% 
% Partielle Differentialgleichungen 1a 
% Oliver Schn\"urer
%
% FU Berlin, Winter 2004/2005 
% Konstanz, Sommer 2013, Sommer 2017
%
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   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Partielle Differentialgleichungen Ia}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Mathematik, Universit\"at Konstanz}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeehome{@uni-konstanz.de}
%\email{Oliver.Schnuerer\amSeehome}
%\thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank insbesondere an 
  Daniel Bartl, 
  Friederike Dittberner, 
  Anja Grabow,
  Stefan H\"olle, 
  Felix Jachan,
  Wolfgang Maurer,
  Thilo Notz,
  David Palosch und 
  Lena Reichle
  f\"ur zahlreiche Korrekturen und an 
  Elisabeth Greiler 
  f\"ur das Setzen einiger Abschnitte.}


% General info
\subjclass[2000]{35-01, 35J25, 35K20}
% 35-xx Partial differential equations 35-01 Instructional exposition
% (textbooks, tutorial papers, etc.)  35A05 General existence and
% uniqueness theorems 35A08 Fundamental solutions 35A15 Variational
% methods 35B05 General behavior of solutions of PDE (comparison
% theorems; oscillation, zeros and growth of solutions; mean value
% theorems) 35B45 A priori estimates 35B50 Maximum principles 35B65
% Smoothness and regularity of solutions of PDE 35C05 Solutions in
% closed form 35J05 Laplace equation, reduced wave equation
% (Helmholtz), Poisson equation [See also 31Axx, 31Bxx] 35K05 Heat
% equation
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{$L^2$-Theorie, Eigenwerte, Laplace, Maximumprinzip}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu 
  Partielle Differentialgleichungen Ia. Basierend auf Vorlesungen/Ben\"utzt
  \begin{itemize}
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Wintersemester 2004/5,
  \item an der Universit\"at Konstanz im Sommersemester 2013 und 2017. 
  \end{itemize}
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents

% \mainmatter

\section{A priori Absch\"atzungen f\"ur L\"osungen der
  W\"armeleitungsgleichung}
Die n\"achsten Kapitel besch\"aftigen sich mit Anwendungen des
parabolischen Maximumprinzips. 

\subsection{Globale Absch\"atzungen} Mit Hilfe der Darstellungsformel
k\"onnen wir eine L\"o\-sung der W\"armeleitungsgleichung explizit
hinschreiben. Daraus folgen auch Darstellungsformeln f\"ur
Ableitungen, die es erlauben, Schranken f\"ur die Ableitung
herzuleiten. Eleganter und auch leichter auf andere Gleichungen
\"ubertragbar ist jedoch die folgende Methode, solche Absch\"atzungen
herzuleiten.

\begin{theorem}
  \label{LsWrGl}
  Sei $u: C^\infty \left(\R^n \times(0,\infty)\right) \cap L^\infty
  \left( \R^n \times [0,\infty)\right)$ eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung
  \[\dot{u}=\Delta u \quad \text{in } \R^n \times (0,\infty)\]
  mit $u(x + p, t) = u(x,t)$ f\"ur alle $(x,t)\in \R^n \times
  [0,\infty)$ und alle $p\in \Z^n$, also eine periodische
  L\"osung. Dann gilt
  \[|Du(x,t)|\le\frac{1}{\sqrt t}\Vert u \Vert _{L^\infty\left(\R^n
      \times\{0\}\right)}\] f\"ur $(x,t)\in
  \R^n\times(0,\infty)$.
\end{theorem}
Die Periodizit\"at haben wir nur angenommen, um das Maximumprinzip
anwenden zu k\"onnen. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon >0$. Wir definieren
  \[ w_\epsilon(x,t):=u^2(x,t)+(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\] f\"ur
  $(x,t)\in \R^n\times[\epsilon, \infty)$. Die Konstante $\epsilon$
  ben\"otigen wir nur, da $t\cdot|Du(x,t)|^2$ f\"ur $t$ nahe $0$
  unbeschr\"ankt werden k\"onnte.
  \par
  Wir behaupten, dass
  \begin{equation}
    \label{w mp anw gl}
    w_\epsilon(x,t) \le \max_{\R^n\times\{\epsilon\}} w_\epsilon
    \le\Vert u \Vert_{L^\infty\left(\R^n\times[0,\infty)\right)}
    \le\Vert u\Vert_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}
  \end{equation}
    f\"ur $(x,t)\in \R^n\times [\epsilon, \infty)$ gilt. Die zweite
    Ungleichung ist offensichtlich, die dritte eine direkte Folgerung
    aus dem Maximumprinzip. Hieraus folgt:
  \[(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\le
  u^2(x,t)+(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\le\Vert
  u\Vert^2_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}\] und somit
  \[|Du(x,t)|\le\frac{1}{\sqrt{t-\epsilon}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}\] f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times (\epsilon,\infty)$. (Man sieht, dass wir f\"ur
  $u^2(x,t)$ nahe bei $\Vert u\Vert^2_{L^\infty}$ eine bessere
  Absch\"atzung bekommen k\"onnten.) Mit $\epsilon\searrow 0$ erhalten
  wir hieraus die Behauptung des Theorems. \par
  Wir beweisen nun Behauptung \eqref{w mp anw gl}: Dazu berechnen wir
  $\dot{w}_\epsilon - \Delta w_\epsilon$. Es gilt
  \begin{align*}
    w_\epsilon(x,t)=&\,u^2(x,t)
    +(t-\epsilon)\left|Du(x,t)\right|^2,\umbruch\\ 
    \dot{w}_\epsilon=&\,2
    u\,\dot{u}+\left|Du\right|^2+2(t-\epsilon)u^k\,\dot u_k,\umbruch\\ 
    w_{\epsilon i}=&\,2u\, u_i +2(t-\epsilon)u^k\,u_{ki},\umbruch\\
    w_{\epsilon ij}=&\,2u\,u_{ij}+2u_i\,u_j+2(t-\epsilon)u^ku_{kij}
    +2(t-\epsilon)u^k_ju_{ki},\umbruch\\
    \dot{w}_\epsilon-\Delta\,w_\epsilon=&\,2\,u(\dot{u}-\Delta u)
    +\left|Du\right|^2-2\left|Du\right|^2+2(t-\epsilon)\,u^k
    (\dot{u}-\Delta u)_k\\
    &\,-2(t-\epsilon)\left|D^2u\right|^2\umbruch\\
    \le&\,0.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $u$ eine periodische L\"osung der W\"armeleitungsgleichung auf
  $\R^n$ wie in Theorem \ref{LsWrGl}. Sei $t_0\ge0$. Dann
  gilt
  \[\left|D^2u(x,t)\right|\le\frac{1}{\sqrt{t-t_0}}\Vert
  Du\Vert_{L^\infty\left(\R^n\times\{t_0\}\right)}\]
  f\"ur alle $(x,t)\in \R^n\times(t_0,\infty)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte
  \[w(x,t):=\left|Du(x,t)\right|^2+(t-t_0)\cdot\left|D^2u(x,t)
  \right|^2\] und argumentiere analog zum Beweis von Theorem
  \ref{LsWrGl}. Die Details dazu lassen wir als einfache \"Ubung.
  \par
  Alternativ kann man benutzen, dass jeder der Funktionen $u_k$,
  $k\in \{1,\ldots, n\}$, die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt,
  Theorem \ref{LsWrGl} anwenden und die resultierenden
  Absch\"atzungen aufsummieren.
\end{proof}
Entsprechende Verallgemeinerungen gelten auch f\"ur h\"ohere
Ableitungen. Kombiniert man mehrere solche Absch\"atzungen, so folgt
f\"ur $(x,t)\in\R^n\times(0,\infty)$, $m\in\N_{>0}$ und
$\tau:=\nicefrac tm$
\begin{align*}
  \left|D^mu(x,t)\right|=&\,\left|D^mu(x,m\tau)\right|\umbruch\\
  \le&\,\frac1{\sqrt\tau}\left\Vert D^{m-1}u\right\Vert_{L^\infty
    (\R^n\times\{(m-1)\tau\})}\umbruch\\ 
  \le&\,\frac1{{\sqrt\tau}^2}\left\Vert D^{m-2}u
  \right\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{(m-2)\tau\})}\umbruch\\ 
  \le&\,\ldots\le\frac1{\tau^{m/2}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{0\})}=\frac{m^{\nicefrac
      m2}}{t^{\nicefrac m2}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{0\})}. 
\end{align*}

\subsection{Lokale Absch\"atzungen}
Als Vorbereitung f\"ur die lokalen Absch\"atzungen ben\"otigen wir 
\begin{lemma}
  Sei $\phi\in C^2_c\left(\R^n\right)$ mit $\phi\ge0$. Dann gilt in
  allen Punkten mit $\phi>0$
  \[\frac{\left|D\phi\right|^2}{\phi}\le2\Vert
  D^2\phi\Vert_{L^\infty}.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\epsilon>0$. Wir m\"ochten
  $\frac{\left|D\phi\right|^2}{\phi+\epsilon}$ beschr\"anken. Durch
  Einschr\"anken auf eine Gerade k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung
  $n=1$ annehmen. Sei \[w=\frac{\phi'^2}{\phi+\epsilon}.\] In einem
  Punkt, in dem $w$ maximal ist, gilt
  \[0=w'=\frac{2\phi'\phi''(\phi+\epsilon)-\phi'^2\phi'}
  {(\phi+\epsilon)^2}\] 
  und daher
  \[2\phi''=\frac{\phi'^2}{\phi+\epsilon}\] und somit $w\le2\left\Vert
  D^2\phi\right\Vert_{L^\infty} $. Mit $\epsilon\searrow0$ folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}[Innere Absch\"atzungen]
  Sei \[u\in C^3(B_R\times(0,T))\cap C^0(B_R\times[0,T]),\] mit
  $R,T>0$, eine L\"osung der W\"armeleitungsgleichung in
  $B_R\times(0,T)$. Sei $\phi\in C^2_c(B_R\times[0,T])$ mit
  $\phi\ge0.$ Definiere f\"ur $\lambda>0$
  \[w:=t\phi|Du|^2+\lambda u^2.\] Dann exisiert
  $\lambda_0=\lambda_0(T, \Vert\phi\Vert_{c^2})$, so dass f\"ur
  $\lambda\ge\lambda_0$
  \[\sup_{B_R\times[0,T]} w\le\sup_{\P(B_R\times(0,T))}w\]
  gilt. Insbesondere gilt also
  \[t\phi|Du|^2\le\lambda\cdot\Vert
  u\Vert^2_{L^\infty(\P(B_R\times(0,T)))}\] in $B_R\times[0,T].$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir lassen es wieder als \"Ubung,
  \[(t-\epsilon)\phi|Du|^2+\lambda u^2\] und sp\"ater den Grenzwert
  $\epsilon\searrow0$ zu betrachten und arbeiten wieder direkt mit
  $w$. Es gilt in Punkten mit $\phi>0$
  \begin{align*}
    w=&\,t\phi|Du|^2+\lambda u^2,\umbruch\\
    \dot w=&\,\phi|Du|^2+t\dot{\phi}|Du|^2+2t
    \phi u^k\dot{u}_k+2\lambda u\dot{u},\umbruch\\
    w_i=&\,t\phi_i |Du|^2+2t\phi
    u^ku_{ki}+2\lambda uu_i,\umbruch\\
    w_{ij}=&\,t\phi_{ij}|Du|^2+2t\phi_iu^ku_{kj}
    +2t\phi_ju^ku_{ki}\\
    &\,+2t\phi u^k_ju_{ki}+2t\phi u^ku_{kij}
    +2\lambda u_iu_j + 2\lambda uu_{ij},\umbruch\\
    \dot{w}-\Delta w=&\,\phi|Du|^2+t(\dot{\phi}-\Delta\phi)|Du|^2\\
    &\,+2t\phi u^k(\dot{u}-\Delta u)_k-4t\phi^i u^ju_{ij}\\
    &\,-2t\phi\left|D^2u\right|^2-2\lambda|Du|^2
    +2\lambda u(\dot{u}-\Delta u)\umbruch\\ 
    \le&\,\phi|Du|^2+tc(\phi)|Du|^2\\
    &\,+2t\phi\left|D^2u\right|^2+2t\frac{|D\phi|^2}{\phi}|Du|^2\\
    &\,-2t\phi\left|D^2u\right|^2-2\lambda|Du|^2\umbruch\\
    \le&\,(\phi+tc(\phi)-2\lambda)|Du|^2\le0,
  \end{align*}
  wobei wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung benutzt und
  $\lambda\ge\lambda_0(T,\Vert\phi\Vert_{C^2})$ angenommen haben.  In
  Punkten mit $\phi=0$ gilt wegen $D\phi=0$ ebenfalls
  \[\dot w-\Delta w\le tc(\phi)|Du|^2 -2\lambda|Du|^2 +2\lambda u(\dot
  u-\Delta u)\le0.\] Die Behauptung folgt nun aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}
Entsprechende Absch\"atzungen gelten auch f\"ur h\"ohere Ableitungen
von $u$.  

\section{$L^2$-Theorie}

\subsection{Variationeller Existenzbeweis}
In der Funktionalanalysis haben wir mit Hilfe des Satzes von
Lax-Milgram die Existenz einer schwachen L\"osung gezeigt. Hier
f\"uhren wir noch einen alternativen Existenzbeweis. 

Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.
Sei $f\in L^2(\Omega)$. Wir suchen eine schwache L\"osung $u\in
W^{1,2}$ von
\[\begin{cases}
  \Delta u=f &\text{in }\Omega,\\
  u=0&\text{auf }\partial\Omega, 
\end{cases}\] \dh ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$
mit \[\int\limits_\Omega \langle\nabla u,\nabla\phi\rangle
+f\phi=0\quad\text{f\"ur alle }\phi\in W^{1,2}_0(\Omega).\]
(Vergleiche dies mit der Definition der schwachen Ableitung. Auch hier
gen\"ugt es, die Gleichheit f\"ur $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ zu
fordern, da sie sonst durch Approximation folgt.)  Dazu wollen
wir \[I(u):=\int\limits_\Omega \tfrac12|\nabla u|^2+fu\] unter allen
Funktionen $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$ minimieren. \par
Sei $g\in W^{1,2}(\Omega)$. Minimiert man nun $I$ unter allen
Funktionen $u$ mit $u-g\in W^{1,2}_0(\Omega)$, so kann man auch noch
eine Randbedingung $u=g$ erhalten.

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u_k\schwachto
  u$ eine schwach konvergente Folge in $W^{1,2}_0(\Omega)$. Dann
  gilt \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega |\nabla u_k|^2
  \ge \int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Auf $W^{1,2}_0(\Omega)$ ist (die Wurzel von)
  $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$ eine zu $\int\limits_\Omega|\nabla
  u|^2+\int\limits_\Omega u^2$ \"aquivalente Norm und ist vom
  Skalarprodukt $\langle u,v\rangle =\int\limits_\Omega \langle \nabla
  u,\nabla v\rangle$ induziert. \par 
  Sei $X$ ein Banachraum und seien $\Vert\cdot\Vert_1$ und
  $\Vert\cdot\Vert_2$ zwei \"aquivalente Normen auf $X$. Dann
  konvergiert eine Folge genau dann schwach bez\"uglich der Norm
  $\Vert\cdot\Vert_1$, wenn sie bez\"uglich der Norm
  $\Vert\cdot\Vert_2$ schwach konvergiert: Da die Normen \"aquivalent
  sind, stimmen die stetigen Funktionale auf $X$ f\"ur beide Normen
  \"uberein. \par 
  Die Behauptung folgt nun aus der Unterhalbstetigkeit der Norm bei
  schwacher Konvergenz.
\end{proof}
Einfacher w\"are es, wenn wenn $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$
bez\"uglich der schwachen Topologie stetig w\"are, denn dann g\"alte
Gleichheit in \[\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
\underset{\text{i.\,a.}}\ne\int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
Unterhalbstetigkeit des Funktionals gen\"ugt jedoch um
einen Minimierer zu finden. 

Sei nun $(u_k)_k$, $u_k\in W^{1,2}_0(\Omega)$, eine Minimalfolge f\"ur
$I(u)$, \dh es gelte
\[\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k)= \inf\limits_{u\in
  W^{1,2}_0(\Omega)} I(u).\] Im folgenden werden wir h\"aufiger
$\int\limits_\Omega |\nabla u|^2\ge\lambda \int\limits_\Omega u^2$
f\"ur ein $\lambda=\lambda(\Omega)>0$ verwenden.

Zun\"achst wollen wir nachweisen, dass das betrachtete Infimum endlich
ist. Es gilt 
\[I(u)=\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +fu
\ge\frac12\lambda\int\limits_\Omega u^2 -\frac\epsilon2
\int\limits_\Omega u^2 -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\ge
-\frac1{2\epsilon}\Vert f\Vert^2_{L^2(\Omega)}>-\infty,\] falls
$\epsilon>0$ klein genug ist. \par
Mit einer analogen Rechnung k\"onnen wir die $W^{1,2}$-Norm der
$u_k$'s gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anken: Aufgrund der
Minimalfolgeneigenschaft gilt
\begin{align*}
  c\ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2+\int\limits_\Omega
  fu_k \ge\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon2\int\limits_\Omega u_k^2
  -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\umbruch\\
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon{2\lambda}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
  -\int\limits_\Omega\frac1{2\epsilon}f^2.
\end{align*}
Nun w\"ahlen wir $\epsilon>0$ klein und bringen den
$\int\limits_\Omega f^2$-Term auf die linke Seite. Die Behauptung
folgt. Aufgrund der \"Aquivalenz der Normen mit und ohne $L^2$-Term
auf $W^{1,2}_0$ ist auch $\int\limits_\Omega u_k^2$ gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt. \par
Nach Banach-Alaoglu besitzt $u_k$ also eine Teilfolge (wir benennen
nicht um), die in $W^{1,2}$ schwach gegen $u$ konvergiert. Nach
Definition ist $W^{1,2}_0$ ein abgeschlossener Unterraum von
$W^{1,2}$. Ein abgeschlossener Unterraum ist, wie man durch Testen mit
einem Vektor aus dem orthogonalen Komplement sieht, auch unter
schwacher Konvergenz abgeschlossen. Daher hat auch der Grenzwert $u$
wieder Randwerte Null. Da $W^{1,2}_0\Subset L^2$ ist, d\"urfen wir
weiterhin annehmen, dass diese Folge in $L^2(\Omega)$ (schwach) gegen
$u$ konvergiert. Somit ist
\begin{align*}
  \inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)} I(w)
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k) =\lim\limits_{k\to\infty}
  \left(\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
    +\int\limits_\Omega fu_k\right)\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  +\int\limits_\Omega fu
  \ge\liminf_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2 
  +\int\limits_\Omega fu\umbruch\\ 
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +\int\limits_\Omega fu
  =I(u)\ge\inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)}I(w)
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit. $u$ minimiert also $I$ in $W^{1,2}_0$
und die Euler-Lagrange-Gleichung besagt gerade, dass $u$ eine schwache
L\"osung ist: Sei $v\in W^{1,2}_0(\Omega)$. Wir erhalten
\begin{align*}
  0=&\,\left.\frac d{dt}I(u+tv)\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\frac d{dt}\left.\int\limits_\Omega\frac 12 \left(|\nabla u|^2
      +2t\langle\nabla u,\nabla v\rangle +|\nabla v|^2\right)
    +fu+tfv\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega\langle\nabla u,\nabla v\rangle +fv.
\end{align*}

Damit haben wir folgendes bewiesen:
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in L^2$. Dann
  gibt es ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$, das das
  Funktional \[I(u)=\int\limits_\Omega \frac12|\nabla u|^2+fu\]
  minimiert und $u$ ist eine schwache L\"osung von \[
  \begin{cases}
    \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
    u=0&\text{auf }\partial\Omega. 
  \end{cases}
  \]
\end{theorem}

\subsection{Regularit\"at}\label{reg L2}

\begin{remark}[Motivation]
Gelte $-\Delta u=f$ in $\R^n$. Sei $u$ glatt und falle im
Unendlichen schnell genug ab. Dann gilt
\begin{align*}
\int\limits_{\R^n}f^2=&\int\limits_{\R^n}(\Delta u)^2
=\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ii}u_{jj}
=-\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{iij}u_j\\
=&\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ij}u_{ij}
=\int\limits_{\R^n}\left\vert D^2u\right\vert^2.
\end{align*}
Somit folgt
$$\Vert f\Vert_{L^2}=\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^2}.$$
Das Problem dabei ist, dass wir benutzt haben, dass
$u\in C^3$ ist. Dies ist sp\"ater durch Absch\"atzungen
von Differenzenquotienten zu rechtfertigen.
Durch Differenzieren der Gleichung und \"ahnliche
Rechnungen kommt man auf Absch\"atzungen der Form
$$c\cdot\Vert Df\Vert_{L^2}\ge\left\Vert D^3u\right\Vert_{L^2}$$
mit entsprechenden Verallgemeinerungen f\"ur h\"ohere
Ableitungen. Wenn man dies lange genug fortsetzt, besteht die
Hoffnung, dass man mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungss\"atze
Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen in $L^p$ f\"ur $p\gg1$ und damit
dann H\"olderstetigkeit der Funktion $u$ beweisen kann. Dies
funktioniert f\"ur glatte Daten.

Hier gilt die Faustregel, dass L\"osungen von
elliptischen Differentialgleichungen zweimal h\"aufiger
differenzierbar sind als die rechte Seite.
\end{remark}

\subsection{Generalvoraussetzungen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung der
Differentialgleichung $Lu=f$ in Divergenzform,
$$Lu=-\left(a^{ij}u_i\right)_j+b^iu_i+du,$$
mit
\begin{itemize}
\item gleichm\"a\ss{}ig elliptischem (aber nicht notwendigerweise
  symmetrischem) $a^{ij}$,
\item $a^{ij}$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$.
\end{itemize}

\subsection{Innere $H^2$-Regularit\"at}
\begin{theorem}[Innere $H^2$-Regularit\"at]
\label{innere H2 thm}
Sei $a^{ij}\in C^1(\Omega)$, $f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in
H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^2_\text{loc}(\Omega)$ und f\"ur alle offenen
Teilmengen $\Omega'\Subset\Omega$ gilt
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(\Omega',\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item W\"ahle $\Omega''\Subset\Omega$ offen, so dass
$$\Omega'\Subset\Omega''\subset\Omega$$
ist und eine glatte Abschneidefunktion $\zeta$, so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{in }\Omega',\\
\zeta\equiv0&\text{in }\R^n\setminus\Omega'',\\
0\le\zeta\le 1.
\end{cases}$$
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\quad\forall\,v\in H^1_0(\Omega),$$
wobei $\tilde f:=f-b^iu_i-du$.
\item Sei $|h|>0$ klein, $1\le k\le n$. W\"ahle
$$v:=-D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
Das Quadrat in der Abschneidefunktion ist sp\"ater n\"utzlich.
Diese Wahl von $v$ ist durch den glatten Fall motiviert. Da aber
nicht bekannt ist, dass zweite Ableitungen von $u$ in der 
Testfunktion erlaubt sind, ist diese Testfunktion mit
Differenzenquotienten n\"otig.

Setze
\begin{align*}
  A:=&\,\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j,\umbruch\\
  B:=&\,\int\limits_\Omega\tilde fv.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $A$:
\begin{align*}
  A=&\,-\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\left[D^{-h}_k\left(\zeta^2
      D^h_ku\right)\right]_j\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega D^h_k\left(a^{ij}u_i\right)
  \left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,\umbruch \intertext{da Ableitung und
    Differenzenquotientenbildung kommutieren und mit Hilfe
    ``partieller Integration'' f\"ur Differenzenquotienten}\umbruch
  =&\,\int\limits_\Omega a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(\zeta^2
    D^h_ku\right)_j+\left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,
\end{align*}
da mit $v^h(x):=v(x+he_k)$ die folgende ``Produktregel'' gilt:
$$D^h_k(vw)=v^hD^h_kw+wD^h_kv.$$
Weiter folgt
\begin{align*}
  A=&\,\int\limits_\Omega
  a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku_j\right)
  \zeta^2\\
  &\,+\int\limits_\Omega
  a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku\right) 2\zeta\zeta_j+
  \left(D^h_ka^{ij}\right)u_iD^h_ku_j\zeta^2+
  \left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(D^h_ku\right)2\zeta\zeta_j\umbruch\\
  \equiv&\,A_1+A_2.
\end{align*}
Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at folgt
$$A_1\ge\theta\int\limits_\Omega\zeta^2\left\vert
  D^h_kDu\right\vert^2.$$ Nach Voraussetzung an die Koeffizienten
folgt f\"ur $0<\epsilon\le 1$, wobei wir $\epsilon\le 1$ ohne
Einschr\"ankung annehmen,
\begin{align*}
  |A_2|\le&\,c\cdot\int\limits_\Omega\zeta\left|D^h_kDu\right|
  \left|D^h_ku\right|+\zeta\left|D^h_kDu\right||Du|
  +\zeta\left|D^h_ku\right||Du|\umbruch\\
  \le&\,\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2 +\frac
  c\epsilon\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2 +|Du|^2\text{
    (Cauchy)}.
\end{align*}
Setze $\epsilon=\frac\theta2$ und benutze, dass
$$\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2\le c\cdot
\int\limits_\Omega|Du|^2$$
ist. Es folgt
\begin{align*}
  |A_2|\le&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|
    D^h_kDu\right|^2+c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2\umbruch
  \intertext{und}
  A\ge&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
  -c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $B$: Wir nehmen weiterhin ohne
  Einschr\"ankung $0<\epsilon\le1$ an.  Zun\"achst einmal gilt nach
  Definition und Cauchyscher Ungleichung
$$|B|\le\int\limits_\Omega\left|\tilde f\right||v|\le
c\cdot\int\limits_\Omega(|f|+|Du|+|u|)|v|
\le\epsilon\int\limits_\Omega v^2 +\frac c\epsilon\int\limits_\Omega
\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).$$ Weiterhin erhalten wir nach Wahl von
$v$
\begin{align*}
  \int\limits_\Omega|v|^2=&\,\int\limits_\Omega\left|
    D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_\Omega
  \left|D\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2
  \umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2
  +\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2
  +\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2. 
\end{align*}
Somit folgt 
$$|B|\le\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2\right)
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega|Du|^2.$$
\item Sei ohne Einschr\"ankung $\theta\le1$. 
Wir w\"ahlen nun speziell $\epsilon=\frac\theta4$ und erhalten 
mit Hilfe der letzten beiden Beweisteile
\begin{align*}
\frac\theta4\int\limits_{\Omega'}\left|D^h_kDu\right|^2\le&
\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right)
\end{align*}
f\"ur $1\le k\le n$ und $|h|\neq0$ gen\"ugend klein. Aufgrund der
gleichm\"a\ss{}igen Schranken an die Differenzenquotienten folgt
daher 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
Durch Dazwischenschachteln einer weiteren Menge,
$$\Omega'\Subset\tilde\Omega\Subset\Omega,$$
erhalten wir 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
+\Vert u\Vert_{H^1\left(\tilde\Omega\right)}\right).$$
Bis auf die $H^1$-Norm von $u$ auf der rechten Seite statt der
$L^2$-Norm ist dies gerade die gew\"unschte Ungleichung. 
Dies wollen wir im letzten Schritt noch korrigieren.
\par
(Alternativ zu diesem letzten Schritt kann man auch benutzen, dass
(bei gen\"ugend regul\"ar gew\"ahlten Gebieten) insbesondere die erste
der Einbettungen $H^2\hookrightarrow H^1\hookrightarrow L^2$ kompakt
ist und wir somit eine Absch\"atzung der Form \[\Vert w\Vert_{H^1}\le
\epsilon\cdot \Vert w\Vert_{H^2} +c(\epsilon)\cdot\Vert w\Vert_{L^2}\]
haben.)
\item Sei $\zeta$ eine neue Abschneidefunktion mit 
$$\begin{cases}
\zeta\equiv 1&\text{auf }\tilde\Omega,\\
\supp\zeta\subset\Omega,&\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Es gilt f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v.$$
Wir w\"ahlen speziell $v=\zeta^2u$ und erhalten
\begin{align*}
  \int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=&\,\int\limits_\Omega
  a^{ij}u_i\left(\zeta^2u\right)_j\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega a^{ij}u_iu_j\zeta^2+
  2a^{ij}u_iu\zeta\zeta_j\umbruch\\
  \ge&\,\theta\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
  -\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2 -\frac
  c\epsilon\int\limits_\Omega u^2.
\end{align*}
F\"ur die andere Seite erhalten wir
\begin{align*}
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v=&\,
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)\zeta^2u\umbruch\\
\le&\,\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2+c(\epsilon)\cdot
\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).
\end{align*}
Wir w\"ahlen nun $\epsilon>0$ klein und erhalten
$$\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
\le c\cdot\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).$$
Dies bauen wir in die Absch\"atzung aus dem letzten 
Abschnitt ein und bekommen die gew\"unschte Absch\"atzung
\[\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).\qedhere\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $u\in H^2_{\text{loc}}$, so k\"onnen wir partiell integrieren
  und erhalten
  $$\int\limits_\Omega Lu\phi=\int\limits_\Omega f\phi
  \quad\text{f\"ur alle }\phi\in C^\infty_c(\Omega).$$ Hieraus folgt
  nach Du Bois-Reymond $Lu=f$ fast \"uberall in $\Omega$.
\end{remark}

\subsection{H\"ohere Regularit\"at}
\begin{theorem}[H\"ohere innere Regularit\"at]
Sei $0<m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&\,C^{m+1}(\Omega),\umbruch\\
f\in&\,H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^{m+2}_{\text{loc}}(\Omega)$ und f\"ur alle
$\Omega'\Subset\Omega$ gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,\Omega',L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Wir f\"uhren einen Induktionsbeweis. 
Theorem \ref{innere H2 thm} ist dabei der Induktionsanfang. 

F\"ur den Induktionsschritt ``$m\to m+1$'' d\"urfen wir annehmen, dass
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,d\in&\,C^{m+2}(\Omega),\\
f\in&\,H^{m+1}(\Omega)
\end{align*}
gelten und $u\in H^1$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega$$
ist. Nach Induktionsannahme ist dann auch
$u\in H^{m+2}_\text{loc}(\Omega)$ mit 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}\left(\tilde\Omega\right)}\le
c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
f\"ur alle $\tilde\Omega\Subset\Omega$ mit
$c=c\left(m,\tilde\Omega,\Omega,L\right)$. Wir fixieren nun
$$\Omega'\Subset\tilde\Omega\Subset\Omega.$$
Sei $\alpha$ ein Multiindex mit $|\alpha|=m+1$,
$\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde\Omega\right)$ eine
Testfunktion. Definiere
$$v:=(-1)^{|\alpha|}D^\alpha\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde
\Omega\right).$$
Definiere $B:H^1_0(\Omega)\times H^1_0(\Omega)\to\R$ durch
\[B[u,w]:=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iw_j+b^iu_iw +duw.\] Wir erhalten
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv.$$
Durch partielle Integration und Umordnen der Terme folgt 
$$B[\tilde u,\tilde v]=\int\limits_\Omega\tilde f\tilde v
\quad\text{mit}\quad
\tilde u:=D^\alpha u\in H^1\left(\tilde\Omega\right)$$
und
\begin{align*}
\tilde f:=&\,D^\alpha f
-\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\beta\le\alpha}{\beta\neq\alpha}}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
\left\{-\left(D^{\alpha-\beta}a^{ij}D^\beta u_i\right)_j+
D^{\alpha-\beta}b^iD^\beta u_i+D^{\alpha-\beta}dD^\beta u\right\}. 
\end{align*}
Diese Darstellung folgt direkt aus der Leibnizformel
$$D^\alpha(uv)=\sum\limits_{\beta\le\alpha}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
D^\beta uD^{\alpha-\beta}v.$$
Somit ist $\tilde u$ eine schwache L\"osung von 
$$L\tilde u=\tilde f\text{ in }\tilde\Omega.$$
Nach Induktionsannahme und Definition von $\tilde f$ folgt 
$\tilde f\in L^2\left(\tilde\Omega\right)$ mit
$$\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Nach Theorem \ref{innere H2 thm} erhalten wir nun
\begin{align*}
\Vert\tilde u\Vert_{H^2(\Omega')}\le&\,c
\cdot\left(\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
+\Vert\tilde u\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}\right)\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).
\end{align*}
Da nun aber $\tilde u=D^\alpha u$ mit $|\alpha|=m+1$ gilt,
folgt 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+3}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
\end{proof}

\begin{theorem}[Schwache L\"osungen sind bei glatten Daten glatt]
Seien
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&\,C^\infty(\Omega),\\
f\in&\,C^\infty(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von 
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann gilt
$$u\in C^\infty(\Omega).$$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
  Benutze innere Absch\"atzungen und Einbettungss\"atze.
\end{proof}

\begin{remark}
Am Rand kann $u$ aber trotzdem singul\"ar werden.
\end{remark}

\subsection{Randregularit\"at}
Bei glatten Daten erhalten wir $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

\begin{theorem}[$H^2$-Regularit\"at am Rand]
\label{H2 rand}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^2$. 
Seien $a^{ij}\in C^1\left(\ol\Omega\right)$, $b^i$, $d\in L^\infty
(\Omega)$ und $f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine
schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega,
\end{cases}$$
so gilt $u\in H^2(\Omega)$ mit der Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),$$
wobei $c=c(\Omega,L)$. 
\end{theorem}

\begin{remark}\label{ul2 weg}
  Ist $u\in H^1_0$ die einzige L\"osung des Randwertproblems, so gilt
  aufgrund der Absch\"atzungen an die Inverse sogar
  $$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}.$$
  Der Operator kann aber einen nichttrivialen Kern in besitzen.  Dann
  wird solch eine Absch\"atzung falsch.
  % Details finden sich in \cite[Kapitel 6.2.3, Theorem 6]{EvansPDE}. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen die Aussage f\"ur den Fall, dass das Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    Lu=f&\text{in }\Omega,\\
    u=0&\text{auf }\partial\Omega
  \end{cases}
  \]
  f\"ur jedes $f\in L^2(\Omega)$ eine L\"osung besitzt. (Beachte, dass
  die Eindeutigkeit der L\"osung unabh\"angig von $f$ und \"aquivalent
  zu $\ker L\neq\{0\}$ ist.)  W\"are die Aussage falsch, so w\"are
  $L^{-1}:L^2(\Omega)\to H^2(\Omega)$, $f\mapsto u$, nicht stetig. Es
  g\"abe also Folgen $\big(\tilde f_k\big)_k$ und $(\tilde u_k)_k$ mit
  $\big\Vert\tilde f_k\big\Vert_{L^2(\Omega)}=1$ und $\Vert\tilde
  u_k\Vert_{H^2(\Omega)}\to\infty$, wobei $\tilde u_k\in
  H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ die L\"osung von $L\tilde u_k=\tilde
  f_k$ ist. Wegen der Absch\"atzung \[\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le
  c\cdot(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)} +\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)})\]
  (aus Theorem \ref{H2 rand}) folgt auch $\Vert\tilde
  u_k\Vert_{L^2(\Omega)}\to\infty$. Nach Umnormierung erhalten wir
  Folgen $(u_k)_k$ und $(f_k)_k$ mit $\Vert u_k\Vert_{L^2(\Omega)}=1$
  und $\Vert f_k\Vert_{L^2(\Omega)}\to0$. Nach Theorem \ref{H2 rand}
  folgt $\Vert u_k\Vert_{H^2(\Omega)}\le c$. Eine nicht umbenannte
  Teilfolge erf\"ullt $u_k\rightharpoondown u$ in $H^2(\Omega)$.
  F\"ur diese Teilfolge erhalten wir nach Rellich $u_k\to u$ in
  $H^1_0(\Omega)$ und in $L^2(\Omega)$ mit einem $u\in H^2$. Es gilt
  $\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}=1$. Nun k\"onnen wir aufgrund der
  $H^1$-Konvergenz in der schwachen Formulierung zum Grenzwert
  \"ubergehen. Somit ist $u$ eine schwache L\"osung von $Lu=0$ mit
  $u\in H^1_0(\Omega)$. Aufgrund der eindeutigen L\"osbarkeit des
  Randwertproblems folgt $u\equiv0$. Dies widerspricht aber $\Vert
  u\Vert_{L^2(\Omega)}=1$. \par Die Stetigkeit von $L^{-1}$ ist genau
  die behauptete Absch\"atzung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{H2 rand}]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Betrachte zun\"achst die aufgebogene Situation. Sei
$\Omega=B_1(0)\cap\R^n_+$. (Auf kleineren Kugeln funktioniert die
Absch\"atzung analog.) Definiere $V:=B_{1/2}(0)\cap\R^n_+$.
Sei $\epsilon>0$ klein und $\zeta$ eine glatte Abschneidefunktion,
so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{auf }B_{1/2}(0),\\
\zeta\equiv0&\text{auf }\R^n\setminus B_{1-\epsilon}(0),\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Dann ist $\zeta=1$ auf der Menge $V$ und es gilt $\zeta=0$
in einer Umgebung des nicht ebenen Teiles von $\partial\Omega$. 
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv$$
f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$. 
Wir definieren
$$\tilde f:=f-b^iu_i-du$$
und erhalten
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv.$$
\item Sei nun $|h|>0$ klein. Definiere f\"ur $1\le k\le n-1$
$$v:=-D_k^{-h}\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
F\"ur $x\in\Omega$ erhalten wir also
\begin{align*}
v(x)=&\,-\frac1hD^{-h}_k\left(\zeta^2(x)
  [u(x+he_k)-u(x)]\right)\umbruch\\ 
=&\,\frac1{h^2}\left(\zeta^2(x-he_k)[u(x)-u(x-he_k)]
-\zeta^2(x)[u(x+he_k)-u(x)]\right).
\end{align*}
Da $u$ und somit auch $\zeta^2u$ durch Funktionen mit kompaktem
Tr\"ager approximierbar ist, gilt $v=0$ im Spursinn auf $\{x^n=0\}$
und $\zeta\equiv0$ in einer Umgebung des sph\"arischen Teiles von
$\partial\Omega$.  Daher ist $v\in H^1_0(\Omega)$. Somit ist $v$ eine
zul\"assige Testfunktion und wir erhalten
$$A\equiv\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\equiv B.$$
\item Analog zum Beweis der inneren Regularit\"at (Details: \"Ubung)
erhalten wir
\begin{align*}
A\ge&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
-c\int\limits_\Omega|Du|^2,\umbruch\\
|B|\le&\,\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right),\umbruch\\
\int\limits_V\left|D^h_kDu\right|^2\le&\,
c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).
\end{align*}
Daher erhalten wir wie beim Beweis der inneren Regularit\"at
$$\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{k,l}{k+l<2n}}
\Vert u_{kl}\Vert_{L^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
\item $u_{nn}$-Absch\"atzungen: Aus der Funktionalanalysis wissen wir:
  $u\in H^1(\Omega)$ und $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ impliziert
  $\zeta u\in H^1(\Omega)$. Als \"Ubung lassen wir, sich zu
  \"uberlegen, dass dies auch noch im Falle $\zeta\in
  C^1\left(\ol\Omega\right)$ gilt. \par Aufgrund der inneren
  Absch\"atzungen gilt
$$Lu=f\text{ fast \"uberall in }\Omega.$$
Da $a^{ij}\in C^1$ ist, k\"onnen wir die Differentialgleichung in
nicht-Di\-ver\-genz\-form umschreiben als
$$-a^{ij}u_{ij}+\tilde b^iu_i+du=f$$
mit $\tilde b^i:=b^i-a^{ij}_j.$ Wir erhalten
$$a^{nn}u_{nn}=-\sum\limits_{i+j<2n}a^{ij}u_{ij}
+\tilde b^iu_i+du-f$$
ohne Summenkonvention auf der linken Seite.
Wegen der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at ist
$a^{nn}\ge\theta>0$ und wir erhalten aufgrund der obigen 
Ab\-sch\"atz\-un\-gen
\begin{align*}
  |u_{nn}|\le&\,c\cdot\left(\sum\limits_{i+j<2n}|u_{ij}|
    +|Du|+|u|+|f|\right),\umbruch\\
  \Vert u\Vert_{H^2(V)}\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
    +\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right),\umbruch\\
  \Vert u\Vert_{H^2(V)}\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
    +\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),
\end{align*}
wobei wir im letzten Schritt die $H^1$-Norm wie am Ende des
Beweises von Theorem \ref{innere H2 thm} insbesondere durch die 
$L^2$-Norm abgesch\"atzt haben. Es gilt $u\in H^2(V)$.
\item Betrachte nun ein allgemeines Gebiet $\Omega$. Nach
Umbenennen der Koordinaten gilt f\"ur $x_0\in\partial\Omega$
f\"ur ein $r>0$
$$\Omega\cap B_r(x_0)=\left\{x\in B_r(x_0):
x^n>\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right)\right\},$$
wobei $\omega:\R^{n-1}\to\R$ eine $C^2$-Funktion ist. Gelte
ohne Einschr\"ankung $x_0=(0,\,\ldots,\,0,\,x^n_0)$.
Wir definieren nun die Aufbiegetransformation $\Phi$ durch
\begin{align*}
y^i:=&\,x^i\text{ f\"ur }i<n,\umbruch\\
y^n:=&\,x^n-\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right),\umbruch\\
y=:&\,\Phi(x)
\end{align*}
und ihre Inverse $\Psi$ durch $x=:\Psi(y)$.
\item Sei nun $s>0$ so klein, dass
$$\Omega':=B_s(0)\cap\{y^n>0\}\subset
\Phi(\Omega\cap B_r(x_0))$$
ist. Definiere weiterhin 
$$V':=B_{s/2}(0)\cap\{y^n>0\}$$ 
und 
$$u'(y):=u(\Psi(y))\text{ f\"ur }y\in\Omega'.$$
Es gilt 
$$u'\in H^1(\Omega')$$
und 
$$u'=0\text{ auf }\partial\Omega'\cap\{y^n=0\}.$$
Dies folgt aus den Spurabsch\"atzungen f\"ur Sobolevfunktionen, da die
Transformation die $H^1$-Norm glatter Funktionen auch h\"ochstens um
eine Konstante \"andern kann. Die Gleichheit auf dem Rand gilt im
Spursinne und folgt aufgrund der Normabsch\"atzung f\"ur den
Spuroperator und da $H^1_0=\ol{C^\infty_c}^{H^1}$ ist.
\item Wir behaupten, dass $u'$ eine schwache L\"osung
der Gleichung 
$$L'u'=f'\text{ in }\Omega'$$
ist, wobei
\begin{align*}
  f'(y):=&f\,(\Psi(y)),\umbruch\\
  L'u':=&\,-\left(a'^{kl}u'_k\right)_l+b'^ku'_k+d'u',\umbruch
  \intertext{mit Ableitungsindices bez\"uglich $y$}
  a'^{kl}(y):=&\,a^{rs}(\Psi(y))
  \Phi^k_r(\Psi(y))\Phi^l_s(\Psi(y)),\umbruch\\ 
  b'^k(y):=&\,b^r(\Psi(y))\Phi^k_r(\Psi(y)),\umbruch\\
  d'(y):=&\,d(\Psi(y)).
\end{align*}
Ist $v'\in H^1_0(\Omega')$ und $B'[\cdot,\cdot]$ die zu
$L'$ geh\"orige Bilinearform, so gilt
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}
a'^{kl}u'_kv'_l+b'^ku'_kv'+d'u'v'.$$
Definiere $v(x):=v'(\Phi(x))$. Wir erhalten 
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}a'^{kl}u_i\Psi^i_k
v_j\Psi^j_l+\int\limits_{\Omega'}b'^ku_i\Psi^i_kv
+\int\limits_{\Omega'}d'uv.$$
Es gilt aufgrund der Kettenregel, auf $\Psi\circ\Phi=\text{Id}$
angewandt,
$$a'^{kl}\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{rs}\Phi^k_r\Phi^l_s
\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{ij}.$$
Es gilt
$$u'_k=u_i\Psi^i_k.$$
Weiterhin folgt
$$b'^k\Psi^i_k=b^r\Phi^k_r\Psi^i_k=b^i.$$
Da $|\det D\Phi|=1$ ist, folgt nach Variablentransformation
$$B'[u',v']=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv+duv
=B[u,v]=\int\limits_\Omega fv=\int\limits_{\Omega'}f'v'.$$
Daher l\"ost $u'$ in $\Omega'$ die Gleichung
$L'u'=f'$ im schwachen Sinne. 
\item Da $\Phi$ ein Diffeomorphismus ist, k\"onnen
wir die Elliptizit\"at der transformierten Gleichung 
wie folgt zeigen. Seien $y\in\Omega'$ und $\xi\in\R^n$.
Dann gilt
$$a'^{kl}(y)\xi_k\xi_l=a^{rs}(\Psi(y))\Phi^k_r\Phi^l_s
\xi_k\xi_l\ge\theta\cdot\left|\Phi^k_\cdot\xi_k\right|^2
\ge\theta'|\xi|^2.$$
Da $\Phi$ und $\Psi\in C^2$ sind, ist auch $a'^{kl}\in C^1$.
\item Wir k\"onnen also die Resultate f\"ur den aufgebogenen
Rand anwenden und erhalten
$$\Vert u'\Vert_{H^2(V')}\le c\cdot
\left(\Vert f'\Vert_{L^2(\Omega')}
+\Vert u'\Vert_{L^2(\Omega')}\right).$$
Durch R\"ucktransformation erhalten wir (unter Benutzung
von $\partial\Omega\in C^2$) f\"ur 
$V:=\Psi(V')$
$$\Vert u\Vert_{H^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Ein \"Uberdeckungsargument f\"ur eine Randumgebung und 
innere Ab\-sch\"atz\-un\-gen liefern nun die behauptete Ungleichung.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[H\"ohere Randregularit\"at]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^{m+2}$. 
Seien $m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^{m+1}\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0$ eine schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann ist $u\in H^{m+2}(\Omega)$ und es gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Dies ist ein Induktionsbeweis wie beim Beweis der h\"oheren
inneren Regularit\"at. Benutze hierzu die Randabsch\"atzungen. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Wie in Bemerkung \ref{ul2 weg} k\"onnen wir auch hier wieder die
  $L^2$-Norm weglassen, wenn die L\"osung eindeutig bestimmt ist. Ist
  $m$ gro\ss{} genug, hat man eine klassische L\"osung und man kann
  $\Vert u\Vert_{L^2}\le c\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty}$ unter
  geeigneten Voraussetzungen auch mit Hilfe des klassischen
  Maximumprinzips beschr\"anken.
\end{remark}

\begin{theorem}[Glattheit bei glatten Daten]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, 
$\partial\Omega\in C^\infty$. Seien weiterhin
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann gilt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Es gilt $u\in H^m(\Omega)$ f\"ur alle $m\in\N$. Wende nun
die Einbettungss\"atze an.
\end{proof}

\section{Eigenwerte des Laplaceoperators}

\subsection{Existenz und Basiseigenschaften}

Wir folgen \cite[S. 231 ff.]{JostPDE}. Sei hier stets $\Omega\subset\R^n$
offen, beschr\"ankt und zu\-sam\-men\-h\"an\-gend, $\partial\Omega\in
C^\infty$. Bezeichne hier $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das
Skalarprodukt in $L^2(\Omega)$.

\begin{theorem}
Der kleinste Eigenwert des Laplaceoperators bei Dirichletrandwerten
ist gegeben durch
$$\lambda_1:=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\int\limits_\Omega|Du|^2}{\int\limits_\Omega u^2}
\equiv\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}>0.$$
Es gibt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, $u>0$ in $\Omega$,
so dass
$$\begin{cases}\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
$\lambda_1$ ist ein Eigenwert der Vielfachheit eins.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt
$$\lambda_1=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}
=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{\Vert u\Vert_{L^2}=1}}\langle Du,Du\rangle.$$
Das Infimum ist nichtnegativ. Somit gibt es eine Minimalfolge
$$u_i\in H^1_0$$ mit $\Vert u_i\Vert_{L^2}=1$, \dh es gilt
$$\langle Du_i,Du_i\rangle\to\lambda_1.$$
Da somit $\Vert u_i\Vert_{H^1_0}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt ist,
gibt es eine (nicht umbenannte) Teilfolge mit $u_i\rightharpoondown u$
in $H^1_0(\Omega)$. Nach dem Rellichschen Kompaktheitssatz konvergiert
diese Teilfolge in $L^2$: Es gilt
$$u_i\to u\text{ in }L^2$$
mit $\Vert u\Vert_{L^2}=1$.

Da $\lambda_1$ das Infimum des Raleigh Quotienten ist, folgt
$$\Vert D(u_k+u_l)\Vert^2_{L^2}\ge\lambda_1
\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}.$$

Es gilt die Parallelogrammgleichung
$$\Vert D(u_k-u_l)\Vert_{L^2}^2+\Vert D(u_k+u_l)\Vert_{L^2}^2
=2\Vert Du_k\Vert_{L^2}^2+2\Vert Du_l\Vert_{L^2}^2.$$

Kombination der beiden letzten Formeln liefert,
da $u_k+u_l\to2u$ f\"ur $k$, $l\to\infty$,
\begin{align*}
\Vert Du_k-Du_l\Vert^2_{L^2}\le&
2\Vert Du_k\Vert^2_{L^2}+2\Vert Du_l\Vert^2_{L^2}
-\lambda_1\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
\to&\quad2\lambda_1+2\lambda_1-\lambda_1\cdot4\Vert u\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
=&0.
\end{align*}

Damit ist $u_k$ auch eine Cauchyfolge in $H^1_0(\Omega)$ und wir
erhalten
$$\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}=\lambda_1.$$
Aufgrund der Poincar\'eschen Ungleichung gilt $\lambda_1>0$.\par
Sei nun $\phi\in H^1_0(\Omega)$ beliebig. Ist $|t|$ so klein, dass
der Nenner im folgenden Bruch nicht verschwindet, so gilt
$$\frac{\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle}
{\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle}\ge\lambda_1$$
oder
\begin{align*}
0\le&\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle-\lambda_1
\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega|Du|^2+2t\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle
+t^2\int\limits_\Omega|D\phi|^2\\
&-\lambda_1\int\limits_\Omega u^2-\lambda_12t\int\limits_\Omega u\phi
-\lambda_1t^2\int\limits_\Omega\phi^2.
\end{align*}
mit Gleichheit f\"ur $t=0$. Aufgrund der Minimalit\"at der
rechten Seite f\"ur $t=0$ verschwindet also ihre Ableitung
an der Stelle $t=0$
$$0=\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle-\lambda_1
\int\limits_\Omega u\phi.$$
Somit ist $u$ eine schwache L\"osung von
$$\begin{cases}
\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie f\"ur schwache L\"osungen
aus Kapitel \ref{reg L2}
erhalten wir daher $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

$\bullet$ $u>0$: Definiere $u^+:=\max\{u,0\}$ und
$u^-:=\min\{u,0\}$. Es gilt (nicht vollkommen trivial)
$$Du^+=\begin{cases}
Du&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\ge0\},\\
0&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\le0\}.\\
\end{cases}$$
Wir erhalten also
\begin{align*}
\lambda_1=&\langle Du,Du\rangle=\langle Du^+,Du^+\rangle
+\langle Du^-,Du^-\rangle\\
\ge&\lambda_1\langle u^+,u^+\rangle+\lambda_1\langle u^-,u^-\rangle
\text{ nach Definition von }\lambda_1\\
=&\lambda_1\langle u,u\rangle=\lambda_1.
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit, also
$$\langle Du^\pm,Du^\pm\rangle=\lambda_1\langle u^\pm,u^\pm\rangle$$
und $u^\pm$ minimiert das Funktional und ist deshalb eine schwache
L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
-\Delta u^\pm=\lambda_1u^\pm&\text{in }\Omega,\\
u^\pm=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$ Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie ist $u^+$ eine
klassische glatte L\"osung.  Wir erhalten $-\Delta u^+\ge0$ in
$\Omega$.  Aufgrund des Maximumprinzips gilt daher $u^+>0$ oder
$u^+\equiv0$ in $\Omega$. Analog schlie\ss{}t man f\"ur $u^-$ und
erh\"alt (ggf.\ nach Multiplikation mit $-1$) $u>0$.

$\bullet$ Vielfachheit$=1$:
Sind $u$ und $v$ linear unabh\"angige Eigenvektoren (=Eigenfunktionen)
zum Eigenwert $\lambda_1$, so wechselt eine geeignete Linearkombination
davon in $\Omega$ das Vorzeichen und bleibt Eigenvektor zum
Eigenwert $\lambda_1$ im Widerspruch zur oben bewiesenen
Positivit\"at der ersten Eigenfunktion.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $(\lambda_i,\,u_i)$, $1\le i\le k$, die ersten $k$ Eigenwerte
  mit $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$ und Eigenfunktionen (mit
  Vielfachheit).  (Diese sind wie \"ublich bei Eigenwerten mit
  Vielfachheit nicht eindeutig bestimmt.) Dann ist der n\"achste
  Eigenwert 
  $$\lambda_{k+1}=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{0\not\equiv u\in
      H^1_0(\Omega)} 
    {\langle u,u_i\rangle=0,\,1\le i\le k}} \frac{\langle
    Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}.$$ Es gibt $u_{k+1}\in
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, so dass
$$\begin{cases}
\Delta u_{k+1}+\lambda_{k+1}u_{k+1}=0&\text{in }\Omega,\\
u_{k+1}=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubungsaufgabe. Beachte, dass die Eigenschaft, schwache
L\"osung zu sein, zum Teil schon aus der Orthogonalit\"atsbedingung
folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{Lapl eigen}
  Es gibt abz\"ahlbar viele Eigenwerte $\lambda_k$ des
  Laplaceoperators mit Dirichletrandwerten und es gilt
$$\lambda_k\to\infty\text{ f\"ur }k\to\infty.$$
Die Eigenfunktionen $u_k$ bilden (bei Konstruktion wie
oben und nach Normierung) eine Orthonormalbasis in $L^2(\Omega)$
und es gilt
\begin{align*}
  v=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle v,v\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle Dv,Dv\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\lambda_i\langle
  v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in H^1_0.\\
\end{align*}
Ist $v\in H^1_0(\Omega)$, so gilt \[v=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle
v,u_i\rangle u_i\] auch in $H^1_0(\Omega)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Falls $\lambda_k\le c$ f\"ur unendlich viele $k$ gilt, so folgt
$$\Vert Du_k\Vert_{L^2}\le c.$$
Nach Rellich konvergiert daher eine Teilfolge in $L^2$.
Dies ist aber nicht m\"oglich, da nach Konstruktion
$\langle u_k,u_l\rangle=0$ f\"ur $k\neq l$ gilt und somit
$$\Vert u_k-u_l\Vert_{L^2}=\sqrt2\not\to0.$$
Definiere
$$H_m:=\left\{v\in H^1_0:\langle v,u_i\rangle=0
\text{ f\"ur }i\le m-1\right\}.$$
Sei zun\"achst $v\in L^2\cap H^1_0=H^1_0$. Definiere
\begin{align*}
\beta_i:=&\,\langle v,u_i\rangle,\umbruch\\
v_m:=&\,\sum\limits_{i\le m}\beta_iu_i,\umbruch\\
w_m:=&\,v-v_m.
\end{align*}
Dann ist $w_m$ die $L^2$-Orthogonalprojektion von $v$ auf $H_{m+1}$,
$v_m$ ist orthogonal zu $H_{m+1}$. Also gilt f\"ur $i\le m$
\begin{align*}
\langle w_m,u_i\rangle=&\,0,\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle\ge&\,\lambda_{m+1}\langle w_m,w_m\rangle.
\end{align*}
Sei $u_i$, $i\le m$, ein Eigenvektor. Dann folgt mit
partieller Integration
\begin{equation}
  \label{orthog eq}
  \langle Dw_m,Du_i\rangle=\lambda_i\langle u_i,w_m\rangle=0,
\end{equation}
also sind auch die Ableitungen orthogonal zueinander.
Somit erhalten wir
\begin{align}
\langle w_m,w_m\rangle=&\,\langle v,v\rangle -2\langle v,v_m\rangle
+\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\ =&\,\langle v,v\rangle
-2\langle w_m+v_m,v_m\rangle +\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\
=&\,\langle v,v\rangle-\langle v_m,v_m\rangle,
\nonumber\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle=&\,\langle Dv,Dv\rangle-\langle Dv_m,Dv_m\rangle
\label{Dvm}
\end{align}
und
\begin{align*}
\langle w_m,w_m\rangle\le&\,
\frac1{\lambda_{m+1}}\langle Dw_m,Dw_m\rangle\umbruch\\
\le&\,\frac1{\lambda_{m+1}}\langle
Dv,Dv\rangle\le\frac1{\lambda_{m+1}}\Vert v\Vert_{H^1_0(\Omega)}\to0.
\end{align*}
Somit gilt $w_m\to0$ in $L^2$ und wir erhalten
die folgende in $L^2$ konvergente Summe
$$v=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i.$$
F\"ur allgemeines $v\in L^2$ erhalten wir nun diese Formel durch
Approximation in $L^2$ durch $H^1_0$-Funktionen.  Als Vorbereitung
zeigen wir: Gilt $v^k\to v$ in $L^2$ mit $v^k\in H^1_0$, so folgt
gleichm\"a\ss{}ig f\"ur alle $N$ aufgrund der Besselschen
Ungleichung
$$\left\Vert v_N-v^k_N\right\Vert_{L^2}^2\equiv
\left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\left\langle v-v^k, u_i\right\rangle
  u_i\right\Vert_{L^2}^2 =\sum\limits_{i=1}^N\left\vert \left\langle
    v-v^k, u_i\right\rangle\right\vert^2 \le\left\Vert
  v-v^k\right\Vert_{L^2}^2,$$ da die Eigenfunktionen $u_i$ orthonormal
zueinander sind. Damit erhalten wir
\begin{align*}
  \Vert v-v_N\Vert_{L^2}\le&\, \left\Vert v-v^k\right\Vert_{L^2}
  +\left\Vert v^k-v^k_N\right\Vert_{L^2} +\underbrace{\left\Vert
    v^k_N-v_N\right\Vert_{L^2}}_{\le\left\Vert
    v-v^k\right\Vert_{L^2}}
\end{align*}
Nun fixieren wir zun\"achst $k$ gro\ss{}, so dass der erste Term klein
wird. Damit ist auch der dritte Term abgesch\"atzt. Da $v^k\in H^1_0$
ist und wir $k$ fixiert haben, wird der zweite Term aufgrund der
obigen Rechnungen f\"ur $N\to\infty$ klein. Somit approximiert die
Summe auch beliebige $v\in L^2$ bez\"uglich der $L^2$-Norm. Die $u_i$
sind also eine Orthonormalbasis f\"ur $L^2$.

Weiterhin erhalten wir 
\begin{align*}
  0=&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left\Vert\sum\limits_{i=1}^N \langle
    v,u_i\rangle u_i-v\right\Vert_{L^2}^2\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left(\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2 -2\sum\limits_{i=1}^N\langle v,u_i\rangle^2
    +\langle v,v\rangle\right)\umbruch\\ =&\,\lim\limits_{N\to\infty}
  \left(\langle v,v\rangle -\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2\right). 
\end{align*}
Somit folgt
$$\langle v,v\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2.$$

F\"ur $v\in H^1_0$ gilt
$$Dv_m=\sum\limits_{i\le m}\beta_iDu_i.$$
Aufgrund der Orthogonalit\"atsbeziehung der $Du_i$ in $L^2$, \dh
$\langle Du_i,Du_j\rangle=0$ f\"ur $i\neq j$ (Rechnung dazu wie in
\eqref{orthog eq}), folgt
$$\langle Dv,Dv\rangle\overset{\text{\eqref{Dvm}}}{\ge}\langle Dv_m,Dv_m\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\langle Du_i,Du_i\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\lambda_i.$$
Da alle $\lambda_i$ positiv sind, ist der letzte Ausdruck, als Folge
in $m$ aufgefasst, absolut konvergent. Somit gilt f\"ur $m<n$ wegen
$Dw_m-Dw_n =Dv_n-Dv_m$
\begin{align*}
  \Vert Dw_m-Dw_n\Vert_{L^2}^2  =&\,\Vert
  Dv_n-Dv_m\Vert_{L^2}^2 =\sum\limits_{i=m+1}^n\lambda_i\beta_i^2\to0
\end{align*}
f\"ur $m$, $n\to\infty$. Somit sind $Dw_m$ und $Dv_m$ Cauchyfolgen in
$L^2$. Also konvergieren $w_m$ und $v_m$ in $H^1_0$.  Die Grenzwerte
stimmen mit den $L^2$-Grenzwerten \"uberein und ist somit Null bzw.{}
$v$. Somit folgt analog zu oben
$$\langle Dv,Dv\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty
\lambda_i\beta_i^2$$
f\"ur alle $v\in H^1_0$.
\end{proof}

\subsection{Separation der Variablen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega$ sei glatt.
Seien $u_0$, $u_1\in L^2(\Omega)$. Wir wollen die Anfangswertprobleme
\begin{align}
\begin{cases}\label{parab L2}
\dot u-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times[0,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times[0,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega
\end{cases}
\intertext{und}
\begin{cases}\label{hyper L2}
u_{tt}-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega,\\
u_t(\cdot,0)=u_1&\text{in }\Omega
\end{cases}
\end{align}
l\"osen. Dabei beschreibt die W\"armeleitungsgleichung
\eqref{parab L2} die W\"armeverteilung in einem K\"orper
$\Omega$ als Funktion der Zeit, wenn die Au\ss{}enfl\"achen eine
konstante Temperatur haben. Die Wellengleichung
beschreibt die Auslenkung der Membran einer wenig
ausgelenkten Trommel.

\textbf{W\"armeleitungsgleichung.}  Um die Gleichung \eqref{parab L2}
zu l\"osen, machen wir den Ansatz $u(x,t):=f(t)v(x)$, nehmen an, dass
wir durch $u$ and $f$ in der Herleitung (formale Rechnung) teilen
d\"urfen, und erhalten
$$\frac1u\left(\dot u-\Delta u\right)=
\frac v{vf}\cdot\dt f-\frac f{vf}\Delta v
=\frac1f\cdot\dt f-\frac1v\Delta v.$$
Wir haben also die Abh\"angigkeit von den beiden
Variablen separiert. Gleichheit gilt somit, wenn
$-\frac1f\dt f$ und $\frac{-\Delta v}v$ beide mit einer
gegebenen Konstanten $\lambda$ \"uber\-ein\-stim\-men.

Eigenfunktionen $u$ des Laplaceoperators auf
$\Omega$ mit Randwerten Null zu einem Eigenwert $\lambda$
$$\begin{cases}
-\Delta u=\lambda u&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$
gibt es nur f\"ur eine diskrete Menge von positiven
Konstanten $\lambda$. Sei $(u_i,\lambda_i)$ ein
solches Tupel.

Die Differentialgleichung $-\frac1f\dt f=\lambda$
besitzt f\"ur beliebiges $\lambda\in\R$
die L\"osung $f(t)=f(0)e^{-\lambda t}$.

Nun l\"ost $w(x,t):=\beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)$ die
W\"armeleitungsgleichung
$$\begin{cases}
\dot w-\Delta w=0&\text{in }\Omega,\\
w=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$

Linearkombinationen von L\"osungen der W\"armeleitungsgleichung
sind wieder L\"osungen. Somit ist auch
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^N \beta_ie^{-\lambda_i t}u_i(x)$$
eine L\"osung der W\"armeleitungsgleichung \eqref{parab L2}.

Ist $u_0\in L^2(\Omega)$ beliebig, so gibt es nach
Theorem \ref{Lapl eigen} Konstanten $\beta_i:=\langle u_0,u_i\rangle$
f\"ur $i\in\N_{\ge1}$, so dass
$$u_0=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_iu_i.$$
Mit zus\"atzlicher Arbeit kann man nachweisen, dass nun
\begin{equation}\label{heat lsg}
u(x,t):=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)
\end{equation}
in einem geeigneten Sinne das Anfangswertproblem
\eqref{parab L2} f\"ur positive Zeiten l\"ost.
F\"ur positive Zeiten ist die L\"osung glatt. F\"ur
$t=0$ erh\"alt man jedoch i.\,a.\ nur eine $L^2$-Funktion.

Diese Probleme bei $t=0$ wollen wir f\"ur den Rest der
Betrachtungen von \eqref{parab L2} und \eqref{hyper L2}
nicht weiter verfolgen.

Wir beobachten, dass hohe Frequenzen (gro\ss{}e Eigenwerte)
in \eqref{heat lsg} schneller abklingen als tiefe.
Weiterhin kann man einen gemeinsamen Faktor $e^{-\lambda_1t}$
ausklammern und sieht, dass $u(x,t)$ mindestens mit dieser
Rate gegen Null konvergiert. Im generischen Fall, wenn
$\beta_1=\int\limits_\Omega u_0u_1\neq0$ ist, kann man die
L\"osung reskalieren. Es gilt dann
$$\frac1{\beta_1}e^{\lambda_1t}u(x,t)\to u_1(x)\text{ f\"ur }
t\to\infty.$$ Somit geht die Temperatur f\"ur gro\ss{}e Zeiten
gleichm\"a\ss{}ig gegen Null und nach Reskalieren approximiert das
Profil der Temperaturverteilung approximiert generisch die erste
Eigenfunktion.  Ist $\beta_1=\ldots=\beta_{k-1}=0$, so approximiert
man entsprechend die $k$-te Eigenfunktion.

\textbf{Wellengleichung.}
Hier f\"uhrt ein Ansatz $u(x,t)=f(t)v(x)$ zu
$$\frac1u(u_{tt}-\Delta u)=\frac1ff_{tt}-\frac{\Delta v}v$$
zum Gleichungssystem
$$-\frac1ff_{tt}=\lambda=-\frac{\Delta v}v.$$
L\"osungen $u_i$ des rechten Teiles kennen wir bereits.
L\"osungen des ersten Teiles sind gegeben durch
$$f(t)=\alpha_i\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right).$$

Der formale Ansatz
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\alpha_i
\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}
\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)\right)u_i(x)$$
f\"uhrt also zu
\begin{align*}
  u(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty\alpha_i
  u_i(x),\\
  u_t(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_iu_i(x).
\end{align*}
Da die $u_i$ eine Orthonormalbasis von $L^2$ bilden, k\"onnen wir
damit das Anfangswertproblem \eqref{hyper L2} zumindest formal
l\"osen. Im Unterschied zu \eqref{parab L2} existiert solch eine
L\"osung f\"ur alle Zeiten, w\"ahrend im parabolischen Fall eine
L\"osung f\"ur negative Zeiten im allgemeinen nicht existiert, da die
Exponentialfaktoren sofort die Konvergenz der Reihe zerst\"oren; die
r\"uckw\"artige W\"armeleitungsgleichung ist im Allgemeinen nicht
l\"osbar.

Anschaulich bedeutet die angegebene L\"osung, dass die betrachtete
Membran eine \"Uberlagerung von Eigenschwingungen ausf\"uhrt. In der
Musik bezeichnet man $\lambda_1$ als Grundton und $\lambda_i$, $i>1$,
als Obert\"one. Diese sind von der Geometrie des Instrumentes
abh\"angig.

Im Falle endlicher Summen liegt eine klassische L\"osung vor und die
formalen Rechnungen werden sofort rigoros.

\section{Maximumprinzipien f\"ur parabolische Gleichungen}
Wir folgen \cite{ProtterWeinberger,LiebermanBook}.

\subsection{Schwaches Maximumprinzip}
In diesem Kapitel verallgemeinern wir Resultate, die wir bereits auf
zylinderf\"ormigen Gebieten kennen. 
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(x_0,t_0)\subset\R^{n+1}$ beliebig. Sei $r>0$. Dann
    definieren wir den parabolischen Zylinder $Q_r(x_0,t_0)$
    durch \[Q_r(x_0,t_0):=\{(x,t)\in\R^n\times\R\colon |x-x_0|<r
    \text{ und } t_0-r^2<t<t_0\}.\]
  \item Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ eine beliebige offene Menge. Dann
    definieren wir den parabolischen Rand $\mathcal P\Omega$
    durch \[\mathcal P\Omega:=\{(x,t)\in\partial\Omega\colon
    Q_r(x,t)\not\subset\Omega \text{ f\"ur alle }r>0\}.\]
  \item Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Dann besteht das
    parabolische Einflussgebiet des Punktes $(x_0,t_0)\in\Omega$ aus
    allen Punkten $(x_1,t_1)$, so dass ein stetiger Weg
    $\gamma\colon[0,1]\to\ol\Omega\setminus\P\Omega$ mit
    $\gamma(0)=(x_0,t_0)$ und $\gamma(1)=(x_1,t_1)$ existert, so dass
    $t\mapsto \gamma^{n+1}(t)$ monoton fallend (= nichtwachsend) ist,
    \dh die Zeit $t$ ist entlang von $\gamma$ monoton fallend:
    $\gamma^{n+1}(t_2)\le\gamma^{n+1}(t_1)$ f\"ur alle $0\le
    t_1<t_2\le 1$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Schwaches Maximumprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen und beschr\"ankt. Definiere den
  parabolischen Operator $L$ durch \[Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\] mit $a^{ij},b^i,d\in L^\infty$, $1\le i,j\le n$. Sei
  $a^{ij}$ gleichm\"a\ss{}ig elliptisch, \dh es gebe ein $\theta>0$
  mit \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2\quad\text{f\"ur alle
  }\xi\in\R^n.\] Gelte ohne Einschr\"ankung $a^{ij}=a^{ji}$. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega)\cap C^0\left(\bar\Omega\right)$ eine L\"osung von
  $Lu\ge0$ in $\Omega$. 
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item\label{schw mp a} Ist $d\equiv 0$, so gilt
    \[\sup\limits_\Omega u\le\sup\limits_{\mathcal P\Omega} u.\]
  \item\label{schw mp b} Falls $d\le0$ in $\left\{(x,t)\in\Omega\colon
      u(x,t)>0\right\}$ gilt, erhalten wir \[\sup\limits_\Omega u\le
    \sup\limits_{\P\Omega} \max\{u,0\}.\]
  \item\label{schw mp c} Ist $d\in L^\infty$ beliebig und
    $\sup\limits_{\P\Omega}u\le0$, so folgt \[\sup\limits_{\Omega}
    u\le0.\]
  \end{enumerate}
\end{theorem}
Das Resultat gilt auch, wenn $t$ in $\Omega$ nicht nach oben
beschr\"ankt ist: Man approximiert in diesem Fall $\Omega$ durch
Gebiete $\Omega\cap\{(x,t)\colon t<T\}$ und l\"asst am Ende
$T\to\infty$. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{schw mp i} Gelte zun\"achst $d\equiv0$ und $Lu>0$ in
    $\Omega$. W\"are die Behauptung \eqref{schw mp a} verletzt, so
    g\"abe es $\epsilon>0$ und
    $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$ mit
    $u(x_0,t_0)=\sup\limits_{\P\Omega} u+\epsilon$ und $u(x,t)\le
    u(x_0,t_0)$ f\"ur alle $(x,t)\in\Omega$ mit $t\le t_0$.
    Zus\"atzlich d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
    $u(x,t)<u(x_0,t_0)$ f\"ur $(x,t)\in\Omega$ mit $t<t_0$ gilt.  Wir
    unterscheiden zwei F\"alle.
    \begin{enumerate}[(I)]
    \item\label{mp allg geb bew I} Ist $(x_0,t_0)\in\Omega$, so gilt dort
      $\dot u\ge0$, $u_{ij}\mle0$ und $u_i=0$. Somit erhalten wir dort
      $Lu\le0$. Widerspruch.
    \item Da dieser Beweisteil zwar kompliziert aussieht, aber auf
      einer einfachen Idee beruht, beschreiben wir unser Vorgehen
      zun\"achst einmal in Worten: Wir wollen wie in \eqref{mp allg
        geb bew I} einen Widerspruch zeigen. Dazu betrachten wir vor
      $t_0$ in der Zeit abgeschnittene Gebiete
      $\left\{t<t_0-\frac1i\right\}$ und erhalten f\"ur diese Gebiete
      Maximalpunkte $(x_i,t_i)$. F\"ur $i\to\infty$ erhalten wir eine
      konvergente Teilfolge mit Limes $(x^*,t^*)\in \partial\Omega
      \setminus\P\Omega$ und $t^*=t_0$. Ein kleiner parabolischer
      Zylinder um den Limespunkt liegt in $\Omega$. Die Maximalpunkte
      $(x_i,t_i)$ liegen auch in diesem Zylinder und somit k\"onnen
      wir wie in \eqref{mp allg geb bew I} vorgehen und erhalten
      ebenfalls einen Widerspruch. 

      Ist $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\Omega$, so erhalten wir mit
      Hilfe von $\epsilon$ sogar
      $(x_0,t_0)\in\partial\Omega\setminus\P\Omega$.  Somit gibt es
      $r>0$ mit $Q_r(x_0,t_0)\subset\Omega$. Definiere
      $T_i:=t_0-\frac1i$ und $\Omega_i:=\{(x,t)\in\Omega\colon
      t<T_i\}$. Wir nehmen ohne Einschr\"ankung an, dass $i$ so
      gro\ss{} ist, dass $\Omega_i\neq\emptyset$ gilt. W\"ahle
      $(x_i,t_i)\in\ol{\Omega_i}$ mit
      $u(x_i,t_i)=\sup\limits_{\Omega_i}u$ und $u(x,t)\le u(x_i,t_i)$
      f\"ur alle $(x,t)\in\Omega_i$ mit $t<t_i$. Aufgrund der obigen
      \"Uberlegungen gilt dann $(x_i,t_i)\in\partial\Omega_i$. Da $u$
      in $\ol\Omega$ stetig ist und $Q_r(x_0,t_0)\subset\Omega$ gilt,
      folgt $\lim\limits_{i\to\infty} u(x_i,t_i)= u(x_0,t_0)$. Da
      $\ol\Omega$ kompakt ist, konvergiert eine Teilfolge von
      $((x_i,t_i))_{i\in\N}$. Ohne Einschr\"ankung gelte f\"ur die
      gesamte Folge $(x_i,t_i)\to(x^*,t^*)$. Wir erhalten
      $u(x^*,t^*)=u(x_0,t_0)$ und $u(x,t)\le u(x^*,t^*)$ f\"ur alle
      $(x,t)\in\Omega$ mit $t<t^*$. Aufgrund der obigen \"Uberlegungen
      gilt $(x^*,t^*)\in \partial\Omega \setminus\P\Omega$
      (\glqq$\not\in\Omega$\grqq haben wir oben bereits gezeigt und
      nach Wahl von $\epsilon$ folgt auch
      \glqq$\not\in\P\Omega$\grqq). Somit gibt es ein $\delta>0$ mit
      $Q_\delta(x^*,t^*)\subset\Omega$.  Wir bemerken, dass $t_i<t_0$
      nach Konstruktion gilt, also auch $t^*\le t_0$, und wegen
      $u(x^*,t^*)=u(x_0,t_0)$ und der Wahl von $(x_0,t_0)$ mit
      $u(x,t)<u(x_0,t_0)$ f\"ur $t<t_0$ folgt $t_0=t^*$.  Damit ist
      aber aufgrund der Konvergenz $(x_i,t_i)\to(x^*,t^*)$ und
      $t_i<t^*=t_0$ auch $(x_i,t_i)\in\Omega$, falls $i$ gro\ss{}
      genug ist. In $(x_i,t_i)$ gilt jedoch $\dot u\ge0$,
      $u_{ij}\mle0$, $u_i=0$ im Widerspruch zu $Lu>0$.
    \end{enumerate}
  \item\label{schw mp ii} Sei nun $d\equiv0$ und $Lu\ge0$. Dann
    erf\"ullt $u-t\epsilon$ f\"ur beliebige $\epsilon>0$ die
    Ungleichung $L(u-t\epsilon)>0$ in $\Omega$. Mit \eqref{schw mp i}
    erhalten wir
    \[\sup\limits_\Omega(u-t\epsilon)\le\sup
    \limits_{\P\Omega}(u-t\epsilon).\] Mit $\epsilon\searrow0$ folgt
    die Behauptung \eqref{schw mp a}. 
  \item Gelte nun $d\le0$ in $\{(x,t)\in\Omega\colon u(x,t)>0\}$. Wir
    definieren
    \[\tilde\Omega:=\left\{(x,t)\in\Omega\colon
      u(x,t)>0\right\}\] und $L_0w:=-\dot w+a^{ij}w_{ij}+b^iw_i$. Ist
    $\tilde\Omega=\emptyset$, so ist die Behauptung \eqref{schw mp b}
    klar. Sei also $\tilde\Omega\neq\emptyset$. Dann gilt in
    $\tilde\Omega$ nach Voraussetzung $0\le Lu=L_0u+du\le L_0u$.  Wir
    wenden nun \eqref{schw mp ii} mit $\tilde\Omega$ und $L_0$ an und
    erhalten wegen $\P\tilde\Omega\subset\P\Omega\cup\{(x,t)\colon
    u(x,t)=0\}$ (benutze eine Fallunterscheidung $u>0$ und $u=0$) die
    Behauptung \eqref{schw mp b}:
    \[\sup\limits_\Omega u\le \sup\limits_{\tilde\Omega} u\le
    \sup\limits_{\P\tilde\Omega} u 
    =\sup\limits_{\P\Omega}\max\{u,0\}.\]
  \item F\"ur den Beweis von \eqref{schw mp c} w\"ahlen wir $k\ge0$
    mit $|d|\le k$ und definieren $w(x,t):=u(x,t)\cdot e^{-kt}$.  Mit
    $\dot w=\dot ue^{-kt}-kue^{-kt}=\dot ue^{-kt}-kw$ folgt
    \begin{align*}
      0\le&\,(Lu)\cdot e^{-kt}\umbruch\\
      =&\,\left(-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\right)\cdot
      e^{-kt}\umbruch\\ 
      =&\,-\dot w+a^{ij}w_{ij}+b^iw_i+dw-kw\umbruch\\
      =&\,\tilde Lw,
    \end{align*}
    wozu wir \[\tilde Lv:=-\dot v +a^{ij}v_{ij} +b^iv_i +(d-k)v\]
    definieren. Wegen $d-k\le0$ k\"onnen wir \eqref{schw mp b} auf
    $\tilde Lw\ge0$ anwenden und erhalten \[\sup\limits_\Omega
    u(\cdot,t)e^{-kt} \le\sup\limits_{\P\Omega}
    u(\cdot,t)e^{-kt}\le0.\] Die Behauptung folgt.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Hopfsches Randpunktlemma}
\long\def\hopfliminf{\liminf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {\ol\Omega\setminus\{(x_1,t_1)\}\ni(x,t)\to(x_1,t_1)}
    {\left\langle \frac{(x,t)-(x_1,t_1)}{|(x,t)-(x_1,t_1)|},
        \frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}
      \right\rangle>\delta}}}
\long\def\hopflimsup{\limsup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {\ol\Omega\setminus\{(x_1,t_1)\}\ni(x,t)\to(x_1,t_1)}
    {\left\langle \frac{(x,t)-(x_1,t_1)}{|(x,t)-(x_1,t_1)|},
        \frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}
      \right\rangle>\delta}}}
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]
  \label{hopf randpunkt lem}
  Sei $B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)\subset\R^{n+1}$. Sei
  $t_0-r_0<t_1<t_0+r_0$. Definiere $\Omega:=\{(x,t)\in
  B_{r_0}^{n+1}(x_0,t_0)\colon t<t_1\}$. Sei $u\in C^{2;1}(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge0
  \quad\text{in }\Omega\] mit $a^{ij},b^i,d\in L^\infty$,
  symmetrischem $a^{ij}$ und einem $\theta>0$, so dass
  $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$ \"uberall
  in $\Omega$ gilt. Gelte $u<M$ in
  $\Omega\cup\{(x,t_1)\colon|x-x_0|<|x_1-x_0|\}$ und $u(x_1,t_1)=M$
  f\"ur ein $x_1$ mit $(x_1,t_1)\in\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)$. (Somit gilt $x_0\neq x_1$.)
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $d\equiv0$. Falls $u$ in $(x_1,t_1)$ differenzierbar ist,
    ist jede nach au\ss{}en weisende Richtungsableitung von $u$
    positiv, \dh f\"ur die zugeh\"orige Richtung $\xi$ gilt
    $\langle\xi,(x_1-x_0,t_1-t_0)\rangle>0$ und $\xi^{n+1}\ge0$,
    insbesondere gilt also \[\langle Du(x_1,t_1),x_1-x_0\rangle >0.\]
    Allgemein gilt f\"ur jedes $\delta>0$
    \[\hopfliminf \frac{u(x_1,t_1)-u(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}>0.\] 
  \item Ist $d\le0$, so gilt dieselbe Aussage falls $u(x_1,t_1)\ge0$
    ist. 
  \item Ist $u(x_1,t_1)=0$, so gilt dieselbe Aussage auch ohne eine
    Vorzeichenbedingung an $d$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Indem wir statt $B_{r_0}(x_0,t_0)$ einen etwas kleineren Ball
  betrachten, der in $(x_1,t_1)$ dieselbe Tangentialebene hat,
  d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $u<M$ in
  $\ol{\Omega}\setminus\{(x_1,t_1)\}$ gilt. Sei $r>0$ mit
  $|x_0-x_1|>2r$. Definiere \[D:=B^{n+1}_r(x_1,t_1)\cap\Omega\] sowie
  den Abschluss des Teils des parabolischen Randes von $D$ in
  $\Omega$ \[\partial_iD:=\ol{\partial D\cap\Omega}\] und den Teil des
  parabolischen Randes von $D$ au\ss{}erhalb von
  $\Omega$ \[\partial_aD:=\partial D\cap\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0).\] Es gilt $\mathcal
  PD=\partial_iD\cup\partial_aD$. Da wir $B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)$
  anfangs gegebenenfalls verkleinert haben folgt $u<M$ auf
  $\partial_iD$. Somit gibt es $\eta>0$ mit $u<M-\eta$ auf
  $\partial_iD$. Weiterhin gilt $u\le M$ auf $\partial_aD$. \par
  Definiere f\"ur $\alpha>0$ die
  Hilfsfunktion \[v(x,t):=e^{-\alpha\left(|x-x_0|^2+(t-t_0)^2\right)}
  -e^{-\alpha r_0^2}.\] Dann gilt $v=0$ unabh\"angig von der Wahl von
  $\alpha$ auf $\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)\supset \partial_aD$. Die Funktion $v$
  erf\"ullt die Differentialungleichung
  \begin{align*}
    Lv=&\,2\alpha e^{-\alpha\left(|x-x_0|^2+(t-t_0)^2\right)}
    \cdot\\
    &\,\qquad\cdot\left((t-t_0) +2\alpha a^{ij}(x-x_0)_i(x-x_0)_j
      -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-x_0)_i+\frac1{2\alpha}d\right)\\
    &\,+\underbrace{d}_{\le0}\cdot\underbrace{\left(
        -e^{-\alpha r_0^2}\right)}_{\le0}\umbruch\\
    >&\,0
  \end{align*}
  f\"ur $\alpha\gg1$ in $\ol D$, falls $d\le0$ (oder $d\equiv0$)
  gilt. Fixiere $\alpha\gg1$ entsprechend. \par Gelte also zun\"achst
  $d\le0$. Es gibt ein $\epsilon>0$, so dass $w:=u+\epsilon v-M$ die
  Ungleichung $w\le0$ auf $\partial_aD$ (da dort $v$ verschwindet) und
  auf $\partial_iD$ (falls $\epsilon>0$ klein genug ist)
  erf\"ullt. Weiterhin gilt \[Lw=Lu+\epsilon Lv-dM >0+\epsilon\cdot0
  -du(x_1,t_1)\ge0.\] Somit folgt aufgrund des schwachen Maximumprinzips
  $w\le 0$ in $D$. Mit $w(x_1,t_1)=0$ erhalten wir
  \[\hopfliminf\frac{w(x_1,t_1)-w(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}\ge0.\] Nun
  gilt
  \begin{align*}
    &\,\hopflimsup
    \frac{v(x_1,t_1)-v(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
      {(\xi,\tau)\in\left(\R^n\times\R\right)\cap\S^n}
      {\left\langle(\xi,\tau),\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}
          {|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}\right\rangle>\delta}} \langle
    -(Dv,\dot v)(x_1,t_1),(\xi,\tau)\rangle \umbruch
    \intertext{(man k\"onnte auch noch $\tau\ge0$ fordern)}    
    =&\,-2\alpha e^{-\alpha\left(|x_1-x_0|^2+(t_1-t_0)^2\right)}\cdot
    \underbrace{\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
        {(\xi,\tau)\in\left(\R^n\times\R\right)\cap\S^n}
        {\left\langle(\xi,\tau),\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}
            {|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}\right\rangle>\delta}}
      \langle-(x_1-x_0,t_1-t_0),(\xi,\tau)\rangle}_{>0}\umbruch\\
    <&\,0.
  \end{align*}
  Somit folgt die Behauptung im Falle $d\equiv0$ oder $d\le0$. \par
  Ist $M=0$ und $d$ beliebig, so definieren wir f\"ur ein $k$ mit
  $k\ge\sup\limits_\Omega |d|$ den Differentialoperator $\tilde L$
  durch \[\tilde Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij} +b^iu_i +(d-k)u.\] Es
  gilt \[\tilde Lu=\underbrace{Lu}_{\ge0}
  -\underbrace{k}_{\ge0}\underbrace{u}_{\le0} \ge0.\] Wegen $d-k\le 0$
  folgt die Behauptung damit aus dem Fall \glqq$d\le0$\grqq. 
\end{proof}

Das folgende Korollar hei\ss{}t ebenfalls Hopfsches Randpunktlemma.
\begin{corollary}[Hopfsches Randpunktlemma]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$ ($C^{1,1}$ gen\"ugt auch). Sei $T>0$. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega\times(0,T)) \cap
  C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu:=-\dot
  u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge0\quad\text{in }\Omega\] mit
  $a^{ij},\,b^i,\,d\in L^\infty$, symmetrischem $a^{ij}$ und einem
  $\theta>0$, so dass $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle
  $\xi\in\R^n$ \"uberall in $\Omega$ gilt. Gelte $u<M$ in
  $\Omega\times(0,T)$ und $u(x_1,t_1)=M$ f\"ur ein
  $(x_1,t_1)\in\partial\Omega\times(0,T]$. Dann gelten die Folgerungen
  wie im Hopfschen Randpunktlemma \ref{hopf randpunkt lem}, wobei
  $x_0$ der Mittelpunkt einer inneren Kugel zu $\Omega$ ist, \dh es
  gelte $B_r(x_0)\subset\Omega$, $\partial
  B_r(x_0)\cap\partial\Omega=\{x_1\}$ f\"ur ein $r>0$, und $\Omega$
  dort in der Folgerung durch $\Omega\times(0,t_1)$ und
  $\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}$ durch $-\nu$
  ($\nu$ = \"au\ss{}ere Normale) zu ersetzen sind.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze das Hopfsche Randpunktlemma, Theorem \ref{hopf randpunkt
    lem}. 
\end{proof}

\subsection{Harnackungleichung}
F\"ur Operatoren, die nicht in Divergenzform sind, erhalten wir die
folgende Harnackungleichung.
\begin{theorem}[Harnackungleichung]
  \label{harnack ungl thm}
  Seien $R,T>0$. Definiere \[Q:=\left\{(x,t)\in\R^{n+1}\colon
    |x|<R,\,-T<t<0\right\}.\] Sei $u\in C^{2;1}(Q)\cap C^0\left(\ol
    Q\right)$ mit $u\ge0$ in $Q$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu\equiv -\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\le0\] in $Q$ mit $a^{ij},\,b^i,d\in L^\infty$ und
  $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$
  \"uberall in $Q$ f\"ur ein $\lambda>0$. Seien $h>0$ und
  $0<\epsilon<\frac12$ mit \[u\ge h\quad\text{in }B_{\epsilon
    R}(0)\times\{-T\}.\] Dann gibt es
  $\kappa=\kappa\left(R,T,\lambda,\left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty}, \left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty}, \Vert d\Vert_{L^\infty}\right)>0$, so
  dass \[u\ge\epsilon^\kappa\frac h2\quad\text{in
  }B_{R/2}(0)\times\{0\}\] gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[\psi_0:=R^2+(1-\epsilon^2)\cdot R^2\cdot\frac tT\]
  und \[\psi_1:=\psi_0-|x|^2.\] Definiere f\"ur ein noch zu
  w\"ahlendes $q\ge2$ die Funktion
  $\psi:=\psi_1^2\psi_0^{-q}$. Setze \[\tilde Q:=\{(x,t)\in Q\colon
  \psi_0>|x|^2\}.\] Dann ist $\psi\in C^{2;1}\big(\tilde Q\big)$. \par
  Wir m\"ochten nun zeigen, dass es $q=q\left(R,T,\lambda, \left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty}, \left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty}, \Vert d\Vert_{L^\infty}\right)\gg1$
  gibt, so dass die Ungleichung $L\psi\ge0$ in $\tilde Q$ gilt. Dort
  erhalten wir
  \begin{align*}
    \psi=&\,\psi_1^2\psi_0^{-q},\umbruch\\
    \dot\psi=&\,2\psi_1\psi_0^{-q}(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T
    -q\psi_1^2\psi_0^{-q-1}(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T,\umbruch\\
    \psi_i=&\,2\psi_1\psi_0^{-q}(-2x_i),\umbruch\\
    \psi_{ij}=&\,2\psi_0^{-q}(-2x_i)(-2x_j)
    +2\psi_1\psi_0^{-q}(-2\delta_{ij}),\umbruch\\
    L\psi=&\,\psi_0^{-q}\left(
      q(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\frac{\psi_1^2}{\psi_0}
      -2(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\psi_1\right.\\
    &\,\qquad\left.\phantom{\frac{R^2}T} +8a^{ij}x_ix_j
      -4a^{ij}\delta_{ij}\psi_1 -4b^ix_i\psi_1 +d\psi_1^2\right)
    \intertext{und mit $\xi:=\frac{\psi_1}{\psi_0}$}
    \ge&\,\psi_0^{1-q}\left(q(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\xi^2
      -2(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\xi\right.\\
    &\,\qquad\left.\phantom{\frac{R^2}T} -4a^{ij}\delta_{ij}\xi
      -4b^ix_i\xi +d\frac{\psi_1^2}{\psi_0}
      +8\lambda\frac{|x|^2}{\psi_0}\right).
  \end{align*}
  Wegen $|\psi_1|\le|\psi_0|\le R^2$ und $0<\epsilon<\frac12$ erhalten
  wir mit der Konstanten \[c=c\left(R,T,\left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty},\left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty},\Vert d\Vert_{L^\infty}\right)\] die
  Absch\"atzung \[L\psi\ge\psi_0^{1-q} \left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
    -c\xi +8\lambda\frac{|x|^2}{\psi_0}\right).\] Wir unterscheiden
  nun die F\"alle $\xi\ge\frac12$ und $\xi\le\frac12$: Ist
  $1\ge\xi\ge\frac12$, so sind die beiden ersten Terme auf der rechten
  Seite f\"ur $q\ge\frac{4cT}{R^2}$ nichtnegativ und wir erhalten
  $L\psi\ge0$ in $\tilde Q$. Ist $0\le\xi\le\frac12$, so folgt aus
  $\frac12\ge\xi=\frac{\psi_1}{\psi_0} =\frac{\psi_0-|x|^2}{\psi_0}$
  die Ungleichung $\frac12\psi_0\le|x|^2$ oder
  $\frac{|x|^2}{\psi_0}\ge\frac12$. In diesem Falle ist
  \begin{align*}
    L\psi\ge&\,\psi_0^{1-q}\left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
      -c\frac{\sqrt{4\lambda}}{\sqrt{4\lambda}}\xi
      +4\lambda\right)\umbruch\\ 
    \ge&\,\psi_0^{1-q}\left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
      -\frac{c^2\xi^2}{4\lambda}\right)\ge0 
  \end{align*}
  falls $q\ge\frac{c^2T}{2\lambda R^2}$ gilt. Wir d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung $\lambda\le1$ und $c\ge1$ annehmen und erhalten
  f\"ur $q\ge\frac{4c^2T}{\lambda R^2}$ die Ungleichung $L\psi\ge0$ in
  $\tilde Q$. \par Auf $\P\tilde Q\cap\{t>-T\}$ gilt
  $\psi=\psi_1=0$. Auf $\P\tilde Q\cap\{t=-T\}$ gelten
  $\psi_0=\epsilon^2R^2$, $\psi_1=\epsilon^2R^2-|x|^2$ und somit
  $|x|\le\epsilon R$. Definiere $\tilde\psi:=h(\epsilon
  R)^{2q-4}\psi$. Dann gilt auf $\P\tilde Q\cap\{t=-T\}$ die
  Ungleichung \[\tilde\psi= h\cdot(\epsilon
  R)^{2q-4}\cdot\left(\epsilon^2R^2-|x|^2\right)^2\cdot
  \left(\epsilon^2R^2\right)^{-q} \le h\le u.\] Auf dem Rest von
  $\P\tilde Q$ gilt $0=\tilde\psi\le u$ ebenfalls. Somit folgt \[
  \begin{cases}
    L\left(\tilde\psi-u\right)\ge0&\text{in }\tilde Q,\\
    \tilde\psi-u\le0&\text{auf }\P\tilde Q. 
  \end{cases}
  \]
  Aufgrund des schwachen Maximumprinzips erhalten wir
  $\tilde\psi-u\le0$ in $\tilde Q$. F\"ur $t=0$ und $|x|<\frac R2$
  folgt
  \begin{align*}
    u\ge&\,\tilde\psi=h(\epsilon R)^{2q-4}\psi =h(\epsilon
    R)^{2q-4}\psi_1^2\psi_0^{-q}\umbruch\\
    =&\,h(\epsilon R)^{2q-4}\left(R^2-|x|^2\right)^2R^{-2q}\umbruch\\
    \ge&\,h\epsilon^{2q-4}R^{-4}\frac9{16}R^4
    \ge\frac12h\epsilon^{2q-4}.
  \end{align*}
  Mit $\kappa=2q-4$ erhalten wir somit die Behauptung. 
\end{proof}

\subsection{Striktes Maximumprinzip}
Als Vorbereitung zeigen wir zun\"achst eine Version des strikten
Maximumprinzips f\"ur zylinderf\"ormige Gebiete.
\begin{lemma}
  \label{str mp quader lem}
  Seien $R,T>0$. Sei $\Omega=B_{3R}(0)\times(-T,0)
  \subset\R^{n+1}$. Sei $u\in C^{2;1}(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu =-\dot u+a^{ij}u_{ij} +b^iu_i
  +du\le0\quad\text{in }\Omega\] mit $a^{ij},\,b^i,\,d\in L^\infty$
  und $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$
  \"uberall in $\Omega$ f\"ur ein $\theta>0$. Gelte $u\ge0$ in
  $\Omega$ und $u(0,0)=0$. Dann gilt $u\equiv0$ in
  $B_R(0)\times[-T,0]$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls nicht, so existiert $(x_0,t_0)\in B_R(0)\times(-T,0)$ mit
  $u(x_0,t_0)>0$. Da $u$ stetig ist brauchen wir den Fall
  $t_0\in\{-T,0\}$ nicht zu betrachten. Aufgrund der Stetigkeit von
  $u$ existieren $h>0$ und $\frac12>\epsilon>0$ mit $u\ge h$ in
  $B_{2\epsilon R}(x_0)\times\{t_0\}$. Nach Lemma \ref{harnack ungl
    thm}, angewandt auf $Q=B_{2R}(x_0)\times[t_0,0]$, gibt es
  $\kappa>0$, so dass \[u\ge\epsilon^\kappa\frac h2\quad\text{in
  }B_R(x_0)\times\{0\}\] gilt. Wegen $0\in B_R(x_0)$
  und \[0=u(0,0)\ge\epsilon^\kappa\frac h2>0\] erhalten wir einen
  Widerspruch. Somit folgt $u\equiv0$ in $B_R(0)\times[0,T]$.
\end{proof}
Das Argument l\"asst sich induktiv anwenden und liefert $u\equiv0$ in
der Menge $B_{3R}(0)\times(-T,0)$. 

Damit erhalten wir das strikte parabolische Maximumprinzip f\"ur
allgemeine beschr\"ankte Gebiete.
\begin{theorem}[Striktes parabolisches Maximumprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen und beschr\"ankt. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu=-\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\ge0\quad \text{in }\Omega\] mit $a^{ij},\,b^i,\,d\in
  L^\infty$ und gelte f\"ur ein $\theta>0$ \"uberall in $\Omega$ die
  Elliptizit\"atsbedingung $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur
  alle $\xi\in\R^n$. \par Sei $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$
  mit \[u(x_0,t_0)=\max\limits_{\ol\Omega} u=:M.\]
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $d\equiv0$ oder
  \item $d\le0$ und $u(x_0,t_0)\ge0$ oder
  \item $d$ beliebig und $u(x_0,t_0)=0$ oder
  \item $Lu\ge d\cdot M$, aber nicht notwendigerweise $Lu\ge0$,
  \end{enumerate}
  so ist $u$ im parabolischen Einflussgebiet von $(x_0,t_0)$
  konstant. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen die Aussage nur letzten Fall. In allen anderen F\"allen
  folgt die Behauptung direkt daraus. \par Definiere $w:=M-u$. Dann
  gilt mit $Lw\equiv L_0w+dw$ \[Lw=dM-Lu\le0\quad\text{in
  }\Omega.\] Es gilt
  $w\ge0$ mit Gleichheit in $(x_0,t_0)$. \par Sei
  $\gamma\colon[0,1]\to\Omega$ eine Kurve wie in der Definition des
  parabolischen Einflussgebietes eines Punktes mit
  $\gamma(0)=(x_0,t_0)$. Schreibe $\gamma(a)=(x_a,t_a)$. Wir
  behaupten, dass $w(\gamma(t))=0$ f\"ur alle $t\in[0,1]$ gilt. Da
  $w\circ\gamma$ stetig ist, gilt $w(\gamma(t))=0$ auf einer
  abgeschlossenen Teilmenge von $[0,1]$. Sei $a\in[0,1]$ maximal, so
  dass $w(\gamma(t))=0$ auf $I:=[0,a]$ gilt. Wir behaupten, dass $a=1$
  ist. Benutze, dass
  \[
  \begin{cases}
    Lw\le0&\text{in }\Omega,\\
    w\ge0&\text{in }\Omega,\\
    w=0&\text{in }(x_a,t_a)
  \end{cases}
  \]
  gelten. Wegen $(x_a,t_a)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$ gibt es $R>0$
  und $T>0$ mit $B_{3R}(x_a)\times(t_a-T,t_a)\subset\Omega$. Dort gilt
  insbesondere $Lw\le0$. Nach Lemma \ref{str mp quader lem}
  folgt $w\equiv0$ in $B_R(x_a)\times(t_a-T,t_a)$. Da die
  Zeitkomponente $\gamma^{n+1}(t)$ in $t$ nichtwachsend ist,
  widerspricht dies der Maximalit\"at von $a$. 
\end{proof}

\iffalse
% Alte Herandgehensweise nach Protter-Weinberger.
% Ich gehe nun nach Lieberman vor. 
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]\label{hopf lemma parab}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$. Sei $T>0$. Seien $a^{ij},\,b^i\in L^\infty$. Sei $a^{ij}$ ohne
  Einschr\"ankung symmetrisch. Nehme an, dass ein $\theta>0$
  existiert, so dass \"uberall in
  $\Omega\times(0,T)$ \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge \theta|\xi|^2
  \quad\text{f\"ur alle }\xi\in\R^n\] gilt. Erf\"ulle $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))\cap C^1\big(\ol{\Omega\times[0,T]}\big)$ (in
  $t$ w\"urde auch $C^1$ gen\"ugen) die parabolische
  Differentialgleichung \[Lu\equiv -\fracp ut
  +a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.\] Gelte $u<M$ in $\Omega\times(0,T]$ und
  $u(x_0,t_0)=M$ f\"ur ein $x_0\in\partial\Omega$ und ein
  $t_0\in(0,T]$. Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an
  $\partial\Omega$. Dann gilt \[\langle Du,\nu\rangle(x_0,t_0)>0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\partial\Omega\in C^2$ ist, erf\"ullt $\Omega$ eine innere
  Kugelbedingung. Es existiert also ein Ball $B_r(x_1)\subset\Omega$,
  so dass $\partial B_r(x_1)\cap\partial\Omega=\{x_0\}$ gilt. Gelte
  ohne Einschr\"ankung $r<t_0$. \par Wir betrachten nun die Mengen
  \begin{align*}
    D:=&\,\hat B_r(x_1,t_0)\cap \hat B_{r/2}(x_0,t_0)
    \cap\{t<t_0\},\umbruch\\ 
    C':=&\,\partial D\cap \hat
    B_{r/2}(x_0,t_0)\cap\{t<t_0\},\umbruch\\ 
    C'':=&\,\partial D\cap \hat B_r(x_1,t_0)\cap\{t<t_0\},
  \end{align*}
  wobei wir mit $\hat B$ in diesem Kapitel andeuten wollen, dass es
  sich dabei um B\"alle in $\R^n\times\R$ handelt. \par Es gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u<M$ auf $C''$, $u=M$ in $(x_0,t_0)$ und
  \item es existiert $\eta>0$, so dass $u\le M-\eta$ auf $C'$ ist. 
  \end{enumerate}
  Definiere 
  \begin{align*}
    v(x,t):=&\,\exp\left(-\alpha[|x-x_1|^2+(t-t_0)^2]\right)
    -\exp(-\alpha r^2)\umbruch \intertext{und erhalte}
    v_i=&\,\exp(-\alpha[\ldots]) (-2\alpha(x-x_1)_i),\umbruch\\
    v_{ij}=&\,\exp(-\alpha[\ldots])
    \left\{(-2\alpha(x-x_1)_i)(-2\alpha(x-x_1)_j)
      -2\alpha\delta_{ij}\right\},\umbruch\\ \dot
    v=&\,\exp(-\alpha[\ldots]) (-2\alpha(t-t_0)).\umbruch\\
    \text{Hieraus ergibt sich}\\
    Lv=&\,2\alpha\exp(-\alpha[\ldots])\cdot\\
    &\,\quad\cdot \left\{2\alpha a^{ij}(x-x_1)_i(x-x_1)_j
      -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-x_1)_i +(t-t_0)\right\}\umbruch\\
    >&\,0\quad \text{in }\ol D\quad\text{f\"ur }\alpha\gg1.
  \end{align*}
  Definiere $w:=u+\epsilon v$ mit einer noch geeignet zu fixierenden
  Konstanten $0<\epsilon\ll1$. Es gilt stets \[Lw=Lu+\epsilon
  Lv>0\quad \text{in } D.\] F\"ur gen\"ugend kleine $\epsilon>0$ gilt
  $w<M$ auf $C'$. Auf $\partial\hat B_r(x_1,t_0)\supset C''$ gilt
  $v=0$. Somit erhalten wir $w<M$ in $C''$ mit Gleichheit in
  $(x_0,t_0)$. \par Wir behaupten nun, dass $w<M$ in $D$ gilt: Im
  zeitlich ersten Punkt in $D$ mit $w=M$ (der aufgrund der obigen
  \"Uberlegungen nicht auf dem parabolischen Rand von $D$ liegen kann)
  gilt $\fracp wt\ge0$, $w_{ij}\le0$ im Sinne von Matrizen und $w_i=0$
  f\"ur alle $i$. Hieraus folgt in diesem Punkt
  $Lw\le0$. Widerspruch. Die Behauptung folgt.\par Da in $(x_0,t_0)$
  aber $w=M$ gilt, erhalten wir dort
  \begin{align*}
    0\le&\,\langle Dw,\nu\rangle=\langle Du,\nu\rangle
    +\epsilon\langle Dv,\nu\rangle,\umbruch\\ \langle Dv,\nu\rangle
    =&\,\left\langle Dv,\frac{x_0-x_1}{|x_0-x_1|}\right\rangle
    =-2\alpha\exp(-\alpha[\ldots])|x_0-x_1|<0.\umbruch\\
    \intertext{Hieraus folgt} \langle
    Du,\nu\rangle(x_0,t_0)>&\,0. \qedhere 
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}\label{bleibt strikt kleiner lem}
  Sei $L$ wie in Theorem \ref{hopf lemma
    parab}. Definiere \[K_{t_1}:=\left\{(x,t):|x-x_1|^2+(t-t_1)^2<R,\,t\le
    t_1\right\}.\] Erf\"ulle $u\in C^2\left(\ol{K_{t_1}}\right)$ die
  Ungleichung $Lu\ge0$ in $K_{t_1}$. Gelte $u<M$ in
  $K_{t_1}\cap\{t<t_1\}$. Dann folgt $u(x_1,t_1)<M$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nehme an, dass doch $u(x_1,t_1)=M$ gilt. \par Definiere f\"ur eine
  noch zu fixierende Konstante $\alpha>0$
  \begin{align*}
    D:=&\,\{(x,t)\in K_{t_1}:|x-x_1|^2+\alpha(t-t_1)<0\},\umbruch\\
    C':=&\,\left(\partial K_{t_1}\cap \ol D\right)\setminus
    \{(x_1,t_1)\},\umbruch\\
    \intertext{und} C'':=&\,\partial D\cap K_{t_1}=\{(x,t)\in
    K_{t_1}:|x-x_1|^2+\alpha(t-t_1)=0\}.
  \end{align*}
  Definiere weiterhin \[v(x,t):=\exp\left(-[|x-x_1|^2
    +\alpha(t-t_1)]\right.)-1.\] Dann gilt \[Lv=\exp(-[\ldots]) \cdot
  \left\{4a^{ij}(x-x_1)_i(x-x_1)_j -2a^{ij}\delta_{ij} -2b^i(x-x_1)_i
    +\alpha\right\}.\] Fixiere $\alpha\gg1$, so dass $Lv>0$ in
  $K:=K_{t_1}$ gilt. \par
  Nach Voraussetzung gilt $u<M$ auf $C'$. Daher gibt es $\eta>0$ so
  dass $u\le M-\eta$ auf $C'$ gilt. Definiere $w(x,t):=u(x,t)+\epsilon
  v(x,t)$ f\"ur ein noch zu fixierendes $\epsilon$ mit
  $0<\epsilon\ll1$. Da auf $C''$ nach Definition $v=0$ gilt, gibt es
  ein $\epsilon>0$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $Lw=Lu+\epsilon Lv>0$ in $D$,
  \item $w=u+\epsilon v<M$ auf $C'$, 
  \item $w=u+\epsilon v\le M$ auf $C''$. 
  \end{enumerate}
  Da $w(x_1,t_1)=M$ ist, $w$ am Rand $\ol{C'\cup C''}$ die Ungleichung
  $w\le M$ erf\"ullt und wegen $Lw>0$ in $D$ nimmt auch die Funktion
  $w=w|_{\ol D}$ ihr Maximum in $(x_1,t_1)$ an. Wir erhalten dort
  $\fracp wt\ge0$ und $\fracp vt=-\alpha<0$. Somit ist $\fracp
  ut\ge-\epsilon\fracp vt>0$. Aufgrund der vorausgesetzten
  Maximalit\"atsbedingung an $u$ folgt aber dort auch $u_i=0$ f\"ur
  alle $i$ und $u_{ij}\le0$ (im Sinne von Matrizen). Somit erhalten
  wir $Lu<0$. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{pole lem}
  Sei $L$ wie in Theorem \ref{hopf lemma parab}, $\Omega\subset\R^n$
  sei offen. Sei $0<T<\infty$ und sei $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))$. Erf\"ulle $u$ die Ungleichung $Lu\ge0$ in
  $\Omega\times(0,T)$. Sei $\sup\limits_{\Omega\times(0,T)}u=M$. Sei
  $K$ eine Kugel, $\ol K\subset\Omega\times(0,T)$. Gelte $u<M$ in $K$
  und $u=M$ f\"ur einen Punkt $P$ auf $\partial K$. Dann ist $P$ der
  Nord- oder der S\"udpol. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K=B_R((\bar x,\bar t))$. Wir d\"urfen annehmen, dass $u|_{\ol
    K}$ nur in $P$ den Wert $M$ annimmt, sonst betrachten wir eine
  kleinere Kugel. Sei $P=(x_1,t_1)$. Es gen\"ugt, die Annahme
  $x_1\neq\bar x$ zu einem Widerspruch zu f\"uhren. W\"ahle
  $R_1<|x_1-\bar x|$. (Dies funktioniert in den Polen nicht.)
  Verkleinere $R_1$ -- falls n\"otig -- so dass
  $K_1:=B_{R_1}^{n+1}((x_1,t_1))\Subset\Omega\times(0,T)$ ist. Seien
  $C':=\partial B_{R_1}((x_1,t_1))\cap B_R((\bar x,\bar t))$ und
  $C'':=\partial B_{R_1}((x_1,t_1))\cap\complement B_R((\bar x,\bar
  t))$. Da in $K$ die Ungleichung $M>u$ gilt und da Gleichheit in $\ol
  K$ nur in $P$ eintritt, existiert ein $\eta>0$, so dass $u\le
  M-\eta$ auf $C'$ und $u\le M$ auf $C''\subset \Omega\times(0,T)$
  gelten. Definiere \[v(x,t):=\exp\left(-\alpha\left[|x-\bar x|^2
      +(t-\bar t)^2\right]\right) -\exp\left(-\alpha R^2\right).\] Wir
  erhalten \[Lv=2\alpha e^{-\alpha[\ldots]}\cdot\left\{2\alpha
    a^{ij}(x-\bar x)_i(x-\bar x)_j -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-\bar x)_i
    +(t-\bar t)\right\}.\] In $\ol{K_1}$ gilt $|x-\bar x|\ge|x_1-\bar
  x|-R_1>0$. F\"ur $\alpha\gg1$ hinreichend gro\ss{} erhalten wir
  daher \[Lv>0\quad\text{in }\ol{K_1}.\] Definiere
  $w(x,t):=u(x,t)+\epsilon v(x,t)$ f\"ur $\epsilon>0$. Da $u\le
  M-\eta$ auf $C'$ gilt, gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
  noch \[w=u+\epsilon v<M\quad\text{auf }C'\] gilt. Auf dem \glqq
  offenen\grqq{} Sph\"arenteil $C''$ ist $v$ negativ. Da dort aber
  $u\le M$ gilt, erhalten wir auch auf $C''$ die
  Ungleichung \[w=u+\epsilon v<M.\] Zusammengenommen ist $w<M$ auf
  $\partial K_1$ erf\"ullt. Nach Definition war $v=0$ auf $\partial
  K$. Somit ist \[w(x_1,t_1)=u(x_1,t_1)+\epsilon
  v(x_1,t_1)=u(x_1,t_1)=M.\] Dies ist ein Widerspruch, denn es gelten
  $Lw>0$ in $K_1$ und $w<M$ auf $\partial K_1$. Das Lemma folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{horiz mp lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und zusammenh\"angend, $T>0$.  Sei $L$
  wie in Theorem \ref{hopf lemma parab} und $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))$ erf\"ulle die Ungleichung $Lu\ge0$. Gelte
  $u\le M$ in $\Omega\times (0,T)$ und \[u<M\quad\text{in
  }(x_1,t_1)\in\Omega\times(0,T).\] Dann gilt \[u<M\quad\text{auf
  }\Omega\times\{t_1\}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, zu zeigen, dass es kein (zusammenh\"angendes)
  Geradenst\"uck $l$ in $\Omega\times(0,T)$ geben kann, so dass
  \begin{align*}
    (x_0,t_1)\in l,&\quad (x_1,t_1)\in l,\\
    u(x_0,t_1)=M,&\quad u(x_1,t_1)<M.
  \end{align*}
  Definiere \[d_0:=\min\left\{|x_1-x_0|,
    \tfrac12\dist(\{((1-\lambda)x_0+\lambda
    x_1,t_1)\,:\,0\le\lambda\le
    1\}, \partial(\Omega\times(0,T)))\right\},\] wobei der zweite Term
  gleich dem halben Abstand der Verbindungsstrecke von $(x_0,t_1)$
  nach $(x_1,t_1)$ bis zum Rand
  ist. Definiere \[y_\tau:=x_0+\tau\cdot\frac{x_1-x_0}{|x_1-x_0|}\]
  f\"ur $0\le\tau\le |x_1-x_0|$, also einen Punkt auf dieser
  Verbindungsstrecke. Zun\"achst d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  $u(y_\tau,t_1)<M$ f\"ur $0<\tau\le|x_1-x_0|$ annehmen, denn sonst
  verschieben wir $x_0$ solange auf $x_1$ zu, bis dies erf\"ullt
  ist. Definiere f\"ur $\tau\le
  d_0$ \[d(\tau):=\dist((y_\tau,t_1),\{u=M\}).\] Da $u(x_0,t_1)=M$
  ist, erhalten wir $d(\tau)\le\tau$. Nach Lemma \ref{pole lem} liegt
  der jeweils n\"achste Punkt mit $u=M$ direkt \"uber oder direkt
  unter $(y_\tau,t_1)$, es gilt
  also \[u(y_\tau,t_1+d(\tau))=M\quad\text{oder}\quad
  u(y_\tau,t_1-d(\tau))=M.\]
  Aus \[|(y_{\tau+\delta},t_1)-(y_\tau,t_1\pm
  d(\tau))|=\sqrt{d(\tau)^2+\delta^2}.\] folgt
  \begin{equation}
    \label{abst ungl}
    d(\tau+\delta)\le\sqrt{d(\tau)^2+\delta^2}
    <d(\tau)+\frac{\delta^2}{2d(\tau)}.
  \end{equation}
  Die zweite Ungleichung folgt dabei sofort durch Quadrieren, da
  $d(\tau)$ nach Annahme f\"ur $t>0$ strikt positiv ist. Ebenso folgt
  $d(\tau+\delta)^2+\delta^2\ge d(\tau)^2$. Hieraus erhalten wir
  $d(\tau+\delta)\ge\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}$ f\"ur $\delta>0$ so
  klein, dass die Differenz unter der Wurzel positiv ist. Fixiere
  $\tau>0$ und $\delta>0$, so dass $0<\delta<d(\tau)$ ist. Wir
  unterteilen das Intervall $(\tau,\tau+\delta)$ in kleine
  Teilintervalle und erhalten aus \eqref{abst
    ungl} 
  \begin{align*}
    d\left(\tau+\tfrac{j+1}m\delta\right) -d\left(\tau+\tfrac
      jm\delta\right)\le&\,\frac{\delta^2}{2m^2d\left(\tau+\frac
        jm\delta\right)}\umbruch\\
    \le&\,\frac{\delta^2}{2m^2\sqrt{d(\tau)^2 -\left(\frac
          jm\right)^2\delta^2}}
    \le\frac{\delta^2}{2m^2\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}}
  \end{align*} 
  f\"ur $j=0,\ldots,m-1$. Wir summieren diese Ungleichung auf. Es
  tritt eine Teleskopsumme auf. Diese vereinfacht sich
  zu \[d(\tau+\delta)-d(\tau)\le
  \frac{\delta^2}{2n\sqrt{d(\tau)^2-\delta^2}}.\] Mit $n\to\infty$
  folgt
  \[d(\tau+\delta)\le d(\tau)\quad\text{f\"ur }\delta>0\text{ klein
    genug,}\] $d$ ist also monoton fallend. Andererseits gilt
  $d(\tau)\le\tau$. Somit ist $d(\tau)\equiv 0$ f\"ur alle
  $0\le\tau\le d_0$. Daher ist $u(y_\tau,t_1)=M$ f\"ur $0\le\tau\le
  d_0$. Dies steht im Widerspruch zur Annahme $u(y_\tau,t_1)<M$ f\"ur
  $0<\tau<|x_1-x_0|$. (Alternativ k\"onnten wir auch das obige
  Argument iterieren und erhielten dann aus $u(x_1,t_1)=M$ einen
  Widerspruch.)
\end{proof}

\begin{theorem}[Starkes Maximumprinzip]
  \label{stark mp parab}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und zusammenh\"angend
  sowie $0<T<\infty$. Seien $a^{ij},\,b^i\in L^\infty$ und gelte die
  Elliptizit\"atsbedingung \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2\quad
  \text{f\"ur alle }\xi\in\R^n\] f\"ur ein $\theta>0$. Erf\"ulle $u\in
  C^2(\Omega\times(0,T))\cap C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ die
  parabolische Differentialgleichung \[Lu\equiv-\fracp
  ut+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\ge0.\] Sei $u\le M$ in
  $\ol\Omega\times[0,T]$. Gibt es $(x_0,t_0)\in\Omega\times(0,T)$ mit
  \[u(x_0,t_0)=M,\] so folgt \[u=M\quad\text{in
  }\ol\Omega\times[0,t_0].\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aus Lemma \ref{horiz mp lem} erhalten wir \[u=M\quad\text{in
  }\ol\Omega\times\{t_0\}.\] Angenommen, es gibt
  $(x_1,t_1)\in\Omega\times(0,t_0)$ mit
  $u(x_1,t_1)<M$. Sei \[\tau:=\sup\{t<t_0:u(x_1,\sigma)<M\text{ f\"ur
    alle }\sigma\in(t_1,t)\}.\] Dann ist $u(x_1,\tau)=M$. Da
  $u(x_1,t)<M$ f\"ur $t_1\le t<\tau$ gilt, folgt nach Lemma \ref{horiz
    mp lem} \[u<M\quad\text{in }\Omega\times[t_1,\tau)\] und nach
  Lemma \ref{bleibt strikt kleiner lem} erhalten wir auch
  $u(x_1,\tau)<M$. Widerspruch.
\end{proof}

\begin{theorem}[Maximumprinzip]
  \label{parab mp}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $0<T<\infty$. Sei $L$ wie in Theorem \ref{stark mp parab}. Erf\"ulle
  $u\in C^2(\Omega\times(0,T))\cap
  C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ in $\Omega\times(0,T)$ die
  Differentialgleichung $Lu=0$, so gilt \[\inf\limits_{\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))} u\le\inf\limits_{\Omega\times(0,T)} u
  \le\sup\limits_{\Omega\times(0,T)} u\le\sup\limits_{\mathcal
    P(\Omega\times(0,T))}u,\] wobei \[\mathcal
  P(\Omega\times(0,T)):=(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times[0,T])\] der parabolische Rand des Gebietes
  $\Omega\times(0,T)$ ist.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus Theorem \ref{stark mp parab}, kann aber auch
  direkt mit einem einfacheren Beweis -- \"ahnlich wie das elliptische
  Maximumprinzip -- gezeigt werden. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Eindeutigkeit]
  Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{parab mp} sind L\"osungen
  von $Lu=0$ eindeutig durch ihre Werte auf $(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times[0,T])$ bestimmt.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende das Maximumprinzip auf die Differenz von zwei L\"osungen an. 
\end{proof}
\fi 

\begin{theorem}[Maximumprinzip auf $\R^n$]
  Sei $0<T<\infty$ und \[u\in C^2\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^0\left(\R^n\times[0,T]\right).\] L\"ost $u$ das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u &\text{in }\R^n\times(0,T),\\
    u=g &\text{auf }\R^n\times\{0\}
  \end{cases}
  \]
  und gibt es Konstanten $a,\,A>0$, so dass \[u(x,t)\le A\cdot
  e^{a|x|^2}\] ist, so gilt \[\sup\limits_{\R^n\times[0,T]}
  u=\sup\limits_{\R^n} g.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt, $u\le\sup g$ auf einem kleinen Zeitintervall $(0,T)$ zu
  zeigen, so dass $4aT<1$ gilt. Wir nehmen daher ohne Einschr\"ankung
  $4aT<1$ an. W\"ahle $\epsilon>0$, so dass $4a(T+\epsilon)<1$ gilt
  und definiere $\gamma>0$ durch
  $\frac1{4(T+\epsilon)}=a+\gamma$. F\"ur $y\in\R^n$ und $\mu>0$
  definieren wir \[v(x,t):=u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}
  \cdot \exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T+\epsilon-t)}\right).\]
  \textbf{Behauptung:} Es gilt $\dot v=\Delta v$. \par Daf\"ur
  gen\"ugt es, nachzuweisen,
  dass \[w=(T-t)^{-n/2}\cdot\exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}\right)\]
  die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt. (Man k\"onnte auch $y=0$
  annehmen.) Wir bemerken, dass dies (bis auf unwichtige Konstanten)
  gerade die Fundamentall\"osung der W\"armeleitungsgleichung ist. Es
  gilt
  \begin{align*}
    \dot w=&\,\frac n2(T-t)^{-n/2-1}\cdot \exp(\ldots)
    +(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot\frac{|x-y|^2}{4(T-t)^2},\umbruch\\
    w_i=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2(x-y)_i}{4(T-t)},\umbruch\\
    w_{ij}=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot \frac{2(x-y)_i}{4(T-t)}
    \cdot\frac{2(x-y)_j}{4(T-t)}\\ &\,+(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2\delta_{ij}}{4(T-t)},\umbruch\\ \dot w-\Delta
    w=&\,\exp(\ldots)\cdot(T-t)^{-n/2-1}\cdot\left\{\frac n2
      +\frac{|x-y|^2}{4(T-t)} -\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}
      -\frac12\delta^{ij}\delta_{ij}\right\}=0.
  \end{align*}
  Setze $r:=|x-y|$ und betrachte $v$ f\"ur gro\ss{}e Werte von $r$. Es
  gilt 
  \begin{align*}
    v(x,t)=&\,u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon-t)}}\umbruch\\ \le&\,Ae^{a|x|^2}
    -\frac\mu{(T+\epsilon)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon)}}\umbruch \intertext{nach
      Voraussetzung an $u$ und da beide Faktoren einzeln durch
      Weglassen von $t$ kleiner werden}\umbruch \le&\,A\cdot
    e^{a(|y|+r)^2} -\mu(4(a+\gamma))^{n/2}\cdot e^{(a+\gamma)\cdot
      r^2}
  \end{align*}
  aufgrund der Dreiecksungleichung und nach Definition von $\gamma$.
  F\"ur $r\gg1$ wird dies beliebig klein, insbesondere kleiner als
  $\sup g$. Somit ist $v\le\sup g$ auf $\partial B_R(y)\times(0,T)$,
  falls $R\gg1$ gro\ss{} genug ist. Weiterhin gilt aber $v\le\sup g$
  in $\R^n\times\{0\}$. Aufgrund des parabolischen Maximumprinzips
  folgt also \[v\le\sup g\quad\text{in }B_R(y)\times(0,T).\] Wie wir
  oben gesehen haben gilt diese Ungleichung aber auch au\ss{}erhalb
  von $B_R(y)$. Also erhalten wir \"uberall \[v\le\sup g.\] $R$
  h\"angt zwar von $\mu$ ab, aber die obige Absch\"atzung ist von $R$
  unabh\"angig. Lasse also $\mu\searrow0$. Es folgt \[u\le\sup
  g.\qedhere\]
\end{proof}

\iffalse
% Herausgenommen da nun bereits in PDE I enthalten. 
\begin{theorem}[Eindeutigkeit mit Energieabsch\"atzungen]
  \label{energie eind thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$. Dann gibt es h\"ochstens eine L\"osung $u\in
  C^2\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ des Randwertproblems 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u=g&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)),
  \end{cases}
  \]
  wobei wiederum $\mathcal P(\Omega\times(0,T)):=(\Omega\times\{0\})
  \cup(\partial\Omega\times(0,T))$ der parabolische Rand ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Differenz $w$ zweier solcher L\"osungen erf\"ullt 
  \[
  \begin{cases}
    \dot w=\Delta w&\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    w=0&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)).
  \end{cases}
  \]
  Definiere \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t),\quad 0\le t\le T.\]
  Es gilt \[\frac d{dt}e(t)=2\int\limits_\Omega w\cdot\dot w
  =2\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w =-2\int\limits_\Omega|Dw|^2\le
  0.\] Damit ist $e(t)\le e(0)=0$ und wir erhalten $w=0$ in
  $\Omega\times[0,T]$. 
\end{proof}
\fi

Da die W\"armeleitungsgleichung die Entwicklung der
Temperaturverteilung unter idealisierten Bedingungen beschreibt,
besagt das folgende Theorem, dass die gleiche Temperaturverteilung am
Ende nur entstehen kann, wenn diese Verteilung auch schon am Anfang
gleich war.
\begin{theorem}[R\"uckw\"artige Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und $0<T<\infty$. Seien $u$ und $\tilde u$ glatte L\"osungen
  von 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u,\quad \dot{\tilde u}=\Delta\tilde u&\text{in
    }\Omega\times(0,T),\\ u=g,\quad \tilde u=g&\text{auf
    }\partial\Omega\times(0,T). 
  \end{cases}
  \]
  (Die Randbedingung wird also nur an den \glqq seitlichen\grqq{} Rand
  gestellt.) \par Gilt $u(x,T)=\tilde u(x,T)$ f\"ur $x\in\Omega$, so
  folgt $u\equiv\tilde u$ in $\Omega\times(0,T)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $w:=u-\tilde u$ und \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t).\] Es folgt
  \begin{align*}
    \dot e(t)=&\,-2\int\limits_\Omega w\dot w
    =-2\int\limits_\Omega w\Delta w
    =\int\limits_\Omega|Dw|^2\umbruch
    \intertext{und daraus ergibt sich}
    \ddot e(t)=&\,-4\int\limits_\Omega \langle Dw,D\dot w\rangle 
    =4\int\limits_\Omega\Delta w\cdot\dot w
    =4\int\limits_\Omega(\Delta w)^2, 
  \end{align*}
  denn aufgrund der Randbedingung ist $\dot w=0$ auf $\partial\Omega$
  und wir d\"urfen ohnen Randterm integrieren.  Wegen $w=0$ auf
  $\partial\Omega\times(0,T)$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_\Omega|Dw|^2 =&\,-\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w
    \le\left(\,\,\int\limits_\Omega w^2\right)^{1/2}\cdot
    \left(\,\,\int\limits_\Omega(\Delta w)^2\right)^{1/2}\umbruch
    \intertext{und somit}\umbruch
    (\dot e(t))^2=&\,4\left(\,\,\int\limits_\Omega|Dw|^2\right)^2
    \le4\int\limits_\Omega w^2\cdot\int\limits_\Omega(\Delta w)^2
    =e(t)\cdot\ddot e(t).
  \end{align*}
  Falls die Behauptung nicht gilt, gibt es $[t_1,t_2]\subset[0,T]$
  mit \[e(t)>0\quad\text{f\"ur }t_1\le t<t_2\quad\text{und
  }e(t_2)=0.\] Definiere \[f(t):=\log e(t)\quad\text{f\"ur }t_1\le
  t<t_2.\] Wir erhalten
  \[\dot f=\frac{\dot e}e\quad\text{und}\quad
  \ddot f=\frac{e\ddot e-(\dot e)^2}{e^2}\ge0\] aufgrund der obigen
  Rechnung. Dies bedeutet, dass $f$ im Intervall $(t_1,t_2)$ konvex
  ist. Somit gilt insbesondere \[f((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  (1-\tau)f(t_1)+\tau f(t)\] f\"ur $t_1<t<t_2$ und $0\le\tau\le1$. Wir
  wenden die Exponentialfunktion auf diese Ungleichung an und erhalten
  nach Definition von $f$ \[e((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  e(t_1)^{1-\tau}\cdot e(t)^\tau.\] Da die Funktion $e$ samt ihren
  Ableitungen f\"ur glatte L\"osungen in $t$ stetig ist, erhalten
  wir \[0\le e((1-\tau)t_1+\tau t_2) \le e(t_1)^{1-\tau} \cdot
  e(t_2)^\tau.\] Da aber $e(t_2)=0$ ist, folgt $e=0$ in ganz
  $(t_1,t_2)$. Widerspruch. 
\end{proof}

\section{Die Matrixharnackungleichung}

\begin{definition}
  Sei $N=(N_{ij})_{1\le i,j\le n}$ mit $N_{ij}=N_{ij}(M_{kl}) \equiv
  N_{ij}((M_{kl})_{1\le k,l\le n})$ f\"ur symmetrische Matrizen
  $M=(M_{ij})_{1\le i,j\le n}$ symmetrisch. Dann erf\"ullt $N$ die
  Null-Eigenvektor-Bedingung, falls aus $M_{ij}\xi^j=0$ f\"ur $1\le
  i\le n$ auch $N_{ij}\xi^i\xi^j\ge0$ folgt. \par Ist $N$ zus\"atzlich
  orts- und zeitabh\"angig, so erf\"ullt $N$ die
  Null-Eigenvektor-Be\-din\-gung, falls $N(\cdot,x,t)$ sie f\"ur alle
  $(x,t)$ erf\"ullt. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Maximumprinzip f\"ur Tensoren]
  Sei $T>0$. Sei $M=(M_{ij})_{1\le i,j\le n}$ mit $M_{ij}\in
  C^0\left(\R^n\times[0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times(0,T)\right)$, $1\le i,j\le n$, symmetrisch
  und periodisch mit $M_{ij}(x)=M_{ij}(y)$ f\"ur $x-y\in\Z^n$. Sei
  $u=\left(u^k\right)_{1\le k\le n}$ mit $u^k\in
  L^\infty\left(\R^n\times[0,T)\right)$. Sei
  $N=(N_{ij}(M_{kl},x,t))_{1\le i,j\le n}$ mit \[N_{ij}\in
  C^1\left(\R^{n\times n}\times\R^n\times[0,T)\right)\] symmetrisch,
  in $\R^n$ eine $\Z^n$-periodische Funktion und erf\"ulle die
  Null-Eigenvektor-Bedingung. Gelte \[\delt M_{ij}\mge\Delta M_{ij}
  +u^k\fracp{}{x^k}M_{ij} +N_{ij}(M_{kl},\cdot) \quad\text{in
  }\R^n\times(0,T).\] Gilt $M_{ij}(\cdot,0)\mge0$, so folgt
  $M_{ij}(\cdot,t)\mge0$ f\"ur $0\le t<T$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $\epsilon,\delta>0$. Wir w\"ahlen diese Konstanten sp\"ater
  noch geeignet. Definiere \[\tilde M_{ij}:=M_{ij}+\epsilon\cdot
  (\delta+t)\delta_{ij}.\] Wir betrachten die Differentialgleichung
  auf einem Zeitintervall $[0,\tau]$ f\"ur ein beliebiges
  $0<\tau<T$. Es gen\"ugt, das Theorem f\"ur beliebige $\tau<T$ zu
  zeigen. Wir schreiben nun wieder $[0,T]$ statt $[0,\tau]$. Aufgrund
  der Periodizit\"at in $x$ und der Kompaktheit von $[0,T]$ gelten
  $|M_{ij}(x,t)|\le c$ und $|N_{ij}(M_{kl}(x,t),x,t)|\le c$. Wir
  wollen zeigen, dass $\tilde M_{ij}\mge0$ gilt und lassen dann
  $\epsilon\searrow0$.\par Als Differentialgleichung f\"ur $\tilde
  M_{ij}$ erhalten wir in $\R^n\times[0,T]$
  \begin{align*}
    \delt \tilde M_{ij}=&\,\delt M_{ij} +\epsilon\delta_{ij}\umbruch\\ 
    \mge&\,\Delta M_{ij}+u^k\fracp{}{x^k}M_{ij}+N_{ij}(M_{kl},\cdot)
    +\epsilon\delta_{ij}\umbruch\\ 
    =&\,\Delta\tilde M_{ij} +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}
    +N_{ij}\left(\tilde M_{ij},\cdot\right)\umbruch
    +\left(N_{ij}(M_{kl},\cdot)-N_{ij}\left(\tilde
        M_{kl},\cdot\right)\right) +\epsilon\delta_{ij}.
  \end{align*}
  $N_{ij}\big(\tilde M_{kl},\cdot\big)$ erf\"ullt die
  Null-Eigenvektor-Bedingung, aber f\"ur die zus\"atzliche Differenz
  ben\"otigen wir die Absch\"atzung
  \begin{align*}
    &\,\left|N_{ij}(M_{kl},\cdot)-N_{ij}\left(\tilde
        M_{ij},\cdot\right)\right|\umbruch\\
    =&\,\left|\int\limits_0^1\frac d{d\sigma} N_{ij} \left(\sigma
        M_{kl} +(1-\sigma)\tilde
        M_{kl},\cdot\right)\,d\sigma\right|\umbruch\\
    =&\,\left|\int\limits_0^1\fracp{N_{ij}}{r_{kl}} \left(\sigma
        M_{kl} +(1-\sigma)\tilde M_{kl},\cdot\right)\, d\sigma\cdot
      \left(M_{kl}-\tilde M_{kl}\right)\right|\umbruch\\
    \le&\,\left|\int\limits_0^1\fracp{N_{ij}}{r_{kl}}(\ldots)\,
      d\sigma\right| \cdot c(n)\cdot\epsilon\cdot(\delta+t)\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\epsilon\cdot(\delta+t).
  \end{align*}
  Somit erhalten wir
  \[\fracp{}t\tilde M_{ij} \mge\Delta\tilde M_{ij}
  +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}+N_{ij}\left(\tilde
    M_{kl},\cdot\right) +\epsilon\delta_{ij}
  -c\cdot\epsilon\cdot(\delta+t)\delta_{ij}.\] Wir nehmen nun an, dass
  $0\le t\le\delta$ gilt und fixieren $\delta>0$ mit
  $c\cdot2\delta\le\frac12$. Somit gilt
  $\epsilon\delta_{ij}-c\epsilon(\delta+t)\delta_{ij}
  \mge\frac12\epsilon\delta_{ij}$. Wir zeigen anschlie\ss{}end dass
  $\tilde M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le t\le\delta$ gilt. Mit
  $\epsilon\searrow0$ folgt dann auch $M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le
  t\le\delta$. Dies wenden wir endlich oft an und erhalten
  $M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le t\le T$. \par Da $\tilde M_{ij}(x,0)$
  f\"ur $x\in\R^n$ strikt positiv ist $\big(\tilde M_{ij}\succ0\big)$,
  gilt entweder $\tilde M_{ij}\succ0$ in $\R^n\times[0,\delta]$ oder
  es gibt (aufgrund der Periodizit\"at) $(x_0,t_0)\in\R^n\times(0,T]$
  mit $\tilde M_{ij}(x,t)\succ0$ f\"ur alle
  $(x,t)\in\R^n\times[0,t_0)$ und $\xi\in\R^n$ mit $|\xi|=1$ und
  $\tilde M_{ij}(x_0,t_0)\xi^j=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$. Fixiere
  dieses $\xi$ und definiere
  $f(x,t):=\tilde M_{ij}(x,t) \xi^i\xi^j$. Dann erf\"ullt $f$ die
  Differentialungleichung
  \begin{align*}
    \delt f=&\,\delt\tilde M_{ij}\xi^i\xi^j\umbruch\\
    \ge&\,\left(\Delta\tilde M_{ij} +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}
      +N_{ij}\left(\tilde M_{kl},\cdot\right)
      +\frac12\epsilon\delta_{ij}\right)\xi^i\xi^j\umbruch\\ 
    =&\,\Delta f +u^k\fracp{}{x^k}f +N_{ij}\left(\tilde
      M_{kl},\cdot\right)\xi^i\xi^j +\frac12\epsilon. 
  \end{align*}
  Mit der Null-Eigenvektor-Bedingung und da $(x_0,t_0)$ der erste
  Punkt mit einem Null-Eigenvektor ist, folgt in $(x_0,t_0)$
  \[\underbrace{\delt f}_{\le0}\ge\underbrace{\Delta f}_{\ge0}
  +u^k\underbrace{\fracp{}{x^k}f}_{=0} +\underbrace{N_{ij}\left(\tilde
      M_{kl},\cdot\right)\xi^i\xi^j}_{\ge0} +\frac12\epsilon.\]
  Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Harnackungleichung mit Matrizen]
  \label{matrix harnack thm}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n\text{ und }t\ge0.\]
  Dann gilt \[u_{ij}-\frac1uu_iu_j +\frac
  ut\delta_{ij}\mge0\quad\text{in }\R^n\times(0,T).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[M_{ij}:=u_{ij}-\frac1uu_iu_j+\frac ut\delta_{ij}\] f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times(0,T)$. Aufgrund des strikten Maximumprinzips
  gilt $u(x,t)>0$ f\"ur $t>0$, $M_{ij}$ ist also wohldefiniert. Sei
  $\epsilon>0$. Dann erf\"ullt auch $u+\epsilon$ die
  Voraussetzungen. Definieren wir $M^\epsilon_{ij}$ mit $u+\epsilon$
  statt $u$, so ist $\frac{u+\epsilon}t\delta_{ij}$ aufgrund der
  vorausgesetzten Regularit\"at und $\frac{|Du|^2}u\le
  c\cdot\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty}$ f\"ur $0<t\approx0$ der
  dominante Term in $M^\epsilon_{ij}$ und es folgt
  $M^\epsilon_{ij}\mge0$, falls $t>0$ klein genug ist. Es gen\"ugt nun
  zu zeigen, dass $M^\epsilon_{ij}(x,t)\mge0$ f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times(0,T)$ gilt. Mit $\epsilon\searrow0$ f\"ur festes
  $(x,t,\xi)$ folgt dann die Behauptung. Aus Bequemlichkeit schreiben
  wir ab jetzt wieder $u$ statt $u+\epsilon$.\par Wir wollen das
  Maximumprinzip f\"ur Tensoren anwenden und berechnen dazu die
  Evolutionsgleichung von $M_{ij}$. Es gilt
  \begin{align*}
    \dot M_{ij} =&\,\dot u_{ij} +\frac1{u^2}\dot uu_iu_j -\frac1u\dot
    u_iu_j -\frac1uu_i\dot u_j +\frac{\dot u}t\delta_{ij} -\frac
    u{t^2}\delta_{ij},\umbruch\\
    M_{ij,k}\equiv&\,\fracp{}{x^k}M_{ij}\umbruch\\
    =&\,u_{ijk} +\frac1{u^2}u_ku_iu_j
    -\frac1uu_{ik}u_j-\frac1uu_iu_{jk}
    +\frac{u_k}t\delta_{ij},\umbruch\\
    M_{ij,kl}=&\,u_{ijkl} +\frac1{u^2}u_{kl}u_iu_j -\frac1uu_{ikl}u_j
    -\frac1uu_iu_{jkl} +\frac{u_{kl}}t\delta_{ij}\\
    &\,-2\frac1{u^3}u_iu_ju_ku_l +\frac1{u^2}u_ku_{il}u_j
    +\frac1{u^2}u_ku_iu_{jl} +\frac1{u^2}u_{ik}u_ju_l\\
    &\,-\frac1uu_{ik}u_{jl} +\frac1{u^2}u_iu_{jk}u_l
    -\frac1uu_{il}u_{jk},\umbruch\\
    \dot M_{ij}-\Delta M_{ij} =&\,-\frac u{t^2}\delta_{ij}
    +\frac2{u^3}|\nabla u|^2u_iu_j -\frac2{u^2}u^ku_{ki}u_j
    -\frac2{u^2}u^ku_{kj}u_i +\frac2uu_{ik}\delta^{kl}u_{lj}\umbruch\\ 
    \equiv&\,N_{ij}.
  \end{align*}
  Wir m\"ochten nun nachweisen, dass $N_{ij}$ die
  Null-Eigenvektor-Bedingung erf\"ullt. Sei dazu $\xi\in\R^n$ mit
  $|\xi|=1$ und $M_{ij}\xi^j=0$ f\"ur $1\le i\le n$, also 
  \begin{align*}
    0=&\,M_{ij}\xi^j =u_{ij}\xi^j -\frac1uu_iu_j\xi^j +\frac
    ut\delta_{ij}\xi^j
    \intertext{oder}
    u_{ij}\xi^j=&\,\frac1uu_iu_j\xi^j -\frac ut\delta_{ij}\xi^j.
  \end{align*}
  Es gilt
  \begin{align*}
    N_{ij}\xi^i\xi^j=&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2
    \langle\nabla u,\xi\rangle^2
    -\frac4{u^2}u^ku_{kj}\xi^j\langle\nabla u,\xi\rangle
    +\frac2u\xi^iu_{ik}\delta^{kl}u_{lj}\xi^j\umbruch\\
    =&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2\\ &\,-\frac4{u^2}u^k\left(\frac1uu_k\langle\nabla
      u,\xi\rangle^2 -\frac ut\delta_{kj}\xi^j\langle\nabla
      u,\xi\rangle\right)\\ &\,+\frac2u\left(\frac1uu_k\langle\nabla
      u,\xi\rangle -\frac ut\delta_{kj}\xi^j\right)\delta^{kl}
    \left(\frac1u u_l\langle\nabla u,\xi\rangle-\frac
      ut\delta_{li}\xi^i\right)\\
    =&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2 -\frac4{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2 +\frac4{ut}\langle\nabla u,\xi\rangle^2\\
    &\,+\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla u,\xi\rangle^2
    -\frac4{ut}\langle\nabla u,\xi\rangle^2 +\frac{2u}{t^2}\umbruch\\
    =&\,\frac u{t^2}>0.
  \end{align*}
  Somit folgt die Behauptung aus dem Maximumprinzip f\"ur Tensoren. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Differentielle Harnackungleichung]
  \label{harnack diff thm}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n \text{ und }t\ge0.\]
  Dann gilt \[\dot u-\frac{|\nabla u|^2}u +\frac{n\cdot
    u}t\ge0\quad\text{in }\R^n\times(0,T).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Bilde die Spur in der Harnackungleichung f\"ur Matrizen, Theorem
  \ref{matrix harnack thm}, und benutze $\dot u=\Delta u$. 
\end{proof}

Damit k\"onnen wir die Abfallrate von $u$ in einem festen Punkt
beschr\"anken. 
\begin{corollary}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n\text{ und }t\ge0.\]
  Seien $0<t_1\le t_2<T$. Dann gilt f\"ur alle
  $x\in\R^n$ \[u(x,t_2)\ge
  u(x,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir verwenden die Absch\"atzung aus Theorem \ref{harnack diff thm}
  und erhalten f\"ur alle $x\in\R^n$ die Differentialungleichung $\dot
  u+\frac{nu}t\ge0$. Eine L\"osung der zugeh\"origen
  Differentialgleichung ist durch $c\cdot t^{-n}$ gegeben,
  insbesondere l\"ost also $t\mapsto u(x,t_1)\cdot
  \left(\frac{t_1}t\right)^n$ die Differentialgleichung. Da eine
  L\"osung der Gleichung bei gleichem Anfangswert zur Zeit $t_1$ f\"ur
  $t>t_1$ unterhalb einer L\"osung der Ungleichung liegt, folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

Wir k\"onnen auch die Funktionswerte in verschiedenen Punkten
miteinander vergleichen:
\begin{corollary}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,0)=u(y,0)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n.\] Seien $0<t_1\le
  t_2<T$. Dann gilt f\"ur alle $x_1,x_2\in\R^n$ \[u(x_2,t_2)\ge
  u(x_1,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n\cdot
  e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}}.\]  
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren \[f(s):=u((1-s)x_1+sx_2,(1-s)t_1+st_2)\] f\"ur
  $s\in[0,1]$ und erhalten mit Theorem \ref{harnack diff thm}
  \begin{align*}
    \frac d{ds}f(s)=&\,\langle\nabla u(\ldots),x_2-x_1\rangle
    +\dot u(\ldots)\cdot(t_2-t_1)\umbruch\\
    \ge&\,\langle\nabla u,x_2-x_1\rangle
    +(t_2-t_1)\cdot\left(\frac{|\nabla
        u|^2}u -\frac{n\cdot u}t\right),\quad t=(1-s)t_1+st_2,\umbruch\\
    \ge&\,-\frac{|\nabla u|^2}u\cdot(t_2-t_1)
    -\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot u +(t_2-t_1)\cdot\frac{|\nabla
      u|^2}u -\frac{n\cdot u}t\cdot(t_2-t_1)\umbruch\\
    =&\,-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot f(s) -\frac{n\cdot
      f(s)}{(1-s)t_1+st_2}\cdot (t_2-t_1).
  \end{align*}
  Man rechnet direkt nach, dass (die mit Hilfe von SAGE gefundene
  Funktion) \[s\mapsto\text{konst.}\cdot \frac{\displaystyle
    e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot s}}{\displaystyle
    (t_1+s(t_2-t_1))^n} \equiv g(s)\] eine L\"osung der zugeh\"origen
  Differentialgleichung ist. Wir w\"ahlen die Konstante als
  $u(x_1,t_1)\cdot t_1^n$, so dass $g(0)=u(x_1,t_1)$ gilt. Aufgrund
  der Differentialungleichung gilt $f(s)\ge g(s)$ f\"ur alle
  $s\in[0,1]$. Mit $u(x_2,t_2)=f(1)\ge g(1)$ folgt daraus
  \[u(x_2,t_2)\ge u(x_1,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n
  \cdot e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}}\]
    wie behauptet. 
\end{proof}

\section{Konvergenz gegen translatierende L\"osungen}

\begin{theorem}
  \label{translat thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt, zusammenh\"angend und
  gelte $\partial\Omega\in C^\infty$. Sei $F\in
  C^\infty\left(\R^{n\times n}\times \R^n\times\ol\Omega\right)$. Sei
  $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\times [0,\infty)\right)$ eine L\"osung
  der gleichm\"a\ss{}ig parabolischen Differentialgleichung
  \[\dot u(x,t)=F\left(D^2u(x,t),Du(x,t),x\right)\quad\text{f\"ur
  }(x,t)\in\Omega\times[0,\infty).\] Gelte \[\langle
  Du,\nu\rangle=\phi(x)\quad\text{auf
  }\partial\Omega\times[0,\infty)\] f\"ur ein $\phi\in
  C^\infty\left(\R^n\right)$. Wir nehmen die folgenden a priori
  Schranken an: Es gelten $|u(x,t)|\le c\cdot(1+t)$
  und \[\left|\fracp{^k}{t^k} D^\alpha u\right|\le
  c(k,\alpha)\quad\text{f\"ur alle }k\ge0,\,\alpha \text{ mit }
  k+|\alpha|>0.\] Dann gibt es eine glatte translatierende L\"osung,
  \dh eine Funktion $U\colon\Omega\times\R\to\R$, so dass $U\in
  C^\infty$ ist, \[V=\dot U(x,t) =F\left(D^2U(x,t),DU(x,t),x\right)
  \quad\text{in }\Omega\times\R\] sowie $\langle
  DU(x,t),\nu\rangle=\phi(x)$ f\"ur $(x,t)\in\partial\Omega\times\R$
  mit einer Konstanten $V\in\R$ gelten. $U$ ist bis auf eine additive
  Konstante eindeutig bestimmt.  \par Weiterhin konvergiert $u$ f\"ur
  $t\to\infty$ gegen eine translatierende L\"osung, \dh es gibt eine
  Konstante $h\in\R$ mit \[\left\Vert u(\cdot,t) -U(\cdot,t)
    -h\right\Vert_{C^k(\Omega)}\to 0 \quad\text{f\"ur }t\to\infty\]
  f\"ur beliebige feste $k\in\N$. Gibt es eine Konstante $\lambda>0$
  mit \[\left\Vert u(\cdot,t) -U(\cdot,t)
    -h\right\Vert_{C^0(\Omega)}\le c\cdot e^{-\lambda t}\] f\"ur alle
  $t\ge0$, so fallen die h\"oheren Ableitungen ebenfalls exponentiell
  mit fast derselben Rate ab: F\"ur $\epsilon>0$ und $k\in\N$
  gilt \[\left\Vert u(\cdot,t) -U(\cdot,t) -h\right\Vert_{C^k(\Omega)}
  \le c(k,\epsilon)\cdot e^{-(\lambda-\epsilon)\cdot t}\] f\"ur alle
  $t\ge0$.
\end{theorem}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gleichm\"a\ss{}ige Parabolizit\"at bedeutet hier $\fracp
    F{r_{ij}}\mge\theta\delta_{ij}$ f\"ur ein $\theta>0$.
  \item Dies ist eine recht allgemeine Aussage \"uber das
    Langzeitverhalten von L\"osungen in einer Situation in der es
    translatierende L\"osungen geben k\"onnte (insbesondere treten
    keine expliziten Abh\"angigkeiten von $t$ und $u$ auf). Um dieses
    Resultat anwenden zu k\"onnen sind insbesondere die angegebenen a
    priori Schranken zu zeigen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir beweisen Theorem \ref{translat thm} in einzelnen Schritten. 

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{translat thm}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Differentialgleichung f\"ur die Differenz:} Sei
    $t_0>0$ beliebig. Definiere \[w(x,t):=u(x,t+t_0)-u(x,t).\]
    K\"onnen wir zeigen, dass diese Gr\"o\ss{}e f\"ur $t\to\infty$
    gegen eine Konstante konvergiert, so haben wir beinahe gezeigt,
    dass $u$ gegen eine translatierende L\"osung konvergiert. Daher
    untersuchen wir diese Gr\"o\ss{}e. \par Seien allgemeiner $u_1$
    und $u_2$ zwei glatte L\"osungen von
    \[
    \begin{cases}
      \dot u=F\left(D^2u,Du,x\right)&\text{in
      }\Omega\times[0,\infty),\\ 
      \langle Du,\nu\rangle=\phi&\text{auf
      }\partial\Omega\times[0,\infty). 
    \end{cases}
    \]
    Dann folgt f\"ur $w:=u_1-u_2$
    \begin{align*}
      \dot w=&\,\dot u_1-\dot u_2 =F\left(D^2u_1, Du_1, x\right)
      -F\left(D^2u_2, Du_2, x\right)\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^1\fracp{}\tau F\left(\tau
        D^2u_1+(1-\tau)D^2u_2, \tau
        Du_1+(1-\tau)Du_2,x\right)\,d\tau\umbruch\\
      =&\,\underbrace{\int\limits_0^1\fracp
        F{r_{ij}}(\ldots)\,d\tau}_{=:a^{ij}(x,t)}
      \cdot(u_{1,ij}-u_{2,ij}) +\underbrace{\int\limits_0^1\fracp
        F{p_i}(\ldots)\,d\tau}_{=:b^i(x,t)}
      \cdot(u_{1,i}-u_{2,i})\umbruch\\ 
      =&\,a^{ij}w_{ij}+b^iw_i. 
    \end{align*}
    Als Randbedingung erhalten wir 
    \[\langle Dw,\nu\rangle =\underbrace{\langle
      Du_1,\nu\rangle}_{=\phi} -\underbrace{\langle
      Du_2,\nu\rangle}_{=\phi}=0 \quad\text{auf
    }\partial\Omega\times[0,\infty).\] 
    Sei ab jetzt wieder $w(x,t):=u(x,t+t_0)-u(x,t)$ f\"ur ein festes
    $t_0>0$. \par Wir wollen zun\"achst zeigen, dass $w(\cdot,t)$
    f\"ur $t\to\infty$ gegen eine Konstante $h$ konvergiert. Dann ist
    $u(x,t+t_0)\approx u(x,t)+h$ f\"ur gro\ss{}e $t$. Somit ist $u$
    beinahe eine \glqq diskret translatierende L\"osung\grqq. 
  \item \textbf{$\max w(\cdot,t)$ ist strikt fallend:} $w$ erf\"ullt \[
    \begin{cases}
      \dot w=a^{ij}w_{ij}+b^iw_i&\text{in }\Omega\times[0,\infty),\\
      \langle Dw,\nu\rangle=0&\text{auf }\partial\Omega\times[0,\infty).
    \end{cases}
    \] Somit gilt aufgrund des Maximumprinzips $\sup\limits_\Omega
    w(\cdot,t_1)\ge \sup\limits_\Omega w(\cdot,t_2)$ f\"ur alle $0\le
    t_1\le t_2$. Aufgrund des strikten Maximumprinzips und des
    Hopfschen Randpunktlemmas ist $t\mapsto\sup\limits_\Omega
    w(\cdot,t)$ strikt monoton fallend oder $w$ ist in
    $\Omega\times(0,\infty)$ konstant. \par
    Mit einem analogen Beweis erhalten wir, dass
    $t\mapsto\inf\limits_\Omega w(\cdot,t)$ strikt wachsend oder $w$
    konstant ist. Somit ist \[t\mapsto\osc\limits_\Omega w(\cdot,t)
    :=\sup\limits_\Omega w(\cdot,t) -\inf\limits_\Omega w(\cdot,t)\]
    strikt fallend oder identisch Null.
  \item \textbf{Es gilt $\osc\limits_\Omega w(\cdot,t)\to0$:} Falls
    nicht, so ist $t\mapsto\osc w(\cdot,t)$ strikt fallend und
    konvergiert f\"ur $t\to\infty$ gegen $\epsilon>0$. Dies f\"uhren
    wir zu einem Widerspruch indem wir eine L\"osung der
    Differentialgleichung derselben Form wie f\"ur $w$ konstruieren,
    deren Oszillation f\"ur alle Zeiten konstant $\epsilon>0$
    ist. \par Sei $x_0\in\Omega$ und sei $t_k\to\infty$ eine beliebige
    Folge. Betrachte \[u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k)\quad\text{und}\quad
    u(x,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k)\] f\"ur
    $(x,t)\in\ol\Omega\times[-t_k,\infty)$. S\"amtliche $l$-te
    Ableitungen dieser Funktionen sind f\"ur $|l|\ge1$ nach Annahme
    gleichm\"a\ss{}ig in $k$ durch Konstanten $c_l$ beschr\"ankt. Auch
    die Funktionswerte sind in $\ol\Omega\times[-T,T]$ f\"ur beliebige
    $T>0$ gleichm\"a\ss{}ig in $k$ beschr\"ankt: Aufgrund der
    Voraussetzungen an $\Omega$ gibt es f\"ur je zwei Punkte
    $x,y\in\Omega$ einen Weg $\gamma\in C^1([0,1],\Omega)$ mit
    $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$ und $L(\gamma)\le c(\Omega)$. Seien
    $(x,t)\in\Omega\times[-T,T]$ und $t_k>T$ beliebig. Sei 
    $\gamma$ ein solcher Verbindungsweg in $\Omega$ von $x$ nach
    $x_0$. Dann gilt 
    \begin{align*}
      &\,|u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k)|\umbruch\\
      \le&\,|u(x,t+t_k)-u(x,t_k)|+|u(x,t_k)-u(x_0,t_k)|\umbruch\\
      =&\,\left|\int\limits_0^t\frac d{ds} u(x,s+t_k)\,ds\right|
      +\left|\int\limits_0^1\frac d{ds}
        u(\gamma(s),t_k)\,ds\right|\umbruch\\
      =&\,\left|\int\limits_0^t\dot u(x,s+t_k)\,ds\right|
      +\left|\int\limits_0^1 \langle\nabla u(\gamma(s),t_k),
        \dot\gamma(s)\rangle\,ds\right|\umbruch\\
      \le&\,t\cdot\sup|\dot u|+L(\gamma)\cdot\sup|Du|\umbruch\\
      \le&\,T\cdot\sup|\dot u| +c(\Omega)\cdot\sup|Du|. 
    \end{align*}
    Eine entsprechende Absch\"atzung gilt auch f\"ur die zweite
    Funktionenfolge. Somit erhalten wir auf beliebigen kompakten
    Teilmengen von $\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ f\"ur beide
    Funktionenfolgen in $k$ gleichm\"a\ss{}ige $C^l$-Absch\"atzungen
    f\"ur beliebige $l\in\N$ und damit auch f\"ur Ableitungen, die
    Zeitableitungen beinhalten, wobei wir stets annehmen, dass $k$ so
    gro\ss{} ist, dass beide Funktionenfolgen dort definiert
    sind. Nach Arzel\`a-Ascoli gibt es somit eine mit Hilfe eines
    Diagonalfolgenargumentes konstruierte Teilfolge der $(t_k)_k$, die
    wir wieder mit $(t_k)_k$ bezeichnen, so dass
    \begin{align*}
      u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k)\to&\,\tilde u^\infty(x,t)
      \intertext{und}
      u(x,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k)\to&\, \tilde u^{t_0,\infty}(x,t)  
    \end{align*}
    lokal gleichm\"a\ss{}ig in $\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ in
    $C^l$ f\"ur beliebige $l\in\N$, ebenso f\"ur
    Zeit\-ab\-lei\-tun\-gen, gegen glatte Funktionen $\tilde
    u^\infty,\tilde u^{t_0,\infty}\colon\ol\Omega\times
    (-\infty,\infty)\to\R$ konvergieren. Aufgrund der glatten
    Konvergenz sind auch $\tilde u^\infty$ und $\tilde u^{t_0,\infty}$
    L\"osungen der Differentialgleichung f\"ur $u$. Definiere $\tilde
    w:=\tilde u^{t_0,\infty}-\tilde u^\infty$. Wir behaupten, dass
    $\osc\tilde w(\cdot,t)=\epsilon$ f\"ur beliebige $t\in\R$ gilt. Es
    gilt n\"amlich
    \begin{align*}
      &\, \osc\limits_\Omega\tilde w(\cdot,t)\umbruch\\
      =&\,\osc\limits_\Omega \left(\tilde u^{t_0,\infty}(\cdot,t)
        -\tilde u^\infty(\cdot,t)\right)\umbruch\\
      =&\,\sup\limits_{x\in\Omega} \left(\tilde
        u^{t_0,\infty}(x,t)-\tilde u^\infty(x,t)\right)
      -\inf\limits_{y\in\Omega} \left(\tilde u^{t_0,\infty}(y,t)
        -\tilde u^\infty(y,t)\right)\umbruch\\
      =&\,\sup\limits_{x\in\Omega}\lim\limits_{k\to\infty}
      \left\{(u(x,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k))
        -(u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k))\right\}\\
      &\,-\inf\limits_{y\in\Omega} \lim\limits_{k\to\infty}
      \left\{(u(y,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k))
        -(u(y,t+t_k)-u(x_0,t_k))\right\}\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \sup\limits_{x\in\Omega}
      \left\{(u(x,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k))
        -(u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k))\right\}\\
      &\,-\lim\limits_{k\to\infty}
      \inf\limits_{y\in\Omega}\left\{(u(y,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_0+t_k))
        -(u(y,t+t_k)-u(x_0,t_k))\right\}, \intertext{da die
        Ausdr\"ucke in den geschweiften Klammern f\"ur $k\to\infty$
        gleichm\"a\ss{}ig in $x$ bzw.{} $y$ konvergieren,}
      =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \left\{\sup\limits_{x\in\Omega}
        (u(x,t+t_0+t_k)-u(x,t+t_k)) -u(x_0,t_0+t_k) +u(x_0,t_k)\right.\\
      &\,\qquad\left.-\inf\limits_{x\in\Omega}
        (u(y,t+t_0+t_k)-u(y,t+t_k))
        +u(x_0,t_0+t_k)-u(x_0,t_k)\right\}\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \left\{\sup\limits_{x\in\Omega}
        (u(x,t+t_0+t_k)-u(x,t+t_k))\right.\\
      &\,\qquad\left.-\inf\limits_{x\in\Omega}
        (u(y,t+t_0+t_k)-u(y,t+t_k))
      \right\}\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{k\to\infty}\osc\limits_\Omega
      w(\cdot,t+t_k)\umbruch\\
      =&\,\epsilon.
     \end{align*}
     Dies ist ein Widerspruch. Ist n\"amlich $w$ nicht konstant, so
     ist $\sup\limits_\Omega w(\cdot,t)$ strikt fallend und
     $\inf\limits_\Omega w(\cdot,t)$ strikt wachsend. Somit folgt
     $\osc\limits_\Omega w(\cdot,t)\to0$ f\"ur $t\to\infty$. 
   \item \textbf{Existenz einer diskret translatierenden L\"osung:} 
     Es gilt f\"ur beliebige $x\in\Omega$
     \begin{align*}
       \inf\limits_\Omega w(\cdot,t)\le&\, u(x,t+t_0)-u(x,t)\umbruch\\
       =&\,w(x,t)\\ \le&\,\sup\limits_\Omega w(\cdot,t)\umbruch\\
       =&\,\underbrace{\osc\limits_\Omega
         w(\cdot,t)}_{\to0,\,t\to\infty} +\inf\limits_\Omega
       w(\cdot,t)
     \end{align*}
     Definiere \[V_0:=\frac1{t_0}\lim\limits_{t\to\infty}
     \inf\limits_\Omega w(\cdot,t) =\frac1{t_0}
     \lim\limits_{t\to\infty} \sup\limits_\Omega w(\cdot,t).\] Somit
     erhalten wir f\"ur $t\to\infty$ \[w(\cdot,t) =u(\cdot,t+t_0)
     -u(\cdot,t)\to t_0\cdot V_0\quad\text{in }C^0(\Omega).\] (Das
     folgende Argument wiederholt nur die bereits oben hergeleitete
     Konvergenz $u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k)\to\tilde u^\infty(x,t)$ mit der
     Bezeichnung $u^0(x,t)$ f\"ur den Grenzwert:)  Sei nun $(t_k)_k$
     eine beliebige Folge mit $t_k\to\infty$. Betrachte f\"ur festes
     $x_0\in\Omega$ die
     Funktionen \[\ol\Omega\times[-t_k,\infty)\ni(x,t)\mapsto
     u(x,t+t_k) -u(x_0,t_k).\] Wie eben erhalten wir lokal in
     $\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ in jeder $C^l$-Norm in $k$
     gleichm\"a\ss{}ige a priori Absch\"atzungen. Nach Arzel\`a-Ascoli
     erhalten wir eine wieder mit $(t_k)_k$ bezeichnete Teilfolge von
     $(t_k)_k$, so dass diese Funktionen lokal in
     $\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ in jedem Raum $C^l$ gegen eine
     glatte Funktion $u^0\colon\ol\Omega\times(-\infty,\infty)\to\R$
     konvergieren: \[u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k)\to u^0(x,t).\] Aufgrund der
     glatten Konvergenz l\"ost $u^0$ dieselbe Differentialgleichung
     (inclusive Randbedingung) wie $u$. Es gilt f\"ur beliebige
     $(x,t)\in \ol\Omega\times(-\infty,\infty)$
     \begin{align*}
       u^0(x,t+t_0)-u^0(x,t) =&\,\lim\limits_{k\to\infty}
       (u(x,t+t_0+t_k)-u(x_0,t_k))\\
       &\,\qquad-\lim\limits_{k\to\infty}
       (u(x,t+t_k)-u(x_0,t_k))\umbruch\\
       =&\,\lim\limits_{k\to\infty} (u(x,t+t_0+t_k) -u(x,t+t_k)\\
       &\,\qquad+u(x_0,t_k) -u(x_0,t_k))\umbruch\\
       =&\,\lim\limits_{k\to\infty}
       (u(x,t+t_0+t_k)-u(x,t+t_k))\umbruch\\
       =&\,\lim\limits_{t\to\infty} (u(x,t+t_0)-u(x,t))\umbruch\\
       =&\,t_0\cdot V_0.
     \end{align*}
     Somit ist $u^0$ eine \glqq diskret translatierende
     L\"osung\grqq. 
   \item \textbf{Existenz einer translatierenden L\"osung:} Wir haben
     bisher aus $(u,t_0)$ eine diskret translatierende L\"osung $u^0$
     konstruiert. Sei nun $t_1>0$. Wir werden sp\"ater $t_0$ und $t_1$
     als inkommensurable Zahlen w\"ahlen, z.\,B.{} $t_0=1$ und
     $t_1=\sqrt 2$. Wie aus $(u,t_0)$ erhalten wir, ausgehend von
     $(u^0,t_1)$, eine glatte diskret translatierende L\"osung
     $u^1\colon\ol\Omega\times(-\infty,\infty)\to\R$, \dh es gibt
     $V_1\in\R$ mit \[u^1(x,t+t_1)=u^1(x,t)+t_1 V_1\] f\"ur alle
     $(x,t)\in\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$. Diese Konstruktion ist
     ein klein wenig einfacher, da $u^0$ bereits auf
     $\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ definiert ist. Die Eigenschaft,
     bez\"uglich $t_0$ diskret translatierend zu sein, geht bei der
     Konstruktion nicht verloren. Somit erhalten wir per
     Induktion \[u^1(x,t+kt_i)=u^1(x,t)+kt_iV_i\] f\"ur $i=0,1$, alle
     $(x,t)\in\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ und alle $k\in\Z$. \par
     Wir behaupten, dass $V_0=V_1$ gilt. Sei dazu $\delta>0$ klein und
     $T>0$ gro\ss. Dann gibt es $n_0,n_1\in\N$ mit $n_0t_0,n_1t_1\ge
     T$ und $|n_0t_0-n_1t_1|\le\delta$. Es folgt f\"ur beliebige
     $(x,t)\in\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$
     \begin{align*}
       \delta\cdot\sup|\dot u|\ge&\,\left|u^1(x,t+n_0t_0)
       -u^1(x,t+n_1t_1)\right|\umbruch\\ 
       =&\,\left|u^1(x,t)+n_0t_0V_0-u^1(x,t) 
       -n_1t_1V_1\right|\umbruch\\ 
       =&\,|n_0t_0V_0-n_1t_1V_1|\umbruch\\
       =&\,|n_0t_0V_0-n_0t_0V_1+n_0t_0V_1-n_1t_1V_1|\umbruch\\
       \ge&\,n_0t_0\cdot|V_0-V_1|-|n_0t_0-n_1t_1|\cdot|V_1|\umbruch\\ 
       \ge&\,|V_0-V_1|\cdot T-\delta\cdot|V_1|. 
     \end{align*}
     Diese Absch\"atzung kann f\"ur $T\to\infty$ nur richtig sein,
     falls $V_0=V_1$ gilt. Definiere $V:=V_0\equiv V_1$. Wir erhalten
     also f\"ur $k,l\in\Z$ und
     $(x,t)\in\ol\Omega\times(-\infty,\infty)$ \[u^1(x,t+kt_0+lt_1)
     =u^1(x,t) +(kt_0+lt_1)\cdot V.\] Wir behaupten, dass $u^1\colon
     \ol\Omega\times (-\infty,\infty)\to\R$ eine mit Geschwindigkeit
     $V$ translatierende L\"osung der Differentialgleichung ist. Sie
     dazu $\tau\in\R$ beliebig. Sei $((k_i,l_i))_{i\in\N}
     \subset\Z\times\Z$ eine Folge mit $k_it_0+l_it_1\to\tau$ f\"ur
     $i\to\infty$. Dann erhalten wir aus der Stetigkeit von $u^1$
     durch Grenz\"ubergang in der letzten Gleichung \[u^1(x,t+\tau)=
     u^1(x,t)+\tau V.\] Somit ist $u^1$ eine glatte translatierende
     L\"osung.
   \item \textbf{Eindeutigkeit der translatierenden L\"osung:} Seien
     $U,\,\tilde U$ translatierende L\"osungen mit Geschwindigkeiten
     $V$ bzw.{} $\tilde V$. Sei $c>0$, so dass \[\tilde U(x,0)-c\le
     U(x,0) \le\tilde U(x,0)+c\] f\"ur alle $x\in\Omega$ gilt. Dann
     gilt eine entsprechende Ungleichung aufgrund des Maximumprinzips
     auch f\"ur alle $t>0$. Wir erhalten
     \begin{align*}
       \tilde U(x,t)-c\le&\,U(x,t)\le\tilde U(x,t)+c,\umbruch\\
       \tilde U(x,0)+t\tilde V-c\le&\,U(x,0)+tV\le \tilde
       U(x,0)+t\tilde V+c,\umbruch\\
       \tilde U(x,0)-U(x,0)-c\le&\, t\cdot\big(V-\tilde V\big)
       \le\tilde U(x,0)-U(x,0)+c,\umbruch\\ 
       t\cdot\big|V-\tilde V\big|\le&\,\big\Vert\tilde
         U(\cdot,0)\big\Vert_{L^\infty} +\Vert
       U(\cdot,0)\Vert_{L^\infty} +c. 
     \end{align*}
     Mit $t\to\infty$ folgt $V=\tilde V$. \par Fixiere nun $t\in\R$
     und definiere f\"ur $x\in\ol\Omega$ \[w(x):= U(x,t)-\tilde
     U(x,t).\] Dann erf\"ullt $w$ eine elliptische
     Differentialgleichung der Form 
     \[
     \begin{cases}
       0=a^{ij}w_{ij}+b^iw_i&\text{in }\Omega,\\
       0=\langle Dw,\nu\rangle&\text{auf }\partial\Omega.
     \end{cases}
     \]
     Somit ist $w$ aufgrund des strikten Maximumprinzips und des
     Hopfschen Randpunktlemmas konstant. Daher sind translatierende
     L\"osungen bis auf additive Konstanten eindeutig bestimmt. 
   \item \textbf{Konvergenz gegen eine translatierende L\"osung:} Sei
     $U$ eine translatierende L\"osung. Dann l\"ost $w:=u-U$ eine
     parabolische Differentialgleichung der Form
     \[
     \begin{cases}
       \dot w=a^{ij}w_{ij}+b^iw_i&\text{in
       }\Omega\times(0,\infty),\\ 
       0=\langle Dw,\nu\rangle&\text{auf
       }\partial\Omega\times[0,\infty). 
     \end{cases}
     \]
     In dieser Situation haben wir bereits gesehen,
     dass \[t\mapsto\sup\limits_\Omega w(\cdot,t)\] monoton
     fallend, \[t\mapsto\inf\limits_\Omega w(\cdot,t)\] monoton
     wachsen ist und dass \[\osc\limits_\Omega w(\cdot,t)\to0\]
     gilt. Somit konvergiert \[u(\cdot,t)-U(\cdot,t) =w(\cdot,t)\to
     \lim\limits_{t\to\infty}\inf\limits_\Omega w(\cdot,t)
     =\lim\limits_{t\to\infty} \sup\limits_\Omega w(\cdot,t)\] f\"ur
     $t\to\infty$ in $C^0(\Omega)$. Wir
     definieren \[h:=\lim\limits_{t\to\infty} \sup\limits_\Omega
     w(\cdot,t)\] und erhalten \[\Vert u(\cdot,t)-U(\cdot,t)
     -h\Vert_{C^0(\Omega)}\to 0\] f\"ur $t\to\infty$. 
   \item \textbf{Glatte Konvergenz gegen eine translatierende
       L\"osung:} Dies folgt direkt aus Lemma \ref{C0 konv glatte konv
       lem}. Dies liefert die Konvergenz der r\"aumlichen
     Ableitungen. Da sich die Zeitableitungen und kombinierte
     r\"aumliche und zeitliche Ableitungen mit Hilfe der
     differenzierten Gleichung und r\"aumlichen Ableitungen
     ausdr\"ucken lassen, konvergieren auch diese.  (Es st\"ort nicht,
     dass wir statt $t\to\infty$ nur eine Folge $k\to\infty$
     betrachten; man kann das Resultat n\"amlich auf eine
     Gegenbeispielfolge $u(\cdot,t_k)$ anwenden.) \par Beachte: Statt
     Lemma \ref{C0 konv glatte konv lem} kann man alternativ auch
     Arzel\`a-Ascoli und die Eindeutigkeit des Grenzwertes in $C^0$
     benutzen.
   \item \textbf{Exponentielle Konvergenzraten:} Dies folgt aus den
     Resultaten aus Kapitel \ref{interpol sec}, speziell Lemma
     \ref{exp interpol lem}. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{appendix}
  \section{Erg\"anzung: Analytizit\"at harmonischer Funktionen}
  \begin{theorem}[Analytizit\"at]
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u:\Omega\to\R$ harmonisch. Dann
    ist $u$ in $\Omega$ analytisch.
  \end{theorem}
  \begin{proof}[Beweis]
    Sei $x_0\in\Omega$. Wir werden nachweisen, dass die Taylorreihe
    von $u$ in $x_0$ in einer Kugel um $x_0$ konvergiert. Definiere
    \[r:=\frac14\dist(x_0,\partial\Omega)\] bzw.{} $r:=1$ falls
    $\Omega=\R^n$ und
    \[M:=\frac1{\omega_nr^n}\Vert u\Vert_{L^1(B_{2r}(x_0))}.\] Da
    $u\in C^\infty(\Omega)$ ist, erhalten wir $M<\infty$.\par
    \textbf{Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen:} Wir kombinieren
    \[\left|D^\alpha u(x)\right|\le
    \frac{\left(2^{n+1}n|\alpha|\right)^{|\alpha|}}{\omega_n}
    \frac1{r^{n+|\alpha|}} \Vert u\Vert_{L^1(B_r(x))}\] und
    $B_r(x)\subset B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ f\"ur $x\in B_r(x_0)$ und
    erhalten
    \[\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))}\le
    M\left(\frac{2^{n+1}n}r\right)^{|\alpha|}\cdot|\alpha|^{|\alpha|}.\]
    F\"ur $k\in\N$ gilt $\frac1{k!}k^k\le e^k$ oder \"aquivalent dazu
    $k^k\le e^kk!$. Also ist $|\alpha|^{|\alpha|}\le
    e^{|\alpha|}|\alpha|!$. Das Multinomialtheorem liefert f\"ur
    $|\alpha|=k$
    \[n^k=(1+\ldots+1)^k=\sum\limits_{|\beta|=k}\frac{|\beta|!}{\beta!}
    \ge\frac{|\alpha|!}{\alpha!}.\] Also ist $|\alpha|!\le
    n^{|\alpha|}\alpha!$. Wir erhalten
    \[\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))} \le
    M\left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^{|\alpha|}\alpha!.\]
    \textbf{Potenzreihe:} Wir behaupten, dass (zumindest) f\"ur
    $|x-x_0|<\frac r{2^{n+2}n^3e}$ die Taylorreihe
    \[\sum\limits_\alpha\frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha\]
    gegen $u$ konvergiert. Dazu betrachten wir die
    Restglieddarstellung
    \begin{align*}
      R_N(x):=&\,u(x)-\sum\limits_{k=0}^{N-1}
      \sum\limits_{|\alpha|=k}\frac{D^\alpha
        u(x_0)(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{|\alpha|=N}
      \frac{D^\alpha(x_0+t(x-x_0))(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}
    \end{align*}
    f\"ur ein $t\in[0,1]$. Dies erh\"alt man durch Betrachtung der
    Funktion $g(t):=u(x+t(x-x_0))$, Entwicklung f\"ur $t=0$ und Auswertung
    bei $t=1$. Die obigen Absch\"atzungen f\"ur die Ableitungen von $u$
    liefern
    \begin{align*}
      |R_N(x)|\le&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}
      \left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^N \left(\frac
        r{2^{n+2}n^3e}\right)^N\umbruch\\
      =&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}\left(\frac1{2n}\right)^N
      \le Mn^N\left(\frac1{2n}\right)^N=\frac M{2^N}\umbruch\\
      \to&\,0\quad\text{f\"ur }N\to\infty.
    \end{align*}
    Bemerkung: Die Absch\"atzung $\sum\limits_{|\alpha|=N}1\le n^N$
    erh\"alt man wie folgt; Analogie: $N$ Kugeln sind auf $n$ K\"orbe
    zu verteilen; f\"ur jede Kugel hat man $n$ M\"oglichkeiten, also
    insgesamt h\"ochstens $n\cdots n=n^N$ M\"oglichkeiten.
    % $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die erste Kugel, $n$ M\"oglichkeiten
    % f\"ur die zweite Kugel, ...  $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die
    % $n$-te Kugel.  Dies liefert die Absch\"atzung.
  \end{proof}
  
  \section{H\"olderr\"aume}
  Die im folgenden definierten R\"aume
  $C^{\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ und
  $C^{\cdot,\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ sind Banachr\"aume.
  \begin{definition}[H\"olderr\"aume]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$. Es ist
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$, falls $u$ sich stetig bis
    zum Rand fortsetzen l\"a\ss{}t und
    $$\Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}:=\sup\limits_{x\in\Omega}|u|<\infty.$$
  \item $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$, falls $D^\alpha
    u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ f\"ur alle $|\alpha|\le k$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}:= \sum\limits_{|\alpha|\le
      k}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha u| <\infty.$$
  \item $u\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $0\le\alpha\le 1$,
    falls $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}
    \equiv \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$,
    $0\le\alpha\le 1$, falls $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}
    +\sum\limits_{|\alpha|=k}\left[D^\alpha
      u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}(\Omega)$, $k\in\N$, $0\le\alpha\le1$, falls
    $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol{\Omega'}\right)$ f\"ur alle
    $\Omega'\Subset\Omega$. $C^{k,\alpha}(\Omega)$ ist kein
    Banachraum.
  \end{enumerate}
  F\"ur $0<\alpha<1$ hei\ss{}en die R\"aume $C^{k,\alpha}$
  H\"olderr\"aume. $\Vert\cdot\Vert_{C^{k,\alpha}}$ hei\ss{}t
  H\"oldernorm, $[\cdot]_{C^{0,\alpha}}$ hei\ss{}t H\"olderhalbnorm.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R$ mit $\Omega=(-1,1)$ und $0<\alpha<1$. Dann ist
  $u(x):=|x|^\alpha$ h\"olderstetig. Es ist $u\in
  C^{0,\alpha}(\Omega)$.
\end{beispiel}

\section{Zerlegung der Eins}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Familie $(U_i)_{i\in I}$ mit $U_i\subset\R^n$ hei\ss{}t
    \"Uberdeckung einer Menge $\Omega\subset\R^n$, falls
    $\Omega\subset\bigcup\limits_{i\in I}U_i$ gilt. 
  \item Seien $(U_i)_{i\in I}$ und $(V_j)_{i\in J}$
    \"Uberdeckungen. Dann hei\ss{}t $(V_j)_{j\in J}$ Verfeinerung von
    $(U_i)_{i\in I}$, falls es f\"ur jedes $j\in J$ ein $i\in I$ gibt,
    so dass $V_j\subset U_i$ ist. 
  \item Sei $(U_i)_{i\in I}$, $U_i\subset\R^n$, eine
    \"Uberdeckung. Dann hei\ss{}t die \"Uberdeckung lokal endlich,
    wenn es f\"ur jeden Punkt $x\in\R^n$ ein $r>0$ gibt, so dass
    \[B_r(x)\cap U_i\neq\emptyset\] nur f\"ur h\"ochstens endlich
    viele $i\in I$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item In diesem Kapitel werden wir nur \"Uberdeckungen durch offene
    Mengen betrachen ohne die Offenheit jeweils neu zu fordern. 
  \item Wie beschr\"anken uns hier in der Darstellung auf Teilmengen
    des $\R^n$. Auch in parakompakten R\"aumen (in denen nach
    Definition offene \"Uberdeckungen lokal endliche Verfeinerungen
    besitzen) gibt es Zerlegungen der Eins. Mannigfaltigkeiten sind
    parakompakte R\"aume.
  \item Da wir hier nur Teilmengen des $\R^n$ betrachten, konstruieren
    wir stets glatte Zerlegungen der Eins.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{C infty c lem}
  Es gibt $u\in C^\infty_c\left(\R^n\right)$ mit $0\le u$, $u>0$ in
  $\ol{B_1(0)}$ und $\supp u\Subset B_2(0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Definiere \[u(x):=
  \begin{cases}
    e^{-\frac1{2-|x|^2}}, &|x|<\sqrt 2,\\ 0&\text{sonst.}
  \end{cases}\]
  Per Induktion sieht man, dass alle partiellen Ableitungen von $u$ in
  $B_{\sqrt2}(0)$ von der Form
  $\frac{P\left(x^1,\ldots,x^n\right)}{(2-|x|^2)^k}u(x)$ f\"ur ein
  geeignetes $k\in\N$ und eine Polynom $P$ sind. Daher ist $u\in
  C^\infty_c\left(\R^n\right)$. Die anderen Behauptungen sind klar.   
\end{proof}

\begin{lemma}\label{ueberdeck lem}
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine \"Uberdeckung des $\R^n$. Dann gibt es
  Folgen $x_k\in\R^n$ und $r_k>0$, $k\in\N$, so dass
  $(B_{r_k}(x_k))_{k\in\N}$ und $(B_{2r_k}(x_k))_{k\in\N}$ der
  \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete lokal endliche
  Verfeinerungen und \"Uberdeckungen des $\R^n$ sind.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x\in\R^n$ beliebig. Da die Mengen $U_i$ den gesamten $\R^n$
  \"uberdecken und offen sind, gibt es ein $r=r(x)>0$ mit $r(x)\le 1$
  und ein $i\in I$, so dass $B_{2r(x)}(x)\subset U_i$ ist. Alle diese
  B\"alle \"uberdecken den $\R^n$. \par
  Definiere f\"ur $k\in\N$ die Annuli $A_k:=\ol{B_k(0)}\setminus
  B_{k-1}(0)$. Diese sind kompakt. Somit gibt es f\"ur jedes $k$
  endlich viele B\"alle $B_{r(x)}(x)$, die $A_k$
  \"uberdecken. Die Folge aller hier ausgew\"ahlten Punkte $x_l$ und
  Radien $r_l$ leistet das Gew\"unschte. 
\end{proof}

\begin{definition}[Zerlegung der Eins]
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine \"Uberdeckung von $A\subset\R^n$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Zerlegung der Eins (zur Menge $A$) ist eine Familie
    $(\eta_j)_{j\in J}$ von Funktionen $\eta_j:\R^n\to\R$ mit
    $0\le\eta_j$ f\"ur alle $j\in J$ und \[\sum\limits_{j\in
      J}\eta_j(x)=1\] f\"ur alle $x\in A$.
  \item Eine Zerlegung der Eins $(\eta_j)_{j\in J}$ hei\ss{}t glatt,
    falls $\eta_j\in C^\infty\left(\R^n\right)$ f\"ur alle $j\in J$
    gilt.
  \item Eine Zerlegung der Eins $(\eta_j)_{j\in J}$ hei\ss{}t der
    \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnet, wenn es f\"ur jedes
    $j\in J$ ein $i\in I$ gibt, so dass $\supp\eta_j\subset U_i$ ist. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{zerl eins thm}
  Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine offene \"Uberdeckung des $\R^n$, d.\,h.{}
  eine \"Uberdeckung durch offene Mengen. Dann gibt
  es eine glatte, der \"Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete
  Zerlegung der Eins. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $B_{r_k}(x_k)$ eine Folge von B\"allen wie in Lemma
  \ref{ueberdeck lem}. Wir definieren $C^\infty_c$-Funktionen
  \[\tilde\eta_k(x):=u\left(\frac{x-x_k}{r_k}\right),\] wobei $u$ wie
  in Lemma \ref{C infty c lem} ist. Nach Konstruktion gibt es zu jedem
  $k\in N$ ein (nicht notwendigerweise eindeutig bestimmtes) $i\in I$,
  so dass $\supp\tilde\eta_k(x)\subset U_i$ ist. F\"ur festes $i\in I$
  summieren wir alle diese Funktionen $\tilde\eta_k$ auf und erhalten
  Funktionen $\hat\eta_i$. Aufgrund der lokalen Endlichkeit der
  \"Uberdeckung sind diese Summen glatt und erf\"ullen alle
  geforderten Eigenschaften bis auf die Normierung. Daher definieren
  wir \[\eta_i(x):=\frac{\hat\eta_i(x)}{\sum\limits_{i\in
      I}\hat\eta_i(x)}\] und erhalten $\sum\limits_{i\in
    I}\eta_i\equiv 1$ in $\R^n$. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $A\subset\R^n$ abgeschlossen und $(U_i)_{i\in I}$ eine offene
  \"Uberdeckung von $A$. Dann existiert eine der \"Uberdeckung
  $(U_i)_{i\in I}$ untergeordnete Zerlegung der Eins zur Menge $A$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $U_0:=\R^n\setminus A$. Dann \"uberdecken $U_0$ und
  $(U_i)_{i\in I}$ den
  gesamten $\R^n$. Seien $\eta_0$ und $(\eta_i)_{i\in I}$ die in
  Theorem \ref{zerl eins thm} zu dieser \"Uberdeckung konstruierten
  Funktionen. Dann bilden $(\eta_i)_{i\in I}$ die geforderte
  Zerlegung der Eins zur Menge $A$. 
\end{proof}

\section{Interpolationsungleichungen}
\label{interpol sec}
Eindimensional erhalten wir das folgende Resultat.
\begin{lemma}
  \label{interpol lem 1d}
  Sei $u\in C^2$ auf $[0,\infty)$ oder $\R$. Dann gilt \[\Vert
  Du\Vert_{L^\infty}^2\le 32\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty} \cdot
  \left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty},\] falls auf der rechten Seite
  nicht $0\cdot\infty$ steht. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren den Beweis in dem Fall, dass s\"amtliche Normen endlich
  sind und \"uberlassen den Rest als \"Ubung. \par Wir nehmen ohne
  Einschr\"ankung an, dass $Du(0)\ge\frac12\Vert
  Du\Vert_{L^\infty}\equiv\frac12M$ gilt. Damit erhalten wir f\"ur
  alle $x$ mit $0\le x\le\frac M{4\cdot\left\Vert
      D^2u\right\Vert_{L^\infty}}$ die Absch\"atzung
  \[Du(x)= Du(0)-\int\limits_0^xD^2u(t)\,dt \ge\frac12
  M-\frac{M\cdot\left\Vert
      D^2u\right\Vert_{L^\infty}}{4\cdot\left\Vert
      D^2u\right\Vert_{L^\infty}}=\frac14 M.\] Daraus erhalten wir
  \begin{align*}
    2\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty} \ge&\,\left|u\left(\frac
        M{4\cdot\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty}}\right)
      -u(0)\right| \ge\inf\limits_{0\le t\le\frac M{4\cdot\left\Vert
          D^2u\right\Vert_{L^\infty}}} Du\cdot \frac
    M{4\cdot\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty}}\umbruch\\
    \ge&\,\frac M4\cdot\frac M{4\cdot\left\Vert
        D^2u\right\Vert_{L^\infty}}. 
  \end{align*}
  Umordnen liefert die Behauptung. 
\end{proof}

Dies gilt mit denselben Konstanten auch h\"oherdimensional. Man
schr\"ankt die betrachtete Funktion $u$ einfach auf eine Gerade im
Definitionsgebiet ein. 

Schr\"ankt man die Funktion $u$ auf eine gekr\"ummte Kurve ein, so
erh\"alt man eine Interpolationsungleichung f\"ur beschr\"ankte
Gebiete. 

\begin{theorem}
  \label{interpol thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen beschr\"ankt und mit $C^2$-Rand. Sei
  $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$. Dann gilt \[\Vert
  Du\Vert_{L^\infty}^2\le c(\Omega)\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty}\cdot
  \left(\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty} +\Vert
    Du\Vert_{L^\infty}\right).\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisskizze]
  Zu jedem Punkt $x\in\Omega$ und jedem Vektor $\xi\in\S^{n-1}$ gibt
  es eine Kurve $\gamma \colon[0,\infty)\to\Omega$ mit
  $|\gamma'(t)|\le1$, $\gamma(0)=x$ und $\gamma'(0)\in\{\pm\xi\}$, so
  dass $\Vert\gamma''\Vert_{L^\infty}\le c(\Omega)$ gilt.  Ab hier
  handelt es nun um einen normalen Beweis. \par
  Nach Kettenregel erhalten wir
  \begin{align*}
    (u\circ\gamma)'(t)=&\,Du(\gamma(t))
    \langle\gamma'(t)\rangle,\umbruch\\  
    (u\circ\gamma)''(t)=&\,D^2u(\gamma(t))\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle
    +Du(\gamma(t))\langle\gamma''(t)\rangle,\umbruch\\ 
    |(u\circ\gamma)'(t)|\le&\,|Du(\gamma(t))|,\umbruch\\
    |(u\circ\gamma)''(t)|\le&\,\left|D^2u(\gamma(t))\right|
      +c(\Omega)\cdot |Du(\gamma(t))|. 
  \end{align*}
  Wir wenden nun Lemma \ref{interpol lem 1d} auf die Funktion
  $u\circ\gamma$ an, wobei wir $\gamma$ so w\"ahlen, dass
  $|(u\circ\gamma)'(0)|\ge\frac12\sup\limits_\Omega|Du|$ ist. Die
  Behauptung folgt. 
\end{proof}

Hieraus k\"onnen wir eine additive Variante der
Interpolationsungleichung erhalten.
\begin{lemma}
  Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{interpol thm}
  gilt \[\Vert u\Vert_{C^1(\Omega)}\le \epsilon\cdot\Vert
  u\Vert_{C^2(\Omega)} +\frac{c(\Omega)}{\epsilon}\Vert
  u\Vert_{C^0(\Omega)}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wende die skalierte Youngsche Ungleichung auf \[\Vert
  u\Vert_{C^1}\le c(\Omega)\cdot\sqrt{\Vert u\Vert_{C^0}}\cdot
  \sqrt{\Vert u\Vert_{C^2}}\] an.
\end{proof}
Gilt eine additive Interpolationsungleichung und die Vorfaktoren
lauten $\epsilon$ und $\frac c\epsilon$, so folgt hieraus auch eine
multiplikative Form: W\"ahle $\epsilon=\frac{\sqrt{\Vert
    u\Vert_{C^0}}}{\sqrt{\Vert u\Vert_{C^2}}}$. 

Das folgende Lemma zeigt, dass aus $C^0$-Konvergenz und
gleichm\"a\ss{}igen Schranken bereits glatte Konvergenz folgt. 
\begin{lemma}
  \label{C0 konv glatte konv lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit $C^2$-Rand. Sei
  $u_k\colon\ol\Omega\to\R$, $k\in\N$, eine Folge glatter Funktionen
  mit \[\Vert u_k\Vert_{C^0(\Omega)}\to0\] f\"ur $k\to\infty$ und
  $\Vert u_k\Vert_{C^l(\Omega)}\le c_l$ f\"ur alle $k\in\N$. Dann
  folgt \[\Vert u_k\Vert_{C^l(\Omega)}\to0\] f\"ur $k\to\infty$ und
  beliebige $l\in\N$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen Interpolationsungleichungen der Form \[\Vert
  Du\Vert^2_{C^0(\Omega)} \le c(\Omega)\cdot\Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
  \cdot\left(\left\Vert D^2u\right\Vert_{C^0(\Omega)} +\Vert
    Du\Vert_{C^0(\Omega)}\right).\] Wenden wir dies mit $u_k$ an, so
  folgt \[\Vert Du_k\Vert^2_{C^0(\Omega)} \le
  c(\Omega)\cdot\underbrace{\Vert u_k\Vert_{C^0(\Omega)}}_{\to0} \cdot
  \underbrace{\left(\left\Vert D^2u_k\right\Vert_{C^0(\Omega)} +\Vert
      Du\Vert_{C^0(\Omega)}\right)}_{\le c_2}.\] Somit gilt $\Vert
  Du_k\Vert_{C^0(\Omega)}\to0$ f\"ur $k\to\infty$, also $\Vert
    u_k\Vert_{C^1(\Omega)}\to0$. Nun wenden wir die
    Interpolationsungleichung auf $\fracp{}{x^i}u_k$, $1\le i\le n$,
    an und erhalten $\Vert u_k\Vert_{C^2(\Omega)}\to0$ f\"ur
    $k\to\infty$. Per Induktion folgt die Behauptung. 
\end{proof}

H\"aufig ist bekannt, dass der Abfall in $C^0$ exponentiell ist. In
dieser Situation k\"onnen wir auch den Abfall der h\"oheren
Ableitungen angeben.
\begin{lemma}
  \label{exp interpol lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit $C^2$-Rand. Sei
  $u\colon\ol\Omega\times[0,\infty)\to\R$ glatt mit \[\Vert
  u(\cdot,t)\Vert_{C^0(\Omega)}\le c_0\cdot e^{-\lambda t}\] und
  $\Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^l(\Omega)}\le c_l$ f\"ur alle $t$. Dann
  gibt es zu jedem $l\in\N$ und jedem $\epsilon>0$ eine Konstante
  $c>0$, die nur von $l,\,\epsilon,\,c_0,\,c_1,\,\ldots,\,c_{k_0}$
  abh\"angt (mit von $l$ und $\frac\epsilon\lambda$ abh\"angigen
  $k_0$), so dass \[\Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^l(\Omega)}\le c\cdot
  e^{-(\lambda-\epsilon)t}\] gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wenden wiederholt Interpolationsungleichungen an und erhalten
  damit
  \begin{align*}
    \Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^1(\Omega)}\le&\,
    c(\Omega)\cdot\underbrace{\Vert
      u(\cdot,t)\Vert_{C^0(\Omega)}^{\frac12}}_{\le\sqrt{c_0\cdot
      e^{-\lambda t}}}\cdot \Vert
      u(\cdot,t)\Vert_{C^2(\Omega)}^{\frac12} \le c\cdot
      e^{-\frac\lambda2t},\umbruch\\
      \Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^2(\Omega)}\le&\,c\cdot
      e^{-\frac\lambda4t},\ldots.
  \end{align*}
  Dabei haben wir auf die linke Seite nicht nur die erste oder zweite
  Ableitung geschrieben sondern die volle Norm, weil dies die Notation
  vereinfacht und die niedrigeren Ableitungen ohnehin mit besseren
  Raten abfallen. \par
  Sei $0\le a^k_i\le1$, $i,k\in\N$ f\"ur festes $i\in\N$ eine Folge
  von Zahlen, so dass wir auf diese Weise Absch\"atzungen der
  Form \[\Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^i(\Omega)} \le c(k)\cdot
  e^{-a_i^k\lambda t}\] zeigen k\"onnen. Ohne Einschr\"ankung k\"onnen
  wir die Folge $a^k_i$ in $k$ monoton wachsend w\"ahlen. Definiere
  $a_i:=\lim\limits_{k\to\infty} a^k_i$. Wir behaupten, dass f\"ur
  $i\ge1$ stets \[a_i\ge\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}2\] gilt, falls wir die
  Interpolationsungleichungen oben so angewandt haben, dass die Zahlen
  $a^k_i$ im Limes $k\to\infty$ m\"oglichst gro\ss{} werden: W\"are
  n\"amlich $a_i<\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}2$ f\"ur ein $i$, so g\"abe es
  ein $k$ mit $a_i<\frac{a^k_{i-1}+a^k_{i+1}}2$. Mit Interpolation
  erhalten wir jedoch \[\Vert u(\cdot,t)\Vert_{C^i(\Omega)}\le c\cdot
  \sqrt{e^{-a^k_{i-1}\lambda t}}\cdot \sqrt{e^{-a^k_{i+1}\lambda t}}
  =c\cdot e^{-\frac{a_{i-1}^k+a_{i+1}^k}2\lambda t}.\] Somit k\"onnten
  wir $a^{k+1}_i>a_i$ bekommen und wir h\"atten die
  Interpolationsungleichungen nicht optimal angewandt. \par Es gilt
  $a_0=1$. W\"are $a_1<1$, so folgt aus $a_1\ge\frac{a_0+a_2}2$ durch
  direktes Umformen die Ungleichung $a_1-a_2\ge a_0-a_1>0$. Ebenso
  erhalten wir \[0<a_0-a_1\le a_1-a_2\le a_2-a_3\le a_3-a_4\le
  \ldots.\] Setze $\delta:=a_0-a_1>0$. Dann folgt per Induktion
  $a_0-a_1=\delta$, $1\ge a_0-a_2 =(a_0-a_1)+(a_1-a_2)\ge2\delta$,
  \ldots, $1\ge a_0-a_k\ge k\cdot\delta$ f\"ur alle $k\in\N$. Dies ist
  f\"ur $k\to\infty$ unm\"oglich. Somit gilt $a_i=1$ f\"ur alle
  $i$. Da wir bereits nach endlich vielen Interpolationen erreichen
  k\"onnen, dass $a^k_i$ n\"aher als eine vorgegebene Konstante an $1$
  ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\section{Differenzenquotienten}
% Direkt aus dem Funktionalanalysis-Skript \"ubernommen. 

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $x\in\Omega'\Subset\Omega$, $1\le
  i\le n$ und $h\neq0$. Sei $0<|h|<\dist(\Omega',\partial\Omega)$ und
  $u:\Omega\to\R$.  Definiere den $i$-ten Differenzenquotienten der
  G\"o\ss{}e $h$ durch
  \begin{align*}
    D^h_iu(x):=&\,\frac{u(x+he_i)-u(x)}h,\umbruch\\
    D^hu:=&\,\left(D^h_1u,\,\ldots,\,D^h_nu\right).
  \end{align*}
\end{definition}

% Wir werden nun folgendes benutzen: 
% \begin{remark}[Funktionalanalysis]
%   \neueZeile
%   \begin{enumerate}[(i)]
%   \item Eine Folge $u_k$ in einem Banachraum $X$ konvergiert schwach
%     gegen $u\in X$,
%     $$u_k\rightharpoondown u,$$
%     falls
%     $$u^*(u_k)\to u^*(u)$$
%     f\"ur jedes beschr\"ankte lineare Funktional $u^*\in X^*$ gilt.
%   \item Beispiel $\R^n$. \par
%     Beispiel in $l^2$ f\"ur schwache Konvergenz von
%     $e_i=(\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1\text{ St\"uck}},1,0,\ldots)$
%     ohne Konvergenz: $e_i\rightharpoondown 0$, aber $e_i\not\to0$.
%     (ausf\"uhren).
%   \item Es gilt
%     $$u_k\to u\quad\Longrightarrow u_k\rightharpoondown u.$$
%   \item Jede schwach konvergente Folge ist beschr\"ankt
%     (Banach-Steinhaus),
%     $$\Vert u\Vert\le\liminf\limits_{k\to\infty}\Vert u_k\Vert.$$
%   \item Ein Banachraum heisst reflexiv, falls die kanonische
%     Einbettung in den Bidualraum ein Isomorphismus ist.
%   \item F\"ur $1\le p<\infty$ und eine offenen Menge
%     $\Omega\subset\R^n$ gilt
%     $$\left(L^p(\Omega)\right)^*=L^q(\Omega)$$
%     mit 
%     $$\frac1p+\frac1q=1.$$
%     Somit ist $L^p(\Omega)$ f\"ur $1<p<\infty$ reflexiv.
%   \item Weiterhin ist jeder Hilbertraum reflexiv.
%   \item In einem reflexiven Banachraum gilt: Jede 
%     beschr\"ankte Folge enth\"alt eine schwach konvergente Teilfolge.
%   \end{enumerate}
% \end{remark}

\begin{theorem}[Differenzenquotienten und schwache Ableitungen]
  \label{diff quot thm}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $1\le p<\infty$ und $u\in
    W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur $\Omega'\Subset\Omega$ gibt es ein
    $c=c(\Omega,\Omega',n,p)>0$, so dass
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c\cdot
    \Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$ f\"ur alle
    $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$.
  \item Sei $1<p<\infty$, $u\in L^p(\Omega)$ und $\Omega\subset \R^n$
    offen. Gibt es $c>0$ und $\Omega'\Subset\Omega$ mit
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$$
    f\"ur alle $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$, so gilt
    $u\in W^{1,p}(\Omega')$ und
    $$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega')}\le c.$$
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $1\le p<\infty$ und sei $u$ glatt.  Sei $x\in\Omega'$,
    $1\le i\le n$ und $0<|h|<\frac12
    \dist(\Omega',\partial\Omega)$. Es gilt
    \begin{align*}
      u(x+he_i)-u(x)=&\,\int\limits_0^1u_i(x+the_i)h\,dt\umbruch\\
      |u(x+he_i)-u(x)|\le&\,|h|\cdot\int\limits_0^1 |Du(x+the_i)|\,dt
      \intertext{und aufgrund der H\"olderschen Ungleichung}
      \int\limits_{\Omega'}\left|D^hu\right|^p\le&\,
      c\sum\limits_i\int\limits_{\Omega'}\int\limits_0^1
      |Du(x+the_i)|^p\,dt\,dx\umbruch\\
      =&\,c\sum\limits_i\int\limits_0^1\int\limits_{\Omega'}
      |Du(x+the_i)|^p\,dx\,dt
      \le c\int\limits_\Omega|Du|^p.
    \end{align*}
    Da $\Omega'$ von $\partial\Omega$ mindestens Abstand $2|h|$ hat,
    folgt die Behauptung durch Approximation.
  \item Gelte $\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$.  Sei
    $\phi\in C^\infty_c(\Omega')$ eine Testfunktion. Dann gilt die
    folgende ``partielle Integrationsformel'', falls $|h|\le c(\phi)$
    klein genug ist
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u(x)\frac{\phi(x+he_i)-\phi(x)}{h}dx=&\, 
      -\int\limits_{\Omega'}\frac{u(x)-u(x-he_i)}
      h\phi(x)\,dx,\umbruch\\ 
      \int\limits_{\Omega'}u\left(D^h_i\phi\right)
      =&\,-\int\limits_\Omega  
      \left(D^{-h}_iu\right)\phi.
    \end{align*}
    Nach Voraussetzung ist
    $$\sup\limits_h\left\Vert
      D^{-h}_iu\right\Vert_{L^p(\Omega')}<\infty.$$ 
    Daher existiert $v_i\in L^p(\Omega')$ und eine Folge $h_k\to0$, so 
    dass
    $$D^{-h_k}_iu\rightharpoondown v_i\quad\text{in }L^p(\Omega').$$
    Es folgt
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u\phi_i=&\, \int\limits_\Omega u\phi_i
      =\lim\limits_{h_k\to0}\int\limits_\Omega u\cdot D^{h_k}_i\phi
      =\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_\Omega
      D^{-h_k}_iu\phi\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_{\Omega'} D^{-h_k}_iu\phi
      =-\int\limits_{\Omega'}v_i\phi.
    \end{align*}
    Somit gilt $v_i=u_i$ im schwachen Sinne.  Wegen der schwachen
    Konvergenz ist $v_i\in L^p(\Omega')$ und wir erhalten $Du\in
    L^p(\Omega')$.  Da auch $u\in L^p(\Omega')$ ist, folgt $u\in
    W^{1,p}(\Omega')$.  Die Normabsch\"atzung folgt aus der
    Unterhalbstetigkeit der Norm.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

% \begin{xca}
%   \neueZeile
%   \begin{itemize}
%   \item Zeige, dass der zweite Teil von Theorem \ref{diff quot thm}
%     f\"ur $p=1$ falsch ist.
%   \item Lies \cite[S. 279-281]{EvansPDE}.
%   \item Zeige, dass
%     $$u\in W^{1,\infty}\quad\Longleftrightarrow\quad u
%     \text{ ist gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz}.$$
%   \item Zeige, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$ f\"ur $p>n$ fast
%     \"uberall differenzierbar ist.
%   \end{itemize}
% \end{xca}
\end{appendix}
%
% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
% Folgende Zeile bitte bei bibtex nicht herauskommentieren!
% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%\rule{0mm}{1mm}\phantom{\cite{EvansPDE,GT,JostPDE,FritzJohnPDE,ProtterWeinberger,AdamsSobolev}}\rule{0mm}{1mm}\\[-10ex]
\bibliographystyle{amsplain} \def\emph#1{\textit{#1}}
%\bibliography{biblio}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
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  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

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Robert~A. Adams, \emph{Sobolev spaces}, Academic Press [A subsidiary of
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Lawrence~C. Evans, \emph{Partial differential equations}, Graduate Studies in
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