% 
% Partielle Differentialgleichungen 1 
% Oliver Schn\"urer
%
% FU Berlin, Winter 2004/2005 
% Canberra, 2nd term 2008 
% FU Berlin, Sommer 2009
% Konstanz, Winter 2012/13, umstrukturiert und erg\"anzt
%
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\newtheorem{bemerkung}[theorem]{Bemerkung}

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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Partielle Differentialgleichungen I}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Mathematik, Universit\"at Konstanz}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeehome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\amSeehome}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

% General info
\subjclass[2000]{35-01, 35J25}
% 35-xx Partial differential equations 35-01 Instructional exposition
% (textbooks, tutorial papers, etc.)  35A05 General existence and
% uniqueness theorems 35A08 Fundamental solutions 35A15 Variational
% methods 35B05 General behavior of solutions of PDE (comparison
% theorems; oscillation, zeros and growth of solutions; mean value
% theorems) 35B45 A priori estimates 35B50 Maximum principles 35B65
% Smoothness and regularity of solutions of PDE 35C05 Solutions in
% closed form 35J05 Laplace equation, reduced wave equation
% (Helmholtz), Poisson equation [See also 31Axx, 31Bxx] 35K05 Heat
% equation
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{Laplacegleichung, harmonische Funktionen, Perron,
  Maximumprinzip, W\"armeleitungsgleichung, Wellengleichung}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu 
  Partielle Differentialgleichungen I. Ben\"utzt
  \begin{itemize}
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Wintersemester 2004/5,
  \item an der ANU Canberra im 2nd term 2008,
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Sommersemester 2009.
  \item an der Universit\"at Konstanz im Wintersemester 2012/3,
    2016/17 und 2021/22.
  \end{itemize}
  Vielen Dank insbesondere an Friederike Dittberner, Anja Grabow,
  Felix Jachan und Thilo Notz f\"ur zahlreiche Korrekturen und an
  Elisabeth Greiler f\"ur das Setzen einiger Abschnitte.
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents

% \mainmatter

\section{Beispiele}
Wir benutzen insbesondere \cite{EvansPDE} aber auch
\cite{CGPDE,GT,JostPDE,ProtterWeinberger}. 

\begin{notation}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x\in\R^n$. In Koordinaten schreiben wir
    $x=(x^1,\ldots,x^n)$. Sei $\Omega\subset\R^n$ offen,
    $u:\Omega\to\R$.
  \item Ist $u$ bez\"uglich $x\in\Omega$ hinreichend oft
    differenzierbar, so bezeichnen wir mit $Du$, $D^2u$, \ldots,
    erste, zweite, \ldots Ableitungen.\par
    Indices bezeichnen partielle Ableitungen
  $$u_i=\fracp{u}{x^i},\quad u_{ij}=\fracp{^2u}{x^i\partial x^j},\,
  \ldots.$$ F\"ur $u:\Omega\times\R\to\R$ ist $t$ die $(n+1)$-ste
  Variable, $u(x,t)$, $u_t=\fracp ut$ oder $\dot u=u_t$.\par Wir
  verwenden zu den Koordinatenbezeichnungen in $\R^n$ analoge
  Bezeichnungen f\"ur vektorwertige Funktionen $u:\Omega\to\R^k$,
  $u=(u^1,\ldots,u^k)$, oder $u:\Omega\times\R\to\R^k$, z.\,B.{}
  $u^l_i=\fracp{u^l}{x^i}$. Vektorwertige Funktionen werden
  (zun\"achst) kaum auftreten.
\end{enumerate}
\end{notation}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ $k$-mal stetig
  differenzierbar, $u\in C^k(\Omega)$,
  $F:\R^{n^k}\times\R^{n^{k-1}}\times\ldots
  \times\R^n\times\R\times\Omega\to\R$. Ein Ausdruck der Form
  $$F\left(D^ku(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x\right)=0$$ hei\ss{}t
  (f\"ur $n\ge2$) partielle Differentialgleichung $k$-ter Ordnung.\par
  $F$ kann auch lediglich auf einer offenen Teilmenge definiert oder
  vektorwertig sein. Auch wenn $u$ nicht klassisch differenzierbar
  ist, spricht man von partiellen Differentialgleichungen.
\end{definition}

\begin{definition}[Typeinteilung f\"ur Differentialgleichungen zweiter
  Ordnung] 
  Sei $F\in C^1\left(\R^{n^2}\times\R^n\times\R\times\Omega\right)$. 
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)] 
  \item Eine Differentialgleichung $F\left(D^2u,Du,u,\cdot\right)=0$
    zweiter Ordnung mit $F=F(r_{ij},p_i,z,x)$ hei\ss{}t (in $x$
    entlang einer L\"osung $u$) elliptisch, falls die Ableitung
    $\left(a^{ij}\right)_{i,j}\equiv \left(\fracp{F}{r_{ij}}
      (D^2u(x),Du(x),u(x),x)\right)_{i,j}$ symmetrisch und positiv
    definit ist. Die Zus\"atze kann man streichen, wenn dies f\"ur
    alle $x$ bzw.{} $u$ gilt. Der Operator $u\mapsto F\left(D^2u, Du,
      u,\cdot\right)$ hei\ss{}t in diesem Fall elliptisch.
  \item Sei $F$ elliptisch. Dann hei\ss{}t die Differentialgleichung
    $\dot u=F\left(D^2u,Du,u,\cdot\right)$ parabolisch.
  \item Sei $F$ elliptisch. Dann hei\ss{}t die Differentialgleichung
    $u_{tt}=F\left(D^2u,Du,u,\cdot\right)$ hyperbolisch. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Eine Differentialgleichung der Form \[\sum\limits_{i,j=1}^n
  a^{ij}u_{ij} +\sum\limits_{i=1}^n b^iu_i +du =f\] hei\ss{}t
  elliptisch, falls $a^{ij}$ symmetrisch ist und $a^{ij}\succ0$
  erf\"ullt, \dh positiv definit ist. 
\end{beispiel}

\begin{beispiele}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Laplacegleichung, $u:\Omega\to\R$,
  $$\Delta u:=\sum\limits_{i=1}^nu_{ii}=0\quad\text{in }\Omega.$$
  Diese Differentialgleichung ist elliptisch, da $\fracp
  F{r_{ij}}=\delta^{ij}$ gilt. 
\item Eigenwertgleichung, $u:\Omega\to\R$,
  $$\Delta u=\lambda u\quad\text{in }\Omega,\quad\lambda\in\R.$$
\item W\"armeleitungsgleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\R$, $T>0$,
  $$\dot u=\Delta u.$$
  Diese Differentialgleichung ist parabolisch. 
\item Schr\"odingergleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\C$, $T>0$,
  $$iu_t+\Delta u=0.$$
\item Wellengleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\R$, $T>0$,
  $$u_{tt}-\Delta u=0.$$
  Diese Differentialgleichung ist hyperbolisch. 
\item Poissongleichung, $u:\Omega\to\R$, $f:\R\to\R$,
  $$-\Delta u=f(u).$$
\item $p$-Laplace Gleichung, $u:\Omega\to\R$, $p>0$,
  \begin{align*}
    \divergenz\left(|Du|^{p-2}Du\right)=&\,0,\quad\text{d.\,h.}\\
    \sum\limits_{i=1}^nD_i\left(|Du|^{p-2}D_iu\right)=&\,0,
  \end{align*}
  wobei $D_i$ partielle Ableitungen bezeichnet, $D_i=\fracp{}{x^i}$.
\item Minimalfl\"achengleichung
  $$\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0,\quad
  \text{d.\,h.} \quad\Delta u-\frac{u_{ij}u^iu^j}{1+|Du|^2}=0,$$ wobei
  $u^i:=\delta^{ij}u_j$. \par Wir verwenden hier die Einsteinsche
  Summenkonvention, \dh wir summieren \"uber gleiche \glqq oben\grqq{}
  und \glqq unten\grqq{} stehende Indices von $1$ bis zur Dimension
  $n$, also
  \[u_{ij}u^iu^j\equiv \sum\limits_{i,j=1}^n u_{ij}u_iu_j.\]
\item Mittlerer Kr\"ummungsfluss f\"ur Graphen (MCF)
  $$\dot u=\sqrt{1+|Du|^2} \cdot\divergenz
  \left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right).$$
\item Monge-Amp\`ere Gleichung
  $$\det D^2u=f(x,u,Du),$$
  speziell: Gleichung vorgeschriebener Gau\ss{}kr\"ummung f\"ur
  Graphen
  $$\frac{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}=f(x,u).$$
\item Reaktions-Diffusions Gleichung
  $$u_t-\Delta u=f(u).$$
\item Por\"ose Medien Gleichung
  $$u_t-\Delta(u^\gamma)=0,\quad\gamma>0.$$
\item Korteweg-de Vries Gleichung (KdV)
  $$u_t+uu_x+u_{xxx}=0.$$
\item Riccifluss (H. Poincar\'e, R. Hamilton, G. Perelman)
  $$\dot g_{ij}=-2R_{ij}.$$
\end{enumerate}
H\"aufig werden Differentialgleichungen mit Randwerten (oder
Anfangswerten) untersucht, z.\,B.{}
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega. \end{cases}$$
\end{beispiele}

\begin{remark}[Untersuchte Fragestellungen]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item Existenz von L\"osungen,
  \item Eindeutigkeit der L\"osung,
  \item Stetige Abh\"angigkeit einer L\"osung von den Daten (u.\,a.{}
    physikalisch wichtig),
  \item Regularit\"at von L\"osungen, z.\,B.{} Differenzierbarkeit,
  \item schwache L\"osungen, \dh L\"osungen $u$ einer
    Differentialgleichung $k$-ter Ordnung mit $u\not\in C^k$.
  \item quantitatives oder qualitatives Verhalten
    \begin{itemize}
    \item im Unendlichen, $|x|\to\infty$, $t\to\infty$,
    \item in oder nahe Singularit\"aten,
    \item Beschr\"anktheit,
    \item \ldots.
    \end{itemize}
  \item Klassifikation aller L\"osungen, explizite L\"osungsformeln.
  \item \ldots.
  \end{itemize}
  \par Die verwendeten Methoden h\"angen in der Regel stark von der
  betrachteten Gleichung ab.\par Wir werden insbesondere
  Randwertprobleme (RWP) wie 
  $$\begin{cases}\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega, \end{cases}$$
  parabolische Anfangs- und Randwertprobleme wie
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u&\text{in }\Omega\times[0,T),\\
    u=\phi&\text{auf }(\partial\Omega\times[0,T))
    \cup(\Omega\times\{0\})
  \end{cases}
  \]
  oder hyperbolische Cauchyprobleme wie
  \[
  \begin{cases}
    u_{tt}=\Delta u&\text{in }\R^n\times[0,T),\\
    (u,u_t)=(\phi_0,\phi_1)&\text{auf }\R^n\times\{0\}
  \end{cases}
  \]
  untersuchen.\par
  In der Vorlesung werden wir lernen, die elliptische und die
  hyperbolische Gleichung zu l\"osen und erste Eigenschaften der
  L\"osungen herleiten.
\end{remark}

\section{Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung}
Wir betrachten ein Transportproblem.

\begin{theorem}
  \label{char meth thm}
  Sei $b\colon\R^n\times[0,\infty)\to\R^n$ in $C^1_{loc}$, $f\in
  C^0_{loc}$ sowie $g\in C^0_{loc}$. Sei $u$ eine $C^1_{loc}$-L\"osung
  der Differentialgleichung
  \begin{equation}
    \label{transport eq}
    \begin{cases}
      \dot u+\langle b,Du\rangle =f&\text{in }\R^n\times(0,\infty),\\
      u(\cdot,0)=g&\text{auf }\R^n.
    \end{cases}
  \end{equation} 
  Dann gibt es eine L\"osung $\phi\colon\R^n\times [0,\infty)\to\R^n$
  des Anfangswertproblems
  \[
  \begin{cases}
    \dot\phi(x,t)=b(\phi(x,t),t)&\text{f\"ur
    }(x,t)\in\R^n\times[0,\infty),\\
    \phi(x,0)=x&\text{f\"ur }x\in\R^n
  \end{cases}
  \]
  und es gilt 
  \begin{equation}
    \label{u trans rep eq}
    u(\phi(x,t),t)=g(x)+\int\limits_0^t
    f(\phi(x,\tau),\tau)\,d\tau.
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die eindeutige L\"osbarkeit der gew\"ohnlichen Differentialgleichung
  f\"ur $\phi$ ist bekannt. \par Sei $u$ eine L\"osung von
  \eqref{transport eq}. Dann erhalten wir \[\dt u(\phi(x,t),t)
  =\langle Du(\phi(x,t),t),\dot\phi(x,t)\rangle +\dot u(\phi(x,t),t)
  =f(\phi(x,t),t).\] Integration liefert \eqref{u trans rep eq}. \par
  Beachte, dass eine Funktion $u$, die \eqref{u trans rep eq}
  erf\"ullt, auch die Randbedingung $u(\cdot,0)=g$ erf\"ullt.
\end{proof}

In einer Situation, in der $\phi(\cdot,t)\colon\R^n\to\R^n$ explizit
invertierbar ist, k\"onnen wir mit \eqref{u trans rep eq} auf die
L\"osbarkeit schlie\ss{}en. 
\begin{theorem}
  Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{char meth thm} mit
  $f,\,g\in C^1_{loc}$ existiert im Falle eines konstanten
  Vektorfeldes $b(x,t)=b$ f\"ur alle $(x,t)\in\R^n\times[0,\infty)$
  eine eindeutig bestimmte L\"osung $u$, die durch
  \[u(x,t)=g(x-tb)+\int\limits_0^t
  f(x+(\tau-t)b,\tau)\,d\tau.\] 
  gegeben ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In diesem Fall gilt $\phi(x,t)=x+tb$. Wir erhalten also nach Theorem
  \ref{char meth thm}
  \begin{align*}
    u(x+tb,t)=&\,g(x)+\int\limits_0^tf(x+\tau b,\tau)\,d\tau
    \intertext{oder}
    u(x,t)=&\,g(x-tb)+\int\limits_0^tf(x+(\tau-t)b,\tau)\,d\tau. 
  \end{align*}
  Jede L\"osung muss nach Theorem \ref{char meth thm} diese Gestalt
  haben. Wir erhalten f\"ur dieses $u$
  \begin{align*}
    &\,\dot u(x,t)+\langle Du(x,t),b\rangle\umbruch\\
    =&\,\langle Dg(x-tb),-b\rangle +f(x,t) +\int\limits_0^t
    \langle Df(x+(\tau-t)b,\tau),-b\rangle\,d\tau\\
    &\,+\langle Dg(x,-tb),b\rangle +\int\limits_0^t \langle
    Df(x+(\tau-t)b,\tau),b\rangle\,d\tau\umbruch\\
    =&\,f(x,t).
  \end{align*}
  Weiterhin erf\"ullt $u$ die Anfangsbedingung $u(\cdot,0)=g$. 
  Somit ist $u$ eine L\"osung. 
\end{proof}

\section{Die Laplacegleichung und Darstellungsformeln}

\subsection{Die Fundamentall\"osung}
Wir wollen $n\ge2$ annehmen. Sonst entspricht das betrachtete Problem
einer gew\"ohnlichen Differentialgleichung.
\begin{remark}[Motivation]
  Sei $\Omega\subset\R^3$ offen, $u\in C^2(\Omega)$ beschreibe die
  Temperatur in $\Omega$. Wir nehmen an, dass die Temperatur
  zeitunabh\"angig ist, dass Temperatur und lokale W\"armemenge
  proportional zueinander sind, sowie dass die transportierte
  W\"armemenge proportional zu $|Du|$ ist und sich in Richtung
  $-\frac{Du}{|Du|}$ bewegt. Sei $U\Subset\Omega$ glatt und
  beschr\"ankt. Die insgesamt durch $\partial U$ transportierte
  W\"armemenge ist (Rechne bis auf eine Konstante, bezeichne mit $\nu$
  die \"au\ss{}ere Normale an $U$ und benutze, dass $u$
  zeitunabh\"angig ist.)
  \begin{align*}
    0=&\,\int\limits_{\partial U}-\langle Du,\nu\rangle
    =\int\limits_U-\divergenz Du\quad\text{(Gau\ss{}scher Integralsatz)}\\
    =&\,\int\limits_U-\Delta u.
  \end{align*}
  Da $U$ beliebig war, folgt $\Delta u=0$ in $\Omega$.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u\in C^2(\Omega)$. Dann
  hei\ss{}t $u$ (in $\Omega$) harmonisch, falls \[0=\Delta u
  =\sum\limits_{i=1}^n u_{ii}\] in $\Omega$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}[Rotationssymmetrische L\"osungen]
  Sei $u\in C^2(B_R\setminus\{0\})$ eine rotationssymmetrische
  L\"osung von $\Delta u=0$, \dh es gibt $v\in C^2((0,R))$, so dass
  $u(x)=v(r)$, wobei
  $r=|x|=\left(\sum\limits_{i=1}^n(x^i)^2\right)^{1/2}$.\par Wir
  leiten zun\"achst eine gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur $v$
  her:
  \begin{align*}
    u_i=&\,v'r_i
    =v'\tfrac12\left(\sum\limits_{i=1}^n(x^i)^2\right)^{-1/2}2x_i
    =v'\frac{x_i}r,\umbruch\\ u_{ij}=&\,v''\frac{x_i}r\frac{x_j}r
    +v'\frac1r\left(\delta_{ij}-\frac{x_i}r\frac{x_j}r\right).
  \end{align*}
  Also gilt
$$0=\Delta u=\delta^{ij}u_{ij}=v''+v'\frac{n-1}r.$$ Entweder gilt
$v'\equiv0$ auf $(0,R)$ oder $v'\neq0$ auf $(0,R)$. Im Fall $v'>0$
ergibt sich
\begin{align*}
  0=&\,\frac{v''}{v'}+\frac{n-1}r=(\log v')'+\frac{n-1}r,\umbruch\\
  \log v'=&\,-(n-1)\log r+\log a,\quad a>0,\umbruch\\
  v'=&\,\frac a{r^{n-1}}.
\end{align*}
Ebenso erhalten wir f\"ur $v'<0$, dass $v'=\frac a{r^{n-1}}$ f\"ur ein
$a<0$. Durch Integration erhalten wir im Falle $n=2$ aus $v'=\frac
ar$, dass $v=a\log r+b$ und im Falle $n\ge3$ aus $v'=\frac
a{r^{n-1}}$, dass $v=\frac a{-n+2}\frac1{r^{n-2}}+b$, jeweils f\"ur
ein $b\in\R$, ist.
\end{remark}

\begin{definition}[Fundamentall\"osung]
  Die Funktion $$\Phi(x):=\begin{cases}
    -\frac1{2\pi}\log|x|,&n=2,\\
    \frac1{n(n-2)\omega_n}\frac1{|x|^{n-2}},&n\ge3,
  \end{cases}$$ $\Phi:\R^n\setminus\{0\}\to\R$ hei\ss{}t
  Fundamentall\"osung der Laplacegleichung.\par Hier bezeichnet
  $\omega_n$ das Volumen von $B_1(0)\subset\R^n$, $\omega_n=|B_1(0)|$.
\end{definition}

\begin{remark}
  F\"ur $x\neq0$ gelten die Absch\"atzungen
  $$|D\Phi(x)|\le\frac c{|x|^{n-1}}\quad\text{und}\quad
  \left|D^2\Phi(x)\right|\le\frac c{|x|^n}$$ mit $c=c(n)$.
\end{remark}

\subsection{Darstellungsformel f\"ur $\R^n$}
Sei nun $n\ge2$. Wir benutzen die Fundamentall\"osung zur Konstruktion
von L\"osungen der Gleichung
$$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$
\begin{theorem}\label{f C2 repr thm}
  Sei $f\in C^2_c\left(\R^n\right)$. Definiere $u:\R^n\to\R$ durch
$$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy.$$
Dann gelten $u\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ und
$$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$: Wir transformieren das
    Integral
    $$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy
    =\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f(x-y)\,dy.$$ F\"ur $h\neq0$ und
    $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$, $1$ an der $i$-ten Stelle,
    betrachten wir den Differenzenquotienten
    $$\frac{u(x+he_i)-u(x)}h =\int\limits_{\R^n}
    \Phi(y)\left[\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h\right]\,dy.$$ Wir wollen
    zum Grenzwert $h\to0$ \"ubergehen. Nehme an, dass $|h|<1$ und
    $\supp f\subset B_R=B_R(0)$. \par Es gilt nun
    $f(x+he_i-y)-f(x-y)=0$, falls $|x+he_i-y|>R$ und $|x-y|>R$. Dies
    ist f\"ur $|y|>R+1+|x|$ erf\"ullt, denn dann gelten
    $|x+he_i-y|\ge|y|-|x+he_i|\ge|y|-1-|x|>R$ und
    $|x-y|\ge|y|-|x|>R$. Wir d\"urfen also annehmen, dass der
    Integrand au\ss{}erhalb von $B_\rho$, $\rho>0$ geeignet,
    verschwindet. Da $f\in C^1_c\left(\R^n\right)$ ist, konvergiert
    $$\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h\to f_i(x-y)$$
    f\"ur $h\to0$ gleichm\"a\ss{}ig in $x-y\in\R^n$. \par
    Es gilt, dass
    \begin{align*}
      \frac{u(x+he_i)-u(x)}h=&\,\int\limits_{B_\rho}\Phi(y)f_i(x-y)\,dy\\
      &\,+\int\limits_{B_\rho}\Phi(y)
      \left[\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h-f_i(x-y)\right]\,dy
    \end{align*} und das zweite Integral konvergiert gegen $0$, falls
    $\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy$ endlich ist. Es gilt f\"ur
    $n=2$
    $$\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy \le
    c\int\limits_{B_\rho}|\log|y||\,dy \le c\int\limits_0^\rho|\log
    r|\cdot r\,dr<\infty,$$ sowie
    $$\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy \le
    c\int\limits_{B_\rho}|y|^{2-n}\,dy \le c\int\limits_0^\rho
    r\,dr<\infty$$ im Falle $n\ge3$.  Hierbei ist $c$ eine universelle
    Konstante, \dh $c$ kann verschiedene Werte annehmen, ist aber
    stets beschr\"ankt.\par
    Also folgt f\"ur $n=1,\ldots,n$
    $$u_i(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f_i(x-y)\,dy.$$
    Analog erh\"alt man
    $$u_{ij}(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f_{ij}(x-y)\,dy.$$ Dieses
    Integral ist in $x$ stetig, also erhalten wir $u\in
    C^2_{loc}\left(\R^n\right)$.
  \item $-\Delta u=f$: Sei $\epsilon>0$. $\Phi$ ist singul\"ar. Daher
    spalten wir die Integration auf
    \begin{align*}
      \Delta u(x)=&\,\int\limits_{B_\epsilon(0)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)\,dy\\
      &\,+\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}
      \Phi(y)\Delta_xf(x-y)\,dy\umbruch\\
      \equiv&\,I_\epsilon+J_\epsilon.
    \end{align*}
    F\"ur $\epsilon\to0$ erhalten wir $I_\epsilon\to0$: Benutze den
    Satz von der dominierten Konvergenz. Alternatives Vorgehen: Es
    gilt 
  \begin{align*}
    |I_\epsilon|\le&\,c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
    \int\limits_{B_\epsilon(0)}|\Phi(y)|\,dy\\ \le&\,\begin{cases}
      c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
      \int\limits_0^\epsilon|\log r|\cdot r\,dr \le c\cdot\left\Vert
        D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot\epsilon\cdot
      \sup\limits_{z\in(0,\epsilon)}|\log z|\cdot z,&n=2,\\
      c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
      \int\limits_0^\epsilon r^{2-n}r^{n-1}\,dr \le c\cdot\left\Vert
        D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot\epsilon^2,&n\ge3.
    \end{cases}
  \end{align*}
  Aufgrund der Kettenregel (doppelt angewandt) gilt
  $\Delta_xf(x-y)=\Delta_yf(x-y)$ und wir erhalten
  \begin{align*}
    J_\epsilon=&\,\int\limits_{\R^n\setminus
      B_\epsilon(0)}\Phi(y)\Delta_y f(x-y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}-\langle D\Phi(y),
    D_yf(x-y)\rangle\,dy +\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(0)}\Phi(y)\left\langle
      D_yf(x-y),-\tfrac y{|y|}\right\rangle\,dy\umbruch\\
    \equiv&\,K_\epsilon+L_\epsilon.
  \end{align*}
  Hierbei kommt das Vorzeichen der Normalen von der Tatsache, dass wir
  \"uber den Au\ss{}enraum integrieren. Die partielle Integration ist
  gerechtfertigt, denn f\"ur $|x|\le c$ hat der Integrand als Funktion
  von $y$ einen kompakten Tr\"ager.\par
  Wir sch\"atzen $L_\epsilon$ wie folgt ab
  $$|L_\epsilon|\le \Vert Df\Vert_{C^0}\cdot 
  \int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}|\Phi|\le\left.
    \begin{cases}c\cdot\Vert
      Df\Vert_{C^0}\cdot\epsilon\cdot|\log\epsilon|,
      &n=2,\\
      c\cdot\Vert Df\Vert_{C^0}\cdot\epsilon,
      &n\ge3,
    \end{cases}\right\} \to0\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0.$$
  Nach nochmaliger partielle Integration erhalten wir
\begin{align*}
  K_\epsilon=&\,\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}
  \Delta_y\Phi(y)\cdot f(x-y)\,dy -\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}\left\langle D_y\Phi(y),-\tfrac y{|y|}\right\rangle
  f(x-y)\,dy\umbruch\\ =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}\left\langle D_y\Phi(y),\tfrac y{|y|}\right\rangle
  f(x-y)\,dy,\umbruch\\ \intertext{da $\Phi$ in $\R^n\setminus\{0\}$
    harmonisch ist,} =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}|y|^{1-n} \left\langle\tfrac
    y{|y|},\tfrac y{|y|}\right\rangle f(x-y)\,dy\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}\epsilon^{1-n} f(x-y)\,dy\umbruch\\
  \intertext{und wegen $|\partial B_\epsilon|=n\omega_n\epsilon^{n-1}$
    k\"onnen wir $0=f(x)-f(x)$ wie folgt hinzuaddieren}
  =&\,\underbrace{\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}\epsilon^{1-n}
    \underbrace{(f(x-y)-f(x))}_{\to0\quad\text{f\"ur
      }\epsilon\to0}\,dy}_{\left|\int\ldots\right|\le
    \sup\limits_{y\in
      B_\epsilon(0)} |f(x-y)-f(x)|}-f(x)\umbruch\\
  \to&\,0-f(x)\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0.
\end{align*}
Daher folgt \[\Delta u(x)=-f(x).\qedhere\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  In der Tat gilt Theorem \ref{f C2 repr thm} auch noch f\"ur $f\in
  C^{0,\alpha}_c\left(\R^n\right)$, nur ist der Beweis deutlich
  komplizierter.
\end{remark}

\subsection{Mittelwerteigenschaft}
\begin{theorem}[Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen]
  \label{MWE thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$ sei harmonisch.
  Dann gilt
$$u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u =\fint\limits_{B_r(x)}u,$$
falls $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Definiere $$\phi(r):=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy.$$
    Zeige zun\"achst, dass $\phi$ konstant ist: Es gilt (mit $z=y/r$)
    \begin{align*}
      \phi(r)=&\,\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy
      =\fint\limits_{\partial B_r(0)}u(x+y)\,dy =\frac1{|\partial
        B_r|}\int\limits_{\partial B_r(0)}
      u(x+y)\,dy\umbruch\\
      =&\,\frac1{r^{n-1}|\partial B_1|} \int\limits_{\partial B_1(0)}
      u(x+rz) r^{n-1}\,dz =\frac1{|\partial B_1|}
      \int\limits_{\partial B_1(0)} u(x+rz)\,dz.\umbruch\\
      \phi'(r) =&\,\frac{d\phi}{dr} =\frac1{|\partial B_1|}
      \int\limits_{\partial B_1(0)}\langle Du(x+rz),z\rangle\,dz\umbruch\\
      =&\,\frac1{r^{n-1}|\partial B_1|} \int\limits_{\partial B_r(x)}
      \left\langle Du(y),\frac{y-x}r\right\rangle\,dy
      =\frac1{|\partial B_r|} \int\limits_{\partial B_r(x)} \langle
      Du(y),\nu\rangle\,dy\umbruch\\ =&\,\frac1{|\partial B_r|}
      \int\limits_{B_r(x)} \Delta u(y)\,dy =0,
    \end{align*}
    wobei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\partial B_r(x)$ ist und
    wir den Divergenzsatz verwendet haben.  Somit ist $\phi'=0$. Also
    ist $\phi$ konstant.  Da $u$ stetig ist, erhalten wir
    $$\phi(r)=\lim\limits_{t\searrow0}\phi(t)=\lim\limits_{t\searrow0}
    \fint\limits_{\partial B_t(x)}u(y)\,dy=u(x).$$
\item Es gilt aufgrund der eben erzielten Ergebnisse
  \begin{align*}
    \int\limits_{B_r(x)}u(y)\,dy=&\,\int\limits_0^r
    \int\limits_{\partial B_s(x)}u(y)\,dy\,ds
    =u(x)\int\limits_0^r\underbrace{n\omega_ns^{n-1}}_{=|\partial
      B_s|}\,ds=\omega_nr^nu(x).\\[-2.5ex]
    &\qedhere
  \end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Umkehrung der Mittelwerteigenschaft]
  \label{MWE Umkehrung thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$. Falls f\"ur jede
  Kugel $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$
  $$u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy$$
  gilt, so ist $u$ harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Notation des Beweises von Theorem \ref{MWE thm}. Ist
  $\Delta u\not\equiv0$, so existiert $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, so
  dass (ohne Einschr\"ankung) $\Delta u>0$ in $B_r(x)$ gilt. Dann
  folgt mit Hilfe der Rechnungen des Beweises von Theorem \ref{MWE
    thm}
  $$0=\phi'(r)=\frac1{|\partial
    B_r|}\int\limits_{B_r(x)}\Delta u>0.$$ Widerspruch.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$. Gilt f\"ur jede
  Kugel $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$
$$u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u(y)\,dy,$$ so ist $u$ in $\Omega$
harmonisch. Zeige dies.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip]
  \label{Laplace starkes mp thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $u\in C^2(\Omega)
  \cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ sei harmonisch. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $$\max\limits_{\ol\Omega}u=\max\limits_{\partial\Omega}u.$$
  \item Existiert $x_0\in\Omega$ mit
    $u(x_0)=\max\limits_{\ol\Omega}u$, so ist $u$ auf der
    Zusammenhangskomponente von $x_0$ konstant.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die erste Aussage folgt direkt aus der zweiten. Daher beweisen wir
  nur diese. \par Definiere $$A:=\left\{x\in\Omega:u(x)=u(x_0)
    =\max\limits_{\ol\Omega}u\right\}.$$ $A$ ist relativ abgeschlossen
  in $\Omega$. Sei $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, $x\in A$. Es folgt
  \begin{align*}
    \max\limits_{\ol\Omega}u=&\,u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u
    \quad\text{(Mittelwerteigenschaft)}\umbruch\\
    \le&\,\fint\limits_{B_r(x)}\sup\limits_{\ol\Omega}u
    =\sup\limits_{\ol\Omega} u
  \end{align*}
  und Gleichheit gilt genau dann, wenn
  $u|_{B_r(x)}=\sup\limits_{\ol\Omega}u$ ist. Damit ist $A$ relativ
  offen in $\Omega$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in C^0(\Omega)$,
  $g\in C^0(\partial\Omega)$. Dann besitzt das Randwertproblem
$$\begin{cases} \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung $u\in
C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $u$ und $\tilde u\in C^2(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ L\"osungen. Dann erf\"ullt $w:=u-\tilde
  u$
  $$\begin{cases}\Delta w=0&\text{in }\Omega,\\ w=0&\text{auf
    }\partial\Omega. \end{cases}$$ Das Maximumprinzip impliziert nun,
  dass $w=0$ in $\Omega$ gilt.
\end{proof}

\subsection{Regularit\"at und innere Absch\"atzungen}
\begin{theorem}[Regularit\"at]
  \label{mwe glatt thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ stetig. Erf\"ullt $u$
  die Mittelwerteigenschaft $u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u$
  f\"ur alle Kugeln $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, so ist $u\in
  C^\infty(\Omega)$.
\end{theorem}
Wir bemerken, dass es gen\"ugt, kleine Kugeln zu betrachten.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\eta$ ein rotationssymmetrischer Friedrichscher Gl\"attungskern
  (``mollifier'') mit $\supp\eta\subset B_1(0)$. Definiere in
  $\Omega_\epsilon:=\{x\in\Omega:\dist(x,\partial\Omega)>\epsilon\}$
  die Funktionen $u_\epsilon:=\eta_\epsilon * u$, wobei
  $\eta_\epsilon:=\epsilon^{-n}\eta\left(\frac x\epsilon\right)$ ist.
  Es gilt $u_\epsilon\in C^\infty(\Omega_\epsilon)$. Wir zeigen nun,
  dass $u=u_\epsilon$ in $\Omega_\epsilon$ gilt. Hieraus folgt $u\in
  C^\infty(\Omega)$. Sei also $x\in\Omega_\epsilon$. Wir benutzen die
  leicht doppeldeutige Notation $\eta(x)=\eta(|x|)$. Es gilt
  \begin{align*}
    u_\epsilon(x)=&\,\int\limits_\Omega\eta_\epsilon(x-y)u(y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}\int\limits_{B_\epsilon(x)}
    \eta\left(\frac{|x-y|}\epsilon\right)u(y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}\int\limits_0^\epsilon\eta\left(\frac
      r\epsilon\right)\left(\,\,\int\limits_{\partial
        B_r(x)}u\right)\,dr\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}u(x)\int\limits_0^\epsilon\eta\left(\frac
      r\epsilon\right)n\omega_nr^{n-1}\,dr
    \quad\text{(Mittelwerteigenschaft)}\umbruch\\
    =&\,u(x)\int\limits_{B_\epsilon(0)}\eta_\epsilon=u(x).
    \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}
Daher werden wir in Zukunft annehmen, dass harmonische Funktionen von
der Klasse $C^\infty$ sind.

\begin{theorem}[Innere Absch\"atzungen f\"ur harmonische Funktionen]
  \label{int absch harm fkt thm}
  \neueZeilealt Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u$ in $\Omega$
  harmonisch. Sei $\ol{B_r(x_0)}\subset\Omega$ und sei $\alpha$ ein
  Multiindex der Ordnung $k$, $|\alpha|=k$. Dann gilt
  $$\left|D^\alpha u(x_0)\right|\le\frac{c_k}{r^{n+k}}\Vert
  u\Vert_{L^1(B_r(x_0))},$$ wobei
  \begin{align*}
    c_0=&\,\frac1{\omega_n},\\
    c_k=&\,\frac{\left(2^{n+1}nk\right)^k}{\omega_n},\quad k\in\N.
  \end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir beweisen die Aussage per Induktion nach $k$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $k=0$: Aufgrund der Mittelwerteigenschaft gilt
$$|u(x_0)|=\left|\frac1{\omega_nr^n}\int\limits_{B_r(x_0)}u\right|
\le\frac1{\omega_nr^n}\int\limits_{B_r(x_0)}|u|.$$
\item $k=1$: Aus $\Delta u=0$ und der Regularit\"at von $u$ folgt auch
  $\Delta u_i=0$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    |u_i(x_0)|=&\,\left|\,\,\fint\limits_{B_{r/2}(x_0)}u_i\right|
    =\frac1{\omega_n\left(\frac r2\right)^n} \cdot
    \left|\,\,\int\limits_{B_{r/2}(x_0)}\langle Du,e_i\rangle\right|
    =\frac{2^n}{\omega_nr^n}\left|\,\,\int\limits_{\partial
        B_{r/2}(x_0)}u\langle\nu,e_i\rangle\right|\umbruch\\
    \le&\,\frac{2^n}{\omega_nr^n} \cdot
    \frac{\omega_nnr^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \Vert
    u\Vert_{L^\infty(\partial B_{r/2}(x_0))} =\frac{2n}r\cdot|u(y_0)|
  \end{align*}
  f\"ur einen geeignet gew\"ahlten Punkt $y_0\in\partial
  B_{r/2}(x_0)$. Es gilt $\ol{B_{r/2}(y_0)}\subset\Omega$. Also
  k\"onnen wir aufgrund der Induktionsannahme wie folgt absch\"atzen
$$|u_i(x_0)|\le\frac{2n}r\frac1{\omega_n\left(\frac r2\right)^n} \Vert
u\Vert_{L^1(B_{r/2}(y_0))} \le\frac{2^{n+1}n}{\omega_nr^{n+1}}\Vert
u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}.$$
\item $k\ge2$: Sei $\alpha$ ein Multiindex der Ordnung $k$, $D^\alpha
  w=\left(D^\beta\right)w_i$ f\"ur einen Multiindex $\beta$ der
  Ordnung $k-1$. Wie im Beweis f\"ur den Fall $k=1$ erhalten wir auf
  einer Kugel vom Radius $\frac rk$
$$\left|D^\alpha u(x_0)\right|\le\frac{nk}r\left\Vert D^\beta
  u\right\Vert_{L^\infty(\partial B_{r/k}(x_0))}
=\frac{nk}r\left|D^\beta u(y_0)\right|$$ f\"ur ein geeignetes
$y_0\in\partial B_{r/k}(x_0)$. Nun gilt
$\ol{B_{\frac{k-1}kr}(y_0)}\subset\ol{B_r(x_0)}\subset\Omega$ und
daher nach Induktionsvoraussetzung
\begin{align*}
  \left|D^\alpha u(x_0)\right|\le&\,\frac{nk}r
  \frac{\left(2^{n+1}n(k-1)\right)^{k-1}}{\omega_n}\left(\frac
    k{r(k-1)}\right)^{n+k-1}\cdot \Vert
  u\Vert_{L^1(B_{\frac{k-1}kr}(y_0))}\umbruch\\
  \le&\,\frac{\left(2^{n+1}nk\right)^k}{\omega_nr^{n+k}}\cdot \Vert
  u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}.\\[-2ex]
  &\,\qedhere
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Liouville]\label{liouville thm}
  Sei $u:\R^n\to\R$ harmonisch und beschr\"ankt. Dann ist $u$
  konstant.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\R^n$ und $r>0$. Es gilt
$$|Du(x_0)|\le\frac c{r^{n+1}}\cdot\Vert u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}
\le\frac cr\cdot\Vert
u\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\to0\quad\text{f\"ur }r\to\infty.$$
Es folgt $|Du(x_0)|=0$. Somit ist $u$ konstant.
\end{proof}

\begin{theorem}[Darstellungsformel]
  Sei $f\in C^2_c\left(\R^n\right)$, $n\ge3$. Dann ist jede
  beschr\"ankte L\"osung $u\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ von
  $$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n$$
  von der Form
  $$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy+C$$
  f\"ur eine Konstante $C\in\R$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
  $$\tilde u(x):=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy.$$ Dann ist $\tilde
  u\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ eine L\"osung von $-\Delta u=f$ in
  $\R^n$.  F\"ur $|x|\to\infty$ gilt $\Phi(x)\to0$ (f\"ur
  $n\ge3$). Daher ist $\tilde u$ beschr\"ankt. (Es w\"urde dazu
  gen\"ugen, dass $\Phi(x)$ f\"ur $|x|\ge R$ beschr\"ankt ist.) Sei
  nun $u\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ eine weitere beschr\"ankte
  L\"osung von
  $$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$ Dann ist $w:=u-\tilde u$
  beschr\"ankt und harmonisch, $\Delta w=0$. Nach dem Satz von
  Liouville, Theorem \ref{liouville thm}, folgt daher $w=C$ f\"ur eine
  Konstante $C\in\R$.
\end{proof}

\begin{remark}
  F\"ur $n=2$ ist $\Phi(x)=-\frac1{2\pi}\log|x|$ f\"ur $|x|\to\infty$
  unbeschr\"ankt. Daher ist $\tilde u$ i.\,a.{} unbeschr\"ankt,
  n\"amlich genau dann, wenn $\int f\neq0$ gilt, und dieser Beweis
  funktioniert nicht.
\end{remark}

\subsection{Harnackungleichung}
\begin{theorem}[Harnackungleichung]\label{Harnackungleichung}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ harmonisch und $u>0$
  in $\Omega$. Sei $\Omega_1\Subset\Omega$ offen und
  zusammenh\"angend. Dann gibt es $c=c(n,\Omega_1,\Omega)$, so dass
$$\sup\limits_{\Omega_1}u\le c\cdot\inf\limits_{\Omega_1}u$$
gilt.
\end{theorem}
F\"ur $x,\,y\in\Omega_1$ folgt also
$$\frac1cu(y)\le u(x)\le c\cdot u(y),$$ \dh die Funktionswerte von $u$
in $\Omega_1$ sind untereinander vergleichbar.
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $r:=\frac14\dist(\Omega_1,\partial\Omega)$ oder setze
  $r=1$, falls $\Omega=\R^n$ ist. Seien $x,\,y\in\Omega_1$ mit
  $|x-y|\le r$. Wir benutzen die Mittelwerteigenschaft harmonischer
  Funktionen und erhalten
  \begin{align*}
    u(x)=&\,\fint\limits_{B_{2r}(x)}u=\frac1{\omega_n2^nr^n}
    \cdot\int\limits_{B_{2r}(x)}u\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{\omega_n2^nr^n}\int\limits_{B_r(y)}u,\quad\text{da
    }B_r(y)\subset B_{2r(x)}\umbruch\\
    =&\,\frac1{2^n}\fint\limits_{B_r(y)}u=\frac1{2^n}u(y).
  \end{align*}
  Somit gilt f\"ur alle $x,\,y\in\Omega_1$ mit $|x-y|\le r$
$$2^nu(y)\ge u(x)\ge\frac1{2^n}u(y).$$ Da $\ol{\Omega_1}$ kompakt ist,
gibt es endlich viele $x_i\in\Omega_1$, $1\le i\le N$, so dass
$\ol{\Omega_1}\subset\bigcup\limits_{i=1}^NB_{r/3}(x_i)$ ist. Seien
nun $x,\,y\in\Omega_1$ beliebig. Modifiziere einen stetigen Weg von
$x$ nach $y$, so dass er nur aus Geradenst\"ucken der L\"ange $\le r$
zwischen Punkten aus $\{x,y,x_1,\ldots,x_N\}$ besteht. Jedes $x_i$
werde dabei h\"ochstens einmal besucht, z.\,B. $$\text{\glqq}x\to
x_1\to\ldots\to x_N\to y\text{\grqq}.$$ Explizit funktioniert das wie
folgt: Sei $\gamma:[0,1] \rightarrow \Omega_1$ ein stetiger Weg mit
$\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$. Dann gibt es aufgrund der
gleichm\"a\ss{}igen Stetigkeit von $\gamma$ ein $k\in \mathbb{N}_{>0}$
mit
\[\left | \gamma \left(\frac {l}{k}\right) - \gamma \left(\frac
    {l+1}{k}\right)\right |  
\leq \frac{r}{3}\qquad \text{f\"ur } l=0,\ldots,k-1. \] Sei $z_l$ ein
Punkt aus der Menge $\{x,y,x_1,\ldots, x_N\} \subset \Omega_1$ mit
minimalem Abstand zu $\gamma \left( \frac{l}{k} \right)$ f"ur $
l=0,\ldots, k$. Wegen $\Omega_1\subset \bigcup\limits_{i=1}^{N}{B}
_{r/3}(x_i)$ folgt $\left | z_l-\gamma \left (\frac
    {l}{k}\right)\right | < \frac{r}{3}$ f"ur alle $l$.  Es gelten
$z_0 = x$ und $z_k=y$.  Weitherhin gilt f"ur alle $0\leq l < k$
\begin{align*}
  \left | z_l-z_{l+1}\right | \le & \,\left |z_l - \gamma
    \left(\frac{l}{k}\right) \right | + \left | \gamma
    \left(\frac{l}{k}\right) -\gamma \left( \frac{l+1}{k}\right)\right
  | + \left | \gamma \left(\frac {l+1}{k} \right)
    -z_{l+1}\right| \\
  \le & \, \frac r3+\frac r3+\frac r3 = r.
\end{align*}
Gibt es $l<m$ mit $z_l=z_m$, so k\"onnen wir die Punkte $z_{l+1}, 
z_{l+2}, \ldots, z_{m-1}$ ersatzlos streichen und erhalten wie 
gew\"unscht eine Teilfolge 
$ (z_{l_i})_{0\leq i \leq M}$ von $M+1 \leq N+2$ Punkten mit 
\[z_{l_0}=x, \quad z_{l_{M}} = y \quad \text {und} \quad | z_{l_i} 
- z_{l_{i+1}}| \le r\]
f\"ur alle $0\leq i \le M-1$.

Es gilt
\begin{align*}
  u(x)\ge&\,\frac1{2^n}u(x_1),\umbruch\\
  u(x_1)\ge&\,\frac1{2^n}u(x_2),\,\ldots,\umbruch\\ \intertext{und
    hieraus folgt dann} u(x)\ge&\,\frac1{2^{n(N+1)}}u(y).\\[-2ex]
  & \qedhere
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Greensche Funktion}
% Hinter end-document befindet sich die alte Version nach Evans. 
Wir folgen \cite{GT}.
\begin{lemma}[Greensche Formeln]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit $\partial \Omega
  \in C^1$.  Seien $u,v\in C^2\left(\overline{\Omega}\right)$. Dann
  gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\int\limits_\Omega v \Delta u+\int\limits_\Omega\langle
    Du,Dv\rangle=\int \limits_{\partial\Omega}v\langle Du,\nu\rangle$,
    die 1. Greensche Formel, und
  \item $ \int\limits_\Omega v\Delta u-u\Delta
    v=\int\limits_{\partial\Omega}v\langle Du,\nu\rangle-u \underbrace
    {\langle Dv,\nu\rangle}_{{\equiv\frac{\partial v}{\partial\nu}}}$,
    die 2. Greensche Formel.
  \end{enumerate}
  Dabei bezeichnet $\nu$ die \"au\ss ere Normale an $\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wende den Divergenzsatz auf $vDu$ an.
  \item Vertausche in der ersten Greenschen Formel die Rollen von $u$
    und $v$ und bilde die Differenz.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Da die Fundamentall\"osung $x \mapsto \Phi(x-y)$ singul\"ar ist,
k\"onnen wir sie f\"ur $y \in \Omega$ nicht direkt in die Greenschen
Formeln einsetzen. Schneiden wir jedoch einen kleinen Ball heraus,
erhalten wir
\begin{theorem}[Greensche Darstellungsformel] Sei $\Omega\subset\R^n$
  offen und beschr\"ankt mit $\partial\Omega\in C^1$. Sei $u\in
  C^2\left (\overline\Omega \right ).$ Sei $y\in\Omega$. Dann
  gilt \[u(y)= \int\limits_{\partial\Omega}\left
    (\Phi(x-y)\frac{\partial u}{\partial \nu}
    (x)-u(x)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(x-y)\right)dx -
  \int\limits_\Omega\Phi(x-y) \Delta u(x)dx.\] Hierbei sind
  s\"amtliche Ableitungen bez\"uglich der Variablen $x$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\rho>0$ so klein, dass $\overline{B_\rho (y)} \subset\Omega$
  gilt. Dann erhalten wir unter Ber\"ucksichtigung von
  $\Delta\Phi(x-y)=0$ f\"ur $x\neq y$ aus der zweiten Greenschen
  Formel
  \begin{align*}
    \int\limits_{\Omega\backslash B_\rho(y)}\Phi(x-y)\Delta
    u(x)\,dx=&\,
    \int\limits_{\partial\Omega}\left(\Phi(x-y)\frac{\partial
        u}{\partial\nu}
      (x)-u(x)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(x-y)\right )dx \\
    &\,+ \int\limits_{\partial B_\rho(y)}\left(\Phi(x-y)\frac{\partial
        u}{\partial \nu}(x)-u(x) \frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(x-y)
    \right)dx,
  \end{align*}
  wobei sich s\"amtliche Ableitungen auf die Variable $x$ beziehen und
  $\nu$ stets die \"au\ss ere Normale an $\Omega\backslash
  \overline{B_\rho (y)}$ ist.  Wir erhalten f\"ur $\rho \searrow 0$
  \[\left | \,\,\int\limits_{\partial B_\rho(y)}
    \Phi(x-y)\frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\,dx\,\right |= \left
    |\Phi(\rho)\cdot\int\limits_{\partial B_\rho(y)}\frac{\partial
      u}{\partial \nu}\right | \leq |\Phi(\rho)| \cdot
  n\omega_n\rho^{n-1} \cdot \sup\limits_{B_\rho(y)} | D u |
  \rightarrow 0\]
  sowie
  \[\int\limits_{\partial B_\rho(y)}
  u(x)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(x-y) \,dx=-\Phi'(\rho)\cdot
  \int\limits_{\partial
    B_\rho(y)}u(x)\,dx=\frac{1}{n\omega_n\rho^{n-1}}\int\limits_{\partial
    B_\rho(y)}u(x)\,dx\rightarrow u(y).\] 
  Mit $\rho \searrow 0$ erhalten wir also wegen $|\Phi| \in L_{loc}^1$
  \[u(y)=\int\limits_{\partial\Omega}\left(\Phi (x-y)\frac{\partial
      u}{\partial\nu}(x)-
    u(x)\frac{\partial\Phi}{\partial\nu}(x-y)\right)dx
  -\int\limits_\Omega\Phi(x-y)\Delta u(x)\,dx\] f\"ur $y\in\Omega$.
\end{proof}
\begin{bemerkung}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $-\int\limits_\Omega\Phi(x-y)f(x)\,dx$ (f\"ur geeignete
    integrierbare Funktionen $f$) hei\ss{}t Newtonsches Potential von
    $f$.
  \item Gilt $u\in C_c^2 (\R^n)$, so folgt aus der Greenschen
    Darstellungsformel \[u(y)=-\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)\Delta u
    (x)\,dx.\]
  \item Ist $u$ harmonisch, so verschwindet $\int\limits_\Omega
    \ldots$ in der Greenschen Darstellungsformel und $u$ l\"a\ss{}t
    sich mit Hilfe der Randintegrals $\int\limits_{\partial\Omega}
    \ldots$ darstellen.
  \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Gelte die Greensche Darstellungsformel und sei $h\in
  C^1(\overline{\Omega})\cup C^2(\Omega)$ mit $\Delta h=0$ in
  $\Omega$. Dann folgt aus der zweiten Greenschen Formel
  \[\int\limits_{\partial\Omega}\left(u\frac{\partial
      h}{\partial\nu}-h \frac{\partial
      u}{\partial\nu}\right)=-\int\limits_\Omega h\Delta u.\] Wir
  definieren $ G(x,y):=\Phi(x-y)+h(x)$, addieren die Greensche
  Darstellungsformel und erhalten
  \[u(y)=\int\limits_{\partial\Omega}\left(G(x,y)\frac{\partial
      u}{\partial \nu}(x)-u(x)\frac{\partial
      G}{\partial\nu}(x,y)\right)dx-\int\limits_\Omega G(x,y)\Delta
  u(x)\,dx.\] Gilt f\"ur festes $y\in\Omega$ bereits $G(x,y)=0$ f\"ur
  alle $x \in \partial \Omega$, so folgt
  \begin{equation}
    \label{green darst fml}
    u(y)=-\int\limits_{\partial\Omega} u(x) \frac{\partial
      G}{\partial\nu}(x,y)\,dx-\int\limits_\Omega G(x,y)\Delta
    u(x)\,dx. 
  \end{equation}
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung} 
  Da $h$ als harmonische Funktion bei festem $y$ und somit
  vorgegebenen Randwerten eindeutig bestimmt ist, ist $G$ eindeutig
  bestimmt. Existiert $G$ bzw.{} $h$, so k\"onnen wir durch
  \eqref{green darst fml} eine harmonische Funktion $u\in
  C^1(\overline \Omega) \cap C^2(\Omega)$ darstellen.
\end{bemerkung}

F\"ur eine Kugel $B_R=B_R(0)\in\R^n$ gilt
\begin{lemma} 
  Sei $y\in B_R.$ Wir definieren
  \[\overline y:=\left \{
    \begin{array} {cl} \frac{R^2}{|y|^2}y & \textrm{f\"ur } y\not = 0,\\
      \infty & \textrm{f\"ur } y = 0. \end{array}\right.\] Wir
  definieren weiterhin f\"ur $x\in \overline {B_R}\backslash \{y\}$
  \[G(x,y):=
  \begin{cases}\Phi(|x-y|) - \Phi\left (\frac{|y|}{R}|x-\overline
      {y}|\right ),&y\not = 0,\\ 
    \Phi(|x|)-\Phi(R),&y=0. 
  \end{cases}\] Dann ist $G(x,y)$ die Greensche Funktion f\"ur
  $B_R$. Es gelten $G(x,y)=G(y,x)$ und $G(x,y)\geq0$, f\"ur alle
  $x,y\in\overline{B_R}$ mit $x\not =y$, falls wir die Funktion $G$
  stetig auf $\left(\overline{B_R} \times
    \overline{B_R}\right)\setminus \Delta \left(\overline{B_R}\right)$
  fortsetzen.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir bemerken zun\"achst, dass $\overline y\not\in B_R(0)$
    f\"ur $y\in B_R(0)$ gilt.
  \item F\"ur $y\approx 0$ erhalten wir $\frac{|y|}{R} |x-\overline
    y|=\frac{|y|}{R} \left |x-\frac{R^2}{|y|^2}y \right | \approx
    \frac{|y|}{R} \frac{R^2}{|y|^2} |y|=R.$ Somit ist $G$ f\"ur $y=0$
    stetig.
  \item Aus
    \begin{align*}\frac{|{y}|}{R}|x-\overline y| = &\,
      \sqrt{\frac{|y|^2}{R^2}\left (|x|^2-2\frac{R^2}{|y|^2}\langle
          x,y \rangle+\frac{R^4}{|y|^4}|y|^2\right)} \\ =
      &\,\sqrt{\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}-2 \langle x,y \rangle+R^2}
    \end{align*}
    folgt
    \begin{equation}
      \label{green glatt fml}
      G(x,y)=\Phi \left (\sqrt{|x|^2+|y|^2-2\langle x,y\rangle} \right)
      - \Phi\left(\sqrt{\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}-2\langle x,y \rangle +
          R^2}\right ) 
    \end{equation}
    f\"ur $x,y \in B_R$ mit $x\not = y$.
  \item Aus der Definition von $G$ sehen wir direkt, dass $\Delta _x
    (G(x,y)-\Phi(|x-y|))=0$ f\"ur $y\not = 0$ gilt. F\"ur $y=0$ ist
    dies nach Definition klar.
  % \item Aus \eqref{green glatt fml} folgt auch die
  % $C^\infty$-Regularit\"at von $h(x) = G(x,y) - \Phi(|x-y|)$ f\"ur
  % $|y|<R$, da dann $\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}-2\langle
  % x,y\rangle+R^2>0$
  % gilt, auch f\"ur $x=y$.
  \item F\"ur $y\in B_R$ gilt $\overline y\not\in\ol{B_R}$. Somit ist
    $h(x)=G(x,y)-\Phi(|x-y|)$ in $C^\infty\left(\ol{B_R}\right)$.
  \item Aus \eqref{green glatt fml} folgt $G(x,y)=0$ f\"ur
    $|x|=R$. Somit ist $G$ die Greensche Funktion.
  \item F\"ur $y\in B_R$ gilt $G(x,y) \rightarrow +\infty$ f\"ur
    $x\rightarrow y$. Da $G(\cdot, y)=0$ auf $\partial B_R$ gilt und
    $G(\cdot, y)$ in $B_R \backslash \{y\}$ harmonisch ist, folgt
    $G(\cdot,y)\geq0$ in $B_R\backslash \{y\}$. \par Die Symmetrie
    $G(x,y)=G(y,x)$ folgt direkt aus \eqref{green glatt fml}. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Die Darstellungsformel aus dem folgenden Resultat werden wir in
Theorem \ref{Poissonsche Integralformel thm} benutzen um das
Drichletproblem f\"ur harmonische Funktionen zu l\"osen.
\begin{lemma}
  Sei $u\in C^2\left(\overline{B_R}\right)$
  harmonisch. Dann gilt
  \[u(y)=\frac{R^2-|y|^2}{n\omega_nR}\int\limits_{\partial
    B_R}\frac{u(x)}{|x-y|^n}dx.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur die Greensche Funktion $G$ eines Balles folgt durch Ableiten
  von \eqref{green glatt fml} bez\"uglich $x$ f\"ur $|x|=R$
  \begin{align*}
    \frac{\partial G}{\partial \nu}(x-y)
      =&\,\left\langle D G,\frac{x}{R}\right\rangle\\
    =&\,\Phi'(|x-y|)\cdot \left(\frac{\left\langle
          x-y,\frac{x}{R}\right\rangle}{\sqrt{|x|^2+|y|^2-2\langle
          x,y\rangle}}-\frac{\left\langle\frac{x|y|^2}{R^2}-y,
          \frac{x}{R}\right\rangle}
      {\sqrt{\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}-2\langle
          x,y\rangle+R^2}}\right)\\
    =&\,\frac{-1}{n\omega_n}|x-y|^{1-n} \left( \frac{|x|^2-\langle
        x,y\rangle}{|x-y|}-\frac{\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}-\langle x,y
        \rangle}{|x-y|}
    \right) \frac{1}{R} \\
    =&\,\frac{-1}{n\omega_n|x-y|^nR} \left(R^2-|y|^2\right).
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun direkt aus \eqref{green darst fml}.
\end{proof}

Insbesondere haben wir die folgende Normierung des hier auftretenden
Integral\-kernes:
\begin{corollary}
  Sei $y \in B_R$. Dann gilt
  \[1= \frac{R^2-|y|^2}{n\omega_nR}\int\limits_{\partial B_
    R}\frac{1}{|x-y|^n}dx.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze $u\equiv1$.
\end{proof}

\subsection{Poissonsche Integralformel f\"ur eine Kugel}
\begin{theorem}
  \label{Poissonsche Integralformel thm}
  \label{poisson darst thm}
  Seien $R>0$ und $B_R=B_R(0)\subset \R^n.$ Sei $\phi\in C^0(\partial
  B_R).$ Definiere
  \[u(x):=
    \begin{cases}\frac{R^2-|x|^2}{n\omega_nR}
      \int\limits_{\partial B_R} \frac{\phi(y)}{|x-y|^n}\,dy&
      \textrm{f\"ur } x \in B_R,\\ 
      \phi(x)& \textrm{f\"ur } x \in \partial B_R. 
    \end{cases}\] Dann ist $u\in C^2(B_R)\cap C^0(\overline {B_R})$
    und $u$ l\"ost das Randwertproblem
  \[\begin{cases}\Delta u=0 &\text{in } B_R,\\
    u=\phi &\text{auf } \partial B_R.
  \end{cases}\] Aufgrund des Maximumprinzips ist $u$ in $B_R$
  beschr\"ankt. Mit Hilfe der inneren Ab\-sch\"at\-zun\-gen und
  gem\"a\ss{} einer \"Ubungsaufgabe ist $u$ damit sogar reell
  analytisch: $u=C^\omega(B_R).$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Differenzierbarkeit:} Die Glattheit von $u$ folgt
    direkt aus dem Satz \"uber die Differenzierbarkeit von
    Parameterintegralen, da f\"ur $x\in B_{R-\epsilon}$ der Integrand
    und partielle Ableitungen des Integranden nach $x$ gleichm\"a\ss
    ig beschr\"ankt sind und eine entsprechende Argumentation auch
    f\"ur h\"ohere Ableitungen gilt. Es folgt
    \[u_i(x)= \int\limits_{\partial B_R} \frac{\partial}{\partial
      x^i}\left (\frac{R^2-|x|^2}{n\omega_nR}
      \frac{\phi(y)}{|x-y|^n}\right )dy\] und eine entsprechende
    Formel gilt auch f\"ur h\"ohere Ableitungen.
  \item \textbf{$u$ ist harmonisch:} Es gen\"ugt, f\"ur $|y|= R$ zu
    zeigen, dass \[k(x)=\frac{R^2-|x|^2}{|x-y|^n}\] f\"ur $x \neq y$
    eine harmonische Funktion ist. Es gilt
    \begin{align*}
      k(x)=&\,\frac{R^2-|x|^2}{|x-y|^n},\\
      k_i(x)=&\,-2x_i|x-y|^{-n}+\left(R^2-|x|^2\right)(-n)
      |x-y|^{-n-2}(x_i-y_i),\\
      k_{ij}(x)=&\,-2\delta_{ij}|x-y|^{-n}\\
      &\,-2x_i(-n)|x-y|^{-n-2}(x_j-y_j)\\
      &\,-2x_j(-n)|x-y|^{-n-2}(x_i-y_i)\\
      &\,+\left(R^2-|x|^2\right)(-n)(-n-2)
      |x-y|^{-n-4}(x_i-y_i)(x_j-y_j)\\
      &\,+\left(R^2-|x|^2\right)(-n)|x-y|^{-n-2}\delta_{ij},\\
      |x-y|^{n+2}\Delta k(x)=&-2n|x-y|^2+4n\langle x,x-y\rangle\\
      &\,+\left(R^2-|x|^2\right)n(n+2)-\left(R^2-|x|^2\right)n^2\\
      =&\,2n\left(-|x|^2+2\langle x,y\rangle-|y|^2 +2|x|^2-2\langle
        x,y \rangle +|y|^2-|x|^2\right)\\=&\,0.
    \end{align*}
    Somit ist $k$ und damit $u$ f\"ur $x\in B_R$ harmonisch. 
  \item \textbf{$u\in C^0\left(\overline{B_R}\right)$:} Sei
    $x_0\in \partial B_R$ und $\epsilon>0$. Dann existiert aufgrund
    der Stetigkeit von $\phi$ ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle
    $y\in\partial B_R$ mit $|y-x_0|<\delta$ auch
    $|\phi(y)-\phi(x_0)|<\epsilon$ gilt.  Sei $x\in B_R.$ Dann folgt
    aufgrund der Normierung des Integralkernes
    \[u(x)-u(x_0)=u(x)-\phi(x_0)=\frac{R^2-|x|^2}
    {n\omega_nR}\int\limits_{\partial B_R}\frac{\phi(y)-\phi
      (x_0)}{|x-y|^n}\,dy.\] Somit folgt
    \begin{align*}
      |u(x)-u(x_0)|\leq&\,
      \frac{R^2-|x|^2}{n\omega_nR}\int\limits_{\{y\in\partial B_R
        :|x_0-y|<\delta \}} \frac{|\phi(y)-\phi(x_0)|}{|x-y|^n}\,dy\\
      &\,+\frac{R^2-|x|^2}{n\omega_nR}\int\limits_{\{y\in\partial
        B_R:|x_0-y|\geq \delta \}} \frac{|\phi(y)-\phi(x_0)|}{|x-y|^n}
      \,dy\\ 
      \equiv&\, I_1+I_2.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  Nochmals aufgrund der Normierung des Integralkernes und wegen der
  Stetigkeit von $\phi$ folgt
  \[I_1\leq\epsilon.\] Ist $|x-x_0|<\frac{\delta}{2}$, so folgt f\"ur
  $y$ mit $|x_0-y|\geq\delta$ \[|x-y|\geq |x_0-y|-|x-x_0|\geq
  \frac{\delta}{2}.\] Wir setzen $M=\sup\limits_{\partial B_R}|\phi|$
  und erhalten $I_2\leq\frac{R^2-|x|^2}{n\omega_nR}
  2M\left(\frac{2}{\delta}\right)^n |\partial B_R| \rightarrow 0$
  f\"ur $x\rightarrow x_0$, da dann $|x|\rightarrow R$ gilt. Somit ist
  $u$ auf $\overline{B_R}$ stetig.
\end{proof}

\section{Perronverfahren}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
C^2$, $g\in C^0(\partial\Omega)$. Wir wollen eine Funktion $u\in
C^\infty(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ finden, die das
Randwertproblem
$$\begin{cases}
  \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
  u=g&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$ l\"ost.

\subsection{Konvergenzs\"atze}
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u_l:\Omega\to\R$ eine Folge
  harmonischer Funktionen, die gleichm\"a\ss{}ig gegen $u$
  konvergiert, $u_l\rightrightarrows u$.\par
  Dann ist $u$ in $\Omega$ harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Funktionen $u_l$ sind harmonisch und erf\"ullen daher die
  Mittelwerteigenschaft $$u_l(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u_l.$$ Aufgrund
  der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $u_l\rightrightarrows u$ d\"urfen
  wir zum Grenzwert \"ubergehen und erhalten
  $u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u$. Somit ist auch $u$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{tf harm konv thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $(u_l)$ eine Folge harmonischer
  Funktionen, die auf jeder kompakten Menge $K\subset\Omega$ die
  Absch\"atzung $|u_l(x)|\le c(K)$ f\"ur alle $l\in\N$ und alle $x\in
  K$ erf\"ullen. Dann gibt es eine Teilfolge der $(u_l)$, die in
  $C^2_{loc}(\Omega)$ konvergiert. Der Grenzwert $u$ ist eine glatte
  harmonische Funktion.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der inneren Absch\"atzungen f\"ur harmonische Funktionen,
  Theorem \ref{int absch harm fkt thm}, gibt es f\"ur jedes
  $K\subset\Omega$ eine Umgebung $U$ mit $$K\subset
  U=K_\epsilon\equiv\{x\in\Omega:\dist(x,K)<\epsilon\}\subset
  K_{2\epsilon}\Subset\Omega$$ f\"ur ein $\epsilon>0$, so dass $\Vert
  u_l\Vert_{C^k(U)}\le
  c\left(k,n,U,\Omega,c\left(K_{2\epsilon}\right)\right)$ gilt. Nach
  dem Satz von Arzel\`a-Ascoli gibt es daher eine in $K_{\epsilon/2}$
  gleichm\"assig konvergente Teilfolge. Wir nehmen daher ohne
  Einschr\"ankung an, dass $u_l$ in $U$ gleichm\"assig gegen eine
  stetige Funktion $u$ konvergiert. Aufgrund der inneren
  Absch\"atzungen erhalten wir in $K_{\epsilon/4}$ auch die Konvergenz
  der Ableitungen.  Der Limes $u$ ist aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen
  Konvergenz (oder aufgrund der Konvergenz der Ableitungen) in
  $K_{\epsilon/4}$ harmonisch.\par
  Mit Hilfe eines Diagonalfolgenarguments in $K$ folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $u_l:\ol\Omega\to\R$ eine Folge von Funktionen $u_l\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, die in $\Omega$ harmonisch sind. Gelte
  $u_l=\phi_l$ auf $\partial\Omega$. \par Konvergieren die Funktionen
  $\phi_l$ auf $\partial\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig gegen eine Funktion
  $\phi$, so konvergieren die Funktionen $u_l$ in $\ol\Omega$
  gleichm\"a\ss{}ig gegen eine Funktion $u\in C^\infty(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, die in $\Omega$ harmonisch ist.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz
  $\phi_n\rightrightarrows\phi$ auf $\partial\Omega$ und des
  Maximumprinzips folgt, dass $u_l\rightrightarrows u$ in $\ol\Omega$
  gilt. Die Funktion $u$ ist in $\Omega$ harmonisch und damit auch
  glatt.
\end{proof}

\begin{theorem}[Harnacksches Konvergenztheorem]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend. Sei $u_l$ eine
  monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Sei $y\in\Omega$
  und sei $u_l(y)$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Sei
  $\Omega'\Subset\Omega$. Dann konvergiert $u_l$ auf $\Omega'$
  gleichm\"a\ss{}ig gegen eine harmonische Funktion.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung nehmen wir an, dass $\Omega'$ zusammenh\"angend
  ist und $y\in\Omega'$ gilt. Dazu vergr\"o\ss{}ern wir das Gebiet
  etwas und verbinden dann die entstandenen endlich vielen
  Zusammenhangskomponenten. Sei $\epsilon>0$. Dann existiert ein $N$,
  so dass f\"ur $m\ge l>N$
  $$0\le u_m(y)-u_l(y)<\epsilon$$ gilt.  Aufgrund der
  Harnackungleichung, Theorem \ref{Harnackungleichung} folgt
  $$\sup\limits_{\Omega'}|u_m-u_l|\le c(\Omega',\Omega)\cdot\epsilon.$$
  Somit konvergiert $u_l$ auf $\Omega'$ gleichm\"a\ss{}ig gegen
  $u$. Also ist $u$ in $\Omega'$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $u_l$ harmonische Funktionen,
  die in $C^0_{loc}(\Omega)$ gegen eine Funktion $u:\Omega\to\R$
  konvergieren. Dann konvergiert $u_l\to u$ in $C^k_{loc}(\Omega)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende die inneren Absch\"atzungen auf $u_l-u$ an. 
\end{proof}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Auf kompakten Teilmengen von $\Omega$ sind die Funktionen $u_l$
%   gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Aufgrund der inneren Absch\"atzungen
%   und nach Arzel\`a-Ascoli gibt es daher eine Teilfolge, die f\"ur
%   beliebiges $k\in\N$ in $C^k_{loc}$ gegen $u$ konvergiert. \par Falls
%   nicht die gesamte Folge in $C^k_{loc}$ gegen $u$ konvergiert, gibt
%   es $\Omega'\Subset\Omega$ und $\epsilon>0$, so dass f\"ur eine nicht
%   umbenannte Teilfolge $\Vert u_l-u\Vert_{C^k(\Omega')}\ge\epsilon$
%   gilt. Aufgrund der inneren Absch\"atzungen und Arzel\`a-Ascoli
%   konvergiert aber auch eine Teilfolge dieser \glqq
%   Gegenbeispielfolge\grqq{} in $C^k(\Omega')$ f\"ur beliebiges
%   $k\in\N$. Wegen der $C^0_{loc}$-Konvergenz ist $u$ auch der
%   Grenzwert dieser Teilfolge. Dies widerspricht aber der Voraussetzung
%   $\Vert u_l-u\Vert_{C^k(\Omega')}\ge\epsilon$. Somit konvergiert
%   bereits die gesamte Folge.
% \end{proof}

\subsection{$C^0$-subharmonische Funktionen}
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^2(\Omega)$ hei\ss{}t
    \begin{itemize}
    \item $C^2$-harmonisch, falls $-\Delta u=0$,
    \item $C^2$-subharmonisch, falls $-\Delta u\le0$,
    \item $C^2$-superharmonisch, falls $-\Delta u\ge0$.
    \end{itemize}
  \item $u\in C^0(\Omega)$ hei\ss{}t
    \begin{itemize}
    \item $C^0$-subharmonisch, falls f\"ur jede Kugel
      $B_r(x)\Subset\Omega$ und jede harmonische Funktion
      $h:C^2(B_r(x))\cap C^0\big(\ol{B_r(x)}\big)$ mit $u\le h$ auf
      $\partial B_r(x)$ auch $u\le h$ in $B_r(x)$ folgt.
    \item $C^0$-superharmonisch, falls $-u$ subharmonisch ist.
    \item $C^0$-harmonisch, falls $u$ subharmonisch und
      superharmonisch ist.
    \end{itemize}
  \item $u\in C^0(\Omega)$ hei\ss{}t 
    \begin{itemize}
    \item Sph\"aren-subharmonisch, falls
      $u(x)\le\fint\limits_{\partial B_r(x)} u$ f\"ur alle
      $B_r(x)\Subset\Omega$ gilt. 
    \item Ball-subharmonisch, falls $u(x)\le\fint\limits_{B_r(x)}$
      f\"ur alle $B_r(x)\Subset\Omega$ gilt. 
    \item Die Begriffe Sph\"aren-superharmonisch,
      Sph\"aren-harmonisch, Ball-super\-har\-monisch und Ball-harmonisch
      sind analog definiert.
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
  Wir werden diese Eigenschaften nur solange unterschiedlich
  bezeichnen, bis wir einige \"Aquivalenzen gezeigt haben. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Bei $C^0$-subharmonischen Funktionen gen\"ugt der Vergleich mit der
  harmonischen Fortsetzung $h$ der Randwerte, die nach Theorem
  \ref{poisson darst thm} existiert. S\"amtliche andere Funktionen $H$
  mit $H\ge h=u$ auf $\partial B_r(x)$ erf\"ullen im Inneren n\"amlich
  $H\ge h$. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{ball sub harm mp lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u\colon\Omega\to\R$ Sph\"aren-
  oder Ball-subharmonisch. Dann erf\"ullt $u$ das starke
  Maximumprinzip, \dh 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item f\"ur jede offene Teilmenge $\Omega'\Subset\Omega$ nimmt $u$
    sein Maximum auf dem Rand an und
  \item ist $\Omega'$ zus\"atzlich zusammenh\"angend und nimmt $u$
    sein Maximum im Inneren von $\Omega'$ an, so ist $u|_{\Omega'}$
    konstant.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Gehe genau wie im Beweis von Theorem \ref{Laplace starkes mp thm}
  vor. Statt der Mittelwerteigenschaft gen\"ugt es dort, dass $u$
  Sph\"aren- oder Ball-subharmonisch ist. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, zusammenh\"angend und
  beschr\"ankt. Seien $u,v\in C^0\left(\ol\Omega\right)$. Sei $u$ eine
  $C^0$-subharmonische Funktion und $v$ eine $C^0$-superharmonische
  Funktion. Gelte $u=v$ auf $\partial\Omega$. Dann gilt entweder $u<v$
  in $\Omega$ oder $u\equiv v$. Im zweiten Fall sind beide Funktionen
  harmonisch.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{C0 harm lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann sind die folgenden Aussagen
  \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{subh i} $u$ ist $C^0$-subharmonisch,
  \item\label{subh ii} $u$ ist Sph\"aren-subharmonisch,
  \item\label{subh iii} $u$ ist Ball-subharmonisch. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \glqq\eqref{subh i} $\Longrightarrow$ \eqref{subh ii}\grqq: Sei
  $B_r(x)\Subset\Omega$. Sei $h$ die harmonische Fortsetzung von
  $u|_{\partial B_r(x)}$ nach $B_r(x)$ aus Theorem \ref{poisson darst
    thm}, \dh sei $h\in C^\infty(B_r(x))\cap
  C^0\big(\ol{B_r(x)}\big)$ und gelte
  \[
  \begin{cases}
    \Delta h=0&\text{in }B_r(x),\\
    h=u&\text{auf }\partial B_r(x).
  \end{cases}
  \]
  Nach der Poissonschen Darstellungsformel aus Theorem \ref{poisson
    darst thm} folgt $h(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)} h$. Da $u$
  eine $C^0$-subharmonische Funktion ist und $u=h$ auf $\partial
  B_r(x)$ gilt, folgt weiterhin \[u(x)\le h(x)=\fint\limits_{\partial
    B_r(x)} h=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u.\] Somit ist $u$
  Sph\"aren-subharmonisch. \par
  \glqq\eqref{subh ii} $\Longrightarrow$ \eqref{subh iii}\grqq: Wir
  integrieren \[\int\limits_{\partial B_\rho(x)} u(x)\,dy
  \le\int\limits_{\partial B_\rho(x)} u(y)\,dy\] von $\rho=0$ bis
  $\rho=r$ und erhalten wegen \[\int\limits_{B_r(x)}f(y)\,dy
  =\int\limits_0^r \int\limits_{\partial B_\rho(x)} f(y)\,dy\,d\rho\]
  die Ungleichung \[\int\limits_{B_r(x)} u(x)\,dy
  \le\int\limits_{B_r(x)} u(y)\,dy.\] Umordnen ergibt die
  Behauptung. \par
  \glqq\eqref{subh iii} $\Longrightarrow$ \eqref{subh i}\grqq: Sie $h$
  die harmonische Fortsetzung der Randwerte $u|_{\partial
    B_r(x)}$. Dann erf\"ullt $u-h$ dieselbe Mittelwerteigenschaft wie
  $u$. Wir k\"onnen also Lemma \ref{ball sub harm mp lem} anwenden und
  erhalten $u\le h$ in $B_r(x)$.
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{C2 harm ist C0 harm rem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $u$ eine $C^2$-subharmonische Funktion. Dann ist $u$
    Sph\"aren-subharmonisch. 
  \item Eine $C^0$-subharmonische Funktion braucht nicht von der
    Klasse $C^2$ zu sein. 
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In Theorem \ref{MWE thm} haben wir allgemein f\"ur $u\in C^2$
    gezeigt, dass \[\frac d{dr}\phi(r)\equiv \frac
    d{dr}\fint\limits_{\partial B_r(x)} u(y)\,dy =\frac1{|\partial
      B_r|} \int\limits_{B_r(x)}\Delta u(y)\,dy\] gilt. F\"ur eine
    subharmonische Funktion ($-\Delta u\le 0$) ist $\phi$ also monoton
    wachsend und es gilt $\lim\limits_{r\searrow0}\phi(r)=u(x)$. Die
    Behauptung folgt. 
  \item Betrachte $x\mapsto|x|$. Eindimensional ist klar, dass dies
    ein Gegenbeispiel ist. H\"oherdimensional kann man analog zu Lemma
    \ref{max subharm lem} argumentieren. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u$ in $C^0(\Omega)$. Dann sind
  die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u$ ist $C^2$-harmonisch,
  \item $u$ ist $C^0$-harmonisch,
  \item $u$ ist Sph\"aren-harmonisch und
  \item $u$ ist Ball-harmonisch. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item $C^2$-harmonisch impliziert die drei letzten Bedingungen, die
    nach Lemma \ref{C0 harm lem} \"aquivalent zueinander sind.
  \item Theorem \ref{mwe glatt thm} besagt, dass Funktionen, die eine
    dieser drei Bedingungen er\-f\"ul\-len, glatt sind. Theorem
    \ref{MWE Umkehrung thm} impliziert dann, dass $u$ auch
    $C^2$-harmonisch ist. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proof}[Alternativbeweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Nach Bemerkung \ref{C2 harm ist C0 harm rem} erf\"ullt eine
    $C^2$-Funktion jede der anderen nach Lemma \ref{C0 harm lem}
    \"aquivalenten Definitionen.
  \item Sei $u$ eine $C^0$-harmonische Funktion. Sei
    $B_r(x)\Subset\Omega$ und $h$ die harmonische Fortsetzung der
    Randwerte $u|_{\partial B_r(x)}$ nach $B_r(x)$, vgl.{} Theorem
    \ref{poisson darst thm}. Dann folgt nach Definition einer
    $C^0$-harmonischen Funktion $u=h$ in $B_r(x)$. Somit ist $u\in
    C^2$. Nach Theorem \ref{MWE Umkehrung thm} erhalten wir $-\Delta
    u=0$.
  \item Die restlichen \"Aquivalenzen folgen nach Lemma \ref{C0 harm
      lem}.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}[Harmonische Ersetzung]\label{harm ersetz lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u:\Omega\to\R$ subharmonisch und
  $B\Subset\Omega$ eine Kugel. \par Sei $\ol u:\ol B\to\R$ die
  harmonische Funktion mit $\ol u=u$ auf $\partial B$. \par Wir
  definieren die harmonische Ersetzung von $u$ in $B$ durch
$$U(x):=\begin{cases}\ol u(x),&x\in B,\\ u(x),&\,x\in\Omega\setminus B.
\end{cases}$$ Dann ist $U$ in $\Omega$ ($C^0$-)subharmonisch.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $B'\Subset\Omega$ eine Kugel. Sei $h$ harmonisch in $B'$ und
  $U\le h$ auf $\partial B'$. Wir wollen nachweisen, dass $U\le h$ in
  $B'$ gilt. \par Die Funktion $u$ ist subharmonisch. Somit gilt $u\le
  U$ in $\Omega$ (und insbesondere in $B$). Wir benutzen die Annahme
  $U\le h$ auf $\partial B'$ und erhalten $u\le U\le h$ auf $\partial
  B'$. Da $u$ subharmonisch ist, erhalten wir $u\le h$ in $B'$. Nach
  Definition von $U$ folgt also $U\le h$ in $B'\setminus B$.
  Insbesondere gilt daher $U\le h$ auf $\partial B\cap B'$ und somit
  $U\le h$ auf $\partial(B\cap B')$. $h$ und $U$ sind harmonische
  Funktionen, wir schlie\ss{}en also, dass $U\le h$ in $B\cap B'$
  gilt. Insgesamt erhalten wir also $U\le h$ in $B'$. Also ist $U$
  subharmonisch.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{max subharm lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $u_1,\ldots,u_N$ in $\Omega$
  subharmonisch. Dann ist auch
$$u(x):=\max\{u_1(x),\ldots,u_N(x)\}$$ in $\Omega$ subharmonisch.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus der Definition von \glqq subharmonisch\grqq.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\phi\in
  L^\infty(\partial\Omega)$. Dann hei\ss{}t $u\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine Subfunktion oder Subl\"osung (f\"ur
  den Laplaceoperator $-\Delta$), wenn $u$ subharmonisch ist und
  $u\le\phi$ auf $\partial\Omega$ gilt.\par
  Superfunktionen sind analog definiert.
\end{definition}

\begin{remark}\label{konst subfkt bsp}
  F\"ur gegebenes $\phi\in L^\infty(\partial\Omega)$ sind
  Subfunktionen aufgrund des Maximumprinzips kleiner als
  Superfunktionen.\par Sei $c_1\ge\sup\limits_{\partial\Omega}\phi$,
  dann ist $u(x)=c_1$ eine Superfunktion. Sei
  $c_2\le\inf\limits_{\partial\Omega}\phi$, dann ist $u(x)=c_2$ eine
  Subfunktion.
\end{remark}

\subsection{Das Perronverfahren}
\begin{theorem}\label{Perron thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $\phi\in
  L^\infty(\partial\Omega)$. Sei
  $$S_\phi:=\left\{u\in C^0\left(\ol\Omega\right)\,:\,u\text{ ist
      Subfunktion bez\"uglich }\phi\right\}.$$ Definiere
  $$u(x):=\sup\limits_{v\in S_\phi}v(x).$$ Dann ist $u$ in $\Omega$
harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des Maximumprinzips erf\"ullt $v\in S_\phi$ die Ungleichung
  $v\le\sup\limits_{\partial\Omega}\phi$.  Nach Lemma \ref{max subharm
    lem} und Bemerkung \ref{konst subfkt bsp} brauchen wir nur
  Funktionen $v\in S_\phi$ mit $v\ge\inf\phi$ zu betrachten, da
  $\max\{v,\inf\phi\}\in S_\phi$ gilt. Diese $C^0$-Schranken erlauben
  es sp\"ater, die inneren Absch\"atzungen f\"ur harmonische
  Funktionen zu verwenden.\par
  Sei $y\in\Omega$ beliebig. Nach Definition von $u$ existiert eine
  (von $y$ abh\"angige) Folge $v_i$, $v_i\in S_\phi$, so dass
  $v_i(y)\to u(y)$. Sei $R>0$, so dass $B_R(y)\Subset\Omega$ gilt. Sei
  $V_i$ die harmonische Ersetzung von $v_i$ bez\"uglich $B_R(y)$ wie
  in Lemma \ref{harm ersetz lem}. Es gilt $V_i\in S_\phi$. Die
  Funktion $v_i$ ist subharmonisch. Also gilt $v_i\le V_i$. Nach
  Definition von $u$ gilt also $V_i(y)\to u(y)$.\par
  Die Funktionen $V_i$ sind nun in $B_R(y)$ harmonisch und aufgrund
  der inneren Ab\-sch\"atz\-un\-gen f\"ur Ableitungen harmonischer
  Funktionen konvergiert eine Teilfolge $V_{i_k}$ auf jeder Kugel
  $B_\rho(y)$, $\rho<R$, gleichm\"a\ss{}ig gegen eine in $B_R(y)$
  harmonische Funktion $v$. Vergleiche dazu nochmals Theorem \ref{tf
    harm konv thm}.
  \par Nach Definition von $u$ gilt daher $v\le u$. Es gilt auch
  $v(y)=u(y)$. Wir behaupten nun, dass in $B_R(y)$ sogar $u=v$ gilt:
  Angenommen es gibt ein $z\in B_R(y)$ mit $v(z)<u(z)$. Dann gibt es
  $\ol u\in S_\phi$, so dass $v(z)<\ol u(z)$. Definiere
  $w_k:=\max\{\ol u,V_{i_k}\}$. Es gilt $w_k\in S_\phi$. Bezeichne mit
  $W_k$ die zugeh\"origen harmonischen Ersetzungen in $B_{R_1}(y)$ mit
  $z\in B_{R_1}(y)\subset B_R(y)$. Dann gilt in $B_{R_1}(y)$
  $$W_k\ge w_k\ge \underbrace{V_{i_k}\to v}_{\text{in }y}.$$ Wie oben
  existiert eine Teilfolge der $W_k$, die in $B_{R_1}(y)$ gegen eine
  harmonische Funktion $w$ konvergiert. Dann gilt in $B_{R_1}(y)$ die
  Ungleichung $v\le w\le u$. Andererseits ist $v(y)=w(y)=u(y)$. Da $v$
  und $w$ in $B_{R_1}(y)$ harmonische Funktionen sind, gilt aufgrund
  des Maximumprinzips $v=w$ in $B_{R_1}(y)$. Dies ist ein Widerspruch,
  da
  $$v(z)<\ol u(z)\le w_k(z)\le W_k(z)\to w(z)=v(z).$$ Somit gilt $u=v$
  in $B$ und $u$ ist in $\Omega$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Existiert eine
  L\"osung $u\in C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ des
  Dirichletproblems
  $$\begin{cases}
    \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
    u=\phi&\text{auf }\partial\Omega,
  \end{cases}$$ so ist $u$ gerade die Perronl\"osung, die wir in
  Theorem \ref{Perron thm} konstruiert haben. \par I.\,a.{} ist nicht
  klar, ob die Perronl\"osung die Randbedingung erf\"ullt.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir beweisen nur, dass $u$ die Perronl\"osung ist. Es gilt $u\in
  S_\phi$. Sei $w\in S_\phi$. Dann folgt aufgrund des Maximumprinzips,
  dass $w\le u$ ist. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Barrieren und Randwerte}
Mit Hilfe von Barrieren zeigen wir nun, dass die Perronl\"osung
stetige Randwerte auf hinreichend regul\"aren Gebieten tats\"achlich
annimmt.
\begin{definition}[Barriere]\label{barriere def}
  Sei $\xi\in\partial\Omega$. Eine Funktion $w\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, $w=w_\xi$, hei\ss{}t Barriere f\"ur
  $\xi$ relativ zu $\Omega$, falls
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $w$ in $\Omega$ superharmonisch ist,
  \item $w(\xi)=0$ und $w>0$ in $\ol\Omega\setminus\{\xi\}$ gelten.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Erf\"ullt $w$ die Bedingungen von Definition \ref{barriere def} in
  einer Umgebung von $\xi$, so gibt es eine Barriere f\"ur $\xi$
  relativ zu $\Omega$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei Definition \ref{barriere def} in $\Omega\cap B_r(\xi)$, $r>0$,
  erf\"ullt. Wir wollen annehmen, dass $r>0$ so gew\"ahlt ist, dass
  die Menge, \"uber die wir nun das Infimum nehmen, nichtleer ist. Sei
  $m:=\inf\limits_{(B_r(\xi)\setminus
    B_{r/2}(\xi))\cap\Omega}w>0$. Dann ist leicht einzusehen, dass
  $$\ol w(x):=\begin{cases} \min\{m,w(x)\},&x\in\ol\Omega\cap
    B_{r/2}(\xi),\\ m,&x\in\ol\Omega\setminus B_{r/2}(\xi)
  \end{cases}$$ eine Barriere f\"ur $\xi$ relativ zu $\Omega$ ist.
\end{proof}

Die Existenz einer Barriere ist also eine lokale Eigenschaft des
Randes. Definiere daher
\begin{definition}
  Ein Randpunkt hei\ss{}t regul\"ar (bez\"uglich des
  Laplaceoperators), falls es eine Barriere zu diesem Punkt gibt.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{randwerte werden angenommen lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei $u$ eine
  mittels Perronverfahren konstruierte L\"osung, sei $\xi$ ein
  regul\"arer Randpunkt von $\Omega$ und sei $\phi$ in $\xi$ stetig.
  Dann gilt $u(x)\to\phi(\xi)$ f\"ur $x\to\xi$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$. Definiere $M:=\sup|\phi|$. Sei $w$ eine Barriere
  f\"ur $\xi$. Aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ existiert ein
  $\delta>0$, so dass $|\phi(x)-\phi(\xi)|<\epsilon$ f\"ur
  $|x-\xi|<\delta$ gilt. Fixiere $k>0$, so dass $kw(x)\ge 2M$ f\"ur
  $|x-\xi|\ge\delta$ gilt.\par Nun ist $\phi(\xi)+\epsilon+kw$ eine
  Superfunktion und $\phi(\xi)-\epsilon-kw$ eine Subfunktion. Nach
  Definition von $u$ gilt $\phi(\xi)-\epsilon-kw(x)\le u(x)$. Da eine
  Superfunktion \"uber einer Subl\"osung liegt, gilt
  $v(x)\le\phi(\xi)+\epsilon+k w(x)$. Wir gehen zum Supremum \"uber
  und erhalten $u(x)\le\phi(\xi)+\epsilon+kw(x)$. Insgesamt folgt also
  $|u(x)-\phi(\xi)|\le\epsilon+kw(x)$. F\"ur $x\to\xi$ folgt
  $w(x)\to0$. Da $\epsilon>0$ beliebig war, erhalten wir also
  $u(x)\to\phi(\xi)$ f\"ur $x\to\xi$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Dann ist das
  Dirichletproblem $$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
    u=\phi&\text{auf }\partial\Omega\end{cases}$$ f\"ur beliebiges
  $\phi\in C^0(\partial\Omega)$ genau dann in $C^2(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ l\"osbar, wenn jeder Randpunkt regul\"ar
  ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Rueckrichtung Sei jeder Randpunkt regul\"ar. Dann k\"onnen wir
  Lemma \ref{randwerte werden angenommen lem} anwenden und erhalten,
  dass die Perronl\"osung die Randbedingung erf\"ullt und bis zum Rand
  stetig ist. \par \Hinrichtung Die L\"osung zu $\phi(x)=|x-\xi|$ ist
  eine Barriere zu $\xi\in\partial\Omega$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann erf\"ullt $\Omega$ eine
  \"au\ss{}ere Kugelbedingung, falls f\"ur jedes $x\in\partial\Omega$
  eine Kugel $B$ existiert, so dass $\{x\}=\ol B\cap\ol\Omega$ gilt.
  \par $\Omega$ erf\"ullt eine gleichm\"a\ss{}ige Kugelbedingung,
  falls f\"ur alle $x\in\partial\Omega$ Kugeln mit gleichem Radius
  verwendet werden k\"onnen.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Erf\"ulle $\Omega$ in $\xi$ eine \"au\ss{}ere Kugelbedingung,
  $\{\xi\}=\ol{B_R(y)}\cap\ol\Omega$. Dann ist
$$w(x):=\begin{cases}R^{2-n}-|x-y|^{2-n},&n\ge3,\\
  \log\frac{|x-y|}R,&n=2\end{cases}$$ eine Barriere f\"ur
$\xi\in\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar.
\end{proof}

\subsection{Existenzs\"atze}
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $\phi\in C^0(\partial\Omega)$. Dann existiert genau eine
  L\"osung $u\in C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ zu
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega.
\end{cases}$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $u$ die Perronl\"osung. Die Eindeutigkeit folgt aus dem
  Maximumprinzip.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $\phi\in C^0(\partial\Omega)$, $f\in
  C^2_c\left(\R^n\right)$. Dann existiert genau eine L\"osung $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ zu
  \begin{equation}\label{dirichlet problem f phi}
    \begin{cases} \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ 
      u=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $v\in C^2\left(\R^n\right)$ eine L\"osung zu
$$\Delta v=f\quad\text{in }\R^n.$$ ($v$ ist nicht eindeutig bestimmt,
aber das macht nichts.) Sei $w\in C^2(\Omega)\cap
C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung zu
$$\begin{cases} \Delta w=0&\text{in }\Omega,\\ w=\phi-v&\text{auf
  }\partial\Omega.\end{cases}$$ Dann l\"ost $u:=w+v$ das
Randwertproblem \eqref{dirichlet problem f phi}. Die
Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\section{Maximumprinzipien}
\subsection{Maximumprinzipien f\"ur elliptische Differentialgleichungen}
\begin{remark}
  \label{max prinz gen vor rem}
  F\"ur dieses Kapitel wollen wir die folgenden Generalvoraussetzungen
  annehmen: Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$. Wir betrachten
  Differentialoperatoren der Form
  \begin{align*}
    Lu(x)=&\,a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i,j=1}^na^{ij}(x)u_{ij}(x)
    +\sum\limits_{i=1}^nb^i(x)u_i(x) +d(x)u(x),
  \end{align*}
  wobei
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $a^{ij}$ symmetrisch ist, \dh $a^{ij}(x)=a^{ji}(x)$ gilt.
  \item $L$ gleichm\"a\ss{}ig elliptisch ist: Es existiert
    $\lambda>0$, so dass
  $$\lambda|\xi|^2\le\sum\limits_{i,j=1}^na^{ij}(x)\xi_i\xi_j$$ f\"ur
  alle $x\in\Omega$, $\xi\in\R^n$.
\item die Koeffizienten gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt sind, \dh es
  gibt $K>0$, so dass $$|a^{ij}(x)|,|b^i(x)|,|d(x)|\le K$$ f\"ur alle
  $i,j$ und alle $x\in\Omega$.
\end{enumerate}
\end{remark}
Ein Beispiel hierf\"ur ist $Lu=\Delta u$.

\begin{theorem}
  Sei $d\equiv0$ und erf\"ulle $u$ in $\Omega$ die
  Differentialungleichung $Lu\ge0$, \dh $$a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.$$
  Dann gilt $$\sup\limits_\Omega u=\max\limits_{\partial\Omega}u.$$
\end{theorem}
Ein analoges Resultat erh\"alt man f\"ur $Lu\le0$ und das Infimum
durch Betrachten von $-u$.
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme zun\"achst an, dass $$Lu>0\quad\text{in }\Omega$$ gilt. In
  einem inneren Maximum $x_0$ gilt
  \begin{align*}
    u_i(x_0)=&\,0\quad\text{f\"ur alle }i,\umbruch\\
    u_{ij}(x_0)\le&\,0\quad\text{im Sinne von Matrizen.}
  \end{align*}
  Hieraus folgt (diagonalisiere z.\,B.{} $u_{ij}(x_0)$)
  $$Lu(x_0)=a^{ij}u_{ij}\le0.$$
  Widerspruch. \par Sei nun $Lu\ge0$. Definiere f\"ur $\alpha>0$ die
  Funktion $v(x)=e^{\alpha x^1}$. Es gilt
  $$Lv(x)=\big(\alpha^2\underbrace{a^{11}(x)}_{\ge\lambda}
  +\alpha\underbrace{b^1(x)}_{|\cdot|\le K}\big)\cdot v(x).$$ F\"ur
  $\alpha\gg1$ hinreichend gro\ss{} erhalten wir $Lv>0$. Sei nun
  $\epsilon>0$. Dann folgt $L(u+\epsilon v)>0$. Somit folgt die
  Behauptung f\"ur $u+\epsilon v$. Wir lassen nun $\epsilon\searrow0$
  und erhalten die Behauptung f\"ur $u$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Seien $f\in C^0(\Omega)$ und $\phi\in C^0(\partial\Omega)$ sowie
  $d\equiv0$. Dann besitzt das Dirichletproblem
  $$\begin{cases} Lu=f&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
    }\partial\Omega\end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende das Maximumprinzip auf die Differenz zweier L\"osungen an.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{pos part cor}
  Sei $d\le0$, $Lu\ge0$ in $\Omega$, $u^+(x):=\max\{u(x),0\}$ Dann
  gilt
  $$\sup\limits_\Omega u^+\le\max\limits_{\partial\Omega}u^+.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $\Omega^+:=\{x\in\Omega:u(x)>0\}$. In $\Omega^+$ gilt
  $$a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.$$ Somit folgt
  $\sup\limits_{\Omega^+}u\le\max\limits_{\partial\Omega^+} u$. Sei
  ohne Einschr\"ankung $\Omega^+\neq\emptyset$. Wir erhalten
  $$\sup\limits_\Omega u^+ =\sup\limits_{\Omega^+}u
  \le\max\limits_{\partial\Omega^+}u
  \le\max\limits_{\partial\Omega}u^+,$$ da $u=0$ auf
  $\partial\Omega^+\cap\Omega$,
  $\partial\Omega^+=(\partial\Omega^+\cap\Omega)
  \cup(\partial\Omega^+\cap\partial\Omega)$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip, E. Hopf]\label{hopf thm}
  Sei $d\equiv0$, $Lu\ge0$. Sei $\Omega$ zusammenh\"angend. Nimmt $u$
  sein Maximum im Inneren von $\Omega$ an, so ist $u$ konstant. \par
  Gilt $d\le0$ und nimmt $u$ sein nichtnegatives Maximum im Inneren
  von $\Omega$ an, so ist $u$ konstant.
\end{theorem}

Der Beweis hiervon benutzt
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]\label{Randpunktlemma}
  Sei $d\le0$, $Lu\ge0$. Sei $x_0\in\partial\Omega$ und gelte
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u$ ist in $x_0$ stetig,
  \item $u(x_0)\ge0$ falls $d\not\equiv0$,
  \item $u(x_0)>u(x)$ f\"ur $x\in\Omega$,
  \item es gibt eine Kugel $B_R(y)\subset\Omega$ mit $x_0\in\partial
    B_R(y)$.
  \end{enumerate}
  Dann gilt
  $$\langle Du(x_0),x_0-y\rangle>0,$$
  falls diese Ableitung existiert.
\end{theorem}
Hier ist klar, dass $\langle Du(x_0),x_0-y\rangle\ge0$ gilt.
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Randpunktlemma}]
  Nehme an, dass $\partial B_R(y)\cap \partial\Omega=\{x_0\}$ ist.
  Sei $0<\rho<R$. Betrachte im Annulus $B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}$
  die Funktion
  $$v(x):=e^{-\gamma|x-y|^2}-e^{-\gamma R^2}\quad\text{f\"ur
  }\gamma\gg1.$$ Es gilt
  \begin{align*}
    Lv(x)=&\,\left\{4\gamma^2a^{ij}(x_i-y_i)(x_j-y_j) -2\gamma
      a^{ij}\delta_{ij}-2\gamma b^i(x_i-y_i)+d\right\} e^{-\gamma|x-y|^2}\\
    &\,-de^{-\gamma R^2}.
  \end{align*}
  F\"ur fixiertes $\rho$ und $\gamma\gg1$ hinreichend gro\ss{}
  erhalten wir $Lv\ge0$ in $B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}$.  Nach
  Voraussetzung gilt $u(x)-u(x_0)<0$ f\"ur $x\in
  B_R(y)\subset\Omega$. Somit existiert $\epsilon>0$, so dass
  $$u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le 0\quad\text{f\"ur }x\in\partial
  B_\rho(y).$$ Auf $\partial B_R(y)$ gilt $v=0$ und somit folgt dort
  ebenfalls $u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le0$. Weiterhin gilt
  $$L(u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x))\ge-d(x)u(x_0)\ge0.$$ Korollar \ref{pos
  part cor}, angewandt auf den Annulus, liefert daher
  $$u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le0\quad\text{f\"ur } x\in
  B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}.$$ Diese Funktion verschwindet in
  $x_0$.  Also folgt in $x_0$, falls diese Ableitung existiert,
  $$\langle D(u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)),x_0-y\rangle\ge0\quad
  \text{in }x=x_0.$$ Wir schlie\ss{}en, dass
  $$\langle Du(x_0),x_0-y\rangle\ge -\epsilon\langle
  Dv(x_0),x_0-y\rangle =\epsilon\left(2\gamma R^2e^{-\gamma
      R^2}\right)>0$$ gilt. Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{hopf thm}]
  Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis. Sei $u$ nicht konstant, nehme
  aber in $\Omega$ das Maximum $m$ an. Sei $m\ge0$, falls
  $d\not\equiv0$ gilt. Definiere
  $\Omega':=\{x\in\Omega:u(x)<m\}\neq\emptyset$. Es ist
  $\partial\Omega'\cap\Omega\neq\emptyset$. W\"ahle $y\in\Omega'$ mit
  $d(y,\partial\Omega')<d(y,\partial\Omega)$. Sei $B_R(y)$ die
  gr\"o\ss{}te Kugel in $\Omega'$ mit Mittelpunkt $y$, die noch in
  $\Omega'$ enthalten ist. Dann folgt $u(x_0)=m$ f\"ur ein
  $x_0\in\partial B_R(y)$ und $u(x)<u(x_0)$ f\"ur $x\in\Omega'$. Wir
  wenden nun das Hopfsche Randpunktlemma, Theorem
  \ref{Randpunktlemma}, an und erhalten $Du(x_0)\neq0$. In $x_0$ nimmt
  aber $u$ ein inneres Maximum an. Somit folgt dort $Du(x_0)=0$. Wir
  erhalten einen Widerspruch und das Theorem folgt.
\end{proof}

\subsection{Parabolisches Maximumprinzip}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei $T>0$. Dann
  definieren wir den parabolischen Rand von $\Omega\times(0,T)$
  durch \[\mathcal P(\Omega\times(0,T))
  :=\left(\ol\Omega\times\{0\}\right) \cup
  \left(\partial\Omega\times[0,T)\right).\] 
\end{definition}

Wir beweisen nur das schwache parabolische Maximumprinzip f\"ur
zylinderf\"ormige Gebiete. 
\begin{theorem}
  Sei $T>0$. Seien $L$, $\Omega$ wie in Bemerkung \ref{max prinz gen
    vor rem}, jedoch auf $\Omega\times(0,T)$ statt auf $\Omega$
  definiert. Gelte $d\equiv0$. Erf\"ulle \[u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))\cap C^0\left((\Omega\times(0,T)) \cup\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))\right)\] die Differentialungleichung \[\dot u
  \le Lu \quad\text{in }\Omega\times(0,T).\] Dann
  gilt \[\sup\limits_{\Omega\times(0,T)}u \le\sup\limits_{\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))} u.\]
\end{theorem}
Varianten mit $d\not\equiv0$ und $\dot u-Lu\le f$ mit $f\le c$
erh\"alt man daraus als \"Ubung. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis. Ist die Behauptung nicht
  erf\"ullt, so gibt es ein $\epsilon>0$, so dass die Behauptung f\"ur
  $u_\epsilon:=u-\epsilon t$ ebenfalls verletzt ist. Die Funktion
  $u_\epsilon$ erf\"ullt die Ungleichung $\dot u_\epsilon-Lu_\epsilon
  =\dot u-Lu-\epsilon<0$ in $\Omega\times(0,T)$. Da die angegebene
  Ungleichung f\"ur $u_\epsilon$ statt $u$ verletzt ist, gibt es
  $(x_0,t_0)\in\Omega\times(0,T)$ mit \[u_\epsilon(x_0,t_0)
  >\sup\limits_{\mathcal P(\Omega\times(0,T))} u_\epsilon.\] Ohne
  Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass $u_\epsilon(x_0,t_0)\ge
  u_\epsilon(x,t)$ f\"ur alle $(x,t)\in\Omega\times(0,t_0]$
  gilt. Sonst k\"onnen wir n\"amlich einen Punkt mit demselben
  Funktionswert zu einem fr\"uheren Zeitpunkt w\"ahlen, f\"ur den
  diese Ungleichung gilt. \par
  Wir erhalten in $(x_0,t_0)$ nach Wahl dieses Punktes die
  Ungleichungen $\dot u_\epsilon\ge0$, $(u_\epsilon)_i=0$ und
  $(u_\epsilon)_{ij}\preccurlyeq0$. Somit folgt \[0\le \dot
  u_\epsilon-a^{ij}(u_\epsilon)_{ij}-b^i(u_\epsilon)_i<0.\]
  Widerspruch.
\end{proof}

\section{Hilbertraummethoden}

\subsection{Die Laplacegleichung -- Eindeutigkeit}

Die Aussage des folgenden Theorems ist nicht neu, sie folgt auch schon
aus dem Maximumprinzip. Wir lernen hieran nur eine neue Methode
kennen, die Energiemethode.
\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Dann besitzt das Randwertproblem
  $$\begin{cases} -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
    }\partial\Omega \end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung in
  $C^2\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $u,\,\tilde u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ zwei L\"osungen.
  Definiere $w:=u-\tilde u$. Dann folgt
  $$\begin{cases} \Delta w=0&\text{in }\Omega,\\
  w=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$ Es folgt
  $$0=-\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w =\int\limits_\Omega|Dw|^2.$$
  Also gilt $Dw=0$ in $\Omega$. Somit ist $w$ konstant. Aufgrund der
  Randwerte folgt $w=0$. 
\end{proof}

\subsection{Die Laplacegleichung -- Schwache Existenz}

Wir benutzen Methoden der Funktionalanalysis, um eine
schwache L\"osung zu konstruieren.

\begin{definition}[Generalvoraussetzungen]\label{gen l2 vor}
\neueZeilealt
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^1$, $L$ ein elliptischer
Differentialoperator zweiter Ordnung in Divergenzform
$$Lu=-\left(a^{ij}(x)u_i\right)_j+b^i(x)u_i+d(x)u.$$
Wir machen folgende Annahmen
\begin{itemize}
\item gleichm\"a\ss{}ige Elliptizit\"at:
$$a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$$
f\"ur eine Konstante $\theta>0$.
\item Symmetrie: $a^{ij}=a^{ji}$.
\item Regularit\"at: $a^{ij}$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$,
   $f\in L^2(\Omega)$.
\item Koerzivit\"at: Es gibt $\beta>0$, so dass
   $$\int\limits_\Omega a^{ij}\phi_i\phi_j+b^i\phi_i\phi
   +d\phi^2\ge\beta\Vert\phi\Vert^2_{H^1_0(\Omega)}$$
   f\"ur alle $\phi\in H^1_0(\Omega)$ gilt.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{example}
Koerzivit\"at kann man beispielsweise wie folgt \"uberpr\"ufen.
Es gilt
$$\int\limits_\Omega a^{ij}\phi_i\phi_j+b^i\phi_i\phi+d\phi^2\ge
\int\limits_\Omega \theta|D\phi|^2-\frac12\epsilon|D\phi|^2
+\left(-\frac12\frac1\epsilon|b|^2+d\right)\phi^2.$$ W\"ahle nun
$\epsilon$, so dass $\theta-\frac12\epsilon>0$ ist.  Negative
quadratische Terme in $\phi$ lassen sich (m\"oglicherweise) mit Hilfe
der Poincar\'eungleichung ($\Vert u\Vert_{L^2}\le c\cdot \Vert
Du\Vert_{L^2}$) in die $|D\phi|^2-$Terme absorbieren. Benutze
schlie\ss{}lich die \"Aquivalenz der Normen $\Vert u\Vert_{H^{1,2}}$
und $\Vert Du\Vert_{L^2}$ auf $H^{1,2}_0$. 
\end{example}

\begin{remark}
Im Falle einer glatten L\"osung $u$ von $Lu=f$ bei glatten
Daten erhalten wir durch partielle Integration
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\phi_j+b^iu_i\phi+du\phi
=\int\limits_\Omega f\phi$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$. Gilt dies f\"ur alle Testfunktionen,
so folgt umgekehrt auch $Lu=f$. Durch Approximation sehen
wir, dass wir dieselbe Gleichheit erhalten, wenn nur
$\phi\in H^1_0(\Omega)$ gilt.
\end{remark}

Dies motiviert die folgende Definition einer schwachen L\"osung.
\begin{definition}[Schwache L\"osung]
Eine Funktion $u\in H^1_0(\Omega)$ hei\ss{}t schwache
L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega,\end{cases}$$
wenn f\"ur alle Funktionen $\phi\in H^1_0(\Omega)$
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\phi_j+b^iu_i\phi+du\phi
=\int\limits_\Omega f\phi$$
gilt.
\end{definition}

Wir wollen das folgende Theorem aus der Funktionalanalysis
benutzen. Es folgt direkt aus dem Rieszschen
Darstellungssatz, wenn die Bilinearform symmetrisch ist,
denn dann definiert die Bilinearform ein zum
Standardskalarprodukt \"aquivalentes Skalarprodukt
(im Sinne von \"aquivalenten Normen) und wir k\"onnen
hierauf direkt den Rieszschen Darstellungssatz anwenden.
\begin{theorem}[Lax-Milgram]
  Sei $H$ ein Hilbertraum, $B:H\times H\to\R$ bilinear, stetig, also
  $$|B[u,v]|\le\alpha\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert,$$
  und koerziv, also
  $$\beta\Vert u\Vert^2\le B[u,u],$$
  f\"ur Konstanten $\alpha$, $\beta>0$ und alle $u$, $v\in H$.  Sei
  $f\in H^*$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $u\in H$ mit
  $$B[u,v]=f(v)\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei zun\"achst $u\in H$ fest. Die Abbildung $v\mapsto B[u,v]$
    ist eine stetige lineare Abbildung.  Nach dem Rieszschen
    Darstellungssatz gibt es somit ein eindeutig bestimmtes $w\in H$,
    so dass
    $$B[u,v]=\langle w,v\rangle\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
    Wir setzen $Au:=w$.
  \item Wir behaupten, dass der Operator $A:H\to H$ linear und stetig
    ist.  Die Linearit\"at folgt aus der Bilinearit\"at von $B$.  Aus
    der Absch\"atzung
    $$\Vert Au\Vert^2=\langle Au,Au\rangle=B[u,Au]\le
    \alpha\Vert u\Vert\cdot\Vert Au\Vert$$ folgt die Stetigkeit von
    $A$.
  \item Der Operator ist injektiv, da $B$ koerziv ist, denn
    $$\beta\Vert u\Vert^2\le B[u,u]=\langle Au,u\rangle
    \le\Vert Au\Vert\cdot\Vert u\Vert$$ impliziert $\beta\Vert
    u\Vert\le\Vert Au\Vert$.
  \item Das Bild von $A$ ist ein abgeschlossener linearer Unterraum
    von $H$, da aufgrund der Absch\"atzung $\beta\Vert u\Vert\le\Vert
    Au\Vert$ eine Cauchyfolge im Bild von einer Cauchyfolge im Urbild
    herkommt.
  \item $A$ ist surjektiv. Sonst existiert n\"amlich ein $0\neq
    w\in(\Image A)^\perp$, da $\Image A$ ein abgeschlossener Unterraum
    ist und wir erhalten
    $$\beta\Vert w\Vert^2\le B[w,w]=\langle Aw,w\rangle=0.$$
    Somit haben wir nachgewiesen, dass $A$ ein Isomorphismus ist.
  \item Aufgrund des Rieszschen Darstellungssatzes gibt es ein $w\in
    H$ mit
    $$\langle w,v\rangle=f(v)\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
    Da $A$ ein Isomorphismus ist, ist $u:=A^{-1}w$ das gesuchte
    Element, denn es gilt \[B[u,v] =\langle Au,v\rangle =\langle
    w,v\rangle =f(v).\]
  \item $u\in H$ ist eindeutig bestimmt. Seinen n\"amlich $u$, $\tilde
    u\in H$ mit
    $$B[u,v]=f(v)\text{ und }B[\tilde u,v]=f(v)\text{ f\"ur alle }
    v\in H,$$ so folgt auch $B[u-\tilde u,v]=0$ f\"ur alle $v\in H$.
    Aufgrund der Koerzivit\"at erhalten wir damit insbesondere f\"ur
    $v:=u-\tilde u$
    $$0=B[u-\tilde u,u-\tilde u]\ge\beta\Vert u-\tilde u\Vert^2$$
    und es folgt $u=\tilde u$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{schw ex thm}
  Unter den Voraussetzungen von Definition \ref{gen l2 vor} existiert
  genau eine schwache L\"osung $u$ des Randwertproblems
  $$\begin{cases}Lu=f&\text{in }\Omega,\\
    u=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren $B:H^1_0(\Omega)\times H^1_0(\Omega)\to\R$ durch
  $$B[u,v]:=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv
  +duv.$$ Wir hatten vorausgesetzt, dass $B$ koerziv ist. Die
  Stetigkeit folgt aus der Be\-schr\"ankt\-heit der Koeffizienten und
  der Cauchyschen Ungleichung. Wir erhalten die Behauptung nun aus
  Lax-Milgram.
\end{proof}

\subsection{Die W\"armeleitungsgleichung}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit mit Energieabsch\"atzungen]
  \label{energie eind thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und sei $T>0$. Dann gibt es h\"ochstens eine L\"osung \[u\in
  C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)\] des Randwertproblems
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=g&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)),
  \end{cases}
  \]
  wobei wiederum $\mathcal P(\Omega\times(0,T)):=(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times(0,T))$ der parabolische Rand ist und $g$
  als Einschr\"ankung von $u$ definiert ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Differenz $w$ zweier solcher L\"osungen erf\"ullt 
  \[
  \begin{cases}
    \dot w=\Delta w&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    w=0&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)).
  \end{cases}
  \]
  Definiere \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t),\quad 0\le t\le T.\]
  Es gilt \[\frac d{dt}e(t)=2\int\limits_\Omega w\cdot\dot w
  =2\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w =-2\int\limits_\Omega|Dw|^2\le
  0.\] Damit ist $e(t)\le e(0)=0$ und wir erhalten $w=0$ in
  $\Omega\times[0,T]$. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und sei $T>0$. Sei $u\in C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$
  eine L\"osung des Randwertproblems
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=0 &\text{auf }\partial\Omega\times(0,T). 
  \end{cases}
  \]
  Dann f\"allt $\Vert u(\cdot,t)\Vert_{L^2}$ exponentiell schnell ab. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere wieder $e(t):=\Vert u(\cdot,t)\Vert^2_{L^2}$. Setze
  \[\lambda:=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\not\equiv0}{u\in
      H^1_0(\Omega)}} \frac{\int\limits_\Omega|Du|^2}
  {\int\limits_\Omega|u|^2}.\] Aufgrund der Poincar\'eschen
  Ungleichung gilt $\lambda>0$. Mit Hilfe der Rechnung aus Theorem
  \ref{energie eind thm} erhalten wir \[\dt
  e(t)=-2\int\limits_\Omega|Du|^2\le -2\lambda\int\limits_\Omega |u|^2
  =-2\lambda e(t).\] Wir erhalten den behaupteten exponentiellen
  Abfall: $\Vert u(\cdot,t)\Vert_{L^2}\le e^{-\lambda t}\Vert
  u(\cdot,0)\Vert_{L^2}$.
\end{proof}

\subsection{Die Wellengleichung}
\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  \label{wellen gl eind thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$, und $0<T<\infty$. Sei $u\in
  C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung des
  Anfangswertproblems
  \[
  \begin{cases}
    u_{tt}-\Delta u=f&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=g&\text{auf }(\partial\Omega\times(0,T)) \cup(\Omega\times\{0\}),\\
    u_t=h&\text{auf }\Omega\times\{0\}. 
  \end{cases}
  \]
  Dann ist $u$ die einzige L\"osung mit dieser Differenzierbarkeit.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\tilde u$ eine weitere solche L\"osung. Definiere $w:=u-\tilde
  u$ und die Energie \[e(t):=\frac12\int\limits_\Omega w_t^2(x,t)
  +|Dw(x,t)|^2\,dx\] f\"ur $0\le t<T$. Es gilt mit partieller
  Integration und aufgrund der Differentialgleichung \[\frac d{dt}e(t)
  =\int\limits_\Omega w_t\cdot w_{tt} +\langle Dw,Dw_t\rangle\,dx
  =\int\limits_\Omega w_t(w_{tt}-\Delta w)\,dx=0.\] Randterme treten
  bei der partiellen Integration nicht auf, denn aus $w=0$ auf
  $\partial\Omega\times(0,T)$ folgt dort auch $w_t=0$. Somit gilt
  $e(t)=e(0)=0$ aufgrund der gleichen Anfangsdaten; es ist
  $w(\cdot,0)=0$. Wir erhalten $w_t=0$ und $Dw=0$. Also folgt $w=0$
  und daher $u=\tilde u$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Energieerhaltung]
  Sei $u\in C^3_c(\R^n\times[0,T])$ eine L\"osung von
  $u_{tt}=\Delta u$ in $\R^n\times[0,T]$ mit $T>0$. Dann
  ist \[e(t):=\int\limits_{\R^n} |u_t|^2(\cdot,t)+|\nabla
  u|^2(\cdot,t)\] unabh\"angig von $t$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt aufgrund der Differentialgleichung und mit partieller
  Integration \[\dt e(t)=\int\limits_{\R^n}2u_tu_{tt}+2\langle\nabla
  u,\nabla u_t\rangle =\int\limits_{\R^n}2u_t\Delta u-2\Delta u
  u_t=0.\qedhere\] 
\end{proof}

\begin{theorem}[Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit]
  \label{endl ausbr geschw thm}
  Sei $u\in C^2$ eine L\"osung von \[u_{tt}-\Delta u=0\quad\text{in
  }\R^n\times(0,\infty).\] Sei $x_0\in\R^n$ und sei $t_0>0$. Gilt
  $u\equiv u_t\equiv 0$ in $B_{t_0}(x_0)\times\{0\}$, so folgt
  $u\equiv 0$ im Kegel \[C:=\{(x,t)\,:\,0\le t\le t_0,\, |x-x_0|\le
  t_0-t\}.\]   
\end{theorem}
Durch Betrachten der Differenz erhalten wir: Besitzen zwei L\"osungen
(entsprechender Regularit\"at)
gleiche Anfangswerte in $B_{t_0}(x_0)$, so stimmen diese in $C$
\"uber\-ein. 
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
  \[e(t):=\frac12\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)} u_t^2(x,t)
  +|Du(x,t)|^2\,dx\] f\"ur $0\le t\le t_0$.  Das Integrationsgebiet
  ist zeitabh\"angig. Daher benutzt man zum Differenzieren
  beispielsweise \[\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)}\ldots
  =\int\limits_0^{t_0-t}\int\limits_{\partial B_\rho(x_0)}\ldots\,
  d\mathcal H^{n-1}\,d\rho.\] Es gilt f\"ur $0\le t\le t_0$ 
  \begin{align*}
    \frac d{dt}e(t) =&\,\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)} u_tu_{tt}
    +\langle Du,Du_t\rangle -\frac12\int\limits_{\partial
      B_{t_0-t}(x_0)} \left(u_t^2+|Du|^2\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)}u_t(u_{tt}-\Delta u)
    +\int\limits_{\partial B_{t_0-t}(x_0)} \fracp u\nu u_t
    -\frac12\int\limits_{\partial
      B_{t_0-t}(x_0)}\left(u_t^2+|Du|^2\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\partial B_{t_0-t}(x_0)} \left(\fracp u\nu u_t
    -\frac12u_t^2 -\frac12|Du|^2\right)\le0,\umbruch
    \intertext{denn es gilt}
    \left|\fracp u\nu u_t\right|\le&\,|Du|\cdot|u_t|
    \le\frac12|u_t|^2 +\frac12|Du|^2. 
  \end{align*}
  Somit ist $e(t)\le0$ f\"ur alle $0\le t<t_0$. Wie im 
  letzten Beweis gelten daher $u_t=0$ und $Du=0$ in $C$. Somit folgt
  in der Menge $C$ die Behauptung $u=0$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  F\"ur L\"osungen $u\in C^2$ der gleichm\"a\ss{}ig hyperbolischen
  Differentialgleichung \[u_{tt}=a^{ij}u_{ij} +b^iu_i +du \quad
  \text{in }\R^n\times(-\infty,\infty),\] deren Koeffizienten
  $a^{ij},\,b^i,\,d$ samt ihren ersten Ableitungen (bez\"uglich $x$
  und $t$) gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt sind, kann man ebenfalls
  zeigen, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit endlich ist, indem
  man \[e(t)=\frac12\int\limits_{B_{\gamma(t_0-t)}} e^{-\mu t}
    (u_t^2+a^{ij}u_iu_j+\kappa u^2)\] f\"ur geeignete
    $\gamma,\,\mu,\,\kappa\in\R$ betrachtet.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\section{Die Darstellungsformel f\"ur die W\"armeleitungsgleichung}

\begin{remark}[Physikalische Herleitung]
  Ist der W\"armefluss proportional zu $-Du$, so erhalten wir f\"ur
  beliebige $C^1$-Gebiete $V$ und die Temperatur $u$ aus der
  \"Anderung der W\"armemenge in
  $V$ \[\dt\int\limits_Vu=\int\limits_{\partial\Omega}\langle
  Du,\nu\rangle =\int\limits_V\Delta u.\] Somit gilt $\dot u=\Delta
  u$. 
\end{remark}

\begin{definition}
  Die Funktion 
  \[\Phi(x,t):=\frac1{(4\pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}\]
  f\"ur $x\in\R^n$ und $t>0$ hei\ss{}t Fundamentall\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung $\dot u=\Delta u$. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die Funktion $\Phi$ erf\"ullt die W\"armeleitungsgleichung. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[w(x,t):=t^{-n/2} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}.\] 
  Dann gelten
  \begin{align*}
    \dot w=&\,-\frac n2 t^{-n/2-1}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}
    +\frac{|x|^2}{4t^2}t^{-\frac n2}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}
    =\left(-\frac n{2t} +\frac{|x|^2}{4t^2}\right)w,\umbruch\\
    w_i=&\,-\frac{2x_i}{4t}w=-\frac{x_i}{2t}w,\umbruch\\
    w_{ij}=&\,\left(\frac{x_ix_j}{4t}-\frac{\delta_{ij}}{2t}\right)
    w,\umbruch\\
    \Delta w=&\,\left(\frac{|x|^2}{4t}-\frac n{2t}\right)w =\dot
    w.\\[-2.5ex]
    &\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Die Normierung in der Definition der Fundamentall\"osung erkl\"art
sich aus dem folgenden 
\begin{lemma}
  \label{normierung heat kernel lem}
  F\"ur jedes $t>0$ gilt \[\int\limits_{\R^n}\Phi(\cdot,t)=1.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus der Analysis ist bekannt, dass
  \begin{align*}
    \left(\int\limits_\R e^{-x^2}\,dx\right)^2 =&\,\int\limits_{\R^2}
    e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dx\,dy =\int\limits_0^\infty
    e^{-r^2}2\pi r\,dr\umbruch\\
    =&\,-\pi\int\limits_0^\infty \frac d{dr} e^{-r^2}\,dr =\pi
  \end{align*}
  gilt. Wir haben in der Rechnung Polarkoordinaten benutzt. \par Mit
  der Variablentransformation $z=\frac x{\sqrt{4t}}$ und
  \glqq$dx^i=\sqrt{4t}\,dz^i$\grqq{} erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_{\R^n}\Phi(x,t)\,dx =&\,\frac1{(4\pi
      t)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}\,dx
    =\frac1{\pi^{n/2}}\int\limits_{\R^n} e^{-|z|^2}\,dz\umbruch\\
    =&\,\frac1{\pi^{n/2}}\int\limits_{\R^n}
    e^{-(z^1)^2}\cdot\ldots\cdot e^{-(z^n)^2}\,dz
    =\left(\frac1{\sqrt\pi}\int\limits_\R e^{-x^2}\,dx\right)^n=1.
    \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Mit Hilfe der Fundamentall\"osung k\"onnen wir das Anfangswertproblem
f\"ur die W\"armeleitungsgleichung auf dem $\R^n$ l\"osen. 
\begin{theorem}
  \label{heat eq fund sol thm}
  Sei $g\in L^\infty\left(\R^n\right)\cap
  C^0\left(\R^n\right)$. Definiere \[u(x,t):=\int\limits_{\R^n}
  \Phi(x-y,t)g(y)\,dy   
  \equiv\frac1{(4\pi t)^{n/2}}
  \int\limits_{\R^n}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}} g(y)\,dy\] f\"ur
  $x\in\R^n$ und $t>0$. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^\infty\left(\R^n\times(0,\infty)\right)$, 
  \item $\dot u-\Delta u=0$ in $\R^n\times(0,\infty)$ und
  \item $\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,t)\to(x_0,0),}
      {x\in\R^n,\,t>0}}u(x,t)=g(x_0)$ f\"ur beliebige Punkte
    $x_0\in\R^n$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Die Funktion
    $(x,t)\mapsto\frac1{t^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}$ ist in
    $C^\infty$ und s\"amtliche Ableitungen sind auf
    $\R^n\times[\delta,\infty)$ f\"ur beliebiges $\delta>0$
    gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. F\"ur $|x|\to\infty$ fallen die
    Funktion $\Phi$ und s\"amtliche Ableitungen schnell genug ab, so
    dass $u\in C^\infty\left(\R^n\times(0,\infty)\right)$ gilt und die
    Ableitungen durch Ableitungen des Integrationskernes $\Phi$
    dargestellt sind. (Details: \"Ubung.) \par Wir erhalten \[\dot
    u(x,t)-\Delta u(x,t) =\int\limits_{\R^n}
    \left(\dot\Phi-\Delta_x\Phi\right)(x-y,t)\cdot g(y)\,dy =0,\] da
    $\Phi$ die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt.
  \item Sei $x_0\in\R^n$ beliebig. Sei $\epsilon>0$. W\"ahle
    $\delta>0$, so dass $|g(y)-g(x_0)|<\epsilon$ f\"ur alle $y\in\R^n$
    mit $|y-x_0|<\delta$ gilt. Gelte $|x-x_0|<\frac\delta2$.  Dann
    erhalten wir nach Lemma \ref{normierung heat kernel lem}
    \begin{align*}
      |u(x,t)-g(x_0)| =&\,\left|\,\,\int\limits_{\R^n}
        \Phi(x-y,t)(g(y)-g(x_0))\,dy\right|\umbruch\\
      \le&\,\underbrace{\int\limits_{B_\delta(x_0)}
        \Phi(x-y,t)\underbrace{|g(y)-g(x_0)|}_{\le
          \epsilon}\,dy}_{\le\epsilon}\\
      &\qquad+\int\limits_{\R^n\setminus B_\delta(x_0)} \Phi(x-y,t)
      |g(y)-g(x_0)|\,dy.
    \end{align*}
    Aus $|x-x_0|\le\frac\delta2$ schlie\ss{}en wir f\"ur $y$ mit
    $|y-x_0|\ge\delta$ \[|y-x_0|\le|y-x|
    +\underbrace{|x-x_0|}_{\le\frac\delta 2}\le
    |y-x|+\frac12|y-x_0|.\] Also ist $|y-x|\ge\frac12|y-x_0|$ und wir
    erhalten
    \begin{align*}
      |u(x,t)-g(x_0)|\le&\,\epsilon+2\Vert g\Vert_{L^\infty}\cdot
      \int\limits_{\R^n\setminus B_\delta(x_0)} \frac1{(4\pi t)^{n/2}}
      \cdot e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}\,dy\umbruch\\
      \le&\,\epsilon+\frac{2\Vert
        g\Vert_{L^\infty}}{(4\pi)^{n/2}}\cdot\int\limits_{\R^n\setminus
        B_\delta(x_0)} \frac1{t^{n/2}} \cdot
      e^{-\frac{|y-x_0|^2}{16t}}\,dy\umbruch\\
      =&\,\epsilon+\frac{2\Vert
        g\Vert_{L^\infty}}{(4\pi)^{n/2}}\cdot
      \int\limits_\delta^\infty
      \frac1{t^{n/2}} \cdot
      e^{-\frac{r^2}{16t}}\cdot n\cdot\omega_n\cdot r^{n-1}\,dr
      \umbruch\\ 
      \to&\,\epsilon+0      
    \end{align*}
    f\"ur $t\searrow0$. Beachte dazu,
    dass \[e^{-\frac{r^2}{16t}}=e^{-\frac{r^2}{32t}}\cdot
    e^{-\frac{r^2}{32t}} \le e^{-\frac{\delta^2}{32t}}\cdot
    e^{-\frac{r^2}{32}}\] f\"ur $0<t\le 1$ gilt. Benutze nun den
    $r$-abh\"angigen Faktor um die Endlichkeit des Integrals zu
    zeigen. Der $t$-abh\"angige Faktor sorgt dann f\"ur die
    Konvergenz. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Auch f\"ur $\dot u-\Delta u=f$ bekommen wir eine L\"osung. Wir
k\"onnen hier den Fall $u(\cdot,0)=0$ behandeln und f\"ur andere
Anfangswerte die L\"osung aus Theorem \ref{heat eq fund sol thm}
addieren. 
\begin{theorem}
  Sei $f\in C^{2;1}_c(\R^n\times[0,\infty))$. Definiere
  \begin{align*}
    u(x,t):=&\,\int\limits_0^t \int\limits_{\R^n} \Phi(x-y,t-s)\cdot
    f(y,s)\,dy\,ds\umbruch\\
    \equiv&\,\int\limits_0^t\frac1{(4\pi(t-s))^{n/2}}
    \cdot\int\limits_{\R^n} e^{-\frac{|x-y|^2}{4(t-s)}}\cdot
    f(y,s)\,dy\,ds. 
  \end{align*}
  Dann gelten 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^{2;1}_{loc}\left(\R^n\times(0,\infty)\right)$,
  \item $\dot u-\Delta u=f$ in $\R^n\times(0,\infty)$ und
  \item $\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,t)\to(x_0,0),}
      {x\in\R^n,\,t>0}} u(x,t)=0$ f\"ur beliebige $x_0\in\R^n$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Funktion $\Phi$ ist in $(0,0)$ singul\"ar. Daher gehen wir
    \"ahnlich wie in Theorem \ref{f C2 repr thm} vor. \par Mit Hilfe
    einer Variablentransformation erhalten
    wir \[u(x,t)=\int\limits_0^t \int\limits_{\R^n}\Phi(y,s)\cdot
    f(x-y,t-s)\,dy\,ds.\] Es gilt $f\in C^{2;1}_c$. Nach dem Satz von
    der dominierten Konvergenz d\"urfen wir unter dem Integral
    differenzieren und erhalten f\"ur $t>0$
    \begin{align*}
      \dot u(x,t)=&\,\int\limits_0^t \int\limits_{\R^n} \Phi(y,s)\cdot
      \fracp ft(x-y,t-s)\,dy\,ds +\int\limits_{\R^n}\Phi(y,t)\cdot
      f(x-y,0)\,dy,\umbruch\\
      u_{ij}(x,t)=&\,\int\limits_0^t \int\limits_{\R^n} \Phi(y,s)\cdot
      \fracp{^2f}{x^ix^j}(x-y,t-s)\,dy\,ds. 
    \end{align*}
    Eine analoge Formel gilt auch f\"ur die ersten Ableitungen von
    $u$. Somit ist $u\in C^{2;1}_{loc}$. 
  \item Aus den obigen Formeln f\"ur Ableitungen von $u$ erhalten wir
    f\"ur $t>0$
    \begin{align*}
      (\dot u-\Delta u)(x,t)=&\,\int\limits_0^t \int\limits_{\R^n}
      \Phi(y,s)\left\{\left(\fracp{}t-\Delta_x\right)
        f(x-y,t-s)\right\}\,dy\,ds\\
      &\,+\int\limits_{\R^n} \Phi(y,t)\cdot f(x-y,0)\,dy\umbruch\\
      =&\,\int\limits_\epsilon^t \int\limits_{\R^n}
      \Phi(y,s)\left\{\left(-\fracp{}s-\Delta_y\right)
        f(x-y,t-s)\right\}\,dy\,ds\\
      &\,+\int\limits_0^\epsilon \int\limits_{\R^n}
      \Phi(y,s)\left\{\left(-\fracp{}s-\Delta_y\right)
        f(x-y,t-s)\right\}\,dy\,ds\\
      &\,+\int\limits_{\R^n}\Phi(y,t)\cdot f(x-y,0)\,dy\umbruch\\
      \equiv&\,I_\epsilon +J_\epsilon +K.
    \end{align*}
    Es gilt nach Lemma \ref{normierung heat kernel
      lem} \[|J_\epsilon|\le \Vert f\Vert_{C^{2;1}}
    \cdot\int\limits_0^\epsilon \int\limits_{\R^n} \Phi(y,s)\,dy\,ds
    \le c\epsilon.\] F\"ur positive Zeiten ist $\Phi$ regul\"ar und
    $f$ hat kompakten Tr\"ager. Somit erhalten wir mit partieller
    Integration in beiden Variablen
    \begin{align*}
      I_\epsilon=&\,\int\limits_\epsilon^t \int\limits_{\R^n}
      \underbrace{\left\{\left(\fracp{}s-\Delta_y\right)
          \Phi(y,s)\right\}}_{=0}\cdot
      f(x-y,t-s)\,dy\,ds\\
      &\,+\int\limits_{\R^n}\Phi(y,\epsilon)\cdot
      f(x-y,t-\epsilon)\,dy
      \underbrace{-\int\limits_{\R^n}\Phi(y,t)\cdot f(x-y,0)\,dy.}_{=-K}
    \end{align*}
    Kombinieren wir dies, so erhalten wir f\"ur $t>0$
    \[\dot u(x,t)-\Delta u(x,t)=\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
    \int\limits_{\R^n}\Phi(y,\epsilon)\cdot f(x-y,t-\epsilon)\,dy
    =f(x,t).\]
    Dabei folgt die letzte Gleichheit wie im Beweis von Theorem
    \ref{heat eq fund sol thm}. 
  \item Aus $\Vert u(\cdot,t)\Vert_{L^\infty}\le t\cdot\Vert
    f\Vert_{L^\infty}\to 0$ f\"ur $t\searrow 0$ folgt die letzte
    Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Selbst das Anfangswertproblem 
    \[
    \begin{cases}
      \dot u=\Delta u &\text{in }\R^n\times(0,\infty),\\
      u(\cdot,t)\to 0 &\text{in }C^0_{loc}\text{ f\"ur }t\searrow0
    \end{cases}
    \]
    ist nicht eindeutig l\"osbar. 
  \item Bei der in Theorem \ref{heat eq fund sol thm} angegebenen
    L\"osung der W\"armeleitungsgleichung gilt \[\Vert
    u(\cdot,t)\Vert_{L^\infty}\le \Vert u(\cdot,0)\Vert_{L^\infty},\]
    wenn wir $u$ stetig bis $t=0$ fortsetzen.
  \item Da $\Phi$ \"uberall positiv ist, besitzt die
    W\"armeleitungsgleichung eine unendliche
    Ausbreitungsgeschwindigkeit: Addition einer nicht-negativen
    Funktion $0\not\equiv s_0\in C^0_c(B_1(0))$ vergr\"o\ss{}ert
    $u(x,t)$ f\"ur alle $x\in\R^n$ und alle $t>0$ f\"ur die aus der
    Faltung mit $\Phi$ entstandenen L\"osung $u$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\section{Die Wellengleichung}

% % Diese Herleitung verstehe ich nicht mehr
% \begin{remark}[Physikalische Herleitung]
%   Sei $u$ die Verschiebung. Ist die R\"uckstellkraft (Hookesches
%   Gesetz) auf einen K\"orper $V$ lokal proportional zur
%   Normalenkomponente von $Du$ auf dem Rand, so folgt aus
%   \glqq$F=ma=m\ddot x$\grqq{} \[\int\limits_Vu_{tt}
%   =\frac{d^2}{dt^2}\int\limits_Vu =-\int\limits_{\partial V}\langle
%   Du,\nu\rangle =\int\limits_V\Delta u\] und damit die Wellengleichung
%   $u_{tt}=\Delta u$.
% \end{remark}

% Eine schnelle Herleitung benutze die Kontinuit\"atsgleichung $\dot
% u+\divergenz\phi=0$ und $\dot\phi=-\Delta u$, wobei $u$ die Dichte
% und $\phi$ die Impulsdichte sind. 

% Die folgende physikalische Herleitung liefert nur eindimensional
% eine lineare Gleichung. H\"oherdimensional m\"usste man die Wurzeln
% f\"ur die Abst\"ande nach Pythagoras und dergleichen mit Taylor
% approximieren. Dies funktioniert jedoch nur gut, wenn man die
% \"Anderung jeder kleinen Feder im Verh\"altnis zu ihrer L\"ange
% klein h\"alt. Jedoch m\"ochte man zumindest um einen festen Anteil
% der Federl\"ange auslenken k\"onnen, weil man sonst makroskopisch
% keine Deformation mehr sieht. Daher habe ich dies h\"oherdimensional
% nicht ausgef\"uhrt. 

\begin{remark}[Physikalische Herleitung]
  Die folgende Herleitung funktioniert eindimensional gut. 
  Ohne genaue Erkl\"arung benutzen wir die aus dem Schulunterricht
  Physik \"ubliche Notation. \par
  Wir betrachten Federn mit gleichen Massest\"ucken zwischen ihnen,
  die in einer Reihe hintereinander liegen und miteinander verbunden
  sind. Das Hookesche Gesetz lautet $F=D\cdot\Delta l$. Integration
  liefert f\"ur die Energie $E=\int\limits_0^{\Delta l}
  F=\frac12D(\Delta l)^2$. Wir wollen nun sehen, wie sich die
  Federkonstante \"andern muss, wenn wir die Feder gedanklich in
  kleinere Federn zerlegen, die jedoch den gleichen Effekt wie die
  urspr\"ungliche Feder haben sollen. Da sich die gespeicherte Energie
  nicht \"andert, gilt f\"ur die Federkonstanten $D(1)$ einer solchen
  Feder der L\"ange $1$ und der Federkonstanten $D(1/2)$ einer solchen
  Feder der L\"ange $1/2$ wegen \[E=\frac12D(1)(\Delta l)^2 =\frac12
  D(1/2)\cdot\left(\frac{\Delta l}2\right)^2\cdot 2\] die Beziehung
  $D(1)=D(1/2)\cdot\frac12$. Entsprechend erhalten wir
  $D(l/N)=ND(l)\equiv ND$. Sei $u(k)=u(k,t)$ die Auslenkung an der
  Stelle $k$. Dann erhalten wir wegen $F=ma$ und da sich die Kraft auf
  die Stelle $k$ zwischen zwei Federn als Differenz der Kr\"afte nach
  rechts und nach links ergibt
  \begin{align*}
    \frac mN\ddot u(k)=&\,F(k) =D\left(\frac
      lN\right)\left[u\left(k+\frac ln\right) -u(k)\right]
    -D\left(\frac lN\right)\left[u(k)-u\left(k-\frac
        lN\right)\right]\umbruch\\ =&\,D(l)\frac{u\left(k+\frac
        lN\right)-2u(k) +u\left(k-\frac lN\right)}{\frac 1N}. 
  \end{align*}
  Mit $N\to\infty$ erhalten wir rechts im Grenzwert die zweite
  Ableitung von $u$, also insgesamt \[m\ddot u=D(l)u_{xx}.\] 
\end{remark}

\begin{lemma}[L\"osung der eindimensionalen Wellengleichung]
  \label{eindim wellen lem}
  Seien $g\in C^2_{loc}(\R)$ und $h\in C^1_{loc}(\R)$. Dann ist das
  Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    u_{tt}-u_{xx}=0&\text{in }\R\times(-\infty,\infty),\\
    u(\cdot,0)=g&\text{auf }\R,\\
    u_t(\cdot,0)=h&\text{auf }\R
  \end{cases}
  \]
  l\"osbar und es gilt 
  \[u(x,t)=\frac12[g(x+t)+g(x-t)]
  +\frac12\int\limits_{x-t}^{x+t}h(y)\,dy.\]   
\end{lemma}
Interessanter als diese Formel ist jedoch, dass man dies auf das
L\"osen von zwei Transportgleichungen zur\"uckf\"uhren kann,
da \[\left(\fracp{}t-\fracp{}x\right)\left(\fracp{}t+\fracp{}x\right)u
=u_{tt}-u_{xx}\] gilt. So leitet man auch die obige Formel her.
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus
  \begin{align*}
    u_t(x,t)=&\,\tfrac12(g'(x+t)-g'(x-t))
    +\tfrac12(h(x+t)+h(x-t)),\umbruch\\ 
    u_{tt}(x,t)=&\,\tfrac12(g''(x+t)+g''(x-t))
    +\tfrac12(h'(x+t)-h'(x-t)),\umbruch\\ 
    u_x(x,t)=&\,\tfrac12(g'(x+t)+g'(x-t))
    +\tfrac12(h(x+t)-h(x-t)),\umbruch\\ 
    u_{xx}(x,t)=&\,\tfrac12(g''(x+t)+g''(x-t))
    +\tfrac12(h'(x+t)-h'(x-t)).\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{drei dim wellen gl thm}
  Sei $u\in C^2_{loc}\left(\R^3\times(-\infty,\infty)\right)$ eine
  L\"osung von 
  \[
  \begin{cases}
    u_{tt}-\Delta u=0&\text{in }\R^3\times(-\infty,\infty),\\
    u(\cdot,0)=g&\text{auf }\R^3,\\
    u_t(\cdot,0)=h&\text{auf }\R^3
  \end{cases}
  \]
  mit $g\in C^3_{loc}\left(\R^3\right)$ und $h\in
  C^2_{loc}\left(\R^3\right)$. Dann gilt f\"ur $t>0$ die
  Kirchhoffsche Formel
  \[u(x,t)=\fint\limits_{\partial B_t(x)} th(y)+g(y)+\langle
  Dg(y),y-x\rangle\,dy.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Herleitung der Kirchhoffschen Formel]
  Statt das Theorem direkt zu beweisen leiten wir die Formel
  her. Dabei spezialisieren wir am Anfang noch nicht auf den Fall
  $n=3$. Setze \[U(x,r,t):=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y,t)\,dy,\]
  sowie \[G(x,r):=\fint\limits_{\partial B_r(x)}g(y)\,dy
  \quad\text{und}\quad H(x,r):=\fint\limits_{\partial
    B_r(x)}h(y)\,dy.\] Dann gelten $U(x,r,0)=G(x,r)$,
  $U_t(x,r,0)=H(x,r)$ f\"ur alle $x\in\R^n$ und alle $r>0$ sowie die
  Euler-Poisson-Darboux Gleichung
  \begin{equation}
    \label{eul poi dar eq}
    U_{tt}-U_{rr}-\tfrac{n-1}rU_r=0\quad\text{f\"ur
    }(x,r,t)\in\R^n\times(0,\infty)^2.
  \end{equation}
  F\"ur die Herleitung von \eqref{eul poi dar eq} sei an
  $|B_r|=\omega_nr^n$, $|\partial B_r|=n\omega_nr^{n-1}$ erinnert. Wir
  werden mehrfach die Variablentransformation $y=x+rz$ mit
  \glqq$dy^i=r\,dz^i$\grqq{} verwenden.  Es gilt
  \begin{align*}
    U(x,r,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y,t)\,dy
    =\frac1{|\partial B_1|} \cdot \int\limits_{\partial B_1(0)}
    u(x+rz,t)\,dz,\umbruch\\ U_r(x,r,t)=&\,\frac1{|\partial B_1|}
    \cdot\int\limits_{\partial B_1(0)} \langle Du(x+rz,t),z\rangle\,dz\\
    =&\,\frac1{|\partial B_1|\cdot r^{n-1}} \cdot
    \int\limits_{\partial B_r(x)} \left\langle
      Du(y,t),\tfrac{y-x}r\right\rangle
    \,dy\umbruch\\
    =&\,\frac1{|\partial B_r|}\cdot \int\limits_{B_r(x)}\Delta
    u(y,t)\,dy =\frac{|B_r|}{|\partial B_r|}\cdot\fint\limits_{B_r(x)}
    \Delta u(y,t)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac rn\fint\limits_{B_r(x)}\Delta u(y,t)\,dy =\frac rn
    \frac1{\omega_nr^n}\int\limits_{B_r(x)} \Delta
    u(y,t)\,dy\umbruch\\ =&\,\frac r{n|B_1|}\int\limits_{B_1(0)}
    \Delta u(x+rz,t)\,dz,\umbruch \intertext{wobei wir die letzten
      Schritte nur zum Weiterrechnen ben\"otigen.}
    U_{rr}(x,r,t)=&\,\frac1n\cdot \fint\limits_{B_r(x)}\Delta
    u(y,t)\,dy +\frac r{n|B_1|}\cdot \int\limits_{B_1(0)} \langle
    D\Delta
    u(x+rz,t),z\rangle\,dz\umbruch\\
    =&\,\frac1n\cdot\underbrace{\fint\limits_{B_r(x)}\Delta
      u(y,t)\,dy}_{\equiv I} +\frac r{n|B_r|}
    \cdot\int\limits_{B_r(x)} \left\langle D\Delta
      u(y,t),\tfrac{y-x}r\right\rangle\,dy.
  \end{align*}
  Den letzten Integranden schreiben wir k\"unstlich als
  Divergenz \[\divergenz_y\left(\tfrac{y-x}r\cdot\Delta u(y,t)\right)
  =\frac nr\cdot\Delta u(y,t) +\left\langle D\Delta
    u(y,t),\tfrac{y-x}r\right\rangle. \] Damit erhalten wir
  \begin{align*}
    U_{rr}(x,r,t)=&\,\frac In +\frac
    r{n|B_r|}\cdot\int\limits_{B_r(x)}
    \divergenz_y\left(\tfrac{y-x}r\cdot\Delta u(y,t)\right) -\frac
    nr\cdot\Delta u(y,t)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac In +\underbrace{\frac {r|\partial
        B_r|}{n|B_r|}}_{=1}\cdot \frac1{|\partial
      B_r|}\cdot\int\limits_{\partial B_r(x)} \Delta
    u(y,t)\,dy-\frac1{|B_r|}\cdot\int\limits_{B_r(x)} \Delta
    u(y,t)\,dy\umbruch\\ =&\,\fint\limits_{\partial B_r(x)} \Delta
    u(y,t)\,dy -\left(1-\frac1n\right)\cdot\fint\limits_{B_r(x)}
    \Delta u(y,t)\,dy.
  \end{align*}
  Damit erhalten wir
  \begin{align*}
    U_{tt}-U_{rr}-\frac{n-1}rU_r=&\, \fint\limits_{\partial B_r(x)}
    u_{tt} -\fint\limits_{\partial B_r(x)}\Delta u
    +\left(1-\frac1n\right)\cdot\fint\limits_{B_r(x)}\Delta u\\
    &\,-\frac{n-1}r\cdot\frac rn\cdot\fint\limits_{B_r(x)}\Delta u=0,
  \end{align*}
  da $u$ die Wellengleichung erf\"ullt. \par
  Sei nun speziell $n=3$. Wir fixieren $x\in\R^n$ und unterdr\"ucken
  die Abh\"angigkeit von $x$ in der Notation. Definiere $\tilde
  U(r,t)\equiv\tilde U(x,r,t):= rU(x,r,t)$, $\tilde G(r)\equiv\tilde
  G(x,r):= rG(x,r)$ und $\tilde H(r)\equiv\tilde
  H(x,r):=rH(x,r)$. Dann gilt
  \[
  \begin{cases}
    \tilde U_{tt}-\tilde U_{rr}=0&\text{in }(0,\infty)^2,\\
    \tilde U(\cdot,0)=\tilde G&\text{auf }(0,\infty),\\
    \tilde U_t(\cdot,0)=\tilde H&\text{auf }(0,\infty),\\
    \tilde U=0&\text{auf }\{0\}\times(0,\infty).
  \end{cases}
  \]
  Lediglich die erste Gleichung ist nichttrivial. Sie folgt aus
  \eqref{eul poi dar eq} und $n=3$:
  \begin{align*}
    \tilde U_{tt}-\tilde U_{rr} =&\,rU_{tt} -(rU)_{rr}
    =r\left(U_{rr}+\tfrac{2}rU_r\right)
    -(U+rU_r)_r\umbruch\\
    =&\,rU_{rr} +2U_r -U_r-U_r-rU_{rr}=0.
  \end{align*}
  Man kann nun analog zum Beweis von Lemma \ref{eindim wellen lem}
  vorgehen und eine Spiegelungstechnik mit ungerade gespiegelten
  Anfangsdaten $\tilde G$ und $\tilde H$ benutzen. Nehme an, dass
  $\tilde G$ und $\tilde H$ entsprechend gespiegelt sind. Dies
  liefert \[\tilde U(r,t)=\frac12\left(\tilde G(r+t)-\tilde
    G(t-r)\right) +\frac12\int\limits_{t-r}^{t+r}\tilde
  H(\rho)\,d\rho.\] Alternativ rechnet man direkt nach, dass dies eine
  L\"osung ist. Beachte dazu, dass $\tilde U_t(\cdot,0)=\tilde H$
  gilt, da $\tilde G_t$ eine gerade Funktion ist. \par
  Momentan ist nicht klar, dass es neben $\tilde U$ keine weitere
  L\"osung geben kann. Deshalb \"uberpr\"ufen wir im n\"achsten
  Abschnitt noch, dass die hergeleitete Formel tats\"achlich eine
  L\"osung liefert. Diese ist dann nach Theorem \ref{endl ausbr geschw
    thm} eindeutig bestimmt.  Nach Definition von $U$ gilt
  $u(x,t)=\lim\limits_{r\searrow0} U(x,r,t)$. Also erhalten wir
  \begin{align*}
    u(x,t)=&\,\lim\limits_{r\searrow0} \frac{\tilde U(x,r,t)}r\umbruch\\
    =&\,\lim\limits_{r\searrow0} \left\{\frac{\tilde G(x,t+r)-\tilde
        G(x,t-r)}{2r} +\frac1{2r}\cdot\int\limits_{t-r}^{t+r} \tilde
      H(x,\rho)\,d\rho \right\}\umbruch\\
    =&\,\fracp{\tilde G(x,t)}t +\tilde H(x,t) =t\fracp{G(x,t)}t
    +G(x,t)+t H(x,t).
  \end{align*}
  Rechnungen analog zu oben ergeben
  \begin{align*}
    G(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_t(x)}g(y)\,dy =\frac1{|\partial
      B_1|}\cdot \int\limits_{\partial B_1(0)}
    g(x+tz)\,dz,\umbruch\\
    \fracp{}tG(x,t)=&\,\frac1{|\partial
      B_1|}\cdot\int\limits_{\partial B_1(0)} \langle
    Dg(x+tz),z\rangle\,dz =\fint\limits_{\partial B_t(x)} \left\langle
      Dg(y),\tfrac{y-x}t\right\rangle\,dy.
  \end{align*}
  Zusammengenommen erhalten wir gerade die in Theorem \ref{drei dim
    wellen gl thm} behauptete Kirchhoffsche Formel. 
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis der Kirchhoffschen Formel]
  Sei $u$ wie in der Kirchhoffschen Formel definiert. Wir behaupten,
  dass $u$ dann eine $C^2$-L\"osung des Anfangswertproblems ist. Die
  Darstellungsformel folgt dann aus der eindeutigen L\"osbarkeit des
  Anfangswertproblems, die wir aus dem Satz \"uber die endliche
  Ausbreitungsgeschwindigkeit, Theorem \ref{endl ausbr geschw thm},
  erhalten.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir benutzen $y=x+tz$, $\fracp{y^i}{z^j}=t\delta^i_j$ und
    sp\"ater $t\fracp{}{x^i}g(x+tz) =\fracp{}{z^i}g(x+tz)$. Sei $n=3$.
  \item Es gilt
    \begin{align*}
      u(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_t(x)} th(y)+g(y) +\langle
      Dg(y),y-x\rangle\, dy\umbruch\\
      =&\,\frac{t^{n-1}}{n\omega_nt^{n-1}} \int\limits_{\partial
        B_1(0)} th(x+tz) +g(x+tz) +\langle D_xg(x+tz),tz\rangle\,
      dz\umbruch\\ 
      =&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} th(x+tz) +g(x+tz) +t\langle
      D_xg(x+tz),z\rangle \,dz,\umbruch\\
      u_t(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} h(x+tz) +t\langle
      D_xh(x+tz),z\rangle\\ &\,+\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      2\langle D_xg(x+tz),z\rangle +tD^2_xg(x+tz)\langle
      z,z\rangle\,dz.
    \end{align*}
    Damit sind $u$ und $u_t$ bis $t=0$ stetig und erf\"ullen dort
    $u=g$ und $u_t=h$. 
  \item Die Differentialgleichung werden wir nur f\"ur glatte
    Funktionen $g$ und $h$ nachrechnen. (Wir ben\"otigen f\"ur die
    Herleitung $g\in C^4_{loc}$ bzw.{} $h\in C^3_{loc}$.) Die
    Behaupung erhalten wir dann durch Approximation: Approximieren die
    glatten Funktionen $g_\epsilon$ und $h_\epsilon$ die Funktionen
    $g$ bzw.{} $h$ in $C^3_{loc}$ bzw.{} $C^2_{loc}$, so erf\"ullen
    (wie wir noch zeigen werden) die \"uber die Kirchhoffsche Formel
    definierten Funktionen $u_\epsilon$ die Wellengleichung. Es gilt,
    wie man direkt aus den noch folgenden Formeln f\"ur die
    Ableitungen von $u$ abliest, dass $u_\epsilon\to u$ in
    $C^2_{loc}\left(\R^n\times[0,\infty)\right)$ konvergiert. Damit
    erf\"ullt auch $u$ die Wellengleichung. 
  \item Seien $g,\,h\in C^\infty_{loc}\left(\R^n\right)$. Betrachte
    zun\"achst den Fall $g\equiv0$ und dann den Fall $h\equiv0$. Gilt
    in beiden F\"allen, dass die mit Hilfe der Kirchhoffschen Formel
    definierte Funktion $u$ die Wellengleichung erf\"ullt, so erhalten
    wir die Behauptung aus der Linearit\"at. Sei
    also \[u(x,t):=\fint\limits_{\partial B_t(x)} th(y)\,dy.\] Dann
    folgt
    \begin{align*}
      u(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} th(x+tz)\,dz,\umbruch\\
      u_t(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} h(x+tz) +t\langle
      D_xh(x+tz),z\rangle\,dz,\umbruch\\ 
      u_{tt}(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} 2\langle
      D_xh(x+tz),z\rangle +tD^2_xh(x+tz)\langle
      z,z\rangle\,dz,\umbruch\\ 
      u_{x^i}(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      th_{x^i}(x+tz)\,dz,\umbruch\\ 
      u_{x^ix^j}(x,t)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      th_{x^ix^j}(x+tz)\,dz.\umbruch\\ 
    \end{align*}
    Wir setzen $f(z):=h(x+tz)$. Wegen
    $t\fracp{}{x^i}h(x+tz)=\fracp{}{z^i}h(x+tz)$ ist $h_{x^i}(x+tz)
    =\frac1tf_i(z)$. Wir heben im Folgenden Indices mit Hilfe des
    Kroneckerdeltas um die Einsteinsche Summenkonvention anwenden zu
    k\"onnen. Es folgt
    \begin{align*}
      u_{tt}=&\,\frac1t\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      2f_iz^i+f_{ij}z^iz^j\,dz,\umbruch\\
      \Delta_xu=&\,\frac1t\fint\limits_{\partial B_1(0)}\Delta_z
      f\,dz =\frac1t\fint\limits_{\partial B_1(0)} \Delta_zf\cdot
      \underbrace{z^jz_j}_{=1}\,dz,\umbruch\\ 
      t(u_{tt}-\Delta_xu)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      \left(2f^j+f^j_iz^i -f^i_iz^j\right)z_j\,dz\umbruch\\
      =&\,\frac1{n\omega_n}\int\limits_{B_1(0)} 
      \left(2f^j+f^j_iz^i-f^i_iz^j\right)_j\,dz\umbruch\\
      =&\,\frac1{n\omega_n}\int\limits_{B_1(0)}
      2f^j_j +f^j_{ji}z^i +f^j_i\delta^i_j -f^i_{ij}z^j
      -f^i_i\underbrace{\delta^j_j}_{=3}\,dz =0.
    \end{align*}
    Damit gilt $u_{tt}=\Delta u$ f\"ur alle $t>0$. Aus
    Stetigkeitsgr\"unden gilt dies auch bis $t=0$. 
  \item Im Fall $h\equiv0$ setzen wir $f(z):=g(x+tz)$ und erhalten
    analog zu oben
    \begin{align*}
      u(x,t)=&\, \fint\limits_{\partial B_t(x)} g(y) +\langle
      Dg(y),y-x\rangle\,dy\umbruch\\
      =&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} g(x+tz) +t\langle
      D_xg(x+tz),z\rangle\,dz,\umbruch\\
      u_t=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} 2g_{x^i}(x+tz)z^i
      +tg_{x^ix^j}(x+tz)z^iz^j\,dz,\umbruch\\
      u_{tt}=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} 3g_{x^ix^j}(x+tz)z^iz^j
      +tg_{x^ix^jx^k}(x+tz)z^iz^jz^k\,dz,\umbruch\\
      u_{x^i}=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} g_{x^i}(x+tz)
      +tg_{x^ix^k}(x+tz)z^k\,dz,\umbruch\\
      u_{x^ix^j}=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} g_{x^ix^j}(x+tz)
      +tg_{x^ix^jx^k}(x+tz)z^k\,dz,\umbruch\\
      \Delta_xu=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)} \Delta_xg(x+tz)
      +t\Delta_xg_{x^k}(x+tz)z^k\,dz,\umbruch\\
      u_{tt}=&\,\frac1{t^2}\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      3f_{ij}z^iz^j +f_{ijk}z^iz^jz^k\,dz,\umbruch\\
      \Delta_xu=&\,\frac1{t^2}\fint\limits_{\partial B_1(0)} f^i_i
      +f^i_{ij}z^j\,dz,\umbruch\\
      t^2(u_{tt}-\Delta_xu)=&\,\fint\limits_{\partial B_1(0)}
      \left(3f_i^kz^i+f_{ij}^kz^iz^j-f^i_iz^k
        -f^i_{ij}z^jz^k\right)z_k\,dz\umbruch\\
      =&\,-\frac1{n\omega_n}\int\limits_{B_1(0)} \left(3f^k_iz^i
        +f^k_{ij}z^iz^j -f^i_iz^k
        -f^i_{ij}z^jz^k\right)_k\,dz\umbruch\\
      =&\,-\frac1n\fint\limits_{B_1(0)} 3f^k_{ki}z^i +3f^k_k
      +f^k_{kij}z^iz^j +2f^k_{ki}z^i\,dz\\
      &\,-\frac1n\fint\limits_{B_1(0)}-f^i_{ik}z^k -3f^i_i
      -f^i_{ijk}z^jz^k -f^i_{ik}z^k -3f^i_{ij}z^j\,dz=0.
    \end{align*}
    Beachte, dass wir beim Ausdruck f\"ur $\Delta u$ ein $z^kz_k$ auch
    dort hinzugef\"ugt haben, wo bereits ein $z^j$ stand. Sonst heben
    sich die Terme sp\"ater nicht so direkt gegenseitig auf. \par 
    Auch hier gilt $u_{tt}=\Delta u$ wieder aus Stetigkeitsgr\"unden
    bis $t=0$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Theorem \ref{drei dim wellen gl thm} besagt insbesondere, dass
    $u(x,t)$ nur von Werten auf $\partial B_t(x)$ zur Zeit $t=0$
    abh\"angt. Solch eine Aussage gilt f\"ur alle ungeraden
    Raumdimensionen und hei\ss{}t Huygenssches Prinzip.
  \item Die Wellengleichung in $\R^2$ kann man verm\"oge $\tilde
    u\left(x^1,x^2,x^3,t\right):= u\left(x^1,x^2,t\right)$ auf die
    Wellengleichung in $\R^3$ zur\"uckf\"uhren. Dies liefert, siehe
    \cite{EvansPDE}, bei hinreichender Regularit\"at f\"ur eine
    L\"osung von
    \[
    \begin{cases}
      u_{tt}=\Delta u&\text{in }\R^n\times(0,\infty),\\
      u(\cdot,0)=g&\text{auf }\R^n,\\
      u_t(\cdot,0)=h&\text{auf }\R^n
    \end{cases}
    \]
    f\"ur $n=2$ die Formel \[u(x,t)=\frac12 \fint\limits_{B_t(x)}
    \frac{tg(y)+t^2h(y)+t\langle
      Dg(y),y-x\rangle}{\sqrt{t^2-|y-x|^2}}\,dy.\]
  \item \"Ahnliche Ans\"atze funktionieren in h\"oheren Dimensionen,
    sind aber etwas technisch.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{appendix}
  \section{Divergenzsatz}
  \begin{theorem}[Divergenzsatz]
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega$
    von der Klasse $C^1$, $\xi\in C^1\left(\ol\Omega,\R^n\right)$.
    Dann gilt
    $$\int\limits_\Omega\divergence\xi=
    \int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.$$
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]\neueZeile
    \begin{enumerate}[a)]
    \item Wir schreiben $x=(\hat x,x^n)$ mit $\hat
      x=(x^1,\ldots,x^{n-1})$. Sei $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$,
      $f\in C^1\left(\R^n\right)$. Es gilt f\"ur $i<n$
      $$D_i\int\limits_0^{\phi(\hat x)}f(\hat x,x^n)\,dx^n=
      \int\limits_0^{\phi(\hat x)}D_if(\hat x,x^n)\,dx^n+f(\phi(\hat
      x),x^n)D_i\phi(\hat x).$$
    \item $\divergenz\xi:=D_i\xi^i$ ist unter linearen invertierbaren
      Transformationen und Translationen invariant.\par Dies ist f\"ur
      Translationen klar. \par Sei $\tilde x^j=a^j_ix^i$ eine lineare
      Transformation. Dann gilt $\fracp{\tilde x^j}{x^i}=a^j_i$ und
      $\tilde\xi^j=a^j_i\xi^i$. Wir erhalten
      \begin{align*}
        \fracp{}{\tilde x^i}\tilde\xi^i=&\,\fracp{x^k}{\tilde
          x^i}\fracp{}{x^k}\left(a^i_l\xi^l\right)\umbruch\\
        =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}a^i_l\fracp{}{x^k}\xi^l,\quad
        \text{da $a^i_k$ ortsunabh\"angig}\umbruch\\
        =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}\fracp{\tilde x^i}{x^l}
        \fracp{}{x^k}\xi^l\umbruch\\
        =&\,\delta^k_l\fracp{}{x^k}\xi^l\quad\text{(Kettenregel)}
        \umbruch\\ 
        =&\,\fracp{}{x^k}\xi^k=\divergenz\xi.
      \end{align*}
    \item \"Uberdecke $\ol\Omega$ durch endlich viele offene Mengen
      $V_i$, so dass jede dieser Mengen entweder ganz in $\Omega$
      liegt oder einer Menge $U$ wie folgt enthalten ist:\par Nach
      einer geeigneten Rotation gibt es ein offenes und beschr\"anktes
      $\Sigma\subset\R^{n-1}$, so dass $U=\Sigma\times(0,2)$. Es gibt
      $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$, $\frac12\le\phi\le\frac32$,
      mit $\{(\hat x,x^n):x^n<\phi(\hat x),\,\hat x\in\Sigma\}
      =U\cap\Omega$, $\{(\hat x,x^n):x^n=\phi(\hat x),\,\hat
      x\in\Sigma\} =\graph\phi|_\Sigma =U\cap\partial\Omega$, $\{(\hat
      x,x^n):x^n>\phi(\hat x),\,\hat
      x\in\Sigma\}=U\cap\complement\Omega$.
    \item Sei $\eta_i$ eine endliche, $\{V_i\}$ und
      $\complement\ol\Omega$ untergeordnete Zerlegung der
      Eins. (Existenzbeweis \"uber $C^\infty_c$-Funktionen, die auf
      $B_1(0)$ positiv und au\ss{}erhalb von $B_2(0)$ gleich $0$ sind
      und mit Hilfe der Lebesgue-Zahl.)
    \item Reduktion auf Vektorfelder $\xi$ mit Tr\"ager in einem
      $V_i$:
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi
        =&\,\int\limits_\Omega\divergenz
        \left(\xi\sum\limits_{i=1}^N\eta_i\right)\umbruch\\
        =&\,\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_\Omega\divergenz(\xi\eta_i)
        =\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_{V_i\cap\Omega}\divergenz(\xi\eta_i).
      \end{align*}
      Nehme nun an, dass der Divergenzsatz auf Gebieten $U$ wie oben
      schon gezeigt sei. Dann folgt, da $\xi\eta_i$ auf
      $(\partial\Sigma\times[0,2]) \cup(\Sigma\times\{0\})
      \cup(\Sigma\times\{2\})$ verschwindet,
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi =&\,\sum\limits_{i=1}^N
        \int\limits_{V_i\cap\partial\Omega}
        \langle\xi\eta_i,\nu\rangle\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{\partial\Omega} \sum\limits_{i=1}^N\eta_i
        \langle\xi,\nu\rangle =\int\limits_{\partial\Omega}
        \langle\xi,\nu\rangle.
      \end{align*}
    \item Wir d\"urfen also annehmen, dass $\xi$ kompakten Tr\"ager in
      $U$ hat.  Wir benutzen schlie\ss{}lich den Hauptsatz der
      Differential- und Integralrechnung, dass das Volumenma\ss{} auf
      $\partial\Omega$ lokal durch $\sqrt{1+|D\phi|^2}d\hat x$ gegeben
      ist, dass $\frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}$ die
      \"au\ss{}ere Einheitsnormale an $\partial\Omega$ ist und
      $\supp\xi\Subset U$.
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi=&\,\int\limits_\Omega
        D_i\xi^i\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
          x)} D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat x)}
        \sum\limits_{i=1}^{n-1}D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x
        +\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
          x)}D_n\xi^n\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\sum\limits_{i=1}^{n-1}
        \int\limits_\Sigma\left\{D_i\int\limits_0^{\phi(\hat
            x)}\xi^i(\hat x,x^n)\,dx^n -\xi^i(\hat x,\phi(\hat
          x))D_i\phi(\hat x)\right\}d\hat x\\
        &\,+\int\limits_\Sigma\xi^n(\hat x,\phi(\hat
        x))-0\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\xi^i(\hat
        x,\phi(\hat x))D_i\phi(\hat x) +\xi^n(\hat x,\phi(\hat
        x))\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\left\langle\xi(\hat x,\phi(\hat x)),
          \frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}\right\rangle
        \sqrt{1+|D\phi|^2}\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{\partial\Omega\cap U}\langle\xi,\nu\rangle
        =\int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.\\[-2.5ex]
        &\qedhere
      \end{align*}
    \end{enumerate}
  \end{proof}

  \section{Polarkoordinaten}
  \begin{definition}
    Sei $\Omega\subset\R^{n-1}$ offen und beschr\"ankt, $\omega\in
    C^1\left(\ol\Omega\right)$ und sei $f\in
    C^0\left(\ol{\graph\omega}\right)$. Setze $M:=\graph\omega$.  Dann
    definieren wir \[\int\limits_M f:=\int\limits_\Omega
    f(x,\omega(x))\cdot \sqrt{1+|D\omega|^2}\,dx.\] \par
    Nehme an, dass $M=M_1\dot\cup M_2\ldots \dot\cup M_N$ f\"ur
    messbare Mengen $M_i$, gilt und dass f\"ur jede Menge $M_k$ in
    einem Graphen $\graph\left(\omega_k|_{\Omega_k}\right)$,
    $\omega_k\colon\Omega_k\to\R$ wie oben $\omega$, ggf.{} mit
    umbenannten Koordinaten, enthalten ist.  Dann definieren wir
    \[\int\limits_M f:=\sum\limits_{k=1}^N\,\,
    \int\limits_{\Omega_k}f\chi_{M_k}.\] 
  \end{definition}

  \begin{remark}
    \neueZeile
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Ist $M$ noch auf andere Art und Weise als Graph darstellbar,
      so liefert das Integral f\"ur beide Darstellungen denselben
      Wert.
    \item Es gen\"ugt, dass $\omega$ Lipschitz stetig ist. 
    \item Wie im $\R^n$ kann man auch hier die Menge $L^1(M)$
      einf\"uhren. Betrachte dazu die Menge der Funktionen $f\colon
      M\to\R$, so dass $\Omega_k\ni x\mapsto
      f(x,\omega(x))\cdot\sqrt{1+|D\omega|^2(x)}\in L^1(\Omega_k)$ ist.
    \item Ist $\omega\in C^1(\Omega)$, so verwenden wir dieselbe
      Definition, falls $f$ integrabel ist.
    \end{enumerate}
  \end{remark}

  \begin{theorem}[Polarkoordinaten]
    Sei $R>0$ und $f\in L^1(B_R^n(0))$. Dann gilt
    \[\int\limits_{B^n_R(0)} f =\int\limits_0^R \int\limits_{\partial
      B_r(0)} f\,dr.\]
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    Wir gehen wie folgt vor: Es gen\"ugt, $\{x^n>0\}$ zu
    betrachten. Wir transformieren Halbsph\"aren auf Hyperebenen,
    wenden Fubini an und transformieren dann wieder zur\"uck.  
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Definiere $B^+_R(0):=\{(\hat x,x^n)\in B_R(0)\colon x^n>0\}$
      und $(\partial B_r(0))^+:=\{(\hat x,x^n)\in \partial
      B_r(0)\colon x^n>0\}$. Wir schreiben auch $B^+_R(0)\equiv B^+_R$
      und $(\partial B_r(0))^+\equiv (\partial B_r)^+$.\par Dann
      gen\"ugt es, \[\int\limits_{B^+_R}
      f=\int\limits_0^R\,\,\int\limits_{(\partial B_r)^+} f\,dr\] zu
      zeigen. Die volle Behauptung erh\"alt man daraus, indem man die
      Aussagen \"uber die obere und untere Halbkugel bzw.{} obere und
      untere Hemisph\"aren zusammensetzt. Dann fehlt nur noch eine
      Nullmenge $\{(\hat x,x^n)\in B_R(0)\colon x^n=0\}$.
    \item Definiere $\Phi\colon B_R^+(0)\to\R^{n-1}\times(0,R)$ durch 
      \[\Phi(\hat x,n^n)=\left(\frac{\hat x}{x^n},\sqrt{|\hat
          x|^2+(x^n)^2}\right)\equiv\left(\hat z,z^n\right).\]
      Schreibt man in eine zus\"atzliche mittlere Komponente noch eine
      $1$, so ist $(\hat x,x^n)\mapsto\left(\frac{\hat
          x}{x^n},1\right)$ gerade die radiale Projektion auf die
      affine Hyperebene $\{x^n=1\}$. Die letzte Komponente gibt den
      urspr\"unglichen Abstand zum Ursprung an. \par
      $\Phi$ ist ein Diffeomorphismus.  Die Inverse ist durch die
      folgende Zuordnung gegeben:
      \[\Phi^{-1}(\hat z,z^n) =\left(\frac{z^n\cdot \hat z}{\sqrt{1+|\hat
            z|^2}}, \frac{z^n}{\sqrt{1+|\hat z|^2}}\right) =\left(\hat
        x,x^n\right).\] Dies zu kontrollieren ist eine einfache kleine
      Rechnung:
      \begin{align*}
        \frac{z^n\cdot \hat z}{\sqrt{1+|\hat z|^2}}
        =&\,\frac{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}\cdot\frac{\hat
            x}{x^n}}{\sqrt{1+\left|\frac{\hat x}{x^n}\right|^2}} =\hat
        x,\umbruch\\
        \frac{z^n}{\sqrt{1+|\hat z|^2}} =&\,\frac{\sqrt{|\hat
            x|^2+(x^n)^2}}{\sqrt{1+\left|\frac{\hat
                x}{x^n}\right|^2}} =x^n.
      \end{align*}
      Es gilt
      \begin{align*}
        \fracp\Phi{x^j}=&\,\left(\frac{e_j}{x^n},
          \frac{x_j}{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}\right), \quad
        j<n,\umbruch\\ 
        \fracp\Phi{x^n}=&\,\left(-\frac{\hat x}{(x^n)^2},
          \frac{x_n}{\sqrt{|\hat x|^2 +(x^n)^2}}\right),\umbruch\\ 
        \det D\Phi=&\det
        \begin{pmatrix}
          \frac1{x^n}\eins &\frac{\hat x}{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}\\ 
          -\frac{\hat x}{(x^n)^2} &\frac{x_n}{\sqrt{|\hat
              x|^2+(x^n)^2}} 
        \end{pmatrix}.
      \end{align*}
      Um diese Determinante zu berechnen addieren wir so viel der
      ersten Zeilen zur letzten, dass das K\"astchen links unten
      verschwindet.  Mit \[\frac{x_n}{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}
      +\frac{|\hat x|^2}{x^n\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}
      =\frac{(x^n)^2+|\hat x|^2}{x^n\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}
      =\frac{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}{x^n}\] folgt
      \[\det D\Phi =\frac{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}{(x^n)^n}
      =\frac{\sqrt{1+|\hat z|^2}^n}{(z^n)^{n-1}},\]
      da \[\frac{(x^n)^n}{\sqrt{|\hat x|^2+(x^n)^2}}
      =\frac{(z^n)^n}{\sqrt{1+|\hat z|^2}^n}
      \cdot\frac1{\sqrt{\frac{(z^n)^2|\hat z|^2}{1+|\hat z|^2}
          +\frac{(z^n)^2}{1+|\hat z|^2}}}
      =\frac{(z^n)^{n-1}}{\sqrt{1+|\hat z|^2}^n}.\] Aus der
      allgemeinen Transformationsformel \[\int\limits_\Omega f(z)\,dz
      =\int\limits_{\phi(\Omega)} f\left(\phi^{-1}(x)\right)
      \cdot\frac1{|\det D\phi\left(\phi^{-1}(x)\right)|}\, dx\] mit
      $x=\phi(z)$ erhalten wir in diesem Fall
      \begin{align*}
        \int\limits_{B^+_R} f(y)\,dy
        =&\,\int\limits_{\R^{n-1}\times(0,R)} f\left(\frac{z^n\cdot
            \hat z}{\sqrt{1+|\hat z|^2}}, \frac{z^n}{\sqrt{1+|\hat
              z|^2}}\right)\frac{(z^n)^{n-1}}{\sqrt{1+|\hat
            z|^2}^n}\,dz\umbruch\\
        =&\,\int\limits_0^R \int\limits_{\R^{n-1}}
        f\left(\frac{rz}{\sqrt{1+|z|^2}}, \frac
          r{\sqrt{1+|z|^2}}\right) \cdot
        \frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^n}\, dz\,dr\umbruch\\
        \overset!=&\,\int\limits_0^R \int\limits_{(\partial B_r)^+}
        f\,dr.         
      \end{align*}
      Dabei haben wir zwischendurch aus $\hat z\in\R^{n-1}$ ein
      $z\in\R^{n-1}$ gemacht. 
    \item Um die behauptete Gleichheit (ohne die Integration \"uber
      $r$) nachzuweisen, transformieren wir wieder zur\"uck (wobei wir
      in Gedanken wieder die mittlere Zusatzkomponente $1$ benutzen)
      und projizieren anschlie\ss{}end auf die ersten $n-1$
      Komponenten: Definiere f\"ur festes $0<r<R$ einen
      Diffeomorphismus $\phi\colon\R^{n-1}\to B^{n-1}_r(0)$
      durch \[\phi(z):=\frac{rz}{\sqrt{1+|z|^2}} \equiv x.\] Es gilt
      f\"ur das zweite Argument von $f$ \[\frac r{\sqrt{1+|z|^2}}
      =\sqrt{r^2-\frac{r^2|z|^2}{1+|z|^2}} =\sqrt{r^2-|x|^2}.\]
      Weiterhin gilt
      \begin{align*}
        \fracp{\phi^i}{z^j} =&\,\frac{r\delta^i_j}{\sqrt{1+|z|^2}}
        -\frac{rz^iz_j}{\sqrt{1+|z|^2}^3} =\frac r{\sqrt{1+|z|^2}^3}
        \left(\delta^i_j\left(1+|z|^2\right)-z^iz_j\right),\umbruch\\
        \det D\phi=&\,\frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^{3(n-1)}}\cdot
        \left(1+|z|^2\right)^{n-1}\cdot
        \left(1-\frac{|z|^2}{1+|z|^2}\right)\umbruch\\
        =&\,\frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^{(n-1)}}\cdot\frac1{1+|z|^2}
        =\frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^{(n+1)}}.
      \end{align*}
      Damit erhalten wir f\"ur den obigen Integranden
      \begin{align*}
        &\,\int\limits_{\R^{n-1}} f\left(\frac{rz}{\sqrt{1+|z|^2}},
          \frac r{\sqrt{1+|z|^2}}\right) \cdot
        \frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^n}\, dz\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{B_r^{n-1}(0)}
        f\left(x,\sqrt{r^2-|x|^2}\right) \cdot
        \frac{r^{n-1}}{\sqrt{1+|z|^2}^n}\cdot
        \frac{\sqrt{1+|z|^2}^{(n+1)}}{r^{n-1}}
        \,dx\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{B_r^{n-1}(0)}
        f\left(x,\sqrt{r^2-|x|^2}\right)\cdot \sqrt{1+|z|^2}\,dx.
      \end{align*}
      Daraus folgt die Behauptung, wenn wir f\"ur $\omega\colon
      B^{n-1}_r(0)\to\R$ mit $\omega(x)=\sqrt{r^2-|x|^2}$ nachweisen,
      dass $\sqrt{1+|D\omega|^2}=\sqrt{1+|z|^2}$ gilt. Dies folgt aber
      aus
      \begin{align*}
        \fracp{}{x^i}\omega(x) =&\,\fracp{}{x^i}\sqrt{r^2-|x|^2}
        =\frac{-x_i}{\sqrt{r^2-|x|^2}},\umbruch\\
        |D\omega|^2(x) =&\,\frac{|x|^2}{r^2-|x|^2},\umbruch\\
        1+|D\omega|^2(x) =&\,\frac{r^2}{r^2-|x|^2} =\frac{r^2}{r^2
          -\frac{r^2|z|^2}{1+|z|^2}} =1+|z|^2.\\[-2.5ex] &\qedhere
      \end{align*}
    \end{enumerate}
  \end{proof}

  Im Zusammenhang mit Polarkoordinaten tritt auch h\"aufiger das
  folgende Lemma auf.
  \begin{lemma}
    Sei $r>0$ und sei $f\in L^1(\partial B_r(0))$. Dann
    gilt \[\int\limits_{\partial B_r(0)} f(x)\,dx
    =r^{n-1}\cdot\int\limits_{\partial B_1(0)} f(rz)\,dz.\]
  \end{lemma}
  \begin{proof}[Beweis]
    Nach Definition gilt 
    \[\int\limits_{\partial B_r^n(0)} f(x)\,dx
    =\int\limits_{B_r^{n-1}(0)} f(x)\cdot\sqrt{1+|D\omega|^2}\,dx\]
    mit $\omega\colon B^{n-1}_r(0)\to\R$,
    $\omega(x)=\sqrt{r^2-|x|^2}$. Es gilt 
    \begin{align*}
      \fracp{}{x^i}\omega(x) =&\,\fracp{}{x^i}\sqrt{r^2-|x|^2}
      =\frac{-x_i}{\sqrt{r^2-|x|^2}},\umbruch\\ 1+|D\omega|^2 =&\,
      1+\frac{|x|^2}{r^2-|x|^2} =\frac{r^2}{r^2-|x|^2}. 
    \end{align*}
    Wir erhalten mit der Integraltransformation $z=\frac xr$,
    $\frac{dz^i}{dx^j} =\frac1r\delta^i_j$,
    \begin{align*}
      \int\limits_{\partial B_r(0)}f(x)\,dx =&\,
      \int\limits_{B_r^{n-1}(0)}
      f(x)\cdot\sqrt{\frac{r^2}{r^2-|x|^2}}\,dx\umbruch\\
      =&\,\int\limits_{B_1^{n-1}(0)} f(rz)\cdot
      \sqrt{\frac1{1-|z|^2}}\cdot r^{n-1}\,dz
      =r^{n-1}\cdot\int\limits_{\partial B_1^n(0)} f(rz)\,dz,
    \end{align*}
    da $\frac1{1-|z|^2}=1+|D\omega|^2$ f\"ur $r=1$ gilt. 
  \end{proof}

\end{appendix}

\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{EvansPDE}
Lawrence~C. Evans, \emph{Partial differential equations}, Graduate Studies in
  Mathematics, vol.~19, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

\bibitem{CGPDE}
Claus Gerhardt, \emph{{Partielle Differentialgleichungen}},
  1997-1998, Vorlesungsmitschrift.

\bibitem{GT}
David Gilbarg and Neil~S. Trudinger, \emph{Elliptic partial
  differential equations of second order}, second ed., Grundlehren der
  Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical
  Sciences], vol. 224, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

\bibitem{JostPDE}
J{\"u}rgen Jost, \emph{Partial differential equations}, Graduate Texts in
  Mathematics, vol. 214, Springer-Verlag, New York, 2002.

\bibitem{ProtterWeinberger}
Murray~H. Protter and Hans~F. Weinberger, \emph{Maximum principles in
  differential equations}, Springer-Verlag, New York, 1984, Corrected reprint
  of the 1967 original.

\end{thebibliography}

\end{document}

\subsection{Greensche Funktion und Darstellungsformeln auf Gebieten}
\begin{remark}[Greensche Funktion: Herleitung und Definition]
  % Nach G. Green benannt.
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$, $u,\,v\in C^2\left(\ol\Omega\right)$.\par Dann folgt aus dem
  Divergenztheorem die \emph{1. Greensche Formel}
$$\int\limits_\Omega v\Delta u +\int\limits_\Omega \langle
Du,Dv\rangle =\int\limits_{\partial\Omega} v\langle Du,\nu\rangle,$$
wobei wir mit $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega$ bezeichnen.
Wir vertauschen nun die Rollen von $u$ und $v$, subtrahieren die
entsprechenden Gleichungen voneinander und erhalten die \emph{2.
  Greensche Formel}
$$\int\limits_\Omega v\Delta u-u\Delta v =\int\limits_{\partial\Omega}
v\langle Du,\nu\rangle-u\underbrace{\langle
  Dv,\nu\rangle}_{\equiv\fracp v\nu}.$$ Sei nun $x\in\Omega$ und
$\epsilon>0$ so klein, dass $\ol{B_\epsilon(x)}\subset\Omega$ ist.
Definiere $\Omega_\epsilon:=\Omega\setminus\ol{B_\epsilon(x)}$. Dann
folgt
\begin{align*}
  &\,\int\limits_{\Omega_\epsilon}u(y)\Delta\Phi(y-x)-\Phi(y-x)\Delta
  u(y)\,dy\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\partial\Omega_\epsilon}u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)
  -\Phi(y-x)\fracp u\nu(y)\,dy.
\end{align*}
Es gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\Delta\Phi(y-x)=0$ f\"ur $x\neq y$,
\item $\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}\Phi(y-x)\fracp
  u\nu(y)\,dy\to0$ f\"ur $\epsilon\to0$. Dies folgt wie bei der
  Absch\"atzung f\"ur $L_\epsilon$ im Beweis von Theorem \ref{f C2
    repr thm}.
\item Aus der Rechnung f\"ur $K_\epsilon$, ebenfalls aus dem Beweis
  von Theorem \ref{f C2 repr thm}, erhalten wir
$$\fracp\Phi\nu(y)=\frac1{n\omega_n\epsilon^{n-1}}\quad
\text{auf }\partial B_\epsilon(0).$$
\end{enumerate}
Insgesamt erhalten wir also, wobei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an
$\R^n\setminus B_\epsilon(0)$ oder die innere Normale an
$B_\epsilon(0)$ bezeichnet,
$$\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)\,dy
=\fint\limits_{\partial B_\epsilon(x)}u(y)\,dy\to u(x)\quad
\text{f\"ur }\epsilon\to0.$$ Weiterhin
gilt \[\int\limits_{\Omega_\epsilon}\Phi(y-x)\Delta u(y)\,dy \to
\int\limits_{\Omega}\Phi(y-x)\Delta
u(y)\,dy\quad\text{f\"ur}\quad\epsilon\to0,\] da $\Phi$ in der N\"ahe
der Singularit\"at integrierbar ist. Damit folgt aus dem
Grenz\"ubergang $\epsilon\to0$
\begin{equation}\label{u repr fml}
  u(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\Phi(y-x)\fracp u\nu(y) 
  -u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)\,dy -\int\limits_\Omega\Phi(y-x)\Delta u(y)\,dy
\end{equation}
f\"ur alle $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ und alle $x\in\Omega$.\par
Dies liefert eine Darstellungsformel f\"ur $u$, falls wir $\Delta u$
in $\Omega$ sowie $u$ und $\fracp u\nu$ auf $\partial\Omega$ kennen.
Randwertprobleme, bei denen alle diese Daten vorgeschrieben sind, sind
aber \"uberbestimmt und i.\,a.{} nicht l\"osbar. Beispiel: Sei
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=0&\text{auf
  }\partial\Omega,\\ \fracp u\nu=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$ Aus den ersten beiden Gleichungen und dem Maximumprinzip
folgt dass $u=0$ gilt. Also mu\ss{} auch $\phi=0$ gelten. F\"ur
$\phi\neq0$ existiert daher keine L\"osung $u\in
C^2\left(\ol\Omega\right)$ oder $u\in C^2(\Omega)\cap
C^1\left(\ol\Omega\right)$.\par
\textbf{Korrekturfunktion:} Sei $x\in\Omega$ fest. Sei
$\phi^x=\phi^x(y)$ die L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}\Delta\phi^x=0&\text{in }\Omega,\\
  \phi^x=\Phi(\cdot-x)&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
\textbf{Bemerkung:} F\"ur sehr spezielle Gebiete werden wir $\phi^x$
explizit bestimmen. Das Perronverfahren wird L\"osungen f\"ur
allgemeine Gebiete liefern. Diese sind jedoch erst einmal nur von der
Klasse $C^2(\Omega) \cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ f\"ur gen\"ugend
glatte Gebiete $\Omega$. H\"ohere Regularit\"at ist zwar richtig,
jedoch technisch deutlich aufw\"andiger. \par Nehme nun an, es
existiert $\phi^x\in C^2\left(\ol\Omega\right)$. Dann liefert die
2. Greensche Formel (unter Ber\"ucksichtigung des von $\phi^x$
gel\"osten Randwertproblems)
\begin{equation}\label{zwei Stern gl}
  \begin{split}
    -\int\limits_\Omega\phi^x(y)\Delta
    u(y)\,dy=&\,\int\limits_{\partial\Omega}
    u(y)\fracp{\phi^x}\nu(y)-\phi^x(y)\fracp u\nu(y)\,dy\\
    =&\,\int\limits_{\partial\Omega}u(y)\fracp{\phi^x}\nu(y)-\Phi(y-x)\fracp
    u\nu(y)\,dy.
  \end{split}
\end{equation}
Definiere nun die Greensche Funktion f\"ur das Gebiet $\Omega$ durch
$$G(x,y):=\Phi(y-x)-\phi^x(y),\quad x\neq y\in\Omega.$$
Wir addieren \eqref{u repr fml} und \eqref{zwei Stern gl} und erhalten
$$u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}u(y)\fracp G{\nu_y}(x,y)\,dy
-\int\limits_\Omega G(x,y)\Delta u(y)\,dy.$$ Nun tauchen auf der
rechten Seite nur noch $u|_{\partial\Omega}$ und $\Delta u|_{\Omega}$
auf.
\end{remark}

Wir erhalten also
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Sei $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung des
  Randwertproblems
$$\begin{cases} -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ und $G$ die Greensche Funktion f\"ur
$\Omega$, so gilt
$$u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}g(y)\fracp G{\nu_y}(x,y)\,dy
+\int\limits_\Omega f(y)G(x,y)\,dy$$ f\"ur $x\in\Omega$.
\end{theorem}
Im Spezialfall $\Omega=B_r$ werden wir sp\"ater zeigen, dass $G$
existiert und die angegebene Formel tats\"achlich eine L\"osung
liefert. Die bisher hergeleitete Implikation ist als Motivation zu
verstehen, warum wir sp\"ater diesen Ansatz f\"ur $u$ w\"ahlen.

\begin{remark}
  Sei $x\in\Omega$. Betrachte $G(x,y)$ als Funktion von $y$. Dann gilt
  im Distributionssinn
  $$\begin{cases} -\Delta G=\delta_x&\text{in }\Omega,\\ G=0&\text{auf
    }\partial\Omega,\end{cases}$$ wobei $\delta_x$ das Diracma\ss{}
  zum Punkt $x$ ist.
\end{remark}

Das folgende Theorem k\"onnen wir derzeit nicht anwenden, weil wir
nicht wissen, wie regul\"ar $G$ ist. 
\begin{theorem}[Symmetrie der Greenschen Funktion] \stern
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und sei
  $\partial\Omega\in C^1$. Seien $x\neq y\in\Omega$. Sei $G$ die zu
  $\Omega$ geh\"orige Greensche Funktion. Nehme an, dass $G\in
  C^2\left(\left(\ol\Omega\times\ol\Omega\right)\setminus\Delta\right)$,
  $\Delta:=\{(x,x):x\in\Omega\}$, ist. Dann gilt
$$G(y,x)=G(x,y).$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Fixiere $x\neq y\in\Omega$. Definiere f\"ur $z\in\ol\Omega$
  \begin{align*}
    v(z):=&\,G(x,z)\quad\text{f\"ur }z\neq x,\umbruch\\
    w(z):=&\,G(y,z)\quad\text{f\"ur }z\neq y.\umbruch\\
    \intertext{Es gilt}
    \Delta v(z)=&\,0\quad\text{f\"ur }z\neq x,\umbruch\\
    \Delta w(z)=&\,0\quad\text{f\"ur }z\neq y,\umbruch\\
    w=v=&\,0\quad\text{auf }\partial\Omega.
  \end{align*}
  Sei $\epsilon>0$. Definiere $\Omega_\epsilon:=\Omega\setminus
  \left(\ol{B_\epsilon(x)}\cup\ol{B_\epsilon(y)}\right)$. F\"ur
  hinreichend kleines $\epsilon>0$ (was wir im folgenden annehmen
  wollen) ist $\partial\Omega_\epsilon\in C^1$. Nach Annahme gilt
  $v,\,w\in C^2\left(\ol{\Omega_\epsilon}\right)$. \par Die 2.
  Greensche Formel liefert nun
  \begin{align*}
    0=&\,\int\limits_{\partial\Omega_\epsilon}v\fracp w\nu-w\fracp
    v\nu\umbruch\\ =&\,\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}v\fracp
    w\nu-w\fracp v\nu +\int\limits_{\partial B_\epsilon(y)}v\fracp
    w\nu-w\fracp v\nu,
  \end{align*}
  wobei wir mit $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega_\epsilon$
  bezeichnen. \par
  Nahe $x$ ist $w$ glatt. Wir erhalten also, da $\phi^x$ durch die
  Randwerte beschr\"ankt ist,
  \begin{align*}
    \left|\,\,\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}\fracp w\nu
      v\,dz\right| \le&\,c\cdot\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}|v|
    =c\cdot\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}|G(x,z)|\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\underbrace{\int\limits_{\partial
        B_\epsilon(x)}|\Phi(z-x)|\,dz}_{\equiv I}
    +c\cdot\underbrace{\int\limits_{\partial
        B_\epsilon(x)}\underbrace{|\phi^x(z)|}_{=\text{beschr\"ankt}}\,dz
    }_{\to0\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0}.
  \end{align*}
  Es gilt
  $$I\le c\cdot\epsilon^{n-1}\cdot\left.\begin{cases} \log\epsilon,
      &n=2,\\
      \epsilon^{2-n},&n\ge3\end{cases}\right\}\to0\quad\text{f\"ur
  }\epsilon\to0.$$ Es gilt also
  $$0=\lim\limits_{\epsilon\searrow0}\left\{\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(x)} -w\fracp v\nu +\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(y)}v\fracp w\nu\right\}.$$ Durch Vergleich mit den
  Rechnungen f\"ur $K_\epsilon$ aus dem Beweis von Theorem \ref{f C2
    repr thm} sehen wir unter Ber\"ucksichtigung der Tatsache, dass
  $w$ und $\phi^x$ nahe $x$ beschr\"ankt sind und somit unsere inneren
  Absch\"atzungen anwendbar sind,
  \begin{align*}
    \lim\limits_{\epsilon\searrow0}\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(x)} w\fracp v\nu =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
    \int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}
    w(z)\cdot\fracp{}{\nu_z}\left(\Phi(z-x)-\phi^x(z)\right)\,dz\umbruch\\
    =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(x)}w(z)\fracp{}{\nu_z}\Phi(z-x)\,dz\umbruch\\
    =&\,w(x).
  \end{align*}
  Wir schlie\ss{}en also, dass $w(x)=v(y)$ ist und somit folgt
  $G(y,x)=G(x,y)$.
\end{proof}

\begin{beispiel}[Greensche Funktion f\"ur einen Halbraum]
  Dies ist zun\"achst eine formale Rechnung, da ein Halbraum nicht
  pr\"akompakt ist. Definiere
  $$\R^n_+:=\left\{(x^1,\ldots,x^n)\in\R^n\,:\,x^n>0\right\}.$$
  Definiere $\tilde x$ als die Reflektion von $x$ an $\partial\R^n_+$,
  $$\tilde x:=(x^1,\ldots,x^{n-1},-x^n).$$ \textbf{Beobachtung:} F\"ur
  $x\in\R^n_+$ und $y\in\partial\R^n_+$ gilt $\Phi(y-\tilde
  x)=\Phi(y-x)$. Die Abbildung $y\mapsto\Phi(y-\tilde x)$ ist in
  $\ol{\R^n_+}$ harmonisch und glatt. Wir machen den folgenden Ansatz
  \begin{align*}
    G(x,y):=&\,\Phi(y-x)-\Phi(y-\tilde x)\umbruch\\ \intertext{und
      erhalten} \fracp G{y^n} =&\,\fracp\Phi{y^n}(y-x)
    -\fracp\Phi{y^n}(y-\tilde x)\umbruch\\
    =&\,-\frac1{n\omega_n}\left\{\frac{y^n-x^n}{|y-x|^n}
      -\frac{y^n+x^n}{|y-\tilde x|^n}\right\}.
  \end{align*}
  F\"ur $y\in\partial\R^n_+$ erhalten wir
  $$\fracp G{\nu_y}(x,y) =-\fracp G{y^n}(x,y)
  =-\frac{2x^n}{n\omega_n}\frac1{|x-y|^n}.$$ Aufgrund der Greenschen
  Darstellungsformel vermuten wir nun, dass eine L\"osung des
  Randwertproblems
  $$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\R^n_+,\\ u=g&\text{auf
    }\partial\R^n_+
  \end{cases}$$ f\"ur $x\in\R^n_+$ durch
  $$u(x)=\frac{2x^n}{n\omega_n}\int\limits_{\partial\R^n_+}
  \frac{g(y)}{|x-y|^n}\,dy$$ gegeben ist. \par Eindeutigkeit ist nicht
  zu erwarten, da f\"ur $g=0$ alle Funktionen $u(x)=\alpha x^n$,
  $\alpha\in\R$ L\"osungen sind.
\end{beispiel}

\begin{theorem}[Poissonsche Darstellungsformel f\"ur einen Halbraum]
  Sei $g\in C^0\left(\R^{n-1}\right)\cap
  L^\infty\left(\R^{n-1}\right)$ und betrachte $\R^{n-1}$ verm\"oge
  $x\mapsto(x,0)$ als Teilmenge von $\R^n$. Definiere f\"ur
  $x\in\R^n_+$
  $$u(x):=\frac{2x^n}{n\omega_n}\int\limits_{\partial\R^n_+}
  \frac{g(y)}{|x-y|^n}\,dy.$$ Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^\infty\left(\R^n_+\right)\cap
    L^\infty\left(\R^n_+\right)$,
  \item $\Delta u=0$ in $\R^n_+$,
  \item $u\in C^0\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und $u=g$ auf
    $\partial\R^n_+$. Genauer gilt: Es gibt eine stetige Fortsetzung
    $\tilde u$ von $u$ auf $\ol{\R^n_+}$ mit $\tilde u=g$ auf
    $\partial\R^n_+$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Definiere den Poissonkern f\"ur $\R^n_+$, $x\in\R^n_+$,
    $y\in\partial\R^n_+$, durch
    $$K(x,y):=\frac{2x^n}{n\omega_n}\frac1{|x-y|^n}.$$ F\"ur $x\neq y$ ist
    $y\mapsto G(x,y)$ harmonisch. Daher ist aufgrund der Symmetrie
    auch $x\mapsto G(x,y)$ f\"ur $x\neq y$ harmonisch. Somit ist f\"ur
    $x\in\R^n_+$ und $y\in\partial\R^n_+$ auch die Ableitung
    $$x\mapsto K(x,y)=\fracp G{y^n}(x,y)$$ harmonisch.
  \item F\"ur alle $x\in\R^n_+$ gilt $1=\int\limits_{\partial
      R^n_+}K(x,y)\,dy$. Wir zeigen nur den einfachsten Fall ($n=3$)
    und lassen den Rest als \"Ubungsaufgabe. Es gilt
    \begin{align*}
      \int\limits_{\partial\R^3_+}
      \frac{2x^3}{3\omega_3}\frac1{|x-y|^3}\,dy
      =&\,\int\limits_{\partial\R^3_+}\frac{2x^3}{3\omega_3}
      \frac1{\left((x^3)^2+|y|^2\right)^{3/2}}\,dy\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^\infty\frac{2x^3}{3\omega_3}
      \frac1{\left((x^3)^2+r^2\right)^{3/2}}2\omega_2r\,dr\umbruch\\
      =&\,-\frac{4x^3\omega_2}{3\omega_3}
      \left.\left((x^3)^2+r^2\right)^{-1/2}\right|_0^\infty\umbruch\\
      =&\,\frac{4\omega_2}{3\omega_3}=\frac43\frac\pi{\frac43\pi}=1.
    \end{align*}
  \item Da $K(x,y)>0$ sowie $\int K=1$ gelten und $g$ beschr\"ankt
    ist, ist auch $u$ beschr\"ankt, $u\in
    L^\infty\left(\R^n_+\right)$. \par Die Abbildung $x\mapsto K(x,y)$
    ist f\"ur $x\neq y$ glatt und alle Ableitungen fallen im
    Unendlichen schnell genug ab. Somit ist $u\in
    C^\infty\left(\R^n_+\right)$ (\"Ubungsaufgabe). Insbesondere gilt
    f\"ur $x\in\R^n_+$
    $$\Delta u(x)=\int\limits_{\partial\R^n_+}
    \Delta_xK(x,y)g(y)\,dy=0.$$ (Hieraus folgt auch schon die \"uber
    $C^2$ hinausgehende Regularit\"at.)\par \textbf{Beweisidee f\"ur
      $u\in C^\infty\left(\R^n_+\right)$:} Vergleiche Ableitung und
    Differenzenquotienten. Auf Kompakta hat man gleichm\"a\ss{}ige
    Konvergenz der Differenzenquotienten gegen die Ableitung. Die
    Integralbeitr\"age von \glqq nach Unendlich\grqq{} sind klein.
  \item \textbf{Stetigkeit bis zum Rand:} Sei $x_0\in\partial\R^n_+$
    und $\epsilon>0$. Aufgrund der Stetigkeit von $g$ auf
    $\partial\R^n_+$ gibt es $\delta>0$, so dass f\"ur alle
    $y\in\partial\R^n_+$ mit $|y-x_0|<\delta$ auch
    $|g(y)-g(x_0)|<\epsilon$ gilt. \par Sei nun $x\in\R^n_+$ und
    $|x-x_0|<\frac\delta2$. Dann gilt aufgrund der
    Normierung $$\int\limits_{\partial\R^n_+} K(x,y)\,dy=1$$ f\"ur
    alle $x\in\R^n_+$
    \begin{align*}
      |u(x)-g(x_0)|=&\, \left|\,\,\int\limits_{\partial\R^n_+}
        K(x,y)[g(y)-g(x_0)]\,dy\right|\umbruch\\
      \le&\,\int\limits_{\partial\R^n_+\cap
        B_\delta(x_0)}K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,dy\\ &\,
      +\int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
        B_\delta(x_0)}K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,dy\umbruch\\ \equiv&\,I+J.
    \end{align*}
    Aufgrund der Stetigkeit von $g$ und der Normierung gilt
    $$I\le\epsilon\cdot\int\limits_{\partial\R^n_+\cap
      B_\delta(x_0)}K(x,y)\,dy
    \le\epsilon\cdot\int\limits_{\partial\R^n_+}K(x,y)\,dy=\epsilon.$$
    Benutze nun, dass $|x-x_0|\le\frac\delta2$ und $|y-x_0|\ge\delta$
    gelten. Hieraus folgt $|x-x_0|\le\frac12|y-x_0|$ und
    $|y-x|\ge|y-x_0|-|x_0-x|
    \ge|y-x_0|-\frac12|y-x_0|=\frac12|y-x_0|$.  Damit sch\"atzen wir
    $J$ ab
    \begin{align*}
      J\le&\,2\cdot\Vert g\Vert_{L^\infty}\cdot
      \int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
        B_\delta(x_0)}K(x,y)\,dy\umbruch\\ \le&\,2\cdot\Vert
      g\Vert_{L^\infty}\cdot\frac{2x^n}{n\omega_n}
      \int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
        B_\delta(x_0)}\frac{2^n}{|y-x_0|^n}\,dy\umbruch\\
      =&\,2^{n+2}\cdot\Vert
      g\Vert_{L^\infty}\cdot\frac{x^n}{n\omega_n}
      \underbrace{\int\limits_\delta^\infty
        \frac{(n-1)\omega_{n-1}r^{n-2}}{r^n}\,dr}_{<\infty}\umbruch\\
      \to&\,0\quad\text{f\"ur }x^n\downarrow0.
    \end{align*}
    Es folgt somit $u(x)\to g(x_0)$ f\"ur $x\to x_0$.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}[Greensche Funktion f\"ur eine Kugel]
  Definiere f\"ur $x\in B_1(0)$ die Inversion an der Einheitssph\"are
  durch
  $$x\mapsto\tilde x=\frac x{|x|^2}.$$ Durch \glqq Erraten\grqq{}
  erh\"alt man, dass die Korrekturfunktion in diesem Falle durch
  $$\phi^x(y):=\Phi(|x|(y-\tilde x))$$
  (f\"ur $x\neq0$ und stetig fortgesetzt bis zu $x=0$) und die
  Greensche Funktion durch
  $$G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi(|x|(y-\tilde x))$$
  gegeben sind. F\"ur $|y|=1$ und $x\neq0$ sieht man durch Quadrieren
  direkt, dass $|y-x|=|x||y-\tilde x|$ gilt.\par F\"ur $B_r(0)$
  betrachtet man
  $$G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi\left(\frac1r|x|(y-\tilde x)\right),\quad
  \tilde x=r^2\frac x{|x|^2}.$$
\end{remark}

\begin{lemma}[Poissonsche Darstellungsformel f\"ur eine Kugel]
  Die Poissonsche Darstellungsformel f\"ur eine Kugel $B_r$ f\"ur das
  Randwertproblem
$$\begin{cases}
  \Delta u=0&\text{in }B_r,\\
  u=g&\text{auf }\partial B_r
\end{cases}$$ ist durch
\begin{equation}\label{poisson kugel fml}
  u(x)=\int\limits_{\partial B_r}K(x,y)g(y)\,dy
\end{equation}
f\"ur $x\in B_r$ mit
$$K(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_nr}\frac1{|x-y|^n}$$
f\"ur $x\in B_r$ und $y\in\partial B_r$ gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe: Rechne nach, dass $\phi^x(y):=\Phi\left(\frac1r
    |x|(y-\tilde x)\right)$, $\tilde x=r^2\frac x{|x|^2}$, analog zu oben
  definiert, das Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \Delta \phi^x=0&\text{in }B_r(0),\\
    \phi^x(y)=\Phi(y-x)&\text{f\"ur }y\in\partial B_r(0)
  \end{cases}
  \]
  l\"ost.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{poisson darst thm alt}
  Sei $g\in C^0(\partial B_r)$ und $u$ durch \eqref{poisson kugel fml}
  definiert. Dann gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^\infty(B_r)$,
  \item $\Delta u=0$ in $B_r$,
  \item $u$ l\"a\ss{}t sich stetig auf $\partial B_r$ fortsetzen und
    erf\"ullt dort $u=g$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}
