% 
% Partielle Differentialgleichungen 2
% Oliver Schn\"urer
%
% FU Berlin, Sommer 2009
% Konstanz, Winter 2011/12
% Konstanz, Winter 2013/14
%
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\newtheorem{bemerkung}[theorem]{Bemerkung}

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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Partielle Differentialgleichungen II}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz, Germany}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\amSeeHome}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

% General info
\subjclass[2000]{35-01, 35J25}
% 35-xx Partial differential equations 35-01 Instructional exposition
% (textbooks, tutorial papers, etc.)  35A05 General existence and
% uniqueness theorems 35A08 Fundamental solutions 35A15 Variational
% methods 35B05 General behavior of solutions of PDE (comparison
% theorems; oscillation, zeros and growth of solutions; mean value
% theorems) 35B45 A priori estimates 35B50 Maximum principles 35B65
% Smoothness and regularity of solutions of PDE 35C05 Solutions in
% closed form 35J05 Laplace equation, reduced wave equation
% (Helmholtz), Poisson equation [See also 31Axx, 31Bxx] 35K05 Heat
% equation
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{Schaudertheorie, Krylov-Safonov, Harnackungleichung}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu 
  Partielle Differentialgleichungen II. Ben\"utzt
  \begin{itemize}
  \item an der Freien Universit\"at Berlin im Sommersemester 2006.
  \item an der FU Berlin im Wintersemester 2009/10 (nur
    Schaudertheorie).
  \item Wintersemester 2011/12 und 2013/14 in Konstanz. 
  \end{itemize}
  Vielen Dank an Anja Grabow, Felix Jachan, Thilo Notz und weiteren
  H\"orern der Vorlesung f\"ur zahlreiche Korrekturen.
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen                                                          
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{}
      \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{}
      \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}


% \mainmatter

\section*{Einordnung}
Einige wichtige Theoriebl\"ocke im Bereich der linearen elliptischen
und parabolischen partiellen Differentialgleichungen sind
\begin{itemize}
\item $L^2$- und $L^p$-Theorie,
\item Schaudertheorie (auch f\"ur Operatoren in Divergenzform),
\item De Giorgi-Nash-Moser (Moser Iteration und Regularit\"atstheorie
  von Ennio De Giorgi und John F. Nash Jr.) und
\item Krylov-Safonov Absch\"atzungen. 
\end{itemize}
Wir werden hier die elliptische Schaudertheorie und die parabolischen
Krylov-Safonov Absch\"atzungen kennen lernen. 

Die zugeh\"origen Absch\"atzungen besagen \"ublicherweise, dass
L\"osungen der Differentialgleichungen zweimal mehr differenzierbar
sind als die rechte Seite, falls dies auch f\"ur die Randwerte
gilt. Es h\"angt von der betrachteten Gleichung ab, welche Theorie
anwendbar ist. H\"aufiger sind mehrere davon nacheinander
anzuwenden. Mit Hilfe dieser Theorien kann man Existenzresultate
beweisen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Section{Potentialtheorie}
Wir orientieren uns an \cite{CGPDE}, \cite{GT} und
f\"ur die Stetigkeitsmethode an \cite[Kapitel 10]{JostPDE}.

Juliusz Schauder (1899-1943) war polnischer Mathematiker.

Die hier hergeleiteten Potentialabsch\"atzungen werden wir f\"ur die
Schaudertheorie ben\"otigen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Grundlagen}

Wir benutzen wieder H\"olderr\"aume.

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $f:\Omega\to\R$ eine gegebene
  Funktion, $x_0\in\Omega$ und $0<\alpha<1$. Die Funktion $f$ heisst
  im Punkt $x_0$ h\"olderstetig mit Exponent $\alpha$, falls
  $$\limsup\limits_{\epsilon\searrow 0}
  \sup\limits_{x_0\neq x\in\Omega\cap
    B_\epsilon(x_0)}\frac{|f(x)-f(x_0)|} {|x-x_0|^\alpha}<\infty$$
  gilt. $f$ heisst in $\Omega$ h\"olderstetig, falls $f$ f\"ur alle
  $x\in\Omega$ h\"olderstetig ist, jeweils zum Exponenten
  $\alpha$. Wir schreiben $f\in C^\alpha(\Omega)$. Gilt die obige
  Absch\"atzung f\"ur $\alpha=1$, so heisst $f$ lipschitzstetig in
  $x_0$. Wir definieren $C^{k,\alpha}(\Omega)$ als den Raum der
  Funktionen $f\in C^k(\Omega)$, deren $k$-te partielle Ableitungen
  h\"olderstetig zum Exponenten $\alpha$ sind.

  Ist $$\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}\frac{|f(x)-f(y)|}
  {|x-y|^\alpha}<\infty,$$ so ist $f\in
  C^\alpha\left(\ol\Omega\right)$. Wir definieren auf diesem Raum eine
  Halbnorm durch
  $$[f]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}:=
  \sup\limits_{x\neq y\in\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$
  Eine Norm erhalten wir durch
  $$\Vert f\Vert_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}
  :=\Vert f\Vert_{C^0\left(\ol\Omega\right)}
  +[f]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}.$$ Sind die $k$-ten
  Ableitungen einer $C^k\left(\ol\Omega\right)$-Funktion sogar in
  $C^\alpha\left(\ol\Omega\right)$, so definieren wir auf diesem Raum
  eine Norm durch
  $$\Vert f\Vert_{C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}:=
  \Vert f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
  \left[D^\beta f\right]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}.$$ Es gilt
  $C^{0,\alpha}=C^\alpha$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\partial\Omega$ lipschitz, $\Omega\subset\R^n$ offen,
  beschr\"ankt und zu\-sam\-men\-h\"an\-gend, so gibt es f\"ur alle
  $x$, $y\in\Omega$ einen $C^1$-Weg $\gamma:[0,1]\to\Omega$ mit
  $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$ und L\"ange $L(\gamma)
  =\int\limits_0^1|\gamma'(t)|\,dt\le c(\Omega)\cdot|x-y|$
  (\"Ubung). In diesem Falle (au\ss{}er f\"ur $C^1\hookrightarrow
  C^{0,1}$ gilt dies auch f\"ur allgemeine beschr\"ankte offene Mengen
  $\Omega$) sind die folgenden Einbettungen stetig
  $$C^{1,\alpha}\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^1\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^{0,1}\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right).$$

  Daher sind die folgenden beiden Normen auf
  $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ \"aquivalent
  \begin{align*}
    \Vert f\Vert_{C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}=&\, \Vert
    f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
    \left[D^\beta f\right]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\umbruch
    \intertext{und}\umbruch &\,\Vert f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)}
    +\sum\limits_{|\beta|\le k}
    \left[D^\beta f\right]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{|\beta|\le k} \Vert D^\beta
    f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}.
  \end{align*}
\end{remark}

Wir erhalten das folgende Resultat
\begin{lemma}\label{Hoelder prod lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $f_1$, $f_2\in
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, so ist $f_1\cdot f_2\in
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ und es gilt
  $$[f_1f_2]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\le
  [f_1]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)} \sup\limits_\Omega|f_2|
  +[f_2]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)} \sup\limits_\Omega|f_1|.$$
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus der folgenden Ungleichung
  $$\frac{|f_1(x)f_2(x)-f_1(y)f_2(y)|}{|x-y|^\alpha}\le
  \frac{|f_1(x)-f_1(y)|}{|x-y|^\alpha}|f_2(x)|
  +\frac{|f_2(x)-f_2(y)|}{|x-y|^\alpha}|f_1(y)|.$$
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\omega_n=|B_1|$ in $\R^n$. Wir definieren die
  Fundamentall\"osung f\"ur die Laplacegleichung als
  $$\Gamma(x,y)\equiv\Gamma(x-y)\equiv\Gamma(|x-y|)
  =\begin{cases}
    \tfrac1{2\pi}\log|x-y|,&n=2,\\
    \frac1{n(2-n)\omega_n}|x-y|^{2-n},&n>2.
  \end{cases}$$
\end{definition}

Weiterhin ben\"otigen wir noch das folgende einfache Lemma.
\begin{lemma}\label{el pot est}
  Sei $E\subset\R^n$ messbar und sei $|E|$ das Ma\ss{} dieser Menge.
  Dann gilt f\"ur alle $x\in\R^n$, $0<\alpha<n$ und $n\ge2$
  $$\int\limits_E\frac1{|x-y|^{n-\alpha}}dy\le\frac{\omega_n}\alpha
  n\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{\alpha/n},$$ wobei
  $\omega_n=|B_1(0)|$ ist.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Einschr\"ankung $|E|<\infty$ und sei $B=B_R(x)$ eine Kugel
  mit gleichem Ma\ss{}, $|E|=|B|$, d.\,h.\ sei
  $R=\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{1/n}$. Definiere $\tilde
  B:=E\cap B$. Setze $r:=|x-y|$ f\"ur fixiertes $x\in\R^n$.  Wir
  erhalten die folgenden Absch\"atzungen
  \begin{align*}
    \int\limits_E\frac1{r^{n-\alpha}} =&\, \int\limits_{\tilde
      B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\int\limits_{E\setminus\tilde B=E\setminus B}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    \le&\,\int\limits_{\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\frac1{R^{n-\alpha}}\left[|E|-\left|\tilde B\right|\right]\\
    \le&\,\int\limits_{\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\int\limits_{B\setminus\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    =&\,\int\limits_B\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    =&\,\int\limits_{\S^{n-1}}\int\limits_0^R\underbrace{\frac1{r^{n-\alpha}}
      r^{n-1}}_{=r^{\alpha-1}}\,dr\,d{\mathcal H}^{n-1}\\
    =&\,\left.\frac1\alpha r^\alpha\right|^R_0\cdot\left|\S^{n-1}\right|
    =\frac1\alpha R^\alpha n\omega_n,\\
  \end{align*}
  da
  $$\omega_n=|B_1(0)|=\int\limits_{B_1}1=\int\limits_{\S^{n-1}}\int
  \limits_0^1r^{n-1}\,dr\,d{\mathcal
    H}^{n-1}=\frac1n\left|\S^{n-1}\right|$$ gilt. Nun ist
  $R=\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{1/n}$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{el pot est zwei}
  Sei $0<\alpha<n$.  Es gilt f\"ur kleine $\delta>0$
  $$\int\limits_{B_\delta(x_0)}\frac1{|x-y|^{n-\alpha}}\,dy\le
  n\frac{\omega_n}\alpha\delta^\alpha =O\left(\delta^\alpha\right)$$
  f\"ur beliebige $x$, $x_0\in\R^n$, falls $n\ge2$ ist.  Weiterhin
  gilt in zwei Dimensionen, $n=2$,
  $$\int\limits_{B_\delta(x_0)}|\log|x-y||\,dy=o(\delta),$$
  ebenfalls f\"ur beliebige $x$, $x_0\in\R^2$ mit $|x-x_0|\le
  c$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Der erste Teil der Behauptung folgt direkt aus Lemma \ref{el pot est}.

Wir d\"urfen annehmen, dass $\delta<\frac14$ ist. Weiterhin d\"urfen
wir annehmen, dass $|x-x_0|\le\frac12$ gilt. Sonst ist nach
Dreiecksungleichung stets $|x-y|\ge\frac14$, der Integrand also
beschr\"ankt und die Behauptung klar. Aus den obigen Annahmen ergibt
sich $|x-y|\le\frac34$, $\log|x-y|$ ist daher stets negativ. Somit
d\"urfen wir wie in Lemma \ref{el pot est} argumentieren, da der
Integrand auch hier monoton in $|y-x|$ ist. Daher gen\"ugt es, das
Integral im Falle $x=x_0$ abzusch\"atzen. Es gilt
$$\int\limits_{B_\delta(x)}|\log|x-y||\,dy=
\int\limits_{\S^{1}}\int\limits_0^\delta|\log|x-y||\cdot r$$ mit
$r=|y-x|$. Die Funktion $f(t)=\frac12t^2\log t-\frac14t^2$ ist eine
Stammfunktion zu $t\log t$. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Innere H\"olderabsch\"atzungen}

Die nachfolgenden Integrale sind absolut konvergent. Wir werden sie
ausrechnen indem wir zun\"achst bei der Integration $\epsilon$-Kugeln
um die Singularit\"aten ausl\"asst und dann $\epsilon\searrow0$
l\"asst. Dabei erh\"alt man die \"ublichen Werte. Die so erhaltenen
Ergebnisse bezeichnet man auch als Cauchyschen Hauptwerte. Sie
k\"onnen auch f\"ur nicht absolut konvergente Integrale existieren.

\begin{theorem}[Gau\ss{}]\label{Gauss thm}
Sei $E\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $n\ge2$ und $f\in L^\infty(E)$. 
Dann sind die Integrale 
\begin{align*}
U(x)=&\,\int\limits_E\Gamma(r)f(y)\,dy,\quad r=|x-y|,\umbruch\\
U_i(x)=&\,\int\limits_E\fracp{}{x^i}\Gamma(r)f(y)\,dy
\end{align*}
f\"ur alle $x\in\R^n$ absolut konvergent, es ist 
$U\in C^1\left(\R^n\right)$ und f\"ur die Ableitungen
gilt $\fracp{}{x^i}U=U_i$ f\"ur alle $1\le i\le n$. 
Es gelten die Absch\"atzungen
\begin{align*}
\Vert U\Vert_{C^1\left(\R^n\right)}\le&\,c(E,n)\cdot
\Vert f\Vert_{L^\infty(E)}\quad\text{f\"ur }n\ge3\umbruch
\intertext{und}
\Vert DU\Vert_{C^0\left(\R^n\right)}+\Vert U\Vert_{C^0(B_R(0))}
\le&\,c(E,n,R)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(E)}
\quad\text{f\"ur }n=2.
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Wir schreiben die Integrale als
\begin{align*}
U(x)=&\,\lim\limits_{\delta\searrow0}\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\Gamma(r)f(y)\,dy
\intertext{und}
U_i(x)=&\,\lim\limits_{\delta\searrow0}\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\fracp{}{x^i}\Gamma(r)f(y)\,dy.
\end{align*}
Beachte zun\"achst, dass in allen Dimensionen $n\ge2$
$$\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\le c\cdot r^{1-n}$$
gilt. Absolute Konvergenz folgt nun aus
\begin{align*}
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}|\Gamma(r)||f(y)|\le&\,
\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{E\setminus B_\delta}|\Gamma(r)|\\
\le&\,\begin{cases}
c(E,n,R)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},&n=2,\quad x\in B_R(0),\\
c(E,n)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},&n\ge 3,
\end{cases}\\
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
|f(y)|\le&\,
\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
\le c(E,n)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},\\
\end{align*}
da die angegebenen Absch\"atzungen unabh\"angig von $\delta$ sind, 
wobei wir die Lemma \ref{el pot est} und \ref{el pot est zwei} 
verwendet haben. 
Aus diesen Absch\"atzungen folgt auch (falls wir nachweisen
k\"onnen, dass $U_i$ die Ableitungen von $U$ sind) die behauptete
Norm\-ab\-sch\"atz\-ung.

Wir haben noch die Ableitungen von $U$ mit $U_i$ zu vergleichen.
Sei dazu $\epsilon>0$. Definiere $r_\epsilon:=(r^2+\epsilon)^{1/2}$ 
und 
$$U_\epsilon(x)=\int\limits_E\Gamma(r_\epsilon)f(y)\,dy.$$
Es gilt $U_\epsilon\in C^\infty\left(\R^n\right)$ (was man wie beim
Beweis der Gl\"attung von Funktionen einsieht) und wir behaupten, dass
$U_\epsilon-U\rightrightarrows 0$ in $\R^n$ konvergiert.  Es gilt
n\"amlich (nehme im Falle $n=2$ ohne Einschr\"ankung an, dass
$\delta\le\frac12$ und $\epsilon\le\frac12$ gelten)
\begin{align*}
|U(x)-U_\epsilon(x)|\le&\,\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|\cdot|f|
\umbruch\\
\le&\,\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|
\umbruch
\intertext{und weiterhin gilt}
\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|\le&\,
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|
+2\int\limits_{B_\delta(x)}|\Gamma(r)|.
\end{align*}
F\"ur den zweiten Term haben wir $|r_\epsilon|>|r|$ 
und die Monotonie von $\Gamma$ benutzt. Aufgrund der Integrierbarkeit
k\"onnen wir zun\"achst $\delta$ so klein machen, dass das 
zweite Integral kleiner als ein $\epsilon'>0$ wird. 
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes sch\"atzen wir das Argument im
ersten Integral durch $c(\delta)\cdot\epsilon$ ab. Hier h\"angt
$c(\delta)$ insbesondere von $D\Gamma$ ab und dies wird im 
Unendlichen klein, verursacht also keine Probleme. Schlie\ss{}lich
w\"ahlen wir nun $\epsilon=\epsilon(\delta)$ klein und k\"onnen 
auch das erste Integral durch $\epsilon'$ beschr\"anken. Die 
behauptete gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz folgt. 

Beim Nachweis der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz haben wir 
insbesondere die Integrierbarkeit von $\Gamma$ benutzt. Dies
funktioniert f\"ur $\fracp{}{x^i}\Gamma$ ganz analog. Die
Details sind eine \"Ubung. Wir erhalten also auch
\[\fracp{}{x^i}U_\epsilon\rightrightarrows U_i,\] also
gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz auf ganz $\R^n$. 

Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz sind $U$ und $U_i$ stetig.

Da wir bei gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz Differentiation und
Grenzwertbildung in der Folge vertauschen d\"urfen, folgt
also $U\in C^1\left(\R^n\right)$ und es gilt
$U_i=\fracp{}{x^i}U$.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{dini thm}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol\Omega\right)$, $0<\alpha\le 1$. Dann ist
$$w(x):=\int\limits_\Omega\Gamma(r)f(y)\,dy\quad
(\text{wobei wiederum }r=|x-y|\text{ ist\/})$$
in $C^2(\Omega)$ und in $\Omega$ gilt
$$\Delta w(x)=f(x).$$

Sei $\Omega\subset\Omega_0\Subset\R^n$, $\Omega_0$ offen, und sei
$\partial\Omega_0 \in C^1$ (ggf.{} ist auch $\Omega=\Omega_0$
zul\"assig; es gen\"ugt, $\Omega_0$ so zu w\"ahlen, dass der
Divergenzsatz gilt). Setze $f$ durch $0$ nach $\Omega_0$ fort. Dann
gilt f\"ur $x\in\Omega$ die sogenannte {\em Dinische Formel\/}
$$\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}.$$
$\nu$ bezeichnet hier die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega_0$. 

Schlie\ss{}lich gilt auf kompakten Teilmengen $\Omega'\Subset\Omega$
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{L^\infty(\Omega')}
\le c\left(\Omega',\alpha,n,\Omega\right)\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
\rule{1mm}{0mm}\\\rule{0mm}{1mm}
$\bullet$ Definiere 
$$u(x):=\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}.$$
Dieser Ausdruck ist f\"ur $x\in\Omega$ wohldefiniert,
denn es gilt
$$\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\right|\cdot
|f(y)-f(x)|\le c\cdot [f]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\cdot
\frac{r^\alpha}{r^n}.$$
Benutze nun Lemma \ref{el pot est}. Das Randintegral ist
unproblematisch, denn f\"ur alle $x\in\Omega$ ist der Abstand
zu $\partial\Omega_0$ (nicht gleichm\"a\ss{}ig) nach unten
beschr\"ankt. Somit tritt keine Singularit\"at auf.  

Sei $1\le i\le n$ fixiert und setze $v:=w_i$. Beachte,
dass nach Theorem \ref{Gauss thm} $w\in C^1\left(\R^n\right)$ ist.
Fixiere eine glatte Abschneidefunktion $\eta:\R\to\R$ mit
$0\le\eta\le1$ und
$$\eta(t)=\begin{cases}
0,&t\le 1\\
1,&t\ge 2,
\end{cases}$$
so dass $|\dot\eta|\le2$ gilt. Definiere 
$$\eta_\epsilon(t):=\eta\left(\frac t\epsilon\right)$$
und 
\begin{align*}
v_\epsilon(x):=&\,\int\limits_\Omega\fracp{}{x^i}
\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot
\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy. 
\end{align*}
Aufgrund der eingef\"ugten Abschneidefunktion ist wieder
klar, dass $v_\epsilon\in C^\infty\left(\R^n\right)$ ist. 

Wir behaupten, dass auf kompakten Teilmengen
$\Omega'\Subset\Omega$
\[\fracp{}{x^j}v_\epsilon\rightrightarrows u\]
f\"ur $\epsilon\searrow0$ gilt, also gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz
vorliegt.  Es gilt (alle Integrationen sind bez\"uglich $y$)
\begin{align*}
\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)=&\,
\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
+f(x)\cdot\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\eta_\epsilon(r)\right]\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{y^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\eta_\epsilon(r)\right]\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}
\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\cdot\nu_j.
\end{align*}
Die Differenz zu $u$ sch\"atzen wir f\"ur $x\in\Omega'$ wie folgt ab
\begin{align*}
\left|u(x)-\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)\right|\le&\,
\int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\right|
\cdot|1-\eta_\epsilon(r)|\cdot|f(y)-f(x)|\,dy\\
&\,+\int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
\cdot\left|\fracp{}{x^j}\eta_\epsilon(r)\right|
\cdot\left|f(y)-f(x)\right|\,dy\\
&\,+|f(x)|\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}
\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\cdot|1-\eta_\epsilon(r)|\,dy\umbruch\\
\equiv&\,I_1+I_2+I_3.
\end{align*}
Da $x\in\Omega'\Subset\Omega$ ist und nach Wahl der Abschneidefunktion
erhalten wir mit Hilfe von Lemma \ref{el pot est}
f\"ur $0<\epsilon\le\epsilon\left(\Omega,\Omega'\right)$
\begin{align*}
I_1\le&\,c\cdot\int\limits_{|y-x|\le2\epsilon}
\frac1{|x-y|^n}\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}
\cdot|x-y|^\alpha\,dy\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}
\cdot\epsilon^\alpha.
\end{align*}
Da $\epsilon>0$ klein ist, durften wir insbesondere annehmen, dass
$\Omega'+B_{2\epsilon}(0)\subset\Omega$ gilt, was die Absch\"atzung
von $|f(y)-f(x)|$ mit Hilfe der H\"oldernorm rechtfertigt.  Hier haben
wir die Norm mit $\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}$
statt $\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol{\Omega}\right)}$
bezeichnet.  Der Raum $C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)$ ist kein
Banachraum. Wenn wir aber diesen Index nur zur Bezeichnung der Norm
verwenden, ist klar, dass es die Norm auf
$C^{0,\alpha}\left(\ol{\Omega}\right)$ sein soll, auch wenn wir den
Abschluss weglassen. Dies wollen wir auch in Zukunft so handhaben.

Die Differentiation von $\eta_\epsilon$ liefert einen zus\"atzlichen
Faktor $\epsilon^{-1}$. Wir erhalten daher
\begin{align*}
I_2\le&\,c\cdot\int\limits_{\epsilon\le|y-x|\le2\epsilon}
\frac1\epsilon\cdot\frac1{|y-x|^{n-1}}\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot
|x-y|^\alpha\,dy\umbruch\\  
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot
\frac1\epsilon\cdot\underbrace{\int\limits_{|y-x|\le2\epsilon}
\frac1{|y-x|^{n-1-\alpha}}\,dy}_{\le c\cdot\epsilon^{1+\alpha}}\umbruch\\  
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot\epsilon^\alpha.
\end{align*}

Das Integral $I_3$ verschwindet sogar, wenn $\epsilon$ klein
genug ist. Dann folgt aus
$$\epsilon<\tfrac12\dist(\Omega',\partial\Omega)
\le\dist(\Omega',\partial\Omega_0)\le\tfrac12|x-y|$$ f\"ur
$x\in\partial\Omega_0$ und $x\in\Omega'$ n\"amlich schon
$\eta_\epsilon(r)=1$.

Wir erhalten somit
$$\left|u(x)-\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)\right|\le 
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot\epsilon^\alpha
\to0\text{ f\"ur }x\in\Omega',\text{ falls }\epsilon\to0.$$

Als lokal gleichm\"a\ss{}iger Limes von stetigen Funktionen ist 
daher auch $u$ stetig, $u\in C^0(\Omega)$. 

Wir behaupten, dass die $v_\epsilon$ gleichm\"a\ss{}ig in ganz
$\Omega$ gegen eine (gleich noch definierte) Funktion $v$
konvergieren. Wir bilden f\"ur $x\in\R^n$ die Differenz von
\begin{align*}
  v(x)=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot
  f(y)\,dy\umbruch \intertext{und (der bereits oben definierten
    Funktion) }
  v_\epsilon(x)=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
  \cdot\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy\umbruch \intertext{und erhalten}
  |v(x)-v_\epsilon(x)|\le&\,
  \int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\cdot
  |1-\eta_\epsilon(r)|\cdot|f(y)|\,dy\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(\Omega)}\cdot
  \int\limits_{|x-y|\le2\epsilon}\frac1{|x-y|^{n-1}}\,dy\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(\Omega)}\cdot\epsilon.
\end{align*}
Wir haben also nun in $\Omega'\Subset\Omega$
\begin{align*}
v_\epsilon\rightrightarrows&\,v\umbruch
\intertext{und}
\fracp{}{x^j}v_\epsilon\rightrightarrows&\,u
\end{align*}
nachgewiesen. Wir d\"urfen also die Grenzwertbildung 
$\epsilon\searrow0$ und die Differentiation vertauschen. 
Da $v=\fracp{w}{x^i}$ gilt, folgt also $w\in C^2(\Omega)$ 
und die zweiten Ableitungen sehen so wie in der Dinischen
Formel behauptet aus. 

$\bullet$ Sei nun $x\in\Omega$. Wir w\"ahlen $\Omega_0=
B_R(x)$ f\"ur ein $R>0$, so dass $\Omega\Subset B_R(x)$
gilt. Aufgrund der Dinischen Formel erhalten wir
\begin{align*}
  \Delta w(x)=&\,\int\limits_{B_R}\Delta\Gamma(r)[f(y)-f(x)]\,dy
  -f(x)\cdot\int\limits_{\partial
    B_R(x)}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\nu^i
  \umbruch\\
  =&\,-f(x)\cdot\begin{cases} \int\limits_{\partial
      B_R}\frac1{2\pi}\frac{x_i-y_i}{|x-y|^2}
    \frac{y^i-x^i}{|x-y|}\,dy,&n=2,\\
    \int\limits_{\partial B_R}\frac1{n\omega_n}\frac{x_i-y_i}{|x-y|^n}
    \frac{y^i-x^i}{|x-y|}\,dy,&n\ge3.
\end{cases}\umbruch\\
=&\,f(x),
\end{align*}
da $|\partial B_R|=n\omega_nR^{n-1}$ ist. Im ersten Schritt
haben wir benutzt, dass $\Gamma$ eine Fundamentall\"osung 
der Laplacegleichung ist, dass also f\"ur $r\neq0$ 
die Gleichheit $\Delta\Gamma=0$
gilt. Eine einfache Absch\"atzung, als \"Ubungsaufgabe \"uberlassen,
zeigt, dass auch die Singularit\"at bei $x=y$ keinen
Beitrag zu diesem Integral liefert. 

$\bullet$ F\"ur die Normabsch\"atzung verwenden wir nochmals
die Dinische Formel. Sei also $x\in\Omega'$. Schreibe
\begin{align*}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=&\,\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}\umbruch\\
\equiv&\,I_1+I_2.
\end{align*}
Wir erhalten (da sich f\"ur $x\in\Omega'$ und $y\in\Omega_0$ 
der H\"olderquotient absch\"atzen l\"asst, denn dann ist
$|x-y|\ge\epsilon$ und wir benutzen nur die $C^0$-Schranke)
\begin{align*}
|I_1|\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot
\int\limits_{\Omega_0}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)},\umbruch
\intertext{und}
|I_2|\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(\Omega)}.
\end{align*}
Das Theorem folgt. 
\end{proof}

F\"ur die zweiten Ableitungen wollen wir bei 
h\"olderstetiger rechter Seite noch die 
H\"olderstetigkeit nachweisen.

Wir definieren zun\"achst Normen, die sich unter
Homothetien des Gebietes nicht \"andern.
\begin{definition}[Dimensionsunabh\"angige Normen]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$d:=\diam\Omega$. Dann definieren wir auf $C^k\left(\ol\Omega\right)$
bzw.\ $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ dimensionsunabh\"angige
Normen durch
\begin{align*}
\Vert u\Vert'_{C^k(\Omega)}:=&\,\sum\limits_{i=0}^kd^i\cdot
\sum\limits_{|\beta|=i}\Vert D^\beta u\Vert_{C^0(\Omega)}\umbruch
\intertext{und}
\Vert u\Vert'_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:=&\,
\Vert u\Vert'_{C^k(\Omega)}+d^{k+\alpha}\cdot
\left[D^k u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.
\end{align*}
\end{definition}
 
\begin{remark}
Sei $u\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$v\in C^{0,\beta}\left(\ol\Omega\right)$ und $\gamma=\min\{\alpha,
\beta\}$. Dann ist 
$u\cdot v\in C^{0,\gamma}\left(\ol\Omega\right)$ und es gilt
$$\Vert u\cdot v\Vert'_{C^{0,\gamma}(\Omega)}\le
\Vert u\Vert'_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot
\Vert v\Vert'_{C^{0,\beta}(\Omega)}.$$
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubung.  
\end{proof}

Beim nachfolgenden Theorem mache man sich als \"Ubung klar, dass
gerade bei der angegebenen Ungleichung f\"ur die Normen das
Skalierungsverhalten so ist, dass keine Abh\"angigkeit
der Konstanten von $R$ auftritt.
\begin{theorem}\label{c zwei alpha thm}
Sei $R>0$, $B_1=B_R(x_0)$, $B_2=B_{3R}(x_0)$. Sei $0<\alpha<1$,
$f\in C^{0,\alpha}\left(\ol{B_2}\right)$ und sei
$$w(x):=\int\limits_{B_2}\Gamma(r)\cdot f(y)\,dy,\quad
r=|x-y|.$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{B_1}\right)$ und es gilt
$$\Vert D^2w\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_1)}\le c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_2)},$$
d.\,h.
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0(B_R)}+R^\alpha\cdot
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le
c(n,\alpha)\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Wir verwenden wiederum die Dinische Formel, diesmal mit
$\Omega=\Omega_0=B_2$,
$$\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=
\int\limits_{B_2}\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\int\limits_{\partial B_2}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\nu_j\,dy.$$
Hieraus folgt f\"ur $x\in B_1$ direkt (da $r\approx R$ auf $\partial B_2$)
\begin{align}
\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)\right|\le&\,
c\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\cdot\int\limits_{B_2}
\frac1{r^{n-\alpha}}+\Vert f\Vert_{C^0(B_2)}\cdot
\int\limits_{\partial B_2}|D\Gamma(r)|\umbruch\nonumber\\
\le&\,c\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\cdot R^\alpha
+c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_2)}\umbruch\label{hoeld *}\\
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_2)}.\nonumber
\end{align}
Seien nun $x$, $\ol x\in B_1$, $0<\delta:=|x-\ol x|$,
$\xi:=\frac{x+\ol x}2$, $r=|x-y|$, $\ol r=|\ol x-y|$. 
Beachte, dass $B_\delta(\xi)\subset B_2$ ist. 
Es gilt 
$$\fracp{^2}{\bar x^i\partial \bar x^j}w(\ol x)=
\int\limits_{B_2}\fracp{^2}{\bar x^i\partial\bar x^j}\Gamma(\ol
r)[f(y)-f(\ol x)]\,dy -f(\ol x)\int\limits_{\partial B_2}\fracp{}{\bar
  x^i}\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j\,dy.$$ Wir schreiben
\begin{align*}
D_iD_jw(\ol x)-D_iD_jw(x)=&\,
f(x)I_1+[f(x)-f(\ol x)]I_2\\
&\,+I_3+I_4+[f(x)-f(\ol x)]I_5+I_6\umbruch
\intertext{mit}
I_1=&\,\int\limits_{\partial B_2}
\{D_i\Gamma(r)-D_i\Gamma(\ol r)\}\cdot\nu_j,\umbruch\\
I_2=&\,\int\limits_{\partial B_2}D_i\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j,\umbruch\\
I_3=&\,\int\limits_{B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(r)[f(x)-f(y)],\umbruch\\
I_4=&\,\int\limits_{B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(\ol r)[f(y)-f(\ol x)],\umbruch\\
I_5=&\,\int\limits_{B_2\setminus B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(r),\umbruch\\
I_6=&\,\int\limits_{B_2\setminus B_\delta(\xi)}
\{D_iD_j\Gamma(r)-D_iD_j\Gamma(\ol r)\}[f(\ol x)-f(y)].
\end{align*}
Dies rechnet man unmittelbar nach, da alle Integrale -- wie wir uns
anhand der folgenden Rechnungen \"uberzeugen -- absolut konvergieren. 
Wir betrachten die auftetenden
Integrale einzeln. Es gen\"ugt, jedes einzelne Integral
(mit den entsprechenden Vorfaktoren) 
betragsm\"a\ss{}ig nach oben durch
$$c(n,\alpha)\cdot\left(\frac\delta R\right)^\alpha\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}$$
abzusch\"atzen. 
\begin{enumerate}[(i)]
\item Wir definieren $r_t=|tx+(1-t)\ol x-y|$. Dann ist
\begin{align*}
D_i\Gamma(r)-D_i\Gamma(\ol r)=&\,\int\limits_0^1\dt D_i\Gamma(r_t)\,dt
\umbruch\\ 
=&\,\int\limits_0^1D_iD_k\Gamma(r_t)\left(x^k-\ol x^k\right).
\end{align*}
Somit erhalten wir 
$$|I_1|\le c\cdot\int\limits_0^1\int\limits_{\partial B_2}
\frac1{r_t^n}\delta\le c\cdot\frac\delta R
\le c(n,\alpha)\cdot\left(\frac\delta R\right)^\alpha,$$
denn es gilt $\frac\delta{2R}\le1$ und $r_t|_{\partial B_2}\ge R$. 
\item Es gilt
$$|I_2|\le\int\limits_{\partial B_2}|D\Gamma(\ol r)|\le c(n).$$
Weiterhin gilt 
$$|f(x)-f(\ol x)|\le[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta^\alpha.$$
\item Wir erhalten nach Lemma \ref{el pot est}
$$|I_3|\le\int\limits_{B_\delta(\xi)}\left|D^2\Gamma(r)\right|\cdot
|x-y|^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\le c(n,\alpha)\cdot\delta^\alpha\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}}.$$
\item $I_4$ behandelt man analog zu $I_3$.
\item Wir integrieren partiell
$$|I_5|\le\left|\,\,\int\limits_{\partial
  B_2}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j\right| +\left|\,\,\int\limits_{\partial
  B_\delta(\xi)}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j\right| \le c,$$ denn das erste
  Integral ist beschr\"ankt und im zweiten Integral gilt
  $|x-y|\ge|y-\xi|-|x-\xi|=\delta-\frac\delta2=\frac12\delta$. Wir
  k\"onnen die Betr\"age ins Integral hineinziehen. Der Rest
  funktioniert dann wie bei $I_2$. Hier ist die absolute Konvergenz
  ohnehin klar, da keine Singularit\"at auftritt.
\item Es gilt mit $r_t$ wie oben
$$D_iD_j\Gamma(r)-D_iD_j\Gamma(\ol r)=
\int\limits_0^1D_iD_jD_k\Gamma(r_t)\left(x^k-\ol x^k\right).$$
Somit folgt mit $|x-\ol x|=\delta$
$$|I_6|\le c\cdot\int\limits_0^1\delta\int\limits_{|y-\xi|\ge\delta}
\frac{|y-\ol x|^\alpha}{r_t^{n+1}}\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}.$$
Da $|y-\xi|\ge\delta$ ist, folgt 
$$|y-\ol x|\le|y-\xi|+\underbrace{|\ol x-\xi|}_{=\tfrac12\delta}
\le2|y-\xi|$$
und
$$r_t=|tx+(1-t)\ol x-y|\equiv|x_t-y|\ge|y-\xi|
-\underbrace{|x_t-\xi|}_{\le\tfrac12\delta}\ge\tfrac12|y-\xi|.$$
Als Absch\"atzung f\"ur $I_6$ erhalten wir daher
\begin{align*}
|I_6|\le&\,c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta\cdot
\int\limits_{|y-\xi|>\delta}\frac1{|y-\xi|^{n+1-\alpha}}\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta\cdot n\cdot\omega_n\cdot
\int\limits_\delta^\infty\frac{r^{n-1}}{r^{n+1-\alpha}}\,dr\umbruch\\  
=&\,\frac c{1-\alpha}\cdot n\cdot\omega_n\cdot\delta^\alpha\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}}.
\end{align*}
\end{enumerate}
Damit sind alle Integrale wie gew\"unscht abgesch\"atzt und das
Theorem folgt. 

Wir halten noch einmal fest, dass f\"ur alle $x$, $\ol x\in B_1$ die
folgende Absch\"atzung gilt. Dabei gen\"ugt, wie man sich anhand der obigen
Absch\"atzungen leicht \"uberzeugen kann, in der ersten Norm sogar
die Norm \"uber die kleinere Kugel. 
\begin{equation}\label{hoeld **}
|D_iD_jw(x)-D_iD_jw(\ol x)|\le c(n,\alpha)\cdot
\left\{R^{-\alpha}\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_1)}
+[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\right\}\cdot
|x-\ol x|^\alpha.  
\end{equation}
\end{proof}

\begin{remark}\label{glob c zwei alpha}
Sei $f\in C^{0,\alpha}_c(B_R(0))$ und sei in der bisherigen Notation
$$w:=\int\limits_{\R^n}\Gamma(r)\cdot f(y)\,dy.$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ und es gilt
\begin{align}
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le&\,c(n,\alpha)\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)},\label{est eins}\umbruch\\
\left\Vert D^2w\right\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le&\,c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_{3R})},\label{est zwei}\umbruch\\
\Vert w\Vert'_{C^1(B_R)}\le&\,c(n,\alpha)\cdot R^2\cdot
\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})},\quad\text{ falls }n\ge3\text{ ist.}
\label{est drei}
\end{align}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen zun\"achst \eqref{est zwei}. Nach \eqref{hoeld *} gilt
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0(B_R)}\le c\cdot
\left\{R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}
+\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}\right\}.$$
Nach \eqref{hoeld **} gilt
$$\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le c\cdot
\left\{R^{-\alpha}\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}.$$
Die zweite Ungleichung hier mit $R^\alpha$ multipliziert und zur ersten
addiert ergibt (wie in Theorem \ref{c zwei alpha thm}) 
gerade \eqref{est zwei}.

Lassen wir in \eqref{hoeld **} $R\to\infty$, so folgt
\eqref{est eins}.

F\"ur den Beweis von \eqref{est drei} haben wir 
$$\Vert w\Vert'_{C^1(B_R)}\equiv\Vert w\Vert_{C^0(B_R)}
+R\cdot\Vert Dw\Vert_{C^0(B_R)}$$
abzusch\"atzen. Zun\"achst einmal erhalten wir f\"ur alle $x$
$$|w(x)|\le\int\limits_{B_R}|\Gamma(r)|\cdot|f(y)|\,dy
\le c(n)\cdot R^2\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_R)}$$
nach Lemma \ref{el pot est} in Dimension $n\ge3$. 
Analog folgt
$$|Dw(x)|\le\int\limits_{B_R}|D\Gamma(r)|\cdot|f(y)|\,dy\le
c(n)\cdot R\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_R)}.$$
Wir addieren die letzte Ungleichung (mit $R$ multipliziert) zur
vorletzten Ungleichung und erhalten \eqref{est drei}. 
\end{proof}

Aus Theorem \ref{c zwei alpha thm} erhalten wir
\begin{theorem}\label{komp darst}
Seien $f\in C^{0,\alpha}_c\left(\R^n\right)$ und  
$u\in C^{2,\alpha}_c\left(\R^n\right)$. Gelte $\Delta u=f$
in $\R^n$, so ist
$$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Nach Theorem \ref{dini thm} erf\"ullt
$$w(x):=\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy$$
die Differentialgleichung $\Delta w=f$ in $\R^n$ und
es gilt $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$. 
Betrachte $v:=w-u$. $v$ ist harmonisch. Daher gen\"ugt 
es aufgrund des Maximumprinzips, nachzuweisen, dass
$v(x)\to0$ konvergiert f\"ur $|x|\to\infty$. Da $u$ 
kompakten Tr\"ager hat, brauchen wir nur noch nachzuweisen,
dass $w$ im Unendlichen verschwindet. (Dies folgt direkt
aus Integralabsch\"atzungen in Dimension $n\ge3$. \"Ubung.) 
Allgemein folgt dies aus der folgenden Anwendung des
Divergenztheorems
\begin{align*}
w(x)=&\,\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot\Delta u(y)\,dy\umbruch\\
=&\,-\int\limits_{\R^n}\fracp{}{y^i}\Gamma(x-y)\cdot\fracp{}{y_i}u(y)\,dy.
\end{align*}
Da $|D\Gamma(r)|\le\frac c{r^{n-1}}$ ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{H\"olderabsch\"atzungen bis zum Rand}
\begin{theorem}\label{c zwei alpha rand}
Sei $\R^n_+=\{x^n>0\}$, $x_0\in\partial\R^n_+$, $R>0$,
$B_1^+=B_R^+(x_0)=B_R(x_0)\cap\R^n_+$,
$B_2^+=B_{3R}^+(x_0)$ und sei $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol{B^+_2}\right)$ f\"ur ein $0<\alpha<1$.
Dann gilt f\"ur das Volumenpotential (wieder mit 
$r=|x-y|$)
$$w(x)=\int\limits_{B^+_2}\Gamma(r)f(y)\,dy$$
$w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{B^+_1}\right)$ mit der
Absch\"atzung
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0\left(B_1^+\right)}+R^\alpha\cdot
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_1\right)}\le
c(n,\alpha)\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^0\left(B_2^+\right)}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(B_2^+\right)}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Nach Theorem \ref{c zwei alpha thm} ist $w\in C^{2,\alpha}\left(
B^+_2\right)$ und es gilt $\Delta w=f$ in $B^+_2$. Es gen\"ugt,
die Ableitungen $D_iD_jw$, $1\le i\le n$, $1\le j\le n-1$,
abzusch\"atzen, denn dann folgt aufgrund der Gleichung auch
eine entsprechende Schranke f\"ur 
$$D_nD_nw=f-\sum\limits_{i=1}^{n-1}D_iD_iw.$$
Nehme also $j<n$ an.
Da $\partial B_2^+$ st\"uckweise glatt ist, gilt das Divergenztheorem
auf $B_2^+$ und wir k\"onnen die Dinische Formel anwenden.
$$D_iD_jw(x)=\int\limits_{B_2^+}D_iD_j\Gamma(r)[f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial B_2^+}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j.$$
Beachte, dass wir im zweiten Term nur \"uber den sph\"arischen
Teil des Randes zu integrieren brauchen, da nach Wahl von $j$
auf dem flachen Teil des Randes $\nu_j=0$ gilt. 
F\"ur $\ol x\in B_1^+$ bekommen wir mit $\ol r=|\ol x-y|$
$$D_iD_jw(\ol x)=\int\limits_{B_2^+}D_iD_j\Gamma(\ol r)[f(y)-f(\ol x)]
-f(\ol x)\cdot\int\limits_{\partial B_2^+}D_i\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j.$$
Wir bilden nun f\"ur $x\in B_1^+$
$$D_iD_jw(\ol x)-D_iD_jw(x)=\ldots$$
und fahren ganz analog zum Beweis von Theorem \ref{c zwei alpha thm} 
fort. Die Details hierzu sind als \"Ubung empfohlen. 
(Beachte insbesondere, dass der gerade Teil des Randes keinen
Beitrag zum Randintegral liefert. Daher tritt auch keine 
Singularit\"at auf, wenn man sich ihm n\"ahert.)
\end{proof}

Der Bemerkung \ref{glob c zwei alpha} entsprechend erhalten wir
\begin{corollary}\label{bdry c zwei alpha}
Sei $f\in C^{0,\alpha}_c\left(\ol{\R^n_+}\right)$, $0<\alpha<1$, und
sei (in der \"ublichen Bezeichnung)
$$w=\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(r)f(y).$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und es gilt 
die Absch\"atzung
$$\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le
c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
W\"ahle $R>0$, so dass $\supp f\subset B_R(0)$ ist. Nach
Theorem \ref{c zwei alpha rand} folgt
$$R^\alpha\left[D^2 w\right]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_R\right)}
\le c(n,\alpha)\left\{\Vert f\Vert_{C^0\left(B^+_R\right)}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_R\right)}\right\}.$$
Die Behauptung folgt nun, wenn wir durch $R^\alpha$ dividieren
und $R\to\infty$ lassen. 
\end{proof}

F\"ur L\"osungen von $\Delta u=f$ erhalten wir noch die folgende
Randabsch\"atzung.
\begin{lemma}\label{hoelder zwei rand}
Sei $u\in C^{2,\alpha}_c\left(\ol{\R^n_+}\right)$, $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und gelte $\Delta u=f$ in $\R^n_+$ und
$u(\hat x,0)=0$ f\"ur $\hat x\in\R^{n-1}$. Dann gilt
$$\left[D^2u\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}
\le c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Da $\Delta u=f$ ist, hat $f$ kompakten Tr\"ager. 
Wir spiegeln $f$ gerade
$$\tilde f\left(\hat x,x^n\right)=
\begin{cases}
f(x),&x^n\ge0,\\
f\left(\hat x,-x^n\right),&x^n<0.  
\end{cases}$$
Auch $\tilde f$ hat kompakten Tr\"ager und es gilt (sogar mit
Gleichheit) 
\begin{align*}
\left\Vert\tilde f\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\le&\,
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}},\umbruch\\
\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}\le&\,[f]_{C^{0,\alpha}}. 
\end{align*}
Definiere f\"ur $x\in\R^n$ den Punkt $\tilde x=\left(\hat x,-x^n\right)$. 
Definiere weiterhin f\"ur $x\in\R^n_+$
\begin{align*}
w(x)=&\,\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(|x-y|)-\Gamma(|\tilde x-y|)]\cdot f(y)\,dy
\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(|x-y|)-\Gamma(|x-\tilde y|)]\cdot f(y)\,dy.
\end{align*}
Aufgrund der Symmetrie in der Definition ist $w(\hat x,0)=0$
und nach Gau\ss{} gilt $w\in C^1\left(\R^n\right)$, denn
$$\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-\tilde y|)\cdot f(y)
=\int\limits_{\R^n_-}\Gamma(|x-y|)\cdot
\underbrace{f(\tilde y)}_{=\tilde f(y)}.$$
Weiterhin folgt
\begin{align*}
w(x)=&\,\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)
-\int\limits_{\R^n_-}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)\umbruch\\
=&\,2\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)
-\int\limits_{\R^n}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)\umbruch\\
\equiv&\,w_1+w_2.
\end{align*}
Es ist daher $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n_+\right)$ 
und $\Delta w=f$ in $\R^n_+$. Weiterhin gilt sogar
$w_1\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und
nach Korollar \ref{bdry c zwei alpha}
$$\left[D^2w_1\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le c(n,\alpha)\cdot
\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}$$
sowie $w_2\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ mit
(vgl.\ Bemerkung \ref{glob c zwei alpha})
$$\left[D^2w_2\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}
\le c(n,\alpha)\cdot\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}.$$ Es gen\"ugt
nun, nachzuweisen, dass in $\R^n_+$ die Gleichung $w=u$ gilt. Zum
Beweis bemerken wir zun\"achst, dass nach Gau\ss{} die Absch\"atzung
$|w|\le\text{const.}$ f\"ur $n\ge3$ gilt. 

In allen Dimensionen $n\ge2$ erh\"alt man dies wie folgt: Sei $\supp
f\subset B_R(0)$ und daher ohne Einschr\"ankung $y\in B_R(0)$. Dann
gelten $|x-y|\ge|x|-R$, $|x-\tilde y|\ge|x|-R$ (ebenso f\"ur alle
Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen $y$ und $\tilde y$) und
$||x-y|-|x-\tilde y||\le 2R$. Wir
erhalten \[|\Gamma(x-y)-\Gamma(x-\tilde y)| \le\sup_{|z|\ge|x|-R}
|D\Gamma(z)|\cdot 2R\to0\quad\text{f\"ur}\quad|x|\to\infty.\] Schreiben
wir $w$ in der
Gestalt \[w(x)=\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(x-y)-\Gamma(x-\tilde
y)]\cdot f(y)\,dy,\] so folgt aus der obigen Absch\"atzung und der
Stetigkeit auf einem Ball um den Ursprung die globale
Beschr\"anktheit. Aus diesen Argumenten folgt sogar $w(x)\to0$ f\"ur
$|x|\to\infty$. Weiterhin gilt $u=w$ auf $\partial R^n_+$. Da $u$
kompakten Tr\"ager besitzt folgt somit aufgrund des Maximumprinzips
$u=w$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Section{Schaudertheorie}

\Subsection{Kompaktheitss\"atze}

Wir wollen das folgende Kompaktheitslemma verwenden.
\begin{lemma}[Kompaktheitslemma, Ehrlings Lemma]
Seien $E_i$, $i=1,2,3$, Banachr\"aume und gelte
$$E_1\hookrightarrow E_2\hookrightarrow E_3,$$
wobei beide Einbettungen (``\,$\hookrightarrow$''= Einbettung)
stetig sind und $E_1\hookrightarrow E_2$ kompakt ist. 
Dann existiert zu jedem $\epsilon>0$ eine Konstante
$c_\epsilon>0$, so dass
$$\Vert u\Vert_2\le\epsilon\cdot\Vert u\Vert_1+c_\epsilon\cdot
\Vert u\Vert_3$$
f\"ur alle $u\in E_1$ gilt. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir unterdr\"ucken in der Notation die Einbettungsabbildungen. 

Falls die Behauptung nicht richtig ist, finden wir zu einem
$\epsilon>0$ eine Folge $u_k\in E_1$, $k\in\N$, so dass
$$\Vert u_k\Vert_2>\epsilon\cdot\Vert u_k\Vert_1+k\cdot
\Vert u_k\Vert_3$$
gilt. Ohne Einschr\"ankung k\"onnen wir die $u_k$ so normieren, 
dass $\Vert u_k\Vert_2=1$ gilt. Es folgt
$$u_k\to0\text{ in }E_3$$
und
$$\Vert u_k\Vert_1\le\epsilon^{-1}.$$
Nutze nun die Kompaktheit der ersten Einbettung.
Nach Wahl einer Teilfolge d\"urfen wir daher (ohne Einsch\"ankung)
annehmen, dass
$$u_k\to u\text{ in }E_2$$
konvergiert f\"ur ein geeignetes Element $u\in E_2$. 
Hieraus folgt insbesondere $\Vert u\Vert_2=1$. 
Aufgrund der Stetigkeit der Einbettung $E_2\hookrightarrow E_3$
erhalten wir auch Konvergenz der $u_k$ in $E_3$ gegen $u$.  
In $E_3$ gilt $u_k\to0=u$. Wegen der Injektivit\"at 
($E_2\hookrightarrow E_3$ ist eine Einbettung) folgt
damit auch $u=0$ in $E_2$. Wir erhalten einen Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $0<\alpha<1$. Dann
  gibt es zu jedem $\epsilon>0$ einen Konstante $c_\epsilon>0$, so
  dass
  $$\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)}\le\epsilon\cdot
  \Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)} +c_\epsilon\cdot\Vert
  u\Vert_{C^0(\Omega)}$$ f\"ur alle $u\in
  C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gilt.
\end{corollary}

\begin{remark}
  Hieraus erhalten wir auch leicht eine multiplikative
  Form. Angenommen, es ist $c_\epsilon =\frac c\epsilon$, so folgt mit
  $\epsilon =\sqrt{\frac{\Vert u\Vert_{C^0}}{\Vert
      u\Vert_{C^{2,\alpha}}}}$
  \begin{align*}
    \Vert u\Vert_{C^2}\le&\,\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}}
    +\frac c\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^0}\umbruch\\
    =&\,(1+c)\sqrt{\Vert u\Vert_{C^0}}\cdot\sqrt{\Vert
      u\Vert_{C^{2,\alpha}}} 
    \intertext{und daraus}
    \Vert u\Vert^2_{C^2}\le&\, c\cdot\Vert u\Vert_{C^0}\cdot \Vert
    u\Vert_{C^{2,\alpha}}. 
  \end{align*}
  Die Umkehrung ist einfach. 
\end{remark}

\Subsection{Schaudersche a priori-Schranken}

In den n\"achsten beiden Kapiteln soll $L$ stets die folgenden 
Eigenschaften haben. 
\begin{definition}[Generalvoraussetzung]\label{schauder gen ass}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $0<
  \alpha<1$. Die Differentialgleichung $Lu=f$ habe die Form
$$Lu(x)=a^{ij}(x)u_{ij}(x)+b^i(x)u_i(x)+d(x)u(x)=f(x).$$
Wir wollen die folgenden beiden Bedingungen annehmen.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Elliptizit\"at: Es gibt eine Konstante $\lambda>0$, so
dass f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle $\xi\in\R^n$ die
Ungleichung
$$a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2$$
gilt. Sei dar\"uber hinaus $a^{ij}$ auch symmetrisch, d.\,h.\
gelte f\"ur alle $i$, $j$ und $x\in\Omega$ 
$$a^{ij}(x)=a^{ji}(x).$$
\item H\"olderstetigkeit der Koeffizienten: Es gibt eine 
Konstante $K>0$, so dass
$$\left\Vert a^{ij}\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\left\Vert b^i\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\left\Vert d\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\le K$$
gilt.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{schauder est global}
Sei $\Omega\subset\R^n$, $n\ge2$, offen und beschr\"ankt mit
$\partial\Omega\in C^{2,\alpha}$. Sei 
$u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=a^{ij}D_iD_ju+b^iD_iu+du=f&\text{in }\Omega,\\
u|_{\partial\Omega}=\phi&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$
mit $d\le0$. Hier seien $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$\phi\in C^{2,\alpha}(\partial\Omega)$, $a^{ij}$, $b^i$, $d\in
C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $\left(a^{ij}\right)$ symmetrisch
und gleichm\"a\ss{}ig elliptisch sowie $0<\alpha<1$.
Dann gilt
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
\le c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\partial\Omega)}\right\},$$
wobei $c$ nur von $n$, $\Omega$, $\alpha$, den angegebenen Normen
der Koeffizienten und der Elliptizit\"atskonstanten abh\"angt. 
\end{theorem}

\begin{remark}
Das folgende Beispiel zeigt, dass die Einschr\"ankung $0<\alpha<1$ 
wesentlich ist. Betrachte n\"amlich in einer Umgebung des Ursprungs die 
Funktionen $u_\epsilon:\R^2\to\R$, $0<\epsilon\le1$, definiert durch
$$u_\epsilon\left(x^1,x^2\right)=
x^1\cdot x^2\cdot\log\left(\sqrt{\epsilon+(x^1)^2}
+\sqrt{\epsilon+(x^2)^2}\right).$$ 
Sie erf\"ullen in einer kleinen Umgebung des Ursprungs
$$|u_\epsilon|+|\Delta u_\epsilon|\le c$$
gleichm\"a\ss{}ig in $\epsilon$, 
aber die gemischten zweiten Ableitungen
$\fracp{^2u_\epsilon}{x^1\partial x^2}$ 
verhalten sich dort f\"ur $\epsilon\searrow0$ wie
$$\log\left(\left|x^1\right|+\left|x^2\right|\right).$$
Daher kann die $C^{1,1}$-Norm nicht durch Supremumsschranken an
$u_\epsilon$ und $\Delta u_\epsilon=:f$ beschr\"ankt werden.

Dies zeigt, dass eine Absch\"atzung wie in Theorem \ref{schauder 
est global} f\"ur $\alpha=0$ nicht richtig sein kann. Durch Integrieren
bekommt man die entsprechende Aussage f\"ur $\alpha=1$.  
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{schauder est global}]
Wir setzen zun\"achst $\phi$ nach $\ol\Omega$ fort, so dass
$\phi\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gilt mit der 
Absch\"atzung
$$\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le c(\Omega,\alpha)\cdot
\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\partial\Omega)}.$$

Ohne Einsch\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass $\phi=0$ gilt, denn
sonst betrachten wir $\tilde u=u-\phi$. $\tilde u$ er\"ullt dann
$\tilde u|_{\partial\Omega}=0$ und 
$$L\tilde u=Lu-L\phi=f-L\phi\equiv\tilde f.$$
Wir erhalten, wenn wir das Theorem f\"ur Randwerte Null gezeigt haben, 
\begin{align*}
\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
-\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le&\,
\Vert\tilde u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left\Vert\tilde f\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.
\end{align*}
Somit gen\"ugt es, den Fall $\phi=0$ zu betrachten.   

Wir \"uberdecken nun $\ol\Omega$ mit gen\"ugend kleinen offenen Mengen 
$U_k$, $1\le k\le N$. Im Beweis werden wir genauer spezifizieren, was
``gen\"ugend klein'' heisst. Weiterhin nehmen wir an, dass im Falle
$U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$ eine entsprechende Umgebung des
Randes aufgebogen werden kann. 

Sei $\zeta_k$, $1\le k\le N$, eine den $U_k$'s untergeordnete
$C^\infty$-Zerlegung der Eins und definiere $u_k=u\cdot\zeta_k$. Es
folgt
$$u=u\cdot\sum\limits_{k=1}^N\zeta_k=\sum\limits_{k=1}^Nu_k.$$
Wir multiplizieren nun die Differentialgleichung $Lu=f$ mit $\zeta_k$ und
erhalten
\begin{equation}\label{zeta eqn}
a^{ij}D_iD_ju_k\equiv F_k=f\cdot\zeta_k
+a^{ij}[2D_iu\cdot D_j\zeta_k+uD_iD_j\zeta_k]
-b^iD_iu\cdot\zeta_k-d\cdot u\cdot\zeta_k.
\end{equation}

Ist $U_k\subset\Omega$, so gilt $\supp u_k$, $\supp F_k\Subset\Omega$ und
wir k\"onnen \eqref{zeta eqn} durch $0$ in den $\R^n$ fortsetzen.

Ist $U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$, so biegen wir dieses 
Randst\"uck auf und erhalten mit
$y=y(x):\Omega\cap U_k\to B_1^+(0)$
dort eine Differentialgleichung der Form
$$\tilde a^{ij}(y)D_{y^i}D_{y^j}\tilde u_k=\tilde F_k$$
mit $\tilde u(\hat y,0)=0$. Es ist wie \"ublich 
$\tilde u_k=u_k\circ y^{-1}$, \ldots und $\tilde F_k=F_k\circ y^{-1}+$
Terme, die h\"ochstens eine Ableitung von $u$ enthalten. Wir d\"urfen
weiterhin annehmen, dass $\dist\left(\supp\tilde u_k,
\partial B_1\right)>0$ ist. 
Auch hier setzen wir $\tilde u_k$ und $\tilde F_k$ durch $0$ in den 
$\R^n_+$ fort. 

Wir fixieren nun (f\"ur jede Umgebung $U_k$) Punkte
$y_0\in U_k$ bzw.\ in $y_0\in y(U_k\cap\Omega)$. 
Um nicht zwei Gleichungen schreiben zu m\"ussen, benutzen wir auch
im Falle $U_k\subset\Omega$ Tilden, transformieren also mit der 
Identit\"at. Unsere Gleichung hat nun in jedem Fall die Gestalt
$$\tilde a^{ij}(y_0)D_{y^i}D_{y^j}\tilde u_k(y)=\tilde F_k
+\left[\tilde a^{ij}(y_0)-\tilde a^{ij}(y)\right]D_{y^i}D_{y^j}\tilde
u_k(y).$$ Wir transformieren schlie\ss{}lich noch so, dass in dem
speziellen Punkt $y_0$ die Matrix $\left(a^{ij}(y_0)\right)$ zu
$\left(\delta^{ij}\right)$ wird.  Wir erhalten Differentialgleichungen
der Form
$$\ol a^{ij}(z_0)D_{z^i}D_{z^j}\ol u_k(z)\equiv\Delta_z\ol u_k
=\ol F_k+\left[\ol a^{ij}(z_0)-\ol a^{ij}(z)\right]\cdot
D_{z^i}D_{z^j}\ol u_k(z).$$
Im zweiten Fall bleiben die Randwerte Null erhalten.

Wir bemerken, dass, je nach Fall, 
$\ol u_k\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ oder
$\ol u_k\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ ist. 

Aufgrund der Absch\"atzungen der Theoreme \ref{c zwei alpha thm}
und \ref{c zwei alpha rand}
bzw.\ von Lemma \ref{hoelder zwei rand}, in dem die entsprechenden
Aussagen bereits kombiniert sind, erhalten wir nun mit Lemma \ref{komp
  darst}  
\begin{align*}
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le&\,
  c\cdot\sup\limits_{z\in z(U_k)}\left|\ol a^{ij}(z)-\ol
    a^{ij}(z_0)\right|\cdot
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\\
  &\,+c\cdot\left\Vert u\right\Vert_{C^{2,0}\left(\Omega\right)}
  +c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\umbruch \intertext{bzw.}
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le&\,
  c\cdot\sup\limits_{z\in z(U_k\cap\Omega)} \left|\ol a^{ij}(z)-\ol
    a^{ij}(z_0)\right|\cdot
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\\
  &\,+c\cdot\left\Vert u\right\Vert_{C^{2,0}\left(\Omega\right)}
  +c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.
\end{align*}
Dies benutzt die H\"olderstetigkeit der Koeffizienten $a^{ij}$. 
Indem wir nun $\diam(U_k)$ jeweils klein genug w\"ahlen, k\"onnen
wir erreichen, dass
$$\sup\limits_{z\in z(U_k)}\left|\ol a^{ij}(z)-\ol a^{ij}(z_0)\right|
\le\frac 1{2c}$$ ist. F\"ur diesen Schritt ist es wichtig, dass der
Stetigkeitsmodul von $a^{ij}$ kontrolliert ist.  Damit k\"onnen wir
den ersten Term auf der rechten Seite in die linke Seite absorbieren
und erhalten (hier nur noch f\"ur die inneren Absch\"atzungen
aufgeschrieben)
$$\left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)} +c\cdot\Vert
f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ 
Wir addieren auf beiden Seiten die $C^2$-Norm
$$\left\Vert\ol u_k\right\Vert_{C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)} +c\cdot\Vert
f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ Nach R\"ucktransformation nach
$\Omega$ und Summieren \"uber $k$ erhalten wir
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
\sum\limits_k\Vert u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
\le c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)}
+c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$
Aufgrund des Kompaktheitslemmas k\"onnen wir
$$\Vert u\Vert_{C^{2,0}}\le\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}}
+c_\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^0}$$
absch\"atzen und damit die Norm der zweiten Ableitungen 
auf der rechten Seite absorbieren
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^0}\right\}.$$
Schlie\ss{}lich ist wegen $d\le0$ das Maximumprinzip in der Form von
\cite[Theorem 3.7]{GT} anwendbar
$$\Vert u\Vert_{C^0}\le c\cdot\Vert f\Vert_{C^0}.$$ 
Wir erhalten 
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}}$$
und das Theorem folgt.
\end{proof}

Zum gerade verwendeten Maximumprinzip.
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ in $\Omega$ eine L\"osung
  der elliptischen Differentialungleichung \[Lu\equiv
  a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge f\] mit gleichm\"a\ss{}ig elliptischem
  $a^{ij}$ und $a^{ij},b^i,d,f\in L^\infty$. Dann gilt
  \[\sup\limits_\Omega u\le\sup\limits_{\partial\Omega} u^+
  +c(L,\Omega)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega)}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wegen \[L\left(u-\sup\limits_{\partial\Omega}u^+\right)
  =Lu-d\sup\limits_{\partial\Omega}u^+\ge f\] d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung $u\le0$ auf $\partial\Omega$ annehmen. Gelte
  weiterhinn ohne Einschr\"ankung $\Omega\subset\{x\in\R^n\colon
  x^1<0\}$. \par 
  Setze $w:=1-e^{\alpha x^1}$ f\"ur ein noch zu fixierendes
  $\alpha>0$. Dann gelten 
  \begin{align*}
    0<w<&\,1,\umbruch\\
    w_i=&\,-e^{\alpha x_1}\alpha\delta_{1i},\umbruch\\
    w_{ij}=&\,-e^{\alpha x_1}\alpha^2\delta_{1i}\delta_{1j},\umbruch\\
    Lw=&\,-e^{\alpha x^1}\left(\alpha^2a^{11}+\alpha b^1+d\right)<-\epsilon,
  \end{align*}
  f\"ur ein $\epsilon>0$, falls wir $\alpha=\alpha(L)>0$ gro\ss{}
  genug fixieren. Somit gilt f\"ur $W:=w\cdot\frac1\epsilon\cdot \Vert
  f\Vert_{L^\infty}$ die Differentialungleichung \[LW<f.\] Es gilt
  $u-W\le -W<0$ auf $\partial\Omega$. In einem positiven lokalen (inneren)
  Maximum von $u-W$ erhalten wir somit 
  \[0< L(u-W)=a^{ij}\underbrace{(u-W)_{ij}}_{\preccurlyeq0}
  +b^i\underbrace{(u-W)_i}_{=0} +\underbrace{d(u-W)}_{\le0}\le 0.\]
  Widerspruch. Somit gilt $u-W\le0$ auch in $\Omega$ und die
  Behauptung folgt.
\end{proof}
Die oben behauptete Aussage folgt nun durch Anwendung dieses Lemmas
auf $u$ und $-u$. 

\begin{remark}
Beachte, dass die in der Absch\"atzung des letzten Theorems 
auftretende Konstante nur von der speziellen \"Uberdeckung, der
Zerlegung der Eins, der $C^{2,\alpha}$-Norm der
Aufbiegetransformationen f\"ur $\partial\Omega$,
von $|\Omega|$, den $C^{0,\alpha}$-Normen der Koeffizienten, der
Elliptizit\"atskonstanten und von $\alpha$ sowie $n$ abh\"angt. 

Analoge Absch\"atzungen bekommt man auch f\"ur schwache L\"osungen.
Auf der rechten Seite kann man dann die $\Vert u\Vert_{C^0}$-Norm
durch die $\Vert u\Vert_{L^2}$-Norm oder eine ander $L^p$-Norm
ersetzen, siehe \cite{JostPDE}.
\end{remark}

\Subsection{H\"ohere Regularit\"at}

\begin{theorem}\label{schauder higher}
Seien $\partial\Omega\in C^{l,\alpha}$, 
$f\in C^{l-2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, 
$\phi\in C^{l,\alpha}(\partial\Omega)$, 
$a^{ij}$, $b^i$, $d\in C^{l-2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$l\ge 2$, $0<\alpha<1$, wobei $a^{ij}$ elliptisch ist und $d\le0$, 
so gilt f\"ur eine L\"osung $u\in C^{l,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=\phi&\text{auf }\partial\Omega,  
\end{cases}$$
die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{C^{l,\alpha}(\Omega)}\le c\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-2,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{l,\alpha}(\partial\Omega)}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Es gen\"ugt, den Induktionsschritt $l\to l+1$ zu zeigen. Sei wieder ohne
Einschr\"ankung $\phi=0$ und seien $U_k$ und $\zeta_k$ wie im Beweis von
Theorem \ref{schauder est global} gew\"ahlt.

Ist $U_k\subset\Omega$, so definieren wir f\"ur $1\le i\le n$ 
$$v_k:=D_iu_k$$ 
und wenden auf $v_k$ und die entsprechende Differentialgleichung 
die Induktionsvoraussetzung an
$$\Vert v_k\Vert_{C^{l,\alpha}(U_k)}
\le c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}(\Omega)}\right\}.$$
Dabei haben wir die $C^{l,\alpha}$-Norm von $u$ durch die
$C^{l+1,0}$-Norm abgesch\"atzt. 

Ist $U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$, so setzen wir f\"ur
$1\le i\le n-1$ 
$$v_k=D_iu_k.$$
Es gilt f\"ur eine geeignet definierte rechte Seite $f_k$ in $\R^n_+$ die
Gleichheit $Lv_k=f_k$. Da $v_k(\hat y,0)=0$ gilt, erhalten wir nach
Induktionsvoraussetzung (verstehe dies nach Anwendung einer 
Aufbiegetransformation)
$$\Vert v_k\Vert_{C^{l,\alpha}(U_k\cap\Omega)}\le c\cdot\left\{
\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}(\Omega)}\right\}.$$
F\"ur die Absch\"atzung von $D_nu_k$ benutzen wir die Differentialgleichung
$$Lu_k=f_k\quad\text{in }\R^n_+$$
f\"ur geeignetes $f_k$ und erhalten
\begin{align*}
a^{nn}D_nD_nu_k=&\,f_k-b^iD_iu_k-d\cdot u_k\\
&\,-\sum\limits_{i+j<2n}a^{ij}D_iD_ju_k.  
\end{align*}
Diese Gleichung dividieren wir durch $a^{nn}$ und differenzieren sie nochmals
nach $x^n$. Auf der linken Seite erhalten wir $D_nD_nD_nu_k$ und auf der
rechten Seite erhalten wir bis zu dritte Ableitungen von $u_k$, jedoch
ohne eine dreimalige Ableitung nach $x^n$. Somit haben wir die rechte
Seite in $C^{l-2,\alpha}$ bereits beschr\"ankt und es folgt
$$\Vert D_nD_nD_nu_k\Vert_{C^{l-2,\alpha}}\le c\cdot\left\{
\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}}\right\}.$$
Wir erhalten also
$$\Vert Du_k\Vert_{C^{l,\alpha}}\le c\cdot\left\{
\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}}\right\}.$$
Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}
Erf\"ullt der lineare Operator $L$ die Voraussetzungen von Theorem
\ref{schauder higher} nur lokal, so gen\"ugt eine L\"osung 
$u\in C^{l,\alpha}(\Omega)$ der Gleichung $Lu=f$ den Absch\"atzungen
$$\Vert u\Vert_{C^{l,\alpha}(\Omega')}\le c\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-2,\alpha}(\Omega'')}
+\Vert u\Vert_{C^0(\Omega'')}\right\}$$
f\"ur alle $\Omega'\Subset\Omega''\Subset\Omega$ und die Konstante
h\"angt nun noch zus\"atzlich von $\Omega'$ und $\Omega''$ ab. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
\"Ubung, siehe auch \cite{GT}. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Stetigkeitsmethode}
Hier betrachtet man eine Familie von Randwertproblemen f\"ur 
einen Parameter $t\in[0,1]$. Die Familie ist dabei so gew\"ahlt,
dass man das Randwertproblem f\"ur $t=0$ bekannterma\ss{}en 
eindeutig l\"osen kann und dass man f\"ur $t=1$ das Randwertproblem
bekommt, das man eigentlich l\"osen m\"ochte. Dann zeigt man,
dass die Menge der Parameter $t\in[0,1]$, f\"ur die
man das entsprechende Randwertproblem eindeutig l\"osen kann,
offen und abgeschlossen ist. Da diese Menge auch nichtleer ist,
ist sie gleich dem gesamten Interval $[0,1]$ und man 
erh\"alt insbesondere auch eine L\"osung f\"ur $t=1$. 

Wir interessieren uns hier f\"ur das Randwertproblem
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
Sei $L$ wie oben mit $d(x)\le0$, $\Omega\subset\R^n$
offen, beschr\"ankt und mit $C^{2,\alpha}$-Rand.
Sei $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
und $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$.

\begin{remark}
  Wie man sich am Beispiel $x\mapsto|x|^\alpha$ \"uberzeugt,
  approximieren Gl\"attungen eine $C^{0,\alpha}$-Funktion im
  allgemeinen nicht in $C^{0,\alpha}$. (Die Gl\"attungen approximieren
  aber in $C^{0,\beta}$ f\"ur $0<\beta<\alpha$.) Daher werden wir nun
  $f$ und $g$ nur in $C^2$ approximieren. Beachte aber, dass die
  $C^{2,\alpha}$-Normen der approximierenden Funktionen trotzdem (bis
  auf eine feste Konstante) gleichm\"a\ss{}ig durch die
  $C^{2,\alpha}$-Norm der urspr\"unglichen Funktion beschr\"ankt
  sind.\par Betrachte dazu
  \begin{align*}
    &\,\frac{|(f(x)-f_\epsilon(x))
      -(f(y)-f_\epsilon(y))|}{|x-y|^\alpha}\umbruch\\
    \le&\,\int (\underbrace{|f(x)-f(y)|}_{\le[f]_{C^{0,\alpha}}
      \cdot|x-y|^\alpha}+\underbrace{|f(x+z)+f(y+z)|}_{
      \le[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot|x-y|^\alpha})\eta_\epsilon(z)\,dz
    \cdot\frac1{|x-y|^\alpha}\umbruch\\
    \le&\,2\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot|x-y|^\alpha.
  \end{align*}
\end{remark}

Wir ben\"otigen zun\"achst
\begin{theorem}[Kellogg]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^\infty$. Sei $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
und $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. Dann besitzt 
das Dirichletproblem 
$$\begin{cases}
\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
genau eine L\"osung $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip.

Zun\"achst wollen wir $f$ und $g$ durch glatte Funktionen
approximieren. Nach Fortsetzung und Gl\"attung erhalten wir
\begin{align*}
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)\ni f_k\to&\,\,f
  \quad\text{in }C^0\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)\ni g_k\to&\,\,g \quad\text{in
  }C^2\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
Die Probleme 
$$\begin{cases}
\Delta u_k=f_k&\text{in }\Omega,\\
u_k=g_k&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$ betrachtet man nun als Randwertprobleme f\"ur (nach
Abziehen der Randwerte) $w_k:=u_k-g_k\in H^1_0(\Omega)$. Sie besitzen
glatte L\"osungen $w_k$ bzw.\ $u_k$ ($L^2$-Theorie).  Aufgrund von
Theorem \ref{schauder est global} gelten die Absch\"atzungen
\begin{align*}
\Vert u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le&\,
c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert f_k\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert g_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert g\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.
\end{align*}
Nach Arzel\`a-Ascoli konvergiert (ohne Einschr\"ankung) $u_k\to u$ in
$C^2$ f\"ur ein $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. 

Insbesondere folgt also in $\Omega$ die Konvergenz $\Delta
u_k\to\Delta u$ in $C^0\left(\ol\Omega\right)$, als kommutatives
Diagramm
$$\xymatrix{\Delta u_k\ar[d]\ar@{=}[r]&f_k\ar[d]\\
  \Delta u\ar@{=}[r]&f.}$$ Ebenso konvergieren die Randwerte. Die
Funktion $u$ ist damit die gesuchte L\"osung. Sie erf\"ullt 
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le \liminf_{k\to\infty} \Vert
u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert
  f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)} +\Vert
  g\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.$$ Aufgrund der Eindeutigkeit
des Grenzwertes konvergiert sogar die gesamte Folge.
\end{proof}

\begin{remark}
  Anhand des Beweises von Theorem \ref{schauder est global}
  \"uberzeugt man sich leicht, dass die Konstante in der
  Normabsch\"atzung f\"ur eine Folge von $C^\infty$-Gebieten, die ein
  $C^{2,\alpha}$-Gebiet in $C^2$ mit beschr\"ankter
  $C^{2,\alpha}$-Norm approximieren, d.\,h.\ wenn lokal die
  den Rand als Graphen darstellenden Funktionen in $C^2$
  konvergieren, gleichm\"a\ss{}ig gew\"ahlt werden kann.

  Wir erhalten damit Kelloggs Theorem auch f\"ur
  $C^{2,\alpha}$-Gebiete: Wir setzen zu\-n\"achst $g$ als
  $C^{2,\alpha}$-Funktion mit entsprechend kontrollierter Norm nach
  $\R^n$ fort und approximieren dann das Gebiet $\Omega$ durch glatte
  Gebiete $\Omega_k$, auf die die obige Version von Kelloggs Theorem
  anwendbar ist.  Der Einfachheit halber wollen wir die Gebiete
  $\Omega_k$ stets so w\"ahlen, dass $\Omega\subset\Omega_k$
  gilt. Dies erreicht man beispielsweise, indem man
  Abstandsniveaufl\"achen zu $\partial\Omega$ gl\"attet. Wir erhalten
  somit L\"osungen $u_k$ mit gleichm\"a\ss{}igen
  $C^{2,\alpha}\left(\ol{\Omega_k}\right)$-Absch\"atzungen.  Somit
  sind auch die Funktionen $u_k|_\Omega$ in
  $C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt. Eine Teilfolge davon (und wie man sich leicht
  \"uberlegt, sogar die gesamte Folge, da der Grenzwert eindeutig
  bestimmt ist) konvergiert dann gegen die gew\"unschte L\"osung.
\end{remark}

Wir wollen das folgende Existenzresultat beweisen
\begin{theorem}\label{schauder exist}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega
\in C^{2,\alpha}$. Sei $L$ wie in den Generalvoraussetzungen,
Definition \ref{schauder gen ass}, mit 
$$d\le0\quad\text{in }\Omega.$$
Dann gibt es zu jedem $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
und jedem $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ eine 
eindeutig bestimmte L\"osung $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
des Dirichletproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Indem wir $u-g$ statt $u$ betrachten und $f$ entsprechend
ab\"andern, d\"urfen wir annehmen, dass $g\equiv0$ gilt.

Wir definieren f\"ur $t\in[0,1]$ Differentialoperatoren $L_t$
durch
$$L_t=(1-t)\Delta+tL.$$
Beachte, dass alle Operatoren $L_t$ die Generalvoraussetzungen
\ref{schauder gen ass} mit von $t$ unabh\"angigen 
Konstanten $\lambda>0$ und $K$ erf\"ullen. Weiterhin 
bleibt die Eigenschaft ``$d(x)\le0$ in $\Omega$'' auch
f\"ur $L_t$ erhalten. F\"ur $t=0$ liefert Kelloggs Theorem
die L\"osung. F\"ur $t=1$ behaupten wir, dass es eine L\"osung
gibt. 

Wir k\"urzen Banachr\"aume wie folgt ab
\begin{align*}
B_1:=&\,C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)
\cap\left\{u\in C^0\left(\ol\Omega\right):u|_{\partial\Omega}=0\right\},\\  
B_2:=&\,C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
$B_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum von 
$C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. Als Norm k\"onnen wir daher
die $C^{2,\alpha}$-Norm verwenden. 

Der Operator
$$L_t:B_1\to B_2$$
ist ein beschr\"ankter linearer Operator. Sei $u_t$ die 
L\"osung von 
$$\begin{cases}
L_tu_t=f&\text{in }\Omega,\\
u_t=0&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
Dann gilt
$$\Vert u_t\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le 
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}$$
mit einer von $t$ unabh\"angigen Konstanten. 

Diese a priori Schranke k\"onnen wir auch als
$$\Vert u\Vert_{B_1}\le c\cdot\Vert L_tu\Vert_{B_2}$$
f\"ur alle $u\in B_1$ schreiben. 

Das Theorem folgt, wenn wir zeigen k\"onnen, dass
$L_1$ surjektiv ist. Dies erhalten wir aus dem 
folgenden Theorem.
\end{proof}

\begin{theorem}
Seien $L_0$, $L_1:B_1\to B_2$ beschr\"ankte lineare
Operatoren zwischen Banachr\"aumen $B_1$ und $B_2$. 
Wir definieren 
$$L_t:=(1-t)L_0+tL_1\quad\text{ f\"ur }0\le t\le1.$$
Gibt es eine von $t$ unabh\"angige Konstante $c$ mit
$$\Vert u\Vert_{B_1}\le c\Vert L_tu\Vert_{B_2}$$
f\"ur alle $u\in B_1$ und ist $L_0$ surjektiv, so
ist auch $L_1$ surjektiv.   
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Beachte zun\"achst, dass die beiden Definitionen f\"ur $L_t$ insbesondere
f\"ur $t=0$ und $t=1$ \"ubereinstimmen.   

Nehme an, dass $L_\tau$ f\"ur ein $\tau\in[0,1]$ surjektiv ist.
Nach der Absch\"atzung f\"ur die Normen ist $L_\tau$ auch injektiv. 
Somit ist $L_\tau$ ein bijektiver Operator mit entsprechenden
Normabsch\"atzungen. (Aufgrund der Neumannschen Reihe bilden
die invertierbaren (und damit auch die bijektiven) in beide
Richtungen stetigen Operatoren eine offene Teilmenge von
$L(\cdot,\cdot)$. Wir wollen jedoch eine quantitative 
Variante davon verwenden.)
Die Inverse 
$$L_\tau^{-1}:B_2\to B_1$$
ist aufgrund der Bijektivit\"at auch ein beschr\"ankter linearer Operator.
Sei $t\in[0,1]$ beliebig, $f\in B_2$. Wir schreiben die 
Gleichung $L_tu=f$ als
$$L_\tau u=f+(L_\tau-L_t)u=f+(t-\tau)(L_0u-L_1u)$$
um und weiter als Fixpunktgleichung in der Form
$$u=L_\tau^{-1}f+(t-\tau)L_\tau^{-1}(L_0-L_1)u=:\Lambda u.$$
Nach dem Banachschen Fixpunktsatz finden wir einen solchen
Fixpunkt, falls es ein $q<1$ gibt, so dass f\"ur alle $u$, 
$v\in B_1$
$$\Vert\Lambda u-\Lambda v\Vert_{B_1}\le q\cdot
\Vert u-v\Vert_{B_1}$$
gilt. Es gilt
$$\Vert\Lambda u-\Lambda v\Vert_{B_1}
\le\underbrace{\left\Vert L_\tau^{-1}\right\Vert_{L(B_2,B_1)}
  \cdot\left(\Vert L_0\Vert_{L(B_1,B_2)} +\Vert
    L_1\Vert_{L(B_1,B_2)}\right) \cdot|t-\tau|}_{=:q}\cdot\Vert
u-v\Vert_{B_1}.$$ Somit k\"onnen wir $q<1$ unabh\"angig von $\tau$
erreichen, wenn nur $|t-\tau|$ klein genug ist. In dieser Umgebung von
$\tau$ ist $L_\tau u=f$ l\"osbar, d.\,h.\ $L_\tau$ ist dort surjektiv
und damit auch bijektiv. Da die entsprechenden Umgebungen von $\tau$
unabh\"angig gew\"ahlt werden k\"onnen, haben wir nach endlich vielen
Schritten von $t=0$ ausgehend auch die Bijektivit\"at (und damit die
Surjektivit\"at) von $L_1$ bewiesen. Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
In unserem Spezialfall kann man auch die Menge aller $t\in[0,1]$
betrachten, f\"ur die $L_t$ surjektiv (und damit bijektiv) ist.
Aufgrund der Neumannschen Reihe (Verallgemeinerung der geometrischen
Reihe auf Operatoren) ist diese Menge offen. 
Die Schauderabsch\"atzungen liefern (mit Arzel\`a-Ascoli)
die Abgeschlossenheit. Nach Kellogg ist diese Menge nichtleer.
Auch so folgt Theorem \ref{schauder exist}.

F\"uhre die Details dazu als \"Ubung aus. 
\end{remark}   

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Section{Parabolische Krylov-Safonov Absch\"atzungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ich orientiere mich in diesem Kapitel \"uber
Krylov-Safonov Absch\"atzungen an 
\cite[Kapitel 7 und 14]{LiebermanBook}. Hierin sind aber sehr viele
Dinge zu korrigieren.

F\"ur einige Resultate zeige ich, dass die Aussagen \"uber Zylinder
auch Entsprechungen f\"ur Quader haben. Dies sind einfache ad hoc
Beweise oder einfache \"Ubungsaufgaben, die sp\"ater helfen, den
h\"aufigen \"Ubergang von Quadern zu Zylindern und zur\"uck zu
vermeiden. Man kann sie auch komplett vermeiden. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{ABP-Absch\"atzung}

Da wir a priori Absch\"atzungen beweisen wollen, d\"urfen wir
annehmen, dass alle auftretenden Funktionen glatt sind. 

Ich benutze f\"ur die Alexandroff-Bakelman-Pucci Absch\"atzung
(ABP-Ab\-sch\"atz\-ung) \cite[Kapitel 7.1]{LiebermanBook}.
Elliptische Versionen zu diesem Thema finden sich in
\cite[Kapitel 9.1]{GT} oder \cite[Kapitel 3]{CaffarelliCabre}.

\begin{definition}
Der parabolische Differentialoperator $L$ sei definiert durch
$$Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du.$$
Setze $\mathcal D:=\det\left(a^{ij}\right)$ und 
$\mathcal D^*:=\mathcal D^{1/(n+1)}$. Es gilt also $a^{ij}>0$ im Sinne
von Matrizen. Wir wollen auch annehmen, dass $a^{ij}$ symmetrisch ist,
$a^{ij}=a^{ji}$. 

Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $0<T<\infty$.
Der parabolische Rand von $\Omega\times(0,T)$
ist definiert als
$$\mathcal P(\Omega\times(0,T)):=
(\Omega\times\{0\})\cup(\partial\Omega\times[0,T]).$$

F\"ur eine gegebene Funktion $u:\Omega\times(0,T)\to\R$ ist
die Menge der oberen Kontaktpunkte, $E(u)$, definiert als 
die Menge aller Punkte $(x,t)\in\Omega\times(0,T]\equiv
\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)\setminus
\mathcal P(\Omega\times(0,T))$,
f\"ur die es ein $\xi\in\R^n$ gibt, so dass
$$u(x,t)+\langle\xi,y-x\rangle\ge u(y,s)$$
f\"ur alle $(y,s)\in\Omega\times(0,t]$ gilt. Es gibt 
also eine $\graph u$ dort ber\"uhrende, zeitunabh\"angige 
Hyperebene, unter der $\graph u$ zu allen fr\"uheren Zeiten liegt. 

Gelte nun $\Omega\subset B_R$. Definiere
$E^+(u)$ als die Teilmenge von $E(u)$, in
der zus\"atzlich noch $u>0$ und
\begin{equation}\label{e plus ungl}
R|\xi|<u(x,t)-\langle\xi,x\rangle<\tfrac12\sup u^+
\end{equation}
gelten, wobei $u^+:=\max\{u,0\}$. 

F\"ur eine beliebige Teilmenge $D\subset\R^n\times\R$
definieren wir den parabolischen Rand 
$\mathcal P D$ als die Menge 
aller Punkte $(x,t)$ in $\partial D$, f\"ur die 
$B_r(x)\times(t-r^2,t)$ f\"ur beliebiges (insbesondere
kleines) $r>0$ nicht in $D$ enthalten ist.
Die Kontaktmenge wird in diesem Fall analog zu oben
definiert.
\end{definition}

Der Beweis der Alexandroff-Bakelman-Pucci Absch\"atzung
setzt sich aus mehreren Lemmata zusammen.
Vergleiche das n\"achste Lemma mit \cite[Lemma 7.2]{LiebermanBook}.

\begin{lemma}\label{u dot det lem}
Sei $\Omega\subset B_R(0)\subset\R^n$ offen, $0<T<\infty$.
Sei $u$ glatt, \dh $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$,
und gelte $u\le0$ auf dem parabolischen Rand
$\mathcal P(\Omega\times(0,T))$. Dann folgt
$$\sup\limits_{\Omega\times(0,T)}u\le c(n)\cdot R^{\frac n{n+1}}
\left(\,\int\limits_{E^+(u)}
\left|\dot u\det D^2u\right|\right)^{\frac1{n+1}}.$$
\end{lemma}

\begin{remark}
Dieses Lemma bleibt auch g\"ultig, wenn man $\Omega\times(0,T)$
durch eine offene Teilmenge hiervon ersetzt.
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{u dot det lem}]
Definiere $\Phi:\Omega\times(0,T)\to\R^{n+1}$ durch
$$\Phi(x,t):=(Du(x,t),u(x,t)-x^ku_k(x,t))^T.$$ 
Wir berechnen $\det\left(D\Phi,\fracp{}t\Phi\right)$. Hierzu addieren wir
das $x^j$-fache der $j$-ten Zeilen zur letzten Zeile
$$\det\left(D_i\Phi^j,\fracp{}t\Phi\right)= 
\det\begin{pmatrix}
(u_{ij}) & (\dot u_j)\\
\left(-x^ku_{ik}\right) & \dot u-x^k\dot u_k
\end{pmatrix}
=\det\begin{pmatrix}
(u_{ij}) & (\dot u_j)\\
(0) & \dot u
\end{pmatrix}.$$
Die Transformationsformel f\"ur Integrale lautet f\"ur
einen Diffeomorphismus $\phi$, $y=\phi(x)$,
$$\int\limits_\Omega f(\phi(x))|\det D\phi|\,dx
=\int\limits_{\phi(\Omega)}f(y)\,dy.$$
Da $\Phi$ nicht injektiv zu sein braucht, folgt hier nur
\begin{equation}\label{phi int est}
\int\limits_{E^+(u)}\left|\dot u\det D^2u\right|
\ge\int\limits_{\Phi(E^+(u))}1=\left|\Phi(E^+(u))\right|.
\end{equation}
(Es handelt sich hier um Integration bez\"uglich des
Lebesguema\ss{}es, der \glqq parabolische Abstand\grqq{} wird
nicht benutzt. Genauer ist diese Ungleichung eine Folgerung der
Kofl\"achenformel, siehe \cite[Theorem 3.2.3]{Federer}. In einer
nachfolgenden Bemerkung werden wir die Ungleichung noch mit Hilfe des
Sardschen Satzes herleiten.)
\par
Sei nun $M:=\sup u$. Nehme an, dass $M>0$ gilt und dass $u(x_0,t_0)=M$
ist. Definiere den abgeschnittenen Kegel $\Sigma$ als die Menge aller
$(\xi,h)\in\R^{n+1}$, so dass
\begin{equation}\label{def Sigma}
R|\xi|<h<M/2 
\end{equation}
ist. Definiere weiterhin f\"ur ein festes Tupel
$(\xi,h)\in\Sigma$ die Funktion
$$p(y,s):=\langle\xi,y\rangle+h.$$
Nach Definition der Menge $\Sigma$ gilt in $\ol\Omega
\times[0,T]$ die Ungleichung $p>0$. Somit gilt insbesondere 
$p>0\ge u$ auf dem parabolischen Rand $\mathcal P(\Omega\times(0,T))$.
Die Definition von $\Sigma$ liefert weiterhin, dass
$$p(x_0,t_0)<M=u(x_0,t_0)$$ gilt. Somit finden wir einen Punkt
$(y_1,s_1)\in\ol\Omega\times[0,t_0]$, so dass dort $u$ und $p$
\"ubereinstimmen, $p(y_1,s_1)=u(y_1,s_1)$, und dass f\"ur alle
fr\"uheren Zeiten $p$ \"uber $u$ liegt, $p(y,s)\ge u(y,s)$ f\"ur alle
$s\le s_1$ und f\"ur alle $y\in\ol\Omega$.  \par Der Punkt $(y_1,s_1)$
liegt nicht auf dem parabolischen Rand $\mathcal P(\Omega\times(0,T))$
liegt, da dort $p>0\ge u$ gilt.  \par Sei also
$(y,s)\in\Omega\times(0,s_1]$. Dann gilt
$$u(y,s)\le p(y,s)=\langle\xi,y\rangle+h=
\langle\xi,y-y_1\rangle+p(y_1,s_1)
=\langle\xi,y-y_1\rangle+u(y_1,s_1)$$
nach Wahl von $(y_1,s_1)$ und der Definition von $p$.
Es folgt $(y_1,s_1)\in E(u)$. 
Da $u$ und $p$ im Punkt $(y_1,s_1)$ \"ubereinstimmen,
gilt $u(y_1,s_1)>0$. Schlie\ss{}lich folgt die 
Bedingung \eqref{e plus ungl} nach Definition von
$\Sigma$ und $p$,
$$R|\xi|<h=p(y_1,s_1)-\langle\xi,y_1\rangle=
u(y_1,s_1)-\langle\xi,y_1\rangle=h<\tfrac12M,$$ und somit gilt
$(y_1,s_1)\in E^+(u)$.  \par Da $u$ und $p$ in $(y_1,s_1)$
\"ubereinstimmen und da $p(y,s)\ge u(y,s)$ f\"ur alle $s\le s_1$ gilt,
folgt $Du(y_1,s_1)=\xi$. \par Wir benutzen nochmals, dass $u$ und $p$
in $(y_1,s_1)$ \"ubereinstimmen und erhalten
$$\Phi(y_1,s_1)=(\xi,p(y_1,s_1)-\langle y_1,\xi\rangle)=(\xi,h).$$
Da wir f\"ur festes $(\xi,h)\in\Sigma$ 
einen Punkt $(y_1,s_1)\in E^+(u)$
gefunden haben mit $\Phi(y_1,s_1)=(\xi,h)$, folgt
$\Sigma\subset\Phi\left(E^+(u)\right)$. 
Nun ist $\Sigma$ ein Kegel der H\"ohe $M/2$ mit 
einer $n$-dimensionalen Kugel vom Radius $M/(2R)$ als
Grundfl\"ache. Wir erhalten also die Absch\"atzung
$$\left|\Phi\left(E^+(u)\right)\right|\ge|\Sigma|
=c(n)\frac{M^{n+1}}{R^n}$$
mit einer Konstanten $c(n)>0$
und zusammen mit \eqref{phi int est} ergibt sich die Behauptung.
\end{proof}

\begin{remark}\label{ABP bem}
Benutzt man im obigen Beweis die Integraltransformationsformel
mit einer Funktion $g:\R^n\to\R$, so ergibt sich
$$\int\limits_{E^+(u)}\left|g(Du)\dot u\det D^2u\right|
\ge\int\limits_{(\xi,h)\in\Phi\left(E^+(u)\right)}g(\xi)
\ge\int\limits_{(\xi,h)\in\Sigma}g(\xi).$$
\end{remark}

% GT 9.2 steht wie man die Ungleichung durch Approximation mit
% Diffeomorphismen erh\"alt.  
\begin{remark}
  Beweis von \eqref{phi int est} mit Hilfe des Sardschen Satzes:
  Aufgrund des Sardschen Satzes gibt es $A\subset\Phi(E^+(u))$ mit
  $|\Phi(E^+(u))\setminus A|=0$, so dass $\det(D\Phi(y))\neq0$ f\"ur
  alle $y\in\Phi^{-1}(A)\cap E^+(u)$ gilt. Wir zerlegen
  $\Phi^{-1}(A)\cap E^+(u)$ in h\"ochstens abz\"ahlbar viele disjunkte
  messbare Mengen $B_i$, die man induktiv w\"ahlen kann (indem man die
  kompakte Menge mit $|\det(D\Phi)|\ge\epsilon$ durch endlich viele
  Mengen \"uberdeckt auf denen $D\Phi$ mindestens auf einem Ball vom
  Radius $\delta$ ein Diffeomorphismus mit $|D\Phi(x,t)-D\Phi(y,s)|
  \ge\delta\cdot|(x,t)-(y,s)|$ ist, dann zun\"achst $\delta\searrow0$
  und sp\"ater $\epsilon\searrow0$ l\"a\ss{}t, die Mengen induktiv
  verkleinert um die Disjunktheit zu erhalten und am Ende jeweils mit
  $\Phi^{-1}(A)\cap E^+(u)$ schneidet), so dass \[\Phi\colon
  B_i\to\Phi(B_i)\] f\"ur alle $i$ Diffeomorphismen sind. Dann gilt
  aufgrund der Integraltransformationsformel \[\int\limits_{B_i}
  \left|\dot u\det D^2u\right| =\int\limits_{\Phi(B_i)}
  1=|\Phi(B_i)|\] f\"ur alle $i$. Aufsummieren liefert, da die Mengen
  $\Phi(B_i)$ nicht notwendigerweise paarweise disjunkt sind
  \begin{align*}
    \int\limits_{E^+(u)}\left|\dot u\det D^2u\right| \ge&\,
    \int\limits_{\Phi^{-1}(A)\cap E^+(u)} \left|\dot u\det D^2u\right|
    =\sum\limits_i\int\limits_{B_i} \left|\dot u\det
      D^2u\right|\umbruch\\ =&\,\sum\limits_i|\Phi(B_i)|
    \ge\left|\bigcup\limits_i \Phi(B_i)\right|
    =\left|\Phi\left(\bigcup\limits_i B_i\right)\right|\umbruch\\
    =&\,\left|\Phi\left(\Phi^{-1}(A) \cap E^+(u)\right)\right| =|A|
    =\left|\Phi\left(E^+(u)\right)\right|,
  \end{align*}
  wobei wir bei der vorletzten Gleichheit
  $A\subset\Phi\left(E^+(u)\right)$ verwendet haben. Es gilt
  n\"amlich ganz allgemein: Aus $A\subset f(B)$ folgt
  $f\left(f^{-1}(A)\cap B\right)=A$ (einfache \"Ubung). \par Diese
  \"Uberlegungen funktionieren auch mit einer zus\"atzlichen
  nichtnegativen Funktion $g$ wie in Bemerkung \ref{ABP bem}.
\end{remark}

Im folgenden wollen wir $c(n)$ oder $c$ f\"ur positive
Konstanten schreiben, die ihren Wert noch von Zeile zu
Zeile \"andern d\"urfen. 

Wir wollen nun $g$ geeignet w\"ahlen und mit Hilfe von
Bemerkung \ref{ABP bem} das folgende Theorem beweisen.
Vergleiche dies mit \cite[Theorem 7.1]{LiebermanBook}.
Auch hier gilt die Aussage ebenso f\"ur 
beliebige offene Teilmengen von $B_R\times(0,T)$.

\begin{theorem}\label{ABP est}
Sei $\Omega\subset B_R(0)\subset\R^n$ offen, $0<T<\infty$.
Gelte
$$Lu\ge f\quad\text{in~}\Omega\times(0,T)$$
und erf\"ulle der konstante Koeffizient $d$ im Differentialoperator
$L$ die Ungleichung $d\le k$ f\"ur ein $k\ge0$. Dann gilt
$$\sup\limits_{\Omega\times(0,T)}u\le e^{kT}
\left(\sup\limits_{\mathcal P(\Omega\times(0,T))}u^+
+c(n)\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
\cdot B_0^\frac n{n+1}\right),$$
wobei
$$B_0=\left\Vert\frac b{\mathcal D^*}
\right\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}+R$$
ist.
\end{theorem}
Beachte f\"ur den Anwendung dieses Theorems Bemerkung \ref{ABP rem}
und verfolge im nun folgenden Beweis, dass diese Bemerkung gilt.
\begin{proof}[Beweis]
Definiere
$$w(x,t):=e^{-kt}u(x,t) -\sup\limits_{(y,s)\in\mathcal
  P(\Omega\times(0,T))} e^{-ks}u^+(y,s).$$ Es gilt
\begin{align*}
-\dot w+a^{ij}w_{ij}=&\,e^{-kt}\left(-\dot u+a^{ij}u_{ij}\right)
+ke^{-kt}u\\
=&\,e^{-kt}\left(Lu-b^iu_i-du\right)+ke^{-kt}u\\
\ge&\,e^{-kt}\left(f-b^iu_i\right)+e^{-kt}(k-d)u\\
\ge&\,-f^--|b||Dw|
\end{align*}
in $E^+(w)$, da dort $0<e^{-kt}\le1$ und $(k-d)u\ge0$
gelten, wobei $f=f^+-f^-$. Weiterhin gilt nach Definition von $w$
die Ungleichung
$w\le0$ auf $\mathcal P(\Omega\times(0,T))$. Sei $\mu>0$ eine noch
zu fixierende Konstante. Definiere
$$g(p):=\left(|p|^{\frac{n+1}n}+\mu^{\frac{n+1}n}\right)^{-n}.$$
Aufgrund der H\"olderschen Ungleichung gilt
\begin{equation}\label{unglkette mit hoelder}
\begin{split}
\dot w-a^{ij}w_{ij}\le&\,f^-+|b||Dw|\\
\le&\,\left(\mu^{-(n+1)}(f^-)^{n+1}+|b|^{n+1}\right)^{\frac1{n+1}}
\cdot\left(\mu^{\frac{n+1}n}+|Dw|^\frac{n+1}{n}\right)^{\frac n{n+1}}\\
=&\,\frac{\left(\mu^{-(n+1)}(f^-)^{n+1}+|b|^{n+1}\right)^\frac1{n+1}}
{g(Dw)^\frac1{n+1}}
\end{split}
\end{equation}
in $E^+(w)$. Nach Definition von $E^+(w)$ gilt insbesondere $w(x,t)\ge
w(x,s)$ f\"ur $(x,t)\in E^+(w)$ und $s\le t$.  Damit folgt, dass $\dot
w\ge0$ in $E^+(w)$ gilt. Die Definiton von $E^+(w)$ liefert weiterhin
f\"ur $(x,t)\in E^+(w)$ und einen Einheitsvektor $e$ ein $\xi$ mit
$$w(x,t)+\langle\xi,\eta e\rangle\ge w(x+\eta e,t)$$
und
$$w(x,t)-\langle\xi,\eta e\rangle\ge w(x-\eta e,t),$$
falls $|\eta|$ so klein ist, dass $w$ an den entsprechenden
Stellen definiert ist. Addieren dieser beiden Gleichungen
liefert f\"ur $\eta\neq0$
$$\frac{w(x+\eta e,t)+w(x-\eta e,t)-2w(x,t)}{\eta^2}\le0.$$
Im Limes $\eta\to0$ erhalten wir $w_{ij}e^ie^j\le0$. Somit 
ist $-D^2w$ positiv semidefinit. F\"ur positiv semidefinite
(symmetrische) $(n+1)\times(n+1)$-Matrizen $A$ und $B$ gilt die
geometrisch-arithmetische Ungleichung f\"ur Matrizen
$$(\det AB)^\frac1{n+1}\le\frac{\tr AB}{n+1}.$$
Wir erhalten also wegen $\dot w\ge0$
\begin{align*}
\dot w-a^{ij}w_{ij}=&\,\tr\left\{
\begin{pmatrix}
1&(0)\\(0)&\left(a^{ij}\right)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot w&(0)\\(0)&(-w_{ij})
\end{pmatrix}
\right\}\\
\ge&\,(n+1)\left(\det a^{ij}\right)^{\frac1{n+1}}
\left|\dot w\det D^2w\right|^\frac1{n+1}\\
=&\,(n+1)\mathcal D^*\left|\dot w\det D^2w\right|^\frac1{n+1}.
\end{align*}
Kombiniert mit Bemerkung \ref{ABP bem} und 
\eqref{unglkette mit hoelder} erhalten wir hieraus
\begin{equation}\label{g nach oben}
\begin{split}
\int\limits_{(\xi,h)\in\Sigma}g(\xi)\le&\,
\int\limits_{E^+(w)}
\left|g(Dw)\dot w\det D^2 w\right|\\
\le&\,\int\limits_{E^+(w)}|g(Dw)|
\left(\frac{\dot w-a^{ij}w_{ij}}{(n+1)\mathcal D^*}\right)^{n+1}\\
\le&\,\int\limits_{E^+(w)}\frac{\mu^{-(n+1)}(f^-)^{n+1}+|b|^{n+1}}
{((n+1)\mathcal D^*)^{n+1}},
\end{split}
\end{equation}
wobei $\Sigma$ wie in \eqref{def Sigma} definiert ist.
Es gilt
$$g(p)=\left(|p|^\frac{n+1}n+\mu^\frac{n+1}n\right)^{-n}
\ge c(n)\left(|p|^n+\mu^n\right)^{-\frac{n+1}n}$$
und wir erhalten nach Definition von $\Sigma$ 
(falls $M=\sup w^+>0$; der Fall $M\le0$ wird
weiter unten betrachtet)
und $g$ in Polarkoordinaten
\begin{align*}
\int\limits_\Sigma g(\xi)\ge&\,c(n)\int\limits_0^{M/2}
\int\limits_0^{h/R}\frac{r^{n-1}}{\left(r^n+\mu^n\right)^\frac{n+1}n}
\,dr\,dh\umbruch\\
=&\,c(n)\int\limits_0^{M/2}
\left(\left.-\left(r^n+\mu^n\right)^{-1/n}\right|_0^{h/R}\right)dh\umbruch\\
=&\,c(n)\int\limits_0^{M/2}\frac1\mu-\left(\left(\frac hR\right)^n
+\mu^n\right)^{-1/n}dh\umbruch\\
\ge&\,c(n)\int\limits_{\mu R}^{M/2}\frac1\mu-\left(\left(\frac hR\right)^n
+\mu^n\right)^{-1/n}dh\umbruch\\
\ge&\,c(n)\int\limits_{\mu R}^{M/2}\frac1\mu-2^{-1/n}\frac1\mu\,dh\umbruch\\
\ge&\,c(n)\frac{M/2-\mu R}\mu\umbruch\\
=&\,c(n)\left(\frac{M}{2\mu}-R\right),
\end{align*}
falls $M\ge2\mu R$. 
Zusammen mit \eqref{g nach oben} ergibt sich
\begin{equation}\label{int domain f b}
\begin{split}
M\le&\,2\mu R+c(n)\mu\int\limits_{E^+(w)}
\frac{\mu^{-(n+1)}(f^-)^{n+1}+|b|^{n+1}}{{\mathcal D^*}^{n+1}}\\
\le&\,2\mu R
+c(n)\frac1{\mu^n}
\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
+c(n)\mu
\left\Vert\frac b{\mathcal D^*}
\right\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}.
\end{split}
\end{equation}
Falls $\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}=0$
gilt, erhalten wir mit $\mu\searrow0$, dass $M\le0$. 
Sonst fixieren wir 
\begin{align*}
\mu=&\,\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
\cdot\left(\left\Vert\frac b{\mathcal D^*}
\right\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
+R\right)^{-\frac1{n+1}}\umbruch\\
\equiv&\,\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}\cdot B_0^{-\frac1{n+1}}
\end{align*}
und erhalten in beiden F\"allen
nach Definition von $B_0$
\def\fdabkuerzung{c(n)
\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
\cdot B_0^\frac n{n+1}}
\begin{align*}
M\le&\,\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}\cdot\umbruch\\
&\qquad\cdot
\left(2RB_0^{-\frac1{n+1}}+c(n)B_0^\frac n{n+1}
+c(n)\left\Vert\frac b{\mathcal D^*}
\right\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
\cdot B_0^{-\frac1{n+1}}\right)\umbruch\\
\le&\,c(n)\left\Vert\frac{f^-}{\mathcal D^*}
\right\Vert_{L^{n+1}(\Omega\times(0,T))}
\cdot B_0^\frac n{n+1}.
\end{align*}
Umordnen der Terme ergibt
\begin{align*}
u(x,t)\le&\,e^{kt}\left(\sup\limits_{\mathcal P(\Omega\times(0,T))}
e^{-ks}u^++\fdabkuerzung\right)\umbruch\\
\le&\,e^{kt}\left(\sup\limits_{\mathcal P(\Omega\times(0,T))}
u^++\fdabkuerzung\right)
\end{align*}
und das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{ABP rem}
  Wir werden im folgenden Theorem \ref{local mp} dieses Theorem
  benutzen. Wie man an Gleichung \eqref{int domain f b} abliest,
  gen\"ugt es dabei, die entsprechenden
  $L^{n+1}\left(E^+(w)\right)$-Normen statt der
  $L^{n+1}(\Omega\times(0,T))$-Normen zu benutzen. Gilt $d\le0$ in
  $\Omega\times(0,T)$ und $u\le0$ auf $\mathcal P(\Omega\times(0,T))$,
  so ist $u=w$ und wir k\"onnen auch die
  $L^{n+1}\left(E^+(u)\right)$-Normen verwenden.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Ein lokales Maximumprinzip}

Nehme an, dass $L$ gleichm\"a\ss{}ig parabolisch ist, \dh dass
$$\lambda\delta^{ij}\le a^{ij}\le\Lambda\delta^{ij}$$
f\"ur Konstanten $0<\lambda\le\Lambda<\infty$ gilt. Definiere
den parabolischen Zylinder $Q(R)$ durch
\begin{align*}
Q(R)=&\,Q((x,t),R)\umbruch\\
:=&\,\left\{(y,s)\in\R^n\times\R:\max\left\{|x-y|,
|s-t|^{1/2}\right\}<R,s<t\right\}\umbruch\\
=&\,B_R(x)\times(t-R^2,t).
\end{align*}
Im folgenden Theorem sind die parabolischen Zylinder alle
bez\"uglich eines gemeinsamen festen Punktes definiert.
Wir wollen annehmen, dass dies der Ursprung ist.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vergleiche das nachfolgende Resultat mit \cite[Theorem
7.21]{LiebermanBook}.  Beachte, dass das hier auftretende Integral
durch den Faktor $R^{-(n+2)}$ gemittelt ist.  Es gilt das folgende
lokale Maximumprinzip
\begin{theorem}\label{local mp}
Gelte $Lu\ge f$ in $Q(R)$. Seien $p>0$, $\rho\in(0,1)$.
Dann gibt es
$$c=c\left(n,p,\rho,\lambda,\Lambda,
\sup\left(R|b|+R^2d^+\right)\right),$$
so dass
$$\sup\limits_{Q(\rho R)}u\le c\left[
\left(R^{-(n+2)}\int\limits_{Q(R)}\left(u^+\right)^p\right)^{1/p}
+R^\frac n{n+1}\left\Vert f\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}
\right]$$
gilt.
\end{theorem}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir fordern nicht $p\ge1$. 
  \item Mit Bemerkung \ref{ABP rem} sehen wir durch Inspektion des
    folgenden Beweises, dass es hier gen\"ugt, \"uber $E^+(u)$ statt
    \"uber $Q(R)$ zu integrieren.
  \item Der Beweis von Theorem \ref{local mp rand} ergibt sich aus dem
    Beweis von Theorem \ref{local mp}, da die Randwerte dort $u\le 0$
    erf\"ullen. Dies beim Lesen des Beweises von Theorem \ref{local
      mp} zu ber\"ucksichtigen ist daher f\"ur sp\"ater hilfreich. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Ein analoges Resultat gilt auch, wenn wir $Q(R)$ bzw.{} $Q(\rho R)$
  \"uberall durch
  \begin{align*}
    K((x,t),R):=&\,\left\{(y,s\in\R^n\times\R\colon
      \max\limits_i\left|x^i-y^i\right|<R \text{ und
      }t-R^2<s<t\right\}\umbruch\\ 
    =&\,\left\{(y,s)\in\R^n\times\R\colon
      \max\left\{\max\limits_i\left|x^i-y^i\right|,
        |s-t|^{1/2}\right\}<R \text{ und }s<t\right\}
  \end{align*}
  bzw.{} $K(\rho R)$ ersetzen. Dieses Resultat nennen wir die
  Quadervariante von Theorem \ref{local mp}. Wiederum werden wir alle
  Quader bez\"uglich eines gemeinsamen Punktes, der ohne
  Einschr\"ankung der Ursprung ist, mit $K(R)\equiv K((0,0),R)$ ohne
  explizite Angabe eines Referenzpunktes bezeichnen. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{local mp}]
Definiere
$$\zeta:=\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right)
\left(1+\frac t{R^2}\right).$$
Beachte, dass $\zeta\ge0$ in $Q(R)$ mit Gleichheit auf
$\mathcal P(Q(R))$ gilt. Weiterhin gilt dort $\zeta\le1$.
F\"ur ein noch zu fixierendes $q\ge2$,
n\"amlich f\"ur
$$\begin{cases}
q=\frac{2(n+1)}p&\text{falls~}p\le n+1,\\
q=2&\text{falls~}p\ge n+1,
\end{cases}$$
definieren wir $\eta:=\zeta^q$. Definiere weiterhin
den Differentialoperator $P$ durch
$$Pv:=-\dot v+a^{ij}v_{ij}$$
und $v:=\eta u$. Es gilt
\begin{align*}
  Pv=&\,-\dot\eta u-\eta\dot u+a^{ij}(\eta_{ij}u+2u_i\eta_j +\eta
  u_{ij})\umbruch\\ 
  =&\,\eta Pu+uP\eta+2a^{ij}u_i\eta_j\umbruch\\
  =&\,\eta\left(Lu-b^iu_i-du\right)+uP\eta+2a^{ij}u_i\eta_j\umbruch\\
  \ge&\,\eta f-\eta\left(b^iu_i+du\right)+uP\eta+2a^{ij}u_i\eta_j.
\end{align*}
F\"ur die weiteren Absch\"atzungen f\"ur $Pv$ ben\"otigen
wir einige vorbereitende Rechnungen.
Differenzieren liefert
$Dv=uD\eta+\eta Du$, also
$$|Du|\le\frac{|Dv|}\eta+|u|\frac{|D\eta|}\eta.$$
F\"ur $(x,t)\in E^+(v)$ existiert $\xi=Dv$ mit
$R|\xi|<v(x,t)+|\xi||x|$ und somit folgt
$$|Dv|=|\xi|<\frac v{R-|x|}.$$
In $E^+(v)$ gilt $|u|=u$ und somit schlie\ss{}en wir dort
\begin{align*}
|Du|\le&\,\frac{|Dv|}\eta+\frac{u|D\eta|}\eta\umbruch\\
\le&\,\frac v{\eta(R-|x|)}+\frac{uq\eta\zeta^{-1}
\left|\frac{2x}{R^2}\right|\left(1+\frac t{R^2}\right)}{\eta}\umbruch\\
=&\,\frac v{\eta\zeta}\left(\frac\zeta{R-|x|}
+q\left|\frac{2x}{R^2}\right|\left(1+\frac t{R^2}\right)\right)\umbruch\\
=&\,\frac v{\eta\zeta}\left(\frac{(R-|x|)(R+|x|)}{R^2(R-|x|)}
+q\left|\frac{2x}{R^2}\right|\right)
\left(1+\frac t{R^2}\right)\umbruch\\
\le&\,\frac v{\eta\zeta}\left(\frac{2R}{R^2}+q\frac2R\right)\umbruch\\
=&\,\frac{2v(1+q)}{\eta\zeta R}.
\end{align*}
Es gilt 
\begin{align*}
\dot\eta=&\,q\zeta^{q-1}\frac1{R^2}
\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right)
=q\frac\eta\zeta\frac1{R^2}
\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right),\umbruch\\
\eta_i=&\,q\zeta^{q-1}\left(-\frac{2x_i}{R^2}\right)
\left(1+\frac t{R^2}\right),\umbruch\\
\eta_{ij}=&\,q(q-1)\zeta^{q-2}\frac{4x_ix_j}{R^4}
\left(1+\frac t{R^2}\right)^2
-q\zeta^{q-1}\frac{2\delta_{ij}}{R^2}
\left(1+\frac t{R^2}\right)\umbruch\\
=&\,q(q-1)\frac\eta{\zeta^2}\frac{4x_ix_j}{R^4}
\left(1+\frac t{R^2}\right)^2
-q\frac\eta\zeta\frac{2\delta_{ij}}{R^2}
\left(1+\frac t{R^2}\right).
\end{align*}
Da in $E^+(v)$ auch $u>0$ gilt, folgt dort 
\begin{align*}
uP\eta=&\,\frac{u\eta}{\zeta^2R^2}\left(-q\zeta
\left(1-\frac{|x|^2}{R^2}\right)
+4q(q-1)\frac1{R^2}a^{ij}x_ix_j
\left(1+\frac t{R^2}\right)^2\right.\\
&\,\left.\qquad-2q\zeta a^{ij}\delta_{ij}
\left(1+\frac t{R^2}\right)\right)\umbruch\\
\ge&\,\frac{v}{\zeta^2R^2}\left(-q-2qn\Lambda\right),
\end{align*}
wobei wir den mittleren Term weglassen durften.
Das $\zeta^2$ im Nenner d\"urfte man sogar durch ein
$\zeta$ ersetzen. Dies kann man aber in der n\"achsten
Rechnung nicht mehr ausnutzen. 
Als Absch\"atzung f\"ur $Pv$ ergibt sich also 
in $E^+(v)$ aufgrund der obigen Rechnungen
\begin{align*}
Pv\ge&\,-|f|-\eta|b||Du|-dv+\frac v{\zeta^2R^2}(-q-2qn\Lambda)
-2\Lambda|Du||D\eta|\umbruch\\
\ge&\,-|f|-\eta|b|\frac{2v(1+q)}{\eta\zeta R}-dv
+\frac{v}{\zeta^2R^2}(-q-2qn\Lambda)\umbruch\\
&\,\quad-2\Lambda\frac{2v(1+q)}{\eta\zeta R}q\zeta^{q-1}
\frac{2|x|}{R^2}\left(1+\frac t{R^2}\right)\umbruch\\ 
\ge&\,-|f|-\frac v{\zeta^2R^2}\left(2(1+q)\zeta|b|R
+d\zeta^2R^2+q+2qn\Lambda+8q(1+q)\Lambda\right),
\intertext{da $\frac{\zeta^q}\eta=1$ gilt,}
\ge&\,-|f|-\frac v{\zeta^2R^2}c\left(q,\sup|b|R+d^+R^2,
n,\Lambda\right).
\end{align*}
Wir wenden nun Theorem \ref{ABP est} auf $Pv$ an. Beachte, dass
$v=0$ auf $\mathcal P(Q(R))$ und dass
$(\mathcal D^*)^{-1}$ abgesch\"atzt ist.
Es folgt
\begin{align*}
\sup\limits_{Q(R)}v\le&\,c\cdot\left(R^\frac n{n+1}
\left\Vert f\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}+R^{\frac n{n+1}-2}
\left\Vert\frac{v^+}{\zeta^2}
\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}\right)\umbruch\\
=&\,c\left(R^\frac n{n+1}\left\Vert f
\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}
+R^{-\frac{n+2}{n+1}}\left\Vert
(u^+)^{2/q}(v^+)^{1-2/q}
\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}\right)\umbruch\\
\le&\,c\left(R^\frac n{n+1}\left\Vert f
\right\Vert_{L^{n+1}(Q(R))}
+(\sup v)^{1-2/q}R^{-\frac{n+2}{n+1}}
\left(\,\int\limits_{Q(R)}(u^+)^\frac{2(n+1)}q\right)^{1/(n+1)}\right)
\end{align*}
nach Definition von $v$ und da $\sup v\ge0$.
\par
Betrachte nun zun\"achst den Fall $p\le n+1$ und
w\"ahle $q=\frac{2(n+1)}p\ge2$. Wir benutzen die Youngsche
Ungleichung mit 
$$\frac p{n+1}+\frac{n+1-p}{n+1}=1$$
und $\epsilon>0$
\begin{align*}
&\,(\sup v)^{1-\frac p{n+1}}\left(R^{-(n+2)}
\int\limits_{Q(R)}(u^+)^p\right)^{1/(n+1)}\umbruch\\
\le&\,\epsilon\sup\limits_{Q(R)} v+c(\epsilon,p,q)\left(R^{-(n+2)} 
\int\limits_{Q(R)}(u^+)^p\right)^{1/p}.
\end{align*}
Ist $\epsilon>0$ klein genug, folgt die Behauptung, da
$$\sup\limits_{Q(\rho R)}u\le c\sup\limits_{Q(R)}v$$
wegen $1\ge\eta\ge c(\rho)>0$ auf $Q(\rho R)$.
\par
Sei schlie\ss{}lich $p>n+1$. W\"ahle $q=2$. 
Damit gilt $(\sup v)^{1-2/q}=1$.
Aufgrund der H\"olderschen Ungleichung mit
$$\frac{n+1}p+\frac{p-(n+1)}p=1$$
und $|Q(R)|=c(n)\cdot R^{n+2}$ gilt
\begin{align*}
&\,\left(R^{-(n+2)}\int\limits_{Q(R)}
  (u^+)^{n+1}\right)^{1/(n+1)}\umbruch\\ 
\le&\,R^{-\frac{n+2}{n+1}}
\cdot\left(\,\int\limits_{Q(R)}(u^+)^p\right)^{1/p}\cdot
\left(\,\int\limits_{Q(R)}1
\right)^{\left(1-\frac{n+1}p\right)\frac1{n+1}}\umbruch\\
=&\,c(n)R^{\frac{n+2}{n+1}\left(-1+1-\frac{n+1}p\right)}
\cdot\left(\,\int\limits_{Q(R)}(u^+)^p\right)^{1/p}\umbruch\\
=&\,c(n)\cdot\left(R^{-(n+2)}
\int\limits_{Q(R)}(u^+)^p\right)^{1/p}.
\end{align*}
Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
  Wir wollen am Beispiel von Theorem \ref{local mp} zeigen, wie man
  solch ein Resultat durch Skalieren aus dem entsprechenden Resultat
  f\"ur $R=1$ bekommen kann. Dieses Vorgehen funktioniert auch sonst
  und liefert neben einem Beweis f\"ur alle Radien $R>0$ auch eine
  Methode, das richtige Skalierungsverhalten in den Absch\"atzungen zu
  finden. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Schwache Harnackungleichung}

Der Beweis der schwachen Harnackungleichung besteht aus mehreren
Teilen. Vergleiche das folgende Lemma mit 
\cite[Lemma 7.23]{LiebermanBook}. Es zeigt, dass $u$ in einem 
kleinen Zylinder gro\ss{} ist, wenn es in einem gr\"o\ss{}eren 
Zylinder keine Menge von gro\ss{}em Ma\ss{} gibt, in der $u$
klein ist. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{inf bound lem}
  Sei $u\ge0$ in $Q(r)$ und gelte dort $Lu\le f$.  Definiere
  $$k:=r^{\frac n{n+1}}\Vert f\Vert_{L^{n+1}(Q(r))}$$
  und
  $$\ol u:=u+k.$$
  Dann gibt es $\zeta=\zeta(n,\lambda,\Lambda)>0$, so dass
  $$|\{(x,t)\in Q(r):\ol u(x,t)<h\}|\le\zeta|Q(r)|$$
  oder die dazu \"aquivalente Bedingung
  $$|\{(x,t)\in Q(r):\ol u(x,t)\ge h\}|>(1-\zeta)|Q(r)|$$
  f\"ur festes $h\ge k$
  impliziert, dass
  $$\inf\limits_{Q(r/2)}\ol u\ge c(n,\lambda)\cdot h$$
  gilt, falls 
  $$0<r\le r_0(\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty}, \Vert
  d\Vert_{L^\infty})$$ ist. Im Falle $b=0$ und $d=0$ gilt diese
  Aussage f\"ur beliebige Radien $r>0$.
\end{lemma}

\begin{remark}
  Die Quadervariante von Lemma \ref{inf bound lem} gilt ebenfalls. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{inf bound lem}]
Definiere
$$v:=h\left(1-\frac{|x-x_0|^2-t}{r^2}\right)-\ol u$$
und 
$$Q^*=\{(x,t)\in Q(r):\ol u<h\}.$$
Es folgt (wobei $(x-x_0)_i$ keine Ableitung bezeichnet)
\begin{align*}
\dot v=&\,\frac h{r^2}-\dot u,\umbruch\\
v_i=&\,-2\frac h{r^2}(x-x_0)_i-u_i,\umbruch\\
v_{ij}=&\,-2\frac h{r^2}\delta_{ij}-u_{ij},\umbruch\\
Lv=&\,-Lu-\frac h{r^2}
\left(1+2a^{ij}\delta_{ij}+2b^i(x-x_0)_i\right)
+dh\left(1-\frac{|x-x_0|^2-t}{r^2}\right)-dk\umbruch\\
\ge&\,-f-\frac h{r^2}(1+2n\Lambda+2|b||x-x_0|)
-|d|h-|d|k,
\end{align*}
da $0\le|x-x_0|^2-t\le2r^2$ in $Q(r)$. In $Q(r)$ gilt
$|t|\le r^2$ und auf $\mathcal P(Q(r))$ gilt
$$v\le-\ol u=-u-k\le0,$$
da dort $-t=r^2$ oder ($|x-x_0|=r$ und $-t\ge0$) gelten.
Nach Definition von $Q^*$ und wegen 
$$1-\frac{|x-x_0|^2-t}{r^2}\le1\quad\text{in~}Q(r)$$
gilt somit auch $v\le0$ auf $\mathcal P(Q^*)$.
Nach Theorem \ref{ABP est} folgt daher
\begin{align*}
\sup\limits_{Q^*}v\le&\,
c(n,\lambda)\cdot e^{\sup d^+\cdot r^2}\cdot
\left(c(\lambda)\Vert b\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(Q^*)}+r\right)^\frac n{n+1}
\cdot\\
&\,\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^{n+1}(Q^*)}
+\left\Vert\frac h{r^2}(1+2n\Lambda+2|b||x-x_0|)\right\Vert_{L^{n+1}(Q^*)}
\right.\\
&\,\quad\left.\phantom{\left\Vert\frac h{r^2}\right\Vert_{L}}
+\Vert|d|(h+k)\Vert_{L^{n+1}(Q^*)}\right).
\end{align*}
Nimm nun an, dass $r_0>0$ so klein ist, dass
$$\Vert d^+\Vert_{L^\infty}\cdot r^2\le\Vert d^+\Vert_{L^\infty}
\cdot r_0^2$$
gleichm\"a\ss{}ig (z.\,B. durch $1$) beschr\"ankt ist. 
Nun gilt
\begin{align*}
\Vert b\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(Q^*)}\le&\,
\Vert b\Vert^{n+1}_{L^\infty}\cdot|Q(r)|\\
\le&\,c(n)\cdot\Vert b\Vert^{n+1}_{L^\infty}\cdot r^{n+2}\\
=&\,c(n)\cdot\Vert b\Vert^{n+1}_{L^\infty}\cdot r^{n+1}\cdot r.
\end{align*}
Somit gilt
$$\left(c(\lambda)\Vert b\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(Q^*)}+r\right)^\frac n{n+1}
\le c(n,\lambda)r^\frac n{n+1},$$ falls $r\le r_0$ f\"ur ein
geeignetes kleines $r_0$ gilt oder $b=0$ ist. Schreibe $\Vert
f\Vert_{L^{n+1}}\equiv \Vert f\Vert_{L^{n+1}(Q(r))}$. Es folgt
\begin{align*}
\sup\limits_{Q^*}v\le&\,c(n,\lambda)r^\frac n{n+1}\Vert f\Vert_{L^{n+1}}
+c(n,\lambda,\Lambda)hr^{\frac n{n+1}-2}\Vert 1+|b|r\Vert_{L^{n+1}(Q^*)}\\
&\,+c(n,\lambda)hr^\frac n{n+1}\Vert d\Vert_{L^{n+1}(Q^*)}\\
\le&\,c(n,\lambda)r^\frac n{n+1}\Vert f\Vert_{L^{n+1}}
+c(n,\lambda,\Lambda)hr^\frac{-n-2}{n+1}|Q^*|^\frac1{n+1}
\left(1+r\Vert b\Vert_{L^\infty}\right)\\
&\,+c(n,\lambda)hr^\frac n{n+1}\Vert d\Vert_{L^\infty}
|Q(r)|^\frac1{n+1}\\
\le&\,c(n,\lambda)k
+c(n,\lambda,\Lambda)hr^\frac{-n-2}{n+1}r^\frac{n+2}{n+1}
\zeta^\frac1{n+1}\left(1+r\Vert b\Vert_{L^\infty}\right)
+c(n,\lambda)h\Vert d\Vert_{L^\infty}r^2\\
\le&\,c(n,\lambda)k
+c(n,\lambda,\Lambda)h\zeta^\frac1{n+1}(1+r\Vert b\Vert_{L^\infty})
+c(n,\lambda)h\Vert d\Vert_{L^\infty}\cdot r^2\\
\le&\,c(n,\lambda)k
+c(n,\lambda,\Lambda)h\zeta^\frac1{n+1}+\tfrac18h,
\end{align*}
falls $r\le r_0$ oder alternativ $b=0$ und $d=0$ gelten. Fixiere nun
$\zeta>0$, so dass
$$c(n,\lambda,\Lambda)\zeta^\frac1{n+1}\le\tfrac18$$
ist. In $Q(r/2)$ gilt $0\le|x-x_0|^2\le\left(\frac r2\right)^2$ und
$0\le-t\le\left(\frac r2\right)^2$. Somit erhalten wir dort
$$1-\frac{|x-x_0|^2-t}{r^2}\ge
1-\frac{\frac{r^2}4+\frac{r^2}4}{r^2}=\frac12.$$
Es folgt daher in $Q(r/2)\cap Q^*$
$$\tfrac12h-\ol u\le v\le c(n,\lambda)k+\tfrac14h.$$
Wir erhalten dort
$$\ol u\ge\tfrac14h-c(n,\lambda)k.$$
Sei ohne Einschr\"ankung $h>0$.
Die Behauptung folgt damit, wenn $k/h$ klein genug ist.
Sonst ist aber die Ungleichung 
$$\inf\limits_{Q(r/2)}\ol u\ge k\ge c(n,\lambda)\cdot h$$
bei geeigneter Wahl von $c(n,\lambda)$ trivialerweise erf\"ullt. 

Somit folgt das Lemma f\"ur alle $h\ge k$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Nicht-Abfallen}
\label{nicht abfallen sec}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vergleiche das folgende Lemma mit \cite[Lemma 7.24]{LiebermanBook}.
Es besagt, dass eine untere Schranke auf einem Ball zu einer festen
Zeit sp\"ater eine untere Schranke auf einem dazu konzentrischen
Ball impliziert. Am Beweis erkennt man, dass die Funktion $u$
nur auf $B_r\times(-r^2,(-1+\alpha)r^2)$ definiert zu sein braucht.

Im Falle $f\equiv0$ kann man solch ein Resultat mit dem \"ublichen
Maximumprinzip zeigen, siehe \cite{OSPDEIa}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{bleibt gross lem}
  Gelte $u\ge0$ und $Lu\le f$ in $Q(R)$, wobei
  $$L_0u=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i$$ ist. Seien $0<\epsilon_0<1$,
  $0<\alpha_0<\alpha_1\le1$ und $r\le R$. Dann gibt es f\"ur jedes
  $0<\epsilon <\epsilon_0$ positive Konstanten $1>\delta(n,\lambda)>0$
  und $\kappa(n,\lambda,\Lambda,\alpha_0,\alpha_1,\epsilon_0)\ge1$ mit
  der folgenden Eigenschaft: Gilt
  $$\ol u\ge A\quad\text{auf~}\left\{(x,t)\colon|x|<\epsilon r,\,\,
  t=-r^2\right\}$$ f\"ur eine positive Konstante $A$, wobei wiederum
  $$\ol u=u+k\equiv u+r^{\frac{n}{n+1}}\Vert f\Vert_{L^{n+1}}$$ ist,
  so folgt
  $$\ol u\ge\delta\epsilon^\kappa A\quad\text{auf~} \left\{(x,t)\colon
  |x|<\tfrac r2,\,\,t=(-1+\alpha)r^2\right\}$$ f\"ur beliebiges
  $\alpha_0\le\alpha\le\alpha_1$, falls
  $$r\le r_0\left(n,\lambda,\Lambda,\alpha_0,\alpha_1, \Vert
  b\Vert_{L^\infty},\epsilon,\epsilon_0\right)$$ ist. Ist $b\equiv0$,
  so gilt die Aussage f\"ur alle Radien $r\le R$. Genauer ist die
  Abh\"angigkeit von $b$ wie folgt: Es gen\"ugt, dass $\Vert
  b\Vert_{L^\infty}\cdot\left(r+ r^{\frac n{n+1}}\right)$ klein ist. 
\end{lemma}

\begin{remark}\label{bleibt gross grosser radius bem}
  Am Beweis von Lemma \ref{bleibt gross lem}, genauer an Gleichung
  \ref{t alpha eq} und deren sp\"aterer Anwendung, erkennt man, dass
  auch \[\ol u\ge\delta(n,\lambda,\tilde\epsilon)\epsilon^\kappa
  A\quad\text{auf }\{(x,t)\colon|x|<(1-\tilde\epsilon)r,\,
  t=(-1+\alpha)r^2\}\] folgt. \par Alternativ folgt dies auch aus dem
  Lemma ohne weitere Inspektion des Beweises mit einem
  Zylinderkettenargument mit \[\ol
  u\ge\delta(n,\lambda,\tilde\epsilon)
  \epsilon^{\kappa(\ldots,\tilde\epsilon)} A,\quad\text{auf
  }\{(x,t)\colon|x|<(1-\tilde\epsilon)r,\, t=(-1+\alpha)r^2\}\]
  d.\,h.{} hier h\"angt $\kappa$ zus\"atzlich noch von
  $\tilde\epsilon$ ab.\par Auch hier gilt wieder eine Quadervariante.
\end{remark}

\begin{remark}
  \label{bleibt gross quader rem}
  Lemma \ref{bleibt gross lem} gilt auch in der Quadervariante, wobei
  auch hier zeitliche und r\"aumliche Ausdehnung unabh\"angig
  voneinander sein d\"urfen. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

Im nachfolgenden Beweis werden wir dieses elementare Lemma (f\"ur
Teilmengen von $\R^{n+1}$) benutzen.
\begin{lemma}
  Sei $u\colon\R^n\to\R$ glatt. Dann ist
  $u^\beta_+=\max\{u,0\}^\beta\in C^k$, falls $\beta>k\in\N$ gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir zeigen, dass $u^\beta_+$ in Punkten mit $u(x)=0$ mindestens
  $k$-mal differenzierbar ist. Sei $x_0$ mit $u(x_0)=0$, ohne
  Einschr\"ankung gelte $x_0=0$. Da $u$ glatt ist, gibt es $c$ mit
  $|u(x)|=|u(x)-u(0)|\le c\cdot|x-0|$ f\"ur alle $x$ nahe $0$. Es
  folgt \[|u_+(x)|^\beta\le |u(x)|^\beta\le
  |x|^\beta=o\left(x^k\right).\] Somit ist $u$ in $0$ mindestens
  $k$-mal differenzierbar mit $u^\beta_+(0)=0$, $Du^\beta_+(0)=0$,
  \ldots und $D^ku^\beta_+(0)=0$. Die Stetigkeit von $u^\beta_+$ und
  ihrer bis zu $k$-ten Ableitungen ist leicht zu sehen.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{bleibt gross lem}]
Fixiere $\alpha$ mit $\alpha_0\le\alpha\le\alpha_1$ und
definiere
$$\psi_0:=\frac{\left(1-\epsilon^2\right)\left(t+r^2\right)}{\alpha}
+\epsilon^2r^2$$
und 
$$\psi_1:=\left(\psi_0-|x|^2\right)^+.$$
Betrachte f\"ur noch zu fixierende $q>2$ die Funktion
$$\psi:=\psi_1^3\psi_0^{-q}.$$
Wir wollen die Funktion $\psi$ nur f\"ur $-r^2\le t\le0$
betrachten. Dort gilt $\psi_0\ge\epsilon^2r^2$. Somit ist dort $\psi$
wohldefiniert. Der Exponent \glqq$>2$\grqq{} von $\psi_1$ dient
lediglich dazu, $\psi\in C^{2;1}$ zu sichern.

Dort, wo $\psi_0\le|x|^2$ ist, gilt $L_0\psi=0$. Auf der Menge mit
$\psi_0>|x|^2$ erhalten wir
\begin{align*}
  \dot\psi=&\,\left(3\psi_1^2\psi_0^{-q}
    -q\psi_1^3\psi_0^{-q-1}\right)
  \dot\psi_0\umbruch\\
  =&\,\psi_0^{-q}\left(3\psi_1^2
    -q\frac{\psi_1^3}{\psi_0}\right)
  \frac{1-\epsilon^2}{\alpha},\umbruch\\
  \psi_i=&\,-6\psi_1^2\psi_0^{-q}x_i,\umbruch\\
  \psi_{ij}=&\,-6\psi_1^2\psi_0^{-q}\delta_{ij}
  +24\psi_1\psi_0^{-q}x_ix_j
\end{align*}
und somit f\"ur 
$$\mathcal Lw:=-\dot w+a^{ij}w_{ij}$$
die Differentialungleichung
\begin{align*}
  \mathcal L\psi=&\,\psi_0^{-q} \left(24\psi_1
    a^{ij}x_ix_j-6\psi_1^2\tr a^{ij}
    +\frac{1-\epsilon^2}{\alpha}q\frac{\psi_1^3}{\psi_0}
    -3\frac{1-\epsilon^2}{\alpha}\psi_1^2\right)\umbruch\\
  \ge&\,\frac{\psi_0^{-q}\psi_0\psi_1}{\alpha}
  \left(24\lambda\alpha_0\frac{|x|^2}{\psi_0}
    -6\alpha_1\frac{\psi_1}{\psi_0}n\Lambda
    -3\left(1-\epsilon^2\right)\frac{\psi_1}{\psi_0}
    +\left(1-\epsilon^2\right)\frac{\psi_1^2}{\psi_0^2}q\right).
\end{align*}
Wir wollen nachweisen, dass $\mathcal L\psi\ge0$ gilt.
Dazu betrachten wir zun\"achst den Fall, dass
$0\le\frac{|x|^2}{\psi_0}\le\frac12$ ist. Dann folgt
$$1\ge\frac{\psi_1}{\psi_0}=\frac{\psi_0-|x|^2}{\psi_0}\ge\frac12$$
und wir erhalten die gew\"unschte Ungleichung, indem wir
$q=q(\Lambda,\alpha_1,n,\epsilon_0)$ gro\ss{} genug w\"ahlen
\[\mathcal L\psi\ge\frac{\psi_0^{-q}\psi_0\psi_1}{\alpha}
  \left(0-c(\alpha_1,n,\Lambda)
    +\left(1-\epsilon^2\right)\frac14q\right).\]
Im Falle $\frac{|x|^2}{\psi_0}\ge\frac12$ erhalten wir
\[\mathcal L\psi\ge\frac{\psi_0^{-q+1}\psi_1}{\alpha}
\left(24\lambda\alpha_0\frac12
  -c(\alpha_1,n,\Lambda)\frac{\psi_1}{\psi_0}
  +\left(1-\epsilon^2\right)\frac{\psi_1^2}{\psi_0^2}q\right).\]
W\"ahlen wir nun $q=q(\lambda,\Lambda,\alpha_0,\alpha_1,
n,\epsilon_0)$ gro\ss{} genug, so ergibt sich in diesem Falle die
Ungleichung $\mathcal L\psi\ge0$ aufgrund der Cauchyschen Ungleichung.

Somit erhalten wir in $\{\psi_0>|x|^2\}$
\begin{align*}
L_0\psi\ge&\,b^i\psi_i\umbruch\\
=&\,-6\psi_1^2\psi_0^{-q}b^ix_i\umbruch\\
\ge&\,-6\psi_0^{2-q}|b||x|\umbruch\\
\ge&\,-6|b||x|(\epsilon r)^{4-2q},
\end{align*}
da $\psi_0\ge\epsilon^2r^2$ und ohne Einschr\"ankung $2-q<0$ gelten.

Wir betrachten nun die Funktion $\psi$ zu verschiedenen
Zeitpunkten. Sei zun\"achst $t=-r^2$. Dann gilt 
$\psi_0=\epsilon^2r^2$ und wir erhalten f\"ur 
$|x|<\epsilon r$
\begin{align*}
\psi\left(x,-r^2\right)=&\,\left(\epsilon^2r^2-|x|^2\right)^3
\left(\epsilon^2r^2\right)^{-q}\umbruch\\
\le&\,\left(\epsilon r\right)^{6-2q}.
\end{align*}
F\"ur $|x|\ge\epsilon r$ ist $\psi\left(x,-r^2\right)=0$.

Sei nun $t=(-1+\alpha)r^2$. Dann ist $\psi_0=r^2$ 
und wir erhalten f\"ur $|x|<\frac r2$
\begin{equation}
  \label{t alpha eq}
  \begin{split}
    \psi\left(x,(-1+\alpha)r^2\right)=&\,
    \left(r^2-|x|^2\right)^3r^{-2q}\\
    \ge&\,\left(\tfrac3{4}\right)^3r^{6-2q}.
  \end{split}
\end{equation}
Definiere nun die Testfunktion
$$v:=\ol u-A(\epsilon r)^{2q-6}\psi$$
und den Zylinder
$$Q:=B_r(0)\times\left(-r^2,(-1+\alpha)r^2\right).$$
Wir wollen Theorem \ref{ABP est} auf $v$ anwenden. 
Betrachte zun\"achst $v$ auf dem parabolischen Rand.
F\"ur $|x|=r$ und $t<(-1+\alpha)r^2$ gilt
\begin{align*}
\psi_0<&\,\frac{\left(1-\epsilon^2\right)\alpha r^2}{\alpha}
+\epsilon^2r^2
=r^2,\umbruch\\
\psi_1=&\,0,\umbruch\\
\psi=&\,0.
\end{align*}
F\"ur $t=-r^2$ gilt
\begin{align*}
  \psi_0=&\,\epsilon^2r^2,\umbruch\\
  \psi\le&\,\left(\epsilon^2r^2-|x|^2\right)^3
  \left(\epsilon^2r^2\right)^{-q}\\ \le&\,(\epsilon r)^{-2q+6}
  \quad\text{f\"ur~}|x|\le\epsilon r,\umbruch\\
  \ol u\ge&\, A\quad\text{f\"ur~}|x|\le\epsilon r\text{ (nach
    Voraussetzung)},\umbruch\\ 
  \psi=&\,0\quad\text{f\"ur~}|x|>\epsilon r.
\end{align*}
$\ol u\ge u\ge0$ gilt \"uberall. Somit folgt $v\ge0$ auf ganz
$\mathcal{P}Q$. Es gilt
\begin{align*}
L_0v\le&\,f+6A(\epsilon r)^{2q-6}|b||x|(\epsilon
r)^{4-2q}\umbruch\\ 
\le&\,f+6A\Vert b\Vert_{L^\infty}(\epsilon r)^{-2}|x|.
\end{align*}
Mit Hilfe von Theorem \ref{ABP est} erhalten wir somit
\begin{align*}
\inf\limits_Qv\ge&\,-c(n,\lambda)\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^{n+1}(Q)}
+6A\Vert b\Vert_{L^\infty}(\epsilon r)^{-2}
\Vert x\Vert_{L^{n+1}(Q)}\right)\cdot\\
&\,\quad\cdot\left(c(n,\lambda)\Vert b\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(Q)}
+r\right)^{\frac n{n+1}}.
\end{align*}
Wir sch\"atzen wie folgt ab
\[
\left(c(n,\lambda)\Vert b\Vert^{n+1}_{L^{n+1}(Q)}
+r\right)^{\frac n{n+1}}
\le\left(c(n,\lambda)\cdot\Vert b\Vert^{n+1}_{L^\infty}
\cdot r^n\alpha r^2
+r\right)^{\frac n{n+1}}
\le2r^{\frac n{n+1}},\]
falls $r\le r_0(c(n,\lambda),\Vert b\Vert_{L^\infty},\alpha_1)$ ist
und die Absch\"atzung gilt f\"ur alle Radien $r\le R$, falls 
$b\equiv0$ gilt. 

Wir verwenden Polarkoordinaten und erhalten
\begin{align*}
&\,6A\Vert b\Vert_{L^\infty}(\epsilon r)^{-2}\Vert x\Vert_{L^{n+1}(Q)}
\umbruch\\
\le&\,6A\Vert b\Vert_{L^\infty}(\epsilon r)^{-2}
\left(\alpha r^2c(n)
\int\limits_0^r\rho^{n+1}\rho^{n-1}d\rho
\right)^{\frac1{n+1}}\umbruch\\
\le&\,6A\Vert b\Vert_{L^\infty}\epsilon^{-2}r^{-2}
\alpha_1^{\frac1{n+1}}c(n)r^{\frac{2n+3}{n+1}}\umbruch\\
=&\,6Ac(n)\epsilon^{-2}\alpha_1^{\frac1{n+1}}
\Vert b\Vert_{L^\infty}r^{\frac1{n+1}}\umbruch\\
\le&\,c(n)A\epsilon^{-2},
\end{align*}
falls $r\le r_0(\Vert b\Vert_{L^\infty},\alpha_1,n)$.  Auch hier gilt
die Ungleichung wieder f\"ur alle Radien $0<r\le R$, falls $b\equiv0$
ist. In diesem Fall gen\"ugt dann sogar $c(n)=0$. Man \"uberpr\"uft
direkt, dass in diesem Falle auch die weiteren Einschr\"ankungen an
$r$ \"uberfl\"ussig werden (Der zweite Term in der Klammer mit $A$ in
der \"ubern\"achsten Ungleichung \glqq$\bar u\ge\ldots$\grqq{} wird
\"uberfl\"ussig.).

Somit folgt
$$v\ge-c(n,\lambda)k-c(n,\lambda)A\epsilon^{-2}r^{\frac n{n+1}}
\quad\text{in~}Q.$$
Wir spezialisieren nun auf $|x|<\frac r2$ und $t=-(1-\alpha)r^2$
und erhalten dort
\begin{align*}
\ol u =&\,v+A(\epsilon r)^{2q-6}\psi\umbruch\\
\ge&\,A\left((\epsilon r)^{2q-6}\psi
-c(n,\lambda)\epsilon^{-2}r^{\frac n{n+1}}\right)
-c(n,\lambda)k\umbruch\\
\ge&\,A\left(\left(\tfrac34\right)^3\epsilon^{2q-6}
-c(n,\lambda)\epsilon^{-2}r^{\frac n{n+1}}\right)
-c(n,\lambda)k\quad\text{(mit \eqref{t alpha eq})}\umbruch\\
\ge&\,\tfrac13A\epsilon^{2q-6}-c(n,\lambda)k,
\end{align*}
falls $r\le r_0(\epsilon,n,\lambda,q)$. Setze nun
$\kappa=2q-6$. Da $u\ge0$ ist, folgt durch Addition
von $c(n,\lambda)u$ die Ungleichung
$$(c(n,\lambda)+1)\cdot \ol u\ge\tfrac13A\epsilon^\kappa.$$
Somit folgt das Lemma mit
\[\delta=\frac13\cdot\frac1{1+c(n,\lambda)}.\qedhere\]
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Calder\'on-Zygmund Zerlegung}
\label{czz sec}

F\"ur den Beweis von Lemma \ref{KrSafLem} ben\"otigen wir eine
parabolische Version der Calder\'on-Zygmund Zerlegung. Wir folgen
direkt der Darstellung in \cite[Kapitel 7.2]{LiebermanBook}.

Seien $(x_0,t_0)\in\R^n\times\R$, $R,\,T>0$. Definiere den
Quader
\begin{align*}
  K_0:=&\,\left\{(x,t)\in\R^n\times\R\colon
    \max\limits_i\left|x^i-x^i_0\right|<R,
    \,t_0-T<t<t_0\right\}\umbruch\\
  =&\,\prod\limits_{i=1}^n\left(x^i_0-R,x^i_0+R\right)
  \times(t_0-T,t_0).  
\end{align*}
Bei einem Quader dieser Form nennen wir
$(x_0,t_0)$ den Referenzpunkt oder Deckelmittelpunkt.\par
Sei $f\in L^1(K_0)$ eine nichtnegative Funktion.  F\"ur uns w\"urde es
gen\"ugen, hier charakteristische Funktionen zu betrachten. Sei
$\tau>0$ eine Konstante, so dass
$$\tau\ge\frac1{|K_0|}\int\limits_{K_0}f.$$
Zerlege $K_0$ (bis auf eine Nullmenge) in $2^{n+2}$
disjunkte offene Teilquader 
$$K_{1,1},\,\ldots,\,K_{1,2^{n+2}}$$
von der Form 
\[K_{1,j}:=\left\{(x,t)\in\R^n\times\R\colon
  \max\limits_i\left|x^i-x^i_{1,j}\right|<R/2,\,
  t_{1,j}-T/4<t<t_{1,j}\right\}\] f\"ur geeignete
$(x_{1,j},t_{1,j})$. 

Unterteile jeden Teilquader $K$ mit
$$\frac1{|K|}\int\limits_Kf\le\tau$$
wie oben nochmals. Setze diesen Prozess beliebig lange fort.
So erhalten wir im $m$-ten Schritt eine endliche Menge von
Quadern $K_{m,1},\,\ldots,\,K_{m,k(m)}$.
Sei $\mathcal S$ die Menge aller so entstandenen Quader
(die nicht mehr weiter unterteilt werden), so dass
$$\frac1{|K|}\int\limits_Kf>\tau.$$
Bezeichne f\"ur $K\in\mathcal S$ den \glqq Vorg\"angerquader\grqq{},
aus dem $K$ durch Zerlegen entstanden ist, mit $\tilde K$. 
Da die Zerlegung bei $K$ abbricht, erhalten wir
$$\tau\ge\frac1{\left|\tilde K\right|}\int\limits_{\tilde K}f
=\frac1{2^{n+2}|K|}\int\limits_{\tilde K}f
\ge\frac1{2^{n+2}|K|}\int\limits_Kf$$
und somit
$$\tau<\frac1{|K|}\int\limits_Kf\le2^{n+2}\tau$$
f\"ur alle $K\in\mathcal S$. Definiere nun
$$B:=\bigcup\limits_{K\in\mathcal S}K$$
und $G:=K_0\setminus B$. 

Wir ben\"otigen die folgende Variante des Lebesguetheorems.
\begin{lemma}
  Sei $0\le f\in L^1(K_0)$ und bezeichne f\"ur festes $(x,t)\in K_0$
  mit $K_m(x,t)$ den Quader aus dem $m$-ten Schritt der
  Calder\'on-Zygmund Zerlegung (die man nicht vorzeitig abbricht), so
  dass $(x,t)\in K_m(x,t)$ gilt. Solch ein Quader ist f\"ur fast alle
  $(x,t)\in K_0$ eindeutig bestimmt.  Definiere
  $$f_m(x,t):=\frac1{|K_m(x,t)|}\int\limits_{K_m(x,t)}f.$$
  Dann gilt $f_m\to f$ in $L^1(K_0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Bezeichne mit $\rho_m(x,t)$ den Deckelmittelpunkt des Quaders
  $K_m(x,t)$.  Sei $K_m$ der um $-\rho_m(x,t)$ verschobene Quader
  $K_m(x,t)$, der also seinen Deckelmittelpunkt im Ursprung hat.

  Es gilt
  \begin{align}
    \label{ffm diff inequ}
    \int\limits_{K_0}|f-f_m|=&\,
    \int\limits_{K_0}\left|f(x,t)-\frac1{|K_m|}\int\limits_{K_m}
      f(\rho_m(x,t)+(y,s))\,dy\,ds\right|dx\,dt\umbruch\\
    \le&\,\frac1{|K_m|}\int\limits_{K_m}\int\limits_{K_0}
    |f(x,t)-f(\rho_m(x,t)+(y,s))|\,dx\,dt\,dy\,ds.
    \nonumber
  \end{align}
  F\"ur eine stetige Funktion $f$ folgt hieraus die Behauptung.  Ist
  $f$ nicht stetig, so approximieren wir $f$ in $L^1$ bis auf
  $\epsilon/3$ durch eine stetige Funktion $g$. Es gilt die
  Ungleichung $\Vert f_m-g_m\Vert_{L^1} \le\Vert f-g\Vert_{L^1}$:
  \begin{align*}
    &\,\Vert f_m-g_m\Vert_{L^1(K_0)}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{K_0}
    |f_m(x,t)-g_m(x,t)|\,dx\,dt\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{K_0}\left|\frac1{|K_m|}\int\limits_{K_m}
      f(\rho_m(x,t)+(y,s)) -g(\rho_m(x,t)+(y,x))\,dy\,ds\right|
    \,dx\,dt\umbruch\\
    \le&\,\int\limits_{K_0}\frac1{|K_m|} \Vert
    f-g\Vert_{L^1(K_m(x,t))}\,dx\,dt\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_i\Vert f-g\Vert_{L^1\left(K^i_m\right)} =\Vert
    f-g\Vert_{L^1(K_0)}.
  \end{align*}
  Hier haben wir f\"ur einen Moment die Quader des $m$-ten Schrittes
  mit $K^i_m$ bezeichnet. \par
  Wir wenden die obige Absch\"atzung \eqref{ffm diff inequ} auf $g$
  an. Dabei w\"ahlen wir $m$, das nur vom Stetigkeitsmodul der
  approximierenden Funktion $g$ abh\"angt, so gro\ss{}, dass $\Vert
  g-g_m\Vert_{L^1}\le\epsilon/3$ gilt. Die Behauptung folgt nun mit
  Hilfe der Dreiecksungleichung:
  \begin{align*}
    \Vert f-f_m\Vert_{L^1}\le&\,\Vert f-g\Vert_{L^1} +\Vert
    g-g_m\Vert_{L^1} +\Vert g_m-f_m\Vert_{L^1}\umbruch\\
    \le&\,2\underbrace{\Vert f-g\Vert_{L^1}}_{\le\frac\epsilon3}
    +\underbrace{\Vert g-g_m\Vert_{L^1}}_{\le\frac\epsilon3}
    \le\epsilon. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Aufgrund dieses Lemmas konvergiert $f_m$ fast \"uberall
(zumindest nach Auswahl einer Teilfolge)
gegen $f$. Damit ist fast \"uberall dort, wo $f>\tau$
gilt, irgendein $f_m>\tau$ und die entsprechende Zerlegung
bricht nach Definition ab. Somit gilt $f\le\tau$ fast
\"uberall in $G$. 

Definiere nun mit Hilfe der \glqq Vorg\"angerquader\grqq{}
$\tilde K$
$$\tilde B:=\bigcup\limits_{K\in\mathcal S}\tilde K.$$
Es folgt
$$\int\limits_{\tilde B}f\le\tau\left|\tilde B\right|,$$
da dies nach Definition von $\tilde K$ f\"ur jeden dieser
Quader gilt und $\tilde B$ als disjunkte Vereinigung 
(modulo Nullmengen)
solcher Mengen $\tilde K$ dargestellt werden kann.

Sei nun $f=\chi_\Gamma$ die charakteristische Funktion einer messbaren
Menge $\Gamma\subset K_0$ mit $|\Gamma|<\tau|K_0|$ und gelte
$0<\tau<1$. Nun konvergiert $f_m$ (oder eine Teilfolge davon) fast
\"uberall gegen $f$. Also konvergiert $f_m$ fast \"uberall gegen $0$
oder $1$. Die Konvergenz $f_m\to1$ ist nur m\"oglich, falls es f\"ur
beliebiges $\epsilon>0$ einen entsprechenden Quader $K_m$ mit
$\frac{|K_m\cap\Gamma|}{|K_m|} \ge1-\epsilon$ gibt. Im Komplement der
Vereinigung solcher Quader gilt also fast \"uberall
$\chi_\Gamma=0$. Somit folgt aber insbesondere
\begin{equation}\label{czz gl}
|\Gamma|=\left|\Gamma\cap\tilde B\right|\le\tau
\left|\tilde B\right|.
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Ma\ss{}theoretisches Lemma von Krylov und Safonov}

Im folgenden Abschnitt beweisen wir ein rein 
ma\ss{}theoretisches Lemma von Nicolai Krylov und 
Mikhail V. Safonov. Wir folgen der Darstellung in
\cite[Lemma 7.25]{LiebermanBook}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\label{def Ks}
Sei $(x_0,t_0)\in\R^n\times\R$. F\"ur $R>0$ definieren wir den
Quader
$$K_0\equiv K((x_0,t_0),R)=\left\{(x,t)\in\R^n\times\R:
  \max\limits_i\left|x^i-x^i_0\right|<R,\,t_0-R^2<t<t_0\right\}.$$
F\"ur ein noch zu w\"ahlendes $\eta\in\left(0,\frac34\right)$ (es
funktioniert aber auch noch bis $4/3$) und einen Quader
$K((x_1,t_1),r)\subset K_0$ definieren wir
\begin{align*}
K_1((x_1,t_1),r):=K_0\cap\left\{
\phantom{\rule{0mm}{2ex}}
(x,t)\in\R^n\times\R:\right.&\,
\max\limits_i\left|x^i-x^i_1\right|<3r,\\
&\,\left.t_1-4r^2<t<t_1+3r^2\right\}
\end{align*}
und
\begin{align*}
K_2((x_1,t_1),r):=\left\{
\phantom{\rule{0mm}{3ex}}
(x,t)\in\R^n\times\R:\right.&\,
\max\limits_i\left|x^i-x^i_1\right|<3r,\\
&\,\max\limits_i\left|x^i-x^i_0\right|<R,\\
&\,\left.t_1<t<t_1+\frac4\eta r^2\right\}.
\end{align*}

Sei $\xi\in(0,1)$, $\Gamma\subset K_0$ eine messbare Teilmenge.
Sei $G^*=G^*(\Gamma,\xi)$ die Familie aller Teilquader 
$K=K((x,t),r)$ von $K_0$, definiert wie oben, f\"ur die
$|K\cap\Gamma|\ge\xi|K|$ gilt und setze 
$$Y_i:=\bigcup\limits_{K\in G^*}K_i,\quad i=1,\,2,$$
wobei die $K_i$ bez\"uglich $K$ und $K_0$ so wie 
oben die $K_i$ bez\"uglich $K((x_1,t_1),r)$ und $K_0$
definiert sind.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{KrSafLem}
Sei $\Gamma\subset K_0$ messbar. Dann gelten
\begin{align}
|\Gamma\setminus Y_1|=&\,0,\tag{i}\label{semel}\umbruch\\
|\Gamma|\le\xi|K_0|\Longrightarrow&\,
|\Gamma|\le\xi|Y_1|,\tag{ii}\label{bis}\umbruch\\
|Y_1|\le&\,(1+\eta)|Y_2|.\tag{iii}\label{ter}
\end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \textbf{Fall a:} Falls $|\Gamma|>\xi|K_0|$ gilt, so ist das zu
  $K=K_0$ geh\"orige $K_1=K_0$ und somit gilt $Y_1=K_0$. In diesem
  Falle folgt also \eqref{semel}. In diesem Falle ist die
  Voraussetzung zu \eqref{bis} nicht erf\"ullt, es ist also also
  nichts zu zeigen.

  \textbf{Fall b:} Gilt $|\Gamma|\le\xi|K_0|$, so benutzen wir die
  Calder\'on-Zygmund Zerlegung von Abschnitt \ref{czz sec} mit
  $\tau=\xi$. Gilt $K((x_1,t_1),r)\in\mathcal S$, so folgt $\tilde
  K\subset K_1((x_1,t_1),r)$, da $K_1((x_1,t_1),r)$ gerade als
  gro\ss{} genug definiert ist. Somit folgt nach Definition von
  $\tilde B$ und $Y_1$ auch $\tilde B\subset Y_1$. Nun liefert die
  Gleichheit in \eqref{czz gl} die Behauptung \eqref{semel} und der
  Rest davon und $\left|\tilde B\right|\le|Y_1|$ impliziert
  \eqref{bis}.

F\"ur den \textbf{Beweis von \eqref{ter}} fixieren wir ein 
$x\in\R^n$, so dass $$I(x):=\{t:(x,t)\in Y_2\}
\neq\emptyset.$$
Da $Y_2$ Vereinigung von offenen Mengen ist, ist 
auch $I(x)$ eine offene Teilmenge von $\R$. Stelle
nun $I(x)$ als disjunkte Vereinigung offener 
Intervalle $I_m=(t_m,\tau_m)$ dar. Nach Definition 
von $Y_2$ ist jedes dieser Intervalle $I_m$ 
(nicht notwendigerweise disjunkte) Vereinigung von
offenen Intervallen 
$$I_{m,k}=\left(t_{m,k},
t_{m,k}+\frac4\eta r_{m,k}^2\right),$$
die jeweils einer Menge $K_2$ entsprechen. 

Der Definition von $K_1$ entsprechend (aber m\"oglicherweise \glqq
gr\"o\ss{}er\grqq, da wir nicht mit $\left(t_0-R^2,t_0\right)$
schneiden) definieren wir
$$J^*_{m,k}=\left(t_{m,k}-4r_{m,k}^2,t_{m,k}+3r_{m,k}^2\right)$$
und
$$I^*_m=\bigcup\limits_k J^*_{m,k},$$
wobei wir die Vereinigung jeweils bis zu einem von $m$ 
abh\"angigen Wert f\"ur $k$ bilden.

Nach Definition der Intervalle und Quader gilt also
\begin{equation}\label{Y12 enth}
\{t\in\R:(x,t)\in Y_1\cup Y_2\}
\subset\bigcup\limits_m\left(I^*_m\cup I_m\right).
\end{equation}

Da $I_m$ die Vereinigung von Intervallen $I_{m,k}$ ist,
gilt aufgrund der Inklusion
\begin{equation}\label{incl inequ}
  t_m\le t_{m,k}\le t_{m,k}+\frac4\eta r_{m,k}^2\le\tau_m.
\end{equation}

Wir wollen nun nachweisen, dass
$$J_{m,k}^*\subset(t_m-\eta(\tau_m-t_m),\tau_m)$$
gilt. F\"ur die rechte Grenze benutzen wir $\frac43\ge\eta$
und erhalten mit \eqref{incl inequ}
$$\tau_m\ge t_{m,k}+\frac4\eta r_{m,k}^2
\ge t_{m,k}+3r_{m,k}^2.$$
Die entsprechende Ungleichung f\"ur die linke Intervallgrenze
ist etwas komplizierter. Wir addieren zun\"achst die
beiden \"au\ss{}eren Ungleichungen in \eqref{incl inequ}
und multiplizieren mit $\eta>0$
$$\eta\left(t_m+t_{m,k}+\frac4\eta r_{m,k}^2\right)
\le\eta\left(t_{m,k}+\tau_m\right).$$
Wir ordnen die Terme geeignet um und erhalten
$$4r_{m,k}^2\le\eta(\tau_m-t_m).$$
Wir benutzen nun diese Ungleichung und zum Schlu\ss{} nochmals
die erste Ungleichung aus \eqref{incl inequ}. Damit ergibt sich
nun
\begin{align*}
t_{m,k}-4r_{m,k}^2\ge&\,t_{m,k}-\eta(\tau_m-t_m)\umbruch\\
\ge&\,t_m-\eta(\tau_m-t_m).
\end{align*}
Somit erhalten wir die behauptete Intervallinklusion.

Es ergibt sich, da offensichtlicherweise $I_m$ auch in diesem 
Intervall enthalten ist und da $I^*_m=\bigcup\limits_kJ^*_{m,k}$ 
nach Definition gilt, auch
$$I_m\cup I^*_m\subset(t_m-\eta(\tau_m-t_m),\tau_m).$$
Das Intervall auf der rechten Seite hat die L\"ange 
$(1+\eta)(\tau_m-t_m)$.

Zusammen mit \eqref{Y12 enth} und da $I(x)$ die Vereinigung
der Intervalle $I_m$ ist, ergibt sich
$$|\{t:(x,t)\in Y_1\cup Y_2\}|\le\sum\limits_m
(1+\eta)(\tau_m-t_m)=(1+\eta)|I(x)|.$$

Bezeichne nun mit $\chi_1$ und $\chi_2$ die charakteristischen
Funktionen der Mengen $Y_1$ und $Y_2$. Dann gilt
\begin{equation}\label{Y char}
\int\limits_\R\chi_1(x,t)dt\le(1+\eta)\int\limits_\R\chi_2(x,t)dt
\end{equation}
f\"ur beliebiges $x$. \par F\"ur Punkte $x$ mit $I(x)\neq\emptyset$
folgt dies aus der obigen Rechnung, da wir auf der linken Seite mit
Hilfe von $Y_1\subset Y_1\cup Y_2$ absch\"atzen k\"onnen.  Gilt
$I(x)=\emptyset$, so folgt die Ungleichung ebenfalls, da dann nach
Definition der Quader $K_1$ und $K_2$ sowie der Mengen $Y_1$ und $Y_2$
auch die linke Seite der Ungleichung verschwindet. Also gilt \eqref{Y
  char} f\"ur alle $x$.

Wir integrieren nun \eqref{Y char} bez\"uglich $x$ und 
benutzen Fubini. Es folgt die Behauptung \eqref{ter}.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Schwache Harnackungleichung}
Wir kommen nun zum Beweis der schwachen Harnackungleichung.
Vergleiche dies mit \cite[Theorem 7.22]{LiebermanBook}.
Im elliptischen Fall findet sich die analoge Ungleichung
in \cite[Theorem 9.22]{GT}.

Wir definieren zun\"achst f\"ur $(y,s)\in\R^n\times\R$
und $R>0$ die Menge
$$\Theta((y,s),R):=K\left(\left(y,s-4R^2\right),R\right)\equiv
\prod\limits_{i=1}^n\left(y^i-R,y^i+R\right)
\times\left(s-5R^2,s-4R^2\right).$$ 

\begin{theorem}\label{schw harnack}
Sei $u\ge0$ in $K(5R)$ 
und erf\"ulle $u$ dort die 
Differentialungleichung 
$$L_0u\equiv-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\le f.$$ 
Dann gibt es positive Konstanten $p(n,\lambda,\Lambda)$ und
$C(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})$, so dass
\[\left(R^{-n-2}\int\limits_{\Theta(R)}u^p\right)^{1/p}
\le C\left(\inf\limits_{K(R)}u+R^\frac n{n+1} \Vert
  f\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}\right)\] gilt.
\end{theorem}
Wir fordern nicht $p\ge1$.

\begin{remark}
  Es gilt die Zylinderversion von Theorem \ref{schw harnack}. Dabei
  fordern wir, dass $u$ in $Q(5\sqrt nR)$ definiert ist und verwenden
  auf der rechten Seite der Ungleichung die
  $\Vert\cdot\Vert_{L^{n+1}(Q(5\sqrt nR))}$-Norm. \par Mit einem
  Quaderkettenargument \"ahnlich wie im Beweis der Quaderversion von
  Lemma \ref{bleibt gross lem} oder am Ende des Beweises von Theorem
  \ref{schw harnack} kann man die Gebiete $Q(5\sqrt nR)$ zumindest auf
  $Q(5R)$ verkleinern.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{schw harnack}]
  Wir nehmen zun\"achst an, dass $R>0$ so klein ist, dass die
  Schranken an den Radius aus den Lemmata \ref{inf bound lem} und
  \ref{bleibt gross lem} (und ihren Quadervarianten) erf\"ullt sind,
  dass also
  \[R\le R_0(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})\] gilt.  Die
  allgemeine Aussage erhalten wir dann ganz am Schlu\ss{} mit Hilfe
  eines modifizierten \glqq Quaderkettenargumentes\grqq.

  Sei $\zeta>0$ wie in Lemma \ref{inf bound lem} (inclusive
  Quadervariante) und setze $\xi:=1-\zeta$. Definiere
  $$\eta:=\tfrac12\min\left\{\tfrac34,\,\xi^{-1/2}-1\right\}.$$
  Wir definieren weiterhin den Quader
  $$K_0:=(-R,R)^n\times\left(-5R^2,-4R^2\right)
  =K\left(\left(0,-4R^2\right),R\right)=\Theta(R)$$ in der Notation
  von Definition \ref{def Ks}.
  \par Sei wiederum $h>k=R^{n/(n+1)}\Vert f\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}$.
  Definiere $\ol u:=u+k$ und
  $$\Gamma(h):=\{(x,t)\in K_0:\ol u>h\}.$$
  Bezeichne $G^*(\Gamma(h),\xi)$ wiederum die Menge aller Teilquader
  $K$ von $K_0$ mit $|K\cap\Gamma(h)|\ge\xi|K|$.

  Fixiere nun $(x_1,t_1)$ und $r>0$, so dass $K((x_1,t_1),r)\in
  G^*(\Gamma(h),\xi)$ gilt. Aufgrund der Quadervariante von Lemma
  \ref{inf bound lem} erhalten wir nun f\"ur ein $C_1=C_1(n,\lambda)$
  eine untere Schranke zu einem sp\"ateren Zeitpunkt in einem
  kleineren Gebiet, n\"amlich
  $$\inf\limits_{Q_1}\ol u\ge C_1 h,$$
  wobei 
  \[Q_1:=K((x_1,t_1),r/2) =\left\{(x,t)\colon\max\limits_i
    \left|x^i-x^i_1\right|<\tfrac r2,\,
    t_1-\tfrac{r^2}4<t<t_1\right\}\] ist.
  % Hier Q_i irgendwie umbenennen um nicht zu sehr an Zylinder zu
  % erinnern? 

  Eine untere Schranke dieser Form wollen wir nun auch auf der Menge
  $K_2$ beweisen. Hierzu m\"ussen wir zwei F\"alle unterscheiden.

  Im ersten Fall ist $r$ so klein, dass der
  Quader \[Q_2:=\prod\limits_{i=1}^n \left(x^i_1-4r,x^i_1+4r\right)
  \times\left(t_1-\tfrac18r^2,t_1+\tfrac4\eta r^2\right),\] der die
  Menge $K_2$ enth\"alt, auch in $K(4R)$ enthalten ist. Somit gibt es
  nach Lemma \ref{bleibt gross lem} eine positive Konstante
  $C_2=C_2(C_1,n,\lambda,\Lambda,\eta)
  =C_2(n,\lambda,\Lambda,\xi)=C_2(n,\lambda,\Lambda)$, so dass
  \[\ol u\ge C_2\cdot h\quad\text{in~}\prod\limits_{i=1}^n
  \left(x^i_1-3r,x^i_1+3r\right) \times\left(t_1,t_1+\tfrac4\eta
    r^2\right)\supset K_2\] gilt. Ist $Q_2$ im Verh\"altnis zur Breite
  zu hoch, so ist das Lemma mehrfach anzuwenden. Beachte, dass
  $\alpha_0$ mit $0<\alpha_0<\alpha_1\le1$ von Null weg beschr\"ankt
  ist, da $\eta=\eta(\xi) =\eta(n,\Lambda)$ und somit $\frac4\eta\le
  c(n,\Lambda)$ gilt. Hierbei darf $r$ nicht zu gro\ss{} sein, damit
  die Absch\"atzung
  $$\ol u\ge\tfrac12A\epsilon^{2q-4}-c(n,\lambda)k$$
  im Beweis dieses Lemmas gilt. Da aber $\alpha_0$, $\alpha_1$,
  $\epsilon$, $\epsilon_0$, $n$, $\lambda$, $\Lambda$ dort als feste,
  nur von $\eta$ abh\"angige Konstanten gew\"ahlt werden k\"onnen,
  gen\"ugt es, $R$ in Abh\"angigkeit davon als klein genug
  vorauszusetzen, wie wir dies oben angenommen haben.

  Ist $r$ so gro\ss{}, dass der Quader $Q_2$ nicht in $K(4R)$
  enthalten ist, so verkleinert man $Q_2$ und benutzt die Variante von
  Lemma \ref{bleibt gross lem} aus Bemerkung \ref{bleibt gross quader
    rem}, vergleiche auch den Anfang von Kapitel \ref{nicht abfallen
    sec}. Wir erhalten
  $$\ol u\ge C_2\cdot h\quad\text{in~}K_2\cap\{t<0\}.$$

  Wir setzen nun $\gamma:=\frac12 C_2$ und d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung $0<\gamma<1$ annehmen. Es gilt
  $\gamma=\gamma(n,\lambda,\Lambda)$.

  Unterscheide nun weiterhin zwei F\"alle, je nachdem, ob es einen
  Quader $$K((x_1,t_1),r)\in G^*(\Gamma(h),\xi)$$ gibt, so dass der
  zugeh\"orige Quader $K_2$ \"uber $t=0$ nach oben hinausreicht oder
  ob alle entsprechenden Quader $K_2$ in $t\le0$ und damit auch in
  $K(4R)$ enthalten sind.

  Betrachte zun\"achst die (einfachere) Situation, wenn der zu einem
  Quader $$K((x_1,t_1),r)\in G^*(\Gamma(h),\xi)$$ geh\"orige Quader
  $K_2$ (nicht Zylinder $Q_2$!)  nach oben \"uber $K(4R)$
  hinausreicht. Zun\"achst wollen wir in diesem Fall $r$ nach unten
  absch\"atzen.  Da noch $K\subset K_0$ gilt, folgt $t_1\le-4R^2$
  und ein Hinausstehen ist nach Definition \ref{def Ks} nur m\"oglich,
  wenn
  $$\frac4\eta r^2\ge4R^2\quad
  \text{ist,~also}\quad r\ge\sqrt\eta R$$ 
  gilt. Wir wissen also insbesondere, dass
  $$\ol u\ge C_2\cdot h\quad\text{in~}
  \prod\limits_{i=1}^n\left(x^i_1-\sqrt\eta R, x^i_1+\sqrt\eta
    R\right) \times\left\{t=-4R^2\right\}.$$ Nun wenden wir nochmals
  Lemma \ref{bleibt gross lem} mit $K((x_1,0),2R)\supset
  K((0,0),R)=K(R)$ an und erhalten
  $$\ol u\ge C_3\cdot h\quad\text{in~}K(R),$$
  wobei $C_3=C_3(C_2,n,\lambda,\Lambda,\eta)=C_3(n,\lambda,\Lambda)$
  ist.  Wir sch\"atzen nun $|\Gamma(h)|\le|K_0|$ ab und erhalten f\"ur
  jedes feste $q>0$ eine Konstante $c=c(C_3,q)$, so dass
  $$|\Gamma(h)|\le c\cdot\left(\frac{\inf\limits_{K(R)}\ol
      u}h\right)^q\cdot R^{n+2}$$ gilt. \par Im zweiten Fall wollen
  wir solch eine Ungleichung ebenfalls beweisen. Dabei wird dann auch
  $q$ fixiert, so dass $0<q<\frac2\kappa$ und $\gamma^q\ge\xi^{1/4}$
  gelten, wobei $\kappa$ eine Konstante ist, die sich aufgrund
  nochmaliger Anwendung (im Folgenden) von Lemma \ref{bleibt gross
    lem} ergibt.

  Wir kommen nun zum zweiten Fall, n\"amlich dem, dass $r$ so klein
  ist, dass alle von $K((x_1,t_1),r)\in G^*(\Gamma(h),\xi)$ ausgehend
  definierten Quader $K_2$ noch ganz in $K(4R)$ enthalten
  sind. In diesem Fall wollen wir noch zwei Zusatzannahmen machen:
  $$|\Gamma(h)|\le\xi|K_0|$$
  und
  $$|\Gamma(\gamma h)|\le\xi^{-1/4}|\Gamma(h)|.$$
  Die damit ausgeschlossenen F\"alle werden wir sp\"ater noch
  betrachten. Nach Lemma \ref{KrSafLem} \eqref{bis} erhalten wir
  $$|Y_1|\ge\frac1\xi|\Gamma(h)|.$$
  Aus den obigen Betrachtungen folgt
  $$\ol u\ge2\gamma h\quad\text{in~}Y_2\cap\{t<0\}.$$
  Hier sind $Y_1$ und $Y_2$ wie in Definition \ref{def Ks} mit
  $\Gamma=\Gamma(h)$ definiert. Aufgrund der zweiten Zusatzannahme
  erhalten wir nun
  $$|Y_2\cap K_0|\le|\{\ol u>\gamma h\}\cap K_0|
  =|\Gamma(\gamma h)|\le\xi^{-1/4}|\Gamma(h)|.$$ Weiterhin ergibt sich
  $$|Y_2|\ge\frac1{1+\eta}|Y_1|$$
  nach Lemma \ref{KrSafLem} \eqref{ter} und
  $$|Y_2|\ge\frac1{1+\eta}\frac1\xi|\Gamma(h)|$$
  gem\"a\ss{} der Folgerung aus Lemma \ref{KrSafLem} \eqref{bis}. \par
  Somit folgt
  \begin{align*}
    |Y_2\setminus K_0|=&\,|Y_2|-|Y_2\cap K_0|\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{1+\eta}\frac1{\xi}|\Gamma(h)|
    -\xi^{-1/4}|\Gamma(h)|\umbruch\\
    \overset{\text{\tiny{s.\,u.}}}{\ge}&\,\xi^{1/2}\frac1\xi|\Gamma(h)|
    -\xi^{-1/4}|\Gamma(h)|\umbruch\\
    =&\,\left(1-\xi^{1/4}\right)\xi^{-1/2}|\Gamma(h)|.
  \end{align*}
  Dabei haben haben wir die Definition von $\eta$ am Anfang des
  Beweises benutzt.\par Hieraus wollen wir nun eine untere
  Absch\"atzung f\"ur das zu dem Quader $K_2$, der am weitesten \"uber
  $K_0$ hinausreicht, geh\"orige $r$ herleiten. Aufgrund der unteren
  Schranke an $|Y_2\setminus K_0|$ gibt es Teile von $Y_2\setminus
  K_0$, die nach oben mindestens $\frac{|Y_2\setminus K_0|}{(2R)^n}$,
  $(2R)^n$=Querschnittsfl\"ache von $K_0$, \"uber die H\"ohe der
  Oberkante von $\Theta(R)=K_0$, n\"amlich $-4R^2$,
  hinausreichen. Somit gilt f\"ur das zum am weitesten nach oben
  reichenden Quader $K_2$ geh\"orige $r$
  $$t_1+\frac4\eta r^2\ge\left(1-\xi^{1/4}\right)
  \xi^{-1/2}|\Gamma(h)|(2R)^{-n}-4R^2.$$ Der entsprechende Quader
  $K((x_1,t_1),r)\in G^*(\Gamma(h),\xi)$ liegt aber noch in $K_0$ und
  somit gilt $t_1\le-4R^2$ und wir erhalten
  \begin{equation}\label{lower bound r}
    r^2\ge\frac\eta4\left(1-\xi^{1/4}\right)\xi^{-1/2}
    2^{-n}R^{-n}|\Gamma(h)|.
  \end{equation}
  Es gilt $\prod\limits_{i=1}^n\left(x^i_1-r,x^i_1+r\right)
  \times\left\{t=-4R^2\right\}\subset K_2$ und somit ist dort auch
  $\ol u\ge2\gamma h$. Nach Lemma \ref{bleibt gross lem} gewinnen wir
  damit eine untere Schranke in $K(R)$, n\"amlich
  $$\inf\limits_{K(R)}\ol u\ge c(n,\lambda,\Lambda) \left(\frac
  rR\right)^\kappa \gamma h,\quad\kappa=\kappa(n,\lambda,\Lambda).$$
  Die Abh\"angigkeit von $\epsilon_0$ tritt nicht auf, da $r\le R$
  gilt und wir Lemma \ref{bleibt gross lem} auf $K(2R)$ anwenden.

  Da $r$ aufgrund von \eqref{lower bound r} nach unten abgesch\"atzt
  ist, folgt
  $$\inf\limits_{K(R)}\ol u\ge 
  c(n,\lambda,\Lambda,\gamma,\eta,\xi)\cdot
  \left(\frac{|\Gamma(h)|}{R^{n+2}}\right)^{\kappa/2}\cdot h.$$ Da
  $\Gamma(h)\subset K_0$ ist, folgt
  $$|\Gamma(h)|\le R^2\cdot(2R)^n,$$
  wir erhalten also
  $$\inf\limits_{K(R)}\ol u\ge
  c(n,\lambda,\Lambda,\gamma,\eta,\xi)
  \cdot\left(\frac{|\Gamma(h)|}{R^{n+2}}\right) ^{1/q}\cdot h,$$ auch
  mit $c=c(n,\lambda,\Lambda,\xi)=c(n,\lambda,\Lambda)$, wenn wir
  $0<q=q(\kappa,\gamma,\xi)=q(n,\lambda,\Lambda)\le\frac2\kappa$ so
  fixieren, dass
  $$\gamma^q\ge\xi^{1/4}$$
  gilt. Diese zweite Bedingung wird erst sp\"ater wichtig werden.  Die
  Konstante $q$ fixieren wir dabei m\"oglichst gro\ss{} unter den
  angegebenen Nebenbedingungen. Da $0<\gamma<1$ und $0<\xi<1$ gelten,
  finden wir eine solche Konstante $q$.

  Zum Beweis der unteren Absch\"atzung an $\ol u$ auf $K(R)$
  hatten wir die beiden obigen Zusatzannahmen benutzt.  F\"ur jedes
  $h>k$ gilt also mindestens eine der folgenden Ungleichungen
  \begin{align} 
    |\Gamma(h)|\le&\,\xi^{1/4}|\Gamma(\gamma h)|,
    \tag{i}\label{ia}\umbruch\\
    |\Gamma(h)|\le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot
    \left(\frac{\displaystyle\inf\limits_{K(R)}\ol u}
      {\displaystyle h}\right)^q\cdot R^{n+2},\tag{ii}\label{ib}\\
    |\Gamma(h)|>&\,\xi\cdot|K_0|.\tag{iii}\label{ic}
  \end{align}
  (Damit sind die beiden F\"alle wieder zusammengef\"uhrt.)\par 
  Hieraus wollen wir eine generelle Absch\"atzung, d.\,h.\ eine
  Absch\"atzung ohne Fallunterscheidungen, an $|\Gamma(h)|$
  herleiten. W\"ahle dazu zun\"achst $h_0\ge k$, so dass
  $$|\Gamma(h_0)|\ge\xi|K_0|\quad\text{und}\quad
  \left|\Gamma\left(\frac{h_0}\gamma\right)\right|< \xi|K_0|$$
  gelten. Die Existenz folgt aus der Monotonie von
  $h\mapsto|\Gamma(h)|$. Nach Lemma \ref{inf bound lem} und Lemma
  \ref{bleibt gross lem} folgt daher
  $$\inf\limits_{K(R)}\ol u\ge c_0h_0$$
  f\"ur eine Konstante $0<c_0=c_0(n,\lambda,\Lambda)<1$.  Definiere
  $$h_1:=\frac{\displaystyle \inf\limits_{K(R)}\ol u}{c_0}.$$
  Wir wollen per Induktion nachweisen, dass
  $$\left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^m}\right)\right|\le
  c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\gamma^{mq}\cdot R^{n+2}$$ f\"ur alle
  $m\in\N$ gilt. F\"ur $m=0$ folgt die Behauptung bei geeigneter Wahl
  der Konstanten $c(n,\lambda,\Lambda)$, da $\Gamma(h_1)\subset K_0$
  mit $|K_0|=c(n)\cdot R^{n+2}$.

  Beim Induktionsschritt treten nur die F\"alle \eqref{ia} oder
  \eqref{ib} in der obigen Fallunterscheidung auf, da $h_1\ge h_0$ ist
  und somit f\"ur $m\ge1$ die Absch\"atzung
  $$\left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^m}\right)\right|\le
  \left|\Gamma\left(\frac{h_0}{\gamma^m}\right)\right|
  \le\left|\Gamma\left(\frac{h_0}{\gamma}\right)\right| <\xi|K_0|$$
  folgt. Tritt Fall \eqref{ia} auf, so ist der Induktionsschritt
  offensichtlich
  \begin{align*}
    \left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^{m+1}}\right)\right|\le&\,
    \xi^{1/4}\left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^m}\right)\right|\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\xi^{1/4}\gamma^{mq}R^{n+2}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\gamma^{(m+1)q}R^{n+2}.
  \end{align*}
  Tritt Fall \eqref{ib} auf, so erhalten wir ohne Verwendung der
  Induktionsannahme direkt
  \begin{align*}
    \left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^{m+1}}\right)\right|\le&\,
    c(n,\lambda,\Lambda)
    \cdot\left(\frac{\inf\limits_{K(R)}\ol u}{h_1}\right)^q
    \gamma^{(m+1)q}R^{n+2}\umbruch\\
    =&\,c\cdot c_0^q\cdot\gamma^{(m+1)q}\cdot R^{n+2}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\gamma^{(m+1)q}\cdot R^{n+2},
    \quad\text{da }c_0^q\le1.
  \end{align*}
  Somit folgt die Behauptung in jedem Fall.  Sei nun $h>h_1$
  beliebig. Fixiere $m\in\N\setminus\{0\}$, so dass
  $$\frac{h_1}{\gamma^m}\ge h>\frac{h_1}{\gamma^{m-1}}$$
  gilt. Wir erhalten
  \begin{align*}
    |\Gamma(h)|\le&\,\left|\Gamma\left(\frac{h_1}{\gamma^{m-1}}\right)\right|
    \umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\gamma^{(m-1)q}\cdot R^{n+2}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\gamma^{mq}\cdot R^{n+2}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\left(\frac{h_1}h\right)^q\cdot
    R^{n+2}.
  \end{align*}
  F\"ur beliebiges $p>0$ gilt
  $$\int\limits_{h_1}^\infty h^{p-1}\chi_{\{\ol u>h\}}dh=
  \int\limits_{h_1}^{\ol u}h^{p-1}dh =\left.\frac1ph^p\right|^{\ol
    u}_{h_1} =\frac1p\left(\ol u^p-h_1^p\right).$$ Somit erhalten wir
  aufgrund der obigen Absch\"atzung an $|\Gamma(h)|$ f\"ur alle
  $0<p<q$
  \begin{align*}
    \frac1p\int\limits_{\Theta(R)}\left(\ol u^p-h_1^p\right)=&\,
    \int\limits_{h_1}^\infty h^{p-1}|\Gamma(h)|dh\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot R^{n+2}\cdot
    h_1^q\cdot\int\limits_{h_1}^\infty
    h^{p-1-q}dh\umbruch\\
    =&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot R^{n+2}\cdot h_1^q\cdot\frac1{q-p}
    \cdot h_1^{p-q}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda,p,q)\cdot R^{n+2}\cdot h_1^p.
  \end{align*}
  Es folgt daher
  $$\int\limits_{\Theta(R)}\ol u^p\le
  c(n,\lambda,\Lambda,p,q)\cdot R^{n+2}\cdot h_1^p.$$ Nach Definition
  von $h_1$ erhalten wir also f\"ur fixiertes $p=p(n,\lambda,\Lambda)$
  \begin{align*}
    \left(R^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(R)}u^p\right)^{1/p}\le&\,
    \left(R^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(R)}
      \ol u^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot h_1\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\inf\limits_{K(R)}\ol u\umbruch\\
    \le&\,c(n,\lambda,\Lambda)\cdot\left(\inf\limits_{K(R)}u+R^\frac
      n{n+1} \Vert f\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}\right).
  \end{align*}
  Genau dies war die behauptete Ungleichung. \par In dieser
  Ungleichung k\"onnen wir auf der rechten Seite auch \[k=R^{\frac
    n{n+1}} \cdot\Vert f\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}\] mit dem
  urspr\"unglichen $R$ (und damit vom kleinen Quader unabh\"angigen
  $k$) schreiben. Auf der linken Seite d\"urfen wir ebenfalls dieses
  $k$ einf\"uhren, also $\ol u=u+k$ statt $u$ schreiben, denn es gilt
  \begin{align*}
    \left(\,\,\fint\limits_{\Theta(R)}\ol u^p\right)^{1/p} \le&\,
    c(p)\cdot\left(\,\,\fint\limits_{\Theta(R)}u^p
    +\fint\limits_{\Theta(R)}k^p\right)^{1/k}\umbruch\\ \le&\,
    c(p)\cdot\left\{\left( \,\,\fint\limits_{\Theta(R)}
    u^p\right)^{1/p} +\left(\,\,
    \fint\limits_{\Theta(R)}k^p\right)^{1/p}\right\}. 
  \end{align*}
  Das erste Integral auf der rechten Seite k\"onnen wir mit der
  hergeleiteten Ungleichung absch\"atzen; das zweite Integral hat den
  Wert $k$, wir k\"onnen es auf der rechten Seite absorbieren.  \par
  Anfangs hatten wir jedoch angenommen, dass $R\le
  R_0\left(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty}\right)$ klein
  genug ist, so dass die Lemmata \ref{inf bound lem} und \ref{bleibt
    gross lem} anwendbar sind. F\"ur alle Werte von $R$ folgt die
  Behauptung nun aber durch Induktion. Der bisherige Beweis ist dabei
  der Induktionsanfang. F\"ur den (deutlich einfacheren)
  Induktionsschritt benutzen wir ein \glqq
  Quaderkettenargument\grqq{}. Nehme also an, dass
  $$\left(\left(\frac R2\right)^{-(n+2)}
    \int\limits_{K\left(\left(0,-4\left(\frac R2\right)^2\right),
        \frac R2\right)}\ol u^p\right)^{1/p} \le
  c_1\cdot\inf\limits_{K\left((0,0), \frac R2\right)}\ol u$$ bereits
  gezeigt sei. Aufgrund der obigen Rechnungen gen\"ugt der Nachweis,
  dass dann auch
  $$\left(R^{-(n+2)}\int\limits_{K((0,-4R^2),R)}\ol u^p\right)^{1/p}
  \le c(c_1,n,p)\cdot\inf\limits_{K((0,0),R)}\ol u$$ gilt, wobei
  sich die neue Konstante um einen von $n$ und $p$ abh\"angigen Faktor
  von der alten unterscheiden darf.

  Wir unterteilen nun den gro\ss{}en Quader $K(R)=K((0,0),R)$ wie in
  der Cal\-de\-r\'on-Zyg\-mund-Zer\-le\-gung in $2^2\cdot 2^n$
  kleinere Quader.  Sei $K\left(X,\frac R2\right)$ ein
  solcher. W\"ahle $\Delta_i\in \R^{n+1}$ so, dass
  $$\left|K\left(X,\frac R2\right)\cap K\left(X+\Delta_i,\frac R2\right)
  \right|\ge\delta\left|K\left(X,\frac R2\right)\right|$$ gilt, der
  verschobene Quader also immer noch einen festen Volumenanteil des
  ersten Quaders \"uberdeckt. Beachte schlie\ss{}lich noch, dass
  $$|K(X,R)|=c(n)\cdot R^{n+2}$$
  gilt. Wir erhalten nun die Absch\"atzung
  \begin{align*}
    \inf\limits_{K\left(X,\frac R2\right)}\ol u\ge&\,
    \frac1{c_2(c_1,n,p)}\left(\frac1{\left|K\left(X,\frac
            R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,R^2),\frac R2\right)} \ol
      u^p\right)^{1/p}\umbruch\\ 
    \ge&\,\frac1{c_2}\left(\frac{\left|K\left(X-(0,R^2),\frac
            R2\right)\cap K\left(X-(0,R^2)+\Delta_1,\frac
            R2\right)\right|}
      {\left|K\left(X,\frac R2\right)\right|}\right)^{1/p}\cdot\\
    &\quad\cdot\left(\frac1{\left|K\left(0,\frac R2\right)\cap
          K\left(\Delta_1,\frac R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,R^2),\frac R2\right)\cap
        K\left(X-(0,R^2)+\Delta_1,
          \frac R2\right)}\ol u^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{c_2}\delta^{1/p}\cdot
    \inf\limits_{K\left(X-(0,R^2),\frac R2\right)\cap
      K\left(X-(0,R^2)+\Delta_1,\frac R2\right)}\ol u\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{c_2}\delta^{1/p}\cdot
    \inf\limits_{K\left(X-(0,R^2)+\Delta_1,\frac R2\right)}\ol
    u\umbruch\\ 
    \ge&\,\frac1{c_2^2}\delta^{1/p} \left(\frac1{\left|K\left(\frac
            R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,2R^2)+\Delta_1,\frac R2\right)}
      \ol u^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{c_2^3}\delta^{2/p} \left(\frac1{\left|K\left(\frac
            R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,3R^2)+\Delta_1+\Delta_2,\frac
          R2\right)}
      \ol u^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{c_2^4}\delta^{3/p} \left(\frac1{\left|K\left(\frac
            R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,4R^2)+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3,\frac
          R2\right)}
      \ol u^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    \ge&\,\frac1{c_2^5}\delta^{4/p} \left(\frac1{\left|K\left(\frac
            R2\right)\right|}
      \int\limits_{K\left(X-(0,5R^2)+\Delta_1+\Delta_2
          +\Delta_3+\Delta_4,\frac  
          R2\right)} \ol u^p\right)^{1/p}.
  \end{align*}
  Jedes $\Delta_i$ erlaubt eine Verschiebung um fast $R$ in
  horizontaler oder $x$-Richtung und um fast $R^2$
  in vertikaler oder $t$-Richtung. Man \"uberlegt sich leicht, dass
  sich dabei mit $K\left(X-(0,3R^2)+\Delta_1+\Delta_2,\frac
    R2\right)$, $K\left(X-(0,4R^2)+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3,\frac
    R2\right)$ oder
  $K\left(X-(0,5R^2)+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3+\Delta_4,\frac
    R2\right)$ ein beliebiger Quader aus dem ersten Schritt der
  Calder\'on-Zygmund-Zerlegung von $K((0,-4R^2),R)$ von einem
  beliebigen Quader $K\left(X,\frac R2\right)$ in der entsprechenden
  Zerlegung von $K((0,0),R)$ aus erreichen l\"asst. W\"ahlt man nun
  $K\left(X,\frac R2\right)$, so dass
  $$\inf\limits_{K((0,0),R)}\ol u=
  \inf\limits_{K\left(X,\frac R2\right)}\ol u$$ gilt und addiert die
  oben gewonnenen Absch\"atzungen (oder betrachtet das maximimale
  auftretende $L^p$-Integral), so folgt die behauptete Ungleichung
  f\"ur beliebige Radien $R>0$. \par Aufgrund des Induktionsteiles
  h\"angt $C$ in der Behauptung auch von $R_0$ ab.

  Es folgt die im Theorem angegebene Behauptung.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{H\"olderabsch\"atzungen}
\neueZeilealt
Wir wollen Oszillationsabsch\"atzungen und damit auch 
H\"olderabsch\"atzungen f\"ur $u$ beweisen. Dazu ben\"otigen
wir zun\"achst das folgende Lemma, vergleiche 
\cite[Lemma 4.6]{LiebermanBook}. Solch ein Resultat findet
man beispielsweise auch in \cite[Lemma 8.23]{GT}. Dies 
zeigt, dass sich die Voraussetzungen an $\sigma$ variieren lassen. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{omega abfall}
  Seien $\omega$ und $\sigma$ auf dem Intervall $(0,R_0]$ wachsende
  nichtnegative Funktionen. Gibt es positive Konstanten $\alpha$,
  $\delta$ und $\tau$ mit $\tau<1$ und $\delta<\alpha$, so dass
$$r^{-\delta}\sigma(r)\le s^{-\delta}\sigma(s)\text{ f\"ur alle }
0<s\le r\le R_0$$
und 
$$\omega(\tau r)\le\tau^\alpha\omega(r)+\sigma(r)\text{ f\"ur }
0<r\le R_0$$
gelten, so folgt
$$\omega(r)\le c(\alpha,\delta,\tau)\cdot\left[
\left(\frac r{R_0}\right)^\alpha\omega(R_0)+\sigma(r)\right].$$
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
F\"ur $r\ge\tau R_0$ ist die Behauptung offensichtlich. 
Es gen\"ugt, $c=\tau^{-\alpha}$ zu w\"ahlen.

Sonst w\"ahlen wir $k\in\N$, so dass
$$\tau^{k+1}R_0\le r<\tau^kR_0$$
gilt. F\"ur $j=0,\,\ldots,\,k-1$ gilt $\tau^jR_0>\tau^kR_0$,
wir erhalten also
\begin{align*}
\left(\tau^jR_0\right)^{-\delta}\sigma\left(\tau^jR_0\right)\le&\,
\left(\tau^kR_0\right)^{-\delta}\sigma\left(\tau^kR_0\right),\umbruch\\
\sigma\left(\tau^jR_0\right)\le&\,\tau^{(j-k)\delta}\sigma\left(\tau^k
R_0\right)\umbruch\\
\intertext{und}
\omega(\tau r)\le&\,\tau^\alpha\omega(r)+\sigma(r),\umbruch\\
\omega\left(\tau^2r\right)\le&\,\tau^\alpha\omega(\tau r)+\sigma(\tau r)
\umbruch\\
\le&\,\tau^\alpha\left(\tau^\alpha\omega(r)+\sigma(r)\right)+\sigma(\tau r)
\umbruch\\
=&\,\tau^{2\alpha}\omega(r)+\tau^\alpha\sigma(r)+\sigma(\tau r)\umbruch
\intertext{und per Induktion}
\omega\left(\tau^kR_0\right)\le&\,
\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\sum\limits_{j=0}^{k-1}
\tau^{\alpha(k-1-j)}\sigma\left(\tau^jR_0\right)\umbruch\\
\le&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\sum\limits_{j=0}^{k-1}
\tau^{\alpha(k-1-j)+\delta(j-k)}\sigma\left(\tau^kR_0\right)\umbruch\\
=&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\sum\limits_{j=0}^{k-1}
\tau^{(k-1-j)(\alpha-\delta)}\tau^{-\delta}\sigma\left(\tau^kR_0\right)
\umbruch\\
=&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\sum\limits_{i=0}^{k-1}
\tau^{(\alpha-\delta)i}\tau^{-\delta}\sigma\left(\tau^kR_0\right)
\umbruch\\
\le&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\sum\limits_{i=0}^\infty
\tau^{(\alpha-\delta)i}\tau^{-\delta}\sigma\left(\tau^kR_0\right)
\umbruch\\
=&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\frac1{1-\tau^{\alpha-\delta}}
\frac1{\tau^\delta}\sigma\left(\tau^kR_0\right),
\text{ da }\tau^{\alpha-\delta}<1
\umbruch\\
=&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\frac{\sigma\left(\tau^kR_0\right)}
{\tau^\delta-\tau^\alpha}.
\end{align*}
Da $\tau^kR_0\le\frac r\tau$ ist, gilt
$$\sigma\left(\tau^kR_0\right)\le\sigma\left(\frac r\tau\right).$$
Au\ss{}erdem ist $\tau<1$, also folgt
\begin{align*}
  \left(\frac r\tau\right)^{-\delta}\sigma\left(\frac
    r\tau\right)\le&\,
  r^{-\delta}\sigma(r),\umbruch\\
  \sigma\left(\frac r\tau\right)\le&\,\tau^{-\delta}\sigma(r).
\end{align*}
Benutze nun $r<\tau^kR_0$ und nochmals 
$\tau^k\le\frac r{R_0}\frac1\tau$. 
Es folgt
\begin{align*}
\omega(r)\le&\,\omega\left(\tau^kR_0\right)\umbruch\\
\le&\,\tau^{k\alpha}\omega(R_0)+\frac1{\tau^\delta-\tau^\alpha}
\sigma\left(\frac r\tau\right)\umbruch\\
\le&\,\left(\frac r{R_0}\right)^\alpha\left(\frac1\tau\right)^\alpha
\omega(R_0)+\frac{\tau^{-\delta}}{\tau^\delta-\tau^\alpha}\sigma(r)\umbruch\\
\le&\,\max\left\{\left(\frac1\tau\right)^\alpha,\,
\frac{\tau^{-\delta}}{\tau^\delta-\tau^\alpha}\right\}
\left[\left(\frac r{R_0}\right)^\alpha\omega(R_0)+\sigma(r)\right]
\end{align*}
wie behauptet.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Um Lemma \ref{omega abfall} anzuwenden, sind die folgenden beiden
Kriterien n\"utzlich.
\begin{remark}
\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Seien $\omega$ und $\sigma$ wachsend. Gibt es $K$ und $\beta$
mit $\beta>\delta$, so dass
$$\omega(\tau r)\le K\tau^\beta\omega(r)+\sigma(r)$$
f\"ur kleine $\tau>0$ gilt, so folgt
$$\omega(\tau r)\le\tau^\alpha\omega(r)+\sigma(r)$$
f\"ur $\alpha\in(\delta,\beta)$ und $\tau$ so klein, dass
$K\tau^\beta\le\tau^\alpha$ und die obige Ungleichung gelten.
\item Gibt es $\tau$, $\epsilon\in(0,1)$, so dass
$$\omega(\tau r)\le\epsilon\omega(r)+\sigma(r)$$
gilt, so folgt
$$\omega(\tau r)\le\tau^\alpha\omega(r)+\sigma(r)$$
mit $\alpha=\log_\tau\epsilon=\frac{\log\epsilon}{\log\tau}$.
\end{enumerate}
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Aus der schwachen Harnackungleichung, Theorem \ref{schw harnack},
erhalten wir eine Oszillationsabsch\"atzung. Vergleiche dies mit
\cite[Korollar 7.26]{LiebermanBook}.
\begin{theorem}\label{krylov safonov hoelder}
Sei $u$ in $K(5R)$ eine L\"osung von 
$$L_0u=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i=f-du.$$
Dann gilt f\"ur $0<r\le R$
\begin{align*}
  \osc\limits_{K(r)}u\le&\,c(n,\lambda,\Lambda, \Vert
  b\Vert_{L^\infty})\cdot\\
  &\,\quad\cdot\left(\frac rR\right)^\alpha\cdot
  \left(\osc\limits_{K(R)}u+\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5R))} \cdot
    R^\frac n{n+1}\right)
\end{align*}
mit $\alpha=\alpha(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})$,
$0<\alpha<1$.
\end{theorem}

\begin{remark}\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Hier ist keine Vorzeichenbedingung an $u$ n\"otig.
\item Ist $\Vert u\Vert_{C^0}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt in
  $K(6R)$, so ist also
  $$r^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{K(X,r)}u$$ f\"ur alle Quader $K(X,r)$
  mit $K(X,5R)\subset K(6R)$, also $X\in K(R)$, gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt.  Es folgt
  $$\sup\limits_{x\neq y\in
    K(R)}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha_{\text{parab}}} \le
  c\left(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty},
  R,\osc\limits_{K(6R)}u,\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(6R))}\right),$$
  indem wir einen der beiden Punkte, ohne Einschr\"ankung $x$, als
  Referenzpunkt nehmen und $r>0$ minimal w\"ahlen, so dass $y\in
  K(x,r)$ gilt, also $r=|x-y|_{\text{parab}}$. Dabei
  bezeichnet \[|x-y|_{\text{parab}}
  :=\max\left\{\max\limits_i\left|x^i-y^i\right|,
  \left|x^t-y^t\right|\right\}\] den parabolischen Abstand von
  $x=\left(\left(x^i\right),x^t\right)$ und
  $y=\left(\left(y^i\right),y^t\right)$.  $u$ ist also in $K(R)$
  h\"olderstetig. \par Wegen \[\frac1{|x-y|^{1/2}_{\text{max}}}
  \le\frac1{|x-y|_{\text{parab}}}\] f\"ur $|x-y|_{\text{parab}}\le1$
  folgt daraus die H\"olderstetigkeit von $u$.
\item Diese Aussage \"uber die H\"olderstetigkeit von L\"osungen ist
  ein h\"aufig benutztes Resultat (Absch\"atzungen von Krylov und
  Safonov). Man verwendet es beispielsweise, wenn man das
  Yamabeproblem mit Hilfe einer Flussgleichung l\"osen will. In zwei
  Dimensionen studiert man dazu den konformen Riccifluss:
  \[g_{ij}=e^u\delta_{ij}\quad\text{mit}\quad\dot u=e^{-u}\Delta u.\] 
\item Bei voll nichtlinearen Gleichungen, wie etwa
  $$\dot u=\log\det D^2u,$$
  differenziert man die Gleichung zweimal und benutzt die Konkavit\"at
  von $D^2u\mapsto\log\det D^2u$. \"Ahnliche Schritte wie hier
  erlauben es (mit Zusatzaufwand), aus der schwachen
  Harnackungleichung H\"olderabsch\"atzungen f\"ur das Symbol
  $\left(u^{ij}\right)=\left(D^2u\right)^{-1}$ herzuleiten, wenn man
  insbesondere $\Vert u\Vert_{C^2}
  +\left\Vert\left(D^2u\right)^{-1}\right\Vert_{C^0}$ beschr\"ankt
  hat. Aufgrund dieser H\"olderabsch\"atzungen f\"ur $D^2u$ bzw.\
  $\left(D^2u\right)^{-1}$ kann man nun iterativ
  Schauderabsch\"atzungen auf die durchdifferenzierte Gleichung
  anwenden und bekommt a priori Absch\"atzungen in $C^k$, $k\in\N$.
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{krylov safonov hoelder}]
Wir d\"urfen annehmen, dass $r<\frac R5$ ist, sonst folgt das Resultat,
wenn wir $c$ gro\ss{} genug w\"ahlen. Definiere
\begin{align*}
M_1=&\,\sup\limits_{K(r)}u,\umbruch\\
M_5=&\,\sup\limits_{K(5r)}u,\umbruch\\
m_1=&\,\inf\limits_{K(r)}u\umbruch
\intertext{und}\umbruch
m_5=&\,\inf\limits_{K(5r)}u.
\end{align*}
Wir erhalten die Differentialgleichungen
\begin{align*}
L_0(M_5-u)=&\,-f+du,\umbruch\\
L_0(u-m_5)=&\,f-du
\end{align*}
in $K(5r)$. Nach Definition gilt dort $M_5-u\ge0$ und $u-m_5\ge0$.
Die schwache Harnackungleichung, Theorem \ref{schw harnack}, 
liefert also f\"ur $0<p=p(n,\lambda,\Lambda)$
\begin{align*}
\left(r^{-n-2}\int\limits_{\Theta(r)}(M_5-u)^p\right)^{1/p}\le&\,
c(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})\cdot\\
&\,\quad\cdot
\left(\inf\limits_{K(r)}(M_5-u)+r^\frac n{n+1}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))}\right)\umbruch\\
=&\,c(\ldots)\cdot\left(M_5-M_1+r^\frac n{n+1}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))}\right)\umbruch
\intertext{und}\umbruch
\left(r^{-n-2}\int\limits_{\Theta(r)}(u-m_5)^p\right)^{1/p}\le&\,
c(\ldots)\cdot
\left(\inf\limits_{K(r)}(u-m_5)+r^\frac n{n+1}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(\ldots)}\right)\umbruch\\
=&\,c(\ldots)\cdot\left(m_1-m_5+r^\frac n{n+1}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))}\right).
\end{align*}
Wir addieren diese beiden Ungleichungen und erhalten
\begin{align*}
  M_5-m_5\le&\,c_1(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})
  \cdot\umbruch\\ 
  &\,\quad\cdot\left(M_5-m_5-(M_1-m_1)+ r^\frac n{n+1}\Vert
    f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))}\right).
\end{align*}
F\"ur die linke Seite haben wir hier $|\Theta(r)|=r^{n+2}$
und
\begin{align*}
M_5-m_5=&\,\left(\frac1{|\Theta(r)|}\int\limits_{\Theta(r)}
(M_5-m_5)^p\right)^{1/p}\umbruch\\
\le&\,c(p(n,\lambda,\Lambda))\cdot\\
&\,\quad\cdot\left\{\left(\frac1{|\Theta(r)|}\int\limits_{\Theta(r)}
(M_5-u)^p\right)^{1/p}+\left(\frac1{|\Theta(r)|}\int\limits_{\Theta(r)}
(u-m_5)^p\right)^{1/p}\right\}
\end{align*}
benutzt. Ist $p\ge1$, so folgt dies direkt aus der Dreiecksungleichung
mit $c(p)=1$. Ist $0<p<1$, so d\"urfen wir zun\"achst ohne Einschr\"ankung
$m_5=0$ annehmen. Wir betrachten dann 
n\"amlich $M_5-m_5$, $u-m_5$ und $m_5-m_5=0$
statt $M_5$, $u$ und $m_5$. Durch Skalieren k\"onnen wir weiterhin 
$M_5=1$ und $|\Theta(r)|=1$ annehmen. F\"ur $0\le u\le1$ wollen 
wir also auf einem Gebiet vom Ma\ss{} eins nachweisen, dass
$$1\le c(p)\left\{\left(\int(1-u)^p\right)^{1/p}+
\left(\int(u)^p\right)^{1/p}\right\}$$
gilt. Wegen $(1-u)^p\ge1-u$ und $u^p\ge u$ gen\"ugt sogar der Nachweis
von 
$$1\le c(p)\left\{\left(\int1-u\right)^{1/p}+\left(\int u\right)^{1/p}
\right\}.$$
Nun gilt aber
$$1=\int1=\left(\int1-u\right)+\left(\int u\right).$$
Also ist $\int1-u\ge\frac12$ oder $\int u\ge\frac12$ und die
Behauptung folgt mit $c(p)=\left(\frac12\right)^{-1/p}=2^{1/p}$.

Wir definieren nun f\"ur $\rho>0$
$$\omega(\rho)=\osc\limits_{K(\rho)}u$$
und erhalten
\begin{align*}
\omega(5r)\le&\,c_1\left(\omega(5r)-\omega(r)+r^{\frac n{n+1}}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))}\right),\umbruch\\
\omega(r)\le&\,\left(1-\frac1{c_1}\right)\omega(5r)+
r^{\frac n{n+1}}\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5r))},
\end{align*}
wobei wir ohne Einschr\"ankung $c_1>1$ annehmen. \par Fixiere nun
$0<\alpha=\alpha(c_1(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty}))
\ll1$, so dass $1-\frac1{c_1}=\left(\frac15\right)^{2\alpha}$ und
$\frac n{n+1}>\alpha$ gelten und erhalte f\"ur $0<r\le R$
$$\omega\left(\tfrac15r\right)\le\left(\tfrac15\right)^{2\alpha}
\omega(r)+r^\alpha\cdot R^{\frac n{n+1}-\alpha}\cdot
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}.$$
Lemma \ref{omega abfall} mit $\delta=\alpha$ liefert f\"ur alle
$0<r\le R$
$$\omega(r)\le c(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})\cdot
\left[\left(\frac rR\right)^{2\alpha}\omega(R)+
\left(\frac rR\right)^\alpha R^{\frac n{n+1}}
\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(K(5R))}\right].$$
Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Subsection{Harnackungleichung}
Wir erhalten direkt die folgende parabolische Form der 
Harnackungleichung, vergleiche \cite[Korollar 7.27]{LiebermanBook}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Sei $u\ge0$ in $K(5R)$ eine L\"osung von 
$$L_0u=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i=0.$$
Dann gilt
$$\sup\limits_{K\left(\left(0,-4R^2\right),\frac R2\right)}u\le
c(n,\lambda,\Lambda,R,\Vert b\Vert_{L^\infty})\cdot
\inf\limits_{K(R)}u.$$
\end{theorem}

\begin{proof}[Beweis]
Kombiniere Theorem \ref{local mp} und Theorem \ref{schw harnack}
mit dem $p$ aus Theorem \ref{schw harnack}.
\end{proof}

\Subsection{Randabsch\"atzungen}
Wir leiten noch entsprechende Resultate f\"ur Dirichletrandwerte her.
Dabei folgen wir der Bachelorarbeit von Anja Grabow \cite{AnjaGrabow},
in der die entsprechenden Teile in \cite{LiebermanBook} ausgearbeitet
werden.

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n\times\R$ offen. Dann definieren wir
  $\Omega[R]:=\Omega\cap K(R)$ sowie $\P\Omega[R]:=(\P\Omega)\cap
  K(R)$. Ist der Referenzpunkt nicht der Ursprung, so schreiben wir
  stattdessen $\Omega[(x_0,t_0),R]$ bzw.{}
  $\P\Omega[(x_0,t_0),R]$. \par Die entsprechende Definition f\"ur
  Zylinder ist naheliegend. 
\end{definition}

Zun\"achst zeigen wir eine Randversion von Theorem \ref{local mp}. 

Das folgende Theorem gilt auch in einer Zylindervariante. 
\begin{theorem}\label{local mp rand}
  Sei $\Omega\subset\R^n\times\R$ offen. Seien $R>0$, $p>0$ und
  $0<\rho<1$.  Gelte $Lu\ge f$ in $\Omega[R]$ und $u\le 0$ auf
  $\P\Omega[R]$. Dann gibt
  es \[c=c(n,p,\rho,\lambda,\Lambda,\sup(R|b|+R^2d^+)),\] so
  dass \[\sup\limits_{\Omega[\rho R]} u\le c\cdot
  \left[\left(R^{-(n+2)} \int\limits_{\Omega[R]}
      \left(u^+\right)^p\right)^{1/p} +R^{\frac n{n+1}} \Vert
    f\Vert_{L^{n+1}(\Omega[R])}\right]\] 
  gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $u^+$ au\ss{}erhalb von $\Omega\cap Q(R)$ durch $0$
  fort. Diese Fortsetzung ist in $Q(R)$ stetig.

  In der Zylindervariante folgen wir dem Beweis von Theorem \ref{local
    mp} und beachten, dass in der dortigen Notation $v\le0$ auf
  $\P\Omega[R]$ gilt. Wir betrachten nun $E^+(v)$ bez\"uglich der
  Menge $\Omega[R]$ und erhalten die Zylindervariante.\par Wie bei
  Theorem \ref{local mp} folgt daraus auch die Quadervariante. 
\end{proof}

F\"ur eine Randversion der Schwachen Harnackungleichung, Theorem
\ref{schw harnack}, ben\"otigen wir noch etwas Vorbereitung. 

F\"ur eine gegebene Funktion $u\in C^2$ m\"ochten wir nun 
$u_m:=\inf\{u,m\}$ f\"ur ein $m\in\R$ betrachten. Solch eine Funktion
ist i.\,a.{} selbst als Sobolevfunktion nicht mehr zweimal
differenzierbar. Wir k\"onnen sie jedoch trotzdem so durch
$C^2$-Funktionen approximieren, dass die Differentialungleichung
$Lu\le f$ fast erhalten bleibt. Im Vergleich mit
Viskosit\"atsl\"osungen ist dies nicht \"uberraschend. 

\begin{lemma}
  \label{u m eps lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n\times\R$ offen und $u\in
  C^2(\Omega)$. Erf\"ulle $u$ in $\Omega$ die parabolische
  Differentialungleichung $L_0u\equiv -\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\le
  f$. Sei $m\in\R$. Definiere $u_m:=\inf\{u,m\}$. Dann gibt es
  Funktionen $u_m^\epsilon\colon\Omega\to\R$, $0<\epsilon<1$, mit
  $\Vert u_m-u_m^\epsilon\Vert_{C^0(\Omega)}\to0$ f\"ur
  $\epsilon\searrow0$ und $L_0u_m^\epsilon\le|f|$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $0<\epsilon<1$ definieren wir $\rho_\epsilon\colon\R\to\R$
  durch
  \[\rho_\epsilon(z):=
  \begin{cases}
    z&\text{f\"ur }z\le m-\epsilon,\\
    \left(m-\frac\epsilon2\right) +\frac1{\epsilon^2}(z-m)^3
    +\frac1{2\epsilon^3} (z-m)^4 &\text{f\"ur }m-\epsilon\le z\le m,\\
    m-\frac\epsilon2 &\text{f\"ur }m\le z.
  \end{cases}
  \]
  F\"ur $m-\epsilon\le z\le m$ gilt $-1<-\epsilon\le z-m\le 0$ und wir
  erhalten dort
  \begin{align*}
    \rho'_\epsilon(z)=&\,\frac3{\epsilon^2}(z-m)^2
    +\frac2{\epsilon^3}(z-m)^3
    =\frac1{\epsilon^2}(z-m)^2\left(3+2\frac{z-m}\epsilon\right)\ge0
    \intertext{sowie}
    \rho''_\epsilon(z)=&\,\frac6{\epsilon^2}(z-m)+\frac6{\epsilon^3}(z-m)^2
    =\frac6{\epsilon^2}(z-m)\left(1+\frac{z-m}\epsilon\right)\le0.
  \end{align*}
  Am Rand erhalten wir: 
  \[
  \begin{array}{c||c|c|}
    & z=m-\epsilon & z=m\\\hline\hline
    \rho'_\epsilon(z) & 1 & 0 \\\hline
    \rho''_\epsilon(z) & 0 & 0 \\\hline    
  \end{array}
  \]
  Somit ist $\rho_\epsilon$ zweimal stetig differenzierbar. Definiere
  $u_m^\epsilon(x,t):=\rho_\epsilon(u(x,t))$. Somit ist
  $u_m^\epsilon\in C^2$ und die Konvergenz von $u_m-u_m^\epsilon$ ist
  leicht einzusehen. Aus $\rho''\le0$ folgt $0\le\rho'\le1$ und wir
  erhalten
  \begin{align*}
    \fracp{}t\left(u^\epsilon_m\right)=&\,\rho'_\epsilon(u)\dot u,\umbruch\\
    (u^\epsilon_m)_i=&\,\rho'_\epsilon(u)u_i,\umbruch\\
    (u^\epsilon_m)_{ij}=&\,\rho'_\epsilon(u)u_{ij}
    +\rho''_\epsilon(u)u_iu_j,\umbruch\\
    L_0u^\epsilon_m=&\,\rho'_\epsilon(u)\left(-\dot
      u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i\right) +\underbrace{\rho''(u)}_{\le0}
    \underbrace{a^{ij}u_iu_j}_{\ge0}\umbruch\\ 
    \le&\,\underbrace{\rho'_\epsilon}_{|\cdot|\le1}\cdot f\umbruch\\
    \le&\,|f|.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

F\"ur die Randabsch\"atzungen ben\"otigen wir zwei geometrische
Bedingungen an $\Omega$.

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Sei $(x_0,t_0)\in\mathcal
  P\Omega$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann erf\"ullt $\Omega$ in $(x_0,t_0)$ die Bedingung (A),
    falls es $R>0$ und $1>A>0$ mit \[A\cdot|K(r)|\ge
    \left|\Omega\left[\left(x_0,t_0-4r^2\right),r\right]\right|\]
    f\"ur alle $0<r\le R$ gibt. K\"onnen $R$ und $A$ unabh\"angig von
    $(x_0,t_0)\in\Gamma\subset\P\Omega$ gew\"ahlt werden, so sagen
    wir, dass $\Omega$ in $\Gamma$ die Bedingung (A) erf\"ullt.
  \item Dann hei\ss{}t $\Omega$ in $(x_0,t_0)$ produktartig
    bez\"uglich der Kantenl\"ange $R$, falls \[\partial\Omega \cap
    K((x_0,t_0),R) =\P\Omega\cap K((x_0,t_0),R)\] gilt. $\Omega$
    hei\ss{}t in $(x_0,t_0)$ produktartig, falls es ein solches $R>0$
    gibt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Bedingung (A) taucht in \cite[Kap. VI]{LiebermanBook} auf,
    die Bedingung der Produktartigkeit ben\"otige ich zus\"atzlich
    f\"ur den Beweis. \glqq Produktartigkeit\grqq{} ist eine ad hoc
    Bezeichnung. 
  \item Sind $O\subset\R^n$ und $I=(a,b)\subset\R$ offen, so ist
    $\Omega=O\times I$ produktartig. Ist $\partial O$ Lipschitz, so
    erf\"ullt $\Omega$ in ganz $\P\Omega$ f\"ur beliebige $\epsilon>0$
    die Bedingung (A).
  \end{enumerate}
\end{remark}

Als Randvariante von Theorem \ref{schw harnack} erhalten wir
\begin{theorem}\label{schw harnack rand}
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Sei $\Omega$ in $0$ produktartig
  bez\"uglich der Kantenl\"ange $5R$. Gelte $u\ge0$ in $\Omega[5R]$
  und erf\"ulle $u$ die Differentialungleichung \[L_0u\equiv-\dot
  u+a^{ij}u_{ij} +b^iu_i\le f\quad\text{in }\Omega.\] Setze
  $m:=\inf\limits_{\P\Omega[5R]}u$ und definiere \[u_m:=
  \begin{cases}
    \inf\{u,\,m\}&\text{in }\Omega[5R],\\
    m&\text{in }K[5R]\setminus\Omega[5R].
  \end{cases}
  \]
  Dann gibt es positive Konstanten $p=p(n,\lambda,\Lambda)$ und
  $C=C(n,\lambda,\Lambda,\Vert b\Vert_{L^\infty})$, so
  dass \[\left(R^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(R)}u_m^p\right)^{1/p} \le
  C\cdot \left(\inf\limits_{K(R)}u_m +R^{\frac n{n+1}}\cdot\Vert
    f\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])}\right)\] gilt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $f$ au\ss{}erhalb von $\Omega$ durch Null fort. Da $\Omega$ in
  $0$ produktartig ist, ist $u_m$ in $K[5R]$ stetig. Nach Lemma \ref{u
    m eps lem} erf\"ullt $u_m^\epsilon$ in $K[5R]$ die Ungleichung
  $Lu^\epsilon_m\le|f|$. (Beachte f\"ur die $C^{2;1}$-Regularit\"at am
  Rand, dass in einer Umgebung des Randes $u^\epsilon_m
  =m-\frac\epsilon2$ gilt.) Somit liefert Theorem \ref{schw harnack}
  die Behauptung mit $u^\epsilon_m$ statt $u_m$. Da die Funktionen
  $u_m,\,u^\epsilon_m$, $0<\epsilon<1$, stetig und beschr\"ankt sind
  und $u^\epsilon_m\rightrightarrows u_m$ f\"ur $\epsilon\searrow0$
  gilt, folgt die Behauptung f\"ur $\epsilon\searrow0$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{krylov safonov hoelder rand}
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Sei $0\in\P\Omega$. Sei
  $R>0$. Erf\"ulle $\Omega$ im Ursprung die Bedingung (A) und sei
  produktartig, jeweils bis zum Radius $5R$. Sei $u$ in $\Omega[5R]$
  eine L\"osung von \[L_0u\equiv -\dot u +a^{ij}u_{ij} +b^iu_i
  =f-du.\] Dann gibt es $\alpha=\alpha(n,\lambda,\Lambda,A,\Vert
  b\Vert_{L^\infty})$, $A$ aus der Bedingung (A), so dass das Folgende
  richtig ist: Sei die Funktion $\sigma\colon\R_{\ge0}\to\R_{\ge0}$
  wachsend, aber $\tau\mapsto\tau^{-\delta}\sigma(\tau)$ f\"ur ein
  $0<\delta<\alpha$ fallend und
  gelte \[\osc\limits_{\P\Omega[r]}u\le\sigma(r)
  \quad\text{f\"ur}\quad 0<r\le 5R.\] Dann gibt es
  $C=C(n,\lambda,\Lambda,A,\Vert b\Vert_{L^\infty})$, so dass f\"ur
  alle $0<r\le R$ \[\osc\limits_{\Omega[r]} u\le
  C\cdot\left[\left(\frac rR\right)^\alpha\cdot\left\{
    \osc\limits_{\Omega[R]}u +R^{\frac n{n+1}}\cdot\Vert
    f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])}\right\} +\sigma(r)\right]
  \] gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Gelte ohne Einschr\"ankung $0<r\le\frac R5$. Wir definieren
  \begin{align*}
    M_5:=&\,\sup\limits_{\Omega[5r]}u,&
    M_1:=&\,\sup\limits_{\Omega[r]}u,\umbruch\\
    m_5:=&\,\inf\limits_{\Omega[5r]}u,&
    m_1:=&\,\inf\limits_{\Omega[r]}u,\umbruch\\
    M:=&\,\sup\limits_{\P\Omega[5r]}u,&
    m:=&\,\inf\limits_{\P\Omega[5r]}u.
  \end{align*}
  In $\Omega[5r]$ gelten \[M_5-u\ge0\quad\text{sowie}\quad
  u-m_5\ge0.\] Wir setzen $\tilde m:=\inf\limits_{\P\Omega[5r]}M_5-u
  =M_5-M$ und erhalten mit Hilfe der Schwachen Harnackungleichung,
  Theorem \ref{schw harnack rand}, f\"ur ein $p>0$ wie dort und mit
  der Notation $(M_5-u)_{\tilde m}$ aus Lemma \ref{u m eps lem}
  \begin{align*}
    &\,\left(r^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(r)} (M_5-u)_{\tilde
        m}^p\right)^{1/p}\umbruch\\ \le&\,
    C\cdot\left(\inf\limits_{\Omega[r]}(M_5-u)_{\tilde m} +r^{\frac
        n{n+1}}\cdot \Vert f-du\Vert_{L^{n+1}
        (\Omega[5r])}\right)\umbruch\\
    \le&\, C\cdot\left(\inf\limits_{K(r)}(M_5-u) +r^{\frac
        n{n+1}}\cdot \Vert f-du\Vert_{L^{n+1}
        (\Omega[5r])}\right)\umbruch\\
    \le&\,C\cdot\left(M_5-M_1 +r^{\frac n{n+1}}\cdot \Vert
      f-du\Vert_{L^{n+1} (\Omega[5r])}\right).
  \end{align*}
  In $K(5R)\setminus\Omega$ gilt $(M_5-u)_{\tilde m}=M_5-M$. Weiterhin
  benutzen wir, dass aus der Bedingung
  (A) \[|\Theta(r)\setminus\Omega| =|K(r)|-|\Theta(r)\cap\Omega|\ge
  (1-A)|K(r)|\] folgt und erhalten
  \begin{align*}
    \left(r^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(r)} (M_5-u)^p_{\tilde
        m}\right)^{1/p}
    \ge&\,\left(r^{-(n+2)}\int\limits_{\Theta(r)\setminus\Omega}
      (M_5-M)^p\right)^{1/p}\umbruch\\
    =&\,\left(\frac{|\Theta(r)\setminus\Omega|}{|K(r)|}\right)^{1/p}
    \cdot (M_5-M)\umbruch\\ \ge&\, (1-A)^{1/p}\cdot(M_5-M). 
  \end{align*}
  Also folgt
  \[(1-A)^{1/p}\cdot(M_5-M)\le C\cdot\left(M_5-M_1 +r^{\frac
      n{n+1}}\cdot \Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5r])}\right).\] Nun
  betrachten wir $u-m_5$ und $\ol m:=\inf\limits_{\P\Omega[5r]}u-m_5
  =m-m_5$ und erhalten durch vollst\"andig analoges Vorgehen die
  Ungleichung
  \[(1-A)^{1/p}\cdot(m-m_5)\le C\cdot\left(m_1-m_5 +r^{\frac
      n{n+1}}\cdot \Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5r])}\right).\] 
  Addieren wir diese beiden Ungleichungen, so folgt 
  \begin{align*}
    (1-A)^{1/p}\cdot(M_5-M+m-m_5) \le&\,C\cdot(M_5-M_1 +m_1-m_5)\\
    &\,+C\cdot r^{\frac n{n+1}}\cdot\Vert
    f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5r])}. 
  \end{align*}
  Wir ordnen um und erhalten
  \begin{align*}
    M_1-m_1\le&\,M_5-m_5 +r^{\frac n{n+1}}\cdot\Vert
    f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5r])}\\
    &\,\quad-\frac1C(1-A)^{1/p}\cdot(M_5-m_5)
    +\underbrace{\frac1C(1-A)^{1/p}}_{\le 1}\cdot(M-m)\umbruch\\
    \le&\,\underbrace{\left(1-\frac1C(1-A)^{1/p}\right)}_{<1!}\cdot
    (M_5-m_5)\\ &\,\quad+r^{\frac n{n+1}}\cdot \Vert
    f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])} +(M-m).
  \end{align*}
  Nun w\"ahlen wir $\alpha=\alpha(n,\lambda,\Lambda,A,\Vert
  b\Vert_{L^\infty})$ mit $0<\alpha<\frac n{n+1}<1$ wie angegeben
  mit \[1-\frac1C(1-A)^{1/p} =\left(\frac 15\right)^{2\alpha}.\]
  Definiere $\omega(r):=\osc\limits_{\Omega[r]}u$. Dann erhalten wir
  f\"ur alle $r$ mit $0<r\le\frac R5$ die Absch\"atzung
  \[\omega(r)\le\left(\tfrac15\right)^{2\alpha}\omega(5r) +r^{\frac
    n{n+1}}\cdot\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])} +\sigma(5r)\]
  und daraus f\"ur $0<r\le R$ die Ungleichung
  \[\omega\left(\tfrac15 r\right)
  \le\left(\tfrac15\right)^{2\alpha}\omega(r) +r^\alpha\cdot R^{\frac
    n{n+1}-\alpha}\cdot\Vert f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])}
  +\sigma(r).\]
  Da $\sigma$ wegen $0<\delta<\alpha$ die Wachstumsvoraussetzung von
  Lemma \ref{omega abfall} auch f\"ur $\alpha$ statt $\delta$
  erf\"ullt, erhalten wir aus diesem Lemma mit $(\alpha,2\alpha)$
  f\"ur $(\delta,\alpha)$ dort
  \[\omega(r)\le C\cdot\left[\left(\tfrac rR\right)^{\alpha}
    \left\{\omega(R) 
      +R^{\frac n{n+1}}\cdot\Vert
      f-du\Vert_{L^{n+1}(\Omega[5R])}\right\}
    +\sigma(r)\right]. \qedhere\]
\end{proof}

Da im Folgenden wieder Probleme auf"|treten, wenn wir Gebiete
betrachten, die nicht in Produktgestalt sind, beschr\"anken wir uns
nun auf diesen Fall. 
\begin{theorem}
  Sei $O\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit Lipschitzrand. Sei
  $T>0$ und $\Omega:=O\times(0,T)$. Sei $u$ eine L\"osung von \[
  \begin{cases}
    L_0u\equiv-\dot u +a^{ij}u_{ij} +b^iu_i=f &\text{in }\Omega,\\
    u=\phi&\text{auf }\P\Omega. 
  \end{cases}
  \]
  Gelte $\osc\limits_{\P\Omega[(x_0,t_0),r]}\phi\le c_\phi\cdot
  r^\zeta$ f\"ur $c_\phi,\,\zeta>0$ und beliebige
  $(x_0,t_0)\in\P\Omega$. Dann gibt es
  $\alpha=\alpha(n,\lambda,\Lambda,O,T,A,\Vert
  b\Vert_{L^\infty},\zeta)$ mit $0<\alpha<1$, $\alpha<\zeta$
  und \[C=C\left(n,\lambda,\Lambda,O,T,\Vert
  b\Vert_{L^\infty},\osc\limits_\Omega u,\Vert
  f\Vert_{L^{n+1}(\Omega)},c_\phi,\zeta\right),\] so dass f\"ur alle
  $(x_1,t_1),\,(x_2,t_2)\in O\times(T/2,T)$
  \[\frac{|u(x_1,t_1)-u(x_2,t_2)|}{\left(|x_1-x_2|^2
      +|t_1-t_2|\right)^{\alpha/2}}\le C\] gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir folgen \cite[Theorem 8.29]{GT}.\par
  \textbf{Innere Absch\"atzung:} In unserer Situation folgt aus
  Theorem \ref{krylov safonov hoelder} im Fall $K(R)\subset\Omega$
  (Mittelpunkt in $O\times(T/2,T)$ in der Notation unterdr\"uckt)
  f\"ur $0<r\le R$
  \[\osc\limits_{K(r)}u\le C\cdot\left(\frac
    rR\right)^\alpha\cdot\left(\osc\limits_{K(R)}u +c\cdot
    R^\alpha\right),\] da ohne Einschr\"ankung $0<\alpha<\frac n{n+1}$
  und $R\le c(\Omega)$ gelten. \par
  \textbf{Randabsch\"atzung:} Aus Theorem \ref{krylov safonov hoelder
    rand} erhalten wir \[\osc\limits_{\Omega[r]}u\le C\cdot\left(\frac
    rR\right)^\alpha\cdot \left(\osc\limits_{\Omega[R]}u +c\cdot
    R^\alpha\right),\] wobei hier der in der Notation unterdr\"uckte
  Referenzpunkt in $(\partial O)\times(T/2,T)$ liegen muss.\par
  Sei ohne Einschr\"ankung $t_2>t_1$. Sei $\delta>0$ maximal, so dass
  $K((x_2,t_2),5\delta)\subset\Omega$ gilt. Wir unterscheiden mehrere F\"alle: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gilt
    $\ol{K((x_2,t_2),5\delta)}\cap(O\times\{t=0\})\neq\emptyset$, so
    ist $\delta$ nach unten beschr\"ankt, da $t_2-(5\delta)^2=0$ und
    $t_2\ge T/2$ implizieren, dass $(5\delta)^2\ge T/2$ gilt. Die
    inneren Absch\"atzungen mit $R=5\delta\ge c(T)>0$ liefern nun
    \begin{align*}
      \osc\limits_{K((x_2,t_2),r)} u\le&\,C\cdot\left(\frac
      r\delta\right)^\alpha
      \cdot\left(\osc\limits_{K((x_2,t_2),R)}u+c\cdot
      \delta^\alpha\right)\umbruch\\ \le&\,c\cdot
      r^\alpha\cdot\osc\limits_\Omega u+c\cdot r^\alpha.
    \end{align*}
    Ist $(x_1,t_1)\in \ol{K((x_2,t_2),\delta)}$, so folgt die
    Absch\"atzung durch Wahl des minimalen $r>0$ mit
    $(x_1,t_1)\in\ol{K((x_2,t_2),r)}$. \par Ist $(x_1,t_1)\not\in
    K((x_2,t_2),\delta)$, so gelten $|x_1-x_2|^2+|t_1-t_2|\ge
    c(n)\cdot \delta^2$ sowie $|u(x_1,t_1)-u(x_2,t_2)|
    \le\osc\limits_\Omega u$. Da $\delta$ nach unten beschr\"ankt ist,
    ist die Behauptung trivial.
  \item Nehme daher ab jetzt stets an, dass $K((x_2,t_2),5\delta)$
    nicht bis $t=0$ hinunterreicht. Somit gibt es $x_0\in\partial O$
    mit $(x_0,t_2)\in\partial K((x_2,t_2),5\delta)$, \dh der Quader
    $K((x_2,t_2),5\delta)$ \glqq st\"o\ss{}t seitlich\grqq{} an
    $\P\Omega$ an.
  \item Gelte zun\"achst $(x_1,t_1)\in K((x_2,t_2),\delta)$. Dann
    folgt aus den inneren Ab\-sch\"atz\-un\-gen mit $R=\delta$ f\"ur
    alle $0<r\le\delta$
    \begin{align*}
      \frac1{r^\alpha}\cdot\osc\limits_{K((x_2,t_2),r)} u\le&\, C\cdot 
      \delta^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{K((x_2,t_2),\delta)}u +c
      \intertext{und daher insbesondere bei minimalem $r>0$ mit
        $(x_1,t_1)\in \ol{K((x_2,t_2),r)}$}
      \frac{|u(x_1,t_1)-u(x_2,t_2)|}{\left(|x_1-x_2|^2
            +|t_1-t_2|\right)^{\alpha/2}} \le&\,
        C\cdot\delta^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{K((x_2,t_2),\delta)}
        u+c. 
    \end{align*}
    Es gilt $K((x_0,t_2),6\delta)\supset K((x_2,t_2),\delta)$.  Sei
    $R:=\diam\Omega$. Dann liefert die Randabsch\"atzung mit
    Mittelpunkt $(x_0,t_2)$
    \[(6\delta)^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{K((x_2,t_2),\delta)} u\le
    (6\delta)^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{\Omega[(x_0,t_2),6\delta]}
    u\le c.\] Kombinieren wir die letzten beiden Ungleichungen, so
    erhalten wir gerade die Behauptung.
  \item Sei nun $(x_1,t_1)\not\in K((x_2,t_2),\delta)$ und $x_0$ wie
    oben. W\"ahle $r>0$ minimal mit $(x_1,t_1),\,(x_2,t_2)\in
    \ol{K((x_0,t_2),r)}$. Setze $R:=\diam\Omega$. Dann liefert die
    Randabsch\"atzung \[r^{-\alpha}\cdot\osc\limits_{\Omega[(x_0,t_2),r]}
    u\le c.\] Daraus folgt die Behauptung, da in dieser Situation $r$
    und
    \[d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))\equiv\sqrt{|x_1-x_2|^2+|t_1-t_2|}\]
    bis auf eine Konstante vergleichbar sind: Aus
    $(x_1,t_1),\,(x_2,t_2)\in K((x_0,t_2),r)$ folgt mit der
    Dreiecksungleichung
    \begin{align*}
      &\,d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))\umbruch\\ \le&\,
      d_{parab}((x_1,t_1),(x_0,t_2))
      +d_{parab}((x_0,t_2),(x_2,t_2))\\ \le&\, c(n)\cdot r.
    \end{align*}
    (Diese Richtung ist einfacher aber auch f\"ur den Beweis nicht
    n\"otig.)\par F\"ur die umgekehrte Ungleichung ben\"otigen wir
    eine Fallunterscheidung. Sei zun\"achst $r\le c_1\delta$ f\"ur ein
    festes noch zu fixierendes $c_1(n)>0$. Da $(x_1,t_1)\not\in
    K((x_2,t_2),\delta)$ gilt, folgt
    $d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))\ge\delta$. \par Zusammengenommen
    erhalten wir
    also \[d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))\ge\frac1{c_1}r.\] Gelte nun
    umgedreht $r\ge c_1\cdot\delta$. Da $r$ minimal ist, tritt einer
    der folgenden beiden F\"alle ein:
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item $d_{parab}((x_0,t_2),(x_1,t_1))\ge\frac1{c_2}r$ f\"ur ein
      $c_2=c_2(n)>0$: Nach Wahl von $x_0$ ist
      $d_{parab}((x_0,t_2),(x_2,t_2))\le c\cdot\delta$. Somit folgt f\"ur
      gro\ss{}es $c_1$
      \begin{align*}
        d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))\ge&\,d_{parab}((x_1,t_1),(x_0,t_2))
        -d_{parab}((x_0,t_2),(x_2,t_2))\umbruch\\
        \ge&\,\frac1{c_2}r-c\delta\ge\frac1{2c_2}r.
      \end{align*}
    \item $d_{parab}((x_0,t_2),(x_2,t_2))\ge\frac1{c_2}r$: Dann
      erhalten wir \[c(n)\delta\ge
      d_{parab}((x_2,t_2),(x_0,t_2))\ge\frac1{c_2}r\ge\frac{c_1}{c_2}\delta.\]
      Dieser Fall tritt also gar nicht ein, wenn wir $c_1$ gro\ss{}
      genug w\"ahlen.
    \end{enumerate}
    Somit sind $r$ und $d_{parab}((x_1,t_1),(x_2,t_2))$ vergleichbar.
  \end{enumerate}
    Die Behauptung folgt.  \qedhere
\end{proof}

\bibliographystyle{amsplain} \def\emph#1{\textit{#1}}
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\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
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  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{CaffarelliCabre}
Luis~A. Caffarelli and Xavier Cabr{\'e}, \emph{Fully nonlinear elliptic
  equations}, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol.~43,
  American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.

\bibitem{Federer}
Herbert Federer, \emph{Geometric measure theory}, Die Grundlehren der
  mathematischen Wissenschaften, Band 153, Springer-Verlag, New York, 1969.

\bibitem{CGPDE}
Claus Gerhardt\weg{CGPDE}, \emph{{Partielle Differentialgleichungen}},
  1997-1998, Vorlesungsmitschrift.

\bibitem{GT}
David Gilbarg and Neil~S.\weg{GT} Trudinger, \emph{Elliptic partial
  differential equations of second order}, second ed., Grundlehren der
  Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical
  Sciences], vol. 224, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

\bibitem{AnjaGrabow}
Anja\weg{AnjaGrabow} Grabow, \emph{{Schwache Harnackungleichung unter
  Dirichletrandwerten und messbaren Koeffizienten f\"ur parabolische
  Differentialgleichungen zweiter Ordnung, {\rm Bachelorarbeit, Freie
  Universit\"at Berlin, 46 S., 2008.}}}

\bibitem{JostPDE}
J{\"u}rgen Jost, \emph{Partial differential equations}, Graduate Texts in
  Mathematics, vol. 214, Springer-Verlag, New York, 2002.

\bibitem{LiebermanBook}
Gary~M. Lieberman, \emph{Second order parabolic differential equations}, World
  Scientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, 1996.

\bibitem{OSPDEIa}
Oliver~C. Schn\"urer\weg{OSFA}, \emph{{Partielle Differentialgleichungen Ia}},
  2013, Skript zur Vorlesung.

\end{thebibliography}

\end{document}
