% 
% Partielle Differentialgleichungen 1 
% Oliver Schn\"urer
%
% FU Berlin, Winter 2004/2005 
% Canberra, 2nd term 2008 
% FU Berlin, Sommer 2009
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Partielle Differentialgleichungen I}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Freie Universit\"at Berlin, Arnimallee
  3, 14195 Berlin, Germany}
% Current address
\curraddr{} \def\fuaddress{@math.fu-berlin.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

% General info
\subjclass[2000]{35-01, 35J25}
% 35-xx Partial differential equations 35-01 Instructional exposition
% (textbooks, tutorial papers, etc.)  35A05 General existence and
% uniqueness theorems 35A08 Fundamental solutions 35A15 Variational
% methods 35B05 General behavior of solutions of PDE (comparison
% theorems; oscillation, zeros and growth of solutions; mean value
% theorems) 35B45 A priori estimates 35B50 Maximum principles 35B65
% Smoothness and regularity of solutions of PDE 35C05 Solutions in
% closed form 35J05 Laplace equation, reduced wave equation
% (Helmholtz), Poisson equation [See also 31Axx, 31Bxx] 35K05 Heat
% equation
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations

\date{Oktober 2012.}

\dedicatory{}

\keywords{Laplacegleichung, harmonische Funktionen, Perron,
  Maximumprinzip, Sobolevr\"aume, $L^2$-Theorie}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu 
  Partielle Differentialgleichungen I. Ben\"utzt
  \begin{itemize}
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Wintersemester 2004/5,
  \item an der ANU Canberra im 2nd term 2008,
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Sommersemester 2009.
  \end{itemize}
  Vielen Dank insbesondere an Friederike Dittberner, Anja Grabow,
  Felix Jachan und Thilo Notz f\"ur zahlreiche Korrekturen.
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents

% \mainmatter
\addtocounter{section}{-1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Beispiele}
\begin{notation}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Sei $x\in\R^n$. In Koordinaten schreiben wir
    $x=(x^1,\ldots,x^n)$. Sei $\Omega\subset\R^n$ offen,
    $u:\Omega\to\R$.
  \item Ist $u$ hinreichend oft differenzierbar, so bezeichnen wir mit
    $Du$, $D^2u$, \ldots, erste, zweite, \ldots Ableitungen.\par
    Indices bezeichnen partielle Ableitungen
  $$u_i=\fracp{u}{x^i},\quad u_{ij}=\fracp{^2u}{x^i\partial x^j},\,
  \ldots.$$ F\"ur $u:\Omega\times\R\to\R$ ist $t$ die $(n+1)$-ste
  Variable, $u(x,t)$, $u_t=\fracp ut$ oder $\dot u=u_t$.\par Wir
  verwenden zu den Koordinatenbezeichnungen in $\R^n$ analoge
  Bezeichnungen f\"ur vektorwertige Funktionen $u:\Omega\to\R^k$,
  $u=(u^1,\ldots,u^k)$, oder $u:\Omega\times\R\to\R^k$, z.\,B.{}
  $u^l_i=\fracp{u^l}{x^i}$. Vektorwertige Funktionen werden
  (zun\"achst) kaum auftreten.
\end{enumerate}
\end{notation}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ $k$-mal stetig
  differenzierbar, $u\in C^k(\Omega)$,
  $F:\R^{n^k}\times\R^{n^{k-1}}\times\ldots
  \times\R^n\times\R\times\Omega\to\R$. Ein Ausdruck der Form
$$F\left(D^ku(x),D^{k-1}u(x),\ldots,Du(x),u(x),x\right)=0$$ hei\ss{}t
Differentialgleichung $k$-ter Ordnung.
\end{definition}

\begin{beispiele}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Laplacegleichung, $u:\Omega\to\R$,
  $$\Delta u:=\sum\limits_{i=1}^nu_{ii}=0\quad\text{in }\Omega.$$
\item Eigenwertgleichung, $u:\Omega\to\R$,
  $$\Delta u=\lambda u\quad\text{in }\Omega,\quad\lambda\in\R.$$
\item W\"armeleitungsgleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\R$, $T>0$,
  $$u_t=\Delta u.$$
\item Schr\"odingergleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\C$, $T>0$,
  $$iu_t+\Delta u=0.$$
\item Wellengleichung, $u:\Omega\times[0,T)\to\R$, $T>0$,
  $$u_{tt}-\Delta u=0.$$
\item Poissongleichung, $u:\Omega\to\R$, $f:\R\to\R$,
  $$-\Delta u=f(u).$$
\item $p$-Laplace Gleichung, $u:\Omega\to\R$, $p>0$,
  \begin{align*}
    \divergenz\left(|Du|^{p-2}Du\right)=&\,0,\quad\text{d.\,h.}\\
    \sum\limits_{i=1}^nD_i\left(|Du|^{p-2}D_iu\right)=&\,0,
  \end{align*}
  wobei $D_i$ partielle Ableitungen bezeichnet, $D_i=\fracp{}{x^i}$.
\item Minimalfl\"achengleichung
  $$\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)=0,\quad
  \text{d.\,h.} \quad\Delta u-\frac{u^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}=0,$$ wobei
  $u^i:=\delta^{ij}u_j$. \par Wir verwenden hier die Einsteinsche
  Summenkonvention, \dh wir summieren \"uber gleiche \glqq oben\grqq{}
  und \glqq unten\grqq{} stehende Indices von $1$ bis zur Dimension
  $n$, also
  $$u^iu^ju_{ij}\equiv\sum\limits_{i,j=1}^nu^iu^ju_{ij}
  =\sum\limits_{i,j,k,l=1}^n u_k\delta^{ki}u_l\delta^{lj}u_{ij}.$$
\item Mittlerer Kr\"ummungsfluss f\"ur Graphen (MCF)
  $$\dot u=\sqrt{1+|Du|^2} \cdot\divergenz
  \left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right).$$
\item Monge-Amp\`ere Gleichung
  $$\det D^2u=f(x,u,Du),$$
  speziell: Gleichung vorgeschriebener Gau\ss{}kr\"ummung f\"ur
  Graphen
  $$\frac{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}=f(x,u).$$
\item Reaktions-Diffusions Gleichung
  $$u_t-\Delta u=f(u).$$
\item Por\"ose Medien Gleichung
  $$u_t-\Delta(u^\gamma)=0,\quad\gamma>0.$$
\item Korteweg-de Vries Gleichung (KdV)
  $$u_t+uu_x+u_{xxx}=0.$$
\item Riccifluss (Poincar\'e, R. Hamilton, G. Perelman)
  $$\dot g_{ij}=-2R_{ij}.$$
\end{enumerate}
H\"aufig werden Differentialgleichungen mit Randwerten (oder
Anfangswerten) untersucht, z.\,B.{}
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega. \end{cases}$$
\end{beispiele}

\begin{remark}[Untersuchte Fragestellungen]
  \neueZeile
  \begin{itemize}
  \item Existenz von L\"osungen,
  \item Eindeutigkeit der L\"osung,
  \item Stetige Abh\"angigkeit einer L\"osung von den Daten (u.\,a.{}
    physikalisch wichtig),
  \item Regularit\"at von L\"osungen, z.\,B.{} Differenzierbarkeit,
  \item schwache L\"osungen, \dh L\"osungen $u$ einer
    Differentialgleichung $k$-ter Ordnung mit $u\not\in C^k$.
  \item quantitatives oder qualitatives Verhalten
    \begin{itemize}
    \item im Unendlichen, $|x|\to\infty$, $t\to\infty$,
    \item in oder nahe Singularit\"aten,
    \item Beschr\"anktheit,
    \item \ldots.
    \end{itemize}
  \item Klassifikation aller L\"osungen, explizite L\"osungsformeln.
  \item \ldots.
  \end{itemize}
  \par Die verwendeten Methoden h\"angen in der Regel stark von der
  betrachteten Gleichung ab.\par Wir werden zun\"achst insbesondere
  das Randwertproblem (RWP)
$$\begin{cases}\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ untersuchen.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Die Laplacegleichung und Darstellungsformeln}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Die Fundamentall\"osung}
Wir folgen \cite{EvansPDE} und sp\"ater \cite{GT}. Wir wollen $n\ge2$
annehmen. Sonst entspricht das betrachtete Problem einer
gew\"ohnlichen Differentialgleichung.
\begin{remark}[Motivation]
  Sei $\Omega\subset\R^3$ offen, $u\in C^2(\Omega)$ beschreibe die
  Temperatur in $\Omega$. Wir nehmen an, dass die Temperatur
  zeitunabh\"angig ist, dass Temperatur und lokale W\"armemenge
  proportional zueinander sind, sowie dass die transportierte
  W\"armemenge proportional zu $|Du|$ ist und sich in Richtung
  $-\frac{Du}{|Du|}$ bewegt. Sei $U\subset\Omega$ glatt und
  beschr\"ankt. Die insgesamt durch $\partial U$ transportierte
  W\"armemenge ist (Rechne bis auf eine Konstante, bezeichne mit $\nu$
  die \"au\ss{}ere Normale an $U$ und benutze, dass $u$
  zeitunabh\"angig ist.)
  \begin{align*}
    0=&\,\int\limits_{\partial U}-\langle Du,\nu\rangle
    =\int\limits_U-\divergenz Du\quad\text{(Gau\ss{}scher Integralsatz)}\\
    =&\,\int\limits_U-\Delta u.
  \end{align*}
  Da $U$ beliebig war, folgt $\Delta u=0$ in $\Omega$.
\end{remark}

\begin{remark}[Rotationssymmetrische L\"osungen]
  Sei $u\in C^2(B_R\setminus\{0\})$ eine rotationssymmetrische
  L\"osung von $\Delta u=0$, \dh es gibt $v\in C^2((0,R))$, so dass
  $u(x)=v(r)$, wobei
  $r=|x|=\left(\sum\limits_{i=1}^n(x^i)^2\right)^{1/2}$.\par Wir
  leiten zun\"achst eine gew\"ohnliche Differentialgleichung f\"ur $v$
  her:
  \begin{align*}
    u_i=&\,v'r_i
    =v'\tfrac12\left(\sum\limits_{i=1}^n(x^i)^2\right)^{-1/2}2x_i
    =v'\frac{x_i}r,\umbruch\\ u_{ij}=&\,v''\frac{x_i}r\frac{x_j}r
    +v'\frac1r\left(\delta_{ij}-\frac{x_i}r\frac{x_j}r\right).
  \end{align*}
  Also gilt
$$0=\Delta u=\delta^{ij}u_{ij}=v''+v'\frac{n-1}r.$$ Entweder gilt
$v'\equiv0$ auf $(0,R)$ oder $v'\neq0$ auf $(0,R)$. Im Fall $v'>0$
ergibt sich
\begin{align*}
  0=&\,\frac{v''}{v'}+\frac{n-1}r=(\log v')'+\frac{n-1}r,\umbruch\\
  \log v'=&\,-(n-1)\log r+\log a,\quad a>0,\umbruch\\
  v'=&\,\frac a{r^{n-1}}.
\end{align*}
Ebenso erhalten wir f\"ur $v'<0$, dass $v'=\frac a{r^{n-1}}$ f\"ur ein
$a<0$. Durch Integration erhalten wir im Falle $n=2$ aus $v'=\frac
ar$, dass $v=a\log r+b$ und im Falle $n\ge3$ aus $v'=\frac
a{r^{n-1}}$, dass $v=\frac a{-n+2}\frac1{r^{n-2}}+b$, jeweils f\"ur
ein $b\in\R$, ist.
\end{remark}

\begin{definition}[Fundamentall\"osung]
  Die Funktion
$$\Phi(x):=\begin{cases}
  -\frac1{2\pi}\log|x|,&n=2,\\
  \frac1{n(n-2)\omega_n}\frac1{|x|^{n-2}},&n\ge3,
\end{cases}$$ $\Phi:\R^n\setminus\{0\}\to\R$ hei\ss{}t
Fundamentall\"osung der Laplacegleichung.\par Hier bezeichnet
$\omega_n$ das Volumen von $B_1(0)\subset\R^n$, $\omega_n=|B_1(0)|$.
\end{definition}

\begin{remark}
  F\"ur $x\neq0$ gelten die Absch\"atzungen
$$|D\Phi|\le\frac c{|x|^{n-1}}\quad\text{und}\quad
\left|D^2\Phi(x)\right|\le\frac c{|x|^n}$$ mit $c=c(n)$.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Darstellungsformel f\"ur $\R^n$}
Sei nun $n\ge2$. Wir benutzen die Fundamentall\"osung zur Konstruktion
von L\"osungen der Gleichung
$$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$
\begin{theorem}\label{f C2 repr thm}
  Sei $f\in C^2_c\left(\R^n\right)$. Definiere $u:\R^n\to\R$ durch
$$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy.$$
Dann gelten $u\in C^2\left(\R^n\right)$ und
$$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^2\left(\R^n\right)$: Wir transformieren das Integral
$$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy
=\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f(x-y)\,dy.$$ F\"ur $h\neq0$ und
$e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$, $1$ an der $i$-ten Stelle, betrachten
wir den Differenzenquotienten
$$\frac{u(x+he_i)-u(x)}h =\int\limits_{\R^n}
\Phi(y)\left[\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h\right]\,dy.$$ Wir wollen zum
Grenzwert $h\to0$ \"ubergehen. Nehme an, dass $|h|<1$ und $\supp
f\subset B_R=B_R(0)$. \par Es gilt nun $f(x+he_i-y)-f(x-y)=0$, falls
$|x+he_i-y|>R$ und $|x-y|>R$. Dies ist f\"ur $|y|>R+1+|x|$ erf\"ullt,
denn dann gelten $|x+he_i-y|\ge|y|-|x+he_i|\ge|y|-1-|x|>R$ und
$|x-y|\ge|y|-|x|>R$. Wir d\"urfen also annehmen, dass der Integrand
au\ss{}erhalb von $B_\rho$, $\rho>0$ geeignet, verschwindet. Da $f\in
C^1_c\left(\R^n\right)$ ist, konvergiert
$$\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h\to f_i(x-y)$$
f\"ur $h\to0$ gleichm\"a\ss{}ig in $x-y\in\R^n$. \par
Es gilt, dass
\begin{align*}
  \frac{u(x+he_i)-u(x)}h=&\,\int\limits_{B_\rho}\Phi(y)f_i(x-y)\,dy\\
  &\,+\int\limits_{B_\rho}\Phi(y)
  \left[\frac{f(x+he_i-y)-f(x-y)}h-f_i(x-y)\right]\,dy
\end{align*} und das zweite Integral konvergiert gegen $0$, falls
$\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy$ endlich ist. Es gilt f\"ur $n=2$
$$\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy \le
c\int\limits_{B_\rho}|\log|y||\,dy \le c\int\limits_0^\rho|\log
r|\cdot r\,dr<\infty,$$ sowie
$$\int\limits_{B_\rho}|\Phi(y)|\,dy \le
c\int\limits_{B_\rho}|y|^{2-n}\,dy \le c\int\limits_0^\rho
r\,dr<\infty$$ im Falle $n\ge3$.  Hierbei ist $c$ eine universelle
Konstante, \dh $c$ kann verschiedene Werte annehmen, ist aber stets
beschr\"ankt.\par
Also folgt f\"ur $n=1,\ldots,n$
$$u_i(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f_i(x-y)\,dy.$$
Analog erh\"alt man
$$u_{ij}(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(y)f_{ij}(x-y)\,dy.$$ Dieses
Integral ist in $x$ stetig, also erhalten wir $u\in
C^2\left(\R^n\right)$.
\item $-\Delta u=f$: Sei $\epsilon>0$. $\Phi$ ist singul\"ar. Daher
  spalten wir die Integration auf
  \begin{align*}
    \Delta u(x)=&\,\int\limits_{B_\epsilon(0)}\Phi(y)\Delta_xf(x-y)\,dy\\
    &\,+\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}
    \Phi(y)\Delta_xf(x-y)\,dy\umbruch\\
    \equiv&\,I_\epsilon+J_\epsilon.
  \end{align*}
  F\"ur $\epsilon\to0$ erhalten wir $I_\epsilon\to0$: Es gilt
  n\"amlich
  \begin{align*}
    |I_\epsilon|\le&\,c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
    \int\limits_{B_\epsilon(0)}|\Phi(y)|\,dy\\ \le&\,\begin{cases}
      c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
      \int\limits_0^\epsilon|\log r|\cdot r\,dr \le\left\Vert
        D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot\epsilon\cdot
      \sup\limits_{z\in(0,\epsilon)}|\log z|\cdot z,&n=2,\\
      c\cdot\left\Vert D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot
      \int\limits_0^\epsilon r^{2-n}r^{n-1}\,dr \le c\cdot\left\Vert
        D^2f\right\Vert_{C^0}\cdot\epsilon^2,&n\ge3.
    \end{cases}
  \end{align*}
  Aufgrund der Kettenregel (doppelt angewandt) gilt
  $\Delta_xf(x-y)=\Delta_yf(x-y)$ und wir erhalten
  \begin{align*}
    J_\epsilon=&\,\int\limits_{\R^n\setminus
      B_\epsilon(0)}\Phi(y)\Delta_y f(x-y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}-\langle D\Phi(y),
    D_yf(x-y)\rangle\,dy +\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(0)}\Phi(y)\left\langle
      D_yf(x-y),-\tfrac y{|y|}\right\rangle\,dy\umbruch\\
    \equiv&\,K_\epsilon+L_\epsilon.
  \end{align*}
  Hierbei kommt das Vorzeichen der Normalen von der Tatsache, dass wir
  \"uber den Au\ss{}enraum integrieren. Die partielle Integration ist
  gerechtfertigt, denn f\"ur $|x|\le c$ hat der Integrand als Funktion
  von $y$ einen kompakten Tr\"ager.\par
  Wir sch\"atzen $L_\epsilon$ wie folgt ab
  $$|L_\epsilon|\le c\cdot\Vert Df\Vert_{C^0}\cdot 
  \int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}|\Phi|\le\left.
    \begin{cases}c\cdot\Vert
      Df\Vert_{C^0}\cdot\epsilon\cdot|\log\epsilon|,
      &n=2,\\
      c\cdot\Vert Df\Vert_{C^0}\cdot\epsilon,
      &n\ge3,
    \end{cases}\right\} \to0\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0.$$
  Nach nochmaliger partielle Integration erhalten wir
\begin{align*}
  K_\epsilon=&\,\int\limits_{\R^n\setminus B_\epsilon(0)}
  \Delta_y\Phi(y)\cdot f(x-y)\,dy -\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}\left\langle D_y\Phi(y),-\tfrac y{|y|}\right\rangle
  f(x-y)\,dy\umbruch\\ =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}\left\langle D_y\Phi(y),\tfrac y{|y|}\right\rangle
  f(x-y)\,dy,\umbruch\\ \intertext{da $\Phi$ in $\R^n\setminus\{0\}$
    harmonisch ist,} =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}|y|^{1-n} \left\langle\tfrac
    y{|y|},\tfrac y{|y|}\right\rangle f(x-y)\,dy\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}\epsilon^{1-n} f(x-y)\,dy\umbruch\\
  \intertext{und wegen $|\partial B_\epsilon|=n\omega_n\epsilon^{n-1}$
    k\"onnen wir $0=f(x)-f(x)$ wie folgt hinzuaddieren}
  =&\,\underbrace{\int\limits_{\partial
      B_\epsilon(0)}-\frac1{n\omega_n}\epsilon^{1-n}
    \underbrace{(f(x-y)-f(x))}_{\to0\quad\text{f\"ur
      }\epsilon\to0}\,dy}_{\left|\int\ldots\right|\le
    \sup\limits_{y\in
      B_\epsilon(0)} |f(x-y)-f(x)|}-f(x)\umbruch\\
  \to&\,0-f(x)\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0.
\end{align*}
Daher folgt $$\Delta u(x)=-f(x).$$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  In der Tat gilt Theorem \ref{f C2 repr thm} auch noch f\"ur $f\in
  C^{0,\alpha}_c\left(\R^n\right)$, nur ist der Beweis deutlich
  komplizierter.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Mittelwerteigenschaft}
\begin{theorem}[Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen]
  \label{MWE thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$ sei harmonisch.
  Dann gilt
$$u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u =\fint\limits_{B_r(x)}u,$$
falls $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Definiere $$\phi(r):=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy.$$
    Zeige zun\"achst, dass $\phi$ konstant ist: Es gilt (mit $z=y/r$)
    \begin{align*}
      \phi(r)=&\,\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy
      =\fint\limits_{\partial B_r(0)}u(x+y)\,dy =\frac1{|\partial
        B_r|}\int\limits_{\partial B_r(0)}
      u(x+y)\,dy\umbruch\\
      =&\,\frac1{r^{n-1}|\partial B_1|} \int\limits_{\partial B_1(0)}
      u(x+rz) r^{n-1}\,dz =\frac1{|\partial B_1|}
      \int\limits_{\partial B_1(0)} u(x+rz)\,dz.\umbruch\\
      \phi'(r) =&\,\frac{d\phi}{dr} =\frac1{|\partial B_1|}
      \int\limits_{\partial B_1(0)}\langle Du(x+rz),z\rangle\,dz\umbruch\\
      =&\,\frac1{r^{n-1}|\partial B_1|} \int\limits_{\partial B_r(x)}
      \left\langle Du(y),\frac{y-x}r\right\rangle\,dy
      =\frac1{|\partial B_r|} \int\limits_{\partial B_r(x)} \langle
      Du(y),\nu\rangle\,dy\umbruch\\ =&\,\frac1{|\partial B_r|}
      \int\limits_{B_r(x)} \Delta u(y)\,dy =0,
    \end{align*}
    wobei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\partial B_r(x)$ ist und
    wir den Divergenzsatz verwendet haben.  Somit ist $\phi'=0$. Also
    ist $\phi$ konstant.  Da $u$ stetig ist, erhalten wir
    $$\phi(r)=\lim\limits_{t\searrow0}\phi(t)=\lim\limits_{t\searrow0}
    \fint\limits_{\partial B_t(x)}u(y)\,dy=u(x).$$
\item Es gilt aufgrund der eben erzielten Ergebnisse
  \begin{align*}
    \int\limits_{B_r(x)}u(y)\,dy=&\,\int\limits_0^r
    \int\limits_{\partial B_s(x)}u(y)\,dy\,ds
    =u(x)\int\limits_0^r\underbrace{n\omega_ns^{n-1}}_{=|\partial
      B_s|}\,ds=\omega_nr^nu(x).
  \end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Umkehrung der Mittelwerteigenschaft]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$. Falls f\"ur jede
  Kugel $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$
$$u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u(y)\,dy$$
gilt, so ist $u$ harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Notation des Beweises von Theorem \ref{MWE thm}. Ist
  $\Delta u\not\equiv0$, so existiert $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, so
  dass (ohne Einschr\"ankung) $\Delta u>0$ in $B_r(x)$ gilt. Dann
  folgt mit Hilfe der Rechnungen des Beweises von Theorem \ref{MWE
    thm}
  $$0=\phi'(r)=\frac1{|\partial
    B_r|}\int\limits_{B_r(x)}\Delta u>0.$$ Widerspruch.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$. Gilt f\"ur jede
  Kugel $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$
$$u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u(y)\,dy,$$ so ist $u$ in $\Omega$
harmonisch. Zeige dies.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $u\in C^2(\Omega)
  \cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ sei harmonisch. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $$\max\limits_{\ol\Omega}u=\max\limits_{\partial\Omega}u.$$
  \item Existiert $x_0\in\Omega$ mit
    $u(x_0)=\max\limits_{\ol\Omega}u$, so ist $u$ auf der
    Zusammenhangskomponente von $x_0$ konstant.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die erste Aussage folgt direkt aus der zweiten. Daher beweisen wir
  nur diese. \par Definiere $$A:=\left\{x\in\Omega:u(x)=u(x_0)
    =\max\limits_{\ol\Omega}u\right\}.$$ $A$ ist relativ abgeschlossen
  in $\Omega$. Sei $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, $x\in A$. Es folgt
  \begin{align*}
    \max\limits_{\ol\Omega}u=&\,u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u
    \quad\text{(Mittelwerteigenschaft)}\umbruch\\
    \le&\,\fint\limits_{B_r(x)}\sup\limits_{\ol\Omega}u
    =\sup\limits_{\ol\Omega} u
  \end{align*}
  und Gleichheit gilt genau dann, wenn
  $u|_{B_r(x)}=\sup\limits_{\ol\Omega}u$ ist. Damit ist $A$ relativ
  offen in $\Omega$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in C^0(\Omega)$,
  $g\in C^0(\partial\Omega)$. Dann besitzt das Randwertproblem
$$\begin{cases} \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung $u\in
C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $u$ und $\tilde u\in C^2(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ L\"osungen. Dann erf\"ullt $w:=u-\tilde
  u$
  $$\begin{cases}\Delta w=0&\text{in }\Omega,\\ w=0&\text{auf
    }\partial\Omega. \end{cases}$$ Das Maximumprinzip impliziert nun,
  dass $w=0$ in $\Omega$ gilt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Regularit\"at und innere Absch\"atzungen}
\begin{theorem}[Regularit\"at]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ stetig. Erf\"ullt $u$
  die Mittelwerteigenschaft $u(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}u$
  f\"ur alle Kugeln $\ol{B_r(x)}\subset\Omega$, so ist $u\in
  C^\infty(\Omega)$.
\end{theorem}
Wir bemerken, dass es gen\"ugt, kleine Kugeln zu betrachten.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\eta$ ein rotationssymmetrischer Friedrichscher Gl\"attungskern
  (``mollifier''). Definiere in
  $\Omega_\epsilon:=\{x\in\Omega:\dist(x,\partial\Omega)>\epsilon\}$
  die Funktionen $u_\epsilon:=\eta_\epsilon * u$, wobei
  $\eta_\epsilon:=\epsilon^{-n}\eta\left(\frac x\epsilon\right)$ ist.
  Es gilt $u_\epsilon\in C^\infty(\Omega_\epsilon)$. Wir zeigen nun,
  dass $u=u_\epsilon$ in $\Omega_\epsilon$ gilt. Hieraus folgt $u\in
  C^\infty(\Omega)$. Sei also $x\in\Omega_\epsilon$. Wir benutzen die
  leicht doppeldeutige Notation $\eta(x)=\eta(|x|)$. Es gilt
  \begin{align*}
    u_\epsilon(x)=&\,\int\limits_\Omega\eta_\epsilon(x-y)u(y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}\int\limits_{B_\epsilon(x)}
    \eta\left(\frac{|x-y|}\epsilon\right)u(y)\,dy\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}\int\limits_0^\epsilon\eta\left(\frac
      r\epsilon\right)\left(\,\,\int\limits_{\partial
        B_r(x)}u\right)\,dr\umbruch\\
    =&\,\frac1{\epsilon^n}u(x)\int\limits_0^\epsilon\eta\left(\frac
      r\epsilon\right)n\omega_nr^{n-1}\,dr
    \quad\text{(Mittelwerteigenschaft)}\umbruch\\
    =&\,u(x)\int\limits_{B_\epsilon(0)}\eta_\epsilon=u(x).
  \end{align*}
\end{proof}
Daher werden wir in Zukunft annehmen, dass harmonische Funktionen von
der Klasse $C^\infty$ sind.

\begin{theorem}[Innere Absch\"atzungen f\"ur harmonische Funktionen]
  \label{int absch harm fkt thm}
  \neueZeilealt Sei $\Omega\subset\R^n$ und $u$ in $\Omega$
  harmonisch. Sei $\ol{B_r(x_0)}\subset\Omega$ und sei $\alpha$ ein
  Multiindex der Ordnung $k$, $|\alpha|=k$. Dann gilt
$$\left|D^\alpha u(x_0)\right|\le\frac{c_k}{r^{n+k}}\Vert
u\Vert_{L^1(B_r(x_0))},$$ wobei
\begin{align*}
  c_0=&\,\frac1{\omega_n},\\
  c_k=&\,\frac{\left(2^{n+1}nk\right)^k}{\omega_n},\quad k\in\N.
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir beweisen die Aussage per Induktion nach $k$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $k=0$: Aufgrund der Mittelwerteigenschaft gilt
$$|u(x_0)|=\left|\frac1{\omega_nr^n}\int\limits_{B_r(x_0)}u\right|
\le\frac1{\omega_nr^n}\int\limits_{B_r(x_0)}|u|.$$
\item $k=1$: Aus $\Delta u=0$ und der Regularit\"at von $u$ folgt auch
  $\Delta u_i=0$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    |u_i(x_0)|=&\,\left|\,\,\fint\limits_{B_{r/2}(x_0)}u_i\right|
    =\frac1{\omega_n\left(\frac r2\right)^n} \cdot
    \left|\,\,\int\limits_{B_{r/2}(x_0)}\langle Du,e_i\rangle\right|
    =\frac{2^n}{\omega_nr^n}\left|\,\,\int\limits_{\partial
        B_{r/2}(x_0)}u\langle\nu,e_i\rangle\right|\umbruch\\
    \le&\,\frac{2^n}{\omega_nr^n} \cdot
    \frac{\omega_nnr^{n-1}}{2^{n-1}} \cdot \Vert
    u\Vert_{L^\infty(\partial B_{r/2}(x_0))} =\frac{2n}r\cdot|u(y_0)|
  \end{align*}
  f\"ur einen geeignet gew\"ahlten Punkt $y_0\in\partial
  B_{r/2}(x_0)$. Es gilt $\ol{B_{r/2}(y_0)}\subset\Omega$. Also
  k\"onnen wir aufgrund der Induktionsannahme wie folgt absch\"atzen
$$|u_i(x_0)|\le\frac{2n}r\frac1{\omega_n\left(\frac r2\right)^n} \Vert
u\Vert_{L^1(B_{r/2}(y_0))} \le\frac{2^{n+1}n}{\omega_nr^{n+1}}\Vert
u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}.$$
\item $k\ge2$: Sei $\alpha$ ein Multiindex der Ordnung $k$,
  $D^\alpha=\left(D^\beta\right)_i$ f\"ur einen Multiindex $\beta$ der
  Ordnung $k-1$. Wie im Beweis f\"ur den Fall $k=1$ erhalten wir auf
  einer Kugel vom Radius $\frac rk$
$$\left|D^\alpha u(x_0)\right|\le\frac{nk}r\left\Vert D^\beta
  u\right\Vert_{L^\infty(\partial B_{r/k}(x_0))}
=\frac{nk}r\left|D^\beta u(y_0)\right|$$ f\"ur ein geeignetes
$y_0\in\partial B_{r/k}(x_0)$. Nun gilt
$\ol{B_{\frac{k-1}kr}(y_0)}\subset\ol{B_r(x_0)}\subset\Omega$ und
daher nach Induktionsvoraussetzung
\begin{align*}
  \left|D^\alpha u(x_0)\right|\le&\,\frac{nk}r
  \frac{\left(2^{n+1}n(k-1)\right)^{k-1}}{\omega_n}\left(\frac
    k{r(k-1)}\right)^{n+k-1}\cdot \Vert
  u\Vert_{L^1(B_{\frac{k-1}kr}(y_0))}\umbruch\\
  \le&\,\frac{\left(2^{n+1}nk\right)^k}{\omega_nr^{n+k}}\cdot \Vert
  u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[Satz von Liouville]\label{liouville thm}
  Sei $u:\R^n\to\R$ harmonisch und beschr\"ankt. Dann ist $u$
  konstant.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\R^n$ und $r>0$. Es gilt
$$|Du(x_0)|\le\frac c{r^{n+1}}\cdot\Vert u\Vert_{L^1(B_r(x_0))}
\le\frac cr\cdot\Vert
u\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\to0\quad\text{f\"ur }r\to\infty.$$
Es folgt $|Du(x_0)|=0$. Somit ist $u$ konstant.
\end{proof}

\begin{theorem}[Darstellungsformel]
  Sei $f\in C^2_c\left(\R^n\right)$, $n\ge3$. Dann ist jede
  beschr\"anke L\"osung $u\in C^2\left(\R^n\right)$ von
  $$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n$$
  von der Form
  $$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy+C$$
  f\"ur eine Konstante $C\in\R$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
$$\tilde u(x):=\int\limits_{\R^n}\Phi(x-y)f(y)\,dy.$$ Dann ist $\tilde
u\in C^2\left(\R^n\right)$ eine L\"osung von $-\Delta u=f$ in $\R^n$.
F\"ur $|x|\to\infty$ gilt $\Phi(x)\to0$ (f\"ur $n\ge3$). Daher ist
$\tilde u$ beschr\"ankt. (Es w\"urde dazu gen\"ugen, dass $\Phi(x)$
f\"ur $|x|\ge R$ beschr\"ankt ist.) Sei nun $u\in
C^2\left(\R^n\right)$ eine weitere beschr\"ankte L\"osung von
$$-\Delta u=f\quad\text{in }\R^n.$$ Dann ist $w:=u-\tilde u$
beschr\"ankt und harmonisch, $\Delta w=0$. Nach dem Satz von
Liouville, Theorem \ref{liouville thm}, folgt daher $w=C$ f\"ur eine
Konstante $C\in\R$.
\end{proof}

\begin{remark}
  F\"ur $n=2$ ist $\Phi(x)=-\frac1{2\pi}\log|x|$ f\"ur $|x|\to\infty$
  unbeschr\"ankt. Daher ist $\tilde u$ i.\,a.{} unbeschr\"ankt und
  dieser Beweis funktioniert nicht.
\end{remark}

\begin{theorem}[Analytizit\"at]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u:\Omega\to\R$ harmonisch. Dann
  ist $u$ in $\Omega$ analytisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\Omega$. Wir werden nachweisen, dass die Taylorreihe von
  $u$ in $x_0$ in einer Kugel um $x_0$ konvergiert. Definiere
$$r:=\frac14\dist(x_0,\partial\Omega)$$ bzw.{} $r:=1$ falls $\Omega=\R^n$ 
und
$$M:=\frac1{\omega_nr^n}\Vert u\Vert_{L^1(B_{2r}(x_0))}.$$ Da $u\in
C^\infty(\Omega)$ ist, erhalten wir $M<\infty$.\par
\textbf{Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen:} Wir kombinieren
$$\left|D^\alpha u(x)\right|\le
\frac{\left(2^{n+1}n|\alpha|\right)^{|\alpha|}}{\omega_n}
\frac1{r^{n+|\alpha|}} \Vert u\Vert_{L^1(B_r(x))}$$ und $B_r(x)\subset
B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ f\"ur $x\in B_r(x_0)$ und erhalten
$$\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))}\le
M\left(\frac{2^{n+1}n}r\right)^{|\alpha|}\cdot|\alpha|^{|\alpha|}.$$
F\"ur $k\in\N$ gilt $\frac1{k!}k^k\le e^k$ oder \"aquivalent dazu
$k^k\le e^kk!$. Also ist $|\alpha|^{|\alpha|}\le
e^{|\alpha|}|\alpha|!$. Das Multinomialtheorem liefert f\"ur
$|\alpha|=k$
$$n^k=(1+\ldots+1)^k=\sum\limits_{|\beta|=k}\frac{|\beta|!}{\beta!}
\ge\frac{|\alpha|!}{\alpha!}.$$ Also ist $|\alpha|!\le
n^{|\alpha|}\alpha!$. Wir erhalten
$$\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))} \le
M\left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^{|\alpha|}\alpha!.$$
\textbf{Potenzreihe:} Wir behaupten, dass (zumindest) f\"ur
$|x-x_0|<\frac r{2^{n+2}n^3e}$ die Taylorreihe
$$\sum\limits_\alpha\frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha$$
gegen $u$ konvergiert. Dazu betrachten wir die Restglieddarstellung
\begin{align*}
  R_N(x):=&\,u(x)-\sum\limits_{k=0}^{N-1}
  \sum\limits_{|\alpha|=k}\frac{D^\alpha
    u(x_0)(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{|\alpha|=N}
  \frac{D^\alpha(x_0+t(x-x_0))(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}
\end{align*}
f\"ur ein $t\in[0,1]$. Dies erh\"alt man durch Betrachtung der
Funktion $g(t):=u(x+t(x-x_0))$, Entwicklung f\"ur $t=0$ und Auswertung
bei $t=1$. Die obigen Absch\"atzungen f\"ur die Ableitungen von $u$
liefern
\begin{align*}
  |R_N(x)|\le&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}
  \left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^N \left(\frac
    r{2^{n+2}n^3e}\right)^N\umbruch\\
  =&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}\left(\frac1{2n}\right)^N
  \le Mn^N\left(\frac1{2n}\right)^N=\frac M{2^N}\umbruch\\
  \to&\,0\quad\text{f\"ur }N\to\infty.
\end{align*}
Bemerkung: Die Absch\"atzung $\sum\limits_{|\alpha|=N}1\le n^N$
erh\"alt man wie folgt; Analogie: $N$ Kugeln sind auf $n$ K\"orbe zu
verteilen; f\"ur jede Kugel hat man $n$ M\"oglichkeiten, also
insgesamt h\"ochstens $n\cdots n=n^N$ M\"oglichkeiten.
% $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die erste Kugel, $n$ M\"oglichkeiten f\"ur
% die zweite Kugel, ...  $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die $n$-te Kugel.
% Dies liefert die Absch\"atzung.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Harnackungleichung}
\begin{theorem}[Harnackungleichung]\label{Harnackungleichung}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$ harmonisch und $u>0$
  in $\Omega$. Sei $\Omega_1\Subset\Omega$ offen und
  zusammenh\"angend. Dann gibt es $c=c(n,\Omega_1,\Omega)$, so dass
$$\sup\limits_{\Omega_1}u\le c\cdot\inf\limits_{\Omega_1}u$$
gilt.
\end{theorem}
F\"ur $x,\,y\in\Omega_1$ folgt also
$$\frac1cu(y)\le u(x)\le c\cdot u(y),$$ \dh die Funktionswerte von $u$
in $\Omega_1$ sind untereinander vergleichbar.
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $r:=\frac14\dist(\Omega_1,\partial\Omega)$ oder setze
  $r=1$, falls $\Omega=\R^n$ ist. Seien $x,\,y\in\Omega_1$ mit
  $|x-y|\le r$. Wir benutzen die Mittelwerteigenschaft harmonischer
  Funktionen und erhalten
  \begin{align*}
    u(x)=&\,\fint\limits_{B_{2r}(x)}u=\frac1{\omega_n2^nr^n}
    \cdot\int\limits_{B_{2r}(x)}u\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{\omega_n2^nr^n}\int\limits_{B_r(y)}u,\quad\text{da
    }B_r(y)\subset B_{2r(x)}\umbruch\\
    =&\,\frac1{2^n}\fint\limits_{B_r(y)}u=\frac1{2^n}u(y).
  \end{align*}
  Somit gilt f\"ur alle $x,\,y\in\Omega_1$ mit $|x-y|\le r$
$$2^nu(y)\ge u(x)\ge\frac1{2^n}u(y).$$ Da $\ol{\Omega_1}$ kompakt ist,
gibt es endlich viele $x_i\in\Omega_1$, $1\le i\le N$, so dass
$\ol{\Omega_1}\subset\bigcup\limits_{i=1}^NB_{r/2}(x_i)$ ist. Seien
nun $x,\,y\in\Omega_1$ beliebig. Modifiziere einen stetigen Weg von
$x$ nach $y$, so dass er nur aus Geradenst\"ucken zwischen Punkten aus
$\{x,y,x_1,\ldots,x_N\}$ besteht. Jedes $x_i$ werde dabei h\"ochstens
einmal besucht, z.\,B. $$\text{\glqq}x\to x_1\to\ldots\to x_N\to
y\text{\grqq}.$$ Es gilt
\begin{align*}
  u(x)\ge&\,\frac1{2^n}u(x_1),\umbruch\\
  u(x_1)\ge&\,\frac1{2^n}u(x_2),\,\ldots,\umbruch\\ \intertext{und
    hieraus folgt dann} u(x)\ge&\,\frac1{2^{n(N+1)}}u(y).
\end{align*}
\end{proof}

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\subsection{Greensche Funktion und Darstellungsformeln auf Gebieten}
\begin{remark}[Greensche Funktion: Herleitung und Definition]
  % Nach G. Green benannt.
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$, $u,\,v\in C^2\left(\ol\Omega\right)$.\par Dann folgt aus dem
  Divergenztheorem die \emph{1. Greensche Formel}
$$\int\limits_\Omega v\Delta u +\int\limits_\Omega \langle
Du,Dv\rangle =\int\limits_{\partial\Omega} v\langle Du,\nu\rangle,$$
wobei wir mit $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega$ bezeichnen.
Wir vertauschen nun die Rollen von $u$ und $v$, subtrahieren die
entsprechenden Gleichungen voneinander und erhalten die \emph{2.
  Greensche Formel}
$$\int\limits_\Omega v\Delta u-u\Delta v =\int\limits_{\partial\Omega}
v\langle Du,\nu\rangle-u\underbrace{\langle
  Dv,\nu\rangle}_{\equiv\fracp v\nu}.$$ Sei nun $x\in\Omega$ und
$\epsilon>0$ so klein, dass $\ol{B_\epsilon(x)}\subset\Omega$ ist.
Definiere $\Omega_\epsilon:=\Omega\setminus\ol{B_\epsilon(x)}$. Dann
folgt
\begin{align*}
  &\,\int\limits_{\Omega_\epsilon}u(y)\Delta\Phi(y-x)-\Phi(y-x)\Delta
  u(y)\,dy\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\partial\Omega_\epsilon}u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)
  -\Phi(y-x)\fracp u\nu(y)\,dy.
\end{align*}
Es gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\Delta\Phi(y-x)=0$ f\"ur $x\neq y$,
\item $\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}\Phi(y-x)\fracp
  u\nu(y)\,dy\to0$ f\"ur $\epsilon\to0$. Dies folgt wie bei der
  Absch\"atzung f\"ur $L_\epsilon$ im Beweis von Theorem \ref{f C2
    repr thm}.
\item Aus der Rechnung f\"ur $K_\epsilon$, ebenfalls aus dem Beweis
  von Theorem \ref{f C2 repr thm}, erhalten wir
$$\fracp\Phi\nu(y)=\frac1{n\omega_n\epsilon^{n-1}}\quad
\text{auf }\partial B_\epsilon(0).$$
\end{enumerate}
Insgesamt erhalten wir also, wobei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an
$\R^n\setminus B_\epsilon(0)$ oder die innere Normale an
$B_\epsilon(0)$ bezeichnet,
$$\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)\,dy
=\fint\limits_{\partial B_\epsilon(x)}u(y)\,dy\to u(x)\quad
\text{f\"ur }\epsilon\to0.$$ Weiterhin
gilt \[\int\limits_{\Omega_\epsilon}\Phi(y-x)\Delta u(y)\,dz \to
\int\limits_{\Omega}\Phi(y-x)\Delta
u(y)\,dz\quad\text{f\"ur}\quad\epsilon\to0,\] da $\Phi$ in der N\"ahe
der Singularit\"at integrierbar ist. Damit folgt aus dem
Grenz\"ubergang $\epsilon\to0$
\begin{equation}\label{u repr fml}
  u(x)=\int\limits_{\partial\Omega}\Phi(y-x)\fracp u\nu(y) 
  -u(y)\fracp\Phi\nu(y-x)\,dy -\int\limits_\Omega\Phi(y-x)\Delta u(y)\,dy
\end{equation}
f\"ur alle $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ und alle $x\in\Omega$.\par
Dies liefert eine Darstellungsformel f\"ur $u$, falls wir $\Delta u$
in $\Omega$ sowie $u$ und $\fracp u\nu$ auf $\partial\Omega$ kennen.
Randwertprobleme, bei denen alle diese Daten vorgeschrieben sind, sind
aber \"uberbestimmt und i.\,a.{} nicht l\"osbar. Beispiel: Sei
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=0&\text{auf
  }\partial\Omega,\\ \fracp u\nu=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$ Aus den ersten beiden Gleichungen und dem Maximumprinzip
folgt dass $u=0$ gilt. Also mu\ss{} auch $\phi=0$ gelten. F\"ur
$\phi\neq0$ existiert daher keine L\"osung $u\in
C^2\left(\ol\Omega\right)$ oder $u\in C^2(\Omega)\cap
C^1\left(\ol\Omega\right)$.\par
\textbf{Korrekturfunktion:} Sei $x\in\Omega$ fest. Sei
$\phi^x=\phi^x(y)$ die L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}\Delta\phi^x=0&\text{in }\Omega,\\
  \phi^x=\Phi(\cdot-x)&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
\textbf{Bemerkung:} F\"ur sehr spezielle Gebiete werden wir $\phi^x$
explizit bestimmen. Das Perronverfahren wird L\"osungen f\"ur
allgemeine Gebiete liefern. Diese sind jedoch erst einmal nur von der
Klasse $C^2(\Omega) \cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ f\"ur gen\"ugend
glatte Gebiete $\Omega$. H\"ohere Regularit\"at ist zwar richtig,
jedoch technisch deutlich aufw\"andiger. \par Nehme nun $\phi^x\in
C^2\left(\ol\Omega\right)$ an. Dann liefert die 2. Greensche Formel
(unter Ber\"ucksichtigung des von $\phi^x$ gel\"osten
Randwertproblems)
\begin{equation}\label{zwei Stern gl}
  \begin{split}
    -\int\limits_\Omega\phi^x(y)\Delta
    u(y)\,dy=&\,\int\limits_{\partial\Omega}
    u(y)\fracp{\phi^x}\nu(y)-\phi^x(y)\fracp u\nu(y)\,dy\\
    =&\,\int\limits_{\partial\Omega}u(y)\fracp{\phi^x}\nu(y)-\Phi(y-x)\fracp
    u\nu(y)\,dy.
  \end{split}
\end{equation}
Definiere nun die Greensche Funktion f\"ur das Gebiet $\Omega$ durch
$$G(x,y):=\Phi(y-x)-\phi^x(y),\quad x\neq y\in\Omega.$$
Wir addieren \eqref{u repr fml} und \eqref{zwei Stern gl} und erhalten
$$u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}u(y)\fracp G{\nu_y}(x,y)\,dy
-\int\limits_\Omega G(x,y)\Delta u(y)\,dy.$$ Nun tauchen auf der
rechten Seite nur noch $u|_{\partial\Omega}$ und $\Delta u|_{\Omega}$
auf.
\end{remark}

Wir erhalten also
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Sei $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung des
  Randwertproblems
$$\begin{cases} -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ und $G$ die Greensche Funktion f\"ur
$\Omega$, so gilt
$$u(x)=-\int\limits_{\partial\Omega}g(y)\fracp G{\nu_y}(x,y)\,dy
+\int\limits_\Omega f(y)G(x,y)\,dy$$ f\"ur $x\in\Omega$.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Sei $x\in\Omega$. Betrachte $G(x,y)$ als Funktion von $y$. Dann gilt
  im Distributionssinne
$$\begin{cases} -\Delta G=\delta_x&\text{in }\Omega,\\ G=0&\text{auf
  }\partial\Omega,\end{cases}$$ wobei $\delta_x$ das Diracma\ss{} zum
Punkt $x$ ist.
\end{remark}

\begin{theorem}[Symmetrie der Greenschen Funktion]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und sei
  $\partial\Omega\in C^1$. Seien $x\neq y\in\Omega$. Sei $G$ die zu
  $\Omega$ geh\"orige Greensche Funktion. Nehme an, dass $G\in
  C^2\left(\left(\ol\Omega\times\ol\Omega\right)\setminus\Delta\right)$,
  $\Delta:=\{(x,x):x\in\Omega\}$, ist. Dann gilt
$$G(y,x)=G(x,y).$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Fixiere $x\neq y\in\Omega$. Definiere f\"ur $z\in\ol\Omega$
  \begin{align*}
    v(z):=&\,G(x,z)\quad\text{f\"ur }z\neq x,\umbruch\\
    w(z):=&\,G(y,z)\quad\text{f\"ur }z\neq y.\umbruch\\
    \intertext{Es gilt}
    \Delta v(z)=&\,0\quad\text{f\"ur }z\neq x,\umbruch\\
    \Delta w(z)=&\,0\quad\text{f\"ur }z\neq y,\umbruch\\
    w=v=&\,0\quad\text{auf }\partial\Omega.
  \end{align*}
  Sei $\epsilon>0$. Definiere $\Omega_\epsilon:=\Omega\setminus
  \left(\ol{B_\epsilon(x)}\cup\ol{B_\epsilon(y)}\right)$. F\"ur
  hinreichend kleines $\epsilon>0$ (was wir im folgenden annehmen
  wollen) ist $\partial\Omega_\epsilon\in C^1$. Nach Annahme gilt
  $v,\,w\in C^2\left(\ol{\Omega_\epsilon}\right)$. \par Die 2.
  Greensche Formel liefert nun
  \begin{align*}
    0=&\,\int\limits_{\partial\Omega_\epsilon}v\fracp w\nu-w\fracp
    v\nu\umbruch\\ =&\,\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}v\fracp
    w\nu-w\fracp v\nu +\int\limits_{\partial B_\epsilon(y)}v\fracp
    w\nu-w\fracp v\nu,
  \end{align*}
  wobei wir mit $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega_\epsilon$
  bezeichnen. \par
  Nahe $x$ ist $w$ glatt. Wir erhalten also
  \begin{align*}
    \left|\,\,\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}\fracp w\nu
      v\,dz\right| \le&\,c\cdot\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}|v|
    =c\cdot\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}|G(x,z)|\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\underbrace{\int\limits_{\partial
        B_\epsilon(x)}|\Phi(z-x)|\,dz}_{\equiv I}
    +c\cdot\underbrace{\int\limits_{\partial
        B_\epsilon(x)}\underbrace{|\phi^x(z)|}_{=\text{beschr\"ankt}}\,dz
    }_{\to0\quad\text{f\"ur }\epsilon\to0}.
  \end{align*}
  Es gilt
$$I\le c\cdot\epsilon^{n-1}\cdot\left.\begin{cases} \log\epsilon,
    &n=2,\\
    \epsilon^{2-n},&n\ge3\end{cases}\right\}\to0\quad\text{f\"ur
}\epsilon\to0.$$ Es gilt also
$$0=\lim\limits_{\epsilon\searrow0}\left\{\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(x)} -w\fracp v\nu +\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(y)}v\fracp w\nu\right\}.$$ Durch Vergleich mit den
Rechnungen f\"ur $K_\epsilon$ aus dem Beweis von Theorem \ref{f C2
  repr thm} sehen wir unter Ber\"ucksichtigung der Tatsache, dass $w$
und $\phi^x$ nahe $x$ beschr\"ankt sind,
\begin{align*}
  \lim\limits_{\epsilon\searrow0}\int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}
  w\fracp v\nu =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}
  \int\limits_{\partial B_\epsilon(x)}
  w(z)\cdot\fracp{}{\nu_z}\left(\Phi(z-x)-\phi^x(z)\right)\,dz\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{\epsilon\searrow0}\int\limits_{\partial
    B_\epsilon(x)}w(z)\fracp{}{\nu_z}\Phi(z-x)\,dz\umbruch\\ =&\,w(x).
\end{align*}
Wir schlie\ss{}en also, dass $w(x)=v(y)$ ist und somit folgt
$G(y,x)=G(x,y)$.
\end{proof}

% Das folgende Korollar ist so nicht haltbar, da wir oben die
% Regularit\"at bis zum Rand zun\"achst einmal voraussetzen
% mu\ss{}ten.
%
%\begin{corollary}
%  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und $\partial\Omega\in
%  C^1$. Sei $G$ die zugeh\"orige Greensche Funktion. Definiere die
%  Diagonale durch $\Delta^{\ol\Omega}:=\left\{(x,x)\,:\,
%    x\in\ol\Omega\right\}$. Dann gilt $G\in
%  C^2\left(\left(\ol\Omega\times\ol\Omega\right)
%    \setminus\Delta^{\ol\Omega}\right)$.
%\end{corollary}

\begin{beispiel}[Greensche Funktion f\"ur einen Halbraum]
  Dies ist zun\"achst eine formale Rechnung, da ein Halbraum nicht
  pr\"akompakt ist. Definiere
$$\R^n_+:=\left\{(x^1,\ldots,x^n)\in\R^n\,:\,x^n>0\right\}.$$
Definiere $\tilde x$ als die Reflektion von $x$ an $\partial\R^n_+$,
$$\tilde x:=(x^1,\ldots,x^{n-1},-x^n).$$ \textbf{Beobachtung:} F\"ur
$x\in\R^n_+$ und $y\in\partial\R^n_+$ gilt $\Phi(y-\tilde
x)=\Phi(y-x)$. Die Abbildung $y\mapsto\Phi(y-\tilde x)$ ist in
$\ol{\R^n_+}$ harmonisch und glatt. Wir machen den folgenden Ansatz
\begin{align*}
  G(x,y):=&\,\Phi(y-x)-\Phi(y-\tilde x)\umbruch\\ \intertext{und
    erhalten} \fracp G{y^n} =&\,\fracp\Phi{y^n}(y-x)
  -\fracp\Phi{y^n}(y-\tilde x)\umbruch\\
  =&\,-\frac1{n\omega_n}\left\{\frac{y^n-x^n}{|y-x|^n}
    -\frac{y^n+x^n}{|y-\tilde x|^n}\right\}.
\end{align*}
F\"ur $y\in\partial\R^n_+$ erhalten wir
$$\fracp G{\nu_y}(x,y) =-\fracp G{y^n}(x,y)
=-\frac{2x^n}{n\omega_n}\frac1{|x-y|^n}.$$ Aufgrund der Greenschen
Darstellungsformel vermuten wir nun, dass eine L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\R^n_+,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\R^n_+
\end{cases}$$ f\"ur $x\in\R^n_+$ durch
$$u(x)=\frac{2x^n}{n\omega_n}\int\limits_{\partial\R^n_+}
\frac{g(y)}{|x-y|^n}\,dy$$ gegeben ist. \par Eindeutigkeit ist nicht
zu erwarten, da f\"ur $g=0$ alle Funktionen $u(x)=\alpha x^n$,
$\alpha\in\R$ L\"osungen sind.
\end{beispiel}

\begin{theorem}[Poissonsche Darstellungsformel f\"ur einen Halbraum]
  Sei $g\in C^0\left(\R^{n-1}\right)\cap
  L^\infty\left(\R^{n-1}\right)$ und betrachte $\R^{n-1}$ verm\"oge
  $x\mapsto(x,0)$ als Teilmenge von $\R^n$. Definiere f\"ur
  $x\in\R^n_+$
$$u(x):=\frac{2x^n}{n\omega_n}\int\limits_{\partial\R^n_+}
\frac{g(y)}{|x-y|^n}\,dy.$$ Dann gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $u\in C^\infty\left(\R^n_+\right)\cap
  L^\infty\left(\R^n_+\right)$,
\item $\Delta u=0$ in $\R^n_+$,
\item $u\in C^0\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und $u=g$ auf
  $\partial\R^n_+$. Genauer gilt: Es gibt eine stetige Fortsetzung
  $\tilde u$ von $u$ auf $\ol{\R^n_+}$ mit $\tilde u=g$ auf
  $\partial\R^n_+$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Definiere den Poissonkern f\"ur $\R^n_+$, $x\in\R^n_+$,
    $y\in\partial\R^n_+$, durch
$$K(x,y):=\frac{2x^n}{n\omega_n}\frac1{|x-y|^n}.$$ F\"ur $x\neq y$ ist
$y\mapsto G(x,y)$ harmonisch. Daher ist aufgrund der Symmetrie auch
$x\mapsto G(x,y)$ f\"ur $x\neq y$ harmonisch. Somit ist f\"ur
$x\in\R^n_+$ und $y\in\partial\R^n_+$ auch die Ableitung
$$x\mapsto K(x,y)=-\fracp G{y^n}(x,y)$$ harmonisch.
\item F\"ur alle $x\in\R^n_+$ gilt $1=\int\limits_{\partial
    R^n_+}K(x,y)\,dy$. Wir zeigen nur den einfachsten Fall ($n=3$) und
  lassen den Rest als \"Ubungsaufgabe. Es gilt
  \begin{align*}
    \int\limits_{\partial\R^3_+}
    \frac{2x^3}{3\omega_3}\frac1{|x-y|^3}\,dy
    =&\,\int\limits_{\partial\R^3_+}\frac{2x^3}{3\omega_3}
    \frac1{\left((x^3)^2+|y|^2\right)^{3/2}}\,dy\umbruch\\
    =&\,\int\limits_0^\infty\frac{2x^3}{3\omega_3}
    \frac1{\left((x^3)^2+r^2\right)^{3/2}}2\omega_2r\,dr\umbruch\\
    =&\,-\frac{4x^3\omega_2}{3\omega_3}
    \left.\left((x^3)^2+r^2\right)^{-1/2}\right|_0^\infty\umbruch\\
    =&\,\frac{4\omega_2}{3\omega_3}=\frac43\frac\pi{\frac43\pi}=1.
  \end{align*}
\item Da $K(x,y)>0$ ist und $g$ beschr\"ankt ist, ist auch $u$
  beschr\"ankt, $u\in L^\infty\left(\R^n_+\right)$. \par Die Abbildung
  $x\mapsto K(x,y)$ ist f\"ur $x\neq y$ glatt und alle Ableitungen
  fallen im Unendlichen schnell genug ab. Somit ist $u\in
  C^\infty\left(\R^n_+\right)$ (\"Ubungsaufgabe). Insbesondere gilt
  f\"ur $x\in\R^n_+$
$$\Delta u(x)=\int\limits_{\partial\R^n_+}\Delta_xK(x,y)g(y)\,dy=0.$$
(Hieraus folgt auch schon die \"uber $C^2$ hinausgehende
Regularit\"at.)\par \textbf{Beweisidee f\"ur $u\in
  C^\infty\left(\R^n_+\right)$:} Vergleiche Ableitung und
Differenzenquotienten. Auf Kompakta hat man gleichm\"a\ss{}ige
Konvergenz der Differenzenquotienten gegen die Ableitung. Die
Integralbeitr\"age von \glqq nach Unendlich\grqq{} sind klein.
\item \textbf{Stetigkeit bis zum Rand:} Sei $x_0\in\partial\R^n_+$ und
  $\epsilon>0$. Aufgrund der Stetigkeit von $g$ auf $\partial\R^n_+$
  gibt es $\delta>0$, so dass f\"ur alle $y\in\partial\R^n_+$ mit
  $|y-x_0|<\delta$ auch $|g(y)-g(x_0)|<\epsilon$ gilt. \par Sei nun
  $x\in\R^n_+$ und $|x-x_0|<\frac\delta2$. Dann gilt aufgrund der
  Normierung $$\int\limits_{\partial\R^n_+} K(x,y)\,dy=1$$ f\"ur alle
  $x\in\R^n_+$
  \begin{align*}
    |u(x)-g(x_0)|=&\, \left|\,\,\int\limits_{\partial\R^n_+}
      K(x,y)[g(y)-g(x_0)]\,dy\right|\umbruch\\
    \le&\,\int\limits_{\partial\R^n_+\cap
      B_\delta(x_0)}K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,dy\\ &\,
    +\int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
      B_\delta(x_0)}K(x,y)|g(y)-g(x_0)|\,dy\umbruch\\ \equiv&\,I+J.
  \end{align*}
  Aufgrund der Stetigkeit von $g$ und der Normierung gilt
$$I\le\epsilon\cdot\int\limits_{\partial\R^n_+\cap
  B_\delta(x_0)}K(x,y)\,dy
\le\epsilon\cdot\int\limits_{\partial\R^n_+}K(x,y)\,dy=\epsilon.$$
Benutze nun, dass $|x-x_0|\le\frac\delta2$ und $|y-x_0|\ge\delta$
gelten. Hieraus folgt $|x-x_0|\le\frac12|y-x_0|$ und
$|y-x|\ge|y-x_0|-|x_0-x| \ge|y-x_0|-\frac12|y-x_0|=\frac12|y-x_0|$.
Damit sch\"atzen wir $J$ ab
\begin{align*}
  J\le&\,2\cdot\Vert g\Vert_{L^\infty}\cdot
  \int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
    B_\delta(x_0)}K(x,y)\,dy\umbruch\\ \le&\,2\cdot\Vert
  g\Vert_{L^\infty}\cdot\frac{2x^n}{n\omega_n}
  \int\limits_{\partial\R^n_+\setminus
    B_\delta(x_0)}\frac{2^n}{|y-x_0|^n}\,dy\umbruch\\
  =&\,2^{n+2}\cdot\Vert g\Vert_{L^\infty}\cdot\frac{x^n}{n\omega_n}
  \underbrace{\int\limits_\delta^\infty
    \frac{(n-1)\omega_{n-1}r^{n-2}}{r^n}\,dr}_{<\infty}\umbruch\\
  \to&\,0\quad\text{f\"ur }x^n\downarrow0.
\end{align*}
Es folgt somit $u(x)\to g(x_0)$ f\"ur $x\to x_0$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}[Greensche Funktion f\"ur eine Kugel]
  Definiere f\"ur $x\in B_1(0)$ die Inversion an der Einheitssph\"are
  durch
$$x\mapsto\tilde x=\frac x{|x|^2}.$$ Durch \glqq Erraten\grqq{}
erh\"alt man, dass die Korrekturfunktion in diesem Falle durch
$$\phi^x(y):=\Phi(|x|(y-\tilde x))$$
(f\"ur $x\neq0$ und stetig fortgesetzt bis zu $x=0$) und die Greensche
Funktion durch
$$G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi(|x|(y-\tilde x))$$
gegeben sind. F\"ur $|y|=1$ und $x\neq0$ sieht man durch Quadrieren
direkt, dass $|y-x|=|x||y-\tilde x|$ gilt.\par F\"ur $B_r(0)$
betrachtet man
$$G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi\left(\frac1r|x|(y-\tilde x)\right).$$
\end{remark}

\begin{lemma}[Poissonsche Darstellungsformel f\"ur eine Kugel]
  Die Poissonsche Darstellungsformel f\"ur eine Kugel $B_r$ f\"ur das
  Randwertproblem
$$\begin{cases}
  \Delta u=0&\text{in }B_r,\\
  u=g&\text{auf }\partial B_r
\end{cases}$$ ist durch
\begin{equation}\label{poisson kugel fml}
  u(x)=\int\limits_{\partial B_r}K(x,y)g(y)\,dy
\end{equation}
f\"ur $x\in B_r$ mit
$$K(x,y)=\frac{r^2-|x|^2}{n\omega_nr}\frac1{|x-y|^n}$$
f\"ur $x\in B_r$ und $y\in\partial B_r$ gegeben.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe: Rechne nach, dass $\phi^x(y):=\Phi\left(\frac1r
    |x|(y-\tilde x)\right)$, $\tilde x=r^2\frac x{|x|^2}$, analog zu oben
  definiert, das Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \Delta \phi^x=0&\text{in }B_r(0)\\
    \phi^x(y)=\Phi(y-x)&\text{f\"ur }y\in\partial B_r(0)
  \end{cases}
  \]
  l\"ost.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{poisson darst thm}
  Sei $g\in C^0(\partial B_r)$ und $u$ durch \eqref{poisson kugel fml}
  definiert. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^\infty(B_r)$,
  \item $\Delta u=0$ in $B_r$,
  \item $u$ l\"a\ss{}t sich stetig auf $\partial B_r$ fortsetzen und
    erf\"ullt dort $u=g$.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Perronverfahren}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
C^2$, $g\in C^0(\partial\Omega)$. Wir wollen eine Funktion $u\in
C^\infty(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ finden, die das
Randwertproblem
$$\begin{cases}
  \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
  u=g&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$ l\"ost.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Konvergenzs\"atze}
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u_l:\Omega\to\R$ eine Folge
  harmonischer Funktionen, die gleichm\"a\ss{}ig gegen $u$
  konvergiert, $u_l\rightrightarrows u$.\par
  Dann ist $u$ in $\Omega$ harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Funktionen $u_l$ sind harmonisch und erf\"ullen daher die
  Mittelwerteigenschaft $$u_l(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u_l.$$ Aufgrund
  der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $u_l\rightrightarrows u$ d\"urfen
  wir zum Grenzwert \"ubergehen und erhalten
  $u(x)=\fint\limits_{B_r(x)}u$. Somit ist auch $u$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{tf harm konv thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $(u_l)$ eine Folge harmonischer
  Funktionen, die auf jeder kompakten Menge $K\subset\Omega$ die
  Absch\"atzung $|u_l(x)|\le c(K)$ erf\"ullen. Dann gibt es eine
  Teilfolge der $(u_l)$, die in $C^2_{loc}(\Omega)$ konvergiert. Der
  Grenzwert $u$ ist eine glatte harmonische Funktion.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der inneren Absch\"atzungen f\"ur harmonische Funktionen,
  Theorem \ref{int absch harm fkt thm}, gibt es f\"ur jedes
  $K\subset\Omega$ eine Umgebung $U$ mit $$K\subset
  U=K_\epsilon\equiv\{x\in\Omega:\dist(x,K)<\epsilon\}\Subset\Omega$$
  f\"ur ein $\epsilon>0$, so dass $\Vert u_l\Vert_{C^k(U)}\le
  c\left(k,n,U,\Omega,c\left(\ol U\right)\right)$ gilt. Nach dem Satz
  von Arzel\`a-Ascoli gibt es daher eine in $K_{\epsilon/2}$
  gleichm\"assig konvergente Teilfolge. Wir nehmen daher ohne
  Einschr\"ankung an, dass $u_l$ in $U$ gleichm\"assig gegen eine
  stetige Funktion $u$ konvergiert. Der Limes $u$ ist aufgrund der
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz in $K_{\epsilon/4}$ harmonisch.\par
  Mit Hilfe eines Diagonalfolgenarguments in $K$ folgt die Behauptung.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $u_l:\ol\Omega\to\R$ eine Folge von Funktionen $u_l\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, die in $\Omega$ harmonisch sind. Gelte
  $u_l=\phi_l$ auf $\partial\Omega$. \par Konvergieren die Funktionen
  $\phi_l$ auf $\partial\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig gegen eine Funktion
  $\phi$, so konvergieren die Funktionen $u_l$ in $\ol\Omega$
  gleichm\"a\ss{}ig gegen eine Funktion $u\in C^\infty(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, die in $\Omega$ harmonisch ist.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz
  $\phi_n\rightrightarrows\phi$ auf $\partial\Omega$ und des
  Maximumprinzips folgt, dass $u_l\rightrightarrows u$ in $\ol\Omega$
  gilt. Die Funktion $u$ ist in $\Omega$ harmonisch und damit auch
  glatt.
\end{proof}

\begin{theorem}[Harnacksches Konvergenztheorem]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend. Sei $u_l$ eine
  monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Sei $y\in\Omega$
  und sei $u_l(y)$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Sei
  $\Omega'\Subset\Omega$. Dann konvergiert $u_l$ auf $\Omega'$ gegen
  eine harmonische Funktion.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung nehmen wir an, dass $\Omega'$ zusammenh\"angend
  ist und $y\in\Omega'$ gilt. Sei $\epsilon>0$. Dann existiert ein
  $N$, so dass f\"ur $m\ge l>N$
$$0\le u_m(y)-u_l(y)<\epsilon$$ gilt.  Aufgrund der
Harnackungleichung, Theorem \ref{Harnackungleichung} folgt
$$\sup\limits_{\Omega'}|u_m-u_l|\le c(\Omega',\Omega)\cdot\epsilon.$$
Somit konvergiert $u_l$ auf $\Omega'$ gegen $u$. Also ist $u$ in
$\Omega'$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $u_l$ harmonische Funktionen,
  die in $C^0_{loc}(\Omega)$ gegen eine Funktion $u:\Omega\to\R$
  konvergieren. Dann konvergiert $u_l\to u$ in $C^k_{loc}(\Omega)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Auf kompakten Teilmengen von $\Omega$ sind die Funktionen $u_l$
  gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Aufgrund der inneren Absch\"atzungen
  und nach Arzel\`a-Ascoli gibt es daher eine Teilfolge, die f\"ur
  beliebiges $k\in\N$ in $C^k_{loc}$ gegen $u$ konvergiert. \par Falls
  nicht die gesamte Folge in $C^k_{loc}$ gegen $u$ konvergiert, gibt
  es $\Omega'\Subset\Omega$ und $\epsilon>0$, so dass f\"ur eine nicht
  umbenannte Teilfolge $\Vert u_l-u\Vert_{C^k(\Omega')}\ge\epsilon$
  gilt. Aufgrund der inneren Absch\"atzungen und Arzel\`a-Ascoli
  konvergiert aber auch eine Teilfolge dieser \glqq
  Gegenbeispielfolge\grqq{} in $C^k(\Omega')$ f\"ur beliebiges
  $k\in\N$. Wegen der $C^0_{loc}$-Konvergenz ist $u$ auch der
  Grenzwert dieser Teilfolge. Dies widerspricht aber der Voraussetzung
  $\Vert u_l-u\Vert_{C^k(\Omega')}\ge\epsilon$. Somit konvergiert
  bereits die gesamte Folge.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$C^0$-subharmonische Funktionen}
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^2(\Omega)$ hei\ss{}t
    \begin{itemize}
    \item harmonisch, falls $-\Delta u=0$,
    \item subharmonisch, falls $-\Delta u\le0$,
    \item superharmonisch, falls $-\Delta u\ge0$.
    \end{itemize}
  \item $u\in C^0(\Omega)$ hei\ss{}t
    \begin{itemize}
    \item subharmonisch, falls f\"ur jede Kugel $B_r(x)\Subset\Omega$
      und jede harmonische Funktion $h:C^2(B_r(x))\cap
      C^0\left(\ol{B_r(x)}\right)$ mit $u\le h$ auf $\partial B_r(x)$
      auch $u\le h$ in $B_r(x)$ folgt.
    \item superharmonisch, falls $-u$ subharmonisch ist.
    \item harmonisch, falls $u$ subharmonisch und superharmonisch ist.
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
  Kurzfristig werden wir diese Eigenschaften mit $C^2$-subharmonisch
  und $C^0$-sub\-har\-mo\-nisch unterschiedlich bezeichnen.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine $C^2$-subharmonische Funktion ist auch
    $C^0$-subharmonisch.
  \item Eine $C^0$-subharmonische Funktion erf\"ullt die
    Mittelwerteigenschaften
    \begin{align*}
      u(x)\le&\,\fint\limits_{B_r(x)}u,\\
      u(x)\le&\,\fint\limits_{\partial B_r(x)}u,
    \end{align*}
    falls $B_r(x)\Subset\Omega$.
  \item Die neue Definition harmonischer Funktionen ist \"aquivalent
    zu den bisherigen.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dies folgt direkt aus dem Maximumprinzip.
  \item Sei $h\in C^\infty(B_r(x))\cap C^0\left(\ol{B_r(x)}\right)$
    $C^2$-harmonisch und $u=h$ auf $\partial B_r(x)$.  Dann ist $h$
    durch die Poissonsche Darstellungsformel, siehe Theorem
    \ref{poisson darst thm}, gegeben und diese liefert
    $h(x)=\fint\limits_{\partial B_r(x)}h$.  Daher folgt
    \begin{align*}
      u(x)\le&\,h(x)=\fint\limits_{\partial
        B_r(x)}h=\fint\limits_{\partial B_r(x)} u,\umbruch\\
      u(x)\int\limits_{\partial B_r(x)}1\le&\,\int\limits_{\partial
        B_r(x)}u\umbruch\\ \intertext{und
        nach Integration von $0$ bis $r$ erhalten wir}\\
      u(x)\cdot|B_r(x)|\le&\,\int\limits_{B_r(x)}u.
    \end{align*}
  \item Es gilt: Ist eine Funktion $C^0$-harmonisch, so erf\"ullt sie
    die Mittelwerteigenschaft. Demnach ist sie von der Klasse $C^2$.
    Also ist sie auch $C^2$-harmonisch. Da schlie\ss{}lich eine
    $C^2$-harmonische Funktion aufgrund des Maximumprinzips auch
    $C^0$-harmonisch ist, sind alle diese Definitionen f\"ur
    harmonische Funktionen \"aquivalent.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{MWE liefert MP lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u:\Omega\to\R$ sei subharmonisch.
  (Wir spezifizieren hier nicht genauer, welche Definition von
  subharmonisch wir voraussetzen, da die Aussage insbesondere f\"ur
  $C^0$-subharmonische Funktionen gilt.)
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{MWE liefert MP lem i} Dann erf\"ullt $u$ das starke
    Maximumprinzip in $\Omega$, \dh falls es einen Punkt
    $x_0\in\Omega$ mit $u(x_0)=\sup\limits_\Omega u$ gibt, so ist $u$
    in der Zusammenhangskomponente von $x_0$ konstant.
  \item Seien $u,\,v\in C^0\left(\ol\Omega\right)$. Sei $\Omega$
    zusammenh\"angend, $v$ superharmonisch und es gelte $u=v$ auf
    $\partial\Omega$, so gilt entweder $u<v$ in $\Omega$ oder $u=v$ in
    $\Omega$ und beide Funktionen sind harmonisch.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Benutze die Mittelwerteigenschaft.
  \item $u$ und $-v$ sind subharmonisch.\par Da das Dirichletproblem
    auf $B_r(x)$ f\"ur stetige Randwerte eine L\"osung $h\in
    C^\infty(B_r(x))\cap C^0\left(\ol{B_r(x)}\right)$ besitzt,
    gen\"ugt es, in der Definition von $C^0$-\-har\-mo\-ni\-schen
    Funktionen, die harmonische Funktion mit $u=h$ auf $\partial
    B_r(x)$ zu betrachten.\par Durch Addition der beiden harmonischen
    Fortsetzungen der Randwerte (die gleich der harmonischen
    Fortsetzung der Summe der Randwerte ist) sehen wir, dass $u-v$
    subharmonisch ist. Es gilt $u-v=0$ auf $\partial\Omega$. Wir
    k\"onnen nun den ersten Teil anwenden und erhalten die Behauptung.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^0(\Omega)$ erf\"ulle eine der
  Mittelwerteigenschaften
$$u(x)\le\fint\limits_{B_r(x)}u\quad\text{oder}\quad
u(x)\le\fint\limits_{\partial B_r(x)}u$$ f\"ur alle Kugeln
$B_r(x)\Subset\Omega$. Dann ist $u$ auch $C^0$-subharmonisch.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $B_r(x)\Subset\Omega$ und $h$ die $C^2$-harmonische Fortsetzung
  der Randwerte $u|_{\partial B_r}$. $u-h$ erf\"ullt dieselbe
  Mittelwerteigenschaft wie $u$. Der Beweis von Lemma \ref{MWE liefert
    MP lem} \eqref{MWE liefert MP lem i} benutzt nur die
  Mittelwerteigenschaft. Somit erf\"ullt $u$ das Maximumprinzip. Es
  folgt $u-h\le0$ in $B_r(x)$. Also ist $u$ auch $C^0$-subharmonisch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $u$ eine $C^0$-subharmonische Funktion, so gilt aufgrund der
  Poissonschen Darstellungsformel auch die Mittelwertungleichung mit
  Sph\"aren. Integrieren wir diese, so erhalten wir die
  Mittelwerteigenschaft f\"ur Kugeln. Daher sind diese drei
  Definitionen \"aquivalent. 
\end{remark}

\begin{lemma}[Harmonische Ersetzung]\label{harm ersetz lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $u:\Omega\to\R$ subharmonisch und
  $B\Subset\Omega$ eine Kugel. \par Sei $\ol u:\ol B\to\R$ die
  harmonische Funktion mit $\ol u=u$ auf $\partial B$. \par Wir
  definieren die harmonische Ersetzung von $u$ in $B$ durch
$$U(x):=\begin{cases}\ol u(x),&x\in B,\\ u(x),&\,x\in\Omega\setminus B.
\end{cases}$$ Dann ist $U$ in $\Omega$ ($C^0$-)subharmonisch.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $B'\Subset\Omega$ eine Kugel. Sei $h$ harmonisch in $B'$ und
  $U\le h$ auf $\partial B'$. Wir wollen nachweisen, dass $U\le h$ in
  $B'$ gilt. \par Die Funktion $u$ ist subharmonisch. Somit gilt $u\le
  U$ in $\Omega$ (und insbesondere in $B$). Wir benutzen die Annahme
  $U\le h$ auf $\partial B'$ und erhalten $u\le U\le h$ auf $\partial
  B'$. Da $u$ subharmonisch ist, erhalten wir $u\le h$ in $B'$. Nach
  Definition von $U$ folgt also $U\le h$ in $B'\setminus B$.
  Insbesondere gilt daher $U\le h$ auf $\partial B\cap B'$ und somit
  $U\le h$ auf $\partial(B\cap B')$. $h$ und $U$ sind harmonische
  Funktionen, wir schlie\ss{}en also, dass $U\le h$ in $B\cap B'$
  gilt. Insgesamt erhalten wir also $U\le h$ in $B'$. Also ist $U$
  subharmonisch.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{max subharm lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $u_1,\ldots,u_N$ in $\Omega$
  subharmonisch. Dann ist auch
$$u(x):=\max\{u_1(x),\ldots,u_N(x)\}$$ in $\Omega$ subharmonisch.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus der Definition von \glqq subharmonisch\grqq.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\phi\in
  L^\infty(\partial\Omega)$. Dann hei\ss{}t $u\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine Subfunktion oder Subl\"osung (f\"ur
  den Laplaceoperator $-\Delta$), wenn $u$ subharmonisch ist und
  $u\le\phi$ auf $\partial\Omega$ gilt.\par
  Superfunktionen sind analog definiert.
\end{definition}

\begin{remark}\label{konst subfkt bsp}
  F\"ur gegebenes $\phi\in L^\infty(\partial\Omega)$ sind
  Subfunktionen aufgrund des Maximumprinzips kleiner als
  Superfunktionen.\par Sei $c_1\ge\sup\limits_{\partial\Omega}\phi$,
  dann ist $u(x)=c_1$ eine Superfunktion. Sei
  $c_2\le\inf\limits_{\partial\Omega}\phi$, dann ist $u(x)=c_2$ eine
  Subfunktion.
\end{remark}

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\subsection{Das Perronverfahren}
\begin{theorem}\label{Perron thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $\phi\in
  L^\infty(\partial\Omega)$. Sei
$$S_\phi:=\left\{u\in C^0\left(\ol\Omega\right)\,:\,u\text{ ist
    Subfunktion bez\"uglich }\phi\right\}.$$ Definiere
$$u(x):=\sup\limits_{v\in S_\phi}v(x).$$ Dann ist $u$ in $\Omega$
harmonisch.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des Maximumprinzips erf\"ullt $v\in S_\phi$ die Ungleichung
  $v\le\sup\limits_{\partial\Omega}\phi$.  Nach Lemma \ref{max subharm
    lem} und Bemerkung \ref{konst subfkt bsp} brauchen wir nur
  Funktionen $v\in S_\phi$ mit $v\ge\inf\phi$ zu betrachten, da
  $\max\{v,\inf\phi\}\in S_\phi$ gilt. Diese $C^0$-Schranken erlauben
  es sp\"ater, die inneren Absch\"atzungen f\"ur harmonische
  Funktionen zu verwenden.\par
  Sei $y\in\Omega$ beliebig. Nach Definition von $u$ existiert eine
  (von $y$ abh\"angige) Folge $v_i$, $v_i\in S_\phi$, so dass
  $v_i(y)\to u(y)$. Sei $R>0$, so dass
  $B=\ol{B_R(y)}\Subset\Omega$. Sei $V_i$ die harmonische Ersetzung
  von $v_i$ bez\"uglich $B$ wie in Lemma \ref{harm ersetz lem}. Es
  gilt $V_i\in S_\phi$. Die Funktion $v_i$ ist subharmonisch. Also
  gilt $v_i\le V_i$. Nach Definition von $u$ gilt also $V_i(y)\to
  u(y)$.\par
  Die Funktionen $V_i$ sind nun in $B$ harmonisch und aufgrund der
  inneren Ab\-sch\"atz\-un\-gen f\"ur Ableitungen harmonischer
  Funktionen konvergiert eine Teilfolge $V_{i_k}$ auf jeder Kugel
  $B_\rho(y)$, $\rho<R$, gleichm\"a\ss{}ig gegen eine in $B$
  harmonische Funktion $v$. Vergleiche dazu nochmals Theorem \ref{tf
    harm konv thm}.
  \par Nach Definition von $u$ gilt daher $v\le u$. Es gilt auch
  $v(y)=u(y)$. Wir behaupten nun, dass in $B$ sogar $u=v$ gilt:
  Angenommen es gibt ein $z\in B$ mit $v(z)<u(z)$. Dann gibt es $\ol
  u\in S_\phi$, so dass $v(z)<\ol u(z)$. Definiere $w_k:=\max\{\ol
  u,V_{i_k}\}$. Es gilt $w_k\in S_\phi$. Bezeichne mit $W_k$ die
  zugeh\"origen harmonischen Ersetzungen in $B$. Dann gilt
$$W_k\ge w_k\ge \underbrace{V_{i_k}\to v}_{\text{in }y}.$$ Wie oben
existiert eine Teilfolge der $W_k$, die in $B$ gegen eine harmonische
Funktion $w$ konvergiert. Dann gilt in $B$ die Ungleichung $v\le w\le
u$. Andererseits ist $v(y)=w(y)=u(y)$. Da $v$ und $w$ in $B$
harmonische Funktionen sind, gilt aufgrund des Maximumprinzips $v=w$
in $B$. Dies ist ein Widerspruch, da
$$v(z)<\ol u(z)\le w_k(z)\le W_k(z)\to w(z)=v(z).$$ Somit gilt $u=v$
in $B$ und $u$ ist in $\Omega$ harmonisch.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Existiert eine
  L\"osung $u\in C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ des
  Dirichletproblems
$$\begin{cases}
  \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
  u=\phi&\text{auf }\partial\Omega,
\end{cases}$$ so ist $u$ gerade die Perronl\"osung, die wir in Theorem
\ref{Perron thm} konstruiert haben. \par I.\,a.{} ist nicht klar, ob
die Perronl\"osung die Randbedingung erf\"ullt.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir beweisen nur, dass $u$ die Perronl\"osung ist. Es gilt $u\in
  S_\phi$. Sei $w\in S_\phi$. Dann folgt aufgrund des Maximumprinzips,
  dass $w\le u$ ist. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Barrieren und Randwerte}
Mit Hilfe von Barrieren zeigen wir nun, dass die Perronl\"osung
stetige Randwerte auf hinreichend regul\"aren Gebieten tats\"achlich
annimmt.
\begin{definition}[Barriere]\label{barriere def}
  Sei $\xi\in\partial\Omega$. Eine Funktion $w\in
  C^0\left(\ol\Omega\right)$, $w=w_\xi$, hei\ss{}t Barriere f\"ur
  $\xi$ relativ zu $\Omega$, falls
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $w$ in $\Omega$ superharmonisch ist,
  \item $w(\xi)=0$ und $w>0$ in $\ol\Omega\setminus\{\xi\}$ gelten.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Erf\"ullt $w$ die Bedingungen von Definition \ref{barriere def} in
  einer Umgebung von $\xi$, so gibt es eine Barriere f\"ur $\xi$
  relativ zu $\Omega$.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei Definition \ref{barriere def} in $\Omega\cap B_r(\xi)$, $r>0$,
  erf\"ullt. Sei $m:=\inf\limits_{(B_r(\xi)\setminus
    B_{r/2}(\xi))\cap\Omega}w>0$. Dann ist leicht einzusehen, dass
$$\ol w(x):=\begin{cases} \min\{m,w(x)\},&x\in\ol\Omega\cap
  B_{r/2}(\xi),\\ m,&x\in\ol\Omega\setminus B_{r/2}(\xi)
\end{cases}$$ eine Barriere f\"ur $\xi$ relativ zu $\Omega$ ist.
\end{proof}

Die Existenz einer Barriere ist also eine lokale Eigenschaft des
Randes. Definiere daher
\begin{definition}
  Ein Randpunkt hei\ss{}t regul\"ar (bez\"uglich des
  Laplaceoperators), falls es eine Barriere zu diesem Punkt gibt.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{randwerte werden angenommen lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei $u$ eine
  mittels Perronverfahren konstruierte L\"osung, sei $\xi$ ein
  regul\"arer Randpunkt von $\Omega$ und sei $\phi$ in $\xi$ stetig.
  Dann gilt $u(x)\to\phi(\xi)$ f\"ur $x\to\xi$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$. Definiere $M:=\sup|\phi|$. Sei $w$ eine Barriere
  f\"ur $\xi$. Aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ existiert ein
  $\delta>0$, so dass $|\phi(x)-\phi(\xi)|<\epsilon$ f\"ur
  $|x-\xi|<\delta$ gilt. Fixiere $k>0$, so dass $kw(x)\ge 2M$ f\"ur
  $|x-\xi|\ge\delta$ gilt.\par Nun ist $\phi(\xi)+\epsilon+kw$ eine
  Superfunktion und $\phi(\xi)-\epsilon-kw$ eine Subfunktion. Nach
  Definition von $u$ gilt $\phi(\xi)-\epsilon-kw(x)\le u(x)$. Da eine
  Superfunktion \"uber einer Subl\"osung liegt, gilt auch
  $u(x)\le\phi(\xi)+\epsilon+kw(x)$. Insgesamt folgt also
  $|u(x)-\phi(\xi)|\le\epsilon+kw(x)$. F\"ur $x\to\xi$ folgt
  $w(x)\to0$. Da $\epsilon>0$ beliebig war, erhalten wir also
  $u(x)\to\phi(\xi)$ f\"ur $x\to\xi$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Dann ist das
  Dirichletproblem $$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\
    u=\phi&\text{auf }\partial\Omega\end{cases}$$ f\"ur beliebiges
  $\phi\in C^0(\partial\Omega)$ genau dann in $C^2(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ l\"osbar, wenn jeder Randpunkt regul\"ar
  ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Rueckrichtung Sei jeder Randpunkt regul\"ar. Dann k\"onnen wir
  Lemma \ref{randwerte werden angenommen lem} anwenden und erhalten,
  dass die Perronl\"osung die Randbedingung erf\"ullt und bis zum Rand
  stetig ist. \par \Hinrichtung Die L\"osung zu $\phi(x)=|x-\xi|$ ist
  eine Barriere zu $\xi\in\partial\Omega$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann erf\"ullt $\Omega$ eine
  \"au\ss{}ere Kugelbedingung, falls f\"ur jedes $x\in\partial\Omega$
  eine Kugel $B$ existiert, so dass $\{x\}=\ol B\cap\ol\Omega$ gilt.
  \par $\Omega$ erf\"ullt eine gleichm\"a\ss{}ige Kugelbedingung,
  falls f\"ur alle $x\in\partial\Omega$ Kugeln mit gleichem Radius
  verwendet werden k\"onnen.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Erf\"ulle $\Omega$ in $\xi$ eine \"au\ss{}ere Kugelbedingung,
  $\{\xi\}=\ol{B_R(y)}\cap\ol\Omega$. Dann ist
$$w(x):=\begin{cases}R^{2-n}-|x-y|^{2-n},&n\ge3,\\
  \log\frac{|x-y|}R,&n=2\end{cases}$$ eine Barriere f\"ur
$\xi\in\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Klar.
\end{proof}

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\subsection{Existenzs\"atze}
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $\phi\in C^0(\partial\Omega)$. Dann existiert genau eine
  L\"osung $u\in C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ zu
$$\begin{cases} \Delta u=0&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega.
\end{cases}$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $u$ die Perronl\"osung. Die Eindeutigkeit folgt aus dem
  Maximumprinzip.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $\phi\in C^0(\partial\Omega)$, $f\in
  C^2_c\left(\R^n\right)$. Dann existiert genau eine L\"osung $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ zu
  \begin{equation}\label{dirichlet problem f phi}
    \begin{cases} \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ 
      u=\phi&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
  \end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $v\in C^2\left(\R^n\right)$ eine L\"osung zu
$$\Delta v=f\quad\text{in }\R^n.$$ ($v$ ist nicht eindeutig bestimmt,
aber das macht nichts.) Sei $w\in C^2(\Omega)\cap
C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung zu
$$\begin{cases} \Delta w=0&\text{in }\Omega,\\ w=\phi-v&\text{auf
  }\partial\Omega.\end{cases}$$ Dann l\"ost $u:=w+v$ das
Randwertproblem \eqref{dirichlet problem f phi}. Die
Eindeutigkeitsaussage folgt direkt aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Eindeutigkeit}
\subsection{Energiemethoden}
Die Aussage des folgenden Theorems ist nicht neu, sie folgt auch schon
aus dem Maximumprinzip. Wir lernen hieran nur eine neue Methode
kennen.
\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Dann besitzt das Randwertproblem
$$\begin{cases} -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\ u=g&\text{auf
  }\partial\Omega \end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung in
$C^2\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $u,\,\tilde u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ zwei L\"osungen.
  Definiere $w:=u-\tilde u$. Dann folgt
$$\begin{cases} \Delta w=0&\text{in }\Omega,\\
  w=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$ Es folgt
$$0=-\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w=\int\limits_\Omega|Dw|^2.$$ Also
gilt $Dw=0$ in $\Omega$. Somit ist $w$ konstant.
\end{proof}

Sp\"ater werden wir lernen, wie man das nun untersuchte Funktional in
geeigneten Funktionenr\"aumen tats\"achlich minimieren kann.
\begin{theorem}[Dirichletprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und $\partial\Omega\in
  C^1$. Definiere
  \begin{align*}
    I[w]:=&\,\int\limits_\Omega\frac12|Dw|^2-wf,\\ \intertext{und}
    \mathcal A:=&\,\left\{w\in C^2\left(\ol\Omega\right)\,:\,w=g\text{
        auf }\partial\Omega\right\},
  \end{align*}
  wobei $f\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ und $g\in
  C^2(U(\partial\Omega))$, also in $C^2$ in einer Umgebung $U$ von
  $\partial\Omega$.\par
  Sei $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung zu
  \begin{equation}\label{fg dirichlet}
    \begin{cases} 
      -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
      u=g&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
  \end{equation}
  Dann gilt
$$I[u]=\min\limits_{w\in\mathcal A}I[w].$$
Ist umgedreht $u\in\mathcal A$ ein Minimierer f\"ur $I$,
$$I[u]=\min\limits_{w\in\mathcal A}I[w],$$ so l\"ost $u$ das
Randwertproblem \eqref{fg dirichlet}.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $u$ eine L\"osung zu \eqref{fg dirichlet} und sei
  $w\in\mathcal A$ beliebig. Dann gilt
$$0=\int\limits_\Omega(-\Delta u-f)(u-w) =\int\limits_\Omega \langle
Du,D(u-w)\rangle -f(u-w),$$ wobei wir partiell integrieren durften, da
$u-w$ Randwerte Null hat. Es folgt
\begin{align*}
  \int\limits_\Omega |Du|^2-uf=&\,\int\limits_\Omega \langle
  Du,Dw\rangle -wf\umbruch\\ \le&\,\int\limits_\Omega
  |Du|\cdot|Dw|-wf\umbruch\\
  \le&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du|^2+\frac12|Dw|^2-wf.\umbruch\\
  \intertext{Daher gilt} \int\limits_\Omega\frac12|Du|^2-uf\le&\,
  \int\limits_\Omega\frac12|Dw|^2-wf.
\end{align*}
Somit minimiert $u$ das Funktional $I$ in $\mathcal A$. \par
\Rueckrichtung Sei nun $u$ ein Minimum von $I$ in $\mathcal A$. Wir
leiten die Euler-Lagrange Gleichung des Funktionals $I$ her. Sei dazu
$v\in C^\infty_c(\Omega)$. Definiere
$$i(\tau):=I[u+\tau v].$$ F\"ur $\tau\in\R$ gilt $u+\tau v\in\mathcal
A$. Somit hat $i$ f\"ur $\tau=0$ ein Minimum. Wir werden nun
nachweisen, dass $i$ in $\tau$ differenzierbar ist. Also folgt
$i'(0)=0$. Es gilt
\begin{align*}
  i(\tau)=&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du+\tau Dv|^2-(u+\tau
  v)f\umbruch\\ =&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du|^2+\tau\langle
  Du,Dv\rangle +\frac12\tau^2|Dv|^2 -(u+\tau v)f\umbruch\\
  \intertext{und daraus folgt} 0=&\,i'(0)=\left.\frac
    d{d\tau}i\right|_{\tau=0}= \text{``}\delta i\text{''}\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega\langle Du,Dv\rangle-vf=\int\limits_\Omega
  (-\Delta u-f)v.
\end{align*}
Dies gilt f\"ur beliebiges $v\in C^\infty_c(\Omega)$. Somit folgt
$-\Delta u=f$ in $\Omega$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Maximumprinzipien f\"ur elliptische Differentialgleichungen}
Wir folgen \cite{JostPDE}.
\begin{definition}
  Sei $F\left(D^2u,Du,u,x\right)=0$ eine Differentialgleichung zweiter
  Ordnung. Sei $F\in
  C^1\left(\R^{n^2}\times\R^n\times\R\times\Omega\right)$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t die Differentialgleichung elliptisch, falls
    $$\left(a^{ij}\right):=\left(\fracp F{u_{ij}}\right)>0$$ im Sinne von
    Matrizen.
\item Ist $F$ elliptisch, so hei\ss{}t
  \begin{align*}
    \dot u-F\left(D^2u,Du,u,x\right)=&\,0\quad\text{parabolisch}\umbruch\\
    \intertext{und}
    u_{tt}-F\left(D^2u,Du,u,x\right)=&\,0\quad\text{hyperbolisch.}
  \end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
  F\"ur die Differentialgleichung $\Delta u=0$ erhalten wir
  $a^{ij}=\delta^{ij}$. Somit ist
  \begin{itemize}
  \item $\Delta u=0$ elliptisch,
  \item $\dot u-\Delta u=0$ parabolisch
  \item und $u_{tt}-\Delta u=0$ hyperbolisch.
  \end{itemize}
\end{beispiel}

\begin{remark}
  F\"ur dieses Kapitel wollen wir die folgenden Generalvoraussetzungen
  annehmen: Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$. Wir betrachten
  Differentialoperatoren der Form
  \begin{align*}
    Lu(x)=&\,a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+cu\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{i,j=1}^na^{ij}(x)u_{ij}(x)
    +\sum\limits_{i=1}^nb^i(x)u_i(x) +c(x)u(x),
  \end{align*}
  wobei
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $a^{ij}$ symmetrisch ist, \dh $a^{ij}(x)=a^{ji}(x)$ gilt.
  \item $L$ elliptisch ist: Es existiert $\lambda>0$, so dass
  $$\lambda|\xi|^2\le\sum\limits_{i,j=1}^na^{ij}(x)\xi_i\xi_j$$ f\"ur
  alle $x\in\Omega$, $\xi\in\R^n$.
\item die Koeffizienten gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt sind, \dh es
  gibt $K>0$, so dass $$|a^{ij}(x)|,|b^i(x)|,|c(x)|\le K$$ f\"ur alle
  $i,j$ und alle $x\in\Omega$.
\end{enumerate}
\end{remark}
Ein Beispiel hierf\"ur ist $Lu=\Delta u$.

\begin{theorem}
  Sei $c\equiv0$ und erf\"ulle $u$ in $\Omega$ die
  Differentialungleichung $Lu\ge0$, \dh $$a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.$$
  Dann gilt $$\sup\limits_\Omega u=\max\limits_{\partial\Omega}u.$$
\end{theorem}
Ein analoges Resultat erh\"alt man f\"ur $Lu\le0$ und das Infimum
durch Betrachten von $-u$.
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme zun\"achst an, dass $$Lu>0\quad\text{in }\Omega$$ gilt. In
  einem inneren Maximum $x_0$ gilt
  \begin{align*}
    u_i(x_0)=&\,0\quad\text{f\"ur alle }i,\umbruch\\
    u_{ij}(x_0)\le&\,0\quad\text{im Sinne von Matrizen.}
  \end{align*}
  Hieraus folgt (diagonalisiere z.\,B.{} $u_{ij}(x_0)$)
$$Lu(x_0)=a^{ij}u_{ij}\le0.$$
Widerspruch. \par Sei nun $Lu\ge0$. Definiere f\"ur $\alpha>0$ die
Funktion $v(x)=e^{\alpha x^1}$. Es gilt
$$Lv(x)=\big(\alpha^2\underbrace{a^{11}(x)}_{\ge\lambda}
+\alpha\underbrace{b^1(x)}_{|\cdot|\le K}\big)\cdot v(x).$$ F\"ur
$\alpha\gg1$ hinreichend gro\ss{} erhalten wir $Lv>0$. Sei nun
$\epsilon>0$. Dann folgt $L(u+\epsilon v)>0$. Somit folgt die
Behauptung f\"ur $u+\epsilon v$. Wir lassen nun $\epsilon\searrow0$
und erhalten die Behauptung f\"ur $u$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Seien $f\in C^0(\Omega)$ und $\phi\in C^0(\partial\Omega)$ sowie
  $c\equiv0$. Dann besitzt das Dirichletproblem
$$\begin{cases} Lu=f&\text{in }\Omega,\\ u=\phi&\text{auf
  }\partial\Omega\end{cases}$$ h\"ochstens eine L\"osung $u\in
C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende das Maximumprinzip auf die Differenz zweier L\"osungen an.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{pos part cor}
  Sei $c\le0$, $Lu\ge0$ in $\Omega$, $u^+(x):=\max\{u(x),0\}$ Dann
  gilt
$$\sup\limits_\Omega u^+\le\max\limits_{\partial\Omega}u^+.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $\Omega^+:=\{x\in\Omega:u(x)>0\}$. In $\Omega^+$ gilt
$$a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.$$ Somit folgt
$\sup\limits_{\Omega^+}u\le\max\limits_{\partial\Omega^+} u$. Sei ohne
Einschr\"ankung $\Omega^+\neq\emptyset$. Wir erhalten
$$\sup\limits_\Omega u^+ =\sup\limits_{\Omega^+}u
\le\max\limits_{\partial\Omega^+}u
\le\max\limits_{\partial\Omega}u^+,$$ da $u=0$ auf
$\partial\Omega^+\cap\Omega$,
$\partial\Omega^+=(\partial\Omega^+\cap\Omega)
\cup(\partial\Omega^+\cap\partial\Omega)$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip, E. Hopf]\label{hopf thm}
  Sei $c\equiv0$, $Lu\ge0$. Sei $\Omega$ zusammenh\"angend. Nimmt $u$
  sein Maximum im Inneren von $\Omega$ an, so ist $u$ konstant. \par
  Gilt $c\le0$ und nimmt $u$ sein nichtnegatives Maximum im Inneren
  von $\Omega$ an, so ist $u$ konstant.
\end{theorem}

Der Beweis hiervon benutzt
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]\label{Randpunktlemma}
  Sei $c\le0$, $Lu\ge0$. Sei $x_0\in\partial\Omega$ und gelte
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u$ ist in $x_0$ stetig,
  \item $u(x_0)\ge0$ falls $c\not\equiv0$,
  \item $u(x_0)>u(x)$ f\"ur $x\in\Omega$,
  \item es gibt eine Kugel $B_R(y)\subset\Omega$ mit $x_0\in\partial
    B_R(y)$.
  \end{enumerate}
  Dann gilt
$$\langle Du(x_0),x_0-y\rangle>0,$$
falls diese Ableitung existiert.
\end{theorem}
Hier ist klar, dass $\langle Du(x_0),x_0-y\rangle\ge0$ gilt.
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Randpunktlemma}]
  Nehme an, dass $\partial B_R(y)\cap \partial\Omega=\{x_0\}$ ist.
  Sei $0<\rho<R$. Betrachte im Annulus $B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}$
  die Funktion
$$v(x):=e^{-\gamma|x-y|^2}-e^{-\gamma R^2}\quad\text{f\"ur
}\gamma\gg1.$$ Es gilt
\begin{align*}
  Lv(x)=&\,\left\{4\gamma^2a^{ij}(x_i-y_i)(x_j-y_j) -2\gamma
    a^{ij}\delta_{ij}-2\gamma b^i(x_i-y_i)+c\right\} e^{-\gamma|x-y|^2}\\
  &\,-ce^{-\gamma R^2}.
\end{align*}
F\"ur fixiertes $\rho$ und $\gamma\gg1$ hinreichend gro\ss{} erhalten
wir $Lv\ge0$ in $B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}$.  Nach Voraussetzung
gilt $u(x)-u(x_0)<0$ f\"ur $x\in B_R(y)\subset\Omega$. Somit existiert
$\epsilon>0$, so dass
$$u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le 0\quad\text{f\"ur }x\in\partial
B_\rho(y).$$ Auf $\partial B_R(y)$ gilt $v=0$ und somit folgt dort
ebenfalls $u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le0$. Weiterhin gilt
$$L(u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x))\ge-c(x)u(x_0)\ge0.$$ Korollar \ref{pos
  part cor}, angewandt auf den Annulus, liefert daher
$$u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)\le0\quad\text{f\"ur } x\in
B_R(y)\setminus\ol{B_\rho(y)}.$$ Diese Funktion verschwindet in $x_0$.
Also folgt in $x_0$, falls diese Ableitung existiert,
$$\langle D(u(x)-u(x_0)+\epsilon v(x)),x_0-y\rangle\ge0\quad
\text{in }x=x_0.$$ Wir schlie\ss{}en, dass
$$\langle Du(x_0),x_0-y\rangle\ge -\epsilon\langle
Dv(x_0),x_0-y\rangle =\epsilon\left(2\gamma R^2e^{-\gamma
    R^2}\right)>0$$ gilt. Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{hopf thm}]
  Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis. Sei $u$ nicht konstant, nehme
  aber in $\Omega$ das Maximum $m$ an. Sei $m\ge0$, falls
  $c\not\equiv0$ gilt. Definiere
  $\Omega':=\{x\in\Omega:u(x)<m\}\neq\emptyset$. Es ist
  $\partial\Omega'\cap\Omega\neq\emptyset$. W\"ahle $y\in\Omega'$ mit
  $d(y,\partial\Omega')<d(y,\partial\Omega)$. Sei $B_R(y)$ die
  gr\"o\ss{}te Kugel in $\Omega'$ mit Mittelpunkt $y$, die noch in
  $\Omega'$ enthalten ist. Dann folgt $u(x_0)=m$ f\"ur ein
  $x_0\in\partial B_R(y)$ und $u(x)<u(x_0)$ f\"ur $x\in\Omega'$. Wir
  wenden nun das Hopfsche Randpunktlemma, Theorem
  \ref{Randpunktlemma}, an und erhalten $Du(x_0)\neq0$. In $x_0$ nimmt
  aber $u$ ein inneres Maximum an. Somit folgt dort $Du(x_0)=0$. Wir
  erhalten einen Widerspruch und das Theorem folgt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Sobolevr\"aume}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Definition und grundlegende Eigenschaften}

Wir folgen \cite{EvansPDE}.
Weitere gute \"Ubersichten zu Sobolevr\"aumen und
deren Umfeld vermitteln die B\"ucher von
William Ziemer \cite{ZiemerWeakDiffFctns}
und Robert Adams \cite{AdamsSobolev}. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$
hei\ss{}t Testfunktion. Sei $u\in C^1(\Omega)$. Dann gilt
$$\int\limits_\Omega u\phi_i=-\int\limits_\Omega u_i\phi,$$
da $\phi=0$ auf $\partial\Omega$.
Sei $u\in C^k(\Omega)$. Dann gilt
$$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=(-1)^{|\alpha|}
\int\limits_\Omega D^\alpha u\phi$$
f\"ur alle Multiindices $|\alpha|\le k$.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}[Schwache Ableitung]
Sei nun $u\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
$v\in L^1_{\text{loc}}$ hei\ss{}t $\alpha$-te schwache
Ableitung von $u$, falls
$$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=(-1)^{|\alpha|}
\int\limits_\Omega v\phi$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$ gilt. Wir schreiben
$D^\alpha u=v$.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}[Eindeutigkeit der schwachen Ableitung]
\label{eindeutigkeit Du}
Seien $v$, $\tilde v\in L^1_\text{loc}(\Omega)$
schwache Ableitungen von $u\in L^1_\text{loc}(\Omega)$.
Dann gilt $v=\tilde v$.
\end{lemma}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Zum Beweis ben\"otigen wir das 
Lemma von Du Bois-Reymond.
Wir folgen der Darstellung in \cite{CGPDE}
\begin{lemma}[Du Bois-Reymond]
Sei $f\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
Gilt 
$$\int\limits_\Omega f\phi=0$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$, so gilt $f=0$ fast
\"uberall, $f=0$ in $L^1_{\text{loc}}(\Omega)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Es gen\"ugt, $f\in L^1(\Omega)$ zu betrachten, $\Omega\subset
\R^n$ offen und beschr\"ankt. Definiere
$$g(x):=\begin{cases}
\frac{f(x)}{|f(x)|},&f(x)\neq0,\\
0,&f(x)=0.
\end{cases}$$
Es gelten $|g|\le1$ und $f\cdot g=|f|$. Da $g\in L^\infty(\Omega)$
ist, folgt auch $g\in L^2(\Omega)$. Somit existiert eine Folge
$\eta_\epsilon\in C^\infty_c(\Omega)$, so dass $\eta_\epsilon\to
g$ in $L^2(\Omega)$ konvergiert. Nach \cite[Theorem 3.12]{Rudin}
konvergiert nun eine (nicht umbenannte) Teilfolge der $\eta_\epsilon$
dann fast \"uberall gegen $g$. Wir d\"urfen annehmen, dass die
Folge $\eta_\epsilon$ durch Gl\"attung entstanden ist. Somit gilt
$$\Vert\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty}\le\Vert g\Vert_{L^\infty}\le1.$$
Aufgrund des Satzes \"uber dominerende Konvergenz folgt nun
$$0=\int\limits_\Omega f\cdot\eta_\epsilon\to\int\limits_\Omega 
f\cdot g=\int\limits_\Omega|f|.$$
Wir schlie\ss{}en also, dass fast \"uberall $f=0$ gilt und erhalten
$f=0$ in $L^1(\Omega)$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{eindeutigkeit Du}]
Es gilt
$$\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi=
(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega v\phi=
(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega\tilde v\phi$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$.
Wir erhalten also 
$$\int\limits_\Omega(v-\tilde v)\phi=0$$
und somit aufgrund des Lemma von Du Bois-Reymond auch
$v=\tilde v$ in $L^1_{\text{loc}}(\Omega)$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{example}
Sei $\Omega=(0,2)\subset\R$,
\begin{align*}
u(x)=\begin{cases}
x,&0<x\le1,\\
1,&1\le x<2,
\end{cases}\umbruch\\
v(x)=\begin{cases}
1,&0<x\le1,\\
0,&1<x<2,
\end{cases}
\end{align*}
Dann ist $v$ die schwache Ableitung von $u$.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $\phi$ eine Testfunktion
\begin{align*}
\int\limits_0^2u\phi'=&\int\limits_0^1x\phi'+\int\limits_1^2\phi'
\umbruch\\
=&-\int\limits_0^1\phi+x\phi|_{x=1}-x\phi|_{x=0}
+\phi(2)-\phi(1)\umbruch\\
=&-\int\limits_0^1\phi\umbruch\\
=&-\int\limits_0^2v\phi.
\end{align*}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{example}
Sei $\Omega=(0,2)\subset\R$,
$$u(x)=\begin{cases}x,&0<x\le1,\\
2,&1<x<2.\end{cases}$$
Dann besitzt $u$ keine Ableitung im schwachen Sinne.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
Nehme an, $v\in L^1_\text{loc}$ w\"are eine schwache
Ableitung. Dann folgt f\"ur alle Testfunktionen $\phi$
\begin{align*}
-\int\limits_0^2v\phi=&\int\limits_0^2u\phi'\umbruch\\
=&\int\limits_0^1x\phi'+2\int\limits_1^2\phi'\umbruch\\
=&-\int\limits_0^1\phi+x\phi|_{x=1}-x\phi|_{x=0}
+2\phi(2)-2\phi(1)\umbruch\\
=&-\int\limits_0^1\phi-\phi(1).
\end{align*}
Sei $\phi_m$ eine Folge von Testfunktionen mit
$0\le\phi_m\le 1$, $\phi_m(1)=1$,
$\phi_m(x)\to0$ f\"ur $x\neq1$. Dann gilt
f\"ur $m\to\infty$
%$$0\leftarrow-\int\limits_0^2v\phi_m=
%-\int\limits_0^1\phi_m-\phi_m(1)\to0-1=-1.$$
$$\xymatrix{
{-\int\limits_0^2v\phi_m}\ar[d]\ar@{=}[r]&
{-\int\limits_0^1\phi_m-\phi_m(1)}\ar[d]\\
0&\rule{3em}{0ex}0-1=-1.}$$
Daher kann es keine solche Funktion $v$ geben.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Seien $k\in\N$, $1\le p\le\infty$, $\Omega\subset\R^n$ offen.
Wir definieren
$$W^{k,p}(\Omega):=
\left\{u\in L^1_\text{loc}(\Omega):D^\alpha u\in L^p(\Omega)
\text{ im schwachen Sinn f\"ur alle }|\alpha|\le k\right\}.$$
\item Die R\"aume $H^k(\Omega):=W^{k,2}(\Omega)$ und
   $H^0(\Omega)=L^2(\Omega)$ sind, wie wir sp\"ater sehen werden,
   Hilbertr\"aume.
\item F\"ur $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$ schreiben wir $u=v$,
   falls $u=v$ in $L^1_\text{loc}(\Omega)$, d.\,h., falls
   $u=v$ fast \"uberall gilt.
\item Wir definieren die folgende Norm
   $$\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}:=
   \begin{cases}
   \infty,&u\not\in W^{k,p}(\Omega),\\
   \left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}\int\limits_\Omega
   \left\vert D^\alpha u\right\vert^p\right)^{1/p},&
   1\le p<\infty,\\
   \sum\limits_{|\alpha|\le k}\sup\limits_\Omega
   \left\vert D^\alpha u\right\vert,&p=\infty.
   \end{cases}$$
   Hier benutzen wir das wesentliche Supremum. Mit dieser
   Norm wird der Raum $W^{k,p}(\Omega)$ zu einem Banachraum.
   Dies beweisen wir sp\"ater.
\item $u\in W^{k,p}_\text{loc}(\Omega)$, falls
   $u\in W^{k,p}(\Omega')$ f\"ur alle
   $\Omega'\Subset\Omega$ gilt.
\item Wir schreiben $u_m\to u$ in $W^{k,p}(\Omega)$, falls
   $$\Vert u_m-u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}\to0$$
   und $u_m\to u$ in $W^{k,p}_\text{loc}(\Omega)$, falls
   $$\Vert u_m-u\Vert_{W^{k,p}(\Omega')}\to0$$
   f\"ur alle $\Omega'\Subset\Omega$.
\item Wir definieren
   $$W^{k,p}_0(\Omega):={\ol{C^\infty_c(\Omega)}}^{W^{k,p}(\Omega)}.$$
   Wir bemerken, dass es somit zu jedem $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$
   Funktionen $u_m\in C^\infty_c(\Omega)$ mit $u_m\to u$
   in $W^{k,p}(\Omega)$ gibt. Unter geeigneten Voraussetzungen
   gilt f\"ur $u\in W^{k,p}_0(\Omega)$ auch
   $D^\alpha u=0$ auf $\partial\Omega$ f\"ur alle
   $|\alpha|\le k-1$. Diese Aussage ist nicht trivial, da
   $\partial\Omega$ eine Nullmenge ist.
\item $H^k_0(\Omega)=W^{k,2}_0(\Omega)$.
\end{enumerate}
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{example}
Sei $\Omega=B_1(0)\subset\R^n$,
$$u(x)=|x|^{-\alpha}\quad\text{f\"ur }x\neq0.$$
F\"ur welche Werte von $\alpha>0$, $n$ und $p$ gilt
$u\in W^{1,p}(\Omega)$?

F\"ur $x\neq 0$ gilt
\begin{align*}
u_i(x)=&\frac{-\alpha x_i}{|x|^{\alpha+2}},\umbruch\\
|Du(x)|=&\frac{|\alpha|}{|x|^{\alpha+1}}.
\end{align*}
Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ eine Testfunktion und
$\epsilon>0$. Es folgt
$$\int\limits_{\Omega\setminus B_\epsilon(0)}u\phi_i
=-\int\limits_{\Omega\setminus B_\epsilon(0)}u_i\phi
+\int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}u\phi\cdot\left(-\frac{x_i}{|x|}\right).$$
Wir erhalten
$$\left|\int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}u\phi
\cdot\left(-\frac{x_i}{|x|}\right)
\right|\le\Vert\phi\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{\partial B_\epsilon(0)}
\epsilon^{-\alpha}\le c\cdot\epsilon^{n-1-\alpha}\to0$$
f\"ur $\epsilon\downarrow0$, falls $n-1-\alpha>0$ gilt.

Es gelten die folgenden Integralabsch\"atzungen
$$\int\limits_{B_1(0)}|Du|\le c\cdot\int\limits_0^1
r^{-\alpha-1+n-1}dr\le c,$$
falls $-\alpha-1+n>0$ und
$$\int\limits_{B_1(0)}u\le c\cdot\int\limits_0^1r^{-\alpha+n-1}dr
\le c,$$
falls $-\alpha+n>0$ ist. Die entsprechenden Integrale werden
klein, wenn wir nur \"uber eine Umgebung des Ursprungs
integrieren. Somit erhalten wir f\"ur $\epsilon\downarrow0$
$$\int\limits_\Omega u\phi_i=-\int\limits_\Omega u_i\phi$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$. $u_i(0)$ ist frei w\"ahlbar.
Aufgrund der Eindeutigkeit der Ableitung ist die schwache
Ableitung au\ss{}erhalb des Ursprungs gleich der klassischen
Ableitung. Die obigen Rechnungen zeigen, dass $u$ in ganz
$\Omega$ schwach differenzierbar ist.

Wann sind $u$ und $Du\in L^p$? Es gilt
$$\int\limits_{B_1(0)}|u|^p=c\cdot\int\limits_0^1 r^{-\alpha p+n-1}<\infty
\Longleftrightarrow-\alpha p+n>0$$
und
$$\int\limits_{B_1(0)}|Du|^p=c\cdot\int\limits_0^1 r^{-\alpha p-p+n-1}<\infty
\Longleftrightarrow-\alpha p-p+n>0.$$
Die letzte Bedingung ist am einschr\"ankendsten. Somit gilt
$$u\in W^{1,p}(\Omega)\Longleftrightarrow\alpha<
\frac{n-p}p$$
und f\"ur $p\ge n$ ist $u(x)$ in keinem $W^{1,p}(\Omega)$-Raum.
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Sei $y_k$ eine dichte Folge in $B_1(0)$. Dann ist
$$u(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1{2^k}|x-y_k|^{-\alpha}\in
W^{1,p}(B_1(0)),$$ falls $\alpha<\frac{n-p}p$. (Um einfach
nachzuweisen, dass nicht nur die endlichen Summen in $W^{1,p}(B_1(0))$
sind, benutzt man am besten die Vollst\"andigkeit von
$W^{1,p}(B_1(0))$, die wir in Theorem \ref{Wkp BR} zeigen werden.)  Es
ist also m\"oglich, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$ auf einer
dichten Teilmenge unbeschr\"ankt wird (selbst wenn man $u$ auf einer
Nullmenge ab\"andert).
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Eigenschaften schwacher Ableitungen]
Seien $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$. Dann gelten
\begin{enumerate}
\item
$D^\alpha u\in W^{k-|\alpha|,p}(\Omega)$ und
$D^\beta\left(D^\alpha u\right)=D^\alpha\left(D^\beta u\right)
=D^{\alpha+\beta}u$ f\"ur $|\alpha|+|\beta|\le k$. 
\item
$\lambda$, $\mu\in\R$ $\Longrightarrow$ 
$\lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\Omega)$ und
$D^\alpha(\lambda u+\mu v)=\lambda D^\alpha u+\mu D^\alpha v$.
\item
Ist $\Omega'\subset\Omega$ offen, so folgt
$u\in W^{k,p}(\Omega')$.
\item
Ist $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$, so folgt
$\zeta u\in W^{k,p}(\Omega)$ und es gilt die 
Leibnizregel
$$D^\alpha(\zeta u)=\sum\limits_{\beta\le\alpha}
\genfrac{(}{)}{0pt}{}{\alpha}{\beta}D^\beta\zeta
D^{\alpha-\beta}u,$$
wobei
$$\genfrac{(}{)}{0pt}{}{\alpha}{\beta}
=\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$$
ist und $\alpha!:=\alpha_1!\cdot\ldots\cdot\alpha_n!$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\begin{enumerate}
\item Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. Dann ist auch
$D^\beta\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. Somit gilt
\begin{align*}
\int\limits_\Omega D^\alpha uD^\beta\phi=&
(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega uD^{\alpha+\beta}\phi\umbruch\\
=&(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha+\beta|}\int\limits_\Omega
D^{\alpha+\beta}u\phi\umbruch\\
=&(-1)^{|\beta|}\int\limits_\Omega D^{\alpha+\beta}u\phi.
\end{align*}
Somit gilt $D^\beta\left(D^\alpha u\right)=D^{\alpha+\beta}$
im schwachen Sinne.
\item Ist klar.
\item Ist klar.
\item Seien $|\alpha|=1$ und $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$. 
Dann gilt
\begin{align*}
\int\limits_\Omega\zeta uD^\alpha\phi=&
\int\limits_\Omega uD^\alpha(\zeta\phi)
-\int\limits_\Omega u\left(D^\alpha\zeta\right)\phi\umbruch\\
=&-\int\limits_\Omega D^\alpha u\zeta\phi
-\int\limits_\Omega u\left(D^\alpha\zeta\right)\phi\umbruch\\
=&-\int\limits_\Omega\left(\zeta D^\alpha u+uD^\alpha\zeta\right)\phi.
\end{align*}
Somit gilt nun
$$D^\alpha(\zeta u)=\zeta D^\alpha u+uD^\alpha\zeta.$$
Der Rest folgt nun per Induktion wie f\"ur klassisch
differenzierbare Funktionen.
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{Wkp BR}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Dann ist 
$W^{k,p}(\Omega)$ f\"ur $k\in\N$ und $1\le p\le\infty$
ein Banachraum.
\end{theorem}

\begin{remark}
Dies ist f\"ur $k=0$ bekannt. Dann gilt n\"amlich
$W^{0,p}(\Omega)=L^p(\Omega)$.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Wkp BR}]
\neueZeile
\begin{itemize}
\item Wir wollen zun\"achst zeigen, dass 
$\Vert\cdot\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}$ eine Norm ist:
Es ist nur die Dreiecksungleichung im Falle $p<\infty$
nachzuweisen. Seien also $u$, $v\in W^{k,p}(\Omega)$. Dann
gilt
\begin{align*}
\Vert u+v\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}=&
\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
\Vert D^\alpha u+D^\alpha v\Vert^p_{L^p(\Omega)}\right)^{1/p}\umbruch\\
\le&\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
\left(\Vert D^\alpha u\Vert_{L^p}
+\Vert D^\alpha v\Vert_{L^p}\right)^p\right)^{1/p},\\
&\text{da die Dreiecksungleichung in $L^p$ gilt,}\umbruch\\
\le&\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
\Vert D^\alpha u\Vert^p_{L^p}\right)^{1/p}
+\left(\sum\limits_{|\alpha|\le k}
\Vert D^\alpha v\Vert^p_{L^p}\right)^{1/p},\\
&\text{da $\left(\R^l,\Vert\cdot\Vert_{l^p}\right)$ ein 
Banachraum ist.}\umbruch\\
=&\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}+\Vert v\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.
\end{align*}
\item Zur Vollst\"andigkeit: Sei $u_m$ eine Cauchyfolge in 
$W^{k,p}(\Omega)$. Dann ist auch $D^\alpha u$ eine Cauchyfolge
in $L^p(\Omega)$ f\"ur alle $|\alpha|\le k$. Somit existiert 
f\"ur alle $\alpha$ mit $|\alpha|\le k$ ein Grenzwert,
\begin{align*}
D^\alpha u_m\to&u_\alpha,\\
u_m\to&u.
\end{align*}
Es fehlt nun noch der Nachweis, dass die Grenzwertbildung mit
dem Ableiten vertauscht, also dass $u_\alpha=D^\alpha u$ gilt.
F\"ur alle $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ gilt
$$\begin{xy}
\xymatrix{
\int\limits_\Omega u_mD^\alpha\phi \ar@{=}[r]\ar[d]& 
(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega D^\alpha u_m\phi\ar[d]\\
\int\limits_\Omega uD^\alpha\phi\ar@{=}[r]&
(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega u_\alpha\phi.}
\end{xy}$$ Die Konvergenz folgt hier, da $\phi$ in jedem $L^q$-Raum
ist. Somit ist $D^\alpha u=u_\alpha$ und es gilt $u_m\to u\in
W^{k,p}(\Omega)$.
\end{itemize}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Approximierbarkeit}
In glatten beschr\"ankten Gebieten lassen sich
$W^{k,p}$-Funktionen durch glatte Funktionen
in der $W^{k,p}$-Norm approximieren.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Lokale Approximierbarkeit durch glatte Funktionen]
\label{lok approx}\neueZeilealt
Sei $u\in W^{k,p}(\Omega)$, $\Omega\subset\R^n$ offen und 
$1\le p<\infty$. Sei $\eta$ eine Friedrichsche Gl\"attungsfunktion,
$\eta_\epsilon$ die zugeh\"orige Diracfolge. Sei
$$\Omega_\epsilon:=\{x\in\Omega:\dist(x,\partial\Omega)>\epsilon\}.$$
Dann ist 
$$u^\epsilon=\eta_\epsilon*u\in C^\infty(\Omega_\epsilon)$$
und es gilt
$$u^\epsilon\to u\text{ in }W^{k,p}_{\text{loc}}(\Omega)$$
f\"ur $\epsilon\to0$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Die Regularit\"atsaussage ist bekannt.
Sei also $|\alpha|\le k$. Wir behaupten, dass
$$D^\alpha u^\epsilon=\eta_\epsilon*D^\alpha u\text{ in }
\Omega_\epsilon$$
gilt, dass also Gl\"atten und schwaches Ableiten kommutieren.
F\"ur $x\in\Omega_\epsilon$ gilt
\begin{align*}
D^\alpha u^\epsilon(x)=&D^\alpha\int\limits_\Omega
\eta_\epsilon(x-y)u(y)dy\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega D^\alpha_x\eta_\epsilon(x-y)u(y)dy\umbruch\\
=&(-1)^{|\alpha|}\int\limits_\Omega D^\alpha_y\eta_\epsilon(x-y)
u(y)dy\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega\eta_\epsilon(x-y)D^\alpha u(y)dy,
\end{align*}
da $y\mapsto\eta_\epsilon(x-y)$ f\"ur festes $x\in\Omega_\epsilon$
eine Testfunktion ist. Somit folgt
$$D^\alpha u^\epsilon(x)=\left(\eta_\epsilon*D^\alpha u\right)(x).$$
Sei nun $\Omega'\Subset\Omega$. Da die Mollifizierungen in $L^p$
konvergieren, erhalten wir
$$D^\alpha u^\epsilon\to D^\alpha u\text{ in }L^p(\Omega').$$
Also konvergiert jeder Bestandteil der Norm und es gilt auch
$$u^\epsilon\to u\text{ in } W^{k,p}(\Omega').$$
\end{proof}

\begin{remark}
Dies funktioniert im Falle $p=\infty$ nicht, da sich 
$L^\infty$-Funk\-tion\-en i.\,a.\ aufgrund ihrer Sprungstellen
nicht durch glatte Funktionen in $L^\infty$ approximieren lassen.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Globale Approximierbarkeit durch glatte Funktionen]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $u\in W^{k,p}(\Omega)$
f\"ur $1\le p<\infty$. Dann gibt es $u_m\in C^\infty(\Omega)\cap
W^{k,p}(\Omega)$, so dass
$u_m\to u$ in $W^{k,p}(\Omega)$. 
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweisskizze]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Zerlege mit Hilfe von Abschneidefunktionen $u$ in Anteile 
auf \glqq Zwiebelschalen\grqq. Betrachte also $u\eta_i$ statt $u$,
wobei $(\eta_i)$ eine Zerlegung der Eins ist, wobei die Tr\"ager
dieser Funktionen jeweils in einer festen Anzahl benachbarter
Zwiebelschalen enthalten sind. 
\item Approximiere dort bis auf einen Fehler $\frac\delta{2^{i+1}}$
in der $W^{k,p}$-Norm, so dass der Tr\"ager der Approximation 
maximal in zwei zus\"atzliche benachbarte Schichten reicht. 
\item Die Summe der Approximationen ist lokal endlich und daher
in $C^\infty$. Auf $\Omega'\Subset\Omega$ sch\"atzt man den
Fehler in der Approximation mit Hilfe der Dreiecksungleichung 
gleichm\"a\ss{}ig in $\Omega'$ nach oben durch $\delta$ ab.
Lasse nun $\Omega'\nearrow\Omega$ und erhalte eine bis auf
$\delta>0$ approximierende Funktion.
\item Verwende nun $\delta>0$ als Folgenindex. 
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
Wir ben\"otigen keine Randregularit\"at von $\Omega$ und bekommen
daf\"ur nur $u_m\in C^\infty(\Omega)$ und nicht
$u_m\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Globale Approximierbarkeit in 
$C^\infty\left(\ol\Omega\right)$]
\label{glob approx thm}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, 
$\partial\Omega\in C^1$. Seien $u\in W^{k,p}(\Omega)$ und 
$1\le p<\infty$. Dann gibt es $u_m\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)\cap 
W^{k,p}(\Omega)$, so dass
$$u_m\to u\text{ in }W^{k,p}(\Omega).$$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item\label{glatt approx eins}
Sei $x_0\in\partial\Omega$. Da $\partial\Omega$ von der Klasse 
$C^1$ ist, existiert (nach Umbenennen der Koordinatenachsen) eine 
Funktion $\gamma:\R^{n-1}\to\R$ von der Klasse $C^1$, so dass
$$\Omega\cap B_r(x_0)=\{x\in 
B_r(x_0):x^n>\gamma(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1})\}$$
gilt. Definiere $V:=\Omega\cap B_{r/2}(x_0)$.
\item Definiere f\"ur $x\in V$ und $\epsilon>0$ den Punkt
$x^\epsilon:=x+\lambda\epsilon e_n$. Da $\partial\Omega$ von der Klasse 
$C^1$ ist, existiert ein $\lambda=\lambda(|D\gamma|)\gg1$, so dass
$B_\epsilon(x^\epsilon)\subset\Omega\cap B_r(x_0)$ gilt, falls 
$\epsilon>0$ klein genug ist. Definiere $u_\epsilon(x):=u(x^\epsilon)$ 
f\"ur $x\in V$, die um $\lambda\epsilon$ in Richtung $e_n$ verschobene 
Funktion. Mollifiziere und definiere 
$v^\epsilon:=\eta_\epsilon*u_\epsilon$. Dies ist f\"ur $\lambda\gg1$ 
in der Menge $V$ wohldefiniert. Wir erhalten insbesondere $v^\epsilon\in 
C^\infty\left(\ol V\right)$. 
\item Sei $|\alpha|\le k$. Wir erhalten
$$\Vert D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha u\Vert_{L^p(V)}\le
\Vert D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha u_\epsilon\Vert_{L^p(V)}
+\Vert D^\alpha u_\epsilon-D^\alpha u\Vert_{L^p(V)}.$$
Wie in Theorem \ref{lok approx} sehen wir, dass
$D^\alpha v^\epsilon-D^\alpha u_\epsilon\to 0$ in
$L^p$ gilt. Weiterhin gilt $D^\alpha u_\epsilon-D^\alpha u\to0$ in 
$L^p$, da Translationen in $L^p$ stetig sind. Hieraus folgt
dann $v^\epsilon\to u$ in $W^{k,p}(V)$. 
\par
Wir wollen noch genauer begr\"unden, warum Translationen in $L^p$ 
f\"ur $1\le p<\infty$ stetige Abbildungen sind. Seien also $\delta>0$ 
und $u\in L^p$ vorgegeben. Wir wollen nachweisen, dass  
$u(\cdot)-u(\cdot-h)\to0$ f\"ur $|h|\to 0$ 
in $L^p$ gilt. Approximiere dazu zun\"achst die Funktion $u$ bis auf 
$\delta/3$ in $L^p$ durch eine glatte Funktion. 
Das Ergebnis, $\tilde u$, hat einen beschr\"ankten 
Gradienten, wobei die Schranke von der Approximation abh\"angt. Dies 
funktioniert so nur auf beschr\"ankten Gebieten. Auf unbeschr\"ankten 
Gebieten sind aber die Beitr\"age zum $L^p$-Integral au\ss{}erhalb einer 
gro\ss{}en Kugel ohnehin klein und k\"onnen direkt abgesch\"atzt werden. 
Da Translationen f\"ur Funktionen mit beschr\"anktem Gradienten in $L^p$ 
stetig sind, erhalten wir $\tilde u(\cdot)-\tilde u(\cdot-h)\to0$ f\"ur 
$|h|\to0$ in $L^p$. Wir w\"ahlen nun $|h|$ so klein, dass auch diese 
Differenz durch $\delta/3$ beschr\"ankt ist. Wir erhalten somit
\begin{align*}
\Vert u(\cdot)-u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\le&
\Vert u(\cdot)-\tilde u(\cdot)\Vert_{L^p}
+\Vert\tilde u(\cdot)-\tilde u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\\
&\quad+\Vert\tilde u(\cdot-h)-u(\cdot-h)\Vert_{L^p}\umbruch\\
\le&\delta/3+\delta/3+\delta/3=\delta.
\end{align*}
\item Sei nun $\delta>0$. Da $\Omega$ beschr\"ankt ist, existieren
  endlich viele Punkte $x_i^0\in\partial\Omega$ und Radien $r_i>0$, so
  dass $V_i=\Omega\cap B_{r_i/2}(x^0_i)$ wie in \eqref{glatt approx
    eins} ist und $\partial\Omega\subset\bigcup\limits_{i=1}^N
  B_{r_i/2}(x^0_i)$ gilt. Wie oben gezeigt, gibt es also $v_i\in
  C^\infty\left(\ol V_i\right)$ mit $\Vert
  v_i-u\Vert_{W^{k,p}(V_i)}\le\delta$. W\"ahle noch
  $V_0\Subset\Omega$, so dass $\Omega\subset\bigcup\limits_{i=0}^NV_i$
  gilt. Nach Theorem \ref{lok approx} gibt es $v_0\in
  C^\infty\left(\ol V_0\right)$ mit $\Vert
  v_0-u\Vert_{W^{k,p}(V_0)}\le\delta$.
\item Sei nun $\zeta_i$ eine den Mengen $V_i$ untergeordnete glatte 
Zerlegung der Eins. Definiere
$v:=\sum\limits_{i=0}^N\zeta_iv_i$. Es gilt $v\in 
C^\infty\left(\ol\Omega\right)$. Sei $|\alpha|\le k$. Wir erhalten die 
Absch\"atzung
\begin{align*}
\Vert D^\alpha v-D^\alpha u\Vert_{L^p(\Omega)}=&
\left\Vert\sum\limits_{i=0}^ND^\alpha(\zeta_iv_i)-
\sum\limits_{i=0}^ND^\alpha(\zeta_iu)\right\Vert_{L^p(\Omega)}\umbruch\\
\le&\sum\limits_{i=0}^N\Vert D^\alpha(\zeta_iv_i)
-D^\alpha(\zeta_iu)\Vert_{L^p(V_i)}\umbruch\\
\le&c\cdot\sum\limits_{i=0}^N\Vert v_i-u\Vert_{W^{k,p}(V_i)}\umbruch\\
\le&c\cdot(N+1)\delta,
\end{align*}
wobei wir im vorletzten Schritt benutzt haben, dass die Ableitungen der 
Funktionen $\zeta_i$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt sind. Die Behauptung 
folgt. 
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fortsetzbarkeitss\"atze}\neueZeilealt
In glatten beschr\"ankten Gebieten lassen sich
$W^{k,p}(\Omega)$-Funktionen nach $\R^n$ als
$W^{k,p}\left(\R^n\right)$-Funktionen mit kompaktem Tr\"ager
fortsetzen, so dass deren Norm durch die ur\-spr\"ung\-li\-che
Norm abgesch\"atzt bleibt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Fortsetzungssatz]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$. 
Sei $V\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\Omega\Subset V$. Dann gibt 
es eine beschr\"ankte lineare Abbildung 
$$E:W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}\left(\R^n\right),\quad1\le p\le\infty,$$
so dass f\"ur $u\in W^{1,p}(\Omega)$ folgendes gilt
\begin{itemize}
\item $Eu=u$ fast \"uberall in $\Omega$,
\item $\supp(Eu)\subset V$,
\item $\Vert Eu\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le
c(p,\Omega,V)\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$. 
\end{itemize}
Die Funktion $Eu$ hei\ss{}t Fortsetzung von $u$ auf $\R^n$. 
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Sei $x_0\in\partial\Omega$. Nehme zun\"achst an, dass lokal 
$\partial\Omega\subset\{x^n=0\}$ gilt. Dann gibt es $r>0$, so dass 
\begin{align*}
B^+:=&B_r(x_0)\cap\{x^n\ge0\}\subset\ol\Omega,\umbruch\\
B^-:=&B_r(x_0)\cap\{x^n\le0\}\subset\R^n\setminus\Omega.
\end{align*}
\item Nehme zun\"achst an, dass $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ 
gilt. Definiere eine Spiegelung von h\"oherer Ordnung durch
$$\ol u(x):=\begin{cases}
u(x),&x\in B^+,\\
-3u\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-x^n\right)
+4u\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-\tfrac12x^n\right),&x\in B^-.
\end{cases}$$
\item Wir behaupten zun\"achst, dass $\ol u\in C^1(B_r(x_0))$ ist. 
Definiere dazu $u^-:=\ol u|_{B^-}$ und $u^+:=\ol u|_{B^+}$. F\"ur die 
Normalableitungen erhalten wir
$$\fracp{u^-}{x^n}=3\fracp{u}{x^n}\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-x^n\right)
-2\fracp u{x^n}\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1},\,-\tfrac12x^n\right).$$
Somit gilt auf $\{x^n=0\}$ f\"ur die Normalenableitungen 
$u^-_{x^n}=u^+_{x^n}$. Auf der Menge $\{x^n=0\}$ stimmen die 
Funktionswerte von $u^+$ und $u^-$ und damit auch die 
Tangentialableitungen \"uberein. Somit ist $\ol u\in C^1(B_r(x_0))$. 
\item Es gilt 
$$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}(B_r(x_0))}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{1,p}(B^+)},$$
da in der Definition der Spiegelung h\"oherer Ordnung nie weiter als
bisher von $\{x^n=0\}$ entfernt ausgewertet wird. Da die Spiegelung eine 
Linearkombination von $W^{1,p}$-Funktionen ist und da das neue Argument 
die Norm h\"ochstens um eine Konstante vergr\"o\ss{}ert, folgt die 
Behauptung. 
\item Ist der Rand nicht eben/flach, so biegt man den Rand zun\"achst 
flach, setzt dann fort und transformiert anschlie\ss{}end zur\"uck. 
\item Da sich der Rand nicht mit einer solchen Umgebung \"uberdecken 
l\"a\ss{}t, zerlegt man die Funktion zun\"achst mit einer geeigneten 
Zerlegung der Eins und baut das Resultat anschlie\ss{}end wieder 
zusammen. 
\item Durch Multiplikation mit einer Abschneidefunktion stellt man 
sicher, dass der Tr\"ager der fortgesetzten Funktion nicht zu gro\ss{} 
wird. 
\item Wir erhalten also die Absch\"atzung
$$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot\Vert 
u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$
falls $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ ist. Die Details zu den 
letzten Schritten sind eine \"Ubung. 
\item Seien nun $1\le p<\infty$ und $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Wir 
approximieren $u$ durch Funktionen $u_m\in C^\infty\left(\ol u\right)$ 
in $W^{1,p}(\Omega)$. Die Abbildung $v\mapsto Ev:=\ol v$ ist ein 
linearer Operator. Die Stetigkeit folgt dabei aus der obigen 
Absch\"atzung f\"ur glatte Funktionen. Diese Absch\"atzung liefert aber 
auch
$$\Vert Eu_m-Eu_l\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert u_m-u_l\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$
Daher ist $Eu_m$ eine Cauchyfolge in $W^{1,p}\left(\R^n\right)$. Wir 
definieren nun $\ol u=Eu$ als den Grenzwert dieser Folge. $Eu$ ist von 
der Wahl der approximierenden Folge unabh\"angig und die gesuchte 
Fortsetzung. 
\item Der Fall $p=\infty$ ist ebenfalls eine \"Ubung.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
F\"ur $\partial\Omega\in C^2$ funktioniert die obige Konstruktion auch 
noch f\"ur $W^{2,p}(\Omega)$-Funktionen. % nicht gecheckt.
Dabei bleibt eine $C^2$-Funktion jedoch nicht in dieser Klasse. 
Mit Hilfe von Spiegelungen h\"oherer Ordnung kann man analog aber auch 
Fortsetzungsoperatoren f\"ur die R\"aume $W^{k,p}$ konstruieren. Dies 
bleibt als \"Ubung.  
% Hinweise f\"ur einen geeigneten Ansatz: Vermutlich GTBook oder 
% EvansPDE.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Spuren von Sobolevfunktionen}
Wir wollen Randwerte von $W^{1,p}$-Funk\-tio\-nen definieren. Diese 
Funktionen sind i.\,a.\ nicht stetig und $\partial\Omega$ ist eine 
Nullmenge. 

Sei $\Omega$ beschr\"ankt.
Ist $u\in W^{1,p}(\Omega)$ mit $\partial\Omega\in C^1$,
$1\le p<\infty$, so besitzt $u$ Randwerte als $L^p$-Funktion.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$
und $1\le p<\infty$. Dann gibt es einen beschr\"ankten linearen Operator 
$$T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega),$$
so dass $Tu=u|_{\partial\Omega}$, falls $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap 
C^0\left(\ol\Omega\right)$ ist und 
$$\Vert Tu\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le c(p,\Omega)\cdot
\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$
f\"ur $u\in W^{1,p}(\Omega)$ gilt.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Nehme zun\"achst an, dass $u\in C^1\left(\ol\Omega\right)$ ist,
dass $\partial\Omega$ in der N\"ahe eines Randpunktes 
$x_0\in\partial\Omega$ flach ist, lokal also 
$\partial\Omega\subset\{x^n=0\}$ gilt. W\"ahle nun $r>0$ so, dass 
$B_r(x_0)\cap\Omega=B_r(x_0)\cap\{x^n>0\}$ gilt. Definiere 
$\hat B:=B_{r/2}(x_0)$ und $B:=B_r(x_0)$. Setze weiterhin 
$\Gamma:=\partial\Omega\cap\{x^n=0\}\cap\hat B$ und 
$(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1})=\hat x\in\R^{n-1}=\{x^n=0\}$, wobei das letzte 
Gleichheitszeichen die Identifikation der beiden Mengen andeutet. 

Sei $\zeta\in C^\infty_c(B)$, $\zeta\ge0$ und $\zeta=1$ in $\hat B$.
Setze $B^+:=B\cap\Omega$. Wir erhalten die Ab\-sch\"atz\-ung
\begin{align*}
\int\limits_\Gamma|u|^pd\hat x\le&
\int\limits_{\{x^n=0\}}\zeta\cdot|u|^pd\hat x\umbruch\\
=&-\int\limits_{B^+}\left(\zeta|u|^p\right)_{x^n}dx
\text{ (Hauptsatz)}\umbruch\\
\le&\int\limits_{B^+}|D\zeta|\cdot|u|^p+p|u|^{p-1}|Du|\zeta\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_{B^+}|u|^p+|Du|^p\quad\left(\text{Young, }
\tfrac{p-1}p+\tfrac1p=1\right).
\end{align*}
\item F\"ur ein allgemeines $C^1$-Gebiet $\Omega$, eine kleine Umgebung 
$\Gamma$ von $x_0\in\partial\Omega$ in $\partial\Omega$ erh\"alt man 
durch Aufbiegen ebenfalls
$$\int\limits_\Gamma|u|^p\le c\cdot\int\limits_\Omega|u|^p+|Du|^p.$$
\item \"Uberdecke nun $\partial\Omega$ mit solchen Randst\"ucken 
$\Gamma$, zerlege mit Hilfe einer Zerlegung der Eins und erhalte 
$$\Vert u\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$
falls $u\in C^1\left(\ol\Omega\right)$ ist. Definiere 
$Tu:=u|_{\partial\Omega}$ f\"ur $u\in C^1\left(\ol\Omega\right)$. Es 
folgt 
$$\Vert Tu\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le 
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$
falls $u\in C^1\left(\ol\Omega\right)$ ist. Wir bemerken, dass $T$ ein 
linearer Operator ist. 
\item Sei nun $u\in W^{1,p}(\Omega)$ beliebig. Sei $u_m\in 
C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ eine approximierende Folge, also
$u_m\to u$ in $W^{1,p}(\Omega)$. Wir erhalten
$$\Vert Tu_m-Tu_l\Vert_{L^p(\partial\Omega)}\le 
c\cdot\Vert u_m-u_l\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$
Daher ist $Tu_m$ eine Cauchyfolge in $L^p(\partial\Omega)$. 
Wir definieren also
$$Tu:=\lim\limits_{m\to\infty}Tu_m\text{ in }L^p(\partial\Omega).$$
Diese Definition ist unabh\"angig von der approximierenden Folge $u_m$. 
\item Sei schlie\ss{}lich $u\in W^{1,p}(\Omega)\cap 
C^0\left(\ol\Omega\right)$. Die in Theorem \ref{glob approx thm} 
konstruierte Folge ist so definiert, dass sie in diesem Falle auf ganz 
$\ol\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig gegen $u$ konvergiert. Daher folgt hier 
$Tu=u|_{\partial\Omega}$. Da der Grenzwert aber von der approximierenden 
Folge unabh\"angig ist, gilt dies auch, wenn man andere approximierende 
Folgen verwendet. 
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{aequi rw null}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$ 
und $1\le p<\infty$. Sei $u\in W^{1,p}(\Omega)$. Dann gilt
$$u\in W^{1,p}_0(\Omega)\quad\Longleftrightarrow\quad Tu=0\text{ auf } 
\partial\Omega. $$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]\rule{1mm}{0mm}

``$\Longrightarrow$'':
Sei zun\"achst $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$. Dann gibt es nach Definition 
der $W^{1,p}_0(\Omega)$-Funktionen eine Folge von Funktionen $u_m\in 
C^\infty_c(\Omega)$, so dass $u_m\to u$ in $W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur alle 
Folgenglieder gilt $Tu_m=0$ auf $\partial\Omega$. Da 
$T:W^{1,p}(\Omega)\to L^p(\partial\Omega)$ ein stetiger linearer 
Operator ist, folgt auch $Tu=0$ auf $\partial\Omega$. 

``$\Longleftarrow$'':
Sei nun $u\in W^{1,p}(\Omega)$ und gelte $Tu=0$ auf $\partial\Omega$.
Wir benutzen eine Zerlegung der Eins und biegen den Rand 
$\partial\Omega$ lokal auf. Daher d\"urfen wir annehmen, dass
$u\in W^{1,p}\left(\R^n_+\right)\equiv W^{1,p}(\{x^n>0\})$, 
$\supp u\Subset\ol{\R^n_+}$ und $Tu=0$ auf $\partial\R^n_+=\R^{n-1}$ 
gelten. Wir wollen nachweisen, dass sich $u$ in 
$W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$ durch 
$C^\infty_c\left(\R^n_+\right)$-Funktionen approximieren l\"a\ss{}t.
Es gilt $Tu=0$ auf $\R^{n-1}$. Daher gibt es $u_m\in 
C^1\left(\ol{\R^n_+}\right)$, so dass 
\begin{align*}
u_m\to&\,\,u\,\text{ in }W^{1,p}\left(\R^n_+\right),\umbruch\\
Tu_m=u_m|_{\R^{n-1}}\to&\,\,0\,\text{ in }L^p\left(\R^{n-1}\right).
\end{align*}
Sei nun $\hat x\in\R^{n-1}$ und $x^n\ge0$. Mit Hilfe des Hauptsatzes der 
Differential- und Integralrechnung erhalten wir
$$|u_m(\hat x,x^n)|\le|u_m(\hat x,0)|+\int\limits_0^{x^n}
|u_{m,x^n}(\hat x,t)|dt.$$
Wir betrachten die $p$-te Potenz dieser Ungleichung und sch\"atzen mit 
Hilfe der H\"olderschen Ungleichung mit den Exponenten $p$ und 
$\frac p{p-1}$ ab
\begin{align*}
\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,x^n)|^pd\hat x\le&
c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
&\quad+c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}
\left(\int\limits_0^{x^n}1\cdot|Du(\hat x,t)|dt\right)^pd\hat x
\umbruch\\
\le&c(p)\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
&\quad+c(p)\cdot(x^n)^{p-1}
\cdot\int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}}
|Du_m(\hat x,t)|^pd\hat x\,dt.
\end{align*}
%Wir integrieren dies bez\"uglich $x^n$ 
%\begin{align*}
%\int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}}
%|u_m(\hat x,t)|^pd\hat x\,dt\le&
%c(p)\cdot x^n\cdot\int\limits_{\R^{n-1}}|u_m(\hat x,0)|^pd\hat x\\
%&\quad+c(p)\int\limits_0^{x^n}t^{p-1}\int\limits_0^t
%\int\limits_{\R^{n-1}}|Du_m(\hat x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau\,dt.
%\end{align*}
F\"ur $m\to\infty$ gilt $u_m\to0$ in $L^p\left(\partial\R^n_+\right)$ 
und $u_m\to u$ in $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$. Daher folgt
\[\int\limits_{\R^{n-1}}
|u(\hat x,t)|^p\,d\hat x\le
c(p)t^{p-1}\int\limits_0^t\int\limits_{\R^{n-1}}
|Du(\hat x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau.\]
Wir integrieren dies bez\"uglich $t$ und erhalten
\begin{equation}\label{rnd absch}
\int\limits_0^{x^n}\int\limits_{\R^{n-1}}
|u(\hat x,t)|^p\,d\hat x\,dt\le
c(p)\int\limits_0^{x^n}t^{p-1}\int\limits_0^t\int\limits_{\R^{n-1}}
|Du(\hat x,\tau)|^pd\hat x\,d\tau\,dt.
\end{equation}

Definiere nun die approximierenden Funktionen mit Randwerten Null. Sei 
$\zeta\in C^\infty(\R_+)$ mit $0\le\zeta\le 1$ und
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{in }[0,1],\\
\zeta\equiv0&\text{in }\R_+\setminus[0,2].
\end{cases}$$
Definiere f\"ur $x\in\R^n_+$ Funktionen
$$\zeta_m(x):=\zeta(mx^n)$$
und
$$w_m(x):=u(x)(1-\zeta_m).$$
Es folgt
\begin{align*}
w_{m,x^n}=&u_{x^n}(1-\zeta_m)-mu\zeta'
\intertext{und}
D_{\hat x}w_m=&D_{\hat x}u(1-\zeta_m).
\end{align*}
Zeige nun, dass $w_m\to u$ in $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$ konvergiert. 
Es gilt $w_m\to u$ in $L^p$ aufgrund der Stetigkeit des Integrals 
bez\"uglich des Integrationsgebietes. Wir sch\"atzen wie folgt ab
$$\int\limits_{\R^n_+}|Dw_m-Du|^p\le 
c(p)\int\limits_{\R^n_+}|\zeta_m|^p|Du|^p
+c(p,\zeta)m^p\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}|u|^p
\equiv A+B.$$
Wir benutzen nochmals die Stetigkeit bez\"uglich des 
Integrationsgebietes (oder den Satz von der dominierenden Konvergenz mit 
entsprechend ``abgeschnittenen'' Funktionen) und erhalten
$A\to0$ f\"ur $m\to\infty$. Das zweite Integral sch\"atzen wir mit Hilfe 
von \eqref{rnd absch} ab
\begin{align*}
B\le&c\cdot m^p\int\limits_0^{2/m}t^{p-1}\int\limits_0^t
\int\limits_{\R^{n-1}}|Du(\hat x,\tau)|^pd\hat xd\tau dt\umbruch\\
\le&c\cdot m^p\left(\int\limits_0^{2/m}t^{p-1}dt\right)\cdot
\left(\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}
|Du(\hat x,t)|^pd\hat xdt\right)\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_0^{2/m}\int\limits_{\R^{n-1}}
|Du(\hat x,t)|^pd\hat xdt\umbruch\\
\to&0
\end{align*}
f\"ur $m\to\infty$. Wir erhalten also
$w_m\to u$ in $W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$. Andererseits gilt
$w_m=0$ f\"ur $0<x^n<1/m$. Daher erh\"alt man durch 
Mollifizierung der $w_m$ eine Folge
$u_m\in C^\infty_c\left(\R^n_+\right)$ mit $u_m\to u$ in
$W^{1,p}\left(\R^n_+\right)$ und es gilt (wie behauptet) $u\in 
W^{1,p}_0\left(\R^n_+\right)$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Sobolevungleichungen und Einbettungss\"atze}

Sobolevr\"aume betten in andere Funktionenr\"aume ein. Diese 
Einbettungen $$\left(W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow?\right)$$ 
unterscheiden sich, je nachdem, ob 
\begin{itemize}
\item $1\le p<n$, 
\item $p=n$ oder 
\item $n<p\le\infty$ 
\end{itemize}
gilt. Es gen\"ugt, die entsprechenden Absch\"atzungen f\"ur glatte 
Funktionen zu beweisen, da diese dicht in den entsprechenden 
Sobolevfunktionen liegen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Sei $1\le p<n$. Der zu $p$ konjugierte Sobolevexponent ist
$p^*=\frac{np}{n-p}$, $\frac1{p^*}=\frac1p-\frac1n$.
Es gilt $p^*>p$.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-Ungleichung]
\label{gn sob ungl}
Sei $1\le p<n$. Dann gibt es eine Konstante $c$, die nur
von $p$ und $n$ abh\"angt, so dass
$$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\R^n)}\le c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p(\R^n)}$$
f\"ur alle $u\in C^1_c\left(\R^n\right)$ gilt.
\end{theorem}

\begin{remark} 
Aufgrund des Skalierungsverhaltens der Ungleichung bei
einer Funktionenfamilie der Form $u_\lambda(x)=u(\lambda x)$ sieht man
(\"Ubung), dass solch eine Ungleichung nur f\"ur den hier angegebenen
Wert von $p^*$ richtig sein kann. 
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{gn sob ungl}]
Sei zun\"achst $p=1$. Da $u$ kompakten Tr\"ager hat, folgt f\"ur festes 
$i\in\{1,\,\ldots,\,n\}$ und $x\in\R^n$
$$u(x)=\int\limits_{-\infty}^{x^i}u_i\left(x^1,\,\ldots,\,x^{i-1},\,
y^i,\,x^{i+1},\,\ldots,\,x^n\right)dy^i.$$
Wir schlie\ss{}en hieraus zun\"achst, dass
$$|u(x)|\le\int\limits_{-\infty}^\infty
\left|Du\left(x^1,\ldots,y^i,\ldots,x^n\right)\right|dy^i$$
gilt und erhalten somit auch
$$|u(x)|^{\frac n{n-1}}\le\prod\limits_{i=1}^n
\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
|Du(x^1,\ldots,y^i,\ldots,x^n)|dy^i\right)^{\frac1{n-1}}.$$
Diese Ungleichung integrieren wir nun bez\"uglich der Variablen $x^1$
\begin{align*}
\int\limits_{-\infty}^\infty|u|^{\frac n{n-1}}\,dx^1\le&
\int\limits_{-\infty}^\infty\prod\limits_{i=1}^n
\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^1\\
=&\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot
\int\limits_{-\infty}^\infty\prod\limits_{i=2}^n
\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^1\\
&\text{da im ersten Faktor nun keine $x^1$-Abh\"angigkeit mehr 
vorliegt}\umbruch\\
\le&\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot
\left(\prod\limits_{i=2}^n\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty
\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dx^1\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}
\end{align*}
aufgrund der verallgemeinerten H\"olderschen Ungleichung, 
angewandt auf den zweiten Faktor f\"ur die Variable $x^1$.

Wir fahren nun analog zu dieser Rechnung fort. Zun\"achst integrieren 
wir be\-z\"ug\-lich $x^2$, ziehen wieder einen Faktor, in dem kein $x^2$ 
vorkommt, nach vorne und verwenden dann f\"ur den Rest wiederum die 
verallgemeinerte H\"oldersche Ungleichung
\begin{align*}
\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty 
|u|^{\frac n{n-1}}&\,dx^1\,dx^2\le
\left(\,\,\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
|Du|\,dx^1\,dy^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot\\
&\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty
\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dy^1\right)^{\frac1{n-1}}\cdot
\left(\prod\limits_{i=3}^n
\;\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,
dx^1\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}dx^2\umbruch\\
\le&\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
|Du|\,dx^1\,dy^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot
\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
|Du|\,dy^1\,dx^2\right)^{\frac1{n-1}}\cdot\\
&\quad\cdot
\prod\limits_{i=3}^n\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty
\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty
|Du|\,dx^1\,dx^2\,dy^i\right)^{\frac1{n-1}}. 
\end{align*}
Per Induktion erh\"alt man hieraus durch weitere Integrationen
die Ungleichung
\begin{align*}
\int\limits_{\R^n}|u|^{\frac n{n-1}}\le&
\prod\limits_{i=1}^n\left(\;\int\limits_{-\infty}^\infty\cdots
\int\limits_{-\infty}^\infty|Du|\,dx^1\ldots\,dy^i\ldots\,dx^n
\right)^{\frac1{n-1}}\umbruch\\
=&\left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|\right)^{\frac n{n-1}}.
\end{align*}
Dies ist gerade die behauptete Ungleichung im Falle $p=1$
$$\Vert u\Vert_{L^{\frac n{n-1}}\left(\R^n\right)}\le
\Vert Du\Vert_{L^1\left(\R^n\right)}.$$

Sei nun $1<p<n$ beliebig. F\"ur $\gamma>1$ ist (wie man leicht direkt 
nachrechnet) mit $u$ auch $|u|^\gamma\in C^1_c\left(\R^n\right)$.
Aus der obigen Ungleichung im Falle $p=1$ erhalten wir mit Hilfe der 
H\"olderschen Ungleichung $\left(\frac1p+\frac{p-1}p=1\right)$
\begin{align*}
\left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{\frac{\gamma n}{n-1}}
\right)^{\frac{n-1}n}\le&
\int\limits_{\R^n}\left|D|u|^\gamma\right|\umbruch\\
=&\int\limits_{\R^n}\gamma\cdot|u|^{\gamma-1}|Du|\umbruch\\
\le&\gamma\cdot\left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{(\gamma-1)\frac p{p-1}}
\right)^{\frac{p-1}p}\cdot
\left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}.
\end{align*}
Wir w\"ahlen nun $\gamma$ so, dass die Exponenten in den Integralen mit 
$|u|$ \"ubereinstimmen, also so dass
$$\frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1)\frac p{p-1}$$
gilt. Dies ist der Fall f\"ur 
$$\gamma=\frac{p(n-1)}{n-p}>1.$$
Mit dieser Wahl von $\gamma$ gilt dann auch
$$\frac{\gamma n}{n-1}=\frac{pn}{n-p}=(\gamma-1)\frac p{p-1}=p^*$$
und 
$$\frac{n-1}n-\frac{p-1}p=\frac{np-p-np+n}{pn}
=\frac{n-p}{pn}=\frac1{p^*}.$$
Wir erhalten somit die behauptete Ungleichung
$$\left(\;\int\limits_{\R^n}|u|^{p^*}\right)^{1/p^*}\le
\frac{p(n-1)}{n-p}\cdot\left(\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}.$$
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{sobolev omega}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$.
Sei $1\le p<n$, $u\in W^{1,p}(\Omega)$.
Dann gilt $u\in L^{p^*}(\Omega)$ und
$$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$
mit $c=c(p,n,\Omega)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $\ol u$ eine $W^{1,p}$-Fortsetzung von $u$ mit kompaktem Tr\"ager
in $\R^n$,
$$\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}.$$
Da $\ol u$ kompakten Tr\"ager hat, gibt es Funktionen 
$u_m\in C^\infty_c\left(\R^n\right)$, so dass
$$u_m\to\ol u\text{ in }W^{1,p}\left(\R^n\right)\text{ konvergiert.}$$
Nach Theorem \ref{gn sob ungl} folgt somit
$$\Vert u_m-u_l\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert Du_m-Du_l\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.$$
Da $u_m$ eine Cauchyfolge in $W^{1,p}$ ist, ist auch $u_m$ eine 
Cauchyfolge in $L^{p^*}$ und es gilt $u_m\to v\in L^{p^*}$ f\"ur ein 
$v\in L^{p^*}$. Da aber beide Konvergenzen auch 
$L^1_{\text{loc}}$-Konvergenz implizieren, stimmen die Grenzwerte 
\"uberein und es gilt somit $u_m\to\ol u$ auch in $L^{p^*}$. 
Wir wenden nun nochmals Theorem \ref{gn sob ungl} an und erhalten
$$\Vert u_m\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert u_m\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}.$$
Gehen wir hierbei zum Grenzwert \"uber, so erhalten wir die mittlere 
Ungleichung in der folgenden Ungleichungskette. Die erste Ungleichung 
folgt aufgrund der Inklusion der beteiligten Gebiete und die letzte 
Ungleichung ist eine Konsequenz der Fortsetzungseigenschaft von 
$\Omega$. Insgesamt ergibt sich also
$$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le
\Vert\ol u\Vert_{L^{p^*}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert\ol u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}
\le c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)},$$
was gerade die Behauptung des Theorems ergibt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Einen solchen Einbettungssatz bekommen wir auch, wenn das Gebiet nicht 
von der Klasse $C^1$ ist, die Sobolevfunktion daf\"ur aber Randwerte 
Null hat. 
\begin{theorem}[Poincar\'eungleichung]\label{poincare eins}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $1\le p<n$ und
$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$. Dann gilt
$$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$
f\"ur beliebiges $q\in[1,p^*]$, wobei $c=c(p,q,n,\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Da $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ ist, gibt es Funktionen $u_m\in
C^\infty_c(\Omega)$, die in $W^{1,p}(\Omega)$ gegen $u$
konvergieren. Setze diese durch Null nach $\R^n$ fort.
Benutze Theorem \ref{gn sob ungl} und lasse $m\to\infty$. Es
folgt
$$\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}.$$
Da $|\Omega|$ beschr\"ankt ist, bekommen wir aufgrund der
H\"olderschen Ungleichung eine Schachtelung der $L^p$-R\"aume
und wir erhalten
$$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot\Vert u\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}$$
f\"ur $1\le q\le p^*$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{corollary}\label{norm aequi}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $1\le p<n$.
Dann sind auf $W^{1,p}_0(\Omega)$
$$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}\quad\text{und}\quad
\Vert u\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}$$
\"aquivalente Normen.
\end{corollary}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{H\"olderr\"aume}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Sei $u:\Omega\to\R$ stetig und beschr\"ankt. Wir
definieren f\"ur $0<\alpha<1$ die H\"olderhalbnorm
$$[u]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}
:=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x,y\in\Omega}{x\neq y}}
\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}$$
Im Fall $\alpha=1$ erhalten wir lipschitzstetige
Funktionen.

Wir definieren die H\"oldernorm
$$\Vert u\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}
:=\Vert u\Vert_{C^0\left(\ol\Omega\right)}
+[u]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}.$$

Der H\"olderraum $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$k\in\N$,
besteht aus allen Funktionen $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$,
f\"ur die die Norm
$$\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}:=
\sum\limits_{|\beta|\le k}
\left\Vert D^\beta u\right\Vert_{C^0\left(\ol\Omega\right)}
+\sum\limits_{|\beta|=k}
\left[D^\beta u\right]_{C^{0,\alpha}(\ol\Omega)}.$$
endlich ist.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.
% Vorsichtsmassnahme, tut wohl auch so. 
Die R\"aume $C^{k,\alpha}$ sind Banachr\"aume.
F\"ur $0<\alpha<1$ ist $C^{0,\alpha}$ nicht separabel,
da eindimensional die Funktionen $u_i(x)=|x-x_i|^\alpha$ einen
Abstand in $C^{0,\alpha}$ haben, der f\"ur $x_i\to x_j$
nicht gegen Null konvergiert.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Morreyungleichung}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Morrey]
Sei $n<p<\infty$. Dann gibt es $c=c(p,n)$, so dass
$$\Vert u\Vert_{C^{0,\gamma}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}$$
f\"ur alle $u\in C^1\left(\R^n\right)$,
ggf.\ mit unendlicher rechter Seite, gilt,
wobei $\gamma=1-\frac np$ ist.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Fixiere eine Kugel $B_r(x)\subset\R^n$.
Wir behaupten zun\"achst, dass es eine Konstante $c=c(n)$ gibt, so dass
$$\fint\limits_{B_r(x)}|u(y)-u(x)|\,dy\le c\cdot
\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|y-x|^{n-1}}\,dy.$$
Dies sieht man wie folgt ein: Fixiere $w\in\partial B_1(0)$. 
Dann gilt f\"ur $0<s<r$
\begin{align*}
|u(x+sw)-u(x)|=&\left|\int\limits_0^s\dt u(x+tw)\,dt\,\right|\umbruch\\
=&\left|\int\limits_0^s\langle Du(x+tw),w\rangle\,dt\,\right|\umbruch\\
\le&\int\limits_0^s|Du(x+tw)|\,dt.
\end{align*}
Integriere dies bez\"uglich $w$ \"uber die Sph\"are und erhalte
$$\int\limits_{\partial B_1(0)}|u(x+sw)-u(x)|\,dw
\le\int\limits_0^s\int\limits_{\partial B_1(0)}|Du(x+tw)|\,dw\,dt.$$
Setze nun $y:=x+tw$. Dann gilt $t=|x-y|$ und es folgt
\begin{align*}
\int\limits_{\partial B_1(0)}|u(x+sw)-u(x)|\,dw\le&
\int\limits_0^st^{n-1}\int\limits_{\partial B_1(0)}
\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dw\,dt\umbruch\\
=&\int\limits_{B_s(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy\umbruch\\
\le&\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy,
\end{align*}
da $0<s<r$ ist. Wir multiplizieren diese Ungleichung nun mit $s^{n-1}$, 
integrieren \"uber $s$ von $0$ bis $r$ und erhalten wie behauptet die
Ungleichung
$$\int\limits_{B_r(x)}|u(y)-u(x)|\,dy\le
\frac{r^n}n\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy.$$

\item Fixiere nun $x\in\R^n$. Mit Hilfe der soeben gewonnenen 
Absch\"atzung erhalten wir
\begin{align*}
|u(x)|=&\fint\limits_{B_1(x)}|u(x)|\,dy\umbruch\\
\le&\fint\limits_{B_1(x)}|u(x)-u(y)|\,dy
+\fint\limits_{B_1(x)}|u(y)|\,dy\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_{B_1(x)}\frac{|Du(y)|}{|x-y|^{n-1}}\,dy
+c\cdot\Vert u\Vert_{L^p(B_1(x))}\umbruch\\
\le&c\cdot\left(\,\;\int\limits_{\R^n}|Du|^p\right)^{1/p}\cdot
\left(\,\int\limits_{B_1(x)}
\frac1{|x-y|^{(n-1)\frac p{p-1}}}dy\right)^{\frac{p-1}p}\\
&\quad+c\cdot\Vert u\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
\le&c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)},
\end{align*}
wobei wir f\"ur die letzte Ungleichung die folgende 
Integralabsch\"atzung verwendet haben
\begin{align*}
\int\limits_{B_1(x)}
\frac1{|x-y|^{(n-1)\frac p{p-1}}}dy
=&c\cdot\int\limits_0^1r^{n-1}r^{-(n-1)\frac p{p-1}}dr\umbruch\\
=&\left.c\cdot r^{n-(n-1)\frac p{p-1}}\right|_0^1<\infty,
\end{align*}
da $n>(n-1)\frac p{p-1}$ genau dann gilt, wenn $p>n$ ist. 
Somit folgt 
$$\sup\limits_{\R^n}|u|\le 
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\R^n\right)}.$$

\item Seien nun $x\not= y\in\R^n$ beliebig und $r:=|x-y|$. Wir definieren 
$W:=B_r(x)\cap B_r(y)$. Dann gilt 
\begin{align*}
|u(x)-u(y)|=&\fint\limits_W|u(x)-u(y)|dz\umbruch\\
\le&\fint\limits_W|u(x)-u(z)|dz
+\fint\limits_W|u(y)-u(z)|dz.
\end{align*}
Wir benutzen nun wiederum den ersten Teil des Beweises und erhalten
\begin{align*}
\fint\limits_W|u(x)-u(z)|dz\le&
c\cdot\fint\limits_{B_r(x)}|u(x)-u(z)|dz\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_{B_r(x)}\frac{|Du(z)|}{|z-x|^{n-1}}dz\umbruch\\
\le&c\cdot\left(\;\int\limits_{B_r(x)}|Du|^p\right)^{1/p}\cdot
\left(\;\int\limits_{B_r(x)}\frac1{|x-z|^{(n-1)
\frac p{p-1}}}dz\right)^{\frac{p-1}p}\umbruch\\
\le&c\cdot\left(r^{n-(n-1)\frac p{p-1}}\right)^{\frac{p-1}p}\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
=&c\cdot r^{1-\frac np}\cdot\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.
\end{align*}
Analog folgt
$$\fint\limits_W|u(y)-u(z)|dz\le
c\cdot r^{1-\frac np}\cdot\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.$$
Somit erhalten wir insgesamt 
\begin{align*}
|u(x)-u(y)|\le&c\cdot r^{1-\frac np}\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}\umbruch\\
=&c\cdot|x-y|^{1-\frac np}\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}.
\end{align*}
F\"ur den noch nicht abgesch\"atzten Anteil der H\"oldernorm folgt also 
\begin{align*}
[u]_{C^{0,1-\frac np}\left(\R^n\right)}\equiv&
\sup\limits_{x\neq y}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{1-\frac np}}\umbruch\\
\le&c\cdot\Vert Du\Vert_{L^p\left(\R^n\right)}
\end{align*}
und es ergibt sich die Behauptung des Theorems.
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 
folgt f\"ur $u\in C^1\left(\R^n\right)$ auch noch
$$\Vert u\Vert_{C^{0,1}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{1,\infty}\left(\R^n\right)}.$$
Durch leichte Modifikation des Beweises bekommt man
$$|u(y)-u(x)|\le c\cdot r^{1-\frac np}\cdot\left(\;\int\limits_{B_{2r}(x)}
|Du|^p\right)^{1/p}$$
f\"ur $u\in C^1(B_{2r}(x))$, $y\in B_r(x)$ und $n<p<\infty$. W\"ahlen 
wir nun jeweils einen stetigen Repr\"asentanten der hier auftretenden 
Funktionen so folgt die letzte Ungleichung durch Approximation auch noch 
f\"ur $u\in W^{1,p}(B_{2r}(x))$. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubungsaufgabe. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Durch Approximation beweist man, dass
die Morreysche Ungleichung auch noch f\"ur $u\in 
W^{1,p}\left(\R^n\right)$ gilt. Dabei ist zu beachten, dass die 
Morreysche Ungleichung gleichm\"a\ss{}ige H\"olderschranken f\"ur die 
Funktionen der approximierenden Folge liefert. Daher k\"onnen wir auch
f\"ur den Grenzwert $u$ einen H\"olderstetigen Repr\"asentanten 
w\"ahlen. In Zukunft werden wir stets diesen Repr\"asentanten betrachen. 
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^1$. Sei $n<p<\infty$,
$u\in W^{1,p}(\Omega)$. Dann besitzt $u$ einen
stetigen Repr\"asentanten, $u^*\in C^{0,\gamma}
\left(\ol\Omega\right)$, $\gamma=1-\frac np$,
und es gilt
$$\Vert u^*\Vert_{C^{0,\gamma}\left(\ol\Omega\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{1,p}\left(\Omega\right)}$$
mit $c=c(p,n,\Omega)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Der Beweis benutzt den Morreyschen Einbettungssatz genauso, wie im 
Beweis von Theorem \ref{sobolev omega} der Sobolevsche Einbettungssatz, 
Theorem \ref{gn sob ungl}, eingeht. Details: \"Ubungsaufgabe.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
F\"ur Funktionen, die schwache Ableitungen h\"oherer Ordnung besitzen,
erh\"alt man den folgenden Einbettungssatz. Zum Beweis wendet man
einfach solange den Sobolevschen oder Morreyschen Einbettungssatz an,
bis dies nicht mehr m\"oglich ist. 
\begin{theorem}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in C^1$.
Sei $u\in W^{k,p}(\Omega)$. 
\begin{enumerate}
\item Falls $k<\frac np$ gilt, dann ist $u\in L^q(\Omega)$ mit 
$$\frac1q=\frac1p-\frac kn$$
und es gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{L^q(\Omega)}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{k,p}},$$
wobei $c=c(k,p,n,\Omega)$ ist.
\item Falls $k>\frac np$ gilt, so ist 
$$u\in C^{k-\left[\frac np\right]-1,\gamma}\left(\ol\Omega\right),$$ 
wobei 
$$\gamma=\begin{cases}
\left[\frac np\right]+1-\frac np,&\frac np\not\in\N,\\
<1\text{ (beliebig)},&\frac np\in\N,
\end{cases},$$
und es gilt
$$\Vert u\Vert_{C^{k-\left[\frac np\right]-1,\gamma}
\left(\ol\Omega\right)}\le c(k,p,n,\gamma,\Omega)\cdot
\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Sei $k<\frac np$. Nach Definition gilt $D^\alpha u\in L^p(\Omega)$ 
f\"ur $|\alpha|\le k$. Aufgrund der Gagliardo-Nirenberg-Sobolev Ungleichung 
erhalten wir
$$\left\Vert D^\beta u\right\Vert_{L^{p^*}(\Omega)}\le c\cdot
\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}\text{ f\"ur }|\beta|\le k-1.$$ 
Somit ist
$$u\in W^{k-1,p^*}(\Omega)\text{ mit }\frac1{p^*}=\frac1p-\frac1n$$
und 
$$\Vert u\Vert_{W^{k-1,p^*}(\Omega)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}.$$
Analog folgt
$$\Vert u\Vert_{W^{k-2,(p^*)^*}(\Omega)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k-1,p^*}(\Omega)}\text{ mit }
\frac1{p^{**}}=\frac1{p^*}-\frac1n=\frac1p-\frac2n.$$
Die Behauptung folgt nun per Induktion.

\item Sei $k>\frac np$ und $\frac np\not\in\N$. Wie im ersten Teil 
erhalten wir
$$\Vert u\Vert_{W^{k-l,r}(\Omega)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{W^{k,p}(\Omega)}$$
f\"ur $\frac1r=\frac1p-\frac ln$, falls $lp<n$ ist. W\"ahle $l$ maximal, 
so dass dies erf\"ullt ist, d.\,h.\
$$l<\frac np<l+1,\quad l=\left[\frac np\right].$$
Man \"uberpr\"uft direkt, dass
$$r=\frac{pn}{n-pl}>n$$
ist. Nun k\"onnen wir die Morreysche Ungleichung anwenden und erhalten 
$$D^\alpha u\in C^{0,1-\frac nr}\left(\ol\Omega\right)$$
f\"ur $|\alpha|\le k-l-1$. Es gilt nach Definition von $r$
$$1-\frac nr=1-\frac np+l=1-\frac np+\left[\frac np\right].$$
Daher ist
$$u\in C^{k-\left[\frac np\right]-1,
\left[\frac np\right]+1-\frac np}\left(\ol\Omega\right)$$
mit den entsprechenden Normabsch\"atzungen.

\item Sei $k>\frac np$ und $\frac np\in\N$. 
Setze $l=\left[\frac np\right]-1=\frac np-1$. Wie oben erhalten wir
$$u\in W^{k-l,r}(\Omega)\text{ mit }r=\frac{np}{n-pl}=n.$$
Nach der Ungleichung von Gagliardo-Nirenberg-Sobolev erhalten wir
somit $D^\alpha u\in L^q(\Omega)$ f\"ur alle $q$ mit $n\le q<\infty$
und $|\alpha|\le k-l-1=k-\left[\frac np\right]$.
Nun k\"onnen wir den Morreyschen Einbettungssatz anwenden und erhalten
$D^\alpha u\in C^{0,1-\frac nq}\left(\ol\Omega\right)$ mit
$n<q<\infty$ und $|\alpha|\le k-\left[\frac np\right]-1$.
Wir erhalten somit wie gew\"unscht
$$u\in C^{k-\left[\frac np\right]-1,\gamma}\left(\ol\Omega\right)
\text{ f\"ur alle }0<\gamma<1$$
samt entsprechender Normabsch\"atzungen. 
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Kompaktheitss\"atze}

F\"ur $1\le p<n$, $p^*=\frac{np}{n-p}$ sind die Einbettungen
$W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{p^*}(\Omega)$ stetig. 
$W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)$ ist f\"ur 
$1\le q<p^*$ sogar eine kompakte Einbettung.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Seinen $X$, $Y$ Banachr\"aume, $X\subset Y$. $X$ ist kompakt enthalten 
in $Y$, 
$$X\Subset Y,$$
falls
\begin{enumerate}
\item $\Vert x\Vert_Y\le c\cdot\Vert x\Vert_X\quad\forall x\in X,$
\item jede beschr\"ankte Folge in $X$ ist in $Y$ pr\"akompakt. 
\end{enumerate}
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Rellich-Kondrachov]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^1$, $1\le p<n$. Dann gilt
$$W^{1,p}(\Omega)\Subset L^q(\Omega)$$
f\"ur alle $1\le q<p^*$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{itemize}
\item Die Sobolevschen Einbettungss\"atze und die Beschr\"anktheit von 
$\Omega$ liefern die Stetigkeit der Einbettung. 

\item Sei also $u_m$ in $W^{1,p}(\Omega)$ eine beschr\"ankte Folge. Es 
gen\"ugt, eine in $L^q(\Omega)$ konvergente Teilfolge zu finden.

\item Da sich die Funktionen $u_m$ zu 
$W^{1,p}\left(\R^n\right)$-Funktionen 
mit kompaktem Tr\"ager in einer gro\ss{}en Kugel $B_R$ fortsetzen 
lassen, gen\"ugt es, solche Funktionen mit
$$\sup\limits_m\Vert u_m\Vert_{W^{1,p}(B_R)}<\infty$$
zu betrachten. 

Wir gl\"atten und definieren $u^\epsilon_m:=\eta_\epsilon*u_m$ f\"ur 
$\epsilon>0$, wobei wir annehmen d\"urfen, dass 
$\supp u^\epsilon_m\Subset B_{R+1}$ gilt. 

\item Wir behaupten zun\"achst, dass $u^\epsilon_m\to u_m$ f\"ur
  $\epsilon\to0$ in $L^q$ konvergiert und zwar sogar
  gleichm\"a\ss{}ig in $m$.

Zum Beweis dieser Behauptung betrachten wir zun\"achst glatte Funktionen 
$u_m$ und erhalten
\begin{align*}
u^\epsilon_m(x)-u_m(x)=&\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)
(u_m(x-\epsilon y)-u_m(x))\,dy\umbruch\\
=&\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)\int\limits_0^1\dt u_m(x-\epsilon ty)\,dt\,dy
\umbruch\\
=&-\epsilon\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)\int\limits_0^1
\langle Du_m(x-\epsilon ty),y\rangle\,dt\,dy.
\end{align*}
Hieraus folgt
\begin{align*}
\int\limits_{B_{R+1}}\left|u^\epsilon_m(x)-u_m(x)\right|\,dx\le&
\epsilon\int\limits_{B_1(0)}\eta(y)\int\limits_0^1\int\limits_{B_{R+1}}
|Du_m(x-\epsilon ty)|\,dx\,dt\,dy\umbruch\\
\le&\epsilon\int\limits_{B_{R+2}(0)}|Du_m(z)|\,dz.
\end{align*}
Mittels Approximation sehen wir, dass diese Ungleichung auch noch f\"ur 
$W^{1,p}$-Funktionen mit Tr\"ager in $B_R(0)$ gilt. Da das Ma\ss{} 
dieser Kugel endlich ist, folgt
\begin{align*}
\left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^1(B_{R+1})}\le&
\epsilon\cdot\Vert Du_m\Vert_{L^1(B_{R+2})}\umbruch\\
\le&\epsilon\cdot c\cdot\Vert Du_m\Vert_{L^p(B_{R+2})}.
\end{align*}
Da $\Vert Du_m\Vert_{L^p(B_R)}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt ist, 
ist die folgende Konvergenz f\"ur $\epsilon\to0$ gleichm\"a\ss{}ig in 
$m$
$$u^\epsilon_m\to u_m\text{ in }L^1(B_{R+1}).$$
Dies zeigt die Behauptung im Falle $q=1$. Im allgemeinen Fall ist 
$1<q<p^*$. Daher gibt es $\theta$ mit $0<\theta<1$, so dass
$$\frac1q=\frac\theta1+\frac{1-\theta}{p^*}$$
gilt. Somit gilt auch 
$$1=\frac{\theta q}1+\frac{(1-\theta)q}{p^*}$$
und wir erhalten die folgende Interpolationsungleichung f\"ur
$L^p$-R\"aume
\begin{align*}
\Vert f\Vert_{L^q}=&\left(\int f^q\right)^{1/q}
=\left(\int f^{\theta q}\cdot f^{(1-\theta)q}\right)^{1/q}\umbruch\\
\le&\left(\int f\right)^\theta\cdot\left(\int 
f^{p^*}\right)^{\frac{1-\theta}{p^*}}\umbruch\\
=&\Vert f\Vert^\theta_{L^1}\cdot
\Vert f\Vert_{L^{p^*}}^{1-\theta}.
\end{align*}
In unserem Falle folgt also
$$\left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^q(B_{R+1})}\le
\left\Vert u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^1(B_{R+1})}^\theta
\left\Vert
  u^\epsilon_m-u_m\right\Vert_{L^{p^*}(B_{R+1})}^{1-\theta}.$$ Der
zweite Faktor auf der rechten Seite hier ist aufgrund der
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev Ungleichung gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt.  Benutze dabei insbesondere, dass $\left\Vert
  u^\epsilon_m\right\Vert_{L^{p^*}}\le \left\Vert
  u_m\right\Vert_{L^{p^*}}$ ist, siehe \cite[Thm
1.6.1]{ZiemerWeakDiffFctns}.  Im ersten Teil dieses Teilbeweises haben
wir gesehen, dass der erste Faktor gegen Null geht. Somit erhalten wir
auch $u^\epsilon_m\to u_m$ in $L^q(B_{R+1})$, gleichm\"a\ss{}ig in
$m$, und die Behauptung folgt.

\item Als n\"achstes behaupten wir, dass die Folge $u^\epsilon_m$ f\"ur
festes $\epsilon>0$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt und gleichgradig stetig
ist.

W\"ahle dazu $x\in\R^n$. Beachte f\"ur die nachfolgenden Rechnungen, 
dass bei Gl\"attungen, um das $L^1$-Integral konstant zu halten, 
$\eta_\epsilon(x)=\frac1{\epsilon^n}\eta\left(\frac x\epsilon\right)$ 
ist. Wir erhalten also
\begin{align*}
\left|u^\epsilon_m(x)\right|\le&\int\limits_{B_\epsilon(x)}
\eta_\epsilon(x-y)|u_m(y)|dy
\umbruch\\
\le&\Vert\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\cdot
\Vert u_m\Vert_{L^1(B_{R+1}(x))}\le\frac c{\epsilon^n}<\infty\umbruch
\intertext{und}\umbruch\\
\left|D u^\epsilon_m(x)\right|\le&\int\limits_{B_\epsilon(x)}
|D\eta_\epsilon(x-y)|\cdot|u_m(y)|dy\umbruch\\
\le&\Vert D\eta_\epsilon\Vert_{L^\infty\left(\R^n\right)}\cdot
\Vert u_m\Vert_{L^1(B_{R+1}(x))}\le\frac c{\epsilon^{n+1}}<\infty.
\end{align*}
Dies zeigt die Behauptung.

\item Sei nun $\delta>0$. Wir behaupten, dass es eine Teilfolge
$u_{m_j}$ der $u_m$ gibt, so dass 
$$\limsup\limits_{j,k\to\infty}\Vert u_{m_j}-u_{m_k}\Vert_{L^q(B_{R+1})}
\le\delta$$ 
gilt. Sei also $\epsilon>0$ so klein gew\"ahlt, dass 
\begin{equation}\label{uem glm m}
\Vert u^\epsilon_m-u_m\Vert_{L^q(B_{R+1})}\le\frac\delta3
\end{equation}
gilt. Fixiere nun $\epsilon>0$ entsprechend. 
Aufgrund der oben bewiesenen gleich\-m\"a\-\ss{}i\-gen Konvergenz, 
k\"onnen wir dies unabh\"angig von $m$ erreichen. Nach Arzel\`a-Ascoli 
gibt es f\"ur festes $\epsilon>0$ eine in $B_{R+1}$ gleichm\"a\ss{}ig 
konvergente Teilfolge $u^\epsilon_{m_j}$ der $u^\epsilon_m$. 
Insbesondere gilt f\"ur diese Teilfolge also
$$\limsup\limits_{j,k\to\infty}\Vert 
u^\epsilon_{m_j}-u^\epsilon_{m_k}\Vert_{L^q(B_{R+1})}=0.$$
Mit Hilfe der Dreiecksungleichung und \eqref{uem glm m} folgt also die 
Behauptung. 

\item Das Theorem folgt nun, wenn wir in der letzten Behauptung 
$\delta\downarrow0$ lassen und die Teilfolgen iterativ aus 
vorhergehenden (f\"ur eine Folge von $\delta_i\to0$) w\"ahlen. 
Eine Diagonalfolge aus dieser Folge von Teilfolgen ist dann die gesuchte 
Cauchyfolge in $L^q$.
\end{itemize}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Es gilt stets $p^*>p$ und $p^*\to\infty$ f\"ur $p\uparrow n$.
Daher gilt 
$$W^{1,p}(\Omega)\Subset L^p(\Omega)\quad\forall\; 1\le p\le\infty$$
f\"ur $\Omega$ wie oben. Im Falle $n<p\le\infty$ benutzt man dazu die 
Morreysche Ungleichung und ebenfalls den Satz von Arzel\`a-Ascoli. 
\item Falls $\Omega$ nur beschr\"ankt ist, gilt auch noch
$$W^{1,p}_0(\Omega)\Subset L^p(\Omega).$$
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubung.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Poincar\'e]
Sei die Menge
$\Omega\subset\R^n$ zusammenh\"angend, offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^1$. Sei $1\le p\le\infty$. Dann gibt es
$c=c(n,p,\Omega)$, so dass
$$\Vert u-(u)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}\le c\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$
f\"ur alle $u\in W^{1,p}(\Omega)$ gilt, wobei
$$(u)_\Omega=\frac1{|\Omega|}\int\limits_{\Omega}u.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Falls dies nicht der Fall ist, finden wir $u_k\in W^{1,p}(\Omega)$, 
$k\in\N$, mit
$$\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}>k\cdot
\Vert Du_k\Vert_{L^p(\Omega)}.$$
Hierzu definieren wir (Wohldefiniertheit folgt nach Annahme)
$$v_k:=\frac{u_k-(u_k)_\Omega}
{\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}}.$$
Nach Definition gelten $(v_k)_\Omega=0$ und 
$\Vert v_k\Vert_{L^p(\Omega)}=1$. Wir erhalten nach Definition der $u_k$
$$\Vert Dv_k\Vert_{L^p(\Omega)}=\frac{\Vert Du_k\Vert_{L^p(\Omega)}}
{\Vert u_k-(u_k)_\Omega\Vert_{L^p(\Omega)}}<\frac1k.$$
Insbesondere sind die $v_k$ also in $W^{1,p}(\Omega)$ gleichm\"a\ss{}ig 
beschr\"ankt. Daher konvergiert nach Rellich-Kondrachov eine (nicht 
umbenannte) Teilfolge, 
$$v_k\to v\text{ in }L^p(\Omega).$$
Auch im Limes bleiben die Eigenschaften $(v)_\Omega=0$ und 
$\Vert v\Vert_{L^p(\Omega)}=1$ erhalten. Sei nun $\phi\in 
C^\infty_c(\Omega)$ eine Testfunktion. Dann gilt
$$\int\limits_\Omega v\cdot D_i\phi=\lim\limits_{k\to\infty}
\int\limits_\Omega v_k\cdot D_i\phi
=-\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_\Omega
D_iv_k\phi=0,$$
da $Dv_k\to 0$ in $L^p$ konvergiert. Damit ist $v\in W^{1,p}(\Omega)$ 
mit $Dv=0$ fast \"uberall in $\Omega$. Also ist (\"Ubung) die Funktion 
$v$ konstant. Wegen $(v)_\Omega=0$ folgt daher $v\equiv0$ im Widerspruch 
zu $\Vert v\Vert_{L^p}=1$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Poincar\'e f\"ur eine Kugel]
\label{poin ball}
Sei $1\le p\le\infty$. Dann gibt es $c=c(n,p)$ mit
$$\Vert u-(u)_{B_r(x)}\Vert_{L^p(B_r(x))}\le c\cdot r\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p(B_r(x))}$$
f\"ur alle Kugeln $B_r(x)\subset\R^n$ und f\"ur alle $u\in 
W^{1,p}(B_r(x))$. 
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\"Ubung. Betrachte zun\"achst eine feste Kugel und skaliere dann, um die 
genaue Abh\"angigkeit vom Radius $r$ zu erhalten. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Sei $u\in W^{1,n}\left(\R^n\right)\cap L^1\left(\R^n\right)$, 
$B_r(x)\subset\R^n$ und $r>0$. Nach Theorem \ref{poin ball}
mit $p=1$ folgt nun
\begin{align*}
  \fint\limits_{B_r(x)}\left|u-(u)_{B_r(x)}\right|\le&\,
  c\cdot r\cdot\fint\limits_{B_r(x)}|Du|\umbruch\\
  \le&\,c\cdot r\cdot
  \left(\,\;\;\;\fint\limits_{B_r(x)}|Du|^n\right)^{1/n}
  \text{ (H\"older)}\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\left(\,\int\limits_{B_r(x)} |Du|^n\right)^{1/n}\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\left(\;\;\int\limits_{\R^n}|Du|^n\right)^{1/n}.
\end{align*}
Definiere die BMO-Halbnorm (``bounded mean oscillation'') als
$$[u]_{\text{BMO}\left(\R^n\right)}:=
\sup\limits_{B_r(x)\subset\R^n}\left\{\;\;\;
\fint\limits_{B_r(x)}
\left|u-(u)_{B_r(x)}\right|\right\}.$$
Die obige Rechnung zeigt somit, dass
$$[u]_{\text{BMO}\left(\R^n\right)}\le c\cdot
\Vert Du\Vert_{L^n\left(\R^n\right)}$$
gilt.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Differenzenquotienten}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $x\in\Omega'\Subset\Omega$,
$1\le i\le n$ und $h\neq0$. Sei 
$0<|h|<\dist(\Omega',\partial\Omega)$ und $u:\Omega\to\R$.
Definiere den $i$-ten Differenzenquotienten der G\"o\ss{}e $h$ durch
\begin{align*}
D^h_iu(x):=&\frac{u(x+he_i)-u(x)}h,\umbruch\\
D^hu:=&\left(D^h_1u,\,\ldots,\,D^h_nu\right).
\end{align*}
\end{definition}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}[Funktionalanalysis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Eine Folge $u_k$ in einem Banachraum $X$ konvergiert schwach 
gegen $u\in X$,
$$u_k\rightharpoondown u,$$
falls
$$u^*(u_k)\to u^*(u)$$
f\"ur jedes beschr\"ankte lineare Funktional $u^*\in X^*$ gilt.

\item Beispiel $\R^n$. 

  Beispiel in $l^2$ f\"ur schwache Konvergenz
  von $e_i=(\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1\text{ St\"uck}},1,0,\ldots)$
  ohne Konvergenz: $e_i\rightharpoondown 0$, aber $e_i\not\to0$.  
  (ausf\"uhren).
\item Es gilt
$$u_k\to u\quad\Longrightarrow u_k\rightharpoondown u.$$

\item Jede schwach konvergente Folge ist beschr\"ankt
  (Banach-Steinhaus),
$$\Vert u\Vert\le\liminf\limits_{k\to\infty}\Vert u_k\Vert.$$

\item Ein Banachraum heisst reflexiv, falls die kanonische Einbettung
in den Bidualraum ein Isomorphismus ist. 

\item F\"ur $1\le p<\infty$ und eine offenen Menge $\Omega\subset\R^n$ 
gilt
$$\left(L^p(\Omega)\right)^*=L^q(\Omega)$$
mit 
$$\frac1p+\frac1q=1.$$
Somit ist $L^p(\Omega)$ f\"ur $1<p<\infty$ reflexiv.

\item Weiterhin ist jeder Hilbertraum reflexiv.

\item In einem reflexiven Banachraum gilt: Jede 
beschr\"ankte Folge enth\"alt eine schwach konvergente Teilfolge.
\end{enumerate}
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Differenzenquotienten und schwache Ableitungen]
\label{diff quot thm}
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $1\le p<\infty$ und
$u\in W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur $\Omega'\Subset\Omega$ gibt es
ein $c>0$, so dass 
$$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c\cdot
\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$
f\"ur alle $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$. 
\item Sei $1<p<\infty$, $u\in L^p(\Omega)$ und $\Omega\subset
\R^n$ offen. Gibt es $c>0$ und $\Omega'\Subset\Omega$ mit
$$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$$
f\"ur alle $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$, 
so gilt $u\in W^{1,p}(\Omega')$ und
$$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega')}\le c.$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Sei $1\le p<\infty$ und sei $u$ glatt.
Sei $x\in\Omega'$, $1\le i\le n$ und $0<|h|<\frac12
\dist(\Omega',\partial\Omega)$. Es gilt
\begin{align*}
u(x+he_i)-u(x)=&\int\limits_0^1u_i(x+the_i)h\,dt\umbruch\\
|u(x+he_i)-u(x)|\le&|h|\cdot\int\limits_0^1
|Du(x+the_i)|\,dt
\intertext{und aufgrund der H\"olderschen Ungleichung}
\int\limits_{\Omega'}\left|D^hu\right|^p\le&
c\sum\limits_i\int\limits_{\Omega'}\int\limits_0^1
|Du(x+the_i)|^p\,dt\,dx\umbruch\\
=&c\sum\limits_i\int\limits_0^1\int\limits_{\Omega'}
|Du(x+the_i)|^p\,dx\,dt\umbruch\\
\le&c\int\limits_\Omega|Du|^p.
\end{align*}
Da $\Omega'$ von $\partial\Omega$ mindestens Abstand $2|h|$ hat,
folgt die Behauptung durch Approximation.
\item Gelte $\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$.
Sei $\phi\in C^\infty_c(\Omega')$ eine Testfunktion. Dann gilt
die folgende ``partielle Integrationsformel'', falls $|h|\le c(\phi)$ 
klein genug ist
\begin{align*}
\int\limits_{\Omega'}u(x)\frac{\phi(x+he_i)-\phi(x)}{h}dx=&
-\int\limits_{\Omega'}\frac{u(x)-u(x-he_i)}h\phi(x)\,dx,\umbruch\\
\int\limits_{\Omega'}u\left(D^h_i\phi\right)=&-\int\limits_\Omega
\left(D^{-h}_iu\right)\phi.
\end{align*}
Nach Voraussetzung ist 
$$\sup\limits_h\left\Vert D^{-h}_iu\right\Vert_{L^p(\Omega')}<\infty.$$
Daher existiert $v_i\in L^p(\Omega')$ und eine Folge $h_k\to0$, so 
dass
$$D^{-h_k}_iu\rightharpoondown v_i\quad\text{in }L^p(\Omega').$$
Es folgt
\begin{align*}
\int\limits_{\Omega'}u\phi_i=&
\int\limits_\Omega u\phi_i\umbruch\\
=&\lim\limits_{h_k\to0}\int\limits_\Omega u\cdot D^{h_k}_i\phi\umbruch\\
=&\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_\Omega D^{-h_k}_iu\phi\umbruch\\
=&\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_{\Omega'}D^{-h_k}_iu\phi\umbruch\\
=&-\int\limits_{\Omega'}v_i\phi.
\end{align*}
Somit gilt $v_i=u_i$ im schwachen Sinne.  Wegen der schwachen
Konvergenz ist $v_i\in L^p(\Omega')$ und wir erhalten $Du\in
L^p(\Omega')$.  Da auch $u\in L^p(\Omega')$ ist, folgt $u\in
W^{1,p}(\Omega')$.  Die Normabsch\"atzung folgt aus der
Unterhalbstetigkeit der Norm.
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{xca}
\neueZeile
\begin{itemize}
\item Zeige, dass der zweite Teil von Theorem \ref{diff quot thm}
f\"ur $p=1$ falsch ist.
\item Lies \cite[S. 279-281]{EvansPDE}.
\item Zeige, dass
$$u\in W^{1,\infty}\quad\Longleftrightarrow\quad u
\text{ ist gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz}.$$
\item Zeige, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$ f\"ur $p>n$
fast \"uberall differenzierbar ist. 
\end{itemize}
\end{xca}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$L^2$-Theorie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Existenz}

Wir benutzen Methoden der Funktionalanalysis, um eine
schwache L\"osung zu konstruieren.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}[Generalvoraussetzungen]\label{gen l2 vor}
\neueZeilealt
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^1$, $L$ ein elliptischer
Differentialoperator zweiter Ordnung in Divergenzform
$$Lu=-\left(a^{ij}(x)u_i\right)_j+b^i(x)u_i+d(x)u.$$
Wir machen folgende Annahmen
\begin{itemize}
\item gleichm\"a\ss{}ige Elliptizit\"at:
$$a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$$
f\"ur eine Konstante $\theta>0$.
\item Symmetrie: $a^{ij}=a^{ji}$.
\item Regularit\"at: $a^{ij}$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$,
   $f\in L^2(\Omega)$.
\item Koerzivit\"at: Es gibt $\beta>0$, so dass
   $$\int\limits_\Omega a^{ij}\phi_i\phi_j+b^i\phi_i\phi
   +d\phi^2\ge\beta\Vert\phi\Vert^2_{H^1_0(\Omega)}$$
   f\"ur alle $\phi\in H^1_0(\Omega)$ gilt.
\end{itemize}
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{example}
Koerzivit\"at kann man beispielsweise wie folgt \"uberpr\"ufen.
Es gilt
$$\int\limits_\Omega a^{ij}\phi_i\phi_j+b^i\phi_i\phi+d\phi^2\ge
\int\limits_\Omega \theta|D\phi|^2-\frac12\epsilon|D\phi|^2
+\left(-\frac12\frac1\epsilon|b|^2+d\right)\phi^2.$$
W\"ahle nun $\epsilon$, so dass $\theta-\frac12\epsilon>0$ ist.
Negative quadratische Terme in $\phi$ lassen sich 
(m\"oglicherweise) mit Hilfe
der Poincar\'eungleichung (Theorem \ref{poincare eins})
in die $|D\phi|^2-$Terme absorbieren. Benutze schlie\ss{}lich
die \"Aquivalenz der Normen aus Korollar \ref{norm aequi}.
\end{example}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Im Falle einer glatten L\"osung $u$ von $Lu=f$ bei glatten
Daten erhalten wir durch partielle Integration
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\phi_j+b^iu_i\phi+du\phi
=\int\limits_\Omega f\phi$$
f\"ur alle Testfunktionen $\phi$. Durch Approximation sehen
wir, dass wir dieselbe Gleichheit erhalten, wenn nur
$\phi\in H^1_0(\Omega)$ gilt.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dies motiviert die folgende Definition einer schwachen L\"osung.
\begin{definition}[Schwache L\"osung]
Eine Funktion $u\in H^1_0(\Omega)$ hei\ss{}t schwache
L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega,\end{cases}$$
wenn f\"ur alle Funktionen $\phi\in H^1_0(\Omega)$
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\phi_j+b^iu_i\phi+du\phi
=\int\limits_\Omega f\phi$$
gilt.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Wir wollen die folgenden beiden Theoreme aus der Funktionalanalysis
benutzen. Dabei bezeichnet $H$ einen Hilbertraum,
$\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\R$
das Skalarprodukt auf $H$ und $\Vert\cdot\Vert$ die Norm von $H$.
\begin{theorem}[Rieszscher Darstellungssatz]
Sei $H$ ein Hilbertraum. Sein Dualraum $H^*$ ist kanonisch
isomorph zu $H$, \dh zu jedem $f\in H^*$ gibt es ein eindeutig
bestimmtes Element $u\in H$, so dass
$$f(v)=\langle u,v\rangle\quad\text{f\"ur alle }v\in H$$
gilt. Die Abbildung $f\mapsto u$ ist ein linearer
Isomorphismus von $H^*$ auf $H$.
\end{theorem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Das folgende Theorem folgt direkt aus dem Rieszschen
Darstellungssatz, wenn die Bilinearform symmetrisch ist,
denn dann definiert die Bilinearform ein zum
Standardskalarprodukt \"aquivalentes Skalarprodukt
(im Sinne von \"aquivalenten Normen) und wir k\"onnen
hierauf direkt den Rieszschen Darstellungssatz anwenden.
\begin{theorem}[Lax-Milgram]
Sei $H$ ein Hilbertraum, $B:H\times H\to\R$ bilinear,
stetig, also
$$|B[u,v]|\le\alpha\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert,$$
und koerziv, also
$$\beta\Vert u\Vert^2\le B[u,u],$$
f\"ur Konstanten $\alpha$, $\beta>0$ und alle $u$, $v\in H$.
Sei $f\in H^*$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmes
$u\in H$ mit
$$B[u,v]=f(v)\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Sei zun\"achst $u\in H$ fest. Die Abbildung
$v\mapsto B[u,v]$ ist eine stetige lineare Abbildung.
Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es somit
ein eindeutig bestimmtes $w\in H$, so dass
$$B[u,v]=\langle w,v\rangle\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
Wir setzen $Au:=w$.
\item Wir behaupten, dass der Operator $A:H\to H$ linear
und stetig ist.
Die Linearit\"at folgt aus der Bilinearit\"at von $B$.
Aus der Absch\"atzung
$$\Vert Au\Vert^2=\langle Au,Au\rangle=B[u,Au]\le
\alpha\Vert u\Vert\cdot\Vert Au\Vert$$
folgt die Stetigkeit von $A$.
\item Der Operator ist injektiv, da $B$ koerziv ist, denn
$$\beta\Vert u\Vert^2\le B[u,u]=\langle Au,u\rangle
\le\Vert Au\Vert\cdot\Vert u\Vert$$
impliziert $\beta\Vert u\Vert\le\Vert Au\Vert$.
\item Das Bild von $A$ ist ein abgeschlossener linearer
Unterraum von $H$, da aufgrund der Absch\"atzung
$\beta\Vert u\Vert\le\Vert Au\Vert$ eine Cauchyfolge im
Bild von einer Cauchyfolge im Urbild herkommt.
\item $A$ ist surjektiv. Sonst existiert n\"amlich
ein $0\neq w\in(\Image A)^\perp$, da $\Image A$ ein
abgeschlossener Unterraum ist und wir erhalten
$$\beta\Vert w\Vert^2\le B[w,w]=\langle Aw,w\rangle=0.$$
Somit haben wir nachgewiesen, dass $A$ ein Isomorphismus ist. 
\item Aufgrund des Rieszschen Darstellungssatzes gibt es
ein $w\in H$ mit
$$\langle w,v\rangle=f(v)\quad\text{f\"ur alle }v\in H.$$
Da $A$ ein Isomorphismus ist, ist $u:=A^{-1}w$ das gesuchte Element,
denn es gilt \[B[u,v] =\langle Au,v\rangle =\langle w,v\rangle
=f(v).\]
\item $u\in H$ ist eindeutig bestimmt. Seinen n\"amlich
$u$, $\tilde u\in H$ mit
$$B[u,v]=f(v)\text{ und }B[\tilde u,v]=f(v)\text{ f\"ur alle }
v\in H,$$
so folgt auch $B[u-\tilde u,v]=0$ f\"ur alle $v\in H$.
Aufgrund der Koerzivit\"at erhalten wir damit insbesondere
f\"ur $v:=u-\tilde u$
$$0=B[u-\tilde u,u-\tilde u]\ge\beta\Vert u-\tilde u\Vert^2$$
und es folgt $u=\tilde u$.
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{schw ex thm}
Unter den Voraussetzungen von Definition \ref{gen l2 vor}
existiert genau eine schwache L\"osung $u$ des Randwertproblems
$$\begin{cases}Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Wir definieren $B:H^1_0(\Omega)\times H^1_0(\Omega)\to\R$ durch
$$B[u,v]:=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv
+duv.$$
Wir hatten vorausgesetzt, dass $B$ koerziv ist. Die Stetigkeit
folgt aus der Be\-schr\"ankt\-heit der Koeffizienten
und der Cauchyschen Ungleichung. Wir erhalten die
Behauptung nun aus Lax-Milgram.
\end{proof}

\subsection{Alternativer Existenzbeweis mit Methoden der
  Variationsrechnung} 
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.
% Da $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$ ist, gelten Poinca\'e und Rellich auch
% ohne $\partial\Omega\in C^1$.
Sei $f\in L^2(\Omega)$. Wir suchen eine schwache L\"osung $u\in
W^{1,2}$ von
\[\begin{cases}
  \Delta u=f &\text{in }\Omega,\\
  u=0&\text{auf }\partial\Omega. 
\end{cases}\]
Dazu wollen wir \[I(u):=\int\limits_\Omega \tfrac12|\nabla u|^2+fu\]
unter allen Funktionen $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$ minimieren. 

Wir benutzen einige Resultate aus der Funktionalanalysis:
\begin{definition}[Schwache Konvergenz]
  Sei $V$ ein Banachraum und $V^*$ sein Dualraum. Dann konvergiert
  $x_n$ schwach gegen $x$, $x_n\rightharpoondown x$, falls \[\langle
  f,x_n\rangle\to\langle f,x\rangle\] f\"ur alle $f\in V^*$ gilt. 
\end{definition}
Sei $H$ ein Hilbertraum. Dann ist $H^*$ kanonisch isomorph zu $H$. Wir
identifizieren $H$ und $H^*$. Hier ben\"otigen wir schwache Konvergenz
nur in Hilbertr\"aumen. 

\begin{definition}[Separabel]
  Ein metrischer Raum $M$ ist separabel, wenn es eine abz\"ahlbare
  dichte Teilmenge gibt. 
\end{definition}

Das folgende Lemma gilt auch in Banachr\"aumen.
\begin{lemma}
  Sei $H$ ein Hilbertraum und $x_n\rightharpoondown x$ eine schwach
  konvergente Folge in $H$. Dann gilt \[\Vert x\Vert\le
  \liminf\limits_{n\to\infty} \Vert x_n\Vert.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \begin{align*}
    0\le&\,\Vert x_n-x\Vert^2 =\langle x_n-x,x_n-x\rangle =\langle
    x_n,x_n\rangle -2\langle x_n,x\rangle +\langle
    x,x\rangle\umbruch\\
    =&\,\Vert x_n\Vert^2-2\langle x_n,x\rangle +\Vert x_n\Vert^2. 
  \end{align*}
  Aufgrund der schwachen Konvergenz gilt $\langle x_n,x\rangle
  \to\langle x,x\rangle =\Vert x\Vert^2$. Somit
  ist \[\liminf\limits_{n\to\infty} \Vert x_n\Vert^2 \ge 2\Vert
  x\Vert^2 -\Vert x\Vert^2 =\Vert x\Vert^2.\]
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u_k\schwachto
  u$ eine schwach konvergente Folge in $W^{1,2}_0(\Omega)$. Dann
  gilt \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega |\nabla u_k|^2
  \le \int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Auf $W^{1,2}_0(\Omega)$ ist (die Wurzel von)
  $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$ eine zu $\int\limits_\Omega|\nabla
  u|^2+\int\limits_\Omega u^2$ \"aquivalente Norm und ist vom
  Skalarprodukt $\langle u,v\rangle =\int\limits_\Omega \langle \nabla
  u,\nabla v\rangle$ induziert.
\end{proof}

\begin{theorem}[Banach-Alaoglu]
  Sei $H$ ein separabler Hilbertraum und sei $(x_n)$, $x_n\in H$, eine
  beschr\"ankte Folge. Dann besitzt $(x_n)$ eine schwach konvergente
  Teilfolge. F\"ur den schwachen Grenzwert gilt $\Vert x\Vert\le
  \liminf\limits_{n\to\infty} \Vert x_n\Vert$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Mit Hilfe der Gram-Schmidtschen Orthogonalisierung einer
  abz\"ahlbaren dichten Mengt erhalten wir eine Orthonormalbasis. Ist
  diese endlich, so ist $H$ isomorph zu einem $\R^n$ und die
  Behauptung ist klar. Sonst ist $H$ isomorph zu $l^2$, dem Raum der
  quadratsummierbaren Folgen. Wir nehmen daher ab jetzt ohne
  Einschr\"ankung an, dass $H=l^2$ ist. \par
  Nach Voraussetzung ist $\langle x_n,e_1\rangle$ eine beschr\"ankte
  Folge in $\R$. Nach Umbenennen d\"urfen wir also annehmen, dass
  $\langle x_n,e_1\rangle\to x^1$ in $\R$ konvergiert. Wir wiederholen
  dies mit $e_2$ statt $e_1$ und erhalten ohne Einschr\"ankung
  $\langle x_n,e_2\rangle\to x^2$. Nach abz\"ahlbar vielen solchen
  Schritten haben wir eine Folge, n\"amlich die Diagonalfolge der
  obigen Folgen, gefunden, die $\langle x_n,e_i\rangle\to x^i$ f\"ur
  $i\in\N$ erf\"ullt. \par Wir definieren $x:=\left(x^i\right)$ und
  behaupten, dass $x\in l^2$ ist und dass $x_n\schwachto x$ gilt. \par
  Zun\"achst zeigen wir die behauptete Normabsch\"atzung. Dazu
  schneiden wir die Folgen nach der $k$-ten Stelle ab und erhalten
  f\"ur die so abgeschnittenen Folgen \glqq$\hat x$\grqq{} die
  Ungleichung \[\Vert\hat x\Vert =\liminf\limits_{n\to\infty} \Vert
  \hat x_n\Vert \le \liminf_{n\to\infty} \Vert x_n\Vert.\] Mit
  $k\to\infty$ folgt die Behauptung. \par
  Zum Beweis der schwachen Konvergenz sei $\epsilon>0$. Sei $f\in l^2$
  beliebig. Wir wollen zeigen, dass $|\langle x_n-x,f\rangle|$ f\"ur
  $n\to\infty$ kleiner als (eine geeignete Funktion von) $\epsilon$
  wird. Da $f\in l^2$ ist, k\"onnen wir $k>0$ w\"ahlen, so dass
  $\sum\limits_{i=k+1}^\infty \left(f^i\right)^2<\epsilon$ gilt. Wir
  haben oben gesehen, dass $\Vert x\Vert,\,\Vert x_n\Vert \le c$
  ist. Also ist nach Cauchy-Schwarz
  \begin{align*}
    |\langle x_n-x,f\rangle| \le&\,\left|\sum\limits_{i=1}^k
      (x_n-x)^i\cdot f^i\right| +\left|\sum\limits_{i=k+1}^\infty
      (x_n-x)^i\cdot f^i\right|\umbruch\\
    \le&\,\left|\sum\limits_{i=1}^k (x_n-x)^i\cdot f^i\right|
    +\left(\sum\limits_{i=k+1}^\infty
      \left((x_n-x)^i\right)^2\right)^{1/2} \cdot
    \left(\sum\limits_{i=k+1}^\infty \left(f^i\right)^2\right)^{1/2}.
  \end{align*}
  Der erste Term geht f\"ur $n\to\infty$ gegen Null, da $x_n\to x$
  komponentenweise gilt. Der zweite Term ist durch \[\Vert x_n-x\Vert
  \cdot \epsilon^{1/2}\le (\Vert x_n\Vert +\Vert
  x\Vert)\cdot\epsilon^{1/2} \le 2c\cdot\epsilon^{1/2}\] nach oben
  beschr\"ankt. Daher folgt die Behauptung.
\end{proof}

Sei nun $u_k$, $u_k\in W^{1,2}_0(\Omega)$, eine Minimalfolge f\"ur
$I(u)$, \dh es gelte
\[\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k)= \inf\limits_{u\in
  W^{1,2}_0(\Omega)} I(u).\] Im folgenden werden wir h\"aufiger
$\int\limits_\Omega |\nabla u|^2\ge\lambda \int\limits_\Omega u^2$
f\"ur ein $\lambda=\lambda(\Omega)>0$ verwenden.

Zun\"achst wollen wir nachweisen, dass das betrachtete Infimum endlich
ist. Es gilt 
\[I(u)=\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +fu
\ge\frac12\lambda\int\limits_\Omega u^2 -\frac\epsilon2
\int\limits_\Omega u^2 -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\ge
-\frac1{2\epsilon}\Vert f\Vert^2_{L^2(\Omega)}>-\infty,\] falls
$\epsilon>0$ klein genug ist. \par
Mit einer analogen Rechnung k\"onnen wir die $W^{1,2}$-Norm der
$u_k$'s gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anken. Aufgrund der
Minimalfolgeneigenschaft gilt
\begin{align*}
  c\ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2+\int\limits_\Omega
  fu_k \ge\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon2\int\limits_\Omega u_k^2
  -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\umbruch\\
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon{2\lambda}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
  -\int\limits_\Omega\frac1{2\epsilon}f^2.
\end{align*}
Nun w\"ahlen wir $\epsilon>0$ klein und bringen den
$\int\limits_\Omega f^2$-Term auf die linke Seite. Die Behauptung
folgt. Aufgrund der \"Aquivalenz der Normen mit und ohne $L^2$-Term
auf $W^{1,2}_0$ ist auch $\int\limits_\Omega u_n^2$ gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt. \par
Nach Banach-Alaoglu besitzt $u_n$ also eine Teilfolge (wir benennen
nicht um), die in $W^{1,2}$ schwach gegen $u$ konvergiert. Nach
Definition ist $W^{1,2}_0$ ein abgeschlossener Unterraum von
$W^{1,2}$. Ein abgeschlossener Unterraum ist, wie man durch Testen mit
einem Vektor aus dem orthogonalen Komplement sieht, auch unter
schwacher Konvergenz abgeschlossen. Daher hat auch der Grenzwert $u$
wieder Randwerte Null. Da $W^{1,2}\Subset L^2$ ist, d\"urfen wir
weiterhin annehmen, dass diese Folge in $L^2(\Omega)$ (schwach) gegen
$u$ konvergiert. Somit ist
\begin{align*}
  \inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)} I(w)
  =&\,\lim\limits_{n\to\infty} I(u_n) =\lim\limits_{n\to\infty}
  \left(\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_n|^2
    +\int\limits_\Omega fu_n\right)\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_n|^2
  +\int\limits_\Omega fu
  \ge\liminf_{n\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_n|^2 
  +\int\limits_\Omega fu\umbruch\\ 
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +\int\limits_\Omega fu
  =I(u)\ge\inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)}I(w)
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit. $u$ minimiert also $I$ in $W^{1,2}_0$
und die Euler-Lagrange-Gleichung besagt gerade, dass $u$ eine schwache
L\"osung ist: Sei $v\in W^{1,2}_0(\Omega)$. Wir erhalten
\begin{align*}
  0=&\,\left.\frac d{dt}I(u+tv)\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\frac d{dt}\left.\int\limits_\Omega\frac 12 \left(|\nabla u|^2
      +2t\langle\nabla u,\nabla v\rangle +|\nabla v|^2\right)
    +fu+tfv\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega\langle\nabla u,\nabla v\rangle +fv.
\end{align*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Regularit\"at}\label{reg L2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}[Motivation]
Gelte $-\Delta u=f$ in $\R^n$. Sei $u$ glatt und falle im
Unendlichen schnell genug ab. Dann gilt
\begin{align*}
\int\limits_{\R^n}f^2=&\int\limits_{\R^n}(\Delta u)^2
=\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ii}u_{jj}
=-\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{iij}u_j\\
=&\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ij}u_{ij}
=\int\limits_{\R^n}\left\vert D^2u\right\vert^2.
\end{align*}
Somit folgt
$$\Vert f\Vert_{L^2}=\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^2}.$$
Das Problem dabei ist, dass wir benutzt haben, dass
$u\in C^3$ ist. Dies ist sp\"ater durch Absch\"atzungen
von Differenzenquotienten zu rechtfertigen.
Durch Differenzieren der Gleichung und \"ahnliche
Rechnungen kommt man auf Absch\"atzungen der Form
$$c\cdot\Vert Df\Vert_{L^2}\ge\left\Vert D^3u\right\Vert_{L^2}$$
mit entsprechenden Verallgemeinerungen f\"ur h\"ohere
Ableitungen. Wenn man dies lange genug fortsetzt, besteht die
Hoffnung, dass man mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungss\"atze
Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen in $L^p$ f\"ur $p\gg1$ und damit
dann H\"olderstetigkeit der Funktion $u$ beweisen kann. Dies
funktioniert f\"ur glatte Daten.

Hier gilt die Faustregel, dass L\"osungen von
elliptischen Differentialgleichungen zweimal h\"aufiger
differenzierbar sind als die rechte Seite.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Generalvoraussetzungen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung der
Differentialgleichung $Lu=f$ in Divergenzform,
$$Lu=-\left(a^{ij}u_i\right)_j+b^iu_i+du,$$
mit
\begin{itemize}
\item gleichm\"a\ss{}ig elliptischem (aber nicht notwendigerweise
  symmetrischem) $a^{ij}$,
\item $a^{ij}$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$.
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Innere $H^2$-Regularit\"at}
\begin{theorem}[Innere $H^2$-Regularit\"at]
\label{innere H2 thm}
Sei $a^{ij}\in C^1(\Omega)$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$,
$f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache
L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^2_\text{loc}(\Omega)$ und f\"ur alle
$\Omega'\Subset\Omega$ gilt
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(\Omega',\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item W\"ahle $\Omega''\Subset\Omega$ offen, so dass
$$\Omega'\Subset\Omega''\subset\Omega$$
ist und eine Abschneidefunktion $\zeta$, so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{in }\Omega',\\
\zeta\equiv0&\text{in }\R^n\setminus\Omega'',\\
0\le\zeta\le 1.
\end{cases}$$
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\quad\forall\,v\in H^1_0(\Omega),$$
wobei $\tilde f:=f-b^iu_i-du$.
\item Sei $|h|>0$ klein, $1\le k\le n$. W\"ahle
$$v:=-D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
Das Quadrat in der Abschneidefunktion ist sp\"ater n\"utzlich.
Diese Wahl von $v$ ist durch den glatten Fall motiviert. Da aber
nicht bekannt ist, dass zweite Ableitungen von $u$ in der 
Testfunktion erlaubt sind, ist diese Testfunktion mit
Differenzenquotienten n\"otig.

Setze
\begin{align*}
A:=&\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j,\umbruch\\
B:=&\int\limits_\Omega\tilde fv.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $A$:
\begin{align*}
A=&-\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\left[D^{-h}_k\left(\zeta^2
D^h_ku\right)\right]_j\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega D^h_k\left(a^{ij}u_i\right)
\left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,\umbruch
\intertext{da Ableitung und Differenzenquotientenbildung kommutieren
und mit Hilfe ``partieller Integration'' 
f\"ur Differenzenquotienten}\umbruch
=&\int\limits_\Omega a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(\zeta^2
D^h_ku\right)_j+\left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,
\end{align*}
da mit $v^h:=v(x+he_k)$ die folgende ``Produktregel'' gilt:
$$D^h_k(vw)=v^hD^h_kw+wD^h_kv.$$
Weiter folgt
\begin{align*}
A=&\int\limits_\Omega a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku_j\right)
\zeta^2\\
&+\int\limits_\Omega a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku\right)
2\zeta\zeta_j+
\left(D^h_ka^{ij}\right)u_iD^h_ku_j\zeta^2+
\left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(D^h_ku\right)2\zeta\zeta_j\umbruch\\
\equiv&A_1+A_2.
\end{align*}
Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at folgt
$$A_1\ge\theta\int\limits_\Omega\zeta^2\left\vert
D^h_kDu\right\vert^2.$$
Nach Voraussetzung an die Koeffizienten folgt
\begin{align*}
|A_2|\le&c\cdot\int\limits_\Omega\zeta\left|D^h_kDu\right|
\left|D^h_ku\right|+\zeta\left|D^h_kDu\right||Du|
+\zeta\left|D^h_ku\right||Du|\umbruch\\
\le&\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+\frac c\epsilon\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2
+|Du|^2\text{ (Cauchy)}.
\end{align*}
Setze $\epsilon=\frac\theta2$ und benutze, dass
$$\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2\le c\cdot
\int\limits_\Omega|Du|^2$$
ist. Es folgt
\begin{align*}
|A_2|\le&\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|
D^h_kDu\right|^2+c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2\umbruch
\intertext{und}
A\ge&\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
-c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $B$:
Zun\"achst einmal gilt nach Definition und Cauchyscher Ungleichung
$$|B|\le\int\limits_\Omega\left|\tilde f\right||v|\le
c\cdot\int\limits_\Omega(|f|+|Du|+|u|)|v|
\le\epsilon\int\limits_\Omega v^2 +\frac c\epsilon\int\limits_\Omega
\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).$$ Weiterhin erhalten wir nach Wahl von
$v$
\begin{align*}
\int\limits_\Omega|v|^2=&\int\limits_\Omega\left|
D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_\Omega\left|D\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2
\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2
+\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2+\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2.
\end{align*}
Somit folgt mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichung
$$|B|\le\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2\right)
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega|Du|^2.$$
\item Wir w\"ahlen nun speziell $\epsilon=\frac\theta4$ und erhalten 
mit Hilfe der letzten beiden Beweisteile
\begin{align*}
\frac\theta4\int\limits_{\Omega'}\left|D^h_kDu\right|^2\le&
\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right)
\end{align*}
f\"ur $1\le k\le n$ und $|h|\neq0$ gen\"ugend klein. Aufgrund der
gleichm\"a\ss{}igen Schranken an die Differenzenquotienten folgt
daher 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
Durch Dazwischenschachteln einer weiteren Menge,
$$\Omega'\Subset\Omega''\Subset\Omega,$$
erhalten wir 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega'')}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega'')}\right).$$
Bis auf die $H^1$-Norm von $u$ auf der rechten Seite statt der
$L^2$-Norm ist dies gerade die gew\"unschte Ungleichung. 
Dies wollen wir im letzten Schritt noch korrigieren.
\item Sei $\zeta$ eine neue Abschneidefunktion mit 
$$\begin{cases}
\zeta\equiv 1&\text{auf }\Omega'',\\
\supp\zeta\subset\Omega,&\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Es gilt f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v.$$
Wir w\"ahlen speziell $v=\zeta^2u$ und erhalten
\begin{align*}
\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=&\int\limits_\Omega
a^{ij}u_i\left(\zeta^2u\right)_j\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega a^{ij}u_iu_j\zeta^2+
2a^{ij}u_iu\zeta\zeta_j\umbruch\\
\ge&\theta\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
-\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
-c\int\limits_\Omega u^2.
\end{align*}
F\"ur die andere Seite erhalten wir
\begin{align*}
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v=&
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)\zeta^2u\umbruch\\
\le&\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2+c\cdot
\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).
\end{align*}
Wir w\"ahlen nun $\epsilon>0$ klein und erhalten
$$\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
\le c\cdot\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).$$
Dies bauen wir in die Absch\"atzung aus dem letzten 
Abschnitt ein und bekommen die gew\"unschte Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Ist $u\in H^2_{\text{loc}}$, so k\"onnen wir partiell 
integrieren und erhalten 
$$\int\limits_\Omega Lu\phi=\int\limits_\Omega f\phi
\quad\text{f\"ur alle }\phi\in C^\infty_c(\Omega).$$
Hieraus folgt nach Du Bois-Reymond $Lu=f$ fast \"uberall
in $\Omega$.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{H\"ohere Regularit\"at}
\begin{theorem}[H\"ohere innere Regularit\"at]
Sei $0<m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^{m+1}(\Omega),\umbruch\\
f\in&H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^{m+2}_{\text{loc}}(\Omega)$ und f\"ur alle
$\Omega'\Subset\Omega$ gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,\Omega',L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Wir f\"uhren einen Induktionsbeweis. 
Theorem \ref{innere H2 thm} ist dabei der Induktionsanfang. 

F\"ur den Induktionsschritt ``$m\to m+1$'' d\"urfen wir annehmen, dass
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,d\in&C^{m+2}(\Omega),\\
f\in&H^{m+1}(\Omega)
\end{align*}
gelten und $u\in H^1$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega$$
ist. Nach Induktionsannahme ist dann auch
$u\in H^{m+2}_\text{loc}(\Omega)$ mit 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}\left(\tilde\Omega\right)}\le
c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
f\"ur alle $\tilde\Omega\Subset\Omega$ mit
$c=c\left(m,\tilde\Omega,\Omega,L\right)$. Wir fixieren nun
$$\Omega'\Subset\tilde\Omega\Subset\Omega.$$
Sei $\alpha$ ein Multiindex mit $|\alpha|=m+1$,
$\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde\Omega\right)$ eine
Testfunktion. Definiere
$$v:=(-1)^{|\alpha|}D^\alpha\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde
\Omega\right).$$
Mit $B$ wie im Beweis von Theorem \ref{schw ex thm}
erhalten wir 
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv.$$
Durch partielle Integration und Umordnen der Terme folgt 
$$B[\tilde u,\tilde v]=\int\limits_\Omega\tilde f\tilde v
\quad\text{mit}\quad
\tilde u:=D^\alpha u\in H^1\left(\tilde\Omega\right)$$
und
\begin{align*}
\tilde f:=&D^\alpha f
-\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\beta\le\alpha}{\beta\neq\alpha}}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
\left\{-\left(D^{\alpha-\beta}a^{ij}D^\beta u_i\right)_j+
D^{\alpha-\beta}b^iD^\beta u_i+D^{\alpha-\beta}dD^\beta u\right\}. 
\end{align*}
Diese Darstellung folgt direkt aus der Leibnizformel
$$D^\alpha(uv)=\sum\limits_{\beta\le\alpha}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
D^\beta uD^{\alpha-\beta}v.$$
Somit ist $\tilde u$ eine schwache L\"osung von 
$$L\tilde u=\tilde f\text{ in }\tilde\Omega.$$
Nach Induktionsannahme und Definition von $\tilde f$ folgt 
$\tilde f\in L^2\left(\tilde\Omega\right)$ mit
$$\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Nach Theorem \ref{innere H2 thm} erhalten wir nun
\begin{align*}
\Vert\tilde u\Vert_{H^2(\Omega')}\le&c
\cdot\left(\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
+\Vert\tilde u\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}\right)\umbruch\\
\le&c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).
\end{align*}
Da nun aber $\tilde u=D^\alpha u$ mit $|\alpha|=m+1$ gilt,
folgt 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+3}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Schwache L\"osungen sind bei glatten Daten glatt]
Seien
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^\infty(\Omega),\\
f\in&C^\infty(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von 
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann gilt
$$u\in C^\infty(\Omega).$$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  Benutze innere Absch\"atzungen und Einbettungss\"atze.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Am Rand kann $u$ aber trotzdem singul\"ar werden.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Randregularit\"at}
Bei glatten Daten erhalten wir $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[$H^2$-Regularit\"at am Rand]
\label{H2 rand}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^2$. 
Seien $a^{ij}\in C^1\left(\ol\Omega\right)$, $b^i$, $d\in L^\infty
(\Omega)$ und $f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine
schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega,
\end{cases}$$
so gilt $u\in H^2(\Omega)$ mit der Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),$$
wobei $c=c(\Omega,L)$. 
\end{theorem}

\begin{remark}\label{ul2 weg}
Ist $u\in H^1_0$ die einzige L\"osung des Randwertproblems,
so gilt aufgrund der Absch\"atzungen an die Inverse
sogar 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}.$$
Der Operator kann aber einen nichttrivialen Kern in besitzen.
Dann wird solch eine Absch\"atzung falsch.
Details finden sich in \cite[Kapitel 6.2.3, Theorem 6]{EvansPDE}. 
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{H2 rand}]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Betrachte zun\"achst die aufgebogene Situation. Sei
$\Omega=B_1(0)\cap\R^n_+$. (Auf kleineren Kugeln funktioniert die
Absch\"atzung analog.) Definiere $V:=B_{1/2}(0)\cap\R^n_+$.
Sei $\epsilon>0$ klein und $\zeta$ eine glatte Abschneidefunktion,
so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{auf }B_{1/2}(0),\\
\zeta\equiv0&\text{auf }\R^n\setminus B_{1-\epsilon}(0),\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Dann ist $\zeta=1$ auf der Menge $V$ und es gilt $\zeta=0$
in einer Umgebung des nicht ebenen Teiles von $\partial\Omega$. 
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv$$
f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$. 
Wir definieren
$$\tilde f:=f-b^iu_i-du$$
und erhalten
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv.$$
\item Sei nun $|h|>0$ klein. Definiere f\"ur $1\le k\le n-1$
$$v:=-D_k^{-h}\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
F\"ur $x\in\Omega$ erhalten wir also
\begin{align*}
v(x)=&-\frac1hD^{-h}_k\left(\zeta^2(x)[u(x+he_k)-u(x)]\right)\umbruch\\
=&\frac1{h^2}\left(\zeta^2(x-he_k)[u(x)-u(x-he_k)]
-\zeta^2(x)[u(x+he_k)-u(x)]\right).
\end{align*}
Es gilt $u=0$ im Spursinn auf $\{x^n=0\}$ und $\zeta\equiv0$
in einer Umgebung des sph\"arischen Teiles von $\partial\Omega$.
Daher ist $v\in H^1_0(\Omega)$. Somit ist $v$ eine zul\"assige
Testfunktion und wir erhalten
$$A\equiv\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\equiv B.$$
\item Analog zum Beweis der inneren Regularit\"at (Details: \"Ubung)
erhalten wir
\begin{align*}
A\ge&\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
-c\int\limits_\Omega|Du|^2,\umbruch\\
|B|\le&\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right),\umbruch\\
\int\limits_V\left|D^h_kDu\right|^2\le&
c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).
\end{align*}
Daher erhalten wir wie beim Beweis der inneren Regularit\"at
$$\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{k,l}{k+l<2n}}
\Vert u_{kl}\Vert_{L^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
\item $u_{nn}$-Absch\"atzungen:
Aufgrund der inneren Absch\"atzungen gilt 
$$Lu=f\text{ fast \"uberall in }\Omega.$$
Da $a^{ij}\in C^1$ ist, k\"onnen wir die Differentialgleichung 
in nicht-Di\-ver\-genz\-form umschreiben als
$$-a^{ij}u_{ij}+\tilde b^iu_i+du=f$$
mit $\tilde b^i:=b^i-a^{ij}_j.$ Wir erhalten
$$a^{nn}u_{nn}=-\sum\limits_{i+j<2n}a^{ij}u_{ij}
+\tilde b^iu_i+du-f$$
ohne Summenkonvention auf der linken Seite.
Wegen der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at ist
$a^{nn}\ge\theta>0$ und wir erhalten aufgrund der obigen 
Ab\-sch\"atz\-un\-gen
\begin{align*}
|u_{nn}|\le&c\cdot\left(\sum\limits_{i+j<2n}|u_{ij}|
+|Du|+|u|+|f|\right),\umbruch\\
\Vert u\Vert_{H^2(V)}\le&c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right)\umbruch\\
\le&c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),
\end{align*}
wobei wir im letzten Schritt die $H^1$-Norm wie am Ende des
Beweises von Theorem \ref{innere H2 thm} insbesondere durch die 
$L^2$-Norm abgesch\"atzt haben. Es gilt $u\in H^2(V)$.
\item Betrachte nun ein allgemeines Gebiet $\Omega$. Nach
Umbenennen der Koordinaten gilt f\"ur $x_0\in\partial\Omega$
f\"ur ein $r>0$
$$\Omega\cap B_r(x_0)=\left\{x\in B_r(x_0):
x^n>\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right)\right\},$$
wobei $\omega:\R^{n-1}\to\R$ eine $C^2$-Funktion ist. Gelte
ohne Einschr\"ankung $x_0=(0,\,\ldots,\,0,\,x^n_0)$.
Wir definieren nun die Aufbiegetransformation $\Phi$ durch
\begin{align*}
y^i:=&x^i\text{ f\"ur }i<n,\umbruch\\
y^n:=&x^n-\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right),\umbruch\\
y=:&\Phi(x)
\end{align*}
und ihre Inverse $\Psi$ durch $x=:\Psi(y)$.
\item Sei nun $s>0$ so klein, dass
$$\Omega':=B_s(0)\cap\{y^n>0\}\subset
\Phi(\Omega\cap B_r(x_0))$$
ist. Definiere weiterhin 
$$V':=B_{s/2}(0)\cap\{y^n>0\}$$ 
und 
$$u'(y):=u(\Psi(y))\text{ f\"ur }y\in\Omega'.$$
Es gilt 
$$u'\in H^1(\Omega')$$
und 
$$u'=0\text{ auf }\partial\Omega'\cap\{y^n=0\}.$$
Dies folgt, das die Transformation die $H^1$-Norm glatter Funktionen
auch h\"ochstens um eine Konstante \"andern kann. Die Gleichheit auf
dem Rand gilt im Spursinne und folgt aufgrund der Normabsch\"atzung
f\"ur den Spuroperator und da $H^1_0=\ol{C^\infty_c}^{H^1}$ ist.
\item Wir behaupten, dass $u'$ eine schwache L\"osung
der Gleichung 
$$L'u'=f'\text{ in }\Omega'$$
ist, wobei
\begin{align*}
f'(y):=&f(\Psi(y)),\umbruch\\
L'u':=&-\left(a'^{kl}u'_k\right)_l+b'^ku'_k+d'u',\umbruch
\intertext{mit Ableitungsindices bez\"uglich $y$}
a'^{kl}(y):=&a^{rs}(\Psi(y))\Phi^k_r\Phi^l_s,\umbruch\\
b'^k(y):=&b^r(\Psi(y))\Phi^k_r(\Psi(y)),\umbruch\\
d'(y):=&d(\Psi(y)).
\end{align*}
Ist $v'\in H^1_0(\Omega')$ und $B'[\cdot,\cdot]$ die zu
$L'$ geh\"orige Bilinearform, so gilt
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}
a'^{kl}u'_kv'_l+b'^ku'_kv'+d'u'v'.$$
Definiere $v(x):=v'(\Phi(x))$. Wir erhalten 
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}a'^{kl}u_i\Psi^i_k
v_j\Psi^j_l+\int\limits_{\Omega'}b'^ku_i\Psi^i_kv
+\int\limits_{\Omega'}d'uv.$$
Es gilt aufgrund der Kettenregel, auf $\Psi\circ\Phi=\text{Id}$
angewandt,
$$a'^{kl}\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{rs}\Phi^k_r\Phi^l_s
\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{ij}.$$
Es gilt
$$u'_k=u_i\Psi^i_k.$$
Weiterhin folgt
$$b'^k\Psi^i_k=b^r\Phi^k_r\Psi^i_k=b^i.$$
Da $|\det D\Phi|=1$ ist, folgt nach Variablentransformation
$$B'[u',v']=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv+duv
=B[u,v]=\int\limits_\Omega fv=\int\limits_{\Omega'}f'v'.$$
Daher l\"ost $u'$ in $\Omega'$ die Gleichung
$L'u'=f'$ im schwachen Sinne. 
\item Da $\Phi$ ein Diffeomorphismus ist, k\"onnen
wir die Elliptizit\"at der transformierten Gleichung 
wie folgt zeigen. Seien $y\in\Omega'$ und $\xi\in\R^n$.
Dann gilt
$$a'^{kl}(y)\xi_k\xi_l=a^{rs}(\Psi(y))\Phi^k_r\Phi^l_s
\xi_k\xi_l\ge\theta\cdot\left|\Phi^k_\cdot\xi_k\right|^2
\ge\theta'|\xi|^2.$$
Da $\Phi$ und $\Psi\in C^2$ sind, ist auch $a'^{kl}\in C^1$.
\item Wir k\"onnen also die Resultate f\"ur den aufgebogenen
Rand anwenden und erhalten
$$\Vert u'\Vert_{H^2(V')}\le c\cdot
\left(\Vert f'\Vert_{L^2(\Omega')}
+\Vert u'\Vert_{L^2(\Omega')}\right).$$
Durch R\"ucktransformation erhalten wir (unter Benutzung
von $\partial\Omega\in C^2$) f\"ur 
$V:=\Psi(V')$
$$\Vert u\Vert_{H^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Ein \"Uberdeckungsargument f\"ur eine Randumgebung und 
innere Ab\-sch\"atz\-un\-gen liefern nun die behauptete Ungleichung.
\end{enumerate}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[H\"ohere Randregularit\"at]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^{m+2}$. 
Seien $m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^{m+1}\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0$ eine schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann ist $u\in H^{m+2}(\Omega)$ und es gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Dies ist ein Induktionsbeweis wie beim Beweis der h\"oheren
inneren Regularit\"at. Benutze hierzu die Randabsch\"atzungen. 
\end{proof}

\begin{remark}
Wie in Bemerkung \ref{ul2 weg} k\"onnen wir auch hier wieder
die $L^2$-Norm weglassen, wenn die L\"osung eindeutig bestimmt 
ist. Ist $m$ gro\ss{} genug, hat man eine klassische L\"osung
und man kann $\Vert u\Vert_{L^2}\le\Vert u\Vert_{L^\infty}$
unter geeigneten Voraussetzungen auch mit Hilfe des klassischen
Maximumprinzips beschr\"anken.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}[Glattheit bei glatten Daten]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, 
$\partial\Omega\in C^\infty$. Seien weiterhin
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann gilt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Es gilt $u\in H^m(\Omega)$ f\"ur alle $m\in\N$. Wende nun
die Einbettungss\"atze an.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Eigenwerte des Laplaceoperators}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Existenz und Basiseigenschaften}

Wir folgen \cite[S. 231 ff.]{JostPDE}. Sei hier stets $\Omega\subset\R^n$
offen, beschr\"ankt und zu\-sam\-men\-h\"an\-gend, $\partial\Omega\in
C^\infty$. Bezeichne hier $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das
Skalarprodukt in $L^2(\Omega)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Der kleinste Eigenwert des Laplaceoperators bei Dirichletrandwerten
ist gegeben durch
$$\lambda_1:=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\int\limits_\Omega|Du|^2}{\int\limits_\Omega u^2}
\equiv\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}>0.$$
Es gibt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, $u>0$ in $\Omega$,
so dass
$$\begin{cases}\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
$\lambda_1$ ist ein Eigenwert der Vielfachheit eins.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt
$$\lambda_1=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}
=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{\Vert u\Vert_{L^2}=1}}\langle Du,Du\rangle.$$
Das Infimum ist nichtnegativ. Somit gibt es eine Minimalfolge
$$u_i\in H^1_0$$ mit $\Vert u_i\Vert_{L^2}=1$, \dh es gilt
$$\langle Du_i,Du_i\rangle\to\lambda_1.$$
Da somit $\Vert u_i\Vert_{H^1_0}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt ist,
gibt es nach dem Rellichschen Kompaktheitssatz eine in $L^2$
konvergente Teilfolge. Wir d\"urfen also ohne Einschr\"ankung
annehmen, dass
$$u_i\to u\text{ in }L^2$$
gilt mit $\Vert u\Vert_{L^2}=1$.

Da $\lambda_1$ das Infimum des Raleigh Quotienten ist, folgt
$$\Vert D(u_k+u_l)\Vert^2_{L^2}\ge\lambda_1
\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}.$$

Es gilt die Polarisationsformel
$$\Vert D(u_k-u_l)\Vert_{L^2}^2+\Vert D(u_k+u_l)\Vert_{L^2}^2
=2\Vert Du_k\Vert_{L^2}^2+2\Vert Du_l\Vert_{L^2}^2.$$

Kombination der beiden letzten Formeln liefert,
da $u_k+u_l\to2u$ f\"ur $k$, $l\to\infty$,
\begin{align*}
\Vert Du_k-Du_l\Vert^2_{L^2}\le&
2\Vert Du_k\Vert^2_{L^2}+2\Vert Du_l\Vert^2_{L^2}
-\lambda_1\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
\to&\quad2\lambda_1+2\lambda_1-\lambda_1\cdot4\Vert u\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
=&0.
\end{align*}

Damit ist $u_k$ auch eine Cauchyfolge in $H^1_0(\Omega)$ und wir
erhalten
$$\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}=\lambda_1.$$
Nach Theorem \ref{poincare eins} gilt $\lambda_1>0$.

Sei nun $\phi\in H^1_0(\Omega)$ beliebig. Ist $|t|$ so klein, dass
der Nenner im folgenden Bruch nicht verschwindet, so gilt
$$\frac{\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle}
{\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle}\ge\lambda_1$$
oder
\begin{align*}
0\le&\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle-\lambda_1
\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega|Du|^2+2t\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle
+t^2\int\limits_\Omega|D\phi|^2\\
&-\lambda_1\int\limits_\Omega u^2-\lambda_12t\int\limits_\Omega u\phi
-\lambda_1t^2\int\limits_\Omega\phi^2.
\end{align*}
mit Gleichheit f\"ur $t=0$. Aufgrund der Minimalit\"at der
rechten Seite f\"ur $t=0$ verschwindet also ihre Ableitung
an der Stelle $t=0$
$$0=\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle-\lambda_1
\int\limits_\Omega u\phi.$$
Somit ist $u$ eine schwache L\"osung von
$$\begin{cases}
\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie f\"ur schwache L\"osungen
aus Kapitel \ref{reg L2}
erhalten wir daher $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

$\bullet$ $u>0$: Definiere $u^+:=\max\{u,0\}$ und
$u^-:=\min\{u,0\}$. Es gilt (nicht vollkommen trivial)
$$Du^+=\begin{cases}
Du&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\ge0\},\\
0&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\le0\}.\\
\end{cases}$$
Wir erhalten also
\begin{align*}
\lambda_1=&\langle Du,Du\rangle=\langle Du^+,Du^+\rangle
+\langle Du^-,Du^-\rangle\\
\ge&\lambda_1\langle u^+,u^+\rangle+\lambda_1\langle u^-,u^-\rangle
\text{ nach Definition von }\lambda_1\\
=&\lambda_1\langle u,u\rangle=\lambda_1.
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit, also
$$\langle Du^\pm,Du^\pm\rangle=\lambda_1\langle u^\pm,u^\pm\rangle$$
und $u^\pm$ ist eine schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
-\Delta u^\pm=\lambda_1u^\pm&\text{in }\Omega,\\
u^\pm=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Wir erhalten $-\Delta u^+\ge0$ in $\Omega$.
Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie ist $u^+$ eine
klassische glatte L\"osung. Aufgrund des Maximumprinzips gilt
daher $u^+>0$ oder $u^+\equiv0$ in $\Omega$. Analog
schlie\ss{}t man f\"ur $u^-$ und erh\"alt (ggf.\ nach
Multiplikation mit $-1$) $u>0$.

$\bullet$ Vielfachheit$=1$:
Sind $u$ und $v$ linear unabh\"angige Eigenvektoren (=Eigenfunktionen)
zum Eigenwert $\lambda_1$, so wechselt eine geeignete Linearkombination
davon in $\Omega$ das Vorzeichen und bleibt Eigenvektor zum
Eigenwert $\lambda_1$ im Widerspruch zur oben bewiesenen
Positivit\"at der ersten Eigenfunktion.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Seien $(\lambda_i,\,u_i)$, $1\le i\le k$ die ersten $k$
Eigenwerte und Eigenfunktionen (mit Vielfachheit).
(Diese sind wie \"ublich bei Eigenwerten mit Vielfachheit nicht
eindeutig bestimmt.) Dann ist
$$\lambda_{k+1}=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{0\not\equiv u\in H^1_0(\Omega)}
{\langle u,u_i\rangle=0,\,1\le i\le k}}
\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}.$$
Es gibt $u_{k+1}\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, so dass
$$\begin{cases}
\Delta u_{k+1}+\lambda_{k+1}u_{k+1}=0&\text{in }\Omega,\\
u_{k+1}=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubungsaufgabe. Beachte, dass die Eigenschaft, schwache
L\"osung zu sein, zum Teil schon aus der Orthogonalit\"atsbedingung
folgt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{Lapl eigen}
Es gibt abz\"ahlbar viele Eigenwerte $\lambda_k$ des
Laplaceoperators und es gilt
$$\lambda_k\to\infty\text{ f\"ur }k\to\infty.$$
Die Eigenfunktionen $u_k$ bilden (bei Konstruktion wie
oben und nach Normierung) eine Orthonormalbasis in $L^2(\Omega)$
und es gilt
\begin{align*}
  v=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle v,v\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle Dv,Dv\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\lambda_i\langle
  v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in H^1_0.\\
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Falls $\lambda_k\le c$ f\"ur unendlich viele $k$ gilt, so folgt
$$\Vert Du_k\Vert_{L^2}\le c.$$
Nach Rellich konvergiert daher eine Teilfolge in $L^2$.
Dies ist aber nicht m\"oglich, da nach Konstruktion
$\langle u_k,u_l\rangle=0$ f\"ur $k\neq l$ gilt und somit
$$\Vert u_k-u_l\Vert_{L^2}=\sqrt2\not\to0.$$
Definiere
$$H_m:=\left\{v\in H^1_0:\langle v,u_i\rangle=0
\text{ f\"ur }i\le m-1\right\}.$$
Sei zun\"achst $v\in L^2\cap H^1_0=H^1_0$. Definiere
\begin{align*}
\beta_i:=&\,\langle v,u_i\rangle,\umbruch\\
v_m:=&\,\sum\limits_{i\le m}\beta_iu_i,\umbruch\\
w_m:=&\,v-v_m.
\end{align*}
Dann ist $w_m$ die $L^2$-Orthogonalprojektion von $v$ auf $H_{m+1}$,
$v_m$ ist orthogonal zu $H_{m+1}$. Also gilt f\"ur $i\le m$
\begin{align*}
\langle w_m,u_i\rangle=&\,0,\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle\ge&\,\lambda_{m+1}\langle w_m,w_m\rangle.
\end{align*}
Sei $u_i$, $i\le m$, ein Eigenvektor. Dann folgt mit
partieller Integration
$$\langle Dw_m,Du_i\rangle=\lambda_i\langle u_i,w_m\rangle=0,$$
also sind auch die Ableitungen orthogonal zueinander.
Somit erhalten wir
\begin{align}
\langle w_m,w_m\rangle=&\,\langle v,v\rangle -2\langle v,v_m\rangle
+\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\ =&\,\langle v,v\rangle
-2\langle w_m+v_m,v_m\rangle +\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\
=&\,\langle v,v\rangle-\langle v_m,v_m\rangle,
\nonumber\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle=&\,\langle Dv,Dv\rangle-\langle Dv_m,Dv_m\rangle
\label{Dvm}
\end{align}
und
\begin{align*}
\langle w_m,w_m\rangle\le&\,
\frac1{\lambda_{m+1}}\langle Dw_m,Dw_m\rangle\umbruch\\
\le&\,\frac1{\lambda_{m+1}}\langle Dv,Dv\rangle.
\end{align*}
Somit gilt $w_m\to0$ in $L^2$ und wir erhalten
die folgende in $L^2$ konvergente Summe
$$v=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i.$$
F\"ur allgemeines $v\in L^2$ erhalten wir nun diese
Formel durch Approximation in $L^2$ durch $H^1_0$-Funktionen.
Gilt n\"amlich $v^k\to v$ in $L^2$, so folgt gleichm\"a\ss{}ig
f\"ur alle $N\gg1$
$$\left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\left\langle v-v^k, u_i\right\rangle
u_i\right\Vert_{L^2}^2
=\sum\limits_{i=1}^N\left\vert
\left\langle v-v^k, u_i\right\rangle\right\vert^2
\le\left\Vert v-v^k\right\Vert_{L^2}^2,$$
da die Eigenfunktionen $u_i$ orthonormal zueinander sind. Damit
erhalten wir
\begin{align*}
  \left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\langle v,u_i\rangle
    u_i-v\right\Vert_{L^2} \le&\, \left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle u_i -\sum\limits_{i=1}^N\langle v^k,u_i\rangle
    u_i\right\Vert_{L^2} +\left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v^k,u_i\rangle
    u_i-v\right\Vert_{L^2}\umbruch\\
  \le&\,\left\Vert v-v^k\right\Vert_{L^2}
  +\left\Vert\sum\limits_{i=1}^N \langle v^k,u_i\rangle
    u_i-v\right\Vert_{L^2}.
\end{align*}
Nun fixieren wir zun\"achst $k$ gro\ss{}, so dass der erste Term klein
wird. Da $v^k\in H^1_0$ ist und wir $k$ fixiert haben, wird der zweite
Term aufgrund der obigen Rechnungen f\"ur $N\to\infty$ klein. Somit
approximiert die Summe auch beliebige $v\in L^2$ bez\"uglich der
$L^2$-Norm. Die $u_i$ sind also eine Orthonormalbasis f\"ur $L^2$.

Weiterhin erhalten wir 
\begin{align*}
  0=&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left\Vert\sum\limits_{i=1}^N \langle
    v,u_i\rangle u_i-v\right\Vert_{L^2}^2\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left(\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2 -2\sum\limits_{i=1}^N\langle v,u_i\rangle^2
    +\langle v,v\rangle\right)\umbruch\\ =&\,\lim\limits_{N\to\infty}
  \left(\langle v,v\rangle -\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2\right). 
\end{align*}
Somit folgt
$$\langle v,v\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2.$$

F\"ur $v\in H^1_0$ gilt
$$Dv_m=\sum\limits_{i\le m}\beta_iDu_i.$$
Aufgrund der Orthogonalit\"atsbeziehung der $Du_i$ in $L^2$
und \eqref{Dvm} folgt
$$\langle Dv,Dv\rangle\ge\langle Dv_m,Dv_m\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\langle Du_i,Du_i\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\lambda_i.$$
Da alle $\lambda_i$ positiv sind, ist der letzte Ausdruck, als Folge
in $m$ aufgefasst, absolut konvergent. Somit gilt f\"ur $m<n$
\begin{align*}
  \Vert Dw_m-Dw_n\Vert_{L^2}^2 =&\,\langle Dw_m-Dw_n,Dw_m-Dw_n\rangle
  =\langle Dv_n-Dv_m,Dv_n-Dv_m\rangle\umbruch\\ =&\,\Vert
  Dv_n-Dv_m\Vert_{L^2}^2 =\sum\limits_{i=m+1}^n\lambda_i\beta_i^2\to0
\end{align*}
f\"ur $m$, $n\to\infty$. Somit sind $Dw_m$ und $Dv_m$ Cauchyfolgen in
$L^2$. Also konvergieren $w_m$ und $v_m$ in $H^1_0$. Die Grenzwerte
stimmen mit den $L^2$-Grenzwerten \"uberein und ist somit Null bzw.{}
$v$. Somit folgt analog zu oben 
$$\langle Dv,Dv\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty
\lambda_i\beta_i^2$$
f\"ur alle $v\in H^1_0$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Separation der Variablen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega$ sei glatt.
Seien $u_0$, $u_1\in L^2(\Omega)$. Wir wollen die Anfangswertprobleme
\begin{align}
\begin{cases}\label{parab L2}
\dot u-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times[0,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times[0,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega
\end{cases}
\intertext{und}
\begin{cases}\label{hyper L2}
u_{tt}-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega,\\
u_t(\cdot,0)=u_1&\text{in }\Omega
\end{cases}
\end{align}
l\"osen. Dabei beschreibt die W\"armeleitungsgleichung
\eqref{parab L2} die W\"armeverteilung in einem K\"orper
$\Omega$ als Funktion der Zeit, wenn die Au\ss{}enfl\"achen eine
konstante Temperatur haben. Die Wellengleichung
beschreibt die Auslenkung der Membran einer wenig
ausgelenkten Trommel.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{W\"armeleitungsgleichung.}  Um die Gleichung \eqref{parab L2}
zu l\"osen, machen wir den Ansatz $u(x,t):=f(t)v(x)$, nehmen $u\neq 0$
(f\"ur die Herleitung) an, und erhalten
$$\frac1u\left(\dot u-\Delta u\right)=
\frac v{vf}\cdot\dt f-\frac f{vf}\Delta v
=\frac1f\cdot\dt f-\frac1v\Delta v.$$
Wir haben also die Abh\"angigkeit von den beiden
Variablen separiert. Gleichheit gilt somit, wenn
$-\frac1f\dt f$ und $\frac{-\Delta v}v$ beide mit einer
gegebenen Konstanten $\lambda$ \"uber\-ein\-stim\-men.

Eigenfunktionen $u$ des Laplaceoperators auf
$\Omega$ mit Randwerten Null zu einem Eigenwert $\lambda$
$$\begin{cases}
-\Delta u=\lambda u&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$
gibt es nur f\"ur eine diskrete Menge von positiven
Konstanten $\lambda$. Sei $(u_i,\lambda_i)$ ein
solches Tupel.

Die Differentialgleichung $-\frac1f\dt f=\lambda$
besitzt f\"ur beliebiges $\lambda\in\R$
die L\"osung $f(t)=f(0)e^{-\lambda t}$.

Nun l\"ost $w(x,t):=\beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)$ die
W\"armeleitungsgleichung
$$\begin{cases}
\dot w-\Delta w=0&\text{in }\Omega,\\
w=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$

Linearkombinationen von L\"osungen der W\"armeleitungsgleichung
sind wieder L\"osungen. Somit ist auch
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^N \beta_ie^{-\lambda_i t}u_i(x)$$
eine L\"osung der W\"armeleitungsgleichung \eqref{parab L2}.

Ist $u_0\in L^2(\Omega)$ beliebig, so gibt es nach
Theorem \ref{Lapl eigen} Konstanten $\beta_i:=\langle u_0,u_i\rangle$
f\"ur $i\in\N_{\ge1}$, so dass
$$u_0=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_iu_i.$$
Mit zus\"atzlicher Arbeit kann man nachweisen, dass nun
\begin{equation}\label{heat lsg}
u(x,t):=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)
\end{equation}
in einem geeigneten Sinne das Anfangswertproblem
\eqref{parab L2} f\"ur positive Zeiten l\"ost.
F\"ur positive Zeiten ist die L\"osung glatt. F\"ur
$t=0$ erh\"alt man jedoch i.\,a.\ nur eine $L^2$-Funktion.

Diese Probleme bei $t=0$ wollen wir f\"ur den Rest der
Betrachtungen von \eqref{parab L2} und \eqref{hyper L2}
nicht weiter verfolgen.

Wir beobachten, dass hohe Frequenzen (gro\ss{}e Eigenwerte)
in \eqref{heat lsg} schneller abklingen als tiefe.
Weiterhin kann man einen gemeinsamen Faktor $e^{-\lambda_1t}$
ausklammern und sieht, dass $u(x,t)$ mindestens mit dieser
Rate gegen Null konvergiert. Im generischen Fall, wenn
$\beta_1=\int\limits_\Omega u_0u_1\neq0$ ist, kann man die
L\"osung reskalieren. Es gilt dann
$$\frac1{\beta_1}e^{\lambda_1t}u(x,t)\to u_1(x)\text{ f\"ur }
t\to\infty.$$
Somit verteilt sich die W\"arme f\"ur gro\ss{}e Zeiten
immer gleichm\"a\ss{}iger in dem gegebenen K\"orper und
das Profil der Temperaturverteilung approximiert (nach
Reskalieren) generisch die erste Eigenfunktion.
Ist $\beta_1=\ldots=\beta_{k-1}=0$, so approximiert man
entsprechend die $k$-te Eigenfunktion.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Wellengleichung.}
Hier f\"uhrt ein Ansatz $u(x,t)=f(t)v(x)$ zu
$$\frac1u(u_{tt}-\Delta u)=\frac1ff_{tt}-\frac{\Delta v}v$$
zum Gleichungssystem
$$-\frac1ff_{tt}=\lambda=-\frac{\Delta v}v.$$
L\"osungen $u_i$ des rechten Teiles kennen wir bereits.
L\"osungen des ersten Teiles sind gegeben durch
$$f(t)=\alpha_i\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right).$$

Der formale Ansatz
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\alpha_i
\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}
\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)\right)u_i(x)$$
f\"uhrt also zu
\begin{align*}
u(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty\alpha_i
\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
u_i(x),\\
u_t(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty
\beta_i\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)u_i(x).
\end{align*}
Da die $u_i$ eine Orthonormalbasis von $L^2$ bilden,
k\"onnen wir damit das Anfangswertproblem \eqref{hyper L2}
zumindest formal l\"osen. Im Unterschied zu \eqref{parab L2}
existiert solch eine L\"osung f\"ur alle Zeiten,
w\"ahrend im parabolischen Fall
eine L\"osung f\"ur negative Zeiten im allgemeinen
nicht existiert, da die Exponentialfaktoren sofort
die Konvergenz der Reihe zerst\"oren; die r\"uckw\"artige
W\"armeleitungsgleichung ist allgemein nicht l\"osbar.

Anschaulich bedeutet die angegebene L\"osung, dass die
betrachtete Membran eine \"Uberlagerung von Eigenschwingungen
ausf\"uhrt. In der Musik bezeichnet man $\lambda_1$ als
Grundton und $\lambda_i$ als Obert\"one. Diese sind
von der Geometrie des Instrumentes abh\"angig.

Im Falle endlicher Summen liegt eine klassische L\"osung vor
und die formalen Rechnungen werden sofort rigoros.

\section{Maximumprinzipien f\"ur parabolische Gleichungen}
Wir folgen \cite{ProtterWeinberger}.
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]\label{hopf lemma parab}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $T>0$. Seien $a^{ij},\,b^i\in L^\infty$. Sei $a^{ij}$ ohne
  Einschr\"ankung symmetrisch. Nehme an, dass ein $\theta>0$
  existiert, so dass \"uberall in
  $\Omega\times(0,T)$ \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge \theta|\xi|^2
  \quad\text{f\"ur alle }\xi\in\R^n\] gilt. Erf\"ulle $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))\cap C^1\big(\ol{\Omega\times[0,T]}\big)$ (in
  $t$ w\"urde auch $C^1$ gen\"ugen) die parabolische
  Differentialgleichung \[Lu\equiv -\fracp ut
  +a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.\] Gelte $u<M$ in $\Omega\times(0,T)$ und
  $u(x_0,t_0)=M$ f\"ur ein $x_0\in\partial\Omega$ und ein
  $t_0\in(0,T)$. Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an
  $\partial\Omega$. Dann gilt \[\langle Du,\nu\rangle(x_0,t_0)>0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\partial\Omega\in C^2$ ist, erf\"ullt $\Omega$ eine innere
  Kugelbedingung. Es existiert also ein Ball $B_r(x_1)\subset\Omega$,
  so dass $\partial B_r(x_1)\cap\partial\Omega=\{x_0\}$ gilt. Gelte
  ohne Einschr\"ankung $r<t_0$. \par Wir betrachten nun die Mengen
  \begin{align*}
    D:=&\,\hat B_r(x_1,t_0)\cap \hat B_{r/2}(x_0,t_0)
    \cap\{t<t_0\},\umbruch\\ 
    C':=&\,\partial D\cap \hat B_r(x_1,t_0)\cap\{t<t_0\},\umbruch\\
    C'':=&\,\partial D\cap \hat B_{r/2}(x_0,t_0)\cap\{t<t_0\},
  \end{align*}
  wobei wir mit $\hat B$ in diesem Kapitel andeuten wollen, dass es
  sich dabei um B\"alle in $\R^n\times\R$ handelt. \par Es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u<M$ auf $C''$, $u=M$ in $(x_0,t_0)$ und
  \item es existiert $\eta>0$, so dass $u\le M-\eta$ auf $C'$ ist. 
  \end{enumerate}
  Definiere 
  \begin{align*}
    v(x,t):=&\,\exp\left(-\alpha[|x-x_1|^2+(t-t_0)^2]\right)
    -\exp(-\alpha r^2)\umbruch \intertext{und erhalte}
    v_i=&\,\exp(-\alpha[\ldots]) (-2\alpha(x-x_1)_i),\umbruch\\
    v_{ij}=&\,\exp(-\alpha[\ldots])
    \left\{(-2\alpha(x-x_1)_i)(-2\alpha(x-x_1)_j)
      -2\alpha\delta_{ij}\right\},\umbruch\\ \dot
    v=&\,\exp(-\alpha[\ldots]) (-2\alpha(t-t_0)).\umbruch\\
    \text{Hieraus ergibt sich}\\
    Lv=&\,2\alpha\exp(-\alpha[\ldots])\cdot\\
    &\,\quad\cdot \left\{2\alpha a^{ij}(x-x_1)_i(x-x_1)_j
      -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-x_1)_i +(t-t_0)\right\}\umbruch\\
    >&\,0\quad \text{in }\ol D\quad\text{f\"ur }\alpha\gg1.
  \end{align*}
  Definiere $w:=u+\epsilon v$ mit einer noch geeignet zu fixierenden
  Konstanten $0<\epsilon\ll1$. Es gilt stets \[Lw=Lu+\epsilon
  Lv>0\quad \text{in } D.\] F\"ur gen\"ugend kleine $\epsilon>0$ gilt
  $w<M$ auf $C'$. Auf $\partial\hat B_r(x_1,t_0)\supset C''$ gilt
  $v=0$. Somit erhalten wir $w<M$ in $C''$ mit Gleichheit in
  $(x_0,t_0)$. \par Wir behaupten nun, dass $w<M$ in $D$ gilt: Im
  zeitlich ersten Punkt in $D$ mit $w=M$ (der aufgrund der obigen
  \"Uberlegungen nicht auf dem parabolischen Rand von $D$ liegen kann)
  gilt $\fracp wt\ge0$, $w_{ij}\le0$ im Sinne von Matrizen und $w_i=0$
  f\"ur alle $i$. Hieraus folgt in diesem Punkt
  $Lw\le0$. Widerspruch. Die Behauptung folgt.\par Da in $(x_0,t_0)$
  aber $w=M$ gilt, erhalten wir dort
  \begin{align*}
    0\le&\,\langle Dw,\nu\rangle=\langle Du,\nu\rangle
    +\epsilon\langle Dv,\nu\rangle,\umbruch\\ \langle Dv,\nu\rangle
    =&\,\left\langle Dv,\frac{x_0-x_1}{|x_0-x_1|}\right\rangle
    =-2\alpha\exp(-\alpha[\ldots])|x_0-x_1|<0.\umbruch\\
    \intertext{Hieraus folgt} \langle Du,\nu\rangle(x_0,t_0)>&\,0.
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{bleibt strikt kleiner lem}
  Sei $L$ wie in Theorem \ref{hopf lemma parab} und $u\in C^2$
  erf\"ulle in \[K_{t_1}:=\left\{(x,t):|x-x_1|^2+(t-t_1)^2<R,\,t\le
    t_1\right\}\] die Ungleichung $Lu\ge0$. Gelte $u<M$ in
  $K_{t_1}\cap\{t<t_1\}$ und $u(x_1,t_1)\ge u(x,t_1)$ f\"ur alle
  $x$. Dann folgt $u(x_1,t_1)<M$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme an, dass doch $u(x_1,t_1)=M$ gilt. \par Definiere f\"ur eine
  noch zu fixierende Konstante $\alpha>0$
  \begin{align*}
    D:=&\,\{(x,t)\in K_{t_1}:|x-x_1|^2+\alpha(t-t_1)<0\},\umbruch\\
    C':=&\,\left(\partial K_{t_1}\cap D\right)\setminus
    \{(x_1,t_1)\},\umbruch\\
    \intertext{und} C'':=&\,\partial D\cap K_{t_1}=\{(x,t)\in
    K_{t_1}:|x-x_1|^2+\alpha(t-t_1)=0\}.
  \end{align*}
  Definiere weiterhin \[v(x,t):=\exp\left(-[|x-x_1|^2
    +\alpha(t-t_1)]\right.)-1.\] Dann gilt \[Lv=\exp(-[\ldots]) \cdot
  \left\{4a^{ij}(x-x_1)_i(x-x_1)_j -2a^{ij}\delta_{ij} -2b^i(x-x_1)_i
    +\alpha\right\}.\] Fixiere $\alpha\gg1$, so dass $Lv>0$ in
  $K:=K_{t_1}$ gilt. \par
  Nach Voraussetzung gilt $u<M$ auf $C'$. Daher gibt es $\eta>0$ so
  dass $u\le M-\eta$ auf $C'$ gilt. Definiere $w(x,t):=u(x,t)+\epsilon
  v(x,t)$ f\"ur ein noch zu fixierendes $\epsilon$ mit
  $0<\epsilon\ll1$. Da auf $C''$ nach Definition $v=0$ gilt, gibt es
  ein $\epsilon>0$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $Lw=Lu+\epsilon Lv>0$ in $D$,
  \item $w=u+\epsilon v<M$ auf $C'$, 
  \item $w=e+\epsilon v\le M$ auf $C''$. 
  \end{enumerate}
  Da $w(x_1,t_1)=M$ ist, $w$ am Rand $\ol{C'\cup C''}$ die Ungleichung
  $w\le M$ erf\"ullt und wegen $Lw>0$ in $D$ nimmt auch die Funktion
  $w=w|_{\ol D}$ ihr Maximum in $(x_1,t_1)$ an. Wir erhalten dort
  $\fracp wt\ge0$ und $\fracp vt=-\alpha<0$. Somit ist $\fracp
  ut\ge-\epsilon\fracp vt>0$. Aufgrund der vorausgesetzten
  Maximalbedingung an $u$ folgt aber dort auch $u_i=0$ f\"ur alle $i$
  und $u_{ij}\le0$ (im Sinne von Matrizen). Somit erhalten wir
  $Lu<0$. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{pole lem}
  Sei $L$ wie in Theorem \ref{hopf lemma parab}, $\Omega\subset\R^n$
  sei offen. Sei $0<T<\infty$ und sei $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))$. Erf\"ulle $u$ die Ungleichung $Lu\ge0$ in
  $\Omega\times(0,T)$. Sei $\sup\limits_{\Omega\times(0,T)}u=M$. Sei
  $K$ eine Kugel, $\ol K\subset\Omega\times(0,T)$. Gelte $u<M$ in $K$
  und $u=M$ f\"ur einen Punkt $P$ auf $\partial K$. Dann ist $P$ der
  Nord- oder der S\"udpol. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K=B_R((\bar x,\bar t))$. Wir d\"urfen annehmen, dass $u|_{\ol
    K}$ nur in $P$ den Wert $M$ annimmt, sonst betrachten wir eine
  kleinere Kugel. Sei $P=(x_1,t_1)$. Es gen\"ugt, die Annahme
  $x_1\neq\bar x$ zu einem Widerspruch zu f\"uhren. W\"ahle
  $R_1<|x_1-\bar x|$. (Dies funktioniert in den Polen nicht.)
  Verkleinere $R_1$ -- falls n\"otig -- so dass
  $K_1:=B_{R_1}^{n+1}((x_1,t_1))\Subset\Omega\times(0,T)$ ist. Seien
  $C':=\partial B_{R_1}((x_1,t_1))\cap B_R((\bar x,\bar t))$ und
  $C'':=\partial B_{R_1}((x_1,t_1))\cap\complement B_R((\bar x,\bar
  t))$. Da in $K$ die Ungleichung $M>u$ gilt und da Gleichheit in $\ol
  K$ nur in $P$ eintritt, existiert ein $\eta>0$, so dass $u\le
  M-\eta$ auf $C'$ und $u\le M$ auf $C''\subset \Omega\times(0,T)$
  gelten. Definiere \[v(x,t):=\exp\left(-\alpha\left[|x-\bar x|^2
      +(t-\bar t)^2\right]\right) -\exp\left(-\alpha R^2\right).\] Wir
  erhalten \[Lv=2\alpha e^{-\alpha[\ldots]}\cdot\left\{2\alpha
    a^{ij}(x-\bar x)_i(x-\bar x)_j -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-\bar x)_i
    +(t-\bar t)\right\}.\] In $\ol{K_1}$ gilt $|x-\bar x|\ge|x_1-\bar
  x|-R_1>0$. F\"ur $\alpha\gg1$ hinreichend gro\ss{} erhalten wir
  daher \[Lv>0\quad\text{in }\ol{K_1}.\] Definiere
  $w(x,t):=u(x,t)+\epsilon v(x,t)$ f\"ur $\epsilon>0$. Da $u\le
  M-\eta$ auf $C'$ gilt, gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  noch \[w=u+\epsilon v<M\quad\text{auf }C'\] gilt. Auf dem \glqq
  offenen\grqq{} Sph\"arenteil $C''$ ist $v$ negativ. Da dort aber
  $u\le M$ gilt, erhalten wir auch auf $C''$ die
  Ungleichung \[w=u+\epsilon v<M.\] Zusammengenommen ist $w<M$ auf
  $\partial K_1$ erf\"ullt. Nach Definition war $v=0$ auf $\partial
  K$. Somit ist \[w(x_1,t_1)=u(x_1,t_1)+\epsilon
  v(x_1,t_1)=u(x_1,t_1)=M.\] Dies ist ein Widerspruch, denn es gelten
  $Lw>0$ in $K_1$ und $w<M$ auf $\partial K_1$. Das Lemma folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{horiz mp lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend, $T>0$.  Sei $L$
  wie in Theorem \ref{hopf lemma parab} und $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))$ erf\"ulle die Ungleichung $Lu\ge0$. Gelte
  $u\le M$ in $\Omega\times (0,T)$ und \[u<M\quad\text{in
  }(x_1,t_1)\in\Omega\times(0,T).\] Dann gilt \[u<M\quad\text{auf
  }\Omega\times\{t_1\}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, zu zeigen, dass es kein (zusammenh\"angendes)
  Geradenst\"uck $l$ in $\Omega\times(0,T)$ geben kann, so dass
  \begin{align*}
    (x_0,t_1)\in l,&\quad (x_1,t_1)\in l,\\
    u(x_0,t_1)=M,&\quad u(x_1,t_1)<M.
  \end{align*}
  Definiere \[d_0:=\min\left\{|x_1-x_0|,
    \tfrac12\dist(\{((1-\lambda)x_0+\lambda
    x_1,t_1)\,:\,0\le\lambda\le
    1\}, \partial(\Omega\times(0,T)))\right\},\] wobei der zweite Term
  gleich dem halben Abstand der Verbindungsstrecke von $(x_0,t_1)$
  nach $(x_1,t_1)$ bis zum Rand
  ist. Definiere \[y_\tau:=x_0+\tau\cdot\frac{x_1-x_0}{|x_1-x_0|}\]
  f\"ur $0\le\tau\le |x_1-x_0|$, also einen Punkt auf dieser
  Verbindungsstrecke. Zun\"achst d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  $u(y_\tau,t_1)<M$ f\"ur $0<\tau\le|x_1-x_0|$ annehmen, denn sonst
  verschieben wir $x_0$ solange auf $x_1$ zu, bis dies erf\"ullt
  ist. Definiere f\"ur $\tau\le
  d_0$ \[d(\tau):=\dist((y_\tau,t_1),\{u=M\}).\] Da $u(x_0,t_1)=M$
  ist, erhalten wir $d(\tau)\le\tau$. Nach Lemma \ref{pole lem} liegt
  der jeweils n\"achste Punkt mit $u=M$ direkt \"uber oder direkt
  unter $(y_\tau,t_1)$, es gilt
  also \[u(y_\tau,t_1+d(\tau))=M\quad\text{oder}\quad
  u(y_\tau,t_1-d(\tau))=M.\]
  Aus \[|(y_{\tau+\delta},t_1)-(y_\tau,t_1\pm
  d(\tau))|=\sqrt{d(\tau)^2+\delta^2}.\] folgt
  \begin{equation}
    \label{abst ungl}
    d(\tau+\delta)\le\sqrt{d(\tau)^2+\delta^2}
    <d(\tau)+\frac{\delta^2}{2d(\tau)}.
  \end{equation}
  Die zweite Ungleichung folgt dabei sofort durch Quadrieren, da
  $d(\tau)$ nach Annahme f\"ur $t>0$ strikt positiv ist. Ebenso folgt
  $d(\tau+\delta)^2+\delta^2\ge d(\tau)^2$. Hieraus erhalten wir
  $d(\tau+\delta)\ge\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}$ f\"ur $\delta>0$ so
  klein, dass die Differenz unter der Wurzel positiv ist. Fixiere
  $\tau>0$ und $\delta>0$, so dass $0<\delta<d(\tau)$ ist. Wir
  unterteilen das Intervall $(\tau,\tau+\delta)$ in kleine
  Teilintervalle und erhalten aus \eqref{abst
    ungl} 
  \begin{align*}
    d\left(\tau+\tfrac{j+1}m\delta\right) -d\left(\tau+\tfrac
      jm\delta\right)\le&\,\frac{\delta^2}{2m^2d\left(\tau+\frac
        jm\delta\right)}\umbruch\\
    \le&\,\frac{\delta^2}{2m^2\sqrt{d(\tau)^2 -\left(\frac
          jm\right)^2\delta^2}}
    \le\frac{\delta^2}{2m^2\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}}
  \end{align*} 
  f\"ur $j=0,\ldots,m-1$. Wir summieren diese Ungleichung auf. Es
  tritt eine Teleskopsumme auf. Diese vereinfacht sich
  zu \[d(\tau+\delta)-d(\tau)\le
  \frac{\delta^2}{2n\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}}.\] Mit $n\to\infty$
  folgt
  \[d(\tau+\delta)\le d(\tau)\quad\text{f\"ur }\delta>0\text{ klein
    genug,}\] $d$ ist also monoton fallend. Andererseits gilt
  $d(\tau)\le\tau$. Somit ist $d(\tau)\equiv 0$ f\"ur alle
  $0\le\tau\le d_0$. Daher ist $u(y_\tau,t_1)=M$ f\"ur $0\le\tau\le
  d_0$. Dies steht im Widerspruch zur Annahme $u(y_\tau,t_1)<M$ f\"ur
  $0<\tau<|x_1-x_0|$. (Alternativ k\"onnten wir auch das obige
  Argument iterieren und erhielten dann aus $u(x_1,t_1)=M$ einen
  Widerspruch.)
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip]
  \label{stark mp parab}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und zusammenh\"angend
  sowie $0<T<\infty$. Seien $a^{ij},\,b^i\in L^\infty$ und gelte die
  Elliptizit\"atsbedingung \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2\quad
  \text{f\"ur alle }\xi\in\R^n\] f\"ur ein $\theta>0$. Erf\"ulle $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))\cap C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ die
  parabolische Differentialgleichung \[Lu\equiv-\fracp
  ut+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.\] Sei $u\le M$ in
  $\ol\Omega\times[0,T]$. Gibt es $(x_0,t_0)\in\Omega\times(0,T)$ mit
  \[u(x_0,t_0)=M,\] so folgt \[u=M\quad\text{in
  }\ol\Omega\times[0,t_0].\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus Lemma \ref{horiz mp lem} erhalten wir \[u=M\quad\text{in
  }\ol\Omega\times\{t_0\}.\] Angenommen, es gibt
  $(x_1,t_1)\in\Omega\times(0,t_0)$ mit
  $u(x_1,t_1)<M$. Sei \[\tau:=\sup\{t<t_0:u(x_1,\sigma)<M\text{ f\"ur
    alle }\sigma\in(t_1,t)\}.\] Dann ist $u(x_1,\tau)=M$. Da
  $u(x_1,t)<M$ f\"ur $t_1\le t<\tau$ gilt, folgt nach Lemma \ref{horiz
    mp lem} \[u<M\quad\text{in }\Omega\times[t_1,\tau)\] und nach
  Lemma \ref{bleibt strikt kleiner lem} erhalten wir auch
  $u(x_1,\tau)<M$. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{theorem}[Maximumprinzip]
  \label{parab mp}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $0<T<\infty$. Sei $L$ wie in Theorem \ref{stark mp parab}. Erf\"ulle
  $u\in C^2(\Omega\times(0,T))\cap
  C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ in $\Omega\times(0,T)$ die
  Differentialgleichung $Lu=0$, so gilt \[\inf\limits_{\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))} u\le\inf\limits_{\Omega\times(0,T)} u
  \le\sup\limits_{\Omega\times(0,T)} u\le\sup\limits_{\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))}u,\] wobei \[\mathcal
  P(\Omega\times(0,T)):=(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times[0,T])\] der parabolische Rand des Gebietes
  $\Omega\times(0,T)$ ist.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus Theorem \ref{stark mp parab}, kann aber auch
  direkt mit einem einfacheren Beweis -- \"ahnlich wie das elliptische
  Maximumprinzip -- gezeigt werden. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{parab mp} sind L\"osungen
  von $Lu=0$ eindeutig durch ihre Werte auf $(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times[0,T])$ bestimmt.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende das Maximumprinzip auf die Differenz von zwei L\"osungen an. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Maximumprinzip auf $\R^n$]
  Sei $0<T<\infty$ und \[u\in C^2\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^0\left(\R^n\times[0,T]\right).\] L\"ost $u$ das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u &\text{in }\R^n\times(0,T),\\
    u=g &\text{auf }\R^n\times\{0\}
  \end{cases}
  \]
  und gibt es Konstanten $a,\,A>0$, so dass \[u(x,t)\le A\cdot
  e^{a|x|^2}\] ist, so gilt \[\sup\limits_{\R^n\times[0,T]}
  u=\sup\limits_{\R^n} g.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, $u\le\sup g$ auf einem kleinen Zeitintervall $(0,T)$ zu
  zeigen, so dass $4aT<1$ gilt. Wir nehmen daher ohne Einschr\"ankung
  $4aT<1$ an. W\"ahle $\epsilon>0$, so dass $4a(T+\epsilon)<1$ gilt
  und definiere $\gamma>0$ durch
  $\frac1{4(T+\epsilon)}=a+\gamma$. F\"ur $y\in\R^n$ und $\mu>0$
  definieren wir \[v(x,t):=u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}
  \cdot \exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T+\epsilon-t)}\right).\]
  \textbf{Behauptung:} Es gilt $\dot v=\Delta v$. \par Daf\"ur
  gen\"ugt es, nachzuweisen,
  dass \[w=(T-t)^{-n/2}\cdot\exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}\right)\]
  die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt. (Man k\"onnte auch $y=0$
  annehmen.) Wir bemerken, dass dies (bis auf unwichtige Konstanten)
  gerade die Fundamentall\"osung der W\"armeleitungsgleichung ist. Es
  gilt
  \begin{align*}
    \dot w=&\,\frac n2(T-t)^{-n/2-1}\cdot \exp(\ldots)
    +(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot\frac{|x-y|^2}{4(T-t)^2},\umbruch\\
    w_i=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2(x-y)_i}{4(T-t)},\umbruch\\
    w_{ij}=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot \frac{2(x-y)_i}{4(T-t)}
    \cdot\frac{2(x-y)_j}{4(T-t)}\\ &\,+(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2\delta_{ij}}{4(T-t)},\umbruch\\ \dot w-\Delta
    w=&\,\exp(\ldots)\cdot(T-t)^{-n/2-1}\cdot\left\{\frac n2
      +\frac{|x-y|^2}{4(T-t)} -\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}
      -\frac12\delta^{ij}\delta_{ij}\right\}=0.
  \end{align*}
  Setze $r:=|x-y|$ und betrachte $v$ f\"ur gro\ss{}e Werte von $r$. Es
  gilt 
  \begin{align*}
    v(x,t)=&\,u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon-t)}}\umbruch\\ \le&\,Ae^{a|x|^2}
    -\frac\mu{(T+\epsilon)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon)}}\umbruch \intertext{nach
      Voraussetzung an $u$ und da beide Faktoren einzeln durch
      Weglassen von $t$ kleiner werden}\umbruch \le&\,A\cdot
    e^{a(|y|+r)^2} -\mu(4(a+\gamma))^{n/2}\cdot e^{(a+\gamma)\cdot
      r^2}
  \end{align*}
  aufgrund der Dreiecksungleichung und nach Definition von $\gamma$.
  F\"ur $r\gg1$ wird dies beliebig klein, insbesondere kleiner als
  $\sup g$. Somit ist $v\le\sup g$ auf $\partial B_R(y)\times(0,T)$,
  falls $R\gg1$ gro\ss{} genug ist. Weiterhin gilt aber $v\le\sup g$ in
  $\R^n\times\{0\}$. Aufgrund des parabolischen Maximumprinzips folgt
  also \[v\le\sup g\quad\text{in }B_R(y)\times(0,T).\] Wie wir oben
  gesehen haben gilt diese Ungleichung aber auch au\ss{}erhalb von
  $B_R(y)$. Also erhalten wir \"uberall \[v\le\sup g.\] $R$ h\"angt
  zwar von $\mu$ ab, aber die obige Absch\"atzung ist von $R$
  unabh\"angig. Lasse also $\mu\searrow0$. Es folgt \[u\le\sup g.\]
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit mit Energieabsch\"atzungen]
  \label{energie eind thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Dann gibt es h\"ochstens eine L\"osung $u\in
  C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ des Randwertproblems 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=g&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)),
  \end{cases}
  \]
  wobei wiederum $\mathcal P(\Omega\times(0,T)):=(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times(0,T))$ der parabolische Rand ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Differenz $w$ zweier solcher L\"osungen erf\"ullt 
  \[
  \begin{cases}
    \dot w=\Delta w&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    w=0&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)).
  \end{cases}
  \]
  Definiere \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t),\quad 0\le t\le T.\]
  Es gilt \[\frac d{dt}e(t)=2\int\limits_\Omega w\cdot\dot w
  =2\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w =-2\int\limits_\Omega|Dw|^2\le
  0.\] Damit ist $e(t)\le e(0)=0$ und wir erhalten $w=0$ in
  $\Omega\times[0,T]$. 
\end{proof}

Da die W\"armeleitungsgleichung die Entwicklung der
Temperaturverteilung unter idealisierten Bedingungen beschreibt,
besagt das folgende Theorem, dass die gleiche Temperaturverteilung am
Ende nur entstehen kann, wenn diese Verteilung auch schon am Anfang
gleich war.
\begin{theorem}[R\"uckw\"artige Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und $0<T<\infty$. Seien $u$ und $\tilde u$ glatte L\"osungen
  von 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u,\quad \dot{\tilde u}=\Delta\tilde u&\text{in
    }\Omega\times(0,T),\\ u=g,\quad \tilde u=g&\text{auf
    }\partial\Omega\times(0,T). 
  \end{cases}
  \]
  (Die Randbedingung wird also nur an den \glqq seitlichen\grqq{} Rand
  gestellt.) \par Gilt $u(x,T)=\tilde u(x,T)$ f\"ur $x\in\Omega$, so
  folgt $u\equiv\tilde u$ in $\Omega\times(0,T)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $w:=u-\tilde u$ und \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t).\] Wie
  im Beweis von Theorem \ref{energie eind thm} folgt
  \begin{align*}
    \dot e(t)=&\,-2\int\limits_\Omega|Dw|^2\umbruch
    \intertext{und daraus ergibt sich}
    \ddot e(t)=&\,-4\int\limits_\Omega \langle Dw,D\dot w\rangle 
    =4\int\limits_\Omega\Delta w\cdot\dot w
    =4\int\limits_\Omega(\Delta w)^2, 
  \end{align*}
  denn aufgrund der Randbedingung ist $\dot w=0$ auf $\partial\Omega$
  und wir d\"urfen ohnen Randterm integrieren.  Wegen $w=0$ auf
  $\partial\Omega\times(0,T)$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_\Omega|Dw|^2 =&\,-\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w
    \le\left(\,\,\int\limits_\Omega w^2\right)^{1/2}\cdot
    \left(\,\,\int\limits_\Omega(\Delta w)^2\right)^{1/2}\umbruch
    \intertext{und somit}\umbruch
    (\dot e(t))^2=&\,4\left(\,\,\int\limits_\Omega|Dw|^2\right)^2
    \le4\int\limits_\Omega w^2\cdot\int\limits_\Omega(\Delta w)^2
    =e(t)\cdot\ddot e(t).
  \end{align*}
  Falls die Behauptung nicht gilt, gibt es $[t_1,t_2]\subset[0,T]$
  mit \[e(t)>0\quad\text{f\"ur }t_1\le t<t_2\quad\text{und
  }e(t_2)=0.\] Definiere \[f(t):=\log e(t)\quad\text{f\"ur }t_1\le
  t<t_2.\] Wir erhalten
  \[\dot f=\frac{\dot e}e\quad\text{und}\quad
  \ddot f=\frac{e\ddot e-(\dot e)^2}{e^2}\ge0\] aufgrund der obigen
  Rechnung. Dies bedeutet, dass $f$ im Intervall $(t_1,t_2)$ konvex
  ist. Somit gilt insbesondere \[f((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  (1-\tau)f(t_1)+\tau f(t)\] f\"ur $t_1<t<t_2$ und $0\le\tau\le1$. Wir
  wenden die Exponentialfunktion auf diese Ungleichung an und erhalten
  nach Definition von $f$ \[e((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  e(t_1)^{1-\tau}\cdot e(t)^\tau.\] Da die Funktion $e$ samt ihren
  Ableitungen f\"ur glatte L\"osungen in $t$ stetig ist, erhalten
  wir \[0\le e((1-\tau)t_1+\tau t_2) \le e(t_1)^{1-\tau} \cdot
  e(t_2)^\tau.\] Da aber $e(t_2)=0$ ist, folgt $e=0$ in ganz
  $(t_1,t_2)$. Widerspruch. 
\end{proof}

\section{Die Wellengleichung}
\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$, und $0<T<\infty$. Sei $u\in
  C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung des
  Anfangswertproblems 
  \[
  \begin{cases}
    u_{tt}-\Delta u=f&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=g&\text{auf }(\partial\Omega\times(0,T)) \cup(\Omega\times\{0\}),\\
    u_t=h&\text{auf }\Omega\times\{0\}. 
  \end{cases}
  \]
  Dann ist $u$ die einzige L\"osung mit dieser Differenzierbarkeit.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\tilde u$ eine weitere solche L\"osung. Definiere $w:=u-\tilde
  u$ und die Energie \[e(t):=\frac12\int\limits_\Omega w_t^2(x,t)
  +|Dw(x,t)|^2\,dx\] f\"ur $0\le t<T$. Es gilt mit partieller
  Integration und aufgrund der Differentialgleichung \[\frac d{dt}e(t)
  =\int\limits_\Omega w_t\cdot w_{tt} +\langle Dw,Dw_t\rangle\,dx
  =\int\limits_\Omega w_t(w_{tt}-\Delta w)\,dw=0.\] Randterme treten
  bei der partiellen Integration nicht auf, denn aus $w=0$ auf
  $\partial\Omega\times(0,T)$ folgt dort auch $w_t=0$. Somit gilt
  $e(t)=e(0)=0$ aufgrund der gleichen Anfangsdaten; es ist
  $w(\cdot,0)=0$. Wir erhalten $w_t=0$ und $Dw=0$. Also folgt $w=0$
  und daher $u=\tilde u$.
\end{proof}

\begin{theorem}[Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit]
  Sei $u\in C^2$ eine L\"osung von \[u_{tt}-\Delta u=0\quad\text{in
  }\R^n\times(0,\infty).\] Sei $x_0\in\R^n$ und sei $t_0>0$. Gilt
  $u\equiv u_t\equiv 0$ in $B_{t_0}(x_0)\times\{0\}$, so folgt
  $u\equiv 0$ im Kegel \[C:=\{(x,t)\,:\,0\le t\le t_0,\, |x-x_0|\le
  t_0-t\}.\]   
\end{theorem}
Durch Betrachten der Differenz erhalten wir: Besitzen zwei L\"osungen
(entsprechender Regularit\"at)
gleiche Anfangswerte in $B_{t_0}(x_0)$, so stimmen diese in $C$
\"uber\-ein. 
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere
  \[e(t):=\frac12\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)} u_t^2(x,t)
  +|Du(x,t)|^2\,dx\] f\"ur $0\le t\le t_0$.  Das Integrationsgebiet
  ist zeitabh\"angig. Daher benutzt man zum Differenzieren
  beispielsweise \[\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)}\ldots
  =\int\limits_0^{t_0-t}\int\limits_{\partial B_\rho(x_0)}\ldots\,
  d\mathcal H^{n-1}\,d\rho.\] Es gilt f\"ur $0\le t\le t_0$ 
  \begin{align*}
    \frac d{dt}e(t) =&\,\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)} u_tu_{tt}
    +\langle Du,Du_t\rangle -\frac12\int\limits_{\partial
      B_{t_0-t}(x_0)} \left(u_t^2+|Du|^2\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_{t_0-t}(x_0)}u_t(u_{tt}-\Delta u)
    +\int\limits_{\partial B_{t_0-t}(x_0)} \fracp u\nu u_t
    -\frac12\int\limits_{\partial
      B_{t_0-t}(x_0)}\left(u_t^2+|Du|^2\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{\partial B_{t_0-t}(x_0)} \left(\fracp u\nu u_t
    -\frac12u_t^2 -\frac12|Du|^2\right)\le0,\umbruch
    \intertext{denn es gilt}
    \left|\fracp u\nu u_t\right|\le&\,|Du|\cdot|u_t|
    \le\frac12|u_t|^2 +\frac12|Du|^2. 
  \end{align*}
  Somit ist $e(t)\le0$ f\"ur alle $0\le t<t_0$. Wie im 
  letzten Beweis gelten daher $u_t=0$ und $Du=0$ in $C$. Somit folgt
  in der Menge $C$ die Behauptung $u=0$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{appendix}
  \section{Divergenzsatz}
  \begin{theorem}[Divergenzsatz]
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega$
    von der Klasse $C^1$, $\xi\in C^1\left(\ol\Omega,\R^n\right)$.
    Dann gilt
    $$\int\limits_\Omega\divergence\xi=
    \int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.$$
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]\neueZeile
    \begin{enumerate}[a)]
    \item Wir schreiben $x=(\hat x,x^n)$ mit $\hat
      x=(x^1,\ldots,x^{n-1})$. Sei $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$,
      $f\in C^1\left(\R^n\right)$. Es gilt f\"ur $i<n$
      $$D_i\int\limits_0^{\phi(\hat x)}f(\hat x,x^n)\,dx^n=
      \int\limits_0^{\phi(\hat x)}D_if(\hat x,x^n)\,dx^n+f(\phi(\hat
      x),x^n)D_i\phi(\hat x).$$
    \item $\divergenz\xi:=D_i\xi^i$ ist unter linearen invertierbaren
      Transformationen und Translationen invariant.\par Dies ist f\"ur
      Translationen klar. \par Sei $\tilde x^j=a^j_ix^i$ eine lineare
      Transformation. Dann gilt $\fracp{\tilde x^j}{x^i}=a^j_i$ und
      $\tilde\xi^j=a^j_i\xi^i$. Wir erhalten
      \begin{align*}
        \fracp{}{\tilde x^i}\tilde\xi^i=&\,\fracp{x^k}{\tilde
          x^i}\fracp{}{x^k}\left(a^i_l\xi^l\right)\\
        =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}a^i_l\fracp{}{x^k}\xi^l,\quad
        \text{da $a^i_k$ ortsunabh\"angig}\\
        =&\,\fracp{x^k}{\tilde x^i}\fracp{\tilde x^i}{x^l}
        \fracp{}{x^k}\xi^l\\
        =&\,\delta^k_l\fracp{}{x^k}\xi^l\quad\text{(Kettenregel)}\\
        =&\,\fracp{}{x^k}\xi^k=\divergenz\xi.
      \end{align*}
    \item \"Uberdecke $\ol\Omega$ durch endlich viele offene Mengen
      $V_i$, so dass jede dieser Mengen entweder ganz in $\Omega$
      liegt oder einer Menge $U$ wie folgt enthalten ist:\par Nach
      einer geeigneten Rotation gibt es ein offenes und beschr\"anktes
      $\Sigma\subset\R^{n-1}$, so dass $U=\Sigma\times(0,2)$. Es gibt
      $\phi\in C^1\left(\R^{n-1}\right)$, $\frac12\le\phi\le\frac32$,
      mit $\{(\hat x,x^n):x^n<\phi(\hat x),\,\hat x\in\Sigma\}
      =U\cap\Omega$, $\{(\hat x,x^n):x^n=\phi(\hat x),\,\hat
      x\in\Sigma\} =\graph\phi|_\Sigma =U\cap\partial\Omega$, $\{(\hat
      x,x^n):x^n>\phi(\hat x),\,\hat
      x\in\Sigma\}=U\cap\complement\Omega$.
    \item Sei $\eta_i$ eine endliche, $\{V_i\}$ und
      $\complement\ol\Omega$ untergeordnete Zerlegung der
      Eins. (Existenzbeweis \"uber $C^\infty_c$-Funktionen, die auf
      $B_1(0)$ positiv und au\ss{}erhalb von $B_2(0)$ gleich $0$ sind
      und mit Hilfe der Lebesgue-Zahl.)
    \item Reduktion auf Vektorfelder $\xi$ mit Tr\"ager in einem
      $V_i$:
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi
        =&\,\int\limits_\Omega\divergenz
        \left(\xi\sum\limits_{i=1}^N\eta_i\right)\umbruch\\
        =&\,\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_\Omega\divergenz(\xi\eta_i)
        =\sum\limits_{i=1}^N\int\limits_{V_i\cap\Omega}\divergenz(\xi\eta_i).
      \end{align*}
      Nehme nun an, dass der Divergenzsatz auf Gebieten $U$ wie oben
      schon gezeigt sei. Dann folgt, da $\xi\eta_i$ auf
      $(\partial\Sigma\times[0,2]) \cup(\Sigma\times\{0\})
      \cup(\Sigma\times\{2\})$ verschwindet,
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi =&\,\sum\limits_{i=1}^N
        \int\limits_{V_i\cap\partial\Omega}
        \langle\xi\eta_i,\nu\rangle\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{\partial\Omega} \sum\limits_{i=1}^N\eta_i
        \langle\xi,\nu\rangle =\int\limits_{\partial\Omega}
        \langle\xi,\nu\rangle.
      \end{align*}
    \item Wir d\"urfen also annehmen, dass $\xi$ kompakten Tr\"ager in
      $U$ hat.  Wir benutzen schlie\ss{}lich den Hauptsatz der
      Differential- und Integralrechnung, dass das Volumenma\ss{} auf
      $\partial\Omega$ lokal durch $\sqrt{1+|D\phi|^2}d\hat x$ gegeben
      ist, dass $\frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}$ die
      \"au\ss{}ere Einheitsnormale an $\partial\Omega$ ist und
      $\supp\xi\Subset U$.
      \begin{align*}
        \int\limits_\Omega\divergenz\xi=&\,\int\limits_\Omega
        D_i\xi^i\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
          x)} D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat x)}
        \sum\limits_{i=1}^{n-1}D_i\xi^i\,dx^n\,d\hat x
        +\int\limits_\Sigma\int\limits_0^{\phi(\hat
          x)}D_n\xi^n\,dx^n\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\sum\limits_{i=1}^{n-1}
        \int\limits_\Sigma\left\{D_i\int\limits_0^{\phi(\hat
            x)}\xi^i(\hat x,x^n)\,dx^n -\xi^i(\hat x,\phi(\hat
          x))D_i\phi(\hat x)\right\}d\hat x\\
        &\,+\int\limits_\Sigma\xi^n(\hat x,\phi(\hat
        x))-0\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\xi^i(\hat
        x,\phi(\hat x))D_i\phi(\hat x) +\xi^n(\hat x,\phi(\hat
        x))\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_\Sigma\left\langle\xi(\hat x,\phi(\hat x)),
          \frac{(-D\phi,1)}{\sqrt{1+|D\phi|^2}}\right\rangle
        \sqrt{1+|D\phi|^2}\,d\hat x\umbruch\\
        =&\,\int\limits_{\partial\Omega\cap U}\langle\xi,\nu\rangle
        =\int\limits_{\partial\Omega}\langle\xi,\nu\rangle.
      \end{align*}
    \end{enumerate}
  \end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \section{H\"olderr\"aume}
  Die im folgenden definierten R\"aume
  $C^{\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ und
  $C^{\cdot,\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ sind Banachr\"aume.
  \begin{definition}[H\"olderr\"aume]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$. Es ist
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$, falls $u$ sich stetig bis
    zum Rand fortsetzen l\"a\ss{}t und
    $$\Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}:=\sup\limits_{x\in\Omega}|u|<\infty.$$
  \item $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$, falls $D^\alpha
    u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ f\"ur alle $|\alpha|\le k$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}:= \sum\limits_{|\alpha|\le
      k}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha u| <\infty.$$
  \item $u\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $0\le\alpha\le 1$,
    falls $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}
    \equiv \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$,
    $0\le\alpha\le 1$, falls $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}
    +\sum\limits_{|\alpha|=k}\left[D^\alpha
      u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}(\Omega)$, $k\in\N$, $0\le\alpha\le1$, falls
    $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol{\Omega'}\right)$ f\"ur alle
    $\Omega'\Subset\Omega$. $C^{k,\alpha}(\Omega)$ ist kein
    Banachraum.
  \end{enumerate}
  F\"ur $0<\alpha<1$ hei\ss{}en die R\"aume $C^{k,\alpha}$
  H\"olderr\"aume. $\Vert\cdot\Vert_{C^{k,\alpha}}$ hei\ss{}t
  H\"oldernorm, $[\cdot]_{C^{0,\alpha}}$ hei\ss{}t H\"olderhalbnorm.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R$ mit $\Omega=(-1,1)$ und $0<\alpha<1$. Dann ist
  $u(x):=|x|^\alpha$ h\"olderstetig. Es ist $u\in
  C^{0,\alpha}(\Omega)$.
\end{beispiel}

\section{Zerlegung der Eins}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Familie $(U_i)_{i\in I}$ mit $U_i\subset\R^n$ hei\ss{}t
    \"Uberdeckung einer Menge $\Omega\subset\R^n$, falls
    $\Omega\subset\bigcup\limits_{i\in I}U_i$ gilt. 
  \item Seien $(U_i)_{i\in I}$ und $(V_j)_{i\in J}$
    \"Uberdeckungen. Dann hei\ss{}t $(V_j)_{j\in J}$ Verfeinerung von
    $(U_i)_{i\in I}$, falls es f\"ur jedes $j\in J$ ein $i\in I$ gibt,
    so dass $V_j\subset U_i$ ist. 
  \item Sei $(U_i)_{i\in I}$, $U_i\subset\R^n$, eine
    \"Uberdeckung. Dann hei\ss{}t die \"Uberdeckung lokal endlich,
    wenn es f\"ur jeden Punkt $x\in\R^n$ ein $r>0$ gibt, so dass
    \[B_r(x)\cap U_i\neq\emptyset\] nur f\"ur h\"ochstens endlich
    viele $i\in I$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In diesem Kapitel werden wir nur \"Uberdeckungen durch offene
    Mengen betrachen ohne die Offenheit jeweils neu zu fordern. 
  \item Wie beschr\"anken uns hier in der Darstellung auf Teilmengen
    des $\R^n$. Auch in parakompakten R\"aumen (in denen nach
    Definition offene \"Uberdeckungen lokal endliche Verfeinerungen
    besitzen) gibt es Zerlegungen der Eins. Mannigfaltigkeiten sind
    parakompakte R\"aume.
  \item Da wir hier nur Teilmengen des $\R^n$ betrachten, konstruieren
    wir stets glatte Zerlegungen der Eins.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{C infty c lem}
  Es gibt $u\in C^\infty_c\left(\R^n\right)$ mit $0\le u$, $u>0$ in
  $\ol{B_1(0)}$ und $\supp u\Subset B_2(0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Definiere \[u(x):=
  \begin{cases}
    e^{-\frac1{2-|x|^2}}, &|x|<\sqrt 2,\\ 0&\text{sonst.}
  \end{cases}\]
  Per Induktion sieht man, dass alle partiellen Ableitungen von $u$ in
  $B_{\sqrt2}(0)$ von der Form
  $\frac{P\left(x^1,\ldots,x^n\right)}{(2-|x|^2)^k}u(x)$ f\"ur ein
  geeignetes $k\in\N$ und eine Polynom $P$ sind. Daher ist $u\in
  C^\infty_c\left(\R^n\right)$. Die anderen Behauptungen sind klar.   
\end{proof}

\begin{lemma}\label{ueberdeck lem}
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine \"Uberdeckung des $\R^n$. Dann gibt es
  Folgen $x_k\in\R^n$ und $r_k>0$, $k\in\N$, so dass
  $(B_{r_k}(x_k))_{k\in\N}$ und $(B_{2r_k}(x_k))_{k\in\N}$ der
  \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete lokal endliche
  Verfeinerungen und \"Uberdeckungen des $\R^n$ sind.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x\in\R^n$ beliebig. Da die Mengen $U_i$ den gesamten $\R^n$
  \"uberdecken und offen sind, gibt es ein $r=r(x)>0$ mit $r(x)\le 1$
  und ein $i\in I$, so dass $B_{2r(x)}(x)\subset U_i$ ist. Alle diese
  B\"alle \"uberdecken den $\R^n$. \par
  Definiere f\"ur $k\in\N$ die Annuli $A_k:=\ol{B_k(0)}\setminus
  B_{k-1}(0)$. Diese sind kompakt. Somit gibt es f\"ur jedes $k$
  endlich viele B\"alle $B_{r(x)}(x)$, die $A_k$
  \"uberdecken. Die Folge aller hier ausgew\"ahlten Punkte $x_l$ und
  Radien $r_l$ leistet das Gew\"unschte. 
\end{proof}

\begin{definition}[Zerlegung der Eins]
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine \"Uberdeckung von $A\subset\R^n$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Zerlegung der Eins (zur Menge $A$) ist eine Familie
    $(\eta_j)_{j\in J}$ von Funktionen $\eta_j:\R^n\to\R$ mit
    $0\le\eta_j$ f\"ur alle $j\in J$ und \[\sum\limits_{j\in
      J}\eta_j(x)=1\] f\"ur alle $x\in A$.
  \item Eine Zerlegung der Eins $(\eta_j)_{j\in J}$ hei\ss{}t glatt,
    falls $\eta_j\in C^\infty\left(\R^n\right)$ f\"ur alle $j\in J$
    gilt.
  \item Eine Zerlegung der Eins $(\eta_j)_{j\in J}$ hei\ss{}t der
    \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnet, wenn es f\"ur jedes
    $j\in J$ ein $i\in I$ gibt, so dass $\supp\eta_j\subset U_i$ ist. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{zerl eins thm}
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung des $\R^n$, d.\,h.{}
  eine \"Uberdeckung durch offene Mengen. Dann gibt
  es eine glatte, der \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete
  Zerlegung der Eins. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $B_{r_k}(x_k)$ eine Folge von B\"allen wie in Lemma
  \ref{ueberdeck lem}. Wir definieren $C^\infty_c$-Funktionen
  \[\tilde\eta_k(x):=u\left(\frac{x-x_k}{r_k}\right),\] wobei $u$ wie
  in Lemma \ref{C infty c lem} ist. Nach Konstruktion gibt es zu jedem
  $k\in N$ ein (nicht notwendigerweise eindeutig bestimmtes) $i\in I$,
  so dass $\supp\tilde\eta_k(x)\subset U_i$ ist. F\"ur festes $i\in I$
  summieren wir alle diese Funktionen $\tilde\eta_k$ auf und erhalten
  Funktionen $\hat\eta_i$. Aufgrund der lokalen Endlichkeit der
  \"Uberdeckung sind diese Summen glatt und erf\"ullen alle
  geforderten Eigenschaften bis auf die Normierung. Daher definieren
  wir \[\eta_i(x):=\frac{\hat\eta_i(x)}{\sum\limits_{i\in
      I}\hat\eta_i(x)}\] und erhalten $\sum\limits_{i\in
    I}\eta_i\equiv 1$ in $\R^n$. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $A\subset\R^n$ abgeschlossen und $(U_i)_{i\in I}$ eine offene
  \"Uberdeckung von $A$. Dann existiert eine der \"Uberdeckung
  $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete Zerlegung der Eins zur Menge $A$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $U_0:=\R^n\setminus A$. Dann \"uberdecken $U_0$ und
  $(U_i)_{i\in I}$ den
  gesamten $\R^n$. Seien $\eta_0$ und $(\eta_i)_{i\in I}$ die in
  Theorem \ref{zerl eins thm} zu dieser \"Uberdeckung konstruierten
  Funktionen. Dann bilden $(\eta_i)_{i\in I}$ die geforderte
  Zerlegung der Eins zur Menge $A$. 
\end{proof}

\end{appendix}

\phantom{\cite{EvansPDE,GT,JostPDE,FritzJohnPDE,ProtterWeinberger,AdamsSobolev}}
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\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
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  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

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\end{document}
