1\le i\le n+1}$ auf der
  Hyperfl\"ache gilt demnach \[h^2(x^{n+1}-t,0) =\sum\limits_{i=1}^n
  \left(x^i\right)^2.\] Die in \eqref{rot graph eq} beschriebenen
  Punkte sind durch diese Gleichheit sogar charakterisiert.  Wir
  betrachten einen solchen Punkt mit $x^n>0$. Dann ist die
  Hyperfl\"ache lokal wegen \[x^n=\sqrt{h^2(x^{n+1}-t,0)
    -\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(x^i\right)^2}\] durch die
  Funktion \[u\left(x^1,\ldots,x^{n-1},x^{n+1},t\right)
  =\sqrt{h^2(x^{n+1}-t,0) -\sum\limits_{i=1}^{n-1} \left(x^i\right)^2}
  \equiv\sqrt{h^2-\rho^2}\] gegeben. Da der mittlere Kr\"ummungsfluss
  eine geometrische Differentialgleichung ist, erf\"ullt auch $u$ die
  partielle Differentialgleichung in Theorem \ref{mcf pde thm}. Wir
  bezeichnen Ableitungen von $h$ nach der ersten Komponente mit $h'$
  und $h''$ und erhalten
  \begin{align*}
    \dot u =&\,\frac{-hh'}u,\umbruch\\
    Du =&\,
    \left(-\frac{x_1}u,\ldots,-\frac{x_{n-1}}u,
      \frac{hh'}u\right),\umbruch\\
    u_{n+1\,n+1} =&\,\frac{h'^2+hh''}u -\frac{h^2h'^2}{u^3}
    =\frac{h'^2(h^2-\rho^2)+hh''u^2-h^2h'^2}{u^3} \umbruch\\
    =&\,\frac{u^2hh''-\rho^2h'^2}{u^3},\umbruch\\
    D^2u =&\,
    \begin{pmatrix}
      \left(-\frac1u\left(\delta_{ij}
          +\frac{x_ix_j}{u^2}\right)\right)_{1\le i,j\le n-1} &
      \left(\frac{hh'x_i}{u^3}\right)_{1\le i\le n-1}\\
      \left(\frac{hh'x_i}{u^3}\right)_{1\le i\le n-1} &
      \frac{h'^2+hh''}u -\frac{h^2h'^2}{u^3}
    \end{pmatrix}\\
    =&\,\frac1{u^3}
    \begin{pmatrix}
      \left(-u^2\delta_{ij}-x_ix_j\right)_{i,j} &
      \left(hh'x_i\right)_i\\ 
      \left(hh'x_i\right)_i & u^2hh'' -\rho^2h'^2
    \end{pmatrix},\umbruch\\
    1+|Du|^2
    =&\,1+\frac1{u^2}\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(x^i\right)^2
    +\frac{h^2h'^2}{u^2} =\frac{h^2-\rho^2+\rho^2+h^2h'^2}{u^2}
    =\frac{h^2\left(1+h'^2\right)}{u^2},\umbruch\\
    \Delta u=&\,\frac1{u^3}\left(-u^2(n-1)-\rho^2+u^2hh''
      -\rho^2h'^2\right),\umbruch\\ 
    D^2u\langle Du,Du\rangle =&\,\frac1{u^5}\left(-u^2\rho^2-\rho^4
      -2\rho^2h^2h'^2+h^2h'^2
      \left(u^2hh''-\rho^2h'^2\right)\right),\umbruch\\
    0=&\,u^3\left(\dot u-\Delta u+\frac{D^2u\langle
        Du,Du\rangle}{1+|Du|^2}\right) \umbruch\\
    =&\,-u^2hh' -\underbrace{\left(-u^2(n-1)-\rho^2+u^2hh''
        -\rho^2h'^2\right)}_{=u^3\Delta u}\\
    &+\frac1{h^2\left(1+h'^2\right)}
    \underbrace{\left(-u^2\rho^2-\rho^4-2\rho^2h^2h'^2 +u^2h^3h'^2h''
        -\rho^2h^2h'^4\right)}_{=u^5\cdot D^2u\langle
      Du,Du\rangle}\umbruch \intertext{und nach Durchmultiplizieren
      mit $h^2\left(1+h'^2\right)$} 0=&\,-u^2h^3h'\left(1+h'^2\right)
    +u^2h^2\left(1+h'^2\right)(n-1) +\rho^2h^2 +\rho^2h^2h'^2\\
    &\,-u^2h^3h'' -u^2h^3h'^2h''
    +\rho^2h^2h'^2 +\rho^2h^2h'^4 -h^2\rho^2 +\rho^4 -\rho^4\\
    &\,-2\rho^2h^2h'^2
    +u^2h^3h'^2h'' -\rho^2h^2h'^4\umbruch\\
    =&\,-u^2h^3h'\left(1+h'^2\right) +u^2h^2\left(1+h'^2\right)(n-1)
    -u^2h^3h''\umbruch\\
    =&\,u^2h^2\left\{\left(1+h'^2\right)((n-1)-hh')-hh''\right\}.
  \end{align*}
  Somit gilt 
  \[h''=\left(\frac{n-1}h-h'\right)\left(1+h'^2\right). \] Als
  Anfangswertproblem mit $h(0)=R$, $h'(0)=0$ hat diese gew\"ohnliche
  Differentialgleichung eine L\"osung f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  f\"ur ein $\epsilon>0$. Wegen $h''(t)>0$ f\"ur $t$ nahe $0$ k\"onnen
  wir die f\"ur festes $t$ als rotierter Graph dargestellte Menge in
  \eqref{rot graph eq} f\"ur $I=[0,\epsilon)$ und $I=(-\epsilon,0]$
  und ein $\delta>0$ als rotationssymmetrischen Graph \"uber
  $B_{R+\delta}\setminus B_R$ darstellen. Die Existenz auf ganz
  $\R^n\setminus B_R(0)$ bekommt man nun mit Hilfe von Lemma
  \ref{translat lsg mcf lem}. Schlie\ss{}lich betrachten wir 
  Differentialgleichung f\"ur $\phi$ f\"ur die beiden Graphen. F\"ur
  den oberen Graphen bezeichnen wir die L\"osung mit $\phi^+$, f\"ur
  den unteren mit $\phi^-$. Ist $r$ etwas gr\"o\ss{}er als $R$, so
  gilt $\phi^+(r)>\phi^-(r)$. Da diese Ungleichung aufgrund der
  eindeutigen L\"osbarkeit der Differentialgleichung auch f\"ur alle
  gr\"o\ss{}eren $r$ gilt, ist der vertikale Abstand der beiden
  Graphen in $r$ wachsend und wir erhalten eine glatte
  Untermannigfaltigkeit. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Alternativ kann man die gew\"ohnliche Differentialgleichung wie
  folgt herleiten: Wir schreiben $y$ statt $x^{n+1}$ und rotieren die
  Kurve $y\mapsto(h(y),y)$, die in der $x^1-x^{n+1}$-Ebene liege.
  \par
  Dabei ist es nicht wichtig, dass sie als Graph einer Funktion $h$
  dargestellt ist, analoge \"Uberlegungen kann man auch auf Kurven der
  Form $y\mapsto(\alpha(y),\beta(y))$ anwenden.
  \par
  In $\R^3$ liefert die rotierte Kurve die Fl\"ache $(\phi,
  y)\mapsto(\cos\phi\cdot h(y), \,\sin \phi\cdot h(y),y)$.  Suchen wir
  nun eine mit Geschwindigkeit eins in Richtung $e_3$ translatierende
  L\"osung, so ist $h$ so zu w\"ahlen, dass f\"ur
  \[X: (\phi, y,t)\mapsto (\cos\phi\cdot h(y), \sin\phi\cdot
  h(y),y+t)\] die Normalengeschwindigkeit gleich der mittleren
  Kr\"ummung ist.
  \par
  Analog suchen wir in $\R^{n+1}$ also eine Funktion $h$, so dass
  f\"ur
  \begin{align*}
    X:\R^{n-1}\times\R\times\R&\to\R^{n+1},\\
    (p,y,t)&\mapsto(h(y)\cdot x(p),y+t)\in\R^n\times\R
  \end{align*}
  die Normalengeschwindigkeit gleich der mittleren Kr\"ummung ist, wobei $y$ auch auf einer
  Teilmenge von $\R$ definiert sein kann und $x:\R^{n-1}\mapsto\R^n$
  eine Einbettung einer offenen Teilmenge von $\S^{n-1}$ ist.
  \par
  Wir bestimmen Tangentialvektoren
  \begin{align*}
    X_i&=(h\,x_i,0),\quad 1\le i\le n-1,\\
    X_n&=(h'\,x,1),
  \end{align*}
  sowie einen Normalenvektor
  \[\nu=\frac{(x,-h')}{\sqrt{1+h'^2}}.\]
  Ist $\sigma_{ij}:=\langle x_i,x_j\rangle$ die Metrik von $\S^{n-1}$,
  so ist
  \[(g_{ij})_{1\le i,j\le n}=(\langle X_i,X_j\rangle)_{1\le i,j\le n}=
  \begin{pmatrix}
    \left(h^2\sigma_{ij}\right)_{1\le i,j\le n-1}&(0)\\ 
    (0)&1+h'^2
  \end{pmatrix}
  \]
  die induzierte Metrik. F\"ur geeignete tangentiale Vektoren an die
  Sph\"are $\tau_{ij}, 1\le i,j\le n-1$, die also $\langle\tau_{ij},
  x\rangle=0$ erf\"ullen, folgt
  \[x,_{ij}=-h^{\S^{n-1}}_{ij}\nu^{\S^{n-1}}+\tau_{ij}=-\sigma_{ij}
  x+\tau_{ij},\] da s\"amtliche Hauptkr\"ummungen der Sph\"are eins
  sind. (Die tangentialen Vektoren lie\ss en sich vermeiden, indem wir
  auf $\R^{n-1}$ kovariante Ableitungen bez\"uglich der von $x$
  induzierten Metrik betrachteten, was jedoch \"uber den Inhalt dieser
  Vorlesung hinausgeht.) Es gilt
  \begin{align*}
    X,_{ij}&=\left(h\,x,_{ij},0\right)
    =\left(-h\sigma_{ij}x+h\tau_{ij},0\right),\quad1\le
    i,j\le n-1,\umbruch\\
    X,_{in}&=\left(h'x_i,0\right),\quad1\le i\le n-1,\umbruch\\
    X, _{nn}&=\left(h''x,0\right).
  \end{align*}
  F\"ur die zweite Fundamentalform erhalten wir somit
  \begin{align*}
    \left(h_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}&=\left(-\langle
      X,_{ij},\nu\rangle \right)_{1\le i,j \le n}\umbruch\\ 
    &=\frac{1}{\sqrt{1+h'^2}}
    \begin{pmatrix}\left(h\,\sigma_{ij}\right)_{1\le i,j\le n-1}&(0)\\
      (0)&-h''
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  Somit sind die Hauptkr\"ummungen $\frac{1}{h\sqrt{1+h'^2}}$ mit
  Vielfachheit $n-1$ und
  $\frac{-h''}{\left(1+h'^2\right)^{\nicefrac{3}{2}}}$ mit
  Vielfachheit 1. Es folgt
  \[H=\frac{n-1}{h \sqrt{1+h'^2}}-\frac{h''}
  {\left(1+h'^2\right)^{\nicefrac{3}{2}}}.\] H\"atten wir $-\nu$ statt
  $\nu$ als Normale gew\"ahlt, so h\"atten wir $\left(-h_{ij}\right)$
  statt $\left(h_{ij}\right)$ als zweite Fundamentalform
  erhalten. $-H\nu$ h\"atte sich also nicht ge\"andert.
  \par
  Die Normalenkomponente von $\dot{X}=((0),1)$ ist $-H$, also
  \[\left\langle\dot{X},\nu\right\rangle=-H,\] falls
  \[\frac{-h'}{\sqrt{1-h'^2}}=-\left(\frac{n-1}{h\sqrt{1+h'^2}}-\frac{h''}
    {\left(1+h'^2\right)^{\nicefrac{3}{2}}}\right)\] gilt. Dies ist
  \"aquivalent zu
  \[h''=\left(\frac{n-1}{h}-h'\right)\left(1+h'^2\right)\] wie
  behauptet.
\end{remark}

\begin{remark}
  Als \"Ubung empfehlen wir, sich den Fall von Fl"achen in $\R^3$ mit
  expliziter Parametisierung von $\S^1$ nochmals separat
  anzusehen. Eine weitere \"Ubung ist, den Fall nicht graphischer
  Kurven, $y\mapsto (\alpha(y),\beta (y)),$ zu betrachten.
\end{remark}

\Section{Homothetisch expandierende L\"osungen}
\Subsection{Homothetisch expandierende L\"osungen des mittleren
  Kr\"ummungsflusses}
\def\unterabschnitt{Homothetisch expandierende MCF L\"osungen}
Wir betrachten ganze Graphen, die homothetisch expandieren, \dh die
Mengen $\graph u(\cdot,t_1)$ und $\graph u(\cdot,t_2)$ stimmen f\"ur
alle relevanten $t_i$, hier $t_i>0$, $i=1,2$, bis auf eine Homothetie
(hier: zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\mu\neq0$)
\"uberein: \[\{(x,u(x,t_1))\colon x\in\R^n\} =\mu(t_1,t_2)\cdot
\{(y,u(y,t_2))\colon y\in\R^n\}.\] Ist $\mu>1$ f\"ur $t_1>t_2$, so
hei\ss{}t $\graph u$ eine expandierende L\"osung. Ist $\mu<1$ f\"ur
$t_1>t_2$, so hei\ss{}t $\graph u$ eine kontrahierende L\"osung. Ist
$\mu\equiv 1$, so hei\ss{}t $\graph u$ eine station\"are
L\"osung. (Die Ebene ist sowohl eine expandierende als auch
kontrahierende oder station\"are aber nicht besonders interessante
L\"osung.) \par
Bei homothetisch expandierenden L\"osungen erwartet man f\"ur
$t\searrow0$ Hausdorffkonvergenz von $\graph u(\cdot,t)$ gegen Kegel,
\dh gegen Mengen, die mit $x$ auch $\lambda\cdot x$ f\"ur alle
$\lambda>0$ enthalten.

\begin{remark}[Herleitung der gew\"ohnlichen Differentialgleichung] 
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $u\colon\R^n\times(0,\infty)\to\R$ eine homothetisch
    expandierende L\"osung. Wir
    fordern \[\mu(t)\cdot\{(y,u(y,1/2))\colon y\in\R^n\}
    =\{(x,u(x,t))\colon x\in\R^n\}\] f\"ur $\mu(t)\neq0$ und schreiben
    $U(y):=u(y,1/2)$. Es folgen $\mu(t)y=x$ sowie
    $\mu(t)U(y)=u(x,t)$. Somit gilt $u(x,t)=\mu(t) U\left(\frac
      x{\mu(t)}\right)$.
  \item Erf\"ullt $u$ die Differentialgleichung des graphischen
    mittleren Kr\"ummungsflusses $\dot u=\Delta
    u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}$, so erhalten wir daraus eine
    Differentialgleichung f\"ur $U$.
    \begin{align*}
      \dot u(x,t)=&\,\dot\mu(t)U\left(\frac x{\mu(t)}\right) +\mu(t)
      U_i\left(\frac x{\mu(t)}\right)\cdot
      \left(-\frac{x^i}{\mu^2(t)}\dot\mu(t)\right)\umbruch\\
      =&\,\dot\mu(t)\left\{U\left(\frac x{\mu(t)}\right)
        -U_i\left(\frac x{\mu(t)}\right)
        \frac{x^i}{\mu(t)}\right\},\umbruch\\ 
      u_i(x,t)=&\,U_i\left(\frac x{\mu(t)}\right),\umbruch\\
      u_{ij}(x,t)=&\,\frac1{\mu(t)}U_{ij}\left(\frac
        x{\mu(t)}\right),\umbruch\\ 
      \dot u(x,t)=&\,\dot\mu(t)\left\{U\left(\frac x{\mu(t)}\right)
        -U_i\left(\frac x{\mu(t)}\right)
        \frac{x^i}{\mu(t)}\right\}\umbruch\\
      =&\,\Delta u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}\umbruch\\
      =&\,\frac1{\mu(t)}\Delta U\left(\frac
        x{\mu(t)}\right)
      -\frac1{\mu(t)}\frac{U_{ij}U^iU^j}{1+|DU|^2}\left(\frac
        x{\mu(t)}\right).
    \end{align*}
    Wir weisen darauf hin, dass $U_i\left(\frac x{\mu(t)}\right)$
    f\"ur $\left.\fracp{}{x^i}U(x)\right|_{x=\frac x{\mu(t)}}$ und
    nicht etwa f\"ur $\fracp{}{x^i}\left(U\left(\frac
        x{\mu(t)}\right)\right)$ steht.  Benutze nun $y=\frac
    x{\mu(t)}$. Wir erhalten \[\dot\mu(t)\cdot\mu(t)
    \left\{U(y)-U_i(y)y^i\right\} =\Delta
    U(y)-\frac{U_{ij}U^iU^j}{1+|DU|^2}(y).\] Wir erhalten daraus eine
    zeitunabh\"angige Differentialgleichung f\"ur $U$, falls
    $\dot\mu(t)\cdot\mu(t)=c$ f\"ur eine reelle Konstante $c$ ist. Im
    expandierenden Fall ist $c>0$. Im Falle $c\neq0$ lautet die
    allgemeine L\"osung \[\mu(t)=\pm\sqrt{2c\left(t-t_0
        +\frac1{2c}\right)}\] f\"ur Zeiten $t$, so dass der Ausdruck
    unter der Wurzel positiv ist. Ohne Einschr\"ankung darf man im
    Falle $c>0$ annehmen, dass $\dot\mu(t)\cdot\mu(t)=1$
    gilt. Ansonsten bekommt man eine L\"osung $U$, deren Graph
    homothetisch gestreckt ist. L\"ost n\"amlich $U$ die
    Differentialgleichung \[U-U_ix^i=\Delta
    U-\frac{U_{ij}U^iU^j}{1+|DU|^2},\] so folgt f\"ur $V(x):=\mu
    U\left(\frac x\mu\right)$ mit $\mu>0$
    \begin{align*}
      V(x)-V_i(x)x^i=&\,\mu\left(U\left(\tfrac
          x\mu\right)-U_i\left(\frac
          x\mu\right)\frac {x^i}\mu\right)\umbruch\\
      =&\,\mu\left(\Delta U\left(\tfrac x\mu\right)
        -\frac{U^i\left(\frac x\mu\right)U^j\left(\frac
            x\mu\right)U_{ij}\left(\frac
            x\mu\right)}{1+|DU|^2\left(\frac
            x\mu\right)}\right)\umbruch\\
      =&\,\mu^2\left(\Delta V(x)-\frac{V_{ij}(x)
          V^i(x)V^j(x)}{1+|DV|^2(x)}\right).
    \end{align*}
    Daher liefert eine andere positive Konstante nur eine Skalierung
    von $U$.  Weiterhin w\"ahlen wir den Ursprung der Zeit so, dass
    $\mu(1/2)=1$ gilt. Dann erhalten wir $\mu(t)=\sqrt{2t}$. Somit
    erhalten wir als partielle Differentialgleichung f\"ur $U$
    \[U(x)-U_i(x)x^i=\Delta U(x) +\frac{U_{ij}(x)
      U^i(x)U^j(x)}{1+|DU(x)|^2}.\] Diese Gleichung sichert, dass
    $\mu(t)\cdot\graph U$ eine homothetisch expandierende L\"osung des
    mittleren Kr\"ummungsflusses ist. Wir haben wieder $x$ statt $y$
    geschrieben.
  \item Nehmen wir zus\"atzlich an, dass $U$ rotationssymmetrisch ist,
    so erhalten wir
    \begin{align*}
      U(x)=&\,V(|x|)\equiv V(r),\umbruch\\
      U_i(x)=&\,V'(r)\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
      U_{ij}(x)=&\,V''(r)\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|}
      +V'(r)\frac1{|x|}
      \left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
      V(r)-V'(r)r=&\,U(x)-U_i(x)x^i\umbruch\\
      =&\,\Delta U(x)-\frac{U_{ij}(x)
        U^i(x)U^j(x)}{1+|DU(x)|^2}\umbruch\\ 
      =&\,V''(r)+\frac{n-1}rV'(r) -\frac{V''(V')^2}{1+(V')^2}\umbruch\\
      =&\,\frac{V''}{1+(V')^2}+\frac{n-1}rV'(r).
    \end{align*}
    Somit erhalten
    wir \[V''=\left(1+(V')^2\right)\cdot
    \left(V-V'r-\frac{n-1}rV'\right).\]  
    Hier sind nun \"ahnliche Untersuchungen wir f\"ur translatierende
    graphische L\"osungen m\"oglich, insbesondere in der N\"ahe des
    Ursprungs und f\"ur $r\to\infty$. 
  \item Wir werden uns im n\"achsten Kapitel insbesondere mit dem
    eindimensionalen Fall besch\"aftigen. Nach Umbenennung der
    Funktion und Variablen werden wir also die
    Differentialgleichung \[u''=\left(1+u'^2\right)(u-u'x)\]
    studieren.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Wir leiten die gew\"ohnliche Differentialgleichung noch auf eine
  andere Art und Weise her: Sei $X(x,t)=\mu(t)(x,u(|x|))$ eine Familie
  von Hyperfl\"achen, deren Normalengeschwindigkeit gleich der
  mittleren Kr\"ummung sein soll. Dann erhalten wir 
  \begin{align*}
    \dot X=&\,\dot\mu(x,u),\umbruch\\
    X_i=&\,\mu\left(e_i,u'\frac{x_i}{|x|}\right),\umbruch\\
    X_{,ij}=&\,\mu\left(0,u''\frac{x_ix_j}{|x|^2}
      +\frac{u'}{|x|}\left(\delta_{ij}
        -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)\right),\umbruch\\
    g_{ij}=&\,\mu^2\left(\delta_{ij}
      +u'^2\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
    \nu=&\,\frac{\left(u'\frac x{|x|},-1\right)}
    {\sqrt{1+u'^2}},\umbruch\\
    h_{ij}=&\,-\langle X_{,ij},\nu\rangle
    =\frac\mu{\sqrt{1+u'^2}}\left(u''\frac{x_ix_j}{|x|^2}
      +\frac{u'}{|x|}\left(\delta_{ij}
        -\frac{x_ix_j}{|x|}\right)\right),\umbruch\\
    H=&\,\frac1{\mu\sqrt{1+u'^2}} \left((n-1)\frac{u'}{|x|}+\frac{u''}
      {1+u'^2}\right),\umbruch\\  
    \left\langle\dot X,\nu\right\rangle
    =&\,\frac{\mu(u'|x|-u)}{\sqrt{1+u'^2}},\umbruch\\
    -(u'|x|-u)\overset!=&\,(n-1)\frac{u'}{|x|}
    +\frac{u''}{1+u'^2},\umbruch\\  
    u''\overset!=&\,\left(u-u'|x|-\frac{n-1}ru'\right)
    \left(1+u'^2\right) 
  \end{align*}
  in \"Ubereinstimmung mit dem obigen Resultat. 
\end{remark}

\Subsection{Perspektiven}
Andere m\"ogliche und verwendete Parametrisierungen f\"ur solche
Fl\"achen benutzen den Winkel von der $e_{n+1}$-Achse bzw.{} die
St\"utzfunktion im nicht symmetrischen Fall, beschreiben die Fl\"ache
als radialen Graphen \"uber einer Teilmenge von $\S^n$ oder in welchem
Abstand vom Ursprung eine Gerade durch den Ursprung und $(\hat x,1)$
die Fl\"ache schneidet. \par
Mit homothetisch expandierenden Fl\"achen kann man Kegel in
nat\"urlicher Weise bl\"attern. \par
Benutzt man andere Normalengeschwindigkeiten als die mittlere
Kr\"ummung, erh\"alt man damit ebenso Bl\"atterungen von Kegeln. Durch
die Auswahl der Normalengeschwindigkeit kann man nun versuchen,
geeignete Eigenschaften dieser Bl\"at\-ter\-un\-gen zu bekommen.

\Section{Homothetisch expandierende Netzwerke}
Wir betrachten selbst\"ahnlich expandierende Netzwerke von Kurven
unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss (MCF) oder in einer Dimension
``curve shortening flow'' (CSF) und folgen dabei
\cite{OSFSTriplePisa}.

\Subsection{Problemstellung}
Homothetisch expandierende Kurven des ``curve shortening'' Flusses
\def\csf{\eqref{csf}}
\begin{equation}
  \label{csf}
  \tag{CSF}
  \dot u=\frac{u''}{1+u'^2}
\end{equation}
erf\"ullen
\begin{equation}
  \label{curve ode}
  \tag{$\star$}
  u''=\left(1+u'^2\right)\cdot\left(u-xu'\right).
\end{equation}
\def\ode{{\rm($\star$)} }

Die folgende Definition ist etwas einschr\"ankend aber f\"ur die
Zwecke dieses Kapitels ausreichend. 
\begin{definition}
  Ein Netzwerk aus drei Kurven mit $120^\circ$-Bedingung im
  Tripelpunkt besteht aus drei Kurven
  $\alpha_i\colon[0,\infty)\to\R^2$, die regul\"ar
  ($\alpha_i'(t)\neq0$ f\"ur alle $t$) und unendlich lang
  ($\int_0^\infty|\alpha_i'|=\infty$) sind, alle in einem Punkt, dem
  Tripelpunkt, starten, also $\alpha_1(0) =\alpha_2(0) =\alpha_3(0)$
  erf\"ullen, und sich dort im $120^\circ$-Winkel treffen, \dh
  \[\frac{\alpha'_1(0)}{|\alpha'_1(0)|}
  +\frac{\alpha'_2(0)}{|\alpha'_2(0)|}
  +\frac{\alpha'_3(0)}{|\alpha'_3(0)|} =0\] erf\"ullen. Zwei Netzwerke
  bestehend aus Kurven $(\alpha_i)_i$ bzw.{} $(\beta_i)_i$ hei\ss{}en
  gleich, falls nach Umindizierung bei den Kurvennummern $\alpha_i$
  und $\beta_i$ f\"ur alle $i$ durch Umparametrisierungen auseinander
  hervorgehen.
\end{definition}

Mit solchen Netzwerken beschreibt man die Grenzen zwischen
unterschiedlichen Kristallen oder Ausrichtungen von Kristallen in
Materialien. Die Grenzkurven bewegen sich dabei unter dem curve
shortening Fluss, da dieser der $L^2$-Gradientenfluss des
L\"angenfunktionals ist. Zwischen den Kurven stellt sich dabei im
Tripelpunkt die $120^\circ$-Bedingung ein. 

Hauptresultat von \cite{OSFSTriplePisa} ist
\begin{theorem}
  \label{netzwerk exist thm}
  Zu drei verschiedenen Ursprungshalbgeraden in $\R^2$ gibt es genau
  ein Netzwerk aus drei Kurven mit $120^\circ$-Bedingung im
  Tripelpunkt, so dass jede der Kurven ein Teil einer unter dem
  mittleren K\"ummungsfluss \csf{} homothetisch expandierenden Kurve
  zur Zeit $t=1/2$ ist, also als Graph dargestellt \ode l\"ost und zu
  je einer der Halbgeraden asymptotisch ist.
\end{theorem}
Wir sagen, dass solch ein Netzwerk das homothetisch expandierende
Netzwerk ist, das bei drei Halbgeraden startet. Bis auf den
Tripelpunkt ist das Netzwerk eingebettet, wie man an den Monotonieen
im Beweis sieht, wenn man den Tripelpunkt auf die $y$-Achse rotiert. 

\begin{remark}[Beweisstrategie]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir zeigen zun\"achst, dass L\"osungen der gew\"ohnlichen
    Differentialgleichung f\"ur homothetisch expandierende L\"osungen
    mit beliebigen Anfangswerten global existieren. 
  \item Zu jedem Punkt im $\R^2$ und jeder Halbgeraden gibt es eine
    solche homothetisch expandierende L\"osung, die durch diesen Punkt
    geht und deren eine Seite asymptotisch zur vorgegebenen
    Halbgeraden ist. Dies k\"onnen wir auch f\"ur drei Halbgeraden
    machen. Damit erhalten wir die Existenzaussage f\"ur die Kurven
    $\alpha_i$ bis auf die $120^\circ$-Bedingung.
  \item Wir variieren nun diesen Punkt $P$ im $\R^2$ und zeigen, dass
    \[\left\langle\frac{\alpha'_1(0)}{|\alpha'_1(0)|}
      +\frac{\alpha'_2(0)}{|\alpha'_2(0)|}
      +\frac{\alpha'_3(0)}{|\alpha'_3(0)|},P\right\rangle<0\] gilt,
    falls $|P|$ gro\ss{} ist. Der Brouwersche Fixpunktsatz (jede
    stetige Abbildung $\ol{B_1(0)}\to\ol{B_1(0)}$ besitzt einen
    Fixpunkt) impliziert dann, dass auch ein Startpunkt $P$ existiert,
    in dem die $120^\circ$-Bedingung erf\"ullt ist. 
  \item Die Eindeutigkeit benutzt den Satz von Gau\ss{}-Bonnet und die
    Monotonie von Schnittwinkeln. Wir werden sie hier nicht beweisen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Existenz einer Kurve}

Wir zeigen hier, dass es zu jedem Punkt $P\in\R^2$ und zu jeder
Halbgeraden eine homothetisch expandierende L\"osung von \csf{} bzw.{}
\eqref{curve ode}, wenn wir uns die L\"osung zur Zeit $t=1/2$
anschauen, gibt, die durch $P$ verl\"auft und zur gegebenen
Halbgeraden asymptotisch ist.

In uninteressanten F\"allen k\"onnen wir eine Ursprungsgerade
w\"ahlen. Sonst folgt dies nach einer Drehung aus der folgenden
analytischen Umformulierung
\begin{theorem}
  Sei $h>0$ und $a\in\R$. Dann gibt es ein $b\in\R$, so dass die
  L\"osung $u$ von \ode mit Anfangswerten $u(0)=h$ und $u'(0)=b$ f\"ur
  alle $x\ge0$ existiert und $u(x)-ax\to 0$ f\"ur $x\to\infty$
  erf\"ullt.
\end{theorem}
Ziel dieses Abschnittes ist der Beweis dieses Theorems. 

\begin{lemma}\label{sol convex}
Existiert eine L\"osung $u$ von \ode mit $u(0)>0$ auf einem Intervall
$0\le x<x_{max}$, so ist $u$ strikt konvex.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der Differentialgleichung gilt $u''(0)>0$.  Angenommen, es
  gibt ein $x_0$ mit $0<x_0<x_{max}$ mit $u''(x_0)=0$.  Dann folgt
  $u(x_0)-x_0u'(x_0)=0$. Dort stimmen also die Steigung von $u$ und
  die Steigung der Ursprungsgeraden durch $(x_0,u(x_0))$
  \"uberein. Jede Ursprungsgerade ist eine
  L\"osung von \ode. Aufgrund der eindeutigen L\"osbarkeit
  gew\"ohnlicher Differentialgleichungen mit gegebenen Anfangswerten
  stimmen $u$ und $x\mapsto x\cdot u'(x_0)$ auf $[0,x_{max})$
  \"uberein. Also folgt $u(0)=0$. Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{lemma}\label{longtime existence}
  Die Gleichung \ode mit Anfangswerten $u(0)$ und $u'(0)$ besitzt eine
  L\"osung f\"ur alle $x\ge0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung $u(0)>0$ annehmen. Sei
  $[0,x_{max})$ das maximale Existenzintervall einer L\"osung. Wir
  nehmen $x_{max}<\infty$ an. \par Aufgrund der Konvexit\"at ist $u'$
  wachsend. Ist $u'(0)<0$, so gibt es ein maximales Intervall
  $[0,\tilde x)\subset[0,x_{max})$, so dass dort $u'<0$ gilt. Dort
  f\"allt $|u'|$ und bleibt daher beschr\"ankt. Somit sind $x$ und $u$
  dort ebenfalls beschr\"ankt. Daher existiert die L\"osung noch
  \"uber $\tilde x$ hinaus (wir hatten $\tilde x\le x_{max}<\infty$
  vorausgesetzt) und es gilt $u'(x)>0$ auf $(\tilde x,x_{max})$. \par
  Somit gibt es aufgrund der Konvexit\"at ein $\epsilon$ mit
  $0<\epsilon<x_{max}$ mit $u'(\epsilon)>0$. Aufgrund der Konvexit\"at
  folgt $u'(x)>0$ f\"ur $x>\epsilon>0$. Nochmals aufgrund der
  Konvexit\"at erhalten wir unter Benutzung von \ode $u-xu'>0$. Somit
  folgt
  \[u>xu'(x)\ge\epsilon u'(x)\quad\text{f\"ur~}x>\epsilon>0.\]
  Somit kann $u$ aufgrund des Vergleichsprinzips f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen f\"ur $x\ge\epsilon$ h\"ochstens
  exponentiell wachsen. Wegen $u>\epsilon u'$ und $u'\ge0$ ist auch
  $u'$ durch eine exponentiell wachsende Funktion beschr\"ankt. Daher
  existiert $u$ f\"ur alle $x\ge0$.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile  
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir haben gesehen, dass L\"osungen zu \ode mindestens auf
    $[0,\infty)$ fortgesetzt werden k\"onnen. Daher wollen wir auch ab
    jetzt annehmen, dass sie dort existieren.
  \item Ist $u:[0,\infty)\to\R$ eine L\"osung zu \eqref{curve ode}, so
    ist $u(-x)$ eine L\"osung zu \ode auf $(-\infty,0]$. Deshalb
    gen\"ugt es Eigenschaften von $u$ f\"ur $x\ge0$ zu untersuchen.
  \item Ist $u\colon[0,\infty)\to\R$ eine L\"osung zu \eqref{curve
      ode}, so ist auch $-u\colon[0,\infty)\to\R$ eine L\"osung zu
    \eqref{curve ode}. Daher werden wir h\"aufiger nur den Fall
    $u(0)>0$ untersuchen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir wollen zeigen, dass $u$ f\"ur $x\to\infty$ gegen eine
Ursprungsgerade konvergiert. Dazu ist es n\"utzlich, $u-xu'$ zu
untersuchen. Diese Gr\"o\ss{}e verschwindet f\"ur L\"osungen von \ode
genau dann (in einem Punkt), wenn $\graph u$ in einer Ursprungsgeraden
enthalten ist.
\begin{lemma}\label{straight line detection}
  Sei $u$ eine L\"osung von \eqref{curve ode} mit $u(0)>0$. Dann
  konvergiert $x\mapsto u-xu'$ f\"ur $x\to\infty$ exponentiell gegen
  Null.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $u$ strikt konvex ist, folgt aus \ode $u-xu'>0$. Mit Hilfe von
  \ode bekommen wir nun eine Evolutionsungleichung f\"ur $u-xu'$ auf
  $\{x\ge\epsilon>0\}$
  \[(u-xu')'=-xu''=-x(u-xu')\left(1+(u')^2\right)
  \le-\epsilon(u-xu').\] Somit konvergiert $u-xu'$ exponentiell gegen
  Null. 
\end{proof}

In der N\"ahe von $x=0$, schneidet $\graph u$ Ursprungsgeraden
$\{(x,\,ax):x\in\R\}$ falls $a\gg1$ ist. Da $u$ konvex ist, ist $u'$
nach unten beschr\"ankt. Somit schneidet $u$ (genauer: $\graph u$)
keine Ursprungsgerade der Form $\{(x,\,ax):x\in\R\}$ falls $a\ll-1$
ist.  Wir m\"ochten herausfinden, zu welcher Ursprungsgeraden $u$
f\"ur $x\to\infty$ asymptotisch ist. Dazu zeigen wir zun\"achst, dass
$u$ jede Ursprungsgerade h\"ochstens einmal schneidet. Dann zeigen
wir, dass $u$ gegen eine Ursprungsgerade mit einer Steigung
konvergiert, die mit dem Infimum der Steigungen von Ursprungsgeraden
\"ubereinstimmt, die $u$ schneidet.

\begin{lemma}\label{ux/x monoton}
  Sei $u$ eine L\"osung von \ode mit $u(0)>0$. Dann ist
  $x\mapsto\frac{u(x)}x$ f\"ur $x>0$ strikt monoton fallend.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Behauptung folgt aus
  \[\left(\frac{u(x)}x\right)'=\frac{u'}x-\frac u{x^2}=
  \frac{xu'-u}{x^2}<0.\qedhere\]
\end{proof}

Daraus folgt
\begin{corollary}
  Sei $a\in\R$ und $u$ eine L\"osung von \ode mit $u(0)>0$. Gilt
  $u(x_0)=ax_0$ f\"ur ein $x_0>0$, dann gelten $u(x)>ax$ f\"ur $0\le
  x<x_0$ und $u(x)<ax$ f\"ur $x>x_0$. Somit schneiden sich die Graphen
  von $u$ und $x\mapsto ax$ f\"ur $x\ge0$ h\"ochstens einmal.
\end{corollary}

Wir erhalten nun, dass $u$ f\"ur $x\to\infty$ gegen eine Halbgerade
konvergiert. 
\begin{lemma}\label{exp conv}
  Sei $u$ eine L\"osung von \ode mit $u(0)>0$. Dann gibt es ein
  $a\in\R$, das von $u(0)$ und $u'(0)$ abh\"angt, so dass
  $u(x)-ax\to0$ exponentiell in $C^\infty$ f\"ur $x\to\infty$
  konvergiert.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $a:=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{u(x)}x$. Da $u$ konvex
  ist, f\"allt $u$ h\"ochstens linear ab, $\frac{u(x)}x$ ist also nach
  unten beschr\"ankt. Somit ist $a\in\R$ nach Lemma \ref{ux/x monoton}
  wohldefiniert. Nach Lemma \ref{straight line detection}, konvergiert
  $u(x)-xu'(x)\to0$ exponentiell f\"ur $x\to\infty$.  Daher gilt
  \[\lim\limits_{x\to\infty}u'(x)
  =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{u(x)}{x}=a.\] Aus der Gleichung \ode
  erhalten wir daher, dass auch $u''(x)\to0$ exponentiell f\"ur
  $x\to\infty$ konvergiert. Wir integrieren und erhalten f\"ur
  $y\to\infty$ \[a-u'(x)\leftarrow
  u'(y)-u'(x)=\int\limits_x^yu''(\tau)\,d\tau \to \int\limits_x^\infty
  u''(\tau)\,d\tau.\] Das Integral auf der rechten Seite f\"allt wie
  der Integrand exponentiell ab. Somit konvergiert $u'(x)\to a$
  exponentiell f\"ur $x\to\infty$. Daher konvergiert auch
  $u'(x)x-ax\to0$ exponentiell (mit einer etwas schlechteren Rate)
  f\"ur $x\to\infty$.  Wir benutzen nun Lemma \ref{straight line
    detection} nochmals und erhalten, dass auch $u(x)-ax\to0$ f\"ur
  $x\to\infty$ exponentiell in $C^0$ konvergiert. Wir differenzieren
  nun \ode. Dadurch erhalten wir Evolutionsgleichungen der Form
  $u^{(k+1)}(x)=\ldots$ f\"ur $k\ge2$, wobei auf der rechten Seite
  Summen von Produkten der Terme $\left(1+(u')^2\right)$, $u'$ und
  mindestens einem der Terme $u(x)-xu'(x)$, $u''(x)$, \ldots,
  $u^{(k)}(x)$, $xu''(x)$, \ldots, $xu^{(k)}(x)$ stehen. Die
  exponentielle Konvergenz von $u(x)-ax$, $u'-a$ und $u''$ haben wir
  bereits bewiesen. Per Induktion folgt aus den
  Differentialgleichungen f\"ur $u^{(k)}$, $k\ge3$, nun die
  exponentielle Konvergenz f\"ur beliebige Ableitungen.
\end{proof}

Im Beweis von Lemma \ref{exp conv} haben wir auch folgendes gesehen.
\begin{corollary}
  \label{u strich lim ex cor}
  Sei $u$ eine L\"osung von \ode mit $u(0)>0$. Dann existiert der
  Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}u'(x)\in\R$. 
\end{corollary}

\begin{lemma}
  \label{a u strich lem}
  Sei $u$ eine L\"osung von \ode (mit $u(0)>0$). Dann
  gilt \[a=\lim\limits_{x\to\infty} u'(x) =\lim\limits_{x\to\infty}
  \frac{u(x)}x\] mit $a$ wie in Lemma \ref{exp conv}. Beide
  Konvergenzen sind exponentiell mit lokal gleichm\"a\ss{}igen
  Konstanten, \dh f\"ur $(u(0),u'(0))$ in einer kompakten Menge gibt
  es $C>0$ und $\lambda>0$ mit $|a-u'(x)|\le Ce^{-\lambda x}$ f\"ur
  alle $x$ und alle Anfangsdaten aus dieser kompakten Menge. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben in Lemma \ref{straight line detection} und Lemma \ref{exp
    conv} gesehen, dass $u-u'(x)x$ und $u-ax$ f\"ur $x\to\infty$
  exponentiell gegen Null konvergieren. Daraus folgt, dass
  $\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)=a$ gilt und dass die Konvergenz
  exponentiell ist. \par Dividieren wir $u-ax$ durch $x$, so
  konvergiert dies weiterhin exponentiell gegen Null und liefert die
  noch fehlende Gleichheit.\par
  $u-u'x$ konvergiert ab $x=\epsilon$ gleichm\"a\ss{}ig gegen Null
  wenn der Wert dieses Ausdrucks f\"ur dieses $x$ gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt ist. (Diese gleichm\"a\ss{}ige Schranke erh\"alt man
  bereits mit der folgenden recht groben Methode: Sei
  $c\ge2(1+|u(0)|+|u'(0)|)$ f\"ur alle Anfangsdaten im fixierten
  Kompaktum. Solange $|x|,|u|,|u'|\le c$ ist, gilt aufgrund der
  Differentialgleichung $|u''|\le4c^4$. Damit kann sich in einem
  kontrollierten Zeitintervall $|u'|$ nur so \"andern, dass $|u'|\le
  c$ f\"ur alle Anfangsdaten in diesem Kompaktum gilt. Da $|u'|\le c$
  gilt, kann sich aber auch $|u|$ nur so stark \"andern, dass in einem
  gegebenenfalls kleineren Zeitintervall auch $|u|\le c$ f\"ur alle
  Startwerte im Kompaktum gilt. Somit folgt die behauptete
  Absch\"atzung f\"ur hinreichend kleines $\epsilon>0$.)  Daher gilt
  dies auch nach Division durch $x$.  Wie im Beweis von Lemma \ref{exp
    conv} erhalten wir aus der Gleichung die lokal gleichm\"a\ss{}ige
  exponentielle Konvergenz $u''\to0$.  Dies \"ubertr\"agt sich wie in
  diesem Beweis auf die angegebenen Grenzwerte.
\end{proof}

Zu weiteren Eigenschaften von L\"osungen von \eqref{curve ode}:
\begin{lemma}\label{height mon}
  Seien $u$ und $v$ zwei L\"osungen zu \eqref{curve ode} mit
  $u(0)>v(0)>0$ und $u'(0)\ge v'(0)$. Dann gilt \"uberall
  $u-v>0$. F\"ur $x\ge0$ w\"achst diese Differenz sogar strikt als
  Funktion von $x$.
\end{lemma} 
\begin{proof}[Beweis]
  Ist $u'(0)>v'(0)$, so ist $u-v$ aus Stetigkeitsgr\"unden f\"ur
  kleine $x>0$ in $x$ strikt monoton wachsend. Sonst gilt
  $u'(0)=v'(0)$ und die Differentialgleichung impliziert
  $u''(0)>v''(0)$.  Somit ist die Differenz $u-v$ aus
  Stetigkeitsgr\"unden f\"ur kleine $x>0$ in $x$ ebenfalls strikt
  monoton wachsend.\par Wir betrachten nun ein maximales Intervall
  $(0,\,x_0)$, $0<x_0\le\infty$, auf dem $u'-v'>0$ gilt. Wir m\"ochten
  zeigen, dass $x_0=\infty$ gilt. Falls $x_0<\infty$ ist, so erhalten
  wir $u'(x_0)-v'(x_0)=0$ sowie $u''(x_0)-v''(x_0)\le0$. Da $u-v$ auf
  dem Intervall $(0,\,x_0)$ strikt w\"achst folgt $u(x_0)>v(x_0)$. Wir
  erhalten
  \begin{align*}
    0\ge&\,u''(x_0)-v''(x_0)\\
    =&\left(1+(u'(x_0))^2\right)(u(x_0)-x_0u'(x_0))-
    \left(1+(v'(x_0))^2\right)(v(x_0)-x_0v'(x_0))\\
    =&\left(1+(u'(x_0))^2\right)(u(x_0)-v(x_0))>0.
  \end{align*}
  Widerspruch. Somit ist $x_0=\infty$ und $u-v$ ist in $x$ strikt
  wachsend.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{slope mon}
  Seien $u$ und $v$ zwei L\"osungen zu \ode mit $u(0)\ge v(0)>0$ und
  $u'(0)>v'(0)$. Dann gilt $u-v>0$ f\"ur $x>0$. Diese Differenz
  w\"achst sogar strikt in $x$ f\"ur $x\ge0$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Annahme w\"achst $u-v$ f\"ur kleine $x\ge0$ strikt. Angenommen,
  es gibt ein kleinstes $x_0>0$ mit $u'(x_0)-v'(x_0)=0$. Im Punkt
  $x_0$ erhalten wir $u(x_0)>v(x_0)$ sowie $u''(x_0)\le
  v''(x_0)$. Dort folgt damit
  \[u-xu'=\frac{u''}{1+(u')^2}\le\frac{v''}{1+(v')^2}=v-xv'.\]
  Somit ist $u(x_0)\le v(x_0)$. Widerspruch.
\end{proof}

Auch die Grenzwerte der Steigungen sind strikt monoton. 
\begin{lemma}\label{different slopes}
  Seien $u$ und $v$ L\"osungen von \ode mit $u(0)\ge v(0)>0$ und
  $u'(0)\ge v'(0)$ aber $(u(0),u'(0))\neq(v(0),v'(0))$. Dann gilt
  \[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{u(x)}x>
  \lim\limits_{x\to\infty}\frac{v(x)}x.\]
  Insbesondere ist also
  \[\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)>\lim\limits_{x\to\infty} v'(x).\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus den Lemmata \ref{height mon} und \ref{slope mon} erhalten wir
  dass $u(x)-v(x)$ f\"ur $x>0$ positiv und wachsend ist. Da die
  exponentielle Konvergenz in Lemma \ref{a u strich lem} f\"ur
  Anfangswerte $(u(0),u'(0))$ in einer kompakten Menge
  gleichm\"a\ss{}ig ist (was bei nur endlich vielen L\"osungen jedoch
  ohnehin der Fall ist), unterscheiden sich die Grenzwerte
  $\frac{u(x)}x$ und $\frac{v(x)}x$: Sonst h\"atten wir
  \[\frac{u(x)}x-ce^{-\lambda x} <\lim\limits_{y\to\infty}
  \frac{u(y)}y =\lim\limits_{y\to\infty} \frac{v(y)}y
  <\frac{v(x)}x+ce^{-\lambda x}\] f\"ur geeignete $c,\lambda>0$ und
  alle $x\ge0$ und somit \[2cxe^{-\lambda x}>u(x)-v(x).\] Dies ist
  unm\"oglich, da die rechte Seite positiv und wachsend ist. \par
  Die zweite Behauptung folgt nun aus Lemma \ref{a u strich lem}.
\end{proof}

Wir werden nun die Steigungen $u'$ nahe Unendlich f\"ur L\"osungen $u$
von \ode mit $u'(0)=0$ genauer untersuchen. F\"ur  $u(0)=0$,
ist $u(x)\equiv0$ eine L\"osung. Zun\"achst zeigen wir, dass die
Steigungen $u'$ nahe Unendlich f\"ur gro\ss{}e Werte von $u(0)$
ebenfalls gro\ss{} werden. 
\begin{lemma}\label{big slope}
  Sei $\alpha>0$. Dann gibt es ein $h\gg1$, so dass jede L\"osung $u$ von
  \ode mit $u'(0)=0$ und $u(0)\geq h$ nahe Unendlich eine Steigung
  gr\"o\ss{}er als $\alpha$ hat,
  \[\lim\limits_{x\to\infty}u'(x)>\alpha.\]
\end{lemma}
Nach Lemma \ref{a u strich lem} und Lemma \ref{ux/x monoton} erhalten
wir auch dass $\frac{u(x)}x\ge
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{u(x)}{x}>\alpha$ und $u(x)>\alpha x$
f\"ur $x\ge0$ gelten.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $u$ eine solche L\"osung. Wir sind fertig, falls
  $u'\left(\frac12\right)\ge h$ f\"ur ein $h\gg1$ (mit $h\ge\alpha$)
  gilt. Aufgrund der Konvexit\"at und da der Grenzwert nach Korollar
  \ref{u strich lim ex cor} existiert ist dann n\"amlich
  $\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)\ge u'\left(\frac12\right)\ge
  h$. \par
  Sonst erhalten wir aus der Konvexit\"at von $u$ dass $0\le u'(x)\le
  h$ und $h\le u(x)$ f\"ur alle $0\le x\le\frac12$ gelten. In diesem
  Intervall gilt die Absch\"atzung
  \[u''=\left(1+(u')^2\right)\cdot\left(u-xu'\right)\ge 
  1\cdot\left(h-\tfrac12 h\right)=\tfrac12h.\] Daher
  folgt \[u'\left(\tfrac12\right)=\underbrace{u'(0)}_{=0}
  +\int\limits_0^{1/2} u''(x)\,dx\ge\tfrac12\cdot\tfrac12
  h=\tfrac14h.\] Wie oben erhalten wir
  $\lim\limits_{x\to\infty}u'(x)>u'\left(\frac12\right)\ge\frac14h$
  und damit die Behauptung.
\end{proof}

F\"ur sp\"atere Anwendungen zeigen wir eine Variante von Lemma
\ref{big slope}. 
\begin{lemma}\label{points inside}
  Seien $a>0$ und $\mu>0$. Dann gibt es ein $h\gg1$ so dass jede
  L\"osung $u$ zu \ode mit $u(0)\ge h$ und
  $\lim\limits_{x\to\infty}u'(x)\le a$ auch $u'(0)\le-\mu$ erf\"ullen
  muss.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{different slopes} ist die asymptotische Steigung in
  der Anfangsh\"ohe $u(0)$ und der Anfangssteigung $u'(0)$ monoton.
  Daher gen\"ugt der Nachweis, dass eine L\"osung $u$ zu \ode mit
  $u(0)=h$ und $u'(0)=-\mu$ f\"ur geeignetes $h\gg1$ auch
  $\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)>a$ erf\"ullt. (Wenn die Behauptung
  des Lemmas n\"amlich falsch w\"are, so g\"alte insbesondere bei
  diesen Anfangswerten aufgrund der Monotonien
  $\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)\le a$.) \par
  Nach Lemma \ref{different slopes} folgt das Lemma f\"ur kleine
  $\mu$, wenn wir es f\"ur gro\ss{}e $\mu$ zeigen k\"onnen. Daher
  d\"urfen wir annehmen, dass $\mu$ gro\ss{} ist: $\mu>a$.\par Solange
  $u\ge\frac h2$ auf dem Intervall $0\le x\le 1$ erf\"ullt ist,
  erhalten wir dort \[u''(x)=\left(1+(u'(x))^2\right)(u(x)-xu'(x)) \ge
  u(x)-xu'(x)\ge\frac h2-|u'(x)|.\] Gibt es ein $x>0$, so dass
  $u'(x)>\mu$ gilt, so folgt das Lemma direkt aus der
  Konvexit\"at. Sonst d\"urfen wir annehmen, dass $\frac h4\ge\mu$
  gilt. Wegen der Konvexit\"at erhalten wir $|u'|\le\mu$ und daher
  f\"ur $0\le x\le1$ \[u''(x)\ge\frac h2-\mu\ge\frac h4.\] Die
  Differentialgleichung $v''(x)=\frac h4$ mit Anfangswerten $v(0)=h$,
  $v'(0)=-\mu$ besitzt die L\"osung $v(x)=h-\mu x+\frac h8x^2$. Wir
  integrieren zweimal und ber\"ucksichtigen, dass die Anfangswerte von
  $u$ und $v$ \"ubereinstimmen. Es gilt also $u(x)\ge v(x)$ f\"ur
  $0\le x\le 1$, falls dort $u(x)\ge\frac h2$ ist. Die Funktion $v$
  nimmt ihr Minimum f\"ur $x=\frac{4\mu}h$ an. Es ist
  $v\left(\frac{4\mu}h\right) =h-\frac{2\mu^2}h$. Im Falle $h>2\mu$
  ist dies gr\"o\ss{}er als $\frac h2$. Wir nehmen $h>2\mu$ ab jetzt
  ohne Einschr\"ankung an.  Damit rechtfertigen wir die oben
  verwendete Annahme, dass $u\ge\frac h2$ f\"ur gro\ss{}e Werte von
  $h$ auf dem Intervall $0\le x\le 1$ gilt. Somit ist $u(x)\ge v(x)$
  f\"ur $0\le x\le 1$. Insbesondere ist daher $u(1)\ge v(1)\ge
  \frac98h-\mu$. Wir nehmen nun weiterhin an, dass $h\ge16\mu$
  gilt. Dann folgt $u(1)-u(0)\ge\mu$. Somit gibt es ein $x\in[0,\,1]$
  mit $u'(x)\ge\mu$. Das Lemma folgt nun aus der Konvexit\"at von $u$.
\end{proof}

Wir zeigen, dass es f\"ur jede Ursprungshalbgerade eine Anfangsh\"ohe
$h$ gibt, so dass die L\"osung $u$ von \ode mit $u'(0)=0$ f\"ur
$x\to\infty$ gegen diese Halbgerade konvergiert. 
\begin{lemma}\label{exist fixed h}
  Sei $a>0$. Dann gibt es eine Anfangsh\"ohe $u(0)=h$, so dass die
  L\"osung $u$ zu \ode mit $u'(0)=0$ \[\lim\limits_{x\to\infty}
  u(x)-ax=0\] erf\"ullt. Die Abbildung $h\mapsto a$ verm\"oge $u$ ist
  stetig.  
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{exp conv} existiert zu jedem $h$ ein Wert $\tilde
  a$, so dass die Behauptung mit $\tilde a$ gilt.  Nach Lemma \ref{exp
    conv} und Lemma \ref{a u strich lem} gen\"ugt also der Nachweis,
  dass $\lim\limits_{x\to\infty} u'(x)=a$ f\"ur ein geeignetes $h>0$
  ist.\par
  Sei $A(h)$ die Funktion, die einer Anfangsh\"ohe $h$ die
  zugeh\"orige asymptotische Steigung zuordnet. Nach Lemma \ref{big
    slope} gilt \[-\infty=\lim\limits_{h\to-\infty} A(h)
  <A(0)=0<\lim\limits_{h\to\infty} A(h)=\infty.\] Daher gen\"ugt es zu
  zeigen, dass $A$ stetig ist. Seien $h_0$ und $\epsilon>0$
  vorgegeben. Nach Lemma \ref{a u strich lem} ist die Konvergenz von
  $u'$ mit lokal gleichm\"a\ss{}igen Konstanten exponentiell in den
  Anfangsdaten. F\"ur Starth\"ohen in $[h_0-1,h_0+1]$ und $u'(0)=0$
  ist sie daher gleichm\"a\ss{}ig. Sei daher $r>0$, so dass f\"ur alle
  Anfangsh\"ohen in
  $[h_0-1,h_0+1]$ \[\left|u_h'(r)-\lim\limits_{x\to\infty}
    u_h'(x)\right|<\tfrac\epsilon3\] gilt, wobei wir mit $u_h$ f\"ur
  den Moment die L\"osung von \ode mit $u(0)=h$ und $u'(0)=0$
  bezeichnet haben. $h\mapsto u_h'(r)$ ist stetig. Daher gibt es ein
  $\delta$ mit $0<\delta\le1$, so dass $|h-h_0|<\delta$ auch
  $|u_h'(r)-u_{h_0}'(r)|<\frac\epsilon3$ impliziert.  Daher folgt aus
  $|h-h_0|<\delta$
  \begin{align*}
    &\,\left|\lim\limits_{x\to\infty} u'_h(x)
      -\lim\limits_{x\to\infty} u_{h_0}'(x)\right|\umbruch\\ \le&\,
    \left|\lim\limits_{x\to\infty} u'_h(x) -u'_h(r)\right|
    +|u'_h(r)-u'_{h_0}(r)| +\left|u'_{h_0}(r)
      -\lim\limits_{x\to\infty}
      u_{h_0}'(x)\right|\umbruch\\
    \le&\,\tfrac\epsilon3+\tfrac\epsilon3+\tfrac\epsilon3=\epsilon.
  \end{align*}
  Somit ist $A$ stetig und die Existenz folgt aus dem
  Zwischenwertsatz. Aufgrund der Monotonie in den Anfangswerten, siehe
  Lemma \ref{different slopes}, ist $h$ auch eindeutig bestimmt. 
\end{proof}

Die verm\"oge einer L\"osung einander zugeordneten Werte $a$ und $h$
sind durch einen Hom\"oomorphismus miteinander verkn\"upft. 
\begin{lemma}\label{homeo lem}
  Seien $a$ und $h$ verm\"oge einer L\"osung $u$ zu \ode wie in Lemma
  \ref{exist fixed h} einander zugeordnet. Indem wir $\graph u$
  reflektieren, setzen wir diese Abbildung zu einer Abbildung $\R\ni
  h\mapsto a\in\R$ fort. Dann ist dies ein Hom\"oomorphismus mit
  $a(h)\to\pm\infty$ f\"ur $h\to\pm\infty$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Lemma \ref{big slope} sichert die Behauptung \"uber das
  asymptotische Verhalten. Die Surjektivit\"at und die Stetigkeit
  folgen aus Lemma \ref{exist fixed h}.  Lemma \ref{different slopes}
  liefert die Injektivit\"at.\par Aus der Topologie, siehe z.\,B.{}
  \cite[Satz 8.12 and Satz 8.24]{Querenburg}, ist bekannt, dass eine
  bijektive stetige und eigentliche Abbildung $\R^n \to \R^n$ ein
  Hom\"oomorphismus ist. Somit ist $h\mapsto a(h)$ ein
  Hom\"oomorphismus.
\end{proof}

Wir m\"ochten nun zeigen, dass es zu jedem Punkt $P$ und jeder
Ursprungshalbgeraden eine homothetisch expandierende Kurve zur Zeit
$t=1/2$ gibt, die durch $P$ verl\"auft und zu dieser Halbgeraden
asymptotisch ist. Dies ist klar, falls $P$ bereits auf der zu einer
Geraden verl\"angerten Halbgeraden liegt. Nach einer Rotation und
gegebenenfalls einer Spiegelung d\"urfen wir annehmen, dass $P$ auf
der $y$-Achse liegt und die Halbgerade als $\{(x,ax)\colon x\ge0\}$
f\"ur ein $a\in\R$ gegeben ist. 

\begin{lemma}
  \label{eine kurve exist lem}
  Sei $P\in\R^2$ und $l$ eine Ursprungshalbgerade. Dann gibt es eine
  L\"osung $u$ von \eqref{curve ode} mit $u(0)=h$ sowie $u'(0)=0$,
  deren Graph nach einer Rotation $P$ enth\"alt und auf einer Seite zu
  $l$ asymptotisch ist. Der Tangentialvektor in $P$ in Richtung auf
  $l$ zu an die Kurve h\"angt stetig von $P$ ab.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $l$ ohne Einschr\"ankung die positive $x$-Achse. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren zun\"achst eine Abbildung
    $\Phi\colon\R^2\to\R^2$. F\"ur den Beweis des Lemmas wird
    insbesondere wichtig sein, dass $\Phi$ ein Hom\"oomorphismus
    ist. 
  \item Sei $(x,h)\in\R^2$. Sei $u$ die L\"osung von \ode mit $u(0)=h$
    und $u'(0)=0$. Sei $R_h$ die Drehung, die $\graph u|_{x\ge0}$ so
    dreht, dass die Kurve zur positiven $x$-Achse asymptotisch
    wird. Dann ist die durch $\Phi\colon(x,h)\mapsto R_h(x,u(x))$
    definierte Abbildung $\Phi$ stetig.
  \item Die Injektivit\"at von $\Phi$ folgt aus einer Monotonie wie in
    Lemma \ref{different slopes}: Es gibt nicht zwei verschiedene
    Kurven, die durch denselben Punkt verlaufen und zur selben
    Halbgeraden asymptotisch sind.
  \item Die Kurven $x\mapsto\Phi(x,h)$ h\"angen stetig von $h$ ab. Sie
    sind jeweils zu zwei Halbgeraden asymptotisch. Davon ist die eine
    stets die positive $x$-Achse. Nach Lemma \ref{big slope}
    (asymptotisches Verhalten) und Lemma \ref{different slopes}
    (Monotonie) rotiert die andere um $360^\circ$ wenn $h$
    variiert. Somit liegt jeder Punkt im $\R^2$ auf einer solchen
    Kurve (f\"ur $x\gg1$ uml\"auft die Kurve $h\mapsto\Phi(x,h)$ den
    Punkt $P$ nicht w\"ahrend sie ihn f\"ur $x\ll-1$ uml\"auft --
    wobei wir die Kurven jeweils f\"ur $|h|\approx\infty$ leicht
    ab\"andern -- und diese Kurven w\"aren ohne Surjektivit\"at in
    $\R^2\setminus\{P\}$ homotop). Daher ist $\Phi$ surjektiv.
  \item F\"ur $|h|\to\infty$ folgt $\inf\limits_{x\in\R} |\Phi(x,h)|
    \to\infty$ aufgrund der Konvexit\"at aus Lemma \ref{big
      slope}. Wegen $|(x,u(x))|\ge|x|$ ist $\inf\limits_{h\in\R}
    |\Phi(x,h)|\to\infty$ f\"ur $|x|\to\infty$ klar. Somit ist $\Phi$
    eigentlich.
  \item Wir benutzen nochmals \cite[Satz 8.12 and Satz
    8.24]{Querenburg} und erhalten, dass $\Phi$ ein Hom\"oomorphismus
    ist. 
  \end{enumerate}
  Damit folgt das Lemma. 
\end{proof}

\Subsection{Existenz von drei Kurven}

Wir zeigen nun die Existenzaussage aus Theorem \ref{netzwerk exist
  thm}. Dazu benutzen wir die Kurven aus Lemma \ref{eine kurve exist
  lem}, zeigen dass diese f\"ur einen Punkt in $\R^2$ auch die
$120^\circ$-Bedingung erf\"ullen und dass sie sich nicht au\ss{}erhalb
des Startpunktes schneiden. 

Die Kurven sind eingebettet:
\begin{lemma}
  Verschiedene homothetisch expandierende Kurven mit einem gemeinsamen
  Startpunkt schneiden sich in keinem weiteren Punkt. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst rotieren wir das Koordinatensystem so dass der Startpunkt
  auf der Halbgeraden $\{(0,\,y)\colon y\ge0\}$ liegt.  Dann sind
  diese Kurven Graphen \"uber $\{(x,0)\colon x\ge0\}$, $\{(x,0)\colon
  x\le0\}$ oder Teil der Achse $\{0\}\times\R$. Daher gen\"ugt es,
  zwei Kurven zu betrachten, die als Graphen \"uber der Halbgeraden
  $\{(x,0)\colon x\ge0\}$ dargestellt sind. Diese Kurven beginnen auf
  derselben H\"ohe und haben verschiedene Anfangssteigungen, da sie
  nicht \"ubereinstimmen. Daher folgt nach  Lemma \ref{slope mon},
  dass sich diese Kurven nur f\"ur $x=0$ schneiden. 
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{netzwerk exist thm}]
  Es fehlt noch der Nachweis, dass es mindestens ein $P\in\R^2$ gibt,
  in dem sich die Kurven mit einer vorgegebenen asymptotischen
  Halbgeraden im Winkel von $120^\circ$ treffen. Definiere ein
  stetiges Vektorfeld $V\colon\R^2\to\R^2$ durch
  $V=\sum\limits_{i=1}^3T_i$, wobei $T_i$ die zu den asymptotischen
  Halbgeraden hinweisenden (normierten) Tangentialvektoren sind. \par
  Wir behaupten zun\"achst, dass f\"ur Punkte $P$, die weit vom
  Ursprung entfernt sind, stets $\langle P,\, V(P)\rangle<0$ gilt: Sei
  $|P|$ gro\ss{}. Liegt zwischen der Ursprungshalbgeraden durch $P$
  und der Ursprungshalbgeraden zu der die Kurve asymptotisch sein soll
  ein nach unten abgesch\"atzter positiver Winkel, so beginnt die
  selbst\"ahnliche L\"osung nach Lemma \ref{points inside} beinahe in
  Richtung $-\frac P{|P|}$. Dies ist bei drei verschiedenen fixierten
  Ursprungshalbgeraden f\"ur jeden Punkt $P$ f\"ur mindestens zwei der
  Kurven richtig. Somit folgt $\langle
  P,\,V(P)\rangle=\sum\limits_{i=1}^3\langle P,\,T_i\rangle <0$ auf
  $\partial B_R(0)$ f\"ur hinreichend gro\ss{}e $R\ge1$. Wir k\"onnen
  sogar annehmen, dass $P+V(P)\in \ol{B_R(0)}$ f\"ur alle $P\in
  \ol{B_R(0)}$ gilt. Die Abbildung $P\mapsto P+V(P):\ol B_R(0)\to\ol
  B_R(0)$ ist stetig. Somit besitzt sie nach dem Brouwerschen
  Fixpunktsatz einen Fixpunkt $P_0$. (Den Brouwerschen Fixpunktsatz
  zeigen wir in Theorem \ref{brouwer fix punkt satz}.) Dies ist
  \"aquivalent zu $V(P_0)=0$. Somit finden wir ein $P_0\in\R^2$ mit
  $\sum\limits_{i=1}^3T_i=0$. Dies bedeutet, dass in $P_0$ die
  $120^\circ$-Bedingung erf\"ullt ist. Die Existenzaussage des
  Theorems folgt.
\end{proof}

\Section{Rotationsfl\"achen konstanter mittlerer Kr\"ummung}
Diese wurden 1841 von C. Delaunay gefunden \cite{DelaunaySurface} und
hei\ss{}en auch Delaunayfl\"achen. Wir folgen teilweise
\cite{FerusDG1}. Siehe auch \cite{EellsDelaunay}

\stepcounter{subsection}
\begin{remark}
  Einige dieser Fl\"achen lassen sich \"ahnlich wie in Kapitel
  \ref{gekippt sub sec} beschreiben. Wir geben hier ein paar
  Zwischenschritte an und lassen die Details als
  \"Ubung. Anschlie\ss{}end geben wir noch einen alternativen Zugang
  an. \par
  Schreibe die Rotationsfl\"ache lokal als Graph von $u$. Dann
  erhalten wir
  \begin{align*}
    u(\hat x,x^n) =&\,-\sqrt{\phi^2(x^n)-|\hat x|^2}.
    \intertext{In einem Punkt mit $\hat x=0$ folgt}
    Du=&\,(0,\ldots,0,-\phi'),\umbruch\\
    D^2u =&\,
    \begin{pmatrix}
      \frac1\phi\eins & 0\\
      0&-\phi''
    \end{pmatrix},\umbruch\\
    (g_{ij})=&\,
    \begin{pmatrix}
      \eins&0\\
      0&1+(\phi')^2
    \end{pmatrix},\umbruch\\
    (h_{ij})=&\,
    \begin{pmatrix}
      \frac1{\phi\sqrt{1+(\phi')^2}}\eins &0\\
      0&\frac{-\phi''}{\sqrt{1+(\phi')^2}}
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  Solch eine Hyperfl\"ache hat $(n-1)$-mal die Hauptkr\"ummung
  $\frac1{\phi\sqrt{1+(\phi')^2}}$ und einmal die Hauptkr\"ummung
  $\frac{-\phi''}{\left(1+(\phi')^2\right)^{3/2}}$. Somit hat solch
  eine Fl\"ache konstante mittlere Kr\"ummung $1$,
  falls \[\frac{n-1}{\phi\sqrt{1+(\phi')^2}}
  -\frac{\phi''}{\left(1+(\phi')^2\right)^{3/2}} =1\] gilt. 
\end{remark}

\begin{remark}[Herleitung der gew\"ohnlichen Differentialgleichung] 
  Etwas allgemeinere Hyperfl\"achen k\"onnen wir durch eine Einbettung
  $X\colon\S^{n-1}\times\R\to\R^n\times\R$
  mit \[X(p,t)=(\alpha(t)\cdot p,\beta(t))^T\] beschreiben. Dabei
  nehmen wir an, dass $t\mapsto (\alpha(t),\beta(t))$ eine nach der
  Bogenl\"ange parametrisierte Kurve in $\R^2$ mit $\alpha(t)>0$ f\"ur
  alle $t$ ist. Damit gilt \[\dot\alpha^2(t) +\dot\beta^2(t) =1.\] Wir
  beschr\"anken uns nun auf den Fall von Fl\"achen in $\R^3$. Aus
  Platzgr\"unden schreiben wir Vektoren als Zeilen. Es gilt
  \begin{align*}
    X\colon&\,\R\times\R\to\R^3,\umbruch\\
    X(\phi,t):=&\,(\cos\phi\cdot\alpha(t),\sin\phi\cdot\alpha(t),
    \beta(t)),\umbruch\\
    X_\phi=&\,(-\sin\phi\cdot\alpha(t),
    \cos\phi\cdot\alpha(t),0),\umbruch\\
    X_t=&\,\left(\cos\phi\cdot\dot\alpha(t),
      \sin\phi\cdot\dot\alpha(t),
      \dot\beta(t)\right),\umbruch\\
    X_{\phi\phi}=&\,(-\cos\phi\cdot\alpha(t),
    -\sin\phi\cdot\alpha(t),0),\umbruch\\
    X_{\phi t}=&\,\left(-\sin\phi\cdot\dot\alpha(t),
      \cos\phi\cdot\dot\alpha(t),0\right),\umbruch\\
    X_{tt}=&\,\left(\cos\phi\cdot\ddot\alpha(t),
      \sin\phi\cdot\ddot\alpha(t), \ddot\beta(t)\right),\umbruch\\ 
    g_{tt}=&\,\langle X_t,X_t\rangle =\dot\alpha^2(t)
    +\dot\beta^2(t)=1,\umbruch\\
    \begin{pmatrix}
      g_{\phi\phi}&g_{\phi t}\\
      g_{\phi t}&g_{tt}
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      \alpha^2(t)&0\\
      0&1
    \end{pmatrix},\umbruch\\
    \nu=&\,\left(\cos\phi\cdot\dot\beta(t), \sin\phi\cdot\dot\beta(t),
      -\dot\alpha(t)\right),\umbruch\\
    h_{\phi\phi} =&\,-\langle X_{,\phi\phi},\nu\rangle
    =\alpha\dot\beta,\umbruch\\
    h_{\phi t} =&\,0,\umbruch\\
    h_{tt}=&\,\dot\alpha\ddot\beta -\ddot\alpha\dot\beta,\umbruch\\ 
    \begin{pmatrix}
      h_{\phi\phi}& h_{\phi t}\\
      h_{\phi t}& h_{tt}
    \end{pmatrix}
    =&\,
    \begin{pmatrix}
     \alpha\dot\beta&0\\
     0&\dot\alpha\ddot\beta-\ddot\alpha\dot\beta
   \end{pmatrix},\umbruch\\
   \{\lambda_i\}_{i=1,2}=&\,\left\{\frac{\dot\beta}\alpha,
     \dot\alpha\ddot\beta-\dot\beta\ddot\alpha\right\},\umbruch\\
   H=&\,\dot\alpha\ddot\beta-\ddot\alpha\dot\beta
   +\frac{\dot\beta}\alpha.
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{remark}[L\"osen der gew\"ohnlichen Differentialgleichung]
  Wegen $\dot\alpha^2+\dot\beta^2=1$ folgt $0=\dot\alpha\ddot\alpha
  +\dot\beta\ddot\beta$. Wir multiplizieren die Differentialgleichung
  mit $\alpha\dot\alpha$ und erhalten unter Benutzung dieser beiden
  Gleichungen 
  \begin{align*}
    \alpha\dot\alpha H=&\,\alpha\dot\alpha^2\ddot\beta
    -\alpha\dot\beta\dot\alpha\ddot\alpha
    +\dot\alpha\dot\beta\umbruch\\
    =&\,\alpha\ddot\beta-\alpha\dot\beta^2\ddot\beta
    -\alpha\dot\beta\dot\alpha\ddot\alpha
    +\dot\alpha\dot\beta\umbruch\\
    =&\,\alpha\ddot\beta-\alpha\dot\beta\left(\dot\beta\ddot\beta
      +\dot\alpha\ddot\alpha\right) +\dot\alpha\dot\beta\umbruch\\
    =&\,\alpha\ddot\beta
    +\dot\alpha\dot\beta=\dt\left(\alpha\dot\beta\right). 
  \end{align*}
  Ebenso erhalten wir nach Multiplikation mit $\alpha\dot\beta$
  \begin{align*}
    \alpha\dot\beta H=&\,\alpha\dot\alpha\dot\beta\ddot\beta
    -\alpha\dot\beta^2\ddot\alpha +\dot\beta^2\umbruch\\
    =&\,\alpha\dot\alpha\dot\beta\ddot\beta -\alpha\ddot\alpha
    +\alpha\dot\alpha^2\ddot\alpha +\dot\beta^2\umbruch\\
    =&\,\alpha\dot\alpha\left(\dot\beta\ddot\beta
      +\dot\alpha\ddot\alpha\right) -\alpha\ddot\alpha
    +1-\dot\alpha^2\umbruch\\ 
    =&\,1-\dt(\alpha\dot\alpha). 
  \end{align*}
  Wir setzen $u:=\alpha\dot\alpha$ sowie $v:=\alpha\dot\beta$ und
  erhalten das System 
  \[\dt
  \begin{pmatrix}
    u\\ v
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0&-H\\
    H&0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    u\\ v
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    1\\ 0
  \end{pmatrix}. 
  \]
  Sei nun speziell $H=1$. Ist $H>0$ eine andere Konstante, so
  erhalten wir die entsprechende Fl\"ache aus der f\"ur $H=1$ durch
  Skalierung. Eine L\"osung ist f\"ur $\rho\in\R$ durch 
  \[
  \begin{pmatrix}
    u(t)\\ v(t)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \rho\cos t\\
    \rho\sin t+1
  \end{pmatrix}
  \]
  gegeben. Daraus erhalten wir mit $\dot\alpha^2+\dot\beta^2=1$
  \begin{align*}
    \alpha(t)=&\,\sqrt{u^2+v^2} =\sqrt{\rho^2\cos^2t +1 +2\rho\sin t
      +\rho^2\sin^2t}\umbruch\\ =&\,\sqrt{1+\rho^2+2\rho\sin
      t},\umbruch\\
    \beta(t)-\beta(0)=&\,\int\limits_0^t
    \frac{v(\tau)}{\alpha(\tau)}\,d\tau
    =\int\limits_0^t\frac{1+\rho\sin\tau}
    {\sqrt{1+\rho^2+2\rho\sin\tau}}\,d\tau.
  \end{align*}
  Hieran sieht man, dass wir periodische Fl\"achen erhalten. Die
  Periode ist durch $\beta(2\pi)-\beta(0)$ gegeben. \par 
  Wir \"uberpr\"ufen, dass die Differentialgleichung
  $1=\dot\alpha\ddot\beta -\ddot\alpha\dot\beta
  +\frac{\dot\beta}\alpha$ gilt:
  \begin{align*}
    \dot\alpha(t)=&\,\frac{\rho\cos t}{\alpha(t)},\umbruch\\
    \ddot\alpha(t)=&\,\frac{-\rho\sin
      t}{\alpha(t)}-\frac{\rho^2\cos^2t}{\alpha^3(t)},\umbruch\\
    \dot\beta(t)=&\,\frac{1+\rho\sin t}{\alpha(t)},\umbruch\\
    \ddot\beta(t)=&\,\frac{\rho\cos t}{\alpha(t)}-\frac{(1+\rho\sin
      t)\rho\cos t}{\alpha^3(t)},\umbruch\\
    \dot\alpha\ddot\beta-\ddot\alpha\dot\beta+\frac{\dot\beta}\alpha
    =&\,\frac{\rho\cos t}{\alpha(t)}\left(\frac{\rho\cos t}{\alpha(t)}
      -\frac{(1+\rho\sin t)\rho\cos t}{\alpha^3(t)}\right)\\
    &\,-\left(\frac{-\rho\sin t}{\alpha(t)}
      -\frac{\rho^2\cos^2t}{\alpha^3(t)}\right)\frac{1+\rho\sin
      t}{\alpha(t)} +\frac{1+\rho\sin t}{\alpha^2(t)}\umbruch\\
    =&\,\frac1{\alpha^2(t)}\left(\rho^2\cos^2t+\rho\sin
      t+\rho^2\sin^2t +1+\rho\sin t\right)\umbruch\\ 
    =&\,\frac{1+\rho^2+2\rho\sin t}{\alpha^2(t)} =1. 
    \intertext{Zu $\dot\alpha^2+\dot\beta^2=1$:}
    \dot\alpha^2+\dot\beta^2=&\,\frac{\rho^2\cos^2t}{\alpha^2(t)}
    +\frac{1+2\rho\sin t+\rho^2\sin^2t}{\alpha^2(t)}\umbruch\\
    =&\,\frac{1+\rho^2+2\rho\sin t}{\alpha^2(t)}=1. 
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{remark}
  Das Vorzeichen von $\rho$ spielt keine Rolle, die Fl\"achen
  unterscheiden sich lediglich um eine Verschiebung entlang der
  Rotationsachse. Sei daher ohne Einschr\"ankung $\rho\ge0$. \par
  Die Voraussetzung $\alpha(t)>0$ ist f\"ur $\rho\neq1$ stets
  erf\"ullt, denn dann gilt $\alpha(t)\ge\sqrt{1+\rho^2-2\rho}
  =\sqrt{(1-\rho)^2}=|1-\rho|>0$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $\rho=0$ erhalten wir einen Zylinder. 
  \item F\"ur $0<\rho<1$ erhalten wir sogenannte Undoloide. Sie sind
    eingebettet, da \"uberall $\dot\beta(t)>0$ gilt.
  \item F\"ur $\rho=1$ erhalten wir wie an einer Perlenkette
    angeordnete Sph\"aren. Dazu gen\"ugt es (nach einer
    Umparametrisierung) zu zeigen, dass f\"ur
    \begin{align*}
      \alpha(t)=&\,\sqrt{2+2\cos t},\umbruch\\
      \beta(t)=&\,\int\limits_0^t
      \frac{1+\cos\tau}{\sqrt{2+2\cos\tau}}\,d\tau =\frac1{\sqrt
        2}\int\limits_0^t\sqrt{1+\cos\tau}\,d\tau
    \end{align*}
    und $-\pi\le t\le\pi$ stets $\alpha^2(t)+\beta^2(t)=4$ gilt. Aus
    Symmetrie- und Stetigkeitsgr\"unden gen\"ugt der Nachweis f\"ur
    $0\le t<\pi$. Es gilt $(\alpha,\beta)(0)=(2,0)$. Wir erraten nun
    einen Kandidaten f\"ur eine Stammfunktion von $\sqrt{1+\cos
      t}$. Benutze dazu die angestrebte Gleichung und
    rate \[\beta(t)=\sqrt{4-\alpha^2(t)} =\sqrt{4-2-2\cos t} =\sqrt
    2\sqrt{1-\cos t}.\] Dies ist in der Tat f\"ur $0<t<\pi$ eine
    Stammfunktion, denn es gilt dort f\"ur die erratene Funktion
    $\beta(t)$
    \begin{align*}
      \dot\beta(t) =&\,\sqrt 2\frac12\frac{\sin t}{\sqrt{1-\cos t}}
      =\frac1{\sqrt2} \frac{\sin t\cdot\sqrt{1+\cos t}}{\sqrt{1-\cos
          t}\cdot \sqrt{1+\cos t}}\umbruch\\ =&\,\frac1{\sqrt
        2}\frac{\sin t\cdot\sqrt{1+\cos t}}{\sqrt{1-\cos^2t}}
      =\frac1{\sqrt 2}\frac{\sin t\cdot\sqrt{1+\cos t}}{\sqrt{\sin^2
          t}} =\frac1{\sqrt 2}\sqrt{1+\cos t}.
    \end{align*}
    Da auch $\beta(0)=0$ gilt und $\beta(t)$ in $0\le t<\pi$ stetig
    ist, ist $\beta$ die gesuchte Stammfunktion. Die Behauptung, dass
    es sich um einen Kreis handelt, folgt nun
    aus \[\alpha^2(t)+\beta^2(t) =2(1+\cos t) +2(1-\cos t)=4.\]
  \item F\"ur $\rho>1$ erhalten wir sogenannte Nodoide. Sie sind nicht
    eingebettet, da $\dot\beta(t)<0$ im Minimum von $\alpha(t)$ also
    f\"ur $t\in\left\{-\frac\pi2\right\}+2\pi\cdot\Z$ und
    $\dot\beta(t)>0$ im Maximum von $\alpha(t)$, also f\"ur
    $t\in\left\{\frac\pi2\right\}+2\pi\cdot\Z$ gelten und
    $\int\limits_0^{2\pi}
    \frac{1+\rho\sin\tau}{\sqrt{1+\rho^2+2\rho\sin\tau}}\,d\tau>0$
    ist. Diese letzte Behauptung folgt aus
    \[0<\int\limits_0^\pi \frac{1+\rho\sin t}{\sqrt{1+\rho^2+2\rho\sin
        t}} +\frac{1-\rho\sin t}{\sqrt{1+\rho^2-2\rho\sin t}}\,dt.\]
    Da der Integrand f\"ur $t=0$ positiv ist, gen\"ugt der Nachweis
    von \[0\le\frac{1+t}{\sqrt{1+\rho^2+2t}}
    +\frac{1-t}{\sqrt{1+\rho^2-2t}}\] f\"ur $0\le t\le\rho$. F\"ur
    $0\le t\le1$ ist dies trivial. Also m\"ochten wir nach Quadrieren
    f\"ur $1\le t\le\rho$
    \[(t-1)^2(1+\rho^2+2t)\le(1+t)^2(1+\rho^2-2t)\] zeigen. Durch
    Ausmultiplizieren sieht man nach kurzer Rechnung, dass dies
    \"aquivalent zu $0\le 4t(\rho^2-t^2)$ ist und daher gilt. 
  \item Undoloide erh\"alt man als Spuren eines Brennpunktes beim
    Abrollen einer Ellipse auf einer Geraden, siehe \cite{wiki}. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{appendix}

\Section{Brouwerscher Fixpunktsatz}
Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, dass jede stetige Abbildung $f$
von der abgeschlossenen Einheitskugel $D^n$ in sich einen 
Fixpunkt besitzt, \dh es gibt $x\in D^n$ mit $f(x)=x$.
Wir folgen dabei \cite{ProofBook}.

Wir f\"uhren den Beweis hier nur f\"ur $n=2$. F\"ur $n=1$ folgt
der Brouwersche Fixpunktsatz aus dem Zwischenwertsatz und f\"ur 
$n\ge3$ l\"asst sich das Spernersche Lemma, geeignet 
verallgemeinert, per Induktion beweisen.

\Subsection{Spernersches Lemma}
Das Spernersche Lemma gilt auch f\"ur andere Triangulierungen, f\"ur
uns gen\"ugt aber hier die folgende Version.
\begin{theorem}[Spernersches Lemma]
  Sei $V$ ein gleichseitiges Dreieck in $\R^2$, das in $4^k$, $k\ge1$, 
  kleinere kongruente gleichseitige Dreiecke aufgeteilt ist. 
  Dann bilden die Kanten und Ecken der kleineren Dreiecke einen
  Graphen $G$. Seien die Ecken so gef\"arbt (wir verwenden die
  Farben $1$, $2$ und $3$), dass die Ecken des 
  gro\ss{}en Dreiecks drei verschiedene Farben haben und auf jeder
  Kante des gro\ss{}en Dreiecks nur genau zwei verschiedene Farben
  vorkommen. Dann gibt es ein kleines Dreieck, dessen Ecken drei
  verschiedene Farben haben.  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir betrachten einen neuen Graphen $G'$, den dualen Graphen zum 
  gegebenen Graphen. Er besteht aus jeweils einer Ecke in jedem
  der kleinen Dreiecke und einer Ecke au\ss{}erhalb des gro\ss{}en
  Dreiecks. Zwei Ecken sind nun genau dann durch eine Kante verbunden,
  wenn es einen Weg zwischen den Ecken gibt, der nur eine Kante
  von $G$ genau einmal kreuzt und wenn diese Kante in $G$ 
  eine Ecke der Farbe $1$ und eine Ecke der Farbe $2$ hat.\par
  Da entlang der \"au\ss{}eren Ecken in $G$ eine ungerade Anzahl
  von Farbwechseln zwischen $1$ und $2$ stattfindet, gibt es in 
  $G'$ eine ungerade Anzahl von Kanten, $2l+1$, die an der Ecke 
  au\ss{}erhalb des gro\ss{}en Dreiecks starten oder enden.
  Aus den M\"oglichkeiten, ein kleines Dreieck zu f\"arben, folgt,
  dass in den Ecken von $G'$ im Inneren des gro\ss{}en Dreiecks
  maximal zwei Kanten beginnen oder enden k\"onnen. Wenn in solch
  einem Punkt (Ecke) genau eine Kante beginnt oder endet, so haben wir
  ein dreifarbiges Dreieck, wie wir es gesucht haben. 
  Es gibt also in $G'$ Punkte innerhalb des gro\ss{}en Dreiecks
  mit $0$, $1$ oder $2$ Kanten. Ihre Anzahl wollen wir mit 
  $E_0$, $E_1$ und $E_2$ bezeichnen. Sei $k$ die Anzahl der
  Kanten in $G'$. Dann gilt
  \[2k=0\cdot E_0+1\cdot E_1+2\cdot E_2+(2l+1).\]
  Es folgt, dass $E_1$ ungerade ist. Wir finden also eine
  ungerade Anzahl von dreifarbigen kleinen Dreiecken.
\end{proof}

\Subsection{Brouwerscher Fixpunktsatz}
\begin{theorem}[Brouwerscher Fixpunktsatz]
  \label{brouwer fix punkt satz}
  Sei $f:D^n\to D^n$ stetig. Dann gibt es einen
  Fixpunkt $x\in D^n$, \dh es gibt einen Punkt
  $x\in D^n$ mit $f(x)=x$.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Auch hier wollen wir wieder nur den zweidimensionalen Fall
  betrachten.  Die $n$-dimensionale Variante folgt analog.\par
  Da $D^2$ hom\"oomorph zu einem Dreieck $\Delta$ ist, gen\"ugt es,
  die Existenz eines Fixpunktes f\"ur stetige Abbildungen
  $f:\Delta\to\Delta$ zu beweisen. Sei $\Delta\subset\R^3$ das Dreieck
  mit Ecken $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ und $e_3=(0,0,1)$.  Es gilt
  $x\in\Delta$ genau dann, wenn $x_1+x_2+x_3=1$ ist und alle $x_i\ge0$
  sind.
  \par
  Wir unterteilen nun das Dreieck $\Delta$ wie im Spernerschen
  Lemma in $4^k$ Dreiecke. Diese wollen wir einf\"arben. 
  Wir wollen annehmen, dass es eine Abbildung $f:\Delta\to\Delta$
  gibt, die keinen Fixpunkt besitzt. Dann ist $f(x)-x\neq0$ f\"ur
  alle $x\in\Delta$. Wir wollen nun einer Ecke $x\in\Delta$ die
  Farbe $i$ geben, wenn dies die kleinste nat\"urliche Zahl ist,
  f\"ur die $\langle f(x)-x,e_i\rangle$ negativ ist. Dies ist 
  eine wohldefinierte F\"arbung. Denn wenn wir $x=(x_1,x_2,x_3)$
  und $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ schreiben, gilt 
  $x_1+x_2+x_3=1$ und $f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)=1$. Da nicht
  $x_1=f_1(x)$, $x_2=f_2(x)$ und $x_3=f_3(x)$ f\"ur $x\in\Delta$
  gilt, gibt es f\"ur jedes $x\in\Delta$ 
  mindestens ein $i$, so dass $f_i(x)-x_i
  =\langle f(x)-x,e_i\rangle$ negativ ist und ein $i$, so dass
  $f_i(x)-x_i$ positiv ist. Damit ist die F\"arbung wohldefiniert.
  \par
  Wir wollen nun zeigen, dass dies eine F\"arbung wie im
  Spernerschen Lemma ist. F\"ur die Ecke $e_i$ kann nur
  $f_i(e_i)-e_i$ negativ sein, also hat sie die Farbe $i$.
  Liegt $x$ auf der Ecke gegen\"uber von $e_i$, so gilt
  dort $x_i=0$. Also kann $f_i(x)-x_i$ nicht negativ sein 
  und somit kann $x$ nicht die Farbe $i$ bekommen. Somit erhalten
  wir eine F\"arbung der gew\"unschten Art. 
  \par
  Wir finden also nach dem Spernerschen Lemma ein kleines Dreieck
  mit Eckpunkten $v_1^k$, $v_2^k$ und $v_3^k$, so dass
  diese die Farben $1$, $2$ und $3$ bekommen. Daher gilt
  $\langle f(v_1^k)-v_1^k,e_1\rangle<0$,
  $\langle f(v_2^k)-v_2^k,e_2\rangle<0$
  und $\langle f(v_3^k)-v_3^k,e_3\rangle<0$. 
  Diese Punkte haben jeweils einen Abstand von genau
  $\sqrt 2\cdot 2^{-k}$ (oder Null). 
  \par
  Wir betrachten nun eine Folge von Punkten
  $(v_1^k)_{k\in\N}$. Da $\Delta$ eine kompakte Menge ist,
  konvergiert eine (nicht umbenannte) Teilfolge,
  $v_1^k\to x\in\Delta$ f\"ur $k\to\infty$.
  Man \"uberzeugt sich mit Hilfe der Dreiecksungleichung direkt, 
  dass auch die Folgen $v_2^k$
  und $v_3^k$ gegen denselben Grenzwert konvergieren.
  Da die Funktion $f$ stetig ist, folgt damit
  $f_1(x)-x_1\le0$, $f_2(x)-x_2\le0$ und $f_3(x)-x_3\le0$. 
  Hieraus erhalten wir 
  \[1=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)\le x_1+x_2+x_3=1\]
  mit Gleichheit genau dann, wenn in den obigen drei Ungleichungen
  Gleichheit gilt. Daher hat $f$ eine Fixpunkt. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Man \"uberlege sich f\"ur einige topologische R\"aume $X$, ob jede
  stetige Selbstabbildung $f\colon X\to X$ bzw.{} jeder
  Hom\"oomorphismus $f\colon X\to X$ einen Fixpunkt besitzt. Beispiele
  k\"onnten $X=(-1,1)$, $\S^1$, $\S^2$, $\S^n$, ein Annulus, $B_1(0)$
  oder ein Gebiet mit zwei L\"ochern sein.
\end{remark}

\begin{corollary}\label{brouwer retr cor}
  Es gibt keine stetige Retraktion von $D^n$ nach $\S^{n-1}$, 
  \dh es gibt keine stetige Abbildung $f:D^n\to\S^{n-1}$,
  so dass $f(x)=x$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$ gilt.  
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls doch, so ist $g:D^n\to D^n$ mit $g(x):=-f(x)$ eine Abbildung,
  die keinen Fixpunkt besitzt. Sei n\"amlich $x\in D^n$ mit
  $g(x)=x$. Da $f(D^n)=\S^{n-1}$ ist, folgt $x\in\S^{n-1}$.
  Es gilt also $g(x)=-f(x)=-x$. Widerspruch zum Brouwerschen
  Fixpunktsatz.  
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $V:D^n\to\R^n$ ein stetiges Vektorfeld mit 
  $\langle V(x),x\rangle\le0$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$.
  Dann gibt es $x\in D^n$ mit $V(x)=0$, das Vektorfeld
  besitzt also eine Nullstelle.   
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Wir wollen annehmen, dass $V(x)\neq0$ f\"ur $x\in \S^{n-1}$
  gilt.\par
  Betrachte die Abbildung $f:D^n\to D^n$ mit $x\mapsto x+\epsilon
  V(x)$ f\"ur ein kleines $\epsilon>0$.  Die Abbildung ist genau dann
  eine fixpunktfreie Selbstabbildung von $D^n$, wenn $V(x)$ keine
  Nullstelle besitzt.\par
  Um sicherzustellen, dass es sich bei $f$ um eine Selbstabbildung von
  $D^n$ handelt, gen\"ugt es nicht, $f$ wie oben definiert zu
  betrachten. Durch Hinzuf\"ugen eines Annulus und nullstellenfreies
  Fortsetzen des Vektorfeldes kann man ohne Einschr\"ankung annehmen,
  dass sogar $V(x)=-x$ f\"ur $x\in\S^{n-1}$ gilt. W\"ahlt man nun
  $\epsilon>0$ klein genug, so ist die oben definierte Abbildung $f$
  eine Selbstabbildung von $D^n$.
\end{proof}

\Section{Rechnungen zu translatierenden L\"osungen}
Die folgenden Beispiele sind mit dem frei verf\"ugbaren Programm SAGE,
siehe \texttt{http://www.sagemath.org/}, geschrieben.
\Subsection{In der N\"ahe des Ursprungs}
Das folgende SAGE-Programm erlaubt es, die Suche nach einem geeigneten
Anfangswert $a$ in Theorem \ref{exist nahe r null thm}
nachzuvollziehen. Damit erh\"alt man Existenz nahe $r=0$. F\"ur $n=2$
ist $a\approx0.532$ ein geeigneter Anfangswert.
\begin{verbatim}
u,t=var('u t')
n=2
a=0.532
P=desolve_rk4((1+u^2)*((n-1)*u-e^(-t)),u,ics=[0.0,a],ivar=t,
  output='slope_field',end_points=[0.0,12.0],thickness=3,step=0.05)
plot(P).show(ymin=-0.2,ymax=0.6)
\end{verbatim}

  \Subsection{Asymptotische Entwicklung}
  Man schreibt jeweils einen neuen Term in die zweite Zeile. Den
  Parameter $a$ bestimmt man so, dass die Gleichung, multipliziert mit
  einer immer h\"oheren Potenz von $r$ f\"ur $r\to\infty$ Null
  ergibt. 
\begin{verbatim}
r,n,a=var('r n a')
phi=r/(n-1)+a/r
gleichung=diff(phi,r)-(1+phi^2)*(1-(n-1)/r*phi)
gleichung=expand(gleichung*r^0)
print gleichung
print limit(gleichung,r=infinity)
\end{verbatim}

  \Subsection{Bild des ganzen Graphen}
  F\"ur geeignete Anfangswerte nahe $r=0$ gen\"ugt es zu sehen, dass
  $\phi(r)=\frac rn$ die beste lineare Approximation nahe $r=0$ ist. 
\begin{verbatim}
u,v,r=var('u v r')
n=2
eps=0.0001
translat=desolve_system_rk4([v,(1+v^2)*(1-(n-1)/r*v)],[u,v],
  ics=[eps,1/(2*n)*eps^2,eps/n],ivar=r,
  end_points=[eps,5],step=0.1)
xyvalues=[ [i,j] for i,j,k in translat]
gespiegelt=[[-i,j] for i,j,k in translat]
bild1=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,thickness=3,
  aspect_ratio=1)
bild2=list_plot(gespiegelt,plotjoined=True,thickness=3,
  aspect_ratio=1)
(bild1+bild2).show()
\end{verbatim}

  \Subsection{Fl\"ugelartige L\"osungen}
  Mit einem beliebigen inneren Lochdurchmesser erhalten wir
  fl\"ugelartige L\"osungen indem wir je nach Punkt eine der
  gew\"ohnlichen Differentialgleichungen f\"ur translatierende
  L\"osungen l\"osen. 
\begin{verbatim}
u,v,r=var('u v r')
n=2
r0=3
hint=0.7
epsilon=0.01
xend=6
gedreht=desolve_system_rk4([v,((n-1)/u-v)*(1+v^2)],[u,v],
  ics=[0,r0,0],ivar=r,end_points=[-hint,hint])
xyvalues1=[ [j,i] for i,j,k in gedreht]
bild1=list_plot(xyvalues1,plotjoined=True,thickness=3,
  aspect_ratio=1,rgbcolor=(1,0,0))

xanf1=xyvalues1[0][0]
yanf1=xyvalues1[0][1]
aanf1=gedreht[0][2]
xanf2=xyvalues1[len(xyvalues1)-1][0]
yanf2=xyvalues1[len(xyvalues1)-1][1]
aanf2=gedreht[len(gedreht)-1][2]

translat1=desolve_system_rk4([v,(1+v^2)*(1-(n-1)/r*v)],[u,v],
  ics=[xanf1,yanf1,1/aanf1],ivar=r,end_points=[r0+epsilon,xend])
translat2=desolve_system_rk4([v,(1+v^2)*(1-(n-1)/r*v)],[u,v],
  ics=[xanf2,yanf2,1/aanf2],ivar=r,end_points=[r0+epsilon,xend])
xyvalues2=[ [i,j] for i,j,k in translat1]
xyvalues3=[ [i,j] for i,j,k in translat2]
bild2=list_plot(xyvalues2,plotjoined=True,thickness=1,
  aspect_ratio=1)
bild3=list_plot(xyvalues3,plotjoined=True,thickness=1,
  aspect_ratio=1)
(bild1+bild2+bild3).show()
\end{verbatim}

\Section{Homothetisch expandierende Kurven}
\Subsection{Bl\"atterung der Ebene}
Wir erzeugen homothetisch expandierende Kurven und versuchen mit
m\"a\ss{}igem Erfolg, diese so zu kippen, dass jeweils eine Asymptote
\"ubereinstimmt.
\begin{verbatim}
u,v,r=var('u v r')
xend=6.0
hend=1.5
h=0
gesamt=line([(-xend,0),(xend,0)])
rotiert=line([(-xend,0),(xend,0)])
while (h<hend):
  h=h+0.15

  kurve=desolve_system_rk4([v,(u-r*v)*(1+v^2)],[u,v],
    ics=[0,h,0],ivar=r,end_points=[-xend,xend]) 

  xyvalues=[ [i,j] for i,j,k in kurve]
  bild=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)
  gesamt=gesamt+bild  

  phi=arctan(xyvalues[len(xyvalues)-1][1]/
    xyvalues[len(xyvalues)-1][0])

  xyvalues=[ [i,-j] for i,j,k in kurve]
  bild=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)
  gesamt=gesamt+bild  

  xyvalues=[ [i*cos(phi)+j*sin(phi),-i*sin(phi)+j*cos(phi)] 
    for i,j,k in kurve]
  bild=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)
  rotiert=rotiert+bild  

  xyvalues=[ [i*cos(phi)+j*sin(phi),i*sin(phi)-j*cos(phi)] 
    for i,j,k in kurve]
  bild=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)
  rotiert=rotiert+bild  

gesamt.show(ymin=-xend,ymax=xend)
rotiert.show(xmin=-xend,xmax=xend,ymin=-xend,ymax=xend)
\end{verbatim}

\Subsection{Expandierende Netzwerke}
F\"ugt man drei solcher Kurven im $120^\circ$-Winkel zusammen, so
erh\"alt man ein homothetisch expandierendes Netzwerk. $\phi$ bitte
nur vorsichtig im Bereich $30^\circ<\phi<90^\circ$ anpassen. 

\begin{verbatim}
u,v,r=var('u v r')

phi=60.0/180*pi
xend=6.0
h=1.0

kurve=desolve_system_rk4([v,(u-r*v)*(1+v^2)],[u,v],
  ics=[0,h,tan(phi).n()],ivar=r,end_points=[0,xend]) 
xyvalues=[ [i,j] for i,j,k in kurve]
gesamt=list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)

phi=phi-120/180*pi
kurve=desolve_system_rk4([v,(u-r*v)*(1+v^2)],[u,v],
  ics=[0,h,tan(phi).n()],ivar=r,end_points=[0,xend]) 
xyvalues=[ [i,j] for i,j,k in kurve]
gesamt=gesamt+list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)

phi=phi-120/180*pi
kurve=desolve_system_rk4([v,(u-r*v)*(1+v^2)],[u,v],
  ics=[0,h,tan(phi).n()],ivar=r,end_points=[-xend,0]) 
xyvalues=[ [i,j] for i,j,k in kurve]
gesamt=gesamt+list_plot(xyvalues,plotjoined=True,aspect_ratio=1)

gesamt.show(xmin=-xend,xmax=xend,ymin=-xend,ymax=xend)
\end{verbatim}

  \Section{Delaunayfl\"achen}
  Dieses Programm f\"uhrt die letzte Integration aus und zeichnet das
  Ergebnis. 
\begin{verbatim}
t,x=var('t x')
rho=0.7
liste=[]
r=0
h=0
step=0.1
while (r<6*pi):
  r=r+step
  hinzu=numerical_integral(lambda x:
    (1+rho*cos(x))/(sqrt(1+rho^2+2*rho*cos(x))),
    r-step,r)[0]
  h=h+hinzu
  a=sqrt(1+rho^2+2*rho*cos(r))
  liste.append([h,a])

bild=list_plot(liste,plotjoined=True,thickness=3,aspect_ratio=1,
  ymin=-0.1,ymax=1+rho+.1)
bild.show()
\end{verbatim}

\Section{Weitere Themen}
In der folgenden Liste sind einige wenige Beispiele aufgef\"uhrt, bei
denen ebenso geometrische Ph\"anomene mit gew\"ohnlichen
Differentialgleichungen beschrieben werden.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Raumartige Hyperfl\"achen im Minkowskiraum (Trogl\"osungen)
  \cite{TreibergsInvent,GuanJianSchoen}
\item Abresch-Langer Kurven \cite{AbreschLanger}, ggf.{}
  \cite{OSLinsen} 
\item Rotationssymmetrische homothetische L\"osungen des mittleren
  Kr\"ummungsflusses \cite{JoshBodeDiss}
\item Translatierende L\"osungen des Curve Diffusion Flusses,
  \cite{FranzenDipl}
\item Deformationslemma und Morsetheorie
  \cite{MilnorMorse,WillemMinimax,OSDiffTopo}
\end{enumerate}

\end{appendix}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{AbreschLanger}
Uwe Abresch and Joel Langer, \emph{The normalized curve shortening flow and
  homothetic solutions}, J. Differential Geom. \textbf{23} (1986), no.~2,
  175--196.

\bibitem{ProofBook}
Martin Aigner and G{\"u}nter~M. Ziegler, \emph{Proofs from {T}he {B}ook},
  Springer-Verlag, Berlin, 1999, Including illustrations by Karl H. Hofmann,
  Corrected reprint of the 1998 original.

\bibitem{JoshBodeDiss}
Joshua~S. Bode, \emph{{Mean curvature flow of cylindrical graphs}}, Ph.D.
  thesis, {Berlin: FU Berlin}, 2007.

\bibitem{OSAlbert}
Albert Chau and Oliver~C. Schn\"urer, \emph{{S}tability of gradient
  {K}\"ahler-{R}icci solitons}, Comm. Anal. Geom. \textbf{13} (2005), no.~4,
  769--800.

\bibitem{JCOSFSMCFStability}
Julie Clutterbuck, Oliver~C. Schn\"urer, and Felix
  Schulze\weg{JCOSFSMCFStability}, \emph{Stability of translating solutions to
  mean curvature flow}, Calc. Var. Partial Differential Equations \textbf{29}
  (2007), no.~3, 281--293.

\bibitem{DelaunaySurface}
Charles-Eug\`ene Delaunay\weg{DelaunaySurface}, \emph{Sur la surface de
  r\'evolution dont la courbure moyenne est constante}, J. Math. Pures Appl.
  S\'er. 1 \textbf{6} (1841), 309--320, With a note appended by M. Sturm.

\bibitem{EellsDelaunay}
James\weg{EellsDelaunay} Eells, \emph{The surfaces of {D}elaunay}, Math.
  Intelligencer \textbf{9} (1987), no.~1, 53--57.

\bibitem{FerusDG1}
Dirk Ferus\weg{FerusDG1}, \emph{{Differentialgeometie I}}, 2000, Skript zur
  Vorlesung.

\bibitem{FranzenDipl}
Martin Franzen, \emph{Das curve diffusion {P}roblem. {H}omothetische und
  translatierende {L}\"osungen}, 2010, Diplomarbeit.

\bibitem{GuanJianSchoen}
Bo~Guan, Huai-Yu Jian, and Richard~M.\weg{GuanJianSchoen} Schoen, \emph{Entire
  spacelike hypersurfaces of prescribed {G}auss curvature in {M}inkowski
  space}, J. Reine Angew. Math. \textbf{595} (2006), 167--188.

\bibitem{MilnorMorse}
John\weg{MilnorMorse} Milnor, \emph{Morse theory}, Based on lecture notes by M.
  Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51, Princeton
  University Press, Princeton, N.J., 1963.

\bibitem{OSLinsen}
Oliver~C. Schn{\"u}rer, Abderrahim Azouani, Marc Georgi, Juliette Hell, Nihar
  Jangle, Amos Koeller, Tobias Marxen, Sandra Ritthaler, Mariel S{\'a}ez, Felix
  Schulze, and Brian\weg{OSLinsen} Smith, \emph{Evolution of convex lens-shaped
  networks under the curve shortening flow}, Trans. Amer. Math. Soc.
  \textbf{363} (2011), no.~5, 2265--2294.

\bibitem{OSFSTriplePisa}
Oliver~C. Schn\"urer and Felix Schulze\weg{OSFSTriplePisa},
  \emph{Self-similarly expanding networks to curve shortening flow}, Ann. Sc.
  Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) \textbf{6} (2007), no.~4, 511--528.

\bibitem{OSDiffTopo}
Oliver~C. Schn\"urer\weg{OSDiffTopo}, \emph{{Differentialtopologie}}, 2011,
  Skript zur Vorlesung.

\bibitem{TreibergsInvent}
Andrejs~E.\weg{TreibergsInvent} Treibergs, \emph{Entire spacelike hypersurfaces
  of constant mean curvature in {M}inkowski space}, Invent. Math. \textbf{66}
  (1982), no.~1, 39--56.

\bibitem{Querenburg}
Boto von Querenburg, \emph{Mengentheoretische {T}opologie}, Springer-Verlag,
  Berlin, 1973, Hochschultext.

\bibitem{wiki}
Wikipedia\weg{wiki}, \emph{{\rm \texttt{http://www.wikipedia.org}}}.

\bibitem{WillemMinimax}
Michel Willem, \emph{Minimax theorems}, Progress in Nonlinear Differential
  Equations and their Applications, 24, Birkh\"auser Boston Inc., Boston, MA,
  1996.

\end{thebibliography}

\end{document}
