% 
% Partielle Differentialgleichungen II
% Oliver Schn\"urer
%
% FU Berlin, Winter 2004/2005, Sommer 2009
% Konstanz, Winter 2011/12, Sommer 2013, Winter 2013/2014, Sommer
% 2017, Winter 2022/2023 
%
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   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Partielle Differentialgleichungen II}

% Information for first author
\author[Partielle Differentialgleichungen II]{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Mathematik, Universit\"at Konstanz}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeehome{@uni-konstanz.de}
%\email{Oliver.Schnuerer\amSeehome}
%\thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Vielen Dank insbesondere an 
  Daniel Bartl, 
  Friederike Dittberner, 
  Anja Grabow,
  Stefan H\"olle, 
  Felix Jachan,
  Lothar Sebastian Krapp,
  Wolfgang Maurer,
  Thilo Notz,
  David Palosch,
  Lena Reichle und
  Paul Stephan
  f\"ur zahlreiche Korrekturen und an 
  Elisabeth Greiler 
  f\"ur das Setzen einiger Abschnitte.}


% General info
\subjclass[2000]{35-01, 35J25, 35K20}
% 35-xx Partial differential equations 35-01 Instructional exposition
% (textbooks, tutorial papers, etc.)  35A05 General existence and
% uniqueness theorems 35A08 Fundamental solutions 35A15 Variational
% methods 35B05 General behavior of solutions of PDE (comparison
% theorems; oscillation, zeros and growth of solutions; mean value
% theorems) 35B45 A priori estimates 35B50 Maximum principles 35B65
% Smoothness and regularity of solutions of PDE 35C05 Solutions in
% closed form 35J05 Laplace equation, reduced wave equation
% (Helmholtz), Poisson equation [See also 31Axx, 31Bxx] 35K05 Heat
% equation
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{$L^2$-Theorie, Schaudertheorie, Eigenwerte, Laplace, 
  Maximumprinzip, Harnackungleichung} 

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu Partielle
  Differentialgleichungen II. Die Vorlesung beinhaltet zwei gro\ss{}e
  Theoriebl\"ocke und kleinere Resultate.
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents

\section*{Einordnung}
Einige wichtige Theoriebl\"ocke im Bereich der linearen elliptischen
und parabolischen partiellen Differentialgleichungen sind
\begin{itemize}
\item $L^2$- und $L^p$-Theorie,
\item Schaudertheorie (auch f\"ur Operatoren in Divergenzform),
\item De Giorgi-Nash-Moser (Moser Iteration und Regularit\"atstheorie
  von Ennio De Giorgi und John F. Nash Jr.) und
\item Krylov-Safonov Absch\"atzungen. 
\end{itemize}
Wir werden hier die elliptische $L^2$-Theorie und die elliptische
Schaudertheorie kennen lernen.

Die zugeh\"origen Absch\"atzungen besagen \"ublicherweise, dass
L\"osungen der Differentialgleichungen zweimal mehr differenzierbar
sind als die rechte Seite, falls dies auch f\"ur die Randwerte
gilt. Es h\"angt von der betrachteten Gleichung ab, welche Theorie
anwendbar ist. H\"aufiger sind mehrere davon nacheinander
anzuwenden. Mit Hilfe dieser Theorien kann man Existenzresultate
beweisen.


\section{\texorpdfstring{$L^2$-Theorie}{L2-Theorie}}

\subsection{Variationeller Existenzbeweis}
In der Funktionalanalysis haben wir mit Hilfe des Satzes von
Lax-Milgram die Existenz einer schwachen L\"osung gezeigt. Hier
f\"uhren wir noch einen alternativen Existenzbeweis. 

Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.
Sei $f\in L^2(\Omega)$. Wir suchen eine schwache L\"osung $u\in
W^{1,2}$ von
\[\begin{cases}
  \Delta u=f &\text{in }\Omega,\\
  u=0&\text{auf }\partial\Omega, 
\end{cases}\] \dh ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$
mit \[\int\limits_\Omega \langle\nabla u,\nabla\phi\rangle
+f\phi=0\quad\text{f\"ur alle }\phi\in W^{1,2}_0(\Omega).\]
(Vergleiche dies mit der Definition der schwachen Ableitung. Auch hier
gen\"ugt es, die Gleichheit f\"ur $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$ zu
fordern, da sie sonst durch Approximation folgt.)  Dazu wollen
wir \[I(u):=\int\limits_\Omega \tfrac12|\nabla u|^2+fu\] unter allen
Funktionen $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$ minimieren. \par
Sei $g\in W^{1,2}(\Omega)$. Minimiert man nun $I$ unter allen
Funktionen $u$ mit $u-g\in W^{1,2}_0(\Omega)$, so kann man auch noch
eine Randbedingung $u=g$ erhalten.

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u_k\schwachto
  u$ eine schwach konvergente Folge in $W^{1,2}_0(\Omega)$. Dann
  gilt \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega |\nabla u_k|^2
  \ge \int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
  Auf $W^{1,2}_0(\Omega)$ ist (die Wurzel von)
  $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$ eine zu $\int\limits_\Omega|\nabla
  u|^2+\int\limits_\Omega u^2$ \"aquivalente Norm und ist vom
  Skalarprodukt $\langle u,v\rangle =\int\limits_\Omega \langle \nabla
  u,\nabla v\rangle$ induziert. \par 
  Sei $X$ ein Banachraum und seien $\Vert\cdot\Vert_1$ und
  $\Vert\cdot\Vert_2$ zwei \"aquivalente Normen auf $X$. Dann
  konvergiert eine Folge genau dann schwach bez\"uglich der Norm
  $\Vert\cdot\Vert_1$, wenn sie bez\"uglich der Norm
  $\Vert\cdot\Vert_2$ schwach konvergiert: Da die Normen \"aquivalent
  sind, stimmen die stetigen Funktionale auf $X$ f\"ur beide Normen
  \"uberein. \par 
  Die Behauptung folgt nun aus der Unterhalbstetigkeit der Norm bei
  schwacher Konvergenz.
\end{proof}
Einfacher w\"are es, wenn wenn $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$
bez\"uglich der schwachen Topologie stetig w\"are, denn dann g\"alte
Gleichheit in \[\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
\underset{\text{i.\,a.}}\ne\int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
Unterhalbstetigkeit des Funktionals gen\"ugt jedoch um
einen Minimierer zu finden. 

Sei nun $(u_k)_k$, $u_k\in W^{1,2}_0(\Omega)$, eine Minimalfolge f\"ur
$I(u)$, \dh es gelte
\[\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k)= \inf\limits_{u\in
  W^{1,2}_0(\Omega)} I(u).\] Im folgenden werden wir h\"aufiger
$\int\limits_\Omega |\nabla u|^2\ge\lambda \int\limits_\Omega u^2$
f\"ur ein $\lambda=\lambda(\Omega)>0$ verwenden.

Zun\"achst wollen wir nachweisen, dass das betrachtete Infimum endlich
ist. Es gilt 
\[I(u)=\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +fu
\ge\frac12\lambda\int\limits_\Omega u^2 -\frac\epsilon2
\int\limits_\Omega u^2 -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\ge
-\frac1{2\epsilon}\Vert f\Vert^2_{L^2(\Omega)}>-\infty,\] falls
$\epsilon>0$ klein genug ist. \par
Mit einer analogen Rechnung k\"onnen wir die $W^{1,2}$-Norm der
$u_k$'s gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anken: Aufgrund der
Minimalfolgeneigenschaft gilt
\begin{align*}
  c\ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2+\int\limits_\Omega
  fu_k \ge\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon2\int\limits_\Omega u_k^2
  -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\umbruch\\
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon{2\lambda}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
  -\int\limits_\Omega\frac1{2\epsilon}f^2.
\end{align*}
Nun w\"ahlen wir $\epsilon>0$ klein und bringen den
$\int\limits_\Omega f^2$-Term auf die linke Seite. Die Behauptung
folgt. Aufgrund der \"Aquivalenz der Normen mit und ohne $L^2$-Term
auf $W^{1,2}_0$ ist auch $\int\limits_\Omega u_k^2$ gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt. \par
Nach Banach-Alaoglu besitzt $u_k$ also eine Teilfolge (wir benennen
nicht um), die in $W^{1,2}$ schwach gegen $u$ konvergiert. Nach
Definition ist $W^{1,2}_0$ ein abgeschlossener Unterraum von
$W^{1,2}$. Ein abgeschlossener Unterraum ist, wie man durch Testen mit
einem Vektor aus dem orthogonalen Komplement sieht, auch unter
schwacher Konvergenz abgeschlossen. Daher hat auch der Grenzwert $u$
wieder Randwerte Null. Da $W^{1,2}_0\Subset L^2$ ist, d\"urfen wir
weiterhin annehmen, dass diese Folge in $L^2(\Omega)$ (schwach) gegen
$u$ konvergiert. Somit ist
\begin{align*}
  \inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)} I(w)
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k) =\lim\limits_{k\to\infty}
  \left(\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
    +\int\limits_\Omega fu_k\right)\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  +\int\limits_\Omega fu
  \ge\liminf_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2 
  +\int\limits_\Omega fu\umbruch\\ 
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +\int\limits_\Omega fu
  =I(u)\ge\inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)}I(w)
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit. $u$ minimiert also $I$ in $W^{1,2}_0$
und die Euler-Lagrange-Gleichung besagt gerade, dass $u$ eine schwache
L\"osung ist: Sei $v\in W^{1,2}_0(\Omega)$. Wir erhalten
\begin{align*}
  0=&\,\left.\frac d{dt}I(u+tv)\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\frac d{dt}\left.\int\limits_\Omega\frac 12 \left(|\nabla u|^2
      +2t\langle\nabla u,\nabla v\rangle +|\nabla v|^2\right)
    +fu+tfv\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega\langle\nabla u,\nabla v\rangle +fv.
\end{align*}

Damit haben wir folgendes bewiesen:
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in L^2$. Dann
  gibt es ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$, das das
  Funktional \[I(u)=\int\limits_\Omega \frac12|\nabla u|^2+fu\]
  minimiert und $u$ ist eine schwache L\"osung von \[
  \begin{cases}
    \Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
    u=0&\text{auf }\partial\Omega. 
  \end{cases}
  \]
\end{theorem}

\subsection{Regularit\"at}\label{reg L2}

\begin{remark}[Motivation]
Gelte $-\Delta u=f$ in $\R^n$. Sei $u$ glatt und falle im
Unendlichen schnell genug ab. Dann gilt
\begin{align*}
\int\limits_{\R^n}f^2=&\int\limits_{\R^n}(\Delta u)^2
=\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ii}u_{jj}
=-\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{iij}u_j\\
=&\sum\limits_{i,j}\int\limits_{\R^n}u_{ij}u_{ij}
=\int\limits_{\R^n}\left\vert D^2u\right\vert^2.
\end{align*}
Somit folgt
$$\Vert f\Vert_{L^2}=\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^2}.$$
Das Problem dabei ist, dass wir benutzt haben, dass
$u\in C^3$ ist. Dies ist sp\"ater durch Absch\"atzungen
von Differenzenquotienten zu rechtfertigen.
Durch Differenzieren der Gleichung und \"ahnliche
Rechnungen kommt man auf Absch\"atzungen der Form
$$c\cdot\Vert Df\Vert_{L^2}\ge\left\Vert D^3u\right\Vert_{L^2}$$
mit entsprechenden Verallgemeinerungen f\"ur h\"ohere
Ableitungen. Wenn man dies lange genug fortsetzt, besteht die
Hoffnung, dass man mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungss\"atze
Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen in $L^p$ f\"ur $p\gg1$ und damit
dann H\"olderstetigkeit der Funktion $u$ beweisen kann. Dies
funktioniert f\"ur glatte Daten.

Hier gilt die Faustregel, dass L\"osungen von
elliptischen Differentialgleichungen zweimal h\"aufiger
differenzierbar sind als die rechte Seite.
\end{remark}

\subsection{Generalvoraussetzungen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung der
Differentialgleichung $Lu=f$ in Divergenzform,
$$Lu=-\left(a^{ij}u_i\right)_j+b^iu_i+du,$$
mit
\begin{itemize}
\item gleichm\"a\ss{}ig elliptischem (aber nicht notwendigerweise
  symmetrischem) $a^{ij}$,
\item $a^{ij}$, $b^i$, $d\in L^\infty(\Omega)$.
\end{itemize}

\subsection{\texorpdfstring{Innere $H^2$-Regularit\"at}{Innere H2-Regularit\"at}}
\begin{theorem}[Innere $H^2$-Regularit\"at]
\label{innere H2 thm}
Sei $a^{ij}\in C^1(\Omega)$, $f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in
H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^2_\text{loc}(\Omega)$ und f\"ur alle offenen
Teilmengen $\Omega'\Subset\Omega$ gilt
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(\Omega',\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item W\"ahle $\Omega''\Subset\Omega$ offen, so dass
$$\Omega'\Subset\Omega''\subset\Omega$$
ist und eine glatte Abschneidefunktion $\zeta$, so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{in }\Omega',\\
\zeta\equiv0&\text{in }\R^n\setminus\Omega'',\\
0\le\zeta\le 1.
\end{cases}$$
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\quad\forall\,v\in H^1_0(\Omega),$$
wobei $\tilde f:=f-b^iu_i-du$.
\item Sei $|h|>0$ klein, $1\le k\le n$. W\"ahle
$$v:=-D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
Das Quadrat in der Abschneidefunktion ist sp\"ater n\"utzlich.
Diese Wahl von $v$ ist durch den glatten Fall motiviert. Da aber
nicht bekannt ist, dass zweite Ableitungen von $u$ in der 
Testfunktion erlaubt sind, ist diese Testfunktion mit
Differenzenquotienten n\"otig.

Setze
\begin{align*}
  A:=&\,\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j,\umbruch\\
  B:=&\,\int\limits_\Omega\tilde fv.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $A$:
\begin{align*}
  A=&\,-\int\limits_\Omega a^{ij}u_i\left[D^{-h}_k\left(\zeta^2
      D^h_ku\right)\right]_j\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega D^h_k\left(a^{ij}u_i\right)
  \left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,\umbruch \intertext{da Ableitung und
    Differenzenquotientenbildung kommutieren und mit Hilfe
    ``partieller Integration'' f\"ur Differenzenquotienten}\umbruch
  =&\,\int\limits_\Omega a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(\zeta^2
    D^h_ku\right)_j+\left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(\zeta^2D^h_ku\right)_j,
\end{align*}
da mit $v^h(x):=v(x+he_k)$ die folgende ``Produktregel'' gilt:
$$D^h_k(vw)=v^hD^h_kw+wD^h_kv.$$
Weiter folgt
\begin{align*}
  A=&\,\int\limits_\Omega
  a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku_j\right)
  \zeta^2\\
  &\,+\int\limits_\Omega
  a^{ij,h}\left(D^h_ku_i\right)\left(D^h_ku\right) 2\zeta\zeta_j+
  \left(D^h_ka^{ij}\right)u_iD^h_ku_j\zeta^2+
  \left(D^h_ka^{ij}\right)u_i\left(D^h_ku\right)2\zeta\zeta_j\umbruch\\
  \equiv&\,A_1+A_2.
\end{align*}
Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at folgt
$$A_1\ge\theta\int\limits_\Omega\zeta^2\left\vert
  D^h_kDu\right\vert^2.$$ Nach Voraussetzung an die Koeffizienten
folgt f\"ur $0<\epsilon\le 1$, wobei wir $\epsilon\le 1$ ohne
Einschr\"ankung annehmen,
\begin{align*}
  |A_2|\le&\,c\cdot\int\limits_\Omega\zeta\left|D^h_kDu\right|
  \left|D^h_ku\right|+\zeta\left|D^h_kDu\right||Du|
  +\zeta\left|D^h_ku\right||Du|\umbruch\\
  \le&\,\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2 +\frac
  c\epsilon\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2 +|Du|^2\text{
    (Cauchy)}.
\end{align*}
Setze $\epsilon=\frac\theta2$ und benutze, dass
$$\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2\le c\cdot
\int\limits_\Omega|Du|^2$$
ist. Es folgt
\begin{align*}
  |A_2|\le&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|
    D^h_kDu\right|^2+c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2\umbruch
  \intertext{und}
  A\ge&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
  -c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2.
\end{align*}
\item Absch\"atzungen f\"ur $B$: Wir nehmen weiterhin ohne
  Einschr\"ankung $0<\epsilon\le1$ an.  Zun\"achst einmal gilt nach
  Definition und Cauchyscher Ungleichung
$$|B|\le\int\limits_\Omega\left|\tilde f\right||v|\le
c\cdot\int\limits_\Omega(|f|+|Du|+|u|)|v|
\le\epsilon\int\limits_\Omega v^2 +\frac c\epsilon\int\limits_\Omega
\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).$$ Weiterhin erhalten wir nach Wahl von
$v$
\begin{align*}
  \int\limits_\Omega|v|^2=&\,\int\limits_\Omega\left|
    D^{-h}_k\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_\Omega
  \left|D\left(\zeta^2D^h_ku\right)\right|^2
  \umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_{\Omega''}\left|D^h_ku\right|^2
  +\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\int\limits_\Omega|Du|^2
  +\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2. 
\end{align*}
Somit folgt 
$$|B|\le\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2\right)
+\frac c\epsilon\int\limits_\Omega|Du|^2.$$
\item Sei ohne Einschr\"ankung $\theta\le1$. 
Wir w\"ahlen nun speziell $\epsilon=\frac\theta4$ und erhalten 
mit Hilfe der letzten beiden Beweisteile
\begin{align*}
\frac\theta4\int\limits_{\Omega'}\left|D^h_kDu\right|^2\le&
\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2\umbruch\\
\le&c\cdot\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right)
\end{align*}
f\"ur $1\le k\le n$ und $|h|\neq0$ gen\"ugend klein. Aufgrund der
gleichm\"a\ss{}igen Schranken an die Differenzenquotienten folgt
daher 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
Durch Dazwischenschachteln einer weiteren Menge,
$$\Omega'\Subset\tilde\Omega\Subset\Omega,$$
erhalten wir 
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
+\Vert u\Vert_{H^1\left(\tilde\Omega\right)}\right).$$
Bis auf die $H^1$-Norm von $u$ auf der rechten Seite statt der
$L^2$-Norm ist dies gerade die gew\"unschte Ungleichung. 
Dies wollen wir im letzten Schritt noch korrigieren.
\par
(Alternativ zu diesem letzten Schritt kann man auch benutzen, dass
(bei gen\"ugend regul\"ar gew\"ahlten Gebieten) insbesondere die erste
der Einbettungen $H^2\hookrightarrow H^1\hookrightarrow L^2$ kompakt
ist und wir somit eine Absch\"atzung der Form \[\Vert w\Vert_{H^1}\le
\epsilon\cdot \Vert w\Vert_{H^2} +c(\epsilon)\cdot\Vert w\Vert_{L^2}\]
haben.)
\item Sei $\zeta$ eine neue Abschneidefunktion mit 
$$\begin{cases}
\zeta\equiv 1&\text{auf }\tilde\Omega,\\
\supp\zeta\subset\Omega,&\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Es gilt f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v.$$
Wir w\"ahlen speziell $v=\zeta^2u$ und erhalten
\begin{align*}
  \int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=&\,\int\limits_\Omega
  a^{ij}u_i\left(\zeta^2u\right)_j\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega a^{ij}u_iu_j\zeta^2+
  2a^{ij}u_iu\zeta\zeta_j\umbruch\\
  \ge&\,\theta\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
  -\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2 -\frac
  c\epsilon\int\limits_\Omega u^2.
\end{align*}
F\"ur die andere Seite erhalten wir
\begin{align*}
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)v=&\,
\int\limits_\Omega\left(f-b^iu_i-du\right)\zeta^2u\umbruch\\
\le&\,\epsilon\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2+c(\epsilon)\cdot
\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).
\end{align*}
Wir w\"ahlen nun $\epsilon>0$ klein und erhalten
$$\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2|Du|^2
\le c\cdot\int\limits_\Omega\left(u^2+f^2\right).$$
Dies bauen wir in die Absch\"atzung aus dem letzten 
Abschnitt ein und bekommen die gew\"unschte Absch\"atzung
\[\Vert u\Vert_{H^2(\Omega')}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).\qedhere\]
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist $u\in H^2_{\text{loc}}$, so k\"onnen wir partiell integrieren
  und erhalten
  $$\int\limits_\Omega Lu\phi=\int\limits_\Omega f\phi
  \quad\text{f\"ur alle }\phi\in C^\infty_c(\Omega).$$ Hieraus folgt
  nach Du Bois-Reymond $Lu=f$ fast \"uberall in $\Omega$.
\end{remark}

\subsection{H\"ohere Regularit\"at}
\begin{theorem}[H\"ohere innere Regularit\"at]
Sei $0<m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&\,C^{m+1}(\Omega),\umbruch\\
f\in&\,H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann ist $u\in H^{m+2}_{\text{loc}}(\Omega)$ und f\"ur alle
$\Omega'\Subset\Omega$ gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,\Omega',L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Wir f\"uhren einen Induktionsbeweis. 
Theorem \ref{innere H2 thm} ist dabei der Induktionsanfang. 

F\"ur den Induktionsschritt ``$m\to m+1$'' d\"urfen wir annehmen, dass
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,d\in&\,C^{m+2}(\Omega),\\
f\in&\,H^{m+1}(\Omega)
\end{align*}
gelten und $u\in H^1$ eine schwache L\"osung von
$$Lu=f\text{ in }\Omega$$
ist. Nach Induktionsannahme ist dann auch
$u\in H^{m+2}_\text{loc}(\Omega)$ mit 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}\left(\tilde\Omega\right)}\le
c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+
\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
f\"ur alle $\tilde\Omega\Subset\Omega$ mit
$c=c\left(m,\tilde\Omega,\Omega,L\right)$. Wir fixieren nun
$$\Omega'\Subset\tilde\Omega\Subset\Omega.$$
Sei $\alpha$ ein Multiindex mit $|\alpha|=m+1$,
$\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde\Omega\right)$ eine
Testfunktion. Definiere
$$v:=(-1)^{|\alpha|}D^\alpha\tilde v\in C^\infty_c\left(\tilde
\Omega\right).$$
Definiere $B:H^1_0(\Omega)\times H^1_0(\Omega)\to\R$ durch
\[B[u,w]:=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iw_j+b^iu_iw +duw.\] Wir erhalten
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv.$$
Durch partielle Integration und Umordnen der Terme folgt 
$$B[\tilde u,\tilde v]=\int\limits_\Omega\tilde f\tilde v
\quad\text{mit}\quad
\tilde u:=D^\alpha u\in H^1\left(\tilde\Omega\right)$$
und
\begin{align*}
\tilde f:=&\,D^\alpha f
-\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\beta\le\alpha}{\beta\neq\alpha}}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
\left\{-\left(D^{\alpha-\beta}a^{ij}D^\beta u_i\right)_j+
D^{\alpha-\beta}b^iD^\beta u_i+D^{\alpha-\beta}dD^\beta u\right\}. 
\end{align*}
Diese Darstellung folgt direkt aus der Leibnizformel
$$D^\alpha(uv)=\sum\limits_{\beta\le\alpha}
\genfrac(){0pt}{}\alpha\beta
D^\beta uD^{\alpha-\beta}v.$$
Somit ist $\tilde u$ eine schwache L\"osung von 
$$L\tilde u=\tilde f\text{ in }\tilde\Omega.$$
Nach Induktionsannahme und Definition von $\tilde f$ folgt 
$\tilde f\in L^2\left(\tilde\Omega\right)$ mit
$$\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
\le c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Nach Theorem \ref{innere H2 thm} erhalten wir nun
\begin{align*}
\Vert\tilde u\Vert_{H^2(\Omega')}\le&\,c
\cdot\left(\left\Vert\tilde f\right\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}
+\Vert\tilde u\Vert_{L^2\left(\tilde\Omega\right)}\right)\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).
\end{align*}
Da nun aber $\tilde u=D^\alpha u$ mit $|\alpha|=m+1$ gilt,
folgt 
$$\Vert u\Vert_{H^{m+3}(\Omega')}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^{m+1}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
\end{proof}

\begin{theorem}[Schwache L\"osungen sind bei glatten Daten glatt]
Seien
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&\,C^\infty(\Omega),\\
f\in&\,C^\infty(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1(\Omega)$ eine schwache L\"osung von 
$$Lu=f\text{ in }\Omega.$$
Dann gilt
$$u\in C^\infty(\Omega).$$
\end{theorem}

\begin{proof}
  Benutze innere Absch\"atzungen und Einbettungss\"atze.
\end{proof}

\begin{remark}
Am Rand kann $u$ aber trotzdem singul\"ar werden.
\end{remark}

\subsection{Randregularit\"at}
Bei glatten Daten erhalten wir $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

\begin{theorem}[$H^2$-Regularit\"at am Rand]
\label{H2 rand}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^2$. 
Seien $a^{ij}\in C^1\left(\ol\Omega\right)$, $b^i$, $d\in L^\infty
(\Omega)$ und $f\in L^2(\Omega)$. Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine
schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega,
\end{cases}$$
so gilt $u\in H^2(\Omega)$ mit der Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),$$
wobei $c=c(\Omega,L)$. 
\end{theorem}

\begin{remark}\label{ul2 weg}
  Ist $u\in H^1_0$ die einzige L\"osung des Randwertproblems, so gilt
  aufgrund der Absch\"atzungen an die Inverse sogar
  $$\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le c\cdot\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}.$$
  Der Operator kann aber einen nichttrivialen Kern in besitzen.  Dann
  wird solch eine Absch\"atzung falsch.
  % Details finden sich in \cite[Kapitel 6.2.3, Theorem 6]{EvansPDE}. 
\end{remark}
\begin{proof}
  Wir zeigen die Aussage f\"ur den Fall, dass das Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    Lu=f&\text{in }\Omega,\\
    u=0&\text{auf }\partial\Omega
  \end{cases}
  \]
  f\"ur jedes $f\in L^2(\Omega)$ eine L\"osung besitzt. (Beachte, dass
  die Eindeutigkeit der L\"osung unabh\"angig von $f$ und \"aquivalent
  zu $\ker L\neq\{0\}$ ist.)  W\"are die Aussage falsch, so w\"are
  $L^{-1}:L^2(\Omega)\to H^2(\Omega)$, $f\mapsto u$, nicht stetig. Es
  g\"abe also Folgen $\big(\tilde f_k\big)_k$ und $(\tilde u_k)_k$ mit
  $\big\Vert\tilde f_k\big\Vert_{L^2(\Omega)}=1$ und $\Vert\tilde
  u_k\Vert_{H^2(\Omega)}\to\infty$, wobei $\tilde u_k\in
  H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ die L\"osung von $L\tilde u_k=\tilde
  f_k$ ist. Wegen der Absch\"atzung \[\Vert u\Vert_{H^2(\Omega)}\le
  c\cdot(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)} +\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)})\]
  (aus Theorem \ref{H2 rand}) folgt auch $\Vert\tilde
  u_k\Vert_{L^2(\Omega)}\to\infty$. Nach Umnormierung erhalten wir
  Folgen $(u_k)_k$ und $(f_k)_k$ mit $\Vert u_k\Vert_{L^2(\Omega)}=1$
  und $\Vert f_k\Vert_{L^2(\Omega)}\to0$. Nach Theorem \ref{H2 rand}
  folgt $\Vert u_k\Vert_{H^2(\Omega)}\le c$. Eine nicht umbenannte
  Teilfolge erf\"ullt $u_k\rightharpoondown u$ in $H^2(\Omega)$.
  F\"ur diese Teilfolge erhalten wir nach Rellich $u_k\to u$ in
  $H^1_0(\Omega)$ und in $L^2(\Omega)$ mit einem $u\in H^2$. Es gilt
  $\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}=1$. Nun k\"onnen wir aufgrund der
  $H^1$-Konvergenz in der schwachen Formulierung zum Grenzwert
  \"ubergehen. Somit ist $u$ eine schwache L\"osung von $Lu=0$ mit
  $u\in H^1_0(\Omega)$. Aufgrund der eindeutigen L\"osbarkeit des
  Randwertproblems folgt $u\equiv0$. Dies widerspricht aber $\Vert
  u\Vert_{L^2(\Omega)}=1$. \par Die Stetigkeit von $L^{-1}$ ist genau
  die behauptete Absch\"atzung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{H2 rand}]
\neueZeile
\begin{enumerate}
\item Betrachte zun\"achst die aufgebogene Situation. Sei
$\Omega=B_1(0)\cap\R^n_+$. (Auf kleineren Kugeln funktioniert die
Absch\"atzung analog.) Definiere $V:=B_{1/2}(0)\cap\R^n_+$.
Sei $\epsilon>0$ klein und $\zeta$ eine glatte Abschneidefunktion,
so dass
$$\begin{cases}
\zeta\equiv1&\text{auf }B_{1/2}(0),\\
\zeta\equiv0&\text{auf }\R^n\setminus B_{1-\epsilon}(0),\\
0\le\zeta\le1.
\end{cases}$$
Dann ist $\zeta=1$ auf der Menge $V$ und es gilt $\zeta=0$
in einer Umgebung des nicht ebenen Teiles von $\partial\Omega$. 
\item Da $u$ eine schwache L\"osung ist, folgt
$$B[u,v]=\int\limits_\Omega fv$$
f\"ur alle $v\in H^1_0(\Omega)$. 
Wir definieren
$$\tilde f:=f-b^iu_i-du$$
und erhalten
$$\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv.$$
\item Sei nun $|h|>0$ klein. Definiere f\"ur $1\le k\le n-1$
$$v:=-D_k^{-h}\left(\zeta^2D^h_ku\right).$$
F\"ur $x\in\Omega$ erhalten wir also
\begin{align*}
v(x)=&\,-\frac1hD^{-h}_k\left(\zeta^2(x)
  [u(x+he_k)-u(x)]\right)\umbruch\\ 
=&\,\frac1{h^2}\left(\zeta^2(x-he_k)[u(x)-u(x-he_k)]
-\zeta^2(x)[u(x+he_k)-u(x)]\right).
\end{align*}
Da $u$ und somit auch $\zeta^2u$ durch Funktionen mit kompaktem
Tr\"ager approximierbar ist, gilt $v=0$ im Spursinn auf $\{x^n=0\}$
und $\zeta\equiv0$ in einer Umgebung des sph\"arischen Teiles von
$\partial\Omega$.  Daher ist $v\in H^1_0(\Omega)$. Somit ist $v$ eine
zul\"assige Testfunktion und wir erhalten
$$A\equiv\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j=\int\limits_\Omega\tilde fv
\equiv B.$$
\item Analog zum Beweis der inneren Regularit\"at (Details: \"Ubung)
erhalten wir
\begin{align*}
A\ge&\,\frac\theta2\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
-c\int\limits_\Omega|Du|^2,\umbruch\\
|B|\le&\,\frac\theta4\int\limits_\Omega\zeta^2\left|D^h_kDu\right|^2
+c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right),\umbruch\\
\int\limits_V\left|D^h_kDu\right|^2\le&\,
c\int\limits_\Omega\left(f^2+u^2+|Du|^2\right).
\end{align*}
Daher erhalten wir wie beim Beweis der inneren Regularit\"at
$$\sum\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{k,l}{k+l<2n}}
\Vert u_{kl}\Vert_{L^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right).$$
\item $u_{nn}$-Absch\"atzungen: Aus der Funktionalanalysis wissen wir:
  $u\in H^1(\Omega)$ und $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ impliziert
  $\zeta u\in H^1(\Omega)$. Als \"Ubung lassen wir, sich zu
  \"uberlegen, dass dies auch noch im Falle $\zeta\in
  C^1\left(\ol\Omega\right)$ gilt. \par Aufgrund der inneren
  Absch\"atzungen gilt
$$Lu=f\text{ fast \"uberall in }\Omega.$$
Da $a^{ij}\in C^1$ ist, k\"onnen wir die Differentialgleichung in
nicht-Di\-ver\-genz\-form umschreiben als
$$-a^{ij}u_{ij}+\tilde b^iu_i+du=f$$
mit $\tilde b^i:=b^i-a^{ij}_j.$ Wir erhalten
$$a^{nn}u_{nn}=-\sum\limits_{i+j<2n}a^{ij}u_{ij}
+\tilde b^iu_i+du-f$$
ohne Summenkonvention auf der linken Seite.
Wegen der gleichm\"a\ss{}igen Elliptizit\"at ist
$a^{nn}\ge\theta>0$ und wir erhalten aufgrund der obigen 
Ab\-sch\"atz\-un\-gen
\begin{align*}
  |u_{nn}|\le&\,c\cdot\left(\sum\limits_{i+j<2n}|u_{ij}|
    +|Du|+|u|+|f|\right),\umbruch\\
  \Vert u\Vert_{H^2(V)}\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
    +\Vert u\Vert_{H^1(\Omega)}\right),\umbruch\\
  \Vert u\Vert_{H^2(V)}\le&\,c\cdot\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
    +\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right),
\end{align*}
wobei wir im letzten Schritt die $H^1$-Norm wie am Ende des
Beweises von Theorem \ref{innere H2 thm} insbesondere durch die 
$L^2$-Norm abgesch\"atzt haben. Es gilt $u\in H^2(V)$.
\item Betrachte nun ein allgemeines Gebiet $\Omega$. Nach
Umbenennen der Koordinaten gilt f\"ur $x_0\in\partial\Omega$
f\"ur ein $r>0$
$$\Omega\cap B_r(x_0)=\left\{x\in B_r(x_0):
x^n>\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right)\right\},$$
wobei $\omega:\R^{n-1}\to\R$ eine $C^2$-Funktion ist. Gelte
ohne Einschr\"ankung $x_0=(0,\,\ldots,\,0,\,x^n_0)$.
Wir definieren nun die Aufbiegetransformation $\Phi$ durch
\begin{align*}
y^i:=&\,x^i\text{ f\"ur }i<n,\umbruch\\
y^n:=&\,x^n-\omega\left(x^1,\,\ldots,\,x^{n-1}\right),\umbruch\\
y=:&\,\Phi(x)
\end{align*}
und ihre Inverse $\Psi$ durch $x=:\Psi(y)$.
\item Sei nun $s>0$ so klein, dass
$$\Omega':=B_s(0)\cap\{y^n>0\}\subset
\Phi(\Omega\cap B_r(x_0))$$
ist. Definiere weiterhin 
$$V':=B_{s/2}(0)\cap\{y^n>0\}$$ 
und 
$$u'(y):=u(\Psi(y))\text{ f\"ur }y\in\Omega'.$$
Es gilt 
$$u'\in H^1(\Omega')$$
und 
$$u'=0\text{ auf }\partial\Omega'\cap\{y^n=0\}.$$
Dies folgt aus den Spurabsch\"atzungen f\"ur Sobolevfunktionen, da die
Transformation die $H^1$-Norm glatter Funktionen auch h\"ochstens um
eine Konstante \"andern kann. Die Gleichheit auf dem Rand gilt im
Spursinne und folgt aufgrund der Normabsch\"atzung f\"ur den
Spuroperator und da $H^1_0=\ol{C^\infty_c}^{H^1}$ ist.
\item Wir behaupten, dass $u'$ eine schwache L\"osung
der Gleichung 
$$L'u'=f'\text{ in }\Omega'$$
ist, wobei
\begin{align*}
  f'(y):=&f\,(\Psi(y)),\umbruch\\
  L'u':=&\,-\left(a'^{kl}u'_k\right)_l+b'^ku'_k+d'u',\umbruch
  \intertext{mit Ableitungsindices bez\"uglich $y$}
  a'^{kl}(y):=&\,a^{rs}(\Psi(y))
  \Phi^k_r(\Psi(y))\Phi^l_s(\Psi(y)),\umbruch\\ 
  b'^k(y):=&\,b^r(\Psi(y))\Phi^k_r(\Psi(y)),\umbruch\\
  d'(y):=&\,d(\Psi(y)).
\end{align*}
Ist $v'\in H^1_0(\Omega')$ und $B'[\cdot,\cdot]$ die zu
$L'$ geh\"orige Bilinearform, so gilt
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}
a'^{kl}u'_kv'_l+b'^ku'_kv'+d'u'v'.$$
Definiere $v(x):=v'(\Phi(x))$. Wir erhalten 
$$B'[u',v']=\int\limits_{\Omega'}a'^{kl}u_i\Psi^i_k
v_j\Psi^j_l+\int\limits_{\Omega'}b'^ku_i\Psi^i_kv
+\int\limits_{\Omega'}d'uv.$$
Es gilt aufgrund der Kettenregel, auf $\Psi\circ\Phi=\text{Id}$
angewandt,
$$a'^{kl}\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{rs}\Phi^k_r\Phi^l_s
\Psi^i_k\Psi^j_l=a^{ij}.$$
Es gilt
$$u'_k=u_i\Psi^i_k.$$
Weiterhin folgt
$$b'^k\Psi^i_k=b^r\Phi^k_r\Psi^i_k=b^i.$$
Da $|\det D\Phi|=1$ ist, folgt nach Variablentransformation
$$B'[u',v']=\int\limits_\Omega a^{ij}u_iv_j+b^iu_iv+duv
=B[u,v]=\int\limits_\Omega fv=\int\limits_{\Omega'}f'v'.$$
Daher l\"ost $u'$ in $\Omega'$ die Gleichung
$L'u'=f'$ im schwachen Sinne. 
\item Da $\Phi$ ein Diffeomorphismus ist, k\"onnen
wir die Elliptizit\"at der transformierten Gleichung 
wie folgt zeigen. Seien $y\in\Omega'$ und $\xi\in\R^n$.
Dann gilt
$$a'^{kl}(y)\xi_k\xi_l=a^{rs}(\Psi(y))\Phi^k_r\Phi^l_s
\xi_k\xi_l\ge\theta\cdot\left|\Phi^k_\cdot\xi_k\right|^2
\ge\theta'|\xi|^2.$$
Da $\Phi$ und $\Psi\in C^2$ sind, ist auch $a'^{kl}\in C^1$.
\item Wir k\"onnen also die Resultate f\"ur den aufgebogenen
Rand anwenden und erhalten
$$\Vert u'\Vert_{H^2(V')}\le c\cdot
\left(\Vert f'\Vert_{L^2(\Omega')}
+\Vert u'\Vert_{L^2(\Omega')}\right).$$
Durch R\"ucktransformation erhalten wir (unter Benutzung
von $\partial\Omega\in C^2$) f\"ur 
$V:=\Psi(V')$
$$\Vert u\Vert_{H^2(V)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{L^2(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right).$$
Ein \"Uberdeckungsargument f\"ur eine Randumgebung und 
innere Ab\-sch\"atz\-un\-gen liefern nun die behauptete Ungleichung.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[H\"ohere Randregularit\"at]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega\in C^{m+2}$. 
Seien $m\in\N$,
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^{m+1}\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&H^m(\Omega).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0$ eine schwache L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann ist $u\in H^{m+2}(\Omega)$ und es gilt die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{H^{m+2}(\Omega)}\le c\cdot
\left(\Vert f\Vert_{H^m(\Omega)}+\Vert u\Vert_{L^2(\Omega)}\right)$$
mit $c=c(m,\Omega,L)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Dies ist ein Induktionsbeweis wie beim Beweis der h\"oheren
inneren Regularit\"at. Benutze hierzu die Randabsch\"atzungen. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Wie in Bemerkung \ref{ul2 weg} k\"onnen wir auch hier wieder die
  $L^2$-Norm weglassen, wenn die L\"osung eindeutig bestimmt ist. Ist
  $m$ gro\ss{} genug, hat man eine klassische L\"osung und man kann
  $\Vert u\Vert_{L^2}\le c\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty}$ unter
  geeigneten Voraussetzungen auch mit Hilfe des klassischen
  Maximumprinzips beschr\"anken.
\end{remark}

\begin{theorem}[Glattheit bei glatten Daten]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, 
$\partial\Omega\in C^\infty$. Seien weiterhin
\begin{align*}
a^{ij},\,b^i,\,d\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
f\in&C^\infty\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
Sei $u\in H^1_0(\Omega)$ eine schwache L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Dann gilt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Es gilt $u\in H^m(\Omega)$ f\"ur alle $m\in\N$. Wende nun
die Einbettungss\"atze an.
\end{proof}

\section{Schaudertheorie}
Wir orientieren uns an \cite{CGPDE}, \cite{GT} und f\"ur die
Stetigkeitsmethode an \cite[Kapitel 10]{JostPDE}.\par
Juliusz Schauder (1899-1943) war polnischer Mathematiker.

Die hier hergeleiteten Potentialabsch\"atzungen werden wir f\"ur die
Schaudertheorie ben\"otigen.

\subsection{Grundlagen}

Wir benutzen wieder H\"olderr\"aume.

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $f:\Omega\to\R$ eine gegebene
  Funktion, $x_0\in\Omega$ und $0<\alpha<1$. Die Funktion $f$ heisst
  im Punkt $x_0$ h\"olderstetig mit Exponent $\alpha$, falls
  $$\limsup\limits_{\epsilon\searrow 0}
  \sup\limits_{x_0\neq x\in\Omega\cap
    B_\epsilon(x_0)}\frac{|f(x)-f(x_0)|} {|x-x_0|^\alpha}<\infty$$
  gilt. $f$ heisst in $\Omega$ h\"olderstetig, falls $f$ f\"ur alle
  $x\in\Omega$ h\"olderstetig ist, jeweils zum Exponenten
  $\alpha$. Wir schreiben $f\in C^\alpha(\Omega)$. Gilt die obige
  Absch\"atzung f\"ur $\alpha=1$, so heisst $f$ lipschitzstetig in
  $x_0$. Wir definieren $C^{k,\alpha}(\Omega)$ als den Raum der
  Funktionen $f\in C^k(\Omega)$, deren $k$-te partielle Ableitungen
  h\"olderstetig zum Exponenten $\alpha$ sind.

  Ist $$\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}\frac{|f(x)-f(y)|}
  {|x-y|^\alpha}<\infty,$$ so ist $f\in
  C^\alpha\left(\ol\Omega\right)$. Wir definieren auf diesem Raum eine
  Halbnorm durch
  $$[f]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}:=
  \sup\limits_{x\neq y\in\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$
  Eine Norm erhalten wir durch
  $$\Vert f\Vert_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}
  :=\Vert f\Vert_{C^0\left(\ol\Omega\right)}
  +[f]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}.$$ Sind die $k$-ten
  Ableitungen einer $C^k\left(\ol\Omega\right)$-Funktion sogar in
  $C^\alpha\left(\ol\Omega\right)$, so definieren wir auf diesem Raum
  eine Norm durch
  $$\Vert f\Vert_{C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}:=
  \Vert f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
  \left[D^\beta f\right]_{C^\alpha\left(\ol\Omega\right)}.$$ Es gilt
  $C^{0,\alpha}=C^\alpha$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und
  zu\-sam\-men\-h\"an\-gend und $\partial\Omega$ Lipschitz, so gibt es
  f\"ur alle $x$, $y\in\Omega$ einen $C^1$-Weg $\gamma:[0,1]\to\Omega$
  mit $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$ und L\"ange $L(\gamma)
  =\int\limits_0^1|\gamma'(t)|\,dt\le c(\Omega)\cdot|x-y|$
  (\"Ubung). In diesem Falle (au\ss{}er f\"ur $C^1\hookrightarrow
  C^{0,1}$ gilt dies auch f\"ur allgemeine beschr\"ankte offene Mengen
  $\Omega$) sind die folgenden Einbettungen stetig
  $$C^{1,\alpha}\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^1\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^{0,1}\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right).$$

  Daher sind die folgenden beiden Normen auf
  $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ \"aquivalent
  \begin{align*}
    \Vert f\Vert_{C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}=&\, \Vert
    f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
    \left[D^\beta f\right]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\umbruch
    \intertext{und}\umbruch &\,\Vert f\Vert_{C^k\left(\ol\Omega\right)}
    +\sum\limits_{|\beta|\le k}
    \left[D^\beta f\right]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_{|\beta|\le k} \Vert D^\beta
    f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}.
  \end{align*}
\end{remark}

Wir erhalten das folgende Resultat
\begin{lemma}\label{Hoelder prod lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Seien $f_1$, $f_2\in
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, so ist $f_1\cdot f_2\in
  C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ und es gilt
  $$[f_1f_2]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\le
  [f_1]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)} \sup\limits_\Omega|f_2|
  +[f_2]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)} \sup\limits_\Omega|f_1|.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
  Dies folgt direkt aus der folgenden Ungleichung
  $$\frac{|f_1(x)f_2(x)-f_1(y)f_2(y)|}{|x-y|^\alpha}\le
  \frac{|f_1(x)-f_1(y)|}{|x-y|^\alpha}|f_2(x)|
  +\frac{|f_2(x)-f_2(y)|}{|x-y|^\alpha}|f_1(y)|.$$
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $\omega_n=|B_1|$ in $\R^n$. Wir definieren die
  Fundamentall\"osung f\"ur die Laplacegleichung als
  $$\Gamma(x,y)\equiv\Gamma(x-y)\equiv\Gamma(|x-y|)
  =\begin{cases}
    \tfrac1{2\pi}\log|x-y|,&n=2,\\
    \frac1{n(2-n)\omega_n}|x-y|^{2-n},&n>2.
  \end{cases}$$
\end{definition}

Weiterhin ben\"otigen wir noch das folgende einfache Lemma.
\begin{lemma}\label{el pot est}
  Sei $E\subset\R^n$ messbar und sei $|E|$ das Ma\ss{} dieser Menge.
  Dann gilt f\"ur alle $x\in\R^n$, $0<\alpha<n$ und $n\ge2$
  $$\int\limits_E\frac1{|x-y|^{n-\alpha}}dy\le\frac{\omega_n}\alpha
  n\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{\alpha/n},$$ wobei
  $\omega_n=|B_1(0)|$ ist.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Sei ohne Einschr\"ankung $|E|<\infty$ und sei $B=B_R(x)$ eine Kugel
  mit gleichem Ma\ss{}, $|E|=|B|$, d.\,h.\ sei
  $R=\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{1/n}$. Definiere $\tilde
  B:=E\cap B$. Setze $r:=|x-y|$ f\"ur fixiertes $x\in\R^n$.  Wir
  erhalten die folgenden Absch\"atzungen
  \begin{align*}
    \int\limits_E\frac1{r^{n-\alpha}} =&\, \int\limits_{\tilde
      B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\int\limits_{E\setminus\tilde B=E\setminus B}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    \le&\,\int\limits_{\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\frac1{R^{n-\alpha}}\left[|E|-\left|\tilde B\right|\right]\\
    \le&\,\int\limits_{\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}
    +\int\limits_{B\setminus\tilde B}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    =&\,\int\limits_B\frac1{r^{n-\alpha}}\\
    =&\,\int\limits_{\S^{n-1}}\int\limits_0^R\underbrace{\frac1{r^{n-\alpha}}
      r^{n-1}}_{=r^{\alpha-1}}\,dr\,d{\mathcal H}^{n-1}\\
    =&\,\left.\frac1\alpha r^\alpha\right|^R_0\cdot\left|\S^{n-1}\right|
    =\frac1\alpha R^\alpha n\omega_n,\\
  \end{align*}
  da
  $$\omega_n=|B_1(0)|=\int\limits_{B_1}1=\int\limits_{\S^{n-1}}\int
  \limits_0^1r^{n-1}\,dr\,d{\mathcal
    H}^{n-1}=\frac1n\left|\S^{n-1}\right|$$ gilt. Nun ist
  $R=\left(\frac{|E|}{\omega_n}\right)^{1/n}$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{el pot est zwei}
  Sei $0<\alpha<n$.  Es gilt f\"ur kleine $\delta>0$
  $$\int\limits_{B_\delta(x_0)}\frac1{|x-y|^{n-\alpha}}\,dy\le
  n\frac{\omega_n}\alpha\delta^\alpha =O\left(\delta^\alpha\right)$$
  f\"ur beliebige $x$, $x_0\in\R^n$, falls $n\ge2$ ist.  Weiterhin
  gilt in zwei Dimensionen, $n=2$,
  $$\int\limits_{B_\delta(x_0)}|\log|x-y||\,dy=o(\delta),$$
  ebenfalls f\"ur beliebige $x$, $x_0\in\R^2$ mit $|x-x_0|\le
  c$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Der erste Teil der Behauptung folgt direkt aus Lemma \ref{el pot est}.

Wir d\"urfen annehmen, dass $\delta<\frac14$ ist. Weiterhin d\"urfen
wir annehmen, dass $|x-x_0|\le\frac12$ gilt. Sonst ist nach
Dreiecksungleichung stets $|x-y|\ge\frac14$, der Integrand also
beschr\"ankt und die Behauptung klar. Aus den obigen Annahmen ergibt
sich $|x-y|\le\frac34$, $\log|x-y|$ ist daher stets negativ. Somit
d\"urfen wir wie in Lemma \ref{el pot est} argumentieren, da der
Integrand auch hier monoton in $|y-x|$ ist. Daher gen\"ugt es, das
Integral im Falle $x=x_0$ abzusch\"atzen. Es gilt
$$\int\limits_{B_\delta(x)}|\log|x-y||\,dy=
\int\limits_{\S^{1}}\int\limits_0^\delta|\log|x-y||\cdot r$$ mit
$r=|y-x|$. Die Funktion $f(t)=\frac12t^2\log t-\frac14t^2$ ist eine
Stammfunktion zu $t\log t$. Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Innere H\"olderabsch\"atzungen}

Die nachfolgenden Integrale sind absolut konvergent. Wir werden sie
ausrechnen indem wir zun\"achst bei der Integration $\epsilon$-Kugeln
um die Singularit\"aten ausl\"asst und dann $\epsilon\searrow0$
l\"asst. Dabei erh\"alt man die \"ublichen Werte. Die so erhaltenen
Ergebnisse bezeichnet man auch als Cauchyschen Hauptwerte. Sie
k\"onnen auch f\"ur nicht absolut konvergente Integrale existieren.

\begin{theorem}[Gau\ss{}]\label{Gauss thm}
Sei $E\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $n\ge2$ und $f\in L^\infty(E)$. 
Dann sind die Integrale 
\begin{align*}
U(x)=&\,\int\limits_E\Gamma(r)f(y)\,dy,\quad r=|x-y|,\umbruch\\
U_i(x)=&\,\int\limits_E\fracp{}{x^i}\Gamma(r)f(y)\,dy
\end{align*}
f\"ur alle $x\in\R^n$ absolut konvergent, es ist 
$U\in C^1\left(\R^n\right)$ und f\"ur die Ableitungen
gilt $\fracp{}{x^i}U=U_i$ f\"ur alle $1\le i\le n$. 
Es gelten die Absch\"atzungen
\begin{align*}
\Vert U\Vert_{C^1\left(\R^n\right)}\le&\,c(E,n)\cdot
\Vert f\Vert_{L^\infty(E)}\quad\text{f\"ur }n\ge3\umbruch
\intertext{und}
\Vert DU\Vert_{C^0\left(\R^n\right)}+\Vert U\Vert_{C^0(B_R(0))}
\le&\,c(E,n,R)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(E)}
\quad\text{f\"ur }n=2.
\end{align*}
\end{theorem}
\begin{proof}
Wir schreiben die Integrale als
\begin{align*}
U(x)=&\,\lim\limits_{\delta\searrow0}\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\Gamma(r)f(y)\,dy
\intertext{und}
U_i(x)=&\,\lim\limits_{\delta\searrow0}\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\fracp{}{x^i}\Gamma(r)f(y)\,dy.
\end{align*}
Beachte zun\"achst, dass in allen Dimensionen $n\ge2$
$$\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\le c\cdot r^{1-n}$$
gilt. Absolute Konvergenz folgt nun aus
\begin{align*}
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}|\Gamma(r)||f(y)|\le&\,
\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{E\setminus B_\delta}|\Gamma(r)|\\
\le&\,\begin{cases}
c(E,n,R)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},&n=2,\quad x\in B_R(0),\\
c(E,n)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},&n\ge 3,
\end{cases}\\
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
|f(y)|\le&\,
\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}
\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
\le c(E,n)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty},\\
\end{align*}
da die angegebenen Absch\"atzungen unabh\"angig von $\delta$ sind, 
wobei wir die Lemma \ref{el pot est} und \ref{el pot est zwei} 
verwendet haben. 
Aus diesen Absch\"atzungen folgt auch (falls wir nachweisen
k\"onnen, dass $U_i$ die Ableitungen von $U$ sind) die behauptete
Norm\-ab\-sch\"atz\-ung.

Wir haben noch die Ableitungen von $U$ mit $U_i$ zu vergleichen.
Sei dazu $\epsilon>0$. Definiere $r_\epsilon:=(r^2+\epsilon)^{1/2}$ 
und 
$$U_\epsilon(x)=\int\limits_E\Gamma(r_\epsilon)f(y)\,dy.$$
Es gilt $U_\epsilon\in C^\infty\left(\R^n\right)$ (was man wie beim
Beweis der Gl\"attung von Funktionen einsieht) und wir behaupten, dass
$U_\epsilon-U\rightrightarrows 0$ in $\R^n$ f\"ur $\epsilon\searrow0$
konvergiert.  Es gilt n\"amlich (nehme im Falle $n=2$ ohne
Einschr\"ankung an, dass $\delta\le\frac12$ und $\epsilon\le\frac12$
gelten)
\begin{align*}
|U(x)-U_\epsilon(x)|\le&\,\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|\cdot|f|
\umbruch\\
\le&\,\Vert f\Vert_{L^\infty}\cdot\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|
\umbruch
\intertext{und weiterhin gilt}
\int\limits_E|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|\le&\,
\int\limits_{E\setminus B_\delta(x)}|\Gamma(r)-\Gamma(r_\epsilon)|
+2\int\limits_{B_\delta(x)}|\Gamma(r)|.
\end{align*}
F\"ur den zweiten Term haben wir $|r_\epsilon|>|r|$ 
und die Monotonie von $\Gamma$ benutzt. Aufgrund der Integrierbarkeit
k\"onnen wir zun\"achst $\delta$ so klein machen, dass das 
zweite Integral kleiner als ein $\epsilon'>0$ wird. 
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes sch\"atzen wir das Argument im
ersten Integral durch $c(\delta)\cdot\epsilon$ ab. Hier h\"angt
$c(\delta)$ insbesondere von $D\Gamma$ ab und dies wird im 
Unendlichen klein, verursacht also keine Probleme. Schlie\ss{}lich
w\"ahlen wir nun $\epsilon=\epsilon(\delta)$ klein und k\"onnen 
auch das erste Integral durch $\epsilon'$ beschr\"anken. Die 
behauptete gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz folgt. 

Beim Nachweis der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz haben wir 
insbesondere die Integrierbarkeit von $\Gamma$ benutzt. Dies
funktioniert f\"ur $\fracp{}{x^i}\Gamma$ ganz analog. Die
Details sind eine \"Ubung. Wir erhalten also auch
\[\fracp{}{x^i}U_\epsilon\rightrightarrows U_i,\] also
gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz auf ganz $\R^n$. 

Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz sind $U$ und $U_i$ stetig.

Da wir bei gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz Differentiation und
Grenzwertbildung in der Folge vertauschen d\"urfen, folgt
also $U\in C^1\left(\R^n\right)$ und es gilt
$U_i=\fracp{}{x^i}U$.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{dini thm}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol\Omega\right)$, $0<\alpha\le 1$. Dann ist
$$w(x):=\int\limits_\Omega\Gamma(r)f(y)\,dy\quad
(\text{wobei wiederum }r=|x-y|\text{ ist\/})$$
in $C^2(\Omega)$ und in $\Omega$ gilt
$$\Delta w(x)=f(x).$$

Sei $\Omega\subset\Omega_0\Subset\R^n$, $\Omega_0$ offen, und sei
$\partial\Omega_0 \in C^1$ (ggf.{} ist auch $\Omega=\Omega_0$
zul\"assig; es gen\"ugt, $\Omega_0$ so zu w\"ahlen, dass der
Divergenzsatz gilt). Setze $f$ durch $0$ nach $\Omega_0$ fort. Dann
gilt f\"ur $x\in\Omega$ die sogenannte {\em Dinische Formel\/}
$$\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}.$$
$\nu$ bezeichnet hier die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega_0$. 

Schlie\ss{}lich gilt auf kompakten Teilmengen $\Omega'\Subset\Omega$
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{L^\infty(\Omega')}
\le c\left(\Omega',\alpha,n,\Omega\right)\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
\rule{1mm}{0mm}\\\rule{0mm}{1mm}
$\bullet$ Definiere 
$$u(x):=\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}.$$
Dieser Ausdruck ist f\"ur $x\in\Omega$ wohldefiniert,
denn es gilt
$$\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\right|\cdot
|f(y)-f(x)|\le c\cdot [f]_{C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)}\cdot
\frac{r^\alpha}{r^n}.$$
Benutze nun Lemma \ref{el pot est}. Das Randintegral ist
unproblematisch, denn f\"ur alle $x\in\Omega$ ist der Abstand
zu $\partial\Omega_0$ (nicht gleichm\"a\ss{}ig) nach unten
beschr\"ankt. Somit tritt keine Singularit\"at auf.  

Sei $1\le i\le n$ fixiert und setze $v:=w_i$. Beachte,
dass nach Theorem \ref{Gauss thm} $w\in C^1\left(\R^n\right)$ ist.
Fixiere eine glatte Abschneidefunktion $\eta:\R\to\R$ mit
$0\le\eta\le1$ und
$$\eta(t)=\begin{cases}
0,&t\le 1\\
1,&t\ge 2,
\end{cases}$$
so dass $|\dot\eta|\le2$ gilt. Definiere 
$$\eta_\epsilon(t):=\eta\left(\frac t\epsilon\right)$$
und 
\begin{align*}
v_\epsilon(x):=&\,\int\limits_\Omega\fracp{}{x^i}
\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot
\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy. 
\end{align*}
Aufgrund der eingef\"ugten Abschneidefunktion ist wieder
klar, dass $v_\epsilon\in C^\infty\left(\R^n\right)$ ist. 

Wir behaupten, dass auf kompakten Teilmengen
$\Omega'\Subset\Omega$
\[\fracp{}{x^j}v_\epsilon\rightrightarrows u\]
f\"ur $\epsilon\searrow0$ gilt, also gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz
vorliegt.  Es gilt (alle Integrationen sind bez\"uglich $y$)
\begin{align*}
\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)=&\,
\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
+f(x)\cdot\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\eta_\epsilon(r)\right]\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{y^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\eta_\epsilon(r)\right]\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^j}
\left[\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\right][f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}
\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\eta_\epsilon(r)\cdot\nu_j.
\end{align*}
Die Differenz zu $u$ sch\"atzen wir f\"ur $x\in\Omega'$ wie folgt ab
\begin{align*}
\left|u(x)-\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)\right|\le&\,
\int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\right|
\cdot|1-\eta_\epsilon(r)|\cdot|f(y)-f(x)|\,dy\\
&\,+\int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|
\cdot\left|\fracp{}{x^j}\eta_\epsilon(r)\right|
\cdot\left|f(y)-f(x)\right|\,dy\\
&\,+|f(x)|\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}
\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\cdot|1-\eta_\epsilon(r)|\,dy\umbruch\\
\equiv&\,I_1+I_2+I_3.
\end{align*}
Da $x\in\Omega'\Subset\Omega$ ist und nach Wahl der Abschneidefunktion
erhalten wir mit Hilfe von Lemma \ref{el pot est}
f\"ur $0<\epsilon\le\epsilon\left(\Omega,\Omega'\right)$
\begin{align*}
I_1\le&\,c\cdot\int\limits_{|y-x|\le2\epsilon}
\frac1{|x-y|^n}\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}
\cdot|x-y|^\alpha\,dy\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}
\cdot\epsilon^\alpha.
\end{align*}
Da $\epsilon>0$ klein ist, durften wir insbesondere annehmen, dass
$\Omega'+B_{2\epsilon}(0)\subset\Omega$ gilt, was die Absch\"atzung
von $|f(y)-f(x)|$ mit Hilfe der H\"oldernorm rechtfertigt.  Hier haben
wir die Norm mit $\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}$
statt $\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\ol{\Omega}\right)}$
bezeichnet.  Der Raum $C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)$ ist kein
Banachraum. Wenn wir aber diesen Index nur zur Bezeichnung der Norm
verwenden, ist klar, dass es die Norm auf
$C^{0,\alpha}\left(\ol{\Omega}\right)$ sein soll, auch wenn wir den
Abschluss weglassen. Dies wollen wir auch in Zukunft so handhaben.

Die Differentiation von $\eta_\epsilon$ liefert einen zus\"atzlichen
Faktor $\epsilon^{-1}$. Wir erhalten daher
\begin{align*}
I_2\le&\,c\cdot\int\limits_{\epsilon\le|y-x|\le2\epsilon}
\frac1\epsilon\cdot\frac1{|y-x|^{n-1}}\cdot
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot
|x-y|^\alpha\,dy\umbruch\\  
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot
\frac1\epsilon\cdot\underbrace{\int\limits_{|y-x|\le2\epsilon}
\frac1{|y-x|^{n-1-\alpha}}\,dy}_{\le
c\cdot\epsilon^{1+\alpha}}\umbruch\\   
\le&\,c\cdot\Vert
f\Vert_{C^{0,\alpha}\left(\Omega\right)}\cdot\epsilon^\alpha. 
\end{align*}

Das Integral $I_3$ verschwindet sogar, wenn $\epsilon$ klein
genug ist. Dann folgt aus
$$\epsilon<\tfrac12\dist(\Omega',\partial\Omega)
\le\tfrac12 \dist(\Omega',\partial\Omega_0)\le\tfrac12|x-y|$$ f\"ur  
$x\in\partial\Omega_0$ und $x\in\Omega'$ n\"amlich schon
$\eta_\epsilon(r)=1$.

Wir erhalten somit
$$\left|u(x)-\fracp{}{x^j}v_\epsilon(x)\right|\le 
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot\epsilon^\alpha
\to0\text{ f\"ur }x\in\Omega',\text{ falls }\epsilon\to0.$$

Als lokal gleichm\"a\ss{}iger Limes von stetigen Funktionen ist 
daher auch $u$ stetig, $u\in C^0(\Omega)$. 

Wir behaupten, dass die $v_\epsilon$ gleichm\"a\ss{}ig in ganz
$\Omega$ gegen eine (gleich noch definierte) Funktion $v$
konvergieren. Wir bilden f\"ur $x\in\R^n$ die Differenz von
\begin{align*}
  v(x):=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot
  f(y)\,dy\umbruch \intertext{und (der bereits oben definierten
    Funktion) }
  v_\epsilon(x)=&\,\int\limits_{\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
  \cdot\eta_\epsilon(r)\cdot f(y)\,dy\umbruch \intertext{und erhalten}
  |v(x)-v_\epsilon(x)|\le&\,
  \int\limits_{\Omega_0}\left|\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\right|\cdot
  |1-\eta_\epsilon(r)|\cdot|f(y)|\,dy\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega)}\cdot
  \int\limits_{|x-y|\le2\epsilon}\frac1{|x-y|^{n-1}}\,dy\umbruch\\
  \le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega)}\cdot\epsilon.
\end{align*}
Wir haben also nun in $\Omega'\Subset\Omega$
\begin{align*}
v_\epsilon\rightrightarrows&\,v\umbruch
\intertext{und}
\fracp{}{x^j}v_\epsilon\rightrightarrows&\,u
\end{align*}
nachgewiesen. Wir d\"urfen also die Grenzwertbildung 
$\epsilon\searrow0$ und die Differentiation vertauschen. 
Da $v=\fracp{w}{x^i}$ gilt, folgt also $w\in C^2(\Omega)$ 
und die zweiten Ableitungen sehen so wie in der Dinischen
Formel behauptet aus. 

$\bullet$ Sei nun $x\in\Omega$. Wir w\"ahlen $\Omega_0=
B_R(x)$ f\"ur ein $R>0$, so dass $\Omega\Subset B_R(x)$
gilt. Aufgrund der Dinischen Formel erhalten wir
\begin{align*}
  \Delta w(x)=&\,\int\limits_{B_R}\Delta\Gamma(r)[f(y)-f(x)]\,dy
  -f(x)\cdot\int\limits_{\partial
    B_R(x)}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\nu^i
  \umbruch\\
  =&\,-f(x)\cdot\begin{cases} \int\limits_{\partial
      B_R}\frac1{2\pi}\frac{x_i-y_i}{|x-y|^2}
    \frac{y^i-x^i}{|x-y|}\,dy,&n=2,\\
    \int\limits_{\partial B_R}\frac1{n\omega_n}\frac{x_i-y_i}{|x-y|^n}
    \frac{y^i-x^i}{|x-y|}\,dy,&n\ge3.
\end{cases}\umbruch\\
=&\,f(x),
\end{align*}
da $|\partial B_R|=n\omega_nR^{n-1}$ ist. Im ersten Schritt
haben wir benutzt, dass $\Gamma$ eine Fundamentall\"osung 
der Laplacegleichung ist, dass also f\"ur $r\neq0$ 
die Gleichheit $\Delta\Gamma=0$
gilt. Eine einfache Absch\"atzung, als \"Ubungsaufgabe \"uberlassen,
zeigt, dass auch die Singularit\"at bei $x=y$ keinen
Beitrag zu diesem Integral liefert. 

$\bullet$ F\"ur die Normabsch\"atzung verwenden wir nochmals
die Dinische Formel. Sei also $x\in\Omega'$. Schreibe
\begin{align*}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=&\,\int\limits_{\Omega_0}
\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)\cdot[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial\Omega_0}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)
\cdot\nu_j\,d{\mathcal H}^{n-1}\umbruch\\
\equiv&\,I_1+I_2.
\end{align*}
Wir erhalten (da sich f\"ur $x\in\Omega'$ und $y\in\Omega_0$ 
der H\"olderquotient absch\"atzen l\"asst, denn dann ist
$|x-y|\ge\epsilon$ und wir benutzen nur die $C^0$-Schranke)
\begin{align*}
|I_1|\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot
\int\limits_{\Omega_0}\frac1{r^{n-\alpha}}\\
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)},\umbruch
\intertext{und}
|I_2|\le&\,c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(\Omega)}.
\end{align*}
Das Theorem folgt. 
\end{proof}

F\"ur die zweiten Ableitungen wollen wir bei 
h\"olderstetiger rechter Seite noch die 
H\"olderstetigkeit nachweisen.

Wir definieren zun\"achst Normen, die sich unter
Homothetien des Gebietes nicht \"andern.
\begin{definition}[Dimensionsunabh\"angige Normen]
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$d:=\diam\Omega$. Dann definieren wir auf $C^k\left(\ol\Omega\right)$
bzw.\ $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ dimensionsunabh\"angige
Normen durch
\begin{align*}
\Vert u\Vert'_{C^k(\Omega)}:=&\,\sum\limits_{i=0}^kd^i\cdot
\sum\limits_{|\beta|=i}\Vert D^\beta u\Vert_{C^0(\Omega)}\umbruch
\intertext{und}
\Vert u\Vert'_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:=&\,
\Vert u\Vert'_{C^k(\Omega)}+d^{k+\alpha}\cdot
\left[D^k u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.
\end{align*}
\end{definition}
 
\begin{remark}
Sei $u\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$v\in C^{0,\beta}\left(\ol\Omega\right)$ und $\gamma=\min\{\alpha,
\beta\}$. Dann ist 
$u\cdot v\in C^{0,\gamma}\left(\ol\Omega\right)$ und es gilt
$$\Vert u\cdot v\Vert'_{C^{0,\gamma}(\Omega)}\le
\Vert u\Vert'_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\cdot
\Vert v\Vert'_{C^{0,\beta}(\Omega)}.$$
\end{remark}
\begin{proof}
\"Ubung.  
\end{proof}

Beim nachfolgenden Theorem mache man sich als \"Ubung klar, dass
gerade bei der angegebenen Ungleichung f\"ur die Normen das
Skalierungsverhalten so ist, dass keine Abh\"angigkeit
der Konstanten von $R$ auftritt.
\begin{theorem}\label{c zwei alpha thm}
Sei $R>0$, $B_1=B_R(x_0)$, $B_2=B_{3R}(x_0)$. Sei $0<\alpha<1$,
$f\in C^{0,\alpha}\left(\ol{B_2}\right)$ und sei
$$w(x):=\int\limits_{B_2}\Gamma(r)\cdot f(y)\,dy,\quad
r=|x-y|.$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{B_1}\right)$ und es gilt
$$\Vert D^2w\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_1)}\le c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_2)},$$
d.\,h.
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0(B_R)}+R^\alpha\cdot
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le
c(n,\alpha)\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Wir verwenden wiederum die Dinische Formel, diesmal mit
$\Omega=\Omega_0=B_2$,
$$\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)=
\int\limits_{B_2}\fracp{^2}{x^i\partial x^j}\Gamma(r)[f(y)-f(x)]\,dy
-f(x)\int\limits_{\partial B_2}\fracp{}{x^i}\Gamma(r)\cdot\nu_j\,dy.$$
Hieraus folgt f\"ur $x\in B_1$ direkt (da $r\approx R$ auf $\partial
B_2$) 
\begin{align}
\left|\fracp{^2}{x^i\partial x^j}w(x)\right|\le&\,
c\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\cdot\int\limits_{B_2}
\frac1{r^{n-\alpha}}+\Vert f\Vert_{C^0(B_2)}\cdot
\int\limits_{\partial B_2}|D\Gamma(r)|\umbruch\nonumber\\
\le&\,c\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\cdot R^\alpha
+c\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_2)}\umbruch\label{hoeld *}\\
\le&\,c\cdot\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_2)}.\nonumber
\end{align}
Seien nun $x$, $\ol x\in B_1$, $0<\delta:=|x-\ol x|$,
$\xi:=\frac{x+\ol x}2$, $r=|x-y|$, $\ol r=|\ol x-y|$. 
Beachte, dass $B_\delta(\xi)\subset B_2$ ist. 
Es gilt 
$$\fracp{^2}{\bar x^i\partial \bar x^j}w(\ol x)=
\int\limits_{B_2}\fracp{^2}{\bar x^i\partial\bar x^j}\Gamma(\ol
r)[f(y)-f(\ol x)]\,dy -f(\ol x)\int\limits_{\partial B_2}\fracp{}{\bar
  x^i}\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j\,dy.$$ Wir schreiben
\begin{align*}
D_iD_jw(\ol x)-D_iD_jw(x)=&\,
f(x)I_1+[f(x)-f(\ol x)]I_2\\
&\,+I_3+I_4+[f(x)-f(\ol x)]I_5+I_6\umbruch
\intertext{mit}
I_1=&\,\int\limits_{\partial B_2}
\{D_i\Gamma(r)-D_i\Gamma(\ol r)\}\cdot\nu_j,\umbruch\\
I_2=&\,\int\limits_{\partial B_2}D_i\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j,\umbruch\\
I_3=&\,\int\limits_{B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(r)[f(x)-f(y)],\umbruch\\ 
I_4=&\,\int\limits_{B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(\ol r)[f(y)-f(\ol
      x)],\umbruch\\ 
I_5=&\,\int\limits_{B_2\setminus
      B_\delta(\xi)}D_iD_j\Gamma(r),\umbruch\\ 
I_6=&\,\int\limits_{B_2\setminus B_\delta(\xi)}
\{D_iD_j\Gamma(r)-D_iD_j\Gamma(\ol r)\}[f(\ol x)-f(y)].
\end{align*}
Dies rechnet man unmittelbar nach, da alle Integrale -- wie wir uns
anhand der folgenden Rechnungen \"uberzeugen -- absolut konvergieren. 
Wir betrachten die auftetenden
Integrale einzeln. Es gen\"ugt, jedes einzelne Integral
(mit den entsprechenden Vorfaktoren) 
betragsm\"a\ss{}ig nach oben durch
$$c(n,\alpha)\cdot\left(\frac\delta R\right)^\alpha\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}$$
abzusch\"atzen. 
\begin{enumerate}[(i)]
\item Wir definieren $r_t=tx+(1-t)\ol x-y$. Dann ist
\begin{align*}
D_i\Gamma(r)-D_i\Gamma(\ol r)=&\,\int\limits_0^1\dt D_i\Gamma(r_t)\,dt
\umbruch\\ 
=&\,\int\limits_0^1D_iD_k\Gamma(r_t)\left(x^k-\ol x^k\right).
\end{align*}
Somit erhalten wir 
$$|I_1|\le c\cdot\int\limits_0^1\int\limits_{\partial B_2}
\frac1{r_t^n}\delta\le c\cdot\frac\delta R
\le c(n,\alpha)\cdot\left(\frac\delta R\right)^\alpha,$$
denn es gilt $\frac\delta{2R}\le1$ und $|r_t||_{\partial B_2}\ge R$. 
\item Es gilt
$$|I_2|\le\int\limits_{\partial B_2}|D\Gamma(\ol r)|\le c(n).$$
Weiterhin gilt 
$$|f(x)-f(\ol x)|\le[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta^\alpha.$$
\item Wir erhalten nach Lemma \ref{el pot est}
$$|I_3|\le\int\limits_{B_\delta(\xi)}\left|D^2\Gamma(r)\right|\cdot
|x-y|^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\le c(n,\alpha)\cdot\delta^\alpha\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}}.$$
\item $I_4$ behandelt man analog zu $I_3$.
\item Wir integrieren partiell
$$|I_5|\le\left|\,\,\int\limits_{\partial
  B_2}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j\right| +\left|\,\,\int\limits_{\partial
  B_\delta(\xi)}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j\right| \le c,$$ denn das erste
  Integral ist beschr\"ankt und im zweiten Integral gilt
  $|x-y|\ge|y-\xi|-|x-\xi|=\delta-\frac\delta2=\frac12\delta$. Wir
  k\"onnen die Betr\"age ins Integral hineinziehen. Der Rest
  funktioniert dann wie bei $I_2$. Hier ist die absolute Konvergenz
  ohnehin klar, da keine Singularit\"at auftritt.
\item Es gilt mit $r_t$ wie oben
$$D_iD_j\Gamma(r)-D_iD_j\Gamma(\ol r)=
\int\limits_0^1D_iD_jD_k\Gamma(r_t)\left(x^k-\ol x^k\right).$$
Somit folgt mit $|x-\ol x|=\delta$
$$|I_6|\le c\cdot\int\limits_0^1\delta\int\limits_{|y-\xi|\ge\delta}
\frac{|y-\ol x|^\alpha}{|r_t|^{n+1}}\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}.$$
Da $|y-\xi|\ge\delta$ ist, folgt 
$$|y-\ol x|\le|y-\xi|+\underbrace{|\ol x-\xi|}_{=\tfrac12\delta}
\le2|y-\xi|$$
und
$$|r_t|=|tx+(1-t)\ol x-y|\equiv|x_t-y|\ge|y-\xi|
-\underbrace{|x_t-\xi|}_{\le\tfrac12\delta}\ge\tfrac12|y-\xi|.$$
Als Absch\"atzung f\"ur $I_6$ erhalten wir daher
\begin{align*}
|I_6|\le&\,c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta\cdot
\int\limits_{|y-\xi|>\delta}\frac1{|y-\xi|^{n+1-\alpha}}\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot\delta\cdot n\cdot\omega_n\cdot
\int\limits_\delta^\infty\frac{r^{n-1}}{r^{n+1-\alpha}}\,dr\umbruch\\  
=&\,\frac c{1-\alpha}\cdot n\cdot\omega_n\cdot\delta^\alpha\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}}.
\end{align*}
\end{enumerate}
Damit sind alle Integrale wie gew\"unscht abgesch\"atzt und das
Theorem folgt. 

Wir halten noch einmal fest, dass f\"ur alle $x$, $\ol x\in B_1$ die
folgende Absch\"atzung gilt. Dabei gen\"ugt, wie man sich anhand der
obigen Absch\"atzungen leicht \"uberzeugen kann, in der ersten Norm
sogar die Norm \"uber die kleinere Kugel.
\begin{equation}\label{hoeld **}
|D_iD_jw(x)-D_iD_jw(\ol x)|\le c(n,\alpha)\cdot
\left\{R^{-\alpha}\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_1)}
+[f]_{C^{0,\alpha}(B_2)}\right\}\cdot
|x-\ol x|^\alpha.  
\end{equation}
\end{proof}

\begin{remark}\label{glob c zwei alpha}
Sei $f\in C^{0,\alpha}_c(B_R(0))$ und sei in der bisherigen Notation
$$w(x):=\int\limits_{\R^n}\Gamma(r)\cdot f(y)\,dy.$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ und es gilt
\begin{align}
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le&\,c(n,\alpha)\cdot
[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)},\label{est eins}\umbruch\\
\left\Vert D^2w\right\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le&\,c(n,\alpha)\cdot
\Vert f\Vert'_{C^{0,\alpha}(B_{3R})},\label{est zwei}\umbruch
\intertext{sowie im Fall $n\ge3$}
\Vert w\Vert'_{C^1(B_R)}\le&\,c(n)\cdot R^2\cdot
\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}.
\label{est drei}
\end{align}
\end{remark}
\begin{proof}
Wir zeigen zun\"achst \eqref{est zwei}. Nach \eqref{hoeld *} gilt
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0(B_R)}\le c\cdot
\left\{R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}
+\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}\right\}.$$
Nach \eqref{hoeld **} gilt
$$\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}(B_R)}\le c\cdot
\left\{R^{-\alpha}\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_{3R})}
+[f]_{C^{0,\alpha}(B_{3R})}\right\}.$$
Die zweite Ungleichung hier mit $R^\alpha$ multipliziert und zur ersten
addiert ergibt (wie in Theorem \ref{c zwei alpha thm}) 
gerade \eqref{est zwei}.

Lassen wir in \eqref{hoeld **} $R\to\infty$, so folgt
\eqref{est eins}.

F\"ur den Beweis von \eqref{est drei} haben wir 
$$\Vert w\Vert'_{C^1(B_R)}\equiv\Vert w\Vert_{C^0(B_R)}
+R\cdot\Vert Dw\Vert_{C^0(B_R)}$$
abzusch\"atzen. Zun\"achst einmal erhalten wir f\"ur alle $x$
$$|w(x)|\le\int\limits_{B_R}|\Gamma(r)|\cdot|f(y)|\,dy
\le c(n)\cdot R^2\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_R)}$$
nach Lemma \ref{el pot est} in Dimension $n\ge3$. 
Analog folgt
$$|Dw(x)|\le\int\limits_{B_R}|D\Gamma(r)|\cdot|f(y)|\,dy\le
c(n)\cdot R\cdot\Vert f\Vert_{C^0(B_R)}.$$
Wir addieren die letzte Ungleichung (mit $R$ multipliziert) zur
vorletzten Ungleichung und erhalten \eqref{est drei}. 
\end{proof}

Aus Theorem \ref{c zwei alpha thm} erhalten wir
\begin{theorem}\label{komp darst}
Seien $f\in C^{0,\alpha}_c\left(\R^n\right)$ und  
$u\in C^{2,\alpha}_c\left(\R^n\right)$. Gelte $\Delta u=f$
in $\R^n$, so ist
$$u(x)=\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Nach Theorem \ref{dini thm} erf\"ullt
$$w(x):=\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy$$
die Differentialgleichung $\Delta w=f$ in $\R^n$ und
es gilt $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$. 
Betrachte $v:=w-u$. $v$ ist harmonisch. Daher gen\"ugt 
es aufgrund des Maximumprinzips, nachzuweisen, dass
$v(x)\to0$ konvergiert f\"ur $|x|\to\infty$. Da $u$ 
kompakten Tr\"ager hat, brauchen wir nur noch nachzuweisen,
dass $w$ im Unendlichen verschwindet. (Dies folgt direkt
aus Integralabsch\"atzungen in Dimension $n\ge3$. \"Ubung.) 
Allgemein folgt dies aus der folgenden Anwendung des
Divergenztheorems
\begin{align*}
  w(x)=&\,\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot f(y)\,dy\umbruch\\
  =&\,\int\limits_{\R^n}\Gamma(x-y)\cdot\Delta u(y)\,dy\umbruch\\
  =&\,-\int\limits_{\R^n} \sum\limits_{i=1}^n
  \fracp{}{y^i}\left(\Gamma(x-y)\right)\cdot\fracp{}{y^i}u(y)\,dy.
\end{align*}
Da $|D\Gamma(r)|\le\frac c{r^{n-1}}$ ist, folgt die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{H\"olderabsch\"atzungen bis zum Rand}
\begin{theorem}\label{c zwei alpha rand}
Sei $\R^n_+=\{x^n>0\}$, $x_0\in\partial\R^n_+$, $R>0$,
$B_1^+=B_R^+(x_0)=B_R(x_0)\cap\R^n_+$,
$B_2^+=B_{3R}^+(x_0)$ und sei $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol{B^+_2}\right)$ f\"ur ein $0<\alpha<1$.
Dann gilt f\"ur das Volumenpotential (wieder mit 
$r=|x-y|$)
$$w(x)=\int\limits_{B^+_2}\Gamma(r)f(y)\,dy$$
$w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{B^+_1}\right)$ mit der
Absch\"atzung
$$\left\Vert D^2w\right\Vert_{C^0\left(B_1^+\right)}+R^\alpha\cdot
\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_1\right)}\le
c(n,\alpha)\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^0\left(B_2^+\right)}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(B_2^+\right)}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Nach Theorem \ref{c zwei alpha thm} ist $w\in C^{2,\alpha}\left(
B^+_2\right)$ und es gilt $\Delta w=f$ in $B^+_2$. Es gen\"ugt,
die Ableitungen $D_iD_jw$, $1\le i\le n$, $1\le j\le n-1$,
abzusch\"atzen, denn dann folgt aufgrund der Gleichung auch
eine entsprechende Schranke f\"ur 
$$D_nD_nw=f-\sum\limits_{i=1}^{n-1}D_iD_iw.$$
Nehme also $j<n$ an.
Da $\partial B_2^+$ st\"uckweise glatt ist, gilt das Divergenztheorem
auf $B_2^+$ und wir k\"onnen die Dinische Formel anwenden.
$$D_iD_jw(x)=\int\limits_{B_2^+}D_iD_j\Gamma(r)[f(y)-f(x)]
-f(x)\cdot\int\limits_{\partial B_2^+}D_i\Gamma(r)\cdot\nu_j.$$
Beachte, dass wir im zweiten Term nur \"uber den sph\"arischen
Teil des Randes zu integrieren brauchen, da nach Wahl von $j$
auf dem flachen Teil des Randes $\nu_j=0$ gilt. 
F\"ur $\ol x\in B_1^+$ bekommen wir mit $\ol r=|\ol x-y|$
$$D_iD_jw(\ol x)=\int\limits_{B_2^+}D_iD_j\Gamma(\ol r)[f(y)-f(\ol x)]
-f(\ol x)\cdot\int\limits_{\partial B_2^+}D_i\Gamma(\ol r)\cdot\nu_j.$$
Wir bilden nun f\"ur $x\in B_1^+$
$$D_iD_jw(\ol x)-D_iD_jw(x)=\ldots$$
und fahren ganz analog zum Beweis von Theorem \ref{c zwei alpha thm} 
fort. Die Details hierzu sind als \"Ubung empfohlen. 
(Beachte insbesondere, dass der gerade Teil des Randes keinen
Beitrag zum Randintegral liefert. Daher tritt auch keine 
Singularit\"at auf, wenn man sich ihm n\"ahert.)
\end{proof}

Der Bemerkung \ref{glob c zwei alpha} entsprechend erhalten wir
\begin{corollary}\label{bdry c zwei alpha}
Sei $f\in C^{0,\alpha}_c\left(\ol{\R^n_+}\right)$, $0<\alpha<1$, und
sei (in der \"ublichen Bezeichnung)
$$w(x)=\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(r)f(y).$$
Dann ist $w\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und es gilt 
die Absch\"atzung
$$\left[D^2w\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le
c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}.$$
\end{corollary}
\begin{proof}
W\"ahle $R>0$, so dass $\supp f\subset B_R(0)$ ist. Nach
Theorem \ref{c zwei alpha rand} folgt
$$R^\alpha\left[D^2 w\right]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_R\right)}
\le c(n,\alpha)\left\{\Vert f\Vert_{C^0\left(B^+_R\right)}
+R^\alpha\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(B^+_R\right)}\right\}.$$
Die Behauptung folgt nun, wenn wir durch $R^\alpha$ dividieren
und $R\to\infty$ lassen. 
\end{proof}

F\"ur L\"osungen von $\Delta u=f$ erhalten wir noch die folgende
Randabsch\"atzung.
\begin{lemma}\label{hoelder zwei rand}
Sei $u\in C^{2,\alpha}_c\left(\ol{\R^n_+}\right)$, $f\in C^{0,\alpha}
\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und gelte $\Delta u=f$ in $\R^n_+$ und
$u(\hat x,0)=0$ f\"ur $\hat x\in\R^{n-1}$. Dann gilt
$$\left[D^2u\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}
\le c(n,\alpha)\cdot[f]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Da $\Delta u=f$ ist, hat $f$ kompakten Tr\"ager. 
Wir spiegeln $f$ gerade
$$\tilde f\left(\hat x,x^n\right)=
\begin{cases}
f(x),&x^n\ge0,\\
f\left(\hat x,-x^n\right),&x^n<0.  
\end{cases}$$
Auch $\tilde f$ hat kompakten Tr\"ager und es gilt (sogar mit
Gleichheit) 
\begin{align*}
\left\Vert\tilde f\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\le&\,
\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}},\umbruch\\
\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}\le&\,[f]_{C^{0,\alpha}}. 
\end{align*}
Definiere f\"ur $x\in\R^n$ den Punkt $\tilde x=\left(\hat
  x,-x^n\right)$.  
Definiere weiterhin f\"ur $x\in\R^n_+$
\begin{align*}
w(x)=&\,\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(|x-y|)-\Gamma(|\tilde x-y|)]\cdot
       f(y)\,dy 
\umbruch\\
=&\,\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(|x-y|)-\Gamma(|x-\tilde y|)]\cdot
   f(y)\,dy. 
\end{align*}
Aufgrund der Symmetrie in der Definition ist $w(\hat x,0)=0$
und nach Gau\ss{} gilt $w\in C^1\left(\R^n\right)$, denn
$$\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-\tilde y|)\cdot f(y)
=\int\limits_{\R^n_-}\Gamma(|x-y|)\cdot
\underbrace{f(\tilde y)}_{=\tilde f(y)}.$$
Weiterhin folgt
\begin{align*}
w(x)=&\,\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)
-\int\limits_{\R^n_-}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)\umbruch\\
=&\,2\int\limits_{\R^n_+}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)
-\int\limits_{\R^n}\Gamma(|x-y|)\cdot\tilde f(y)\umbruch\\
\equiv&\,w_1+w_2.
\end{align*}
Es ist daher $w\in C^{2,\alpha}\left(\R^n_+\right)$ 
und $\Delta w=f$ in $\R^n_+$. Weiterhin gilt sogar
$w_1\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ und
nach Korollar \ref{bdry c zwei alpha}
$$\left[D^2w_1\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le
c(n,\alpha)\cdot 
\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}$$
sowie $w_2\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ mit
(vgl.\ Bemerkung \ref{glob c zwei alpha})
$$\left[D^2w_2\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}
\le c(n,\alpha)\cdot\left[\tilde f\right]_{C^{0,\alpha}}.$$ Es gen\"ugt
nun, nachzuweisen, dass in $\R^n_+$ die Gleichung $w=u$ gilt. Zum
Beweis bemerken wir zun\"achst, dass nach Gau\ss{} die Absch\"atzung
$|w|\le\text{const.}$ f\"ur $n\ge3$ gilt. 

In allen Dimensionen $n\ge2$ erh\"alt man dies wie folgt: Sei $\supp
f\subset B_R(0)$ und daher ohne Einschr\"ankung $y\in B_R(0)$. Dann
gelten $|x-y|\ge|x|-R$, $|x-\tilde y|\ge|x|-R$ (ebenso f\"ur alle
Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen $y$ und $\tilde y$) und
$||x-y|-|x-\tilde y||\le 2R$. Wir
erhalten \[|\Gamma(x-y)-\Gamma(x-\tilde y)| \le\sup_{|z|\ge|x|-R}
|D\Gamma(z)|\cdot 2R\to0\quad\text{f\"ur}\quad|x|\to\infty.\] Schreiben
wir $w$ in der
Gestalt \[w(x)=\int\limits_{\R^n_+}[\Gamma(x-y)-\Gamma(x-\tilde
y)]\cdot f(y)\,dy,\] so folgt aus der obigen Absch\"atzung und der
Stetigkeit auf einem Ball um den Ursprung die globale
Beschr\"anktheit. Aus diesen Argumenten folgt sogar $w(x)\to0$ f\"ur
$|x|\to\infty$. Weiterhin gilt $u=w$ auf $\partial R^n_+$. Da $u$
kompakten Tr\"ager besitzt folgt somit aufgrund des Maximumprinzips
$u=w$. 
\end{proof}

\subsection{Kompaktheitss\"atze}

Wir wollen das folgende Kompaktheitslemma verwenden.
\begin{lemma}[Kompaktheitslemma, Ehrlings Lemma]
Seien $E_i$, $i=1,2,3$, Banachr\"aume und gelte
$$E_1\hookrightarrow E_2\hookrightarrow E_3,$$
wobei beide Einbettungen (``\,$\hookrightarrow$''= Einbettung)
stetig sind und $E_1\hookrightarrow E_2$ kompakt ist. 
Dann existiert zu jedem $\epsilon>0$ eine Konstante
$c_\epsilon>0$, so dass
$$\Vert u\Vert_2\le\epsilon\cdot\Vert u\Vert_1+c_\epsilon\cdot
\Vert u\Vert_3$$
f\"ur alle $u\in E_1$ gilt. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Wir unterdr\"ucken in der Notation die Einbettungsabbildungen. 

Falls die Behauptung nicht richtig ist, finden wir zu einem
$\epsilon>0$ eine Folge $u_k\in E_1$, $k\in\N$, so dass
$$\Vert u_k\Vert_2>\epsilon\cdot\Vert u_k\Vert_1+k\cdot
\Vert u_k\Vert_3$$
gilt. Ohne Einschr\"ankung k\"onnen wir die $u_k$ so normieren, 
dass $\Vert u_k\Vert_2=1$ gilt. Es folgt
$$u_k\to0\text{ in }E_3$$
und
$$\Vert u_k\Vert_1\le\epsilon^{-1}.$$
Nutze nun die Kompaktheit der ersten Einbettung.
Nach Wahl einer Teilfolge d\"urfen wir daher (ohne Einsch\"ankung)
annehmen, dass
$$u_k\to u\text{ in }E_2$$
konvergiert f\"ur ein geeignetes Element $u\in E_2$. 
Hieraus folgt insbesondere $\Vert u\Vert_2=1$. 
Aufgrund der Stetigkeit der Einbettung $E_2\hookrightarrow E_3$
erhalten wir auch Konvergenz der $u_k$ in $E_3$ gegen $u$.  
In $E_3$ gilt $u_k\to0=u$. Wegen der Injektivit\"at 
($E_2\hookrightarrow E_3$ ist eine Einbettung) folgt
damit auch $u=0$ in $E_2$. Wir erhalten einen Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $0<\alpha<1$. Dann
  gibt es zu jedem $\epsilon>0$ einen Konstante $c_\epsilon>0$, so
  dass
  $$\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)}\le\epsilon\cdot
  \Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)} +c_\epsilon\cdot\Vert
  u\Vert_{C^0(\Omega)}$$ f\"ur alle $u\in
  C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gilt.
\end{corollary}

\begin{remark}
  Hieraus erhalten wir auch leicht eine multiplikative
  Form. Angenommen, es ist $c_\epsilon =\frac c\epsilon$, so folgt mit
  $\epsilon =\sqrt{\frac{\Vert u\Vert_{C^0}}{\Vert
      u\Vert_{C^{2,\alpha}}}}$
  \begin{align*}
    \Vert u\Vert_{C^2}\le&\,\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}}
    +\frac c\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^0}\umbruch\\
    =&\,(1+c)\sqrt{\Vert u\Vert_{C^0}}\cdot\sqrt{\Vert
      u\Vert_{C^{2,\alpha}}} 
    \intertext{und daraus}
    \Vert u\Vert^2_{C^2}\le&\, c\cdot\Vert u\Vert_{C^0}\cdot \Vert
    u\Vert_{C^{2,\alpha}}. 
  \end{align*}
  Die Umkehrung ist einfach. 
\end{remark}

\subsection{Schaudersche a priori-Schranken}

In den n\"achsten beiden Kapiteln soll $L$ stets die folgenden 
Eigenschaften haben. 
\begin{definition}[Generalvoraussetzung]\label{schauder gen ass}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $0<
  \alpha<1$. Die Differentialgleichung $Lu=f$ habe die Form
$$Lu(x)=a^{ij}(x)u_{ij}(x)+b^i(x)u_i(x)+d(x)u(x)=f(x).$$
Wir wollen die folgenden beiden Bedingungen annehmen.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Elliptizit\"at: Es gibt eine Konstante $\lambda>0$, so
dass f\"ur alle $x\in\Omega$ und alle $\xi\in\R^n$ die
Ungleichung
$$a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2$$
gilt. Sei dar\"uber hinaus $a^{ij}$ auch symmetrisch, d.\,h.\
gelte f\"ur alle $i$, $j$ und $x\in\Omega$ 
$$a^{ij}(x)=a^{ji}(x).$$
\item H\"olderstetigkeit der Koeffizienten: Es gibt eine 
Konstante $K>0$, so dass
$$\left\Vert a^{ij}\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\left\Vert b^i\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\left\Vert d\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\le K$$
gilt.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}\label{schauder est global}
Sei $\Omega\subset\R^n$, $n\ge2$, offen und beschr\"ankt mit
$\partial\Omega\in C^{2,\alpha}$. Sei 
$u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung des
Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=a^{ij}D_iD_ju+b^iD_iu+du=f&\text{in }\Omega,\\
u|_{\partial\Omega}=\phi&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$
mit $d\le0$. Hier seien $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$\phi\in C^{2,\alpha}(\partial\Omega)$, $a^{ij}$, $b^i$, $d\in
C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $\left(a^{ij}\right)$ symmetrisch
und gleichm\"a\ss{}ig elliptisch sowie $0<\alpha<1$.
Dann gilt
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
\le c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\partial\Omega)}\right\},$$
wobei $c$ nur von $n$, $\Omega$, $\alpha$, den angegebenen Normen
der Koeffizienten und der Elliptizit\"atskonstanten abh\"angt. 
\end{theorem}

\begin{remark}
  Das folgende Beispiel zeigt, dass die Einschr\"ankung $0<\alpha<1$
  wesentlich ist. Betrachte n\"amlich in einer Umgebung des Ursprungs
  die Funktionen $u_\epsilon:\R^2\to\R$, $0<\epsilon\le1$, definiert
  durch
$$u_\epsilon\left(x^1,x^2\right)=
x^1\cdot x^2\cdot\log\left(\sqrt{\epsilon+(x^1)^2}
+\sqrt{\epsilon+(x^2)^2}\right).$$ 
Sie erf\"ullen in einer kleinen Umgebung des Ursprungs
$$|u_\epsilon|+|\Delta u_\epsilon|\le c$$
gleichm\"a\ss{}ig in $\epsilon$, 
aber die gemischten zweiten Ableitungen
$\fracp{^2u_\epsilon}{x^1\partial x^2}$ 
verhalten sich dort f\"ur $\epsilon\searrow0$ wie
$$\log\left(\left|x^1\right|+\left|x^2\right|\right).$$
Daher kann die $C^{1,1}$-Norm nicht durch Supremumsschranken an
$u_\epsilon$ und $\Delta u_\epsilon=:f$ beschr\"ankt werden.

Dies zeigt, dass eine Absch\"atzung wie in Theorem \ref{schauder est
  global} f\"ur $\alpha=0$ nicht richtig sein kann. Durch Integrieren
bekommt man die entsprechende Aussage f\"ur $\alpha=1$.
\end{remark}
\begin{proof}
\"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{schauder est global}]
Wir setzen zun\"achst $\phi$ nach $\ol\Omega$ fort, so dass
$\phi\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gilt mit der 
Absch\"atzung
$$\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le c(\Omega,\alpha)\cdot
\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\partial\Omega)}.$$

Ohne Einsch\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass $\phi=0$ gilt, denn
sonst betrachten wir $\tilde u=u-\phi$. $\tilde u$ er\"ullt dann
$\tilde u|_{\partial\Omega}=0$ und 
$$L\tilde u=Lu-L\phi=f-L\phi\equiv\tilde f.$$
Wir erhalten, wenn wir das Theorem f\"ur Randwerte Null gezeigt haben, 
\begin{align*}
\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
-\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le&\,
\Vert\tilde u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left\Vert\tilde f\right\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\umbruch\\
\le&\,c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.
\end{align*}
Somit gen\"ugt es, den Fall $\phi=0$ zu betrachten.   

Wir \"uberdecken nun $\ol\Omega$ mit gen\"ugend kleinen offenen Mengen 
$U_k$, $1\le k\le N$. Im Beweis werden wir genauer spezifizieren, was
``gen\"ugend klein'' heisst. Weiterhin nehmen wir an, dass im Falle
$U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$ eine entsprechende Umgebung des
Randes aufgebogen werden kann. 

Sei $\zeta_k$, $1\le k\le N$, eine den $U_k$'s untergeordnete
$C^\infty$-Zerlegung der Eins und definiere $u_k=u\cdot\zeta_k$. Es
folgt
$$u=u\cdot\sum\limits_{k=1}^N\zeta_k=\sum\limits_{k=1}^Nu_k.$$
Wir multiplizieren nun die Differentialgleichung $Lu=f$ mit $\zeta_k$ und
erhalten
\begin{equation}\label{zeta eqn}
a^{ij}D_iD_ju_k\equiv F_k=f\cdot\zeta_k
+a^{ij}[2D_iu\cdot D_j\zeta_k+uD_iD_j\zeta_k]
-b^iD_iu\cdot\zeta_k-d\cdot u\cdot\zeta_k.
\end{equation}

Ist $U_k\subset\Omega$, so gilt $\supp u_k$, $\supp F_k\Subset\Omega$ und
wir k\"onnen \eqref{zeta eqn} durch $0$ in den $\R^n$ fortsetzen.

Ist $U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$, so biegen wir dieses 
Randst\"uck auf und erhalten mit
$y=y(x):\Omega\cap U_k\to B_1^+(0)$
dort eine Differentialgleichung der Form
$$\tilde a^{ij}(y)D_{y^i}D_{y^j}\tilde u_k=\tilde F_k$$
mit $\tilde u(\hat y,0)=0$. Es ist wie \"ublich 
$\tilde u_k=u_k\circ y^{-1}$, \ldots und $\tilde F_k=F_k\circ y^{-1}+$
Terme, die h\"ochstens eine Ableitung von $u$ enthalten. Wir d\"urfen
weiterhin annehmen, dass $\dist\left(\supp\tilde u_k,
\partial B_1\right)>0$ ist. 
Auch hier setzen wir $\tilde u_k$ und $\tilde F_k$ durch $0$ in den 
$\R^n_+$ fort. 

Wir fixieren nun (f\"ur jede Umgebung $U_k$) Punkte
$y_0\in U_k$ bzw.\ in $y_0\in y(U_k\cap\Omega)$. 
Um nicht zwei Gleichungen schreiben zu m\"ussen, benutzen wir auch
im Falle $U_k\subset\Omega$ Tilden, transformieren also mit der 
Identit\"at. Unsere Gleichung hat nun in jedem Fall die Gestalt
$$\tilde a^{ij}(y_0)D_{y^i}D_{y^j}\tilde u_k(y)=\tilde F_k
+\left[\tilde a^{ij}(y_0)-\tilde a^{ij}(y)\right]D_{y^i}D_{y^j}\tilde
u_k(y).$$ Wir transformieren schlie\ss{}lich noch so, dass in dem
speziellen Punkt $y_0$ die Matrix $\left(a^{ij}(y_0)\right)$ zu
$\left(\delta^{ij}\right)$ wird.  Wir erhalten Differentialgleichungen
der Form
$$\ol a^{ij}(z_0)D_{z^i}D_{z^j}\ol u_k(z)\equiv\Delta_z\ol u_k(z)
=\ol F_k+\left[\ol a^{ij}(z_0)-\ol a^{ij}(z)\right]\cdot
D_{z^i}D_{z^j}\ol u_k(z).$$
Im zweiten Fall bleiben die Randwerte Null erhalten.

Wir bemerken, dass, je nach Fall, 
$\ol u_k\in C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)$ oder
$\ol u_k\in C^{2,\alpha}\left(\ol{\R^n_+}\right)$ ist. 

Aufgrund der Absch\"atzungen der Theoreme \ref{c zwei alpha thm}
und \ref{c zwei alpha rand}
bzw.\ von Lemma \ref{hoelder zwei rand}, in dem die entsprechenden
Aussagen bereits kombiniert sind, erhalten wir nun mit Lemma \ref{komp
  darst}  
\begin{align*}
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le&\,
  c\cdot\sup\limits_{z\in z(U_k)}\left|\ol a^{ij}(z)-\ol
    a^{ij}(z_0)\right|\cdot
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\\
  &\,+c\cdot\left\Vert u\right\Vert_{C^{2,0}\left(\Omega\right)}
  +c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\umbruch \intertext{bzw.}
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\le&\,
  c\cdot\sup\limits_{z\in z(U_k\cap\Omega)} \left|\ol a^{ij}(z)-\ol
    a^{ij}(z_0)\right|\cdot
  \left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n_+\right)}\\
  &\,+c\cdot\left\Vert u\right\Vert_{C^{2,0}\left(\Omega\right)}
  +c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.
\end{align*}
Dies benutzt die H\"olderstetigkeit der Koeffizienten $a^{ij}$. 
Indem wir nun $\diam(U_k)$ jeweils klein genug w\"ahlen, k\"onnen
wir erreichen, dass
$$\sup\limits_{z\in z(U_k)}\left|\ol a^{ij}(z)-\ol a^{ij}(z_0)\right|
\le\frac 1{2c}$$ ist. F\"ur diesen Schritt ist es wichtig, dass der
Stetigkeitsmodul von $a^{ij}$ kontrolliert ist.  Damit k\"onnen wir
den ersten Term auf der rechten Seite in die linke Seite absorbieren
und erhalten (hier nur noch f\"ur die inneren Absch\"atzungen
aufgeschrieben)
$$\left[D^2\ol u_k\right]_{C^{0,\alpha}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)} +c\cdot\Vert
f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ 
Wir addieren auf beiden Seiten die $C^2$-Norm
$$\left\Vert\ol u_k\right\Vert_{C^{2,\alpha}\left(\R^n\right)}\le
c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)} +c\cdot\Vert
f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$ Nach R\"ucktransformation nach
$\Omega$ und Summieren \"uber $k$ erhalten wir
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
\sum\limits_k\Vert u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}
\le c\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,0}(\Omega)}
+c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}.$$
Aufgrund des Kompaktheitslemmas k\"onnen wir
$$\Vert u\Vert_{C^{2,0}}\le\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}}
+c_\epsilon\cdot\Vert u\Vert_{C^0}$$
absch\"atzen und damit die Norm der zweiten Ableitungen 
auf der rechten Seite absorbieren
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^0}\right\}.$$
Schlie\ss{}lich ist wegen $d\le0$ das Maximumprinzip in der Form von
\cite[Theorem 3.7]{GT} anwendbar
$$\Vert u\Vert_{C^0}\le c\cdot\Vert f\Vert_{C^0}.$$ 
Wir erhalten 
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}}$$
und das Theorem folgt.
\end{proof}

Zum gerade verwendeten Maximumprinzip.
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei $u\in
  C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ in $\Omega$ eine L\"osung
  der elliptischen Differentialungleichung \[Lu\equiv
  a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge f\] mit gleichm\"a\ss{}ig elliptischem
  $a^{ij}$, $d\le0$ und $a^{ij},b^i,d,f\in L^\infty$. Dann gilt
  \[\sup\limits_\Omega u\le\sup\limits_{\partial\Omega} u^+
  +c(L,\Omega)\cdot\Vert f\Vert_{L^\infty(\Omega)}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wegen \[L\left(u-\sup\limits_{\partial\Omega}u^+\right)
  =Lu-d\sup\limits_{\partial\Omega}u^+\ge f\] d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung $u\le0$ auf $\partial\Omega$ annehmen. Gelte
  weiterhinn ohne Einschr\"ankung $\Omega\subset\{x\in\R^n\colon
  x^1<0\}$. \par 
  Setze $w:=1-e^{\alpha x^1}$ f\"ur ein noch zu fixierendes
  $\alpha>0$. Dann gelten 
  \begin{align*}
    0<w<&\,1,\umbruch\\
    w_i=&\,-e^{\alpha x_1}\alpha\delta_{1i},\umbruch\\
    w_{ij}=&\,-e^{\alpha x_1}\alpha^2
    \delta_{1i}\delta_{1j},\umbruch\\ 
    Lw=&\,-e^{\alpha x^1}\left(\alpha^2a^{11}+\alpha b^1+d\right)
    +d\cdot1 <-\epsilon,
  \end{align*}
  f\"ur ein $\epsilon>0$, falls wir $\alpha=\alpha(L)>0$ gro\ss{}
  genug fixieren. Somit gilt f\"ur $W:=w\cdot\frac1\epsilon\cdot \Vert
  f\Vert_{L^\infty}$ die Differentialungleichung \[LW<f.\] Es gilt
  $u-W\le -W<0$ auf $\partial\Omega$. In einem positiven lokalen (inneren)
  Maximum von $u-W$ erhalten wir somit 
  \[0< L(u-W)=a^{ij}\underbrace{(u-W)_{ij}}_{\preccurlyeq0}
  +b^i\underbrace{(u-W)_i}_{=0} +\underbrace{d(u-W)}_{\le0}\le 0.\]
  Widerspruch. Somit gilt $u-W\le0$ auch in $\Omega$ und die
  Behauptung folgt.
\end{proof}
Die oben behauptete Aussage folgt nun durch Anwendung dieses Lemmas
auf $u$ und $-u$. 

\begin{remark}
Beachte, dass die in der Absch\"atzung des letzten Theorems 
auftretende Konstante nur von der speziellen \"Uberdeckung, der
Zerlegung der Eins, der $C^{2,\alpha}$-Norm der
Aufbiegetransformationen f\"ur $\partial\Omega$,
von $|\Omega|$, den $C^{0,\alpha}$-Normen der Koeffizienten, der
Elliptizit\"atskonstanten und von $\alpha$ sowie $n$ abh\"angt. 

Analoge Absch\"atzungen bekommt man auch f\"ur schwache L\"osungen.
Auf der rechten Seite kann man dann die $\Vert u\Vert_{C^0}$-Norm
durch die $\Vert u\Vert_{L^2}$-Norm oder eine ander $L^p$-Norm
ersetzen, siehe \cite{JostPDE}.
\end{remark}

\subsection{H\"ohere Regularit\"at}

\begin{theorem}\label{schauder higher}
Seien $\partial\Omega\in C^{l,\alpha}$, 
$f\in C^{l-2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, 
$\phi\in C^{l,\alpha}(\partial\Omega)$, 
$a^{ij}$, $b^i$, $d\in C^{l-2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$,
$l\ge 2$, $0<\alpha<1$, wobei $a^{ij}$ elliptisch ist und $d\le0$, 
so gilt f\"ur eine L\"osung $u\in C^{l,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
des Randwertproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=\phi&\text{auf }\partial\Omega,  
\end{cases}$$
die Absch\"atzung
$$\Vert u\Vert_{C^{l,\alpha}(\Omega)}\le c\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-2,\alpha}(\Omega)}
+\Vert\phi\Vert_{C^{l,\alpha}(\partial\Omega)}\right\}.$$
\end{theorem}
\begin{proof}
  Es gen\"ugt, den Induktionsschritt $l\to l+1$ zu zeigen. Sei wieder
  ohne Einschr\"ankung $\phi=0$ und seien $U_k$ und $\zeta_k$ wie im
  Beweis von Theorem \ref{schauder est global} gew\"ahlt.

Ist $U_k\subset\Omega$, so definieren wir f\"ur $1\le i\le n$ 
$$v_k:=D_iu_k$$ 
und wenden auf $v_k$ und die entsprechende Differentialgleichung 
die Induktionsvoraussetzung an
$$\Vert v_k\Vert_{C^{l,\alpha}(U_k)}
\le c\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}(\Omega)}
+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}(\Omega)}\right\}.$$
Dabei haben wir die $C^{l,\alpha}$-Norm von $u$ durch die
$C^{l+1,0}$-Norm abgesch\"atzt. 

Ist $U_k\cap\partial\Omega\neq\emptyset$, so setzen wir f\"ur
$1\le i\le n-1$ 
$$v_k=D_iu_k.$$
Es gilt f\"ur eine geeignet definierte rechte Seite $f_k$ in $\R^n_+$
die Gleichheit $Lv_k=f_k$. Da $v_k(\hat y,0)=0$ gilt, erhalten wir
nach Induktionsvoraussetzung (verstehe dies nach Anwendung einer
Aufbiegetransformation)
$$\Vert v_k\Vert_{C^{l,\alpha}(U_k\cap\Omega)}\le c\cdot\left\{
  \Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}(\Omega)} +\Vert
  u\Vert_{C^{l+1,0}(\Omega)}\right\}.$$ F\"ur die Absch\"atzung von
$D_nu_k$ benutzen wir die Differentialgleichung
$$Lu_k=f_k\quad\text{in }\R^n_+$$
f\"ur geeignetes $f_k$ und erhalten
\begin{align*}
a^{nn}D_nD_nu_k=&\,f_k-b^iD_iu_k-d\cdot u_k\\
&\,-\sum\limits_{i+j<2n}a^{ij}D_iD_ju_k.  
\end{align*}
Diese Gleichung dividieren wir durch $a^{nn}$ und differenzieren sie
nochmals nach $x^n$. Auf der linken Seite erhalten wir $D_nD_nD_nu_k$
und auf der rechten Seite erhalten wir bis zu dritte Ableitungen von
$u_k$, jedoch ohne eine dreimalige Ableitung nach $x^n$. Somit haben
wir die rechte Seite in $C^{l-2,\alpha}$ bereits beschr\"ankt und es
folgt
$$\Vert D_nD_nD_nu_k\Vert_{C^{l-2,\alpha}}\le c\cdot\left\{
\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}}\right\}.$$
Wir erhalten also
$$\Vert Du_k\Vert_{C^{l,\alpha}}\le c\cdot\left\{
\Vert f\Vert_{C^{l-1,\alpha}}+\Vert u\Vert_{C^{l+1,0}}\right\}.$$
Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}
Erf\"ullt der lineare Operator $L$ die Voraussetzungen von Theorem
\ref{schauder higher} nur lokal, so gen\"ugt eine L\"osung 
$u\in C^{l,\alpha}(\Omega)$ der Gleichung $Lu=f$ den Absch\"atzungen
$$\Vert u\Vert_{C^{l,\alpha}(\Omega')}\le c\cdot
\left\{\Vert f\Vert_{C^{l-2,\alpha}(\Omega'')}
+\Vert u\Vert_{C^0(\Omega'')}\right\}$$
f\"ur alle $\Omega'\Subset\Omega''\Subset\Omega$ und die Konstante
h\"angt nun noch zus\"atzlich von $\Omega'$ und $\Omega''$ ab. 
\end{theorem}
\begin{proof}
\"Ubung, siehe auch \cite{GT}. 
\end{proof}

\subsection{Stetigkeitsmethode}
Hier betrachtet man eine Familie von Randwertproblemen f\"ur 
einen Parameter $t\in[0,1]$. Die Familie ist dabei so gew\"ahlt,
dass man das Randwertproblem f\"ur $t=0$ bekannterma\ss{}en 
eindeutig l\"osen kann und dass man f\"ur $t=1$ das Randwertproblem
bekommt, das man eigentlich l\"osen m\"ochte. Dann zeigt man,
dass die Menge der Parameter $t\in[0,1]$, f\"ur die
man das entsprechende Randwertproblem eindeutig l\"osen kann,
offen und abgeschlossen ist. Da diese Menge auch nichtleer ist,
ist sie gleich dem gesamten Interval $[0,1]$ und man 
erh\"alt insbesondere auch eine L\"osung f\"ur $t=1$. 

Wir interessieren uns hier f\"ur das Randwertproblem
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
Sei $L$ wie oben mit $d(x)\le0$, $\Omega\subset\R^n$
offen, beschr\"ankt und mit $C^{2,\alpha}$-Rand.
Sei $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
und $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$.

\begin{remark}
  Wie man sich am Beispiel $x\mapsto|x|^\alpha$ \"uberzeugt,
  approximieren Gl\"attungen eine $C^{0,\alpha}$-Funktion im
  allgemeinen nicht in $C^{0,\alpha}$. (Die Gl\"attungen approximieren
  aber in $C^{0,\beta}$ f\"ur $0<\beta<\alpha$.) Daher werden wir nun
  $f$ und $g$ nur in $C^0$ bzw.{} $C^2$ approximieren. Beachte aber,
  dass die $C^{2,\alpha}$-Normen der approximierenden Funktionen
  trotzdem (bis auf eine feste Konstante) gleichm\"a\ss{}ig durch die
  $C^{2,\alpha}$-Norm der urspr\"unglichen Funktion beschr\"ankt
  sind.\par Betrachte dazu
  \begin{align*}
    &\,\frac{|f_\epsilon(x)-f_\epsilon(y)|}{|x-y|^\alpha}\umbruch\\
    \le&\,\int \underbrace{|f(x+z)-f(y+z)|}_{
      \le[f]_{C^{0,\alpha}}\cdot|x-y|^\alpha}\eta_\epsilon(z)\,dz
    \cdot\frac1{|x-y|^\alpha}\umbruch\\
    \le&\,[f]_{C^{0,\alpha}}.
  \end{align*}
\end{remark}

Wir ben\"otigen zun\"achst
\begin{theorem}[Kellogg]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
  $\partial\Omega\in C^\infty$. Sei
  $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ und
  $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. Dann besitzt das
  Dirichletproblem
$$\begin{cases}
\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega   
\end{cases}$$
eine L\"osung $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. Die L\"osung
ist in $C^2\left(\ol\Omega\right)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$
eindeutig bestimmt. 
\end{theorem}
\begin{proof}
Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip.

Zun\"achst wollen wir $f$ und $g$ durch glatte Funktionen
approximieren. Nach Fortsetzung und Gl\"attung erhalten wir
\begin{align*}
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)\ni f_k\to&\,\,f
  \quad\text{in }C^0\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)\ni g_k\to&\,\,g \quad\text{in
  }C^2\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
Die Probleme 
$$\begin{cases}
\Delta u_k=f_k&\text{in }\Omega,\\
u_k=g_k&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$ 
betrachtet man nun als Randwertprobleme f\"ur (nach
Abziehen der Randwerte) $w_k:=u_k-g_k\in H^1_0(\Omega)$. Sie besitzen
glatte L\"osungen $w_k$ bzw.\ $u_k$ ($L^2$-Theorie).  Aufgrund von
Theorem \ref{schauder est global} gelten die Absch\"atzungen
\begin{align*}
\Vert u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le&\,
c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert f_k\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert g_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}\umbruch\\
\le&\,c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
+\Vert g\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.
\end{align*}
Nach Arzel\`a-Ascoli konvergiert (ohne Einschr\"ankung) $u_k\to u$ in
$C^2$ f\"ur ein $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. 

Insbesondere folgt also in $\Omega$ die Konvergenz $\Delta
u_k\to\Delta u$ in $C^0\left(\ol\Omega\right)$, als kommutatives
Diagramm
$$\xymatrix{\Delta u_k\ar[d]\ar@{=}[r]&f_k\ar[d]\\
  \Delta u\ar@{=}[r]&f.}$$ Ebenso konvergieren die Randwerte. Die
Funktion $u$ ist damit die gesuchte L\"osung. Sie erf\"ullt 
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le \liminf_{k\to\infty} \Vert
u_k\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le c(n,\alpha,\Omega)\cdot\left\{\Vert
  f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)} +\Vert
  g\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\right\}.$$ Aufgrund der Eindeutigkeit
des Grenzwertes konvergiert sogar die gesamte Folge.
\end{proof}

\begin{remark}
  Anhand des Beweises von Theorem \ref{schauder est global}
  \"uberzeugt man sich leicht, dass die Konstante in der
  Normabsch\"atzung f\"ur eine Folge von $C^\infty$-Gebieten, die ein
  $C^{2,\alpha}$-Gebiet in $C^2$ mit beschr\"ankter
  $C^{2,\alpha}$-Norm approximieren, d.\,h.\ wenn lokal die
  den Rand als Graphen darstellenden Funktionen in $C^2$
  konvergieren, gleichm\"a\ss{}ig gew\"ahlt werden kann.

  Wir erhalten damit Kelloggs Theorem auch f\"ur
  $C^{2,\alpha}$-Gebiete: Wir setzen zu\-n\"achst $g$ als
  $C^{2,\alpha}$-Funktion mit entsprechend kontrollierter Norm nach
  $\R^n$ fort und approximieren dann das Gebiet $\Omega$ durch glatte
  Gebiete $\Omega_k$, auf die die obige Version von Kelloggs Theorem
  anwendbar ist.  Der Einfachheit halber wollen wir die Gebiete
  $\Omega_k$ stets so w\"ahlen, dass $\Omega\subset\Omega_k$
  gilt. Dies erreicht man beispielsweise, indem man
  Abstandsniveaufl\"achen zu $\partial\Omega$ gl\"attet. Wir erhalten
  somit L\"osungen $u_k$ mit gleichm\"a\ss{}igen
  $C^{2,\alpha}\left(\ol{\Omega_k}\right)$-Absch\"atzungen.  Somit
  sind auch die Funktionen $u_k|_\Omega$ in
  $C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ gleichm\"a\ss{}ig
  beschr\"ankt. Eine Teilfolge davon (und wie man sich leicht
  \"uberlegt, sogar die gesamte Folge, da der Grenzwert eindeutig
  bestimmt ist) konvergiert dann gegen die gew\"unschte L\"osung.
\end{remark}

Wir wollen das folgende Existenzresultat beweisen
\begin{theorem}\label{schauder exist}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega
\in C^{2,\alpha}$. Sei $L$ wie in den Generalvoraussetzungen,
Definition \ref{schauder gen ass}, mit 
$$d\le0\quad\text{in }\Omega.$$
Dann gibt es zu jedem $f\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
und jedem $g\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ eine 
L\"osung $u\in C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$
des Dirichletproblems
$$\begin{cases}
Lu=f&\text{in }\Omega,\\
u=g&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
Diese L\"osung ist im Raum $C^2(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$
eindeutig bestimmt. 
\end{theorem}
\begin{proof}
Indem wir $u-g$ statt $u$ betrachten und $f$ entsprechend
ab\"andern, d\"urfen wir annehmen, dass $g\equiv0$ gilt.

Wir definieren f\"ur $t\in[0,1]$ Differentialoperatoren $L_t$
durch
$$L_t=(1-t)\Delta+tL.$$
Beachte, dass alle Operatoren $L_t$ die Generalvoraussetzungen
\ref{schauder gen ass} mit von $t$ unabh\"angigen 
Konstanten $\lambda>0$ und $K$ erf\"ullen. Weiterhin 
bleibt die Eigenschaft \glqq$d(x)\le0$ in $\Omega$\grqq{} auch
f\"ur $L_t$ erhalten. F\"ur $t=0$ liefert Kelloggs Theorem
die L\"osung. F\"ur $t=1$ behaupten wir, dass es eine L\"osung
gibt. 

Wir k\"urzen Banachr\"aume wie folgt ab
\begin{align*}
  B_1:=&\,C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)
         \cap\left\{u\in
         C^0\left(\ol\Omega\right):
         u|_{\partial\Omega}=0\right\},\\   
  B_2:=&\,C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right).
\end{align*}
$B_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum von 
$C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$. Als Norm k\"onnen wir daher
die $C^{2,\alpha}$-Norm verwenden. 

Der Operator
$$L_t:B_1\to B_2$$
ist ein beschr\"ankter linearer Operator. Sei $u_t$ die 
L\"osung von 
$$\begin{cases}
L_tu_t=f&\text{in }\Omega,\\
u_t=0&\text{auf }\partial\Omega.   
\end{cases}$$
Dann gilt
$$\Vert u_t\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le 
c\cdot\Vert f\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}$$
mit einer von $t$ unabh\"angigen Konstanten. 

Wir haben also die folgenden Eigenschaften: 
\begin{itemize}
\item $L_t\colon B_1\to B_2$ ist ein beschr\"ankter linearer
  Operator. 
\item $L_0=\Delta$ ist nach Kellogg surjektiv. 
\item Die letzte a priori Schranke k\"onnen wir auch als
  $$\Vert u\Vert_{B_1}\le c\cdot\Vert L_tu\Vert_{B_2}$$
  f\"ur alle $u\in B_1$ schreiben.
\end{itemize}

Das Theorem folgt, wenn wir zeigen k\"onnen, dass auch $L_1$ surjektiv
ist. Dies erhalten wir aus dem folgenden Theorem.
\end{proof}

\begin{theorem}
Seien $L_0$, $L_1:B_1\to B_2$ beschr\"ankte lineare
Operatoren zwischen Banachr\"aumen $B_1$ und $B_2$. 
Wir definieren 
$$L_t:=(1-t)L_0+tL_1\quad\text{ f\"ur }0\le t\le1.$$
Gibt es eine von $t$ unabh\"angige Konstante $c$ mit
$$\Vert u\Vert_{B_1}\le c\Vert L_tu\Vert_{B_2}$$
f\"ur alle $u\in B_1$ und ist $L_0$ surjektiv, so
ist auch $L_1$ surjektiv.   
\end{theorem}
\begin{proof}
Beachte zun\"achst, dass die beiden Definitionen f\"ur $L_t$ insbesondere
f\"ur $t=0$ und $t=1$ \"ubereinstimmen.   

Nehme an, dass $L_\tau$ f\"ur ein $\tau\in[0,1]$ surjektiv ist.
Nach der Absch\"atzung f\"ur die Normen ist $L_\tau$ auch injektiv. 
Somit ist $L_\tau$ ein bijektiver Operator mit entsprechenden
Normabsch\"atzungen. (Aufgrund der Neumannschen Reihe bilden
die invertierbaren (und damit auch die bijektiven) in beide
Richtungen stetigen Operatoren eine offene Teilmenge von
$L(\cdot,\cdot)$. Wir wollen jedoch eine quantitative 
Variante davon verwenden.)
Die Inverse 
$$L_\tau^{-1}:B_2\to B_1$$
ist aufgrund der Bijektivit\"at auch ein beschr\"ankter linearer Operator.
Sei $t\in[0,1]$ beliebig, $f\in B_2$. Wir schreiben die 
Gleichung $L_tu=f$ als
$$L_\tau u=f+(L_\tau-L_t)u=f+(t-\tau)(L_0u-L_1u)$$
um und weiter als Fixpunktgleichung in der Form
$$u=L_\tau^{-1}f+(t-\tau)L_\tau^{-1}(L_0-L_1)u=:\Lambda u.$$
Nach dem Banachschen Fixpunktsatz finden wir einen solchen
Fixpunkt, falls es ein $q<1$ gibt, so dass f\"ur alle $u$, 
$v\in B_1$
$$\Vert\Lambda u-\Lambda v\Vert_{B_1}\le q\cdot
\Vert u-v\Vert_{B_1}$$
gilt. Es gilt
$$\Vert\Lambda u-\Lambda v\Vert_{B_1}
\le\underbrace{\left\Vert L_\tau^{-1}\right\Vert_{L(B_2,B_1)}
  \cdot\left(\Vert L_0\Vert_{L(B_1,B_2)} +\Vert
    L_1\Vert_{L(B_1,B_2)}\right) \cdot|t-\tau|}_{=:q}\cdot\Vert
u-v\Vert_{B_1}.$$ Somit k\"onnen wir $q<1$ unabh\"angig von $\tau$
erreichen, wenn nur $|t-\tau|$ klein genug ist. In dieser Umgebung von
$\tau$ ist $L_\tau u=f$ l\"osbar, d.\,h.\ $L_\tau$ ist dort surjektiv
und damit auch bijektiv. Da die entsprechenden Umgebungen von $\tau$
unabh\"angig gew\"ahlt werden k\"onnen, haben wir nach endlich vielen
Schritten von $t=0$ ausgehend auch die Bijektivit\"at (und damit die
Surjektivit\"at) von $L_1$ bewiesen. Das Theorem folgt.
\end{proof}

\begin{remark}
In unserem Spezialfall kann man auch die Menge aller $t\in[0,1]$
betrachten, f\"ur die $L_t$ surjektiv (und damit bijektiv) ist.
Aufgrund der Neumannschen Reihe (Verallgemeinerung der geometrischen
Reihe auf Operatoren) ist diese Menge offen. 
Die Schauderabsch\"atzungen liefern (mit Arzel\`a-Ascoli)
die Abgeschlossenheit. Nach Kellogg ist diese Menge nichtleer.
Auch so folgt Theorem \ref{schauder exist}.

F\"uhre die Details dazu als \"Ubung aus. 
\end{remark}   

\section{A priori Absch\"atzungen f\"ur L\"osungen der
  W\"armeleitungsgleichung}
Die n\"achsten Kapitel besch\"aftigen sich mit Anwendungen des
parabolischen Maximumprinzips. 

\subsection{Globale Absch\"atzungen} Mit Hilfe der Darstellungsformel
k\"onnen wir eine L\"o\-sung der W\"armeleitungsgleichung explizit
hinschreiben. Daraus folgen auch Darstellungsformeln f\"ur
Ableitungen, die es erlauben, Schranken f\"ur die Ableitung
herzuleiten. Eleganter und auch leichter auf andere Gleichungen
\"ubertragbar ist jedoch die folgende Methode, solche Absch\"atzungen
herzuleiten.

\begin{theorem}
  \label{LsWrGl}
  Sei $u: C^\infty \left(\R^n \times(0,\infty)\right) \cap L^\infty
  \left( \R^n \times [0,\infty)\right)$ eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung
  \[\dot{u}=\Delta u \quad \text{in } \R^n \times (0,\infty)\]
  mit $u(x + p, t) = u(x,t)$ f\"ur alle $(x,t)\in \R^n \times
  [0,\infty)$ und alle $p\in \Z^n$, also eine periodische
  L\"osung. Dann gilt
  \[|Du(x,t)|\le\frac{1}{\sqrt t}\Vert u \Vert _{L^\infty\left(\R^n
      \times\{0\}\right)}\] f\"ur $(x,t)\in
  \R^n\times(0,\infty)$.
\end{theorem}
Die Periodizit\"at haben wir nur angenommen, um das Maximumprinzip
anwenden zu k\"onnen. 
\begin{proof}
  Sei $\epsilon >0$. Wir definieren
  \[ w_\epsilon(x,t):=u^2(x,t)+(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\] f\"ur
  $(x,t)\in \R^n\times[\epsilon, \infty)$. Die Konstante $\epsilon$
  ben\"otigen wir nur, da $t\cdot|Du(x,t)|^2$ f\"ur $t$ nahe $0$
  unbeschr\"ankt werden k\"onnte.
  \par
  Wir behaupten, dass
  \begin{equation}
    \label{w mp anw gl}
    w_\epsilon(x,t) \le \max_{\R^n\times\{\epsilon\}} w_\epsilon
    \le\Vert u \Vert^2_{L^\infty\left(\R^n\times[0,\infty)\right)}
    \le\Vert u\Vert^2_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}
  \end{equation}
    f\"ur $(x,t)\in \R^n\times [\epsilon, \infty)$ gilt. Die zweite
    Ungleichung ist offensichtlich, die dritte eine direkte Folgerung
    aus dem Maximumprinzip. Hieraus folgt:
  \[(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\le
  u^2(x,t)+(t-\epsilon)|Du(x,t)|^2\le\Vert
  u\Vert^2_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}\] und somit
  \[|Du(x,t)|\le\frac{1}{\sqrt{t-\epsilon}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty\left(\R^n\times\{0\}\right)}\] f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times (\epsilon,\infty)$. (Man sieht, dass wir f\"ur
  $u^2(x,t)$ nahe bei $\Vert u\Vert^2_{L^\infty}$ eine bessere
  Absch\"atzung bekommen k\"onnten.) Mit $\epsilon\searrow 0$ erhalten
  wir hieraus die Behauptung des Theorems. \par
  Wir beweisen nun Behauptung \eqref{w mp anw gl}: Dazu berechnen wir
  $\dot{w}_\epsilon - \Delta w_\epsilon$. Es gilt
  \begin{align*}
    w_\epsilon(x,t)=&\,u^2(x,t)
    +(t-\epsilon)\left|Du(x,t)\right|^2,\umbruch\\ 
    \dot{w}_\epsilon=&\,2
    u\,\dot{u}+\left|Du\right|^2+2(t-\epsilon)u^k\,\dot u_k,\umbruch\\ 
    w_{\epsilon i}=&\,2u\, u_i +2(t-\epsilon)u^k\,u_{ki},\umbruch\\
    w_{\epsilon ij}=&\,2u\,u_{ij}+2u_i\,u_j+2(t-\epsilon)u^ku_{kij}
    +2(t-\epsilon)u^k_ju_{ki},\umbruch\\
    \dot{w}_\epsilon-\Delta\,w_\epsilon=&\,2\,u(\dot{u}-\Delta u)
    +\left|Du\right|^2-2\left|Du\right|^2+2(t-\epsilon)\,u^k
    (\dot{u}-\Delta u)_k\\
    &\,-2(t-\epsilon)\left|D^2u\right|^2\umbruch\\
    \le&\,0.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $u$ eine periodische L\"osung der W\"armeleitungsgleichung auf
  $\R^n$ wie in Theorem \ref{LsWrGl}. Sei $t_0\ge0$. Dann
  gilt
  \[\left|D^2u(x,t)\right|\le\frac{1}{\sqrt{t-t_0}}\Vert
  Du\Vert_{L^\infty\left(\R^n\times\{t_0\}\right)}\]
  f\"ur alle $(x,t)\in \R^n\times(t_0,\infty)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Betrachte
  \[w(x,t):=\left|Du(x,t)\right|^2+(t-t_0)\cdot\left|D^2u(x,t)
  \right|^2\] und argumentiere analog zum Beweis von Theorem
  \ref{LsWrGl}. Die Details dazu lassen wir als einfache \"Ubung.
  \par
  Alternativ kann man benutzen, dass jede der Funktionen $u_k$,
  $k\in \{1,\ldots, n\}$, die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt,
  Theorem \ref{LsWrGl} anwenden und die resultierenden
  Absch\"atzungen aufsummieren.
\end{proof}
Entsprechende Verallgemeinerungen gelten auch f\"ur h\"ohere
Ableitungen. Kombiniert man mehrere solche Absch\"atzungen, so folgt
f\"ur $(x,t)\in\R^n\times(0,\infty)$, $m\in\N_{>0}$ und
$\tau:=\nicefrac tm$
\begin{align*}
  \left|D^mu(x,t)\right|=&\,\left|D^mu(x,m\tau)\right|\umbruch\\
  \le&\,\frac1{\sqrt\tau}\left\Vert D^{m-1}u\right\Vert_{L^\infty
    (\R^n\times\{(m-1)\tau\})}\umbruch\\ 
  \le&\,\frac1{{\sqrt\tau}^2}\left\Vert D^{m-2}u
  \right\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{(m-2)\tau\})}\umbruch\\ 
  \le&\,\ldots\le\frac1{\tau^{m/2}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{0\})}=\frac{m^{\nicefrac
      m2}}{t^{\nicefrac m2}}\Vert
  u\Vert_{L^\infty(\R^n\times\{0\})}. 
\end{align*}

\subsection{Lokale Absch\"atzungen}
Als Vorbereitung f\"ur die lokalen Absch\"atzungen ben\"otigen wir 
\begin{lemma}
  Sei $\phi\in C^2_c\left(\R^n\right)$ mit $\phi\ge0$. Dann gilt in
  allen Punkten mit $\phi>0$
  \[\frac{\left|D\phi\right|^2}{\phi}\le2\Vert
  D^2\phi\Vert_{L^\infty}.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}
  Sei $\epsilon>0$. Wir m\"ochten
  $\frac{\left|D\phi\right|^2}{\phi+\epsilon}$ beschr\"anken. Durch
  Einschr\"anken auf eine Gerade k\"onnen wir ohne Einschr\"ankung
  $n=1$ annehmen. Sei \[w=\frac{\phi'^2}{\phi+\epsilon}.\] In einem
  Punkt, in dem $w$ maximal ist, gilt
  \[0=w'=\frac{2\phi'\phi''(\phi+\epsilon)-\phi'^2\phi'}
  {(\phi+\epsilon)^2}\] 
  und daher
  \[2\phi''=\frac{\phi'^2}{\phi+\epsilon}\] und somit $w\le2\left\Vert
  D^2\phi\right\Vert_{L^\infty} $. Mit $\epsilon\searrow0$ folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}[Innere Absch\"atzungen]
  Sei
  \[u\in C^3(B_R\times(0,T))\cap
    C^0\left(\ol{B}_R\times[0,T]\right),\] mit $R,T>0$, eine L\"osung
  der W\"armeleitungsgleichung in $B_R\times(0,T)$. Sei
  $\phi\in C^2_c(B_R\times[0,T])$ mit $\phi\ge0.$ Definiere f\"ur
  $\lambda>0$
  \[w:=t\phi|Du|^2+\lambda u^2.\] Dann existiert
  $\lambda_0=\lambda_0(T, \Vert\phi\Vert_{C^2})$, so dass f\"ur
  $\lambda\ge\lambda_0$
  \[\sup_{B_R\times[0,T]} w\le\sup_{\P(B_R\times(0,T))}w\]
  gilt. Insbesondere gilt also
  \[t\phi|Du|^2\le\lambda\cdot\Vert
  u\Vert^2_{L^\infty(\P(B_R\times(0,T)))}\] in $B_R\times[0,T].$
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir lassen es wieder als \"Ubung,
  \[(t-\epsilon)\phi|Du|^2+\lambda u^2\] und sp\"ater den Grenzwert
  $\epsilon\searrow0$ zu betrachten und arbeiten wieder direkt mit
  $w$. Es gilt in Punkten mit $\phi>0$
  \begin{align*}
    w=&\,t\phi|Du|^2+\lambda u^2,\umbruch\\
    \dot w=&\,\phi|Du|^2+t\dot{\phi}|Du|^2+2t
    \phi u^k\dot{u}_k+2\lambda u\dot{u},\umbruch\\
    w_i=&\,t\phi_i |Du|^2+2t\phi
    u^ku_{ki}+2\lambda uu_i,\umbruch\\
    w_{ij}=&\,t\phi_{ij}|Du|^2+2t\phi_iu^ku_{kj}
    +2t\phi_ju^ku_{ki}\\
    &\,+2t\phi u^k_ju_{ki}+2t\phi u^ku_{kij}
    +2\lambda u_iu_j + 2\lambda uu_{ij},\umbruch\\
    \dot{w}-\Delta w=&\,\phi|Du|^2+t(\dot{\phi}-\Delta\phi)|Du|^2\\
    &\,+2t\phi u^k(\dot{u}-\Delta u)_k-4t\phi^i u^ju_{ij}\\
    &\,-2t\phi\left|D^2u\right|^2-2\lambda|Du|^2
    +2\lambda u(\dot{u}-\Delta u)\umbruch\\ 
    \le&\,\phi|Du|^2+tc(\phi)|Du|^2\\
    &\,+2t\phi\left|D^2u\right|^2+2t\frac{|D\phi|^2}{\phi}|Du|^2\\
    &\,-2t\phi\left|D^2u\right|^2-2\lambda|Du|^2\umbruch\\
    \le&\,(\phi+tc(\phi)-2\lambda)|Du|^2\le0,
  \end{align*}
  wobei wir die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung benutzt und
  $\lambda\ge\lambda_0(T,\Vert\phi\Vert_{C^2})$ angenommen haben.  In
  Punkten mit $\phi=0$ gilt wegen $D\phi=0$ ebenfalls
  \[\dot w-\Delta w\le tc(\phi)|Du|^2 -2\lambda|Du|^2 +2\lambda u(\dot
  u-\Delta u)\le0.\] Die Behauptung folgt nun aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Zeitabh\"angigkeit von $\phi$ ist h\"aufig nicht n\"otig,
    insbesondere, solange man mit dem Faktor $t$ arbeitet. 
  \item Eine sch\"onere Absch\"atzung erh\"alt man auf einem Zylinder
    der Form $B_R\times\left(0,cR^2\right)$, indem man $\phi$ durch
    eine Funktion $\phi_R(x):=\phi\left(\frac xR\right)$ mit
    $\phi\in C^2_c(B_1)$ mit $\phi\ge0$ ersetzt. Dann kann man
    $\lambda=\lambda(c,\Vert\phi\Vert_{C^2})$ unabh\"angig von $R$
    w\"ahlen. Details: \"Ubung.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Entsprechende Absch\"atzungen gelten auch f\"ur h\"ohere Ableitungen
von $u$.  

\subsection{Skalierte innere Absch\"atzungen}
Mit $(R,T)=(2,1)$ erhalten wir
\begin{corollary}[Innere Absch\"atzungen]
  \label{inn est grad 1 cor}
  Sei
  \[u\in C^3(B_2\times(0,1))\cap C^0\left(\ol{B}_2\times[0,1]\right)\]
  eine L\"osung der W\"armeleitungsgleichung in $B_2\times(0,1)$. Dann
  gibt es ein $C=C(n)>0$, so dass
  \[t|Du|^2\le C\cdot\Vert u\Vert^2_{L^\infty(\mathcal
      P(B_2\times(0,1)))}\] in $B_1(0)\times[0,1]$ gilt.
\end{corollary}

Durch parabolische Skalierung ergibt sich daraus
\begin{corollary}[Skalierte innere Absch\"atzungen]
  Sei $R>0$ und sei
  \[u\in C^3\left(B_{2R}\times\left(0,R^2\right)\right)\cap
    C^0\left(\ol{B}_{2R}\times\left[0,R^2\right]\right)\] eine
  L\"osung der W\"armeleitungsgleichung in
  $B_{2R}\times\left(0,R^2\right)$. Dann gibt es ein $C=C(n)>0$, so
  dass
  \[t|Du|^2\le C\cdot\Vert u\Vert^2_{L^\infty\left(\mathcal
        P\left(B_{2R}\times \left(0,R^2\right)\right)\right)}\] 
  in $B_R\times\left[0,R^2\right]$ gilt.\par
  Insbesondere gilt f\"ur eine L\"osung \[u\in
    C^3(\R^n\times(0,\infty)) \cap
    C^0\left(\R^n\times[0,\infty)\right)\] der
  W\"armeleitungsgleichung in $\R^n\times(0,\infty)$ die
  Absch\"atzung \[t|Du|^2\le C(n)\cdot\Vert
    u\Vert^2_{L^\infty(\R^n\times(0,\infty))}\] in ganz
  $\R^n\times(0,\infty)$. 
\end{corollary}
Wir k\"onnen dabei wieder $C$ aus Korollar \ref{inn est grad 1 cor}
verwenden.
\begin{proof}
  Durch sogenanntes parabolisches Skalieren erhalten wir eine
  Funktion $w$ mit 
  \begin{align*}
    w\colon B_2\times[0,1] &\to\R,\\
    w(x,t)&:=u\left(Rx,R^2t\right). 
  \end{align*}
  Sofort einzusehen ist, dass auch $w$ die W\"armeleitungsgleichung
  l\"ost. Wir wenden nun Korollar \ref{inn est grad 1 cor} auf $w$ an
  und erhalten aufgrund der
  Kettenregel
  \begin{align*}
    tR^2\left|Du\left(Rx,R^2t\right)\right|^2
    &=t|Dw(x,t)|^2\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert w\Vert_{L^\infty(\mathcal
      P(B_2\times(0,1)))}\umbruch\\
    &=C\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty\left(\mathcal P\left(B_{2R}\times
          \left(0,R^2\right)\right) \right)}
  \end{align*}
  % \[t|Dw(x,t)|^2 =tR^2\left|Du\left(Rx,R^2t\right)\right|^2 \le
  %   C\cdot\Vert u\Vert_{L^\infty\left(\mathcal P\left(B_{2R}\times
  %         \left(0,R^2\right)\right) \right)}\]
  f\"ur $(x,t)\in B_1\times[0,1]$.  Mit Variablen
  $(y,\tau):=\left(Rx,R^2t\right)$ erkennt man nun direkt, dass dies
  die behauptete Absch\"atzung ist.
\end{proof}
Alternativ h\"atte man bereits bei den ersten inneren Absch\"atzungen
eine Testfunktion verwenden k\"onnen, die genau zur Skalierung der
W\"armeleitungsgleichung passt.



\section{Eigenwerte des Laplaceoperators}

\subsection{Existenz und Basiseigenschaften}

Wir folgen \cite[S. 231 ff.]{JostPDE}. Sei hier stets $\Omega\subset\R^n$
offen, beschr\"ankt und zu\-sam\-men\-h\"an\-gend, $\partial\Omega\in
C^\infty$. Bezeichne hier $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das
Skalarprodukt in $L^2(\Omega)$.

\begin{theorem}
Der kleinste Eigenwert des Laplaceoperators bei Dirichletrandwerten
ist gegeben durch
$$\lambda_1:=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\int\limits_\Omega|Du|^2}{\int\limits_\Omega u^2}
\equiv\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}>0.$$
Es gibt $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, $u>0$ in $\Omega$,
so dass
$$\begin{cases}\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.\end{cases}$$
$\lambda_1$ ist ein Eigenwert der Vielfachheit eins.
\end{theorem}
\begin{proof}
Es gilt
$$\lambda_1=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{u\not\equiv0}}\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}
=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{u\in H^1_0(\Omega)}
{\Vert u\Vert_{L^2}=1}}\langle Du,Du\rangle.$$
Das Infimum ist nichtnegativ. Somit gibt es eine Minimalfolge
$$u_i\in H^1_0$$ mit $\Vert u_i\Vert_{L^2}=1$, \dh es gilt
$$\langle Du_i,Du_i\rangle\to\lambda_1.$$
Da somit $\Vert u_i\Vert_{H^1_0}$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt ist,
gibt es eine (nicht umbenannte) Teilfolge mit $u_i\rightharpoondown u$
in $H^1_0(\Omega)$. Nach dem Rellichschen Kompaktheitssatz konvergiert
diese Teilfolge in $L^2$: Es gilt
$$u_i\to u\text{ in }L^2$$
mit $\Vert u\Vert_{L^2}=1$.

Da $\lambda_1$ das Infimum des Raleigh Quotienten ist, folgt
$$\Vert D(u_k+u_l)\Vert^2_{L^2}\ge\lambda_1
\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}.$$

Es gilt die Parallelogrammgleichung
$$\Vert D(u_k-u_l)\Vert_{L^2}^2+\Vert D(u_k+u_l)\Vert_{L^2}^2
=2\Vert Du_k\Vert_{L^2}^2+2\Vert Du_l\Vert_{L^2}^2.$$

Kombination der beiden letzten Formeln liefert,
da $u_k+u_l\to2u$ f\"ur $k$, $l\to\infty$,
\begin{align*}
\Vert Du_k-Du_l\Vert^2_{L^2}\le&
2\Vert Du_k\Vert^2_{L^2}+2\Vert Du_l\Vert^2_{L^2}
-\lambda_1\Vert u_k+u_l\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
\to&\quad2\lambda_1+2\lambda_1-\lambda_1\cdot4\Vert u\Vert^2_{L^2}\umbruch\\
=&0.
\end{align*}

Damit ist $u_k$ auch eine Cauchyfolge in $H^1_0(\Omega)$ und wir
erhalten
$$\frac{\langle Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}=\lambda_1.$$
Aufgrund der Poincar\'eschen Ungleichung gilt $\lambda_1>0$.\par
Sei nun $\phi\in H^1_0(\Omega)$ beliebig. Ist $|t|$ so klein, dass
der Nenner im folgenden Bruch nicht verschwindet, so gilt
$$\frac{\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle}
{\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle}\ge\lambda_1$$
oder
\begin{align*}
0\le&\langle D(u+t\phi),D(u+t\phi)\rangle-\lambda_1
\langle u+t\phi,u+t\phi\rangle\umbruch\\
=&\int\limits_\Omega|Du|^2+2t\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle
+t^2\int\limits_\Omega|D\phi|^2\\
&-\lambda_1\int\limits_\Omega u^2-\lambda_12t\int\limits_\Omega u\phi
-\lambda_1t^2\int\limits_\Omega\phi^2.
\end{align*}
mit Gleichheit f\"ur $t=0$. Aufgrund der Minimalit\"at der
rechten Seite f\"ur $t=0$ verschwindet also ihre Ableitung
an der Stelle $t=0$
$$0=\int\limits_\Omega\langle Du,D\phi\rangle-\lambda_1
\int\limits_\Omega u\phi.$$
Somit ist $u$ eine schwache L\"osung von
$$\begin{cases}
\Delta u+\lambda_1u=0&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie f\"ur schwache L\"osungen
aus Kapitel \ref{reg L2}
erhalten wir daher $u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$.

$\bullet$ $u>0$: Definiere $u^+:=\max\{u,0\}$ und
$u^-:=\min\{u,0\}$. Es gilt (nicht vollkommen trivial)
$$Du^+=\begin{cases}
Du&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\ge0\},\\
0&\text{f.\,\"u.\ in }\{u\le0\}.\\
\end{cases}$$
Wir erhalten also
\begin{align*}
\lambda_1=&\langle Du,Du\rangle=\langle Du^+,Du^+\rangle
+\langle Du^-,Du^-\rangle\\
\ge&\lambda_1\langle u^+,u^+\rangle+\lambda_1\langle u^-,u^-\rangle
\text{ nach Definition von }\lambda_1\\
=&\lambda_1\langle u,u\rangle=\lambda_1.
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit, also
$$\langle Du^\pm,Du^\pm\rangle=\lambda_1\langle u^\pm,u^\pm\rangle$$
und $u^\pm$ minimiert das Funktional und ist deshalb eine schwache
L\"osung des Randwertproblems
$$\begin{cases}
-\Delta u^\pm=\lambda_1u^\pm&\text{in }\Omega,\\
u^\pm=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$ Aufgrund der $L^2$-Regularit\"atstheorie ist $u^+$ eine
klassische glatte L\"osung.  Wir erhalten $-\Delta u^+\ge0$ in
$\Omega$.  Aufgrund des Maximumprinzips gilt daher $u^+>0$ oder
$u^+\equiv0$ in $\Omega$. Analog schlie\ss{}t man f\"ur $u^-$ und
erh\"alt (ggf.\ nach Multiplikation mit $-1$) $u>0$.

$\bullet$ Vielfachheit$=1$:
Sind $u$ und $v$ linear unabh\"angige Eigenvektoren (=Eigenfunktionen)
zum Eigenwert $\lambda_1$, so wechselt eine geeignete Linearkombination
davon in $\Omega$ das Vorzeichen und bleibt Eigenvektor zum
Eigenwert $\lambda_1$ im Widerspruch zur oben bewiesenen
Positivit\"at der ersten Eigenfunktion.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Seien $(\lambda_i,\,u_i)$, $1\le i\le k$, die ersten $k$ Eigenwerte
  mit $\lambda_1\le\ldots\le\lambda_n$ und Eigenfunktionen (mit
  Vielfachheit).  (Diese sind wie \"ublich bei Eigenwerten mit
  Vielfachheit nicht eindeutig bestimmt.) Dann ist der n\"achste
  Eigenwert 
  $$\lambda_{k+1}=\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{0\not\equiv u\in
      H^1_0(\Omega)} 
    {\langle u,u_i\rangle=0,\,1\le i\le k}} \frac{\langle
    Du,Du\rangle}{\langle u,u\rangle}.$$ Es gibt $u_{k+1}\in
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, so dass
$$\begin{cases}
\Delta u_{k+1}+\lambda_{k+1}u_{k+1}=0&\text{in }\Omega,\\
u_{k+1}=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$
gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}
\"Ubungsaufgabe. Beachte, dass die Eigenschaft, schwache
L\"osung zu sein, zum Teil schon aus der Orthogonalit\"atsbedingung
folgt.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{Lapl eigen}
  Es gibt abz\"ahlbar viele Eigenwerte $\lambda_k$ des
  Laplaceoperators mit Dirichletrandwerten und es gilt
$$\lambda_k\to\infty\text{ f\"ur }k\to\infty.$$
Die Eigenfunktionen $u_k$ bilden (bei Konstruktion wie
oben und nach Normierung) eine Orthonormalbasis in $L^2(\Omega)$
und es gilt
\begin{align*}
  v=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle v,v\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in L^2,\\
  \langle Dv,Dv\rangle=&\,\sum\limits_{i=1}^\infty\lambda_i\langle
  v,u_i\rangle^2
  \text{ f\"ur alle }v\in H^1_0.\\
\end{align*}
Ist $v\in H^1_0(\Omega)$, so gilt \[v=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle
v,u_i\rangle u_i\] auch in $H^1_0(\Omega)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}
Falls $\lambda_k\le c$ f\"ur unendlich viele $k$ gilt, so folgt
$$\Vert Du_k\Vert_{L^2}\le c.$$
Nach Rellich konvergiert daher eine Teilfolge in $L^2$.
Dies ist aber nicht m\"oglich, da nach Konstruktion
$\langle u_k,u_l\rangle=0$ f\"ur $k\neq l$ gilt und somit
$$\Vert u_k-u_l\Vert_{L^2}=\sqrt2\not\to0.$$
Definiere
$$H_m:=\left\{v\in H^1_0:\langle v,u_i\rangle=0
\text{ f\"ur }i\le m-1\right\}.$$
Sei zun\"achst $v\in L^2\cap H^1_0=H^1_0$. Definiere
\begin{align*}
\beta_i:=&\,\langle v,u_i\rangle,\umbruch\\
v_m:=&\,\sum\limits_{i\le m}\beta_iu_i,\umbruch\\
w_m:=&\,v-v_m.
\end{align*}
Dann ist $w_m$ die $L^2$-Orthogonalprojektion von $v$ auf $H_{m+1}$,
$v_m$ ist orthogonal zu $H_{m+1}$. Also gilt f\"ur $i\le m$
\begin{align*}
\langle w_m,u_i\rangle=&\,0,\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle\ge&\,\lambda_{m+1}\langle w_m,w_m\rangle.
\end{align*}
Sei $u_i$, $i\le m$, ein Eigenvektor. Dann folgt mit
partieller Integration
\begin{equation}
  \label{orthog eq}
  \langle Dw_m,Du_i\rangle=\lambda_i\langle u_i,w_m\rangle=0,
\end{equation}
also sind auch die Ableitungen orthogonal zueinander.
Somit erhalten wir
\begin{align}
\langle w_m,w_m\rangle=&\,\langle v,v\rangle -2\langle v,v_m\rangle
+\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\ =&\,\langle v,v\rangle
-2\langle w_m+v_m,v_m\rangle +\langle v_m,v_m\rangle\nonumber\umbruch\\
=&\,\langle v,v\rangle-\langle v_m,v_m\rangle,
\nonumber\umbruch\\
\langle Dw_m,Dw_m\rangle=&\,\langle Dv,Dv\rangle-\langle Dv_m,Dv_m\rangle
\label{Dvm}
\end{align}
und
\begin{align*}
\langle w_m,w_m\rangle\le&\,
\frac1{\lambda_{m+1}}\langle Dw_m,Dw_m\rangle\umbruch\\
\le&\,\frac1{\lambda_{m+1}}\langle
Dv,Dv\rangle\le\frac1{\lambda_{m+1}}\Vert v\Vert_{H^1_0(\Omega)}\to0.
\end{align*}
Somit gilt $w_m\to0$ in $L^2$ und wir erhalten
die folgende in $L^2$ konvergente Summe
$$v=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle u_i.$$
F\"ur allgemeines $v\in L^2$ erhalten wir nun diese Formel durch
Approximation in $L^2$ durch $H^1_0$-Funktionen.  Als Vorbereitung
zeigen wir: Gilt $v^k\to v$ in $L^2$ mit $v^k\in H^1_0$, so folgt
gleichm\"a\ss{}ig f\"ur alle $N$ aufgrund der Besselschen
Ungleichung
$$\left\Vert v_N-v^k_N\right\Vert_{L^2}^2\equiv
\left\Vert\sum\limits_{i=1}^N\left\langle v-v^k, u_i\right\rangle
  u_i\right\Vert_{L^2}^2 =\sum\limits_{i=1}^N\left\vert \left\langle
    v-v^k, u_i\right\rangle\right\vert^2 \le\left\Vert
  v-v^k\right\Vert_{L^2}^2,$$ da die Eigenfunktionen $u_i$ orthonormal
zueinander sind. Damit erhalten wir
\begin{align*}
  \Vert v-v_N\Vert_{L^2}\le&\, \left\Vert v-v^k\right\Vert_{L^2}
  +\left\Vert v^k-v^k_N\right\Vert_{L^2} +\underbrace{\left\Vert
    v^k_N-v_N\right\Vert_{L^2}}_{\le\left\Vert
    v-v^k\right\Vert_{L^2}}
\end{align*}
Nun fixieren wir zun\"achst $k$ gro\ss{}, so dass der erste Term klein
wird. Damit ist auch der dritte Term abgesch\"atzt. Da $v^k\in H^1_0$
ist und wir $k$ fixiert haben, wird der zweite Term aufgrund der
obigen Rechnungen f\"ur $N\to\infty$ klein. Somit approximiert die
Summe auch beliebige $v\in L^2$ bez\"uglich der $L^2$-Norm. Die $u_i$
sind also eine Orthonormalbasis f\"ur $L^2$.

Weiterhin erhalten wir 
\begin{align*}
  0=&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left\Vert\sum\limits_{i=1}^N \langle
    v,u_i\rangle u_i-v\right\Vert_{L^2}^2\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{N\to\infty} \left(\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2 -2\sum\limits_{i=1}^N\langle v,u_i\rangle^2
    +\langle v,v\rangle\right)\umbruch\\ =&\,\lim\limits_{N\to\infty}
  \left(\langle v,v\rangle -\sum\limits_{i=1}^N\langle
    v,u_i\rangle^2\right). 
\end{align*}
Somit folgt
$$\langle v,v\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle v,u_i\rangle^2.$$

F\"ur $v\in H^1_0$ gilt
$$Dv_m=\sum\limits_{i\le m}\beta_iDu_i.$$
Aufgrund der Orthogonalit\"atsbeziehung der $Du_i$ in $L^2$, \dh
$\langle Du_i,Du_j\rangle=0$ f\"ur $i\neq j$ (Rechnung dazu wie in
\eqref{orthog eq}), folgt
$$\langle Dv,Dv\rangle\overset{\text{\eqref{Dvm}}}{\ge}\langle Dv_m,Dv_m\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\langle Du_i,Du_i\rangle
=\sum\limits_{i\le m}\beta_i^2\lambda_i.$$
Da alle $\lambda_i$ positiv sind, ist der letzte Ausdruck, als Folge
in $m$ aufgefasst, absolut konvergent. Somit gilt f\"ur $m<n$ wegen
$Dw_m-Dw_n =Dv_n-Dv_m$
\begin{align*}
  \Vert Dw_m-Dw_n\Vert_{L^2}^2  =&\,\Vert
  Dv_n-Dv_m\Vert_{L^2}^2 =\sum\limits_{i=m+1}^n\lambda_i\beta_i^2\to0
\end{align*}
f\"ur $m$, $n\to\infty$. Somit sind $Dw_m$ und $Dv_m$ Cauchyfolgen in
$L^2$. Also konvergieren $w_m$ und $v_m$ in $H^1_0$.  Die Grenzwerte
stimmen mit den $L^2$-Grenzwerten \"uberein und ist somit Null bzw.{}
$v$. Somit folgt analog zu oben
$$\langle Dv,Dv\rangle=\sum\limits_{i=1}^\infty
\lambda_i\beta_i^2$$
f\"ur alle $v\in H^1_0$.
\end{proof}

\subsection{Separation der Variablen}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt,
$\partial\Omega$ sei glatt.
Seien $u_0$, $u_1\in L^2(\Omega)$. Wir wollen die Anfangswertprobleme
\begin{align}
\begin{cases}\label{parab L2}
\dot u-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times[0,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times[0,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega
\end{cases}
\intertext{und}
\begin{cases}\label{hyper L2}
u_{tt}-\Delta u=0&\text{in }\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega\times(-\infty,\infty),\\
u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\Omega,\\
u_t(\cdot,0)=u_1&\text{in }\Omega
\end{cases}
\end{align}
l\"osen. Dabei beschreibt die W\"armeleitungsgleichung
\eqref{parab L2} die W\"armeverteilung in einem K\"orper
$\Omega$ als Funktion der Zeit, wenn die Au\ss{}enfl\"achen eine
konstante Temperatur haben. Die Wellengleichung
beschreibt die Auslenkung der Membran einer wenig
ausgelenkten Trommel.

\textbf{W\"armeleitungsgleichung.}  Um die Gleichung \eqref{parab L2}
zu l\"osen, machen wir den Ansatz $u(x,t):=f(t)v(x)$, nehmen an, dass
wir durch $u$ and $f$ in der Herleitung (formale Rechnung) teilen
d\"urfen, und erhalten
$$\frac1u\left(\dot u-\Delta u\right)=
\frac v{vf}\cdot\dt f-\frac f{vf}\Delta v
=\frac1f\cdot\dt f-\frac1v\Delta v.$$
Wir haben also die Abh\"angigkeit von den beiden
Variablen separiert. Gleichheit gilt somit, wenn
$-\frac1f\dt f$ und $\frac{-\Delta v}v$ beide mit einer
gegebenen Konstanten $\lambda$ \"uber\-ein\-stim\-men.

Eigenfunktionen $u$ des Laplaceoperators auf
$\Omega$ mit Randwerten Null zu einem Eigenwert $\lambda$
$$\begin{cases}
-\Delta u=\lambda u&\text{in }\Omega,\\
u=0&\text{auf }\partial\Omega
\end{cases}$$
gibt es nur f\"ur eine diskrete Menge von positiven
Konstanten $\lambda$. Sei $(u_i,\lambda_i)$ ein
solches Tupel.

Die Differentialgleichung $-\frac1f\dt f=\lambda$
besitzt f\"ur beliebiges $\lambda\in\R$
die L\"osung $f(t)=f(0)e^{-\lambda t}$.

Nun l\"ost $w(x,t):=\beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)$ die
W\"armeleitungsgleichung
$$\begin{cases}
\dot w-\Delta w=0&\text{in }\Omega,\\
w=0&\text{auf }\partial\Omega.
\end{cases}$$

Linearkombinationen von L\"osungen der W\"armeleitungsgleichung
sind wieder L\"osungen. Somit ist auch
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^N \beta_ie^{-\lambda_i t}u_i(x)$$
eine L\"osung der W\"armeleitungsgleichung \eqref{parab L2}.

Ist $u_0\in L^2(\Omega)$ beliebig, so gibt es nach
Theorem \ref{Lapl eigen} Konstanten $\beta_i:=\langle u_0,u_i\rangle$
f\"ur $i\in\N_{\ge1}$, so dass
$$u_0=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_iu_i.$$
Mit zus\"atzlicher Arbeit kann man nachweisen, dass nun
\begin{equation}\label{heat lsg}
u(x,t):=\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_ie^{-\lambda_it}u_i(x)
\end{equation}
in einem geeigneten Sinne das Anfangswertproblem
\eqref{parab L2} f\"ur positive Zeiten l\"ost.
F\"ur positive Zeiten ist die L\"osung glatt. F\"ur
$t=0$ erh\"alt man jedoch i.\,a.\ nur eine $L^2$-Funktion.

Diese Probleme bei $t=0$ wollen wir f\"ur den Rest der
Betrachtungen von \eqref{parab L2} und \eqref{hyper L2}
nicht weiter verfolgen.

Wir beobachten, dass hohe Frequenzen (gro\ss{}e Eigenwerte)
in \eqref{heat lsg} schneller abklingen als tiefe.
Weiterhin kann man einen gemeinsamen Faktor $e^{-\lambda_1t}$
ausklammern und sieht, dass $u(x,t)$ mindestens mit dieser
Rate gegen Null konvergiert. Im generischen Fall, wenn
$\beta_1=\int\limits_\Omega u_0u_1\neq0$ ist, kann man die
L\"osung reskalieren. Es gilt dann
$$\frac1{\beta_1}e^{\lambda_1t}u(x,t)\to u_1(x)\text{ f\"ur }
t\to\infty.$$ Somit geht die Temperatur f\"ur gro\ss{}e Zeiten
gleichm\"a\ss{}ig gegen Null und nach Reskalieren approximiert das
Profil der Temperaturverteilung generisch die erste Eigenfunktion.
Ist $\beta_1=\ldots=\beta_{k-1}=0$, so approximiert man entsprechend
die $k$-te Eigenfunktion.

\textbf{Wellengleichung.}
Hier f\"uhrt ein Ansatz $u(x,t)=f(t)v(x)$ zu
$$\frac1u(u_{tt}-\Delta u)=\frac1ff_{tt}-\frac{\Delta v}v$$
zum Gleichungssystem
$$-\frac1ff_{tt}=\lambda=-\frac{\Delta v}v.$$
L\"osungen $u_i$ des rechten Teiles kennen wir bereits.
L\"osungen des ersten Teiles sind gegeben durch
$$f(t)=\alpha_i\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right).$$

Der formale Ansatz
$$u(x,t)=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\alpha_i
\cos\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)
+\frac{\beta_i}{\sqrt{\lambda_i}}
\sin\left(\sqrt{\lambda_i}t\right)\right)u_i(x)$$
f\"uhrt also zu
\begin{align*}
  u(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty\alpha_i
  u_i(x),\\
  u_t(x,0)=&\sum\limits_{i=1}^\infty \beta_iu_i(x).
\end{align*}
Da die $u_i$ eine Orthonormalbasis von $L^2$ bilden, k\"onnen wir
damit das Anfangswertproblem \eqref{hyper L2} zumindest formal
l\"osen. Im Unterschied zu \eqref{parab L2} existiert solch eine
L\"osung f\"ur alle Zeiten, w\"ahrend im parabolischen Fall eine
L\"osung f\"ur negative Zeiten im allgemeinen nicht existiert, da die
Exponentialfaktoren sofort die Konvergenz der Reihe zerst\"oren; die
r\"uckw\"artige W\"armeleitungsgleichung ist im Allgemeinen nicht
l\"osbar.

Anschaulich bedeutet die angegebene L\"osung, dass die betrachtete
Membran eine \"Uberlagerung von Eigenschwingungen ausf\"uhrt. In der
Musik bezeichnet man $\lambda_1$ als Grundton und $\lambda_i$, $i>1$,
als Obert\"one. Diese sind von der Geometrie des Instrumentes
abh\"angig.

Im Falle endlicher Summen liegt eine klassische L\"osung vor und die
formalen Rechnungen werden sofort rigoros.

\section{Maximumprinzipien f\"ur parabolische Gleichungen}
Wir folgen \cite{ProtterWeinberger,LiebermanBook}.

\subsection{Schwaches Maximumprinzip}
In diesem Kapitel verallgemeinern wir Resultate, die wir bereits auf
zylinderf\"ormigen Gebieten kennen. 
\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(x_0,t_0)\subset\R^{n+1}$ beliebig. Sei $r>0$. Dann
    definieren wir den parabolischen Zylinder $Q_r(x_0,t_0)$
    durch \[Q_r(x_0,t_0):=\{(x,t)\in\R^n\times\R\colon |x-x_0|<r
    \text{ und } t_0-r^2<t<t_0\}.\]
  \item Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ eine beliebige offene Menge. Dann
    definieren wir den parabolischen Rand $\mathcal P\Omega$
    durch \[\mathcal P\Omega:=\{(x,t)\in\partial\Omega\colon
    Q_r(x,t)\not\subset\Omega \text{ f\"ur alle }r>0\}.\]
  \item Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen. Dann besteht das
    parabolische Einflussgebiet des Punktes $(x_0,t_0)\in\Omega$ aus
    allen Punkten $(x_1,t_1)$, so dass ein stetiger Weg
    $\gamma\colon[0,1]\to\ol\Omega\setminus\P\Omega$ mit
    $\gamma(0)=(x_0,t_0)$ und $\gamma(1)=(x_1,t_1)$ existert, so dass
    $t\mapsto \gamma^{n+1}(t)$ monoton fallend (= nichtwachsend) ist,
    \dh die Zeit $t$ ist entlang von $\gamma$ monoton fallend:
    $\gamma^{n+1}(t_2)\le\gamma^{n+1}(t_1)$ f\"ur alle $0\le
    t_1<t_2\le 1$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{theorem}[Schwaches Maximumprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen und beschr\"ankt. Definiere den
  parabolischen Operator $L$ durch \[Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\] mit $a^{ij},b^i,d\in L^\infty$, $1\le i,j\le n$. Sei
  $a^{ij}$ gleichm\"a\ss{}ig elliptisch, \dh es gebe ein $\theta>0$
  mit \[a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2\quad\text{f\"ur alle
  }\xi\in\R^n.\] Gelte ohne Einschr\"ankung $a^{ij}=a^{ji}$. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega)\cap C^0\left(\bar\Omega\right)$ eine L\"osung von
  $Lu\ge0$ in $\Omega$. 
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item\label{schw mp a} Ist $d\equiv 0$, so gilt
    \[\sup\limits_\Omega u\le\sup\limits_{\mathcal P\Omega} u.\]
  \item\label{schw mp b} Falls $d\le0$ in $\left\{(x,t)\in\Omega\colon
      u(x,t)>0\right\}$ gilt, erhalten wir \[\sup\limits_\Omega u\le
    \sup\limits_{\P\Omega} \max\{u,0\}.\]
  \item\label{schw mp c} Ist $d\in L^\infty$ beliebig und
    $\sup\limits_{\P\Omega}u\le0$, so folgt \[\sup\limits_{\Omega}
    u\le0.\]
  \end{enumerate}
\end{theorem}
Das Resultat gilt auch, wenn $t$ in $\Omega$ nicht nach oben
beschr\"ankt ist: Man approximiert in diesem Fall $\Omega$ durch
Gebiete $\Omega\cap\{(x,t)\colon t<T\}$ und l\"asst am Ende
$T\to\infty$. 
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{schw mp i} Gelte zun\"achst $d\equiv0$ und $Lu>0$ in
    $\Omega$. W\"are die Behauptung \eqref{schw mp a} verletzt, so
    g\"abe es $\epsilon>0$ und
    $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$ mit
    $u(x_0,t_0)=\sup\limits_{\P\Omega} u+\epsilon$ und $u(x,t)\le
    u(x_0,t_0)$ f\"ur alle $(x,t)\in\Omega$ mit $t\le t_0$.
    Zus\"atzlich d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
    $u(x,t)<u(x_0,t_0)$ f\"ur $(x,t)\in\Omega$ mit $t<t_0$ gilt.  Wir
    unterscheiden zwei F\"alle.
    \begin{enumerate}[(I)]
    \item\label{mp allg geb bew I} Ist $(x_0,t_0)\in\Omega$, so gilt dort
      $\dot u\ge0$, $u_{ij}\mle0$ und $u_i=0$. Somit erhalten wir dort
      $Lu\le0$. Widerspruch.
    \item Da dieser Beweisteil zwar kompliziert aussieht, aber auf
      einer einfachen Idee beruht, beschreiben wir unser Vorgehen
      zun\"achst einmal in Worten: Wir wollen wie in \eqref{mp allg
        geb bew I} einen Widerspruch zeigen. Dazu betrachten wir vor
      $t_0$ in der Zeit abgeschnittene Gebiete
      $\left\{t<t_0-\frac1i\right\}$ und erhalten f\"ur diese Gebiete
      Maximalpunkte $(x_i,t_i)$. F\"ur $i\to\infty$ erhalten wir eine
      konvergente Teilfolge mit Limes $(x^*,t^*)\in \partial\Omega
      \setminus\P\Omega$ und $t^*=t_0$. Ein kleiner parabolischer
      Zylinder um den Limespunkt liegt in $\Omega$. Die Maximalpunkte
      $(x_i,t_i)$ liegen auch in diesem Zylinder und somit k\"onnen
      wir wie in \eqref{mp allg geb bew I} vorgehen und erhalten
      ebenfalls einen Widerspruch. 

      Ist $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\Omega$, so erhalten wir mit
      Hilfe von $\epsilon$ sogar
      $(x_0,t_0)\in\partial\Omega\setminus\P\Omega$.  Somit gibt es
      $r>0$ mit $Q_r(x_0,t_0)\subset\Omega$. Definiere
      $T_i:=t_0-\frac1i$ und $\Omega_i:=\{(x,t)\in\Omega\colon
      t<T_i\}$. Wir nehmen ohne Einschr\"ankung an, dass $i$ so
      gro\ss{} ist, dass $\Omega_i\neq\emptyset$ gilt. W\"ahle
      $(x_i,t_i)\in\ol{\Omega_i}$ mit
      $u(x_i,t_i)=\sup\limits_{\Omega_i}u$ und $u(x,t)\le u(x_i,t_i)$
      f\"ur alle $(x,t)\in\Omega_i$ mit $t<t_i$. Aufgrund der obigen
      \"Uberlegungen gilt dann $(x_i,t_i)\in\partial\Omega_i$. Da $u$
      in $\ol\Omega$ stetig ist und $Q_r(x_0,t_0)\subset\Omega$ gilt,
      folgt $\lim\limits_{i\to\infty} u(x_i,t_i)= u(x_0,t_0)$. Da
      $\ol\Omega$ kompakt ist, konvergiert eine Teilfolge von
      $((x_i,t_i))_{i\in\N}$. Ohne Einschr\"ankung gelte f\"ur die
      gesamte Folge $(x_i,t_i)\to(x^*,t^*)$. Wir erhalten
      $u(x^*,t^*)=u(x_0,t_0)$ und $u(x,t)\le u(x^*,t^*)$ f\"ur alle
      $(x,t)\in\Omega$ mit $t<t^*$. Aufgrund der obigen \"Uberlegungen
      gilt $(x^*,t^*)\in \partial\Omega \setminus\P\Omega$
      (\glqq$\not\in\Omega$\grqq haben wir oben bereits gezeigt und
      nach Wahl von $\epsilon$ folgt auch
      \glqq$\not\in\P\Omega$\grqq). Somit gibt es ein $\delta>0$ mit
      $Q_\delta(x^*,t^*)\subset\Omega$.  Wir bemerken, dass $t_i<t_0$
      nach Konstruktion gilt, also auch $t^*\le t_0$, und wegen
      $u(x^*,t^*)=u(x_0,t_0)$ und der Wahl von $(x_0,t_0)$ mit
      $u(x,t)<u(x_0,t_0)$ f\"ur $t<t_0$ folgt $t_0=t^*$.  Damit ist
      aber aufgrund der Konvergenz $(x_i,t_i)\to(x^*,t^*)$ und
      $t_i<t^*=t_0$ auch $(x_i,t_i)\in\Omega$, falls $i$ gro\ss{}
      genug ist. In $(x_i,t_i)$ gilt jedoch $\dot u\ge0$,
      $u_{ij}\mle0$, $u_i=0$ im Widerspruch zu $Lu>0$.
    \end{enumerate}
  \item\label{schw mp ii} Sei nun $d\equiv0$ und $Lu\ge0$. Dann
    erf\"ullt $u-t\epsilon$ f\"ur beliebige $\epsilon>0$ die
    Ungleichung $L(u-t\epsilon)>0$ in $\Omega$. Mit \eqref{schw mp i}
    erhalten wir
    \[\sup\limits_\Omega(u-t\epsilon)\le\sup
    \limits_{\P\Omega}(u-t\epsilon).\] Mit $\epsilon\searrow0$ folgt
    die Behauptung \eqref{schw mp a}. 
  \item Gelte nun $d\le0$ in $\{(x,t)\in\Omega\colon u(x,t)>0\}$. Wir
    definieren
    \[\tilde\Omega:=\left\{(x,t)\in\Omega\colon
      u(x,t)>0\right\}\] und $L_0w:=-\dot w+a^{ij}w_{ij}+b^iw_i$. Ist
    $\tilde\Omega=\emptyset$, so ist die Behauptung \eqref{schw mp b}
    klar. Sei also $\tilde\Omega\neq\emptyset$. Dann gilt in
    $\tilde\Omega$ nach Voraussetzung $0\le Lu=L_0u+du\le L_0u$.  Wir
    wenden nun \eqref{schw mp ii} mit $\tilde\Omega$ und $L_0$ an und
    erhalten wegen $\P\tilde\Omega\subset\P\Omega\cup\{(x,t)\colon
    u(x,t)=0\}$ (benutze eine Fallunterscheidung $u>0$ und $u=0$) die
    Behauptung \eqref{schw mp b}:
    \[\sup\limits_\Omega u\le \sup\limits_{\tilde\Omega} u\le
    \sup\limits_{\P\tilde\Omega} u 
    =\sup\limits_{\P\Omega}\max\{u,0\}.\]
  \item F\"ur den Beweis von \eqref{schw mp c} w\"ahlen wir $k\ge0$
    mit $|d|\le k$ und definieren $w(x,t):=u(x,t)\cdot e^{-kt}$.  Mit
    $\dot w=\dot ue^{-kt}-kue^{-kt}=\dot ue^{-kt}-kw$ folgt
    \begin{align*}
      0\le&\,(Lu)\cdot e^{-kt}\umbruch\\
      =&\,\left(-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\right)\cdot
      e^{-kt}\umbruch\\ 
      =&\,-\dot w+a^{ij}w_{ij}+b^iw_i+dw-kw\umbruch\\
      =&\,\tilde Lw,
    \end{align*}
    wozu wir \[\tilde Lv:=-\dot v +a^{ij}v_{ij} +b^iv_i +(d-k)v\]
    definieren. Wegen $d-k\le0$ k\"onnen wir \eqref{schw mp b} auf
    $\tilde Lw\ge0$ anwenden und erhalten \[\sup\limits_\Omega
    u(\cdot,t)e^{-kt} \le\sup\limits_{\P\Omega}
    u(\cdot,t)e^{-kt}\le0.\] Die Behauptung folgt.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Hopfsches Randpunktlemma}
\long\def\hopfliminf{\liminf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {\ol\Omega\setminus\{(x_1,t_1)\}\ni(x,t)\to(x_1,t_1)}
    {\left\langle \frac{(x,t)-(x_1,t_1)}{|(x,t)-(x_1,t_1)|},
        \frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}
      \right\rangle>\delta}}}
\long\def\hopflimsup{\limsup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
    {\ol\Omega\setminus\{(x_1,t_1)\}\ni(x,t)\to(x_1,t_1)}
    {\left\langle \frac{(x,t)-(x_1,t_1)}{|(x,t)-(x_1,t_1)|},
        \frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}
      \right\rangle>\delta}}}
\begin{theorem}[Hopfsches Randpunktlemma]
  \label{hopf randpunkt lem}
  Sei $B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)\subset\R^{n+1}$. Sei
  $t_0-r_0<t_1<t_0+r_0$. Definiere $\Omega:=\{(x,t)\in
  B_{r_0}^{n+1}(x_0,t_0)\colon t<t_1\}$. Sei $u\in C^{2;1}(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge0
  \quad\text{in }\Omega\] mit $a^{ij},b^i,d\in L^\infty$,
  symmetrischem $a^{ij}$ und einem $\theta>0$, so dass
  $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$ \"uberall
  in $\Omega$ gilt. Gelte $u<M$ in
  $\Omega\cup\{(x,t_1)\colon|x-x_0|<|x_1-x_0|\}$ und $u(x_1,t_1)=M$
  f\"ur ein $x_1$ mit $(x_1,t_1)\in\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)$. (Somit gilt $x_0\neq x_1$.)
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $d\equiv0$. Falls $u$ in $(x_1,t_1)$ differenzierbar ist,
    ist jede nach au\ss{}en weisende Richtungsableitung von $u$
    positiv, \dh f\"ur die zugeh\"orige Richtung $\xi$ gilt
    $\langle\xi,(x_1-x_0,t_1-t_0)\rangle>0$ und $\xi^{n+1}\ge0$,
    insbesondere gilt also \[\langle Du(x_1,t_1),x_1-x_0\rangle >0.\]
    Allgemein gilt f\"ur jedes $\delta>0$
    \[\hopfliminf \frac{u(x_1,t_1)-u(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}>0.\] 
  \item Ist $d\le0$, so gilt dieselbe Aussage falls $u(x_1,t_1)\ge0$
    ist. 
  \item Ist $u(x_1,t_1)=0$, so gilt dieselbe Aussage auch ohne eine
    Vorzeichenbedingung an $d$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Indem wir statt $B_{r_0}(x_0,t_0)$ einen etwas kleineren Ball
  betrachten, der in $(x_1,t_1)$ dieselbe Tangentialebene hat,
  d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $u<M$ in
  $\ol{\Omega}\setminus\{(x_1,t_1)\}$ gilt. Sei $r>0$ mit
  $|x_0-x_1|>2r$. Definiere \[D:=B^{n+1}_r(x_1,t_1)\cap\Omega\] sowie
  den Abschluss des Teils des parabolischen Randes von $D$ in
  $\Omega$ \[\partial_iD:=\ol{\partial D\cap\Omega}\] und den Teil des
  parabolischen Randes von $D$ au\ss{}erhalb von
  $\Omega$ \[\partial_aD:=\partial D\cap\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0).\] Es gilt $\mathcal
  PD=\partial_iD\cup\partial_aD$. Da wir $B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)$
  anfangs gegebenenfalls verkleinert haben folgt $u<M$ auf
  $\partial_iD$. Somit gibt es $\eta>0$ mit $u<M-\eta$ auf
  $\partial_iD$. Weiterhin gilt $u\le M$ auf $\partial_aD$. \par
  Definiere f\"ur $\alpha>0$ die
  Hilfsfunktion \[v(x,t):=e^{-\alpha\left(|x-x_0|^2+(t-t_0)^2\right)}
  -e^{-\alpha r_0^2}.\] Dann gilt $v=0$ unabh\"angig von der Wahl von
  $\alpha$ auf $\partial
  B^{n+1}_{r_0}(x_0,t_0)\supset \partial_aD$. Die Funktion $v$
  erf\"ullt die Differentialungleichung
  \begin{align*}
    Lv=&\,2\alpha e^{-\alpha\left(|x-x_0|^2+(t-t_0)^2\right)}
    \cdot\\
    &\,\qquad\cdot\left((t-t_0) +2\alpha a^{ij}(x-x_0)_i(x-x_0)_j
      -a^{ij}\delta_{ij} -b^i(x-x_0)_i+\frac1{2\alpha}d\right)\\
    &\,+\underbrace{d}_{\le0}\cdot\underbrace{\left(
        -e^{-\alpha r_0^2}\right)}_{\le0}\umbruch\\
    >&\,0
  \end{align*}
  f\"ur $\alpha\gg1$ in $\ol D$, falls $d\le0$ (oder $d\equiv0$)
  gilt. Fixiere $\alpha\gg1$ entsprechend. \par Gelte also zun\"achst
  $d\le0$. Es gibt ein $\epsilon>0$, so dass $w:=u+\epsilon v-M$ die
  Ungleichung $w\le0$ auf $\partial_aD$ (da dort $v$ verschwindet) und
  auf $\partial_iD$ (falls $\epsilon>0$ klein genug ist)
  erf\"ullt. Weiterhin gilt \[Lw=Lu+\epsilon Lv-dM >0+\epsilon\cdot0
  -du(x_1,t_1)\ge0.\] Somit folgt aufgrund des schwachen Maximumprinzips
  $w\le 0$ in $D$. Mit $w(x_1,t_1)=0$ erhalten wir
  \[\hopfliminf\frac{w(x_1,t_1)-w(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}\ge0.\] Nun
  gilt
  \begin{align*}
    &\,\hopflimsup
    \frac{v(x_1,t_1)-v(x,t)}{|(x_1,t_1)-(x,t)|}\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
      {(\xi,\tau)\in\left(\R^n\times\R\right)\cap\S^n}
      {\left\langle(\xi,\tau),\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}
          {|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}\right\rangle>\delta}} \langle
    -(Dv,\dot v)(x_1,t_1),(\xi,\tau)\rangle \umbruch
    \intertext{(man k\"onnte auch noch $\tau\ge0$ fordern)}    
    =&\,-2\alpha e^{-\alpha\left(|x_1-x_0|^2+(t_1-t_0)^2\right)}\cdot
    \underbrace{\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
        {(\xi,\tau)\in\left(\R^n\times\R\right)\cap\S^n}
        {\left\langle(\xi,\tau),\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}
            {|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}\right\rangle>\delta}}
      \langle-(x_1-x_0,t_1-t_0),(\xi,\tau)\rangle}_{>0}\umbruch\\
    <&\,0.
  \end{align*}
  Somit folgt die Behauptung im Falle $d\equiv0$ oder $d\le0$. \par
  Ist $M=0$ und $d$ beliebig, so definieren wir f\"ur ein $k$ mit
  $k\ge\sup\limits_\Omega |d|$ den Differentialoperator $\tilde L$
  durch \[\tilde Lu:=-\dot u+a^{ij}u_{ij} +b^iu_i +(d-k)u.\] Es
  gilt \[\tilde Lu=\underbrace{Lu}_{\ge0}
  -\underbrace{k}_{\ge0}\underbrace{u}_{\le0} \ge0.\] Wegen $d-k\le 0$
  folgt die Behauptung damit aus dem Fall \glqq$d\le0$\grqq. 
\end{proof}

Das folgende Korollar hei\ss{}t ebenfalls Hopfsches Randpunktlemma.
\begin{corollary}[Hopfsches Randpunktlemma]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^2$ ($C^{1,1}$ gen\"ugt auch). Sei $T>0$. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega\times(0,T)) \cap
  C^0\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu:=-\dot
  u+a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\ge0\quad\text{in }\Omega\] mit
  $a^{ij},\,b^i,\,d\in L^\infty$, symmetrischem $a^{ij}$ und einem
  $\theta>0$, so dass $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle
  $\xi\in\R^n$ \"uberall in $\Omega$ gilt. Gelte $u<M$ in
  $\Omega\times(0,T)$ und $u(x_1,t_1)=M$ f\"ur ein
  $(x_1,t_1)\in\partial\Omega\times(0,T]$. Dann gelten die Folgerungen
  wie im Hopfschen Randpunktlemma \ref{hopf randpunkt lem}, wobei
  $x_0$ der Mittelpunkt einer inneren Kugel zu $\Omega$ ist, \dh es
  gelte $B_r(x_0)\subset\Omega$, $\partial
  B_r(x_0)\cap\partial\Omega=\{x_1\}$ f\"ur ein $r>0$, und $\Omega$
  dort in der Folgerung durch $\Omega\times(0,t_1)$ und
  $\frac{(x_0,t_0)-(x_1,t_1)}{|(x_0,t_0)-(x_1,t_1)|}$ durch $-\nu$
  ($\nu$ = \"au\ss{}ere Normale) zu ersetzen sind.
\end{corollary}
\begin{proof}
  Benutze das Hopfsche Randpunktlemma, Theorem \ref{hopf randpunkt
    lem}. 
\end{proof}

\subsection{Harnackungleichung}
F\"ur Operatoren, die nicht in Divergenzform sind, erhalten wir die
folgende Harnackungleichung.
\begin{theorem}[Harnackungleichung]
  \label{harnack ungl thm}
  Seien $R,T>0$. Definiere \[Q:=\left\{(x,t)\in\R^{n+1}\colon
    |x|<R,\,-T<t<0\right\}.\] Sei $u\in C^{2;1}(Q)\cap C^0\left(\ol
    Q\right)$ mit $u\ge0$ in $Q$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu\equiv -\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\le0\] in $Q$ mit $a^{ij},\,b^i,d\in L^\infty$ und
  $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\lambda|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$
  \"uberall in $Q$ f\"ur ein $\lambda>0$. Seien $h>0$ und
  $0<\epsilon<\frac12$ mit \[u\ge h\quad\text{in }B_{\epsilon
    R}(0)\times\{-T\}.\] Dann gibt es
  $\kappa=\kappa\left(R,T,\lambda,\left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty}, \left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty}, \Vert d\Vert_{L^\infty}\right)>0$, so
  dass \[u\ge\epsilon^\kappa\frac h2\quad\text{in
  }B_{R/2}(0)\times\{0\}\] gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Definiere \[\psi_0:=R^2+(1-\epsilon^2)\cdot R^2\cdot\frac tT\]
  und \[\psi_1:=\psi_0-|x|^2.\] Definiere f\"ur ein noch zu
  w\"ahlendes $q\ge2$ die Funktion
  $\psi:=\psi_1^2\psi_0^{-q}$. Setze \[\tilde Q:=\{(x,t)\in Q\colon
  \psi_0>|x|^2\}.\] Dann ist $\psi\in C^{2;1}\big(\tilde Q\big)$. \par
  Wir m\"ochten nun zeigen, dass es $q=q\left(R,T,\lambda, \left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty}, \left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty}, \Vert d\Vert_{L^\infty}\right)\gg1$
  gibt, so dass die Ungleichung $L\psi\ge0$ in $\tilde Q$ gilt. Dort
  erhalten wir
  \begin{align*}
    \psi=&\,\psi_1^2\psi_0^{-q},\umbruch\\
    \dot\psi=&\,2\psi_1\psi_0^{-q}(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T
    -q\psi_1^2\psi_0^{-q-1}(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T,\umbruch\\
    \psi_i=&\,2\psi_1\psi_0^{-q}(-2x_i),\umbruch\\
    \psi_{ij}=&\,2\psi_0^{-q}(-2x_i)(-2x_j)
    +2\psi_1\psi_0^{-q}(-2\delta_{ij}),\umbruch\\
    L\psi=&\,\psi_0^{-q}\left(
      q(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\frac{\psi_1^2}{\psi_0}
      -2(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\psi_1\right.\\
    &\,\qquad\left.\phantom{\frac{R^2}T} +8a^{ij}x_ix_j
      -4a^{ij}\delta_{ij}\psi_1 -4b^ix_i\psi_1 +d\psi_1^2\right)
    \intertext{und mit $\xi:=\frac{\psi_1}{\psi_0}$}
    \ge&\,\psi_0^{1-q}\left(q(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\xi^2
      -2(1-\epsilon^2)\frac{R^2}T\xi\right.\\
    &\,\qquad\left.\phantom{\frac{R^2}T} -4a^{ij}\delta_{ij}\xi
      -4b^ix_i\xi +d\frac{\psi_1^2}{\psi_0}
      +8\lambda\frac{|x|^2}{\psi_0}\right).
  \end{align*}
  Wegen $|\psi_1|\le|\psi_0|\le R^2$ und $0<\epsilon<\frac12$ erhalten
  wir mit der Konstanten \[c=c\left(R,T,\left\Vert
      a^{ij}\right\Vert_{L^\infty},\left\Vert
      b^i\right\Vert_{L^\infty},\Vert d\Vert_{L^\infty}\right)\] die
  Absch\"atzung \[L\psi\ge\psi_0^{1-q} \left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
    -c\xi +8\lambda\frac{|x|^2}{\psi_0}\right).\] Wir unterscheiden
  nun die F\"alle $\xi\ge\frac12$ und $\xi\le\frac12$: Ist
  $1\ge\xi\ge\frac12$, so sind die beiden ersten Terme auf der rechten
  Seite f\"ur $q\ge\frac{4cT}{R^2}$ nichtnegativ und wir erhalten
  $L\psi\ge0$ in $\tilde Q$. Ist $0\le\xi\le\frac12$, so folgt aus
  $\frac12\ge\xi=\frac{\psi_1}{\psi_0} =\frac{\psi_0-|x|^2}{\psi_0}$
  die Ungleichung $\frac12\psi_0\le|x|^2$ oder
  $\frac{|x|^2}{\psi_0}\ge\frac12$. In diesem Falle ist
  \begin{align*}
    L\psi\ge&\,\psi_0^{1-q}\left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
      -c\frac{\sqrt{4\lambda}}{\sqrt{4\lambda}}\xi
      +4\lambda\right)\umbruch\\ 
    \ge&\,\psi_0^{1-q}\left(\frac q2\frac{R^2}T\xi^2
      -\frac{c^2\xi^2}{4\lambda}\right)\ge0 
  \end{align*}
  falls $q\ge\frac{c^2T}{2\lambda R^2}$ gilt. Wir d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung $\lambda\le1$ und $c\ge1$ annehmen und erhalten
  f\"ur $q\ge\frac{4c^2T}{\lambda R^2}$ die Ungleichung $L\psi\ge0$ in
  $\tilde Q$. \par Auf $\P\tilde Q\cap\{t>-T\}$ gilt
  $\psi=\psi_1=0$. Auf $\P\tilde Q\cap\{t=-T\}$ gelten
  $\psi_0=\epsilon^2R^2$, $\psi_1=\epsilon^2R^2-|x|^2$ und somit
  $|x|\le\epsilon R$. Definiere $\tilde\psi:=h(\epsilon
  R)^{2q-4}\psi$. Dann gilt auf $\P\tilde Q\cap\{t=-T\}$ die
  Ungleichung \[\tilde\psi= h\cdot(\epsilon
  R)^{2q-4}\cdot\left(\epsilon^2R^2-|x|^2\right)^2\cdot
  \left(\epsilon^2R^2\right)^{-q} \le h\le u.\] Auf dem Rest von
  $\P\tilde Q$ gilt $0=\tilde\psi\le u$ ebenfalls. Somit folgt \[
  \begin{cases}
    L\left(\tilde\psi-u\right)\ge0&\text{in }\tilde Q,\\
    \tilde\psi-u\le0&\text{auf }\P\tilde Q. 
  \end{cases}
  \]
  Aufgrund des schwachen Maximumprinzips erhalten wir
  $\tilde\psi-u\le0$ in $\tilde Q$. F\"ur $t=0$ und $|x|<\frac R2$
  folgt
  \begin{align*}
    u\ge&\,\tilde\psi=h(\epsilon R)^{2q-4}\psi =h(\epsilon
    R)^{2q-4}\psi_1^2\psi_0^{-q}\umbruch\\
    =&\,h(\epsilon R)^{2q-4}\left(R^2-|x|^2\right)^2R^{-2q}\umbruch\\
    \ge&\,h\epsilon^{2q-4}R^{-4}\frac9{16}R^4
    \ge\frac12h\epsilon^{2q-4}.
  \end{align*}
  Mit $\kappa=2q-4$ erhalten wir somit die Behauptung. 
\end{proof}

\subsection{Striktes Maximumprinzip}
Als Vorbereitung zeigen wir zun\"achst eine Version des strikten
Maximumprinzips f\"ur zylinderf\"ormige Gebiete.
\begin{lemma}
  \label{str mp quader lem}
  Seien $R,T>0$. Sei $\Omega=B_{3R}(0)\times(-T,0)
  \subset\R^{n+1}$. Sei $u\in C^{2;1}(\Omega)\cap
  C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu =-\dot u+a^{ij}u_{ij} +b^iu_i
  +du\le0\quad\text{in }\Omega\] mit $a^{ij},\,b^i,\,d\in L^\infty$
  und $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur alle $\xi\in\R^n$
  \"uberall in $\Omega$ f\"ur ein $\theta>0$. Gelte $u\ge0$ in
  $\Omega$ und $u(0,0)=0$. Dann gilt $u\equiv0$ in
  $B_R(0)\times[-T,0]$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
  Falls nicht, so existiert $(x_0,t_0)\in B_R(0)\times(-T,0)$ mit
  $u(x_0,t_0)>0$. Da $u$ stetig ist brauchen wir den Fall
  $t_0\in\{-T,0\}$ nicht zu betrachten. Aufgrund der Stetigkeit von
  $u$ existieren $h>0$ und $\frac12>\epsilon>0$ mit $u\ge h$ in
  $B_{2\epsilon R}(x_0)\times\{t_0\}$. Nach Lemma \ref{harnack ungl
    thm}, angewandt auf $Q=B_{2R}(x_0)\times[t_0,0]$, gibt es
  $\kappa>0$, so dass \[u\ge\epsilon^\kappa\frac h2\quad\text{in
  }B_R(x_0)\times\{0\}\] gilt. Wegen $0\in B_R(x_0)$
  und \[0=u(0,0)\ge\epsilon^\kappa\frac h2>0\] erhalten wir einen
  Widerspruch. Somit folgt $u\equiv0$ in $B_R(0)\times[0,T]$.
\end{proof}
Das Argument l\"asst sich induktiv anwenden und liefert $u\equiv0$ in
der Menge $B_{3R}(0)\times(-T,0)$. 

Damit erhalten wir das strikte parabolische Maximumprinzip f\"ur
allgemeine beschr\"ankte Gebiete.
\begin{theorem}[Striktes parabolisches Maximumprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^{n+1}$ offen und beschr\"ankt. Sei $u\in
  C^{2;1}(\Omega)\cap C^0\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung der
  Differentialungleichung \[Lu=-\dot u+a^{ij}u_{ij}
  +b^iu_i+du\ge0\quad \text{in }\Omega\] mit $a^{ij},\,b^i,\,d\in
  L^\infty$ und gelte f\"ur ein $\theta>0$ \"uberall in $\Omega$ die
  Elliptizit\"atsbedingung $a^{ij}\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ f\"ur
  alle $\xi\in\R^n$. \par Sei $(x_0,t_0)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$
  mit \[u(x_0,t_0)=\max\limits_{\ol\Omega} u=:M.\]
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $d\equiv0$ oder
  \item $d\le0$ und $u(x_0,t_0)\ge0$ oder
  \item $d$ beliebig und $u(x_0,t_0)=0$ oder
  \item $Lu\ge d\cdot M$, aber nicht notwendigerweise $Lu\ge0$,
  \end{enumerate}
  so ist $u$ im parabolischen Einflussgebiet von $(x_0,t_0)$
  konstant. 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir zeigen die Aussage nur letzten Fall. In allen anderen F\"allen
  folgt die Behauptung direkt daraus. \par Definiere $w:=M-u$. Dann
  gilt mit $Lw\equiv L_0w+dw$ \[Lw=dM-Lu\le0\quad\text{in
  }\Omega.\] Es gilt
  $w\ge0$ mit Gleichheit in $(x_0,t_0)$. \par Sei
  $\gamma\colon[0,1]\to\Omega$ eine Kurve wie in der Definition des
  parabolischen Einflussgebietes eines Punktes mit
  $\gamma(0)=(x_0,t_0)$. Schreibe $\gamma(a)=(x_a,t_a)$. Wir
  behaupten, dass $w(\gamma(t))=0$ f\"ur alle $t\in[0,1]$ gilt. Da
  $w\circ\gamma$ stetig ist, gilt $w(\gamma(t))=0$ auf einer
  abgeschlossenen Teilmenge von $[0,1]$. Sei $a\in[0,1]$ maximal, so
  dass $w(\gamma(t))=0$ auf $I:=[0,a]$ gilt. Wir behaupten, dass $a=1$
  ist. Benutze, dass
  \[
  \begin{cases}
    Lw\le0&\text{in }\Omega,\\
    w\ge0&\text{in }\Omega,\\
    w=0&\text{in }(x_a,t_a)
  \end{cases}
  \]
  gelten. Wegen $(x_a,t_a)\in\ol\Omega\setminus\P\Omega$ gibt es $R>0$
  und $T>0$ mit $B_{3R}(x_a)\times(t_a-T,t_a)\subset\Omega$. Dort gilt
  insbesondere $Lw\le0$. Nach Lemma \ref{str mp quader lem}
  folgt $w\equiv0$ in $B_R(x_a)\times(t_a-T,t_a)$. Da die
  Zeitkomponente $\gamma^{n+1}(t)$ in $t$ nichtwachsend ist,
  widerspricht dies der Maximalit\"at von $a$. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Maximumprinzip auf $\R^n$]
  Sei $0<T<\infty$ und \[u\in C^2\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^0\left(\R^n\times[0,T]\right).\] L\"ost $u$ das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u &\text{in }\R^n\times(0,T),\\
    u=g &\text{auf }\R^n\times\{0\}
  \end{cases}
  \]
  und gibt es Konstanten $a,\,A>0$, so dass \[u(x,t)\le A\cdot
  e^{a|x|^2}\] ist, so gilt \[\sup\limits_{\R^n\times[0,T]}
  u=\sup\limits_{\R^n} g.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Es gen\"ugt, $u\le\sup g$ auf einem kleinen Zeitintervall $(0,T)$ zu
  zeigen, so dass $4aT<1$ gilt. Wir nehmen daher ohne Einschr\"ankung
  $4aT<1$ an. W\"ahle $\epsilon>0$, so dass $4a(T+\epsilon)<1$ gilt
  und definiere $\gamma>0$ durch
  $\frac1{4(T+\epsilon)}=a+\gamma$. F\"ur $y\in\R^n$ und $\mu>0$
  definieren wir \[v(x,t):=u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}
  \cdot \exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T+\epsilon-t)}\right).\]
  \textbf{Behauptung:} Es gilt $\dot v=\Delta v$. \par Daf\"ur
  gen\"ugt es, nachzuweisen,
  dass \[w=(T-t)^{-n/2}\cdot\exp\left(\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}\right)\]
  die W\"armeleitungsgleichung erf\"ullt. (Man k\"onnte auch $y=0$
  annehmen.) Wir bemerken, dass dies (bis auf unwichtige Konstanten)
  gerade die Fundamentall\"osung der W\"armeleitungsgleichung ist. Es
  gilt
  \begin{align*}
    \dot w=&\,\frac n2(T-t)^{-n/2-1}\cdot \exp(\ldots)
    +(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot\frac{|x-y|^2}{4(T-t)^2},\umbruch\\
    w_i=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2(x-y)_i}{4(T-t)},\umbruch\\
    w_{ij}=&\,(T-t)^{-n/2}\cdot \exp(\ldots)\cdot \frac{2(x-y)_i}{4(T-t)}
    \cdot\frac{2(x-y)_j}{4(T-t)}\\ &\,+(T-t)^{-n/2}\cdot
    \exp(\ldots)\cdot\frac{2\delta_{ij}}{4(T-t)},\umbruch\\ \dot w-\Delta
    w=&\,\exp(\ldots)\cdot(T-t)^{-n/2-1}\cdot\left\{\frac n2
      +\frac{|x-y|^2}{4(T-t)} -\frac{|x-y|^2}{4(T-t)}
      -\frac12\delta^{ij}\delta_{ij}\right\}=0.
  \end{align*}
  Setze $r:=|x-y|$ und betrachte $v$ f\"ur gro\ss{}e Werte von $r$. Es
  gilt 
  \begin{align*}
    v(x,t)=&\,u(x,t)-\frac{\mu}{(T+\epsilon-t)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon-t)}}\umbruch\\ \le&\,Ae^{a|x|^2}
    -\frac\mu{(T+\epsilon)^{n/2}}\cdot
    e^{\frac{r^2}{4(T+\epsilon)}}\umbruch \intertext{nach
      Voraussetzung an $u$ und da beide Faktoren einzeln durch
      Weglassen von $t$ kleiner werden}\umbruch \le&\,A\cdot
    e^{a(|y|+r)^2} -\mu(4(a+\gamma))^{n/2}\cdot e^{(a+\gamma)\cdot
      r^2}
  \end{align*}
  aufgrund der Dreiecksungleichung und nach Definition von $\gamma$.
  F\"ur $r\gg1$ wird dies beliebig klein, insbesondere kleiner als
  $\sup g$. Somit ist $v\le\sup g$ auf $\partial B_R(y)\times(0,T)$,
  falls $R\gg1$ gro\ss{} genug ist. Weiterhin gilt aber $v\le\sup g$
  in $\R^n\times\{0\}$. Aufgrund des parabolischen Maximumprinzips
  folgt also \[v\le\sup g\quad\text{in }B_R(y)\times(0,T).\] Wie wir
  oben gesehen haben gilt diese Ungleichung aber auch au\ss{}erhalb
  von $B_R(y)$. Also erhalten wir \"uberall \[v\le\sup g.\] $R$
  h\"angt zwar von $\mu$ ab, aber die obige Absch\"atzung ist von $R$
  unabh\"angig. Lasse also $\mu\searrow0$. Es folgt \[u\le\sup
  g.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{remark}
  Die Funktion $u\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty))\cap
  C^0_{\text{loc}}(\R^n\times[0,\infty))$ mit
  \[u(x,t) =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}
    \frac{d^k}{dt^k} \exp\left(-\frac1{t^2}\right)\] 
  ist eine nichttriviale L\"osung der W\"armeleitungsgleichung mit
  $u(\cdot,0)=0$. 
\end{remark}
\begin{proof}
  \"Ubung. 
\end{proof}

Da die W\"armeleitungsgleichung die Entwicklung der
Temperaturverteilung unter idealisierten Bedingungen beschreibt,
besagt das folgende Theorem, dass die gleiche Temperaturverteilung am
Ende nur entstehen kann, wenn diese Verteilung auch schon am Anfang
gleich war.
\begin{theorem}[R\"uckw\"artige Eindeutigkeit]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $\partial\Omega\in
  C^1$ und $0<T<\infty$. Seien $u$ und $\tilde u$ glatte L\"osungen
  von 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\Delta u,\quad \dot{\tilde u}=\Delta\tilde u&\text{in
    }\Omega\times(0,T),\\ u=g,\quad \tilde u=g&\text{auf
    }\partial\Omega\times(0,T). 
  \end{cases}
  \]
  (Die Randbedingung wird also nur an den \glqq seitlichen\grqq{} Rand
  gestellt.) \par Gilt $u(x,T)=\tilde u(x,T)$ f\"ur $x\in\Omega$, so
  folgt $u\equiv\tilde u$ in $\Omega\times(0,T)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Setze $w:=u-\tilde u$ und \[e(t):=\int\limits_\Omega w^2(x,t).\] Es folgt
  \begin{align*}
    \dot e(t)=&\,-2\int\limits_\Omega w\dot w
    =-2\int\limits_\Omega w\Delta w
    =\int\limits_\Omega|Dw|^2\umbruch
    \intertext{und daraus ergibt sich}
    \ddot e(t)=&\,-4\int\limits_\Omega \langle Dw,D\dot w\rangle 
    =4\int\limits_\Omega\Delta w\cdot\dot w
    =4\int\limits_\Omega(\Delta w)^2, 
  \end{align*}
  denn aufgrund der Randbedingung ist $\dot w=0$ auf $\partial\Omega$
  und wir d\"urfen ohnen Randterm integrieren.  Wegen $w=0$ auf
  $\partial\Omega\times(0,T)$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \int\limits_\Omega|Dw|^2 =&\,-\int\limits_\Omega w\cdot\Delta w
    \le\left(\,\,\int\limits_\Omega w^2\right)^{1/2}\cdot
    \left(\,\,\int\limits_\Omega(\Delta w)^2\right)^{1/2}\umbruch
    \intertext{und somit}\umbruch
    (\dot e(t))^2=&\,4\left(\,\,\int\limits_\Omega|Dw|^2\right)^2
    \le4\int\limits_\Omega w^2\cdot\int\limits_\Omega(\Delta w)^2
    =e(t)\cdot\ddot e(t).
  \end{align*}
  Falls die Behauptung nicht gilt, gibt es $[t_1,t_2]\subset[0,T]$
  mit \[e(t)>0\quad\text{f\"ur }t_1\le t<t_2\quad\text{und
  }e(t_2)=0.\] Definiere \[f(t):=\log e(t)\quad\text{f\"ur }t_1\le
  t<t_2.\] Wir erhalten
  \[\dot f=\frac{\dot e}e\quad\text{und}\quad
  \ddot f=\frac{e\ddot e-(\dot e)^2}{e^2}\ge0\] aufgrund der obigen
  Rechnung. Dies bedeutet, dass $f$ im Intervall $(t_1,t_2)$ konvex
  ist. Somit gilt insbesondere \[f((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  (1-\tau)f(t_1)+\tau f(t)\] f\"ur $t_1<t<t_2$ und $0\le\tau\le1$. Wir
  wenden die Exponentialfunktion auf diese Ungleichung an und erhalten
  nach Definition von $f$ \[e((1-\tau)t_1+\tau t)\le
  e(t_1)^{1-\tau}\cdot e(t)^\tau.\] Da die Funktion $e$ samt ihren
  Ableitungen f\"ur glatte L\"osungen in $t$ stetig ist, erhalten
  wir \[0\le e((1-\tau)t_1+\tau t_2) \le e(t_1)^{1-\tau} \cdot
  e(t_2)^\tau.\] Da aber $e(t_2)=0$ ist, folgt $e=0$ in ganz
  $(t_1,t_2)$. Widerspruch. 
\end{proof}

\section{Die Matrixharnackungleichung}

\subsection{Maximumprinzip f\"ur Tensoren}
\begin{definition}
  Sei $N=(N_{ij})_{1\le i,j\le n}$ mit $N_{ij}=N_{ij}(M_{kl}) \equiv
  N_{ij}((M_{kl})_{1\le k,l\le n})$ f\"ur symmetrische Matrizen
  $M=(M_{ij})_{1\le i,j\le n}$ symmetrisch. Dann erf\"ullt $N$ die
  Null-Eigenvektor-Bedingung, falls aus $M_{ij}\xi^j=0$ f\"ur $1\le
  i\le n$ auch $N_{ij}\xi^i\xi^j\ge0$ folgt. \par Ist $N$ zus\"atzlich
  orts- und zeitabh\"angig, so erf\"ullt $N$ die
  Null-Eigenvektor-Be\-din\-gung, falls $N(\cdot,x,t)$ sie f\"ur alle
  $(x,t)$ erf\"ullt. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Maximumprinzip f\"ur Tensoren]
  Sei $T>0$. Sei $M=(M_{ij})_{1\le i,j\le n}$ mit $M_{ij}\in
  C^0\left(\R^n\times[0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times(0,T)\right)$, $1\le i,j\le n$, symmetrisch
  und periodisch mit $M_{ij}(x)=M_{ij}(y)$ f\"ur $x-y\in\Z^n$. Sei
  $u=\left(u^k\right)_{1\le k\le n}$ mit $u^k\in
  L^\infty\left(\R^n\times[0,T)\right)$. Sei
  $N=(N_{ij}(M_{kl},x,t))_{1\le i,j\le n}$ mit \[N_{ij}\in
  C^1\left(\R^{n\times n}\times\R^n\times[0,T)\right)\] symmetrisch,
  in $\R^n$ eine $\Z^n$-periodische Funktion und erf\"ulle die
  Null-Eigenvektor-Bedingung. Gelte \[\delt M_{ij}\mge\Delta M_{ij}
  +u^k\fracp{}{x^k}M_{ij} +N_{ij}(M_{kl},\cdot) \quad\text{in
  }\R^n\times(0,T).\] Gilt $M_{ij}(\cdot,0)\mge0$, so folgt
  $M_{ij}(\cdot,t)\mge0$ f\"ur $0\le t<T$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Seien $\epsilon,\delta>0$. Wir w\"ahlen diese Konstanten sp\"ater
  noch geeignet. Definiere \[\tilde M_{ij}:=M_{ij}+\epsilon\cdot
  (\delta+t)\delta_{ij}.\] Wir betrachten die Differentialgleichung
  auf einem Zeitintervall $[0,\tau]$ f\"ur ein beliebiges
  $0<\tau<T$. Es gen\"ugt, das Theorem f\"ur beliebige $\tau<T$ zu
  zeigen. Wir schreiben nun wieder $[0,T]$ statt $[0,\tau]$. Aufgrund
  der Periodizit\"at in $x$ und der Kompaktheit von $[0,T]$ gelten
  $|M_{ij}(x,t)|\le c$ und $|N_{ij}(M_{kl}(x,t),x,t)|\le c$. Wir
  wollen zeigen, dass $\tilde M_{ij}\mge0$ gilt und lassen dann
  $\epsilon\searrow0$.\par Als Differentialgleichung f\"ur $\tilde
  M_{ij}$ erhalten wir in $\R^n\times[0,T]$
  \begin{align*}
    \delt \tilde M_{ij}=&\,\delt M_{ij} +\epsilon\delta_{ij}\umbruch\\ 
    \mge&\,\Delta M_{ij}+u^k\fracp{}{x^k}M_{ij}+N_{ij}(M_{kl},\cdot)
    +\epsilon\delta_{ij}\umbruch\\ 
    =&\,\Delta\tilde M_{ij} +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}
    +N_{ij}\left(\tilde M_{ij},\cdot\right)\umbruch
    +\left(N_{ij}(M_{kl},\cdot)-N_{ij}\left(\tilde
        M_{kl},\cdot\right)\right) +\epsilon\delta_{ij}.
  \end{align*}
  $N_{ij}\big(\tilde M_{kl},\cdot\big)$ erf\"ullt die
  Null-Eigenvektor-Bedingung, aber f\"ur die zus\"atzliche Differenz
  ben\"otigen wir die Absch\"atzung
  \begin{align*}
    &\,\left|N_{ij}(M_{kl},\cdot)-N_{ij}\left(\tilde
        M_{ij},\cdot\right)\right|\umbruch\\
    =&\,\left|\int\limits_0^1\frac d{d\sigma} N_{ij} \left(\sigma
        M_{kl} +(1-\sigma)\tilde
        M_{kl},\cdot\right)\,d\sigma\right|\umbruch\\
    =&\,\left|\int\limits_0^1\fracp{N_{ij}}{r_{kl}} \left(\sigma
        M_{kl} +(1-\sigma)\tilde M_{kl},\cdot\right)\, d\sigma\cdot
      \left(M_{kl}-\tilde M_{kl}\right)\right|\umbruch\\
    \le&\,\left|\int\limits_0^1\fracp{N_{ij}}{r_{kl}}(\ldots)\,
      d\sigma\right| \cdot c(n)\cdot\epsilon\cdot(\delta+t)\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\epsilon\cdot(\delta+t).
  \end{align*}
  Somit erhalten wir
  \[\fracp{}t\tilde M_{ij} \mge\Delta\tilde M_{ij}
  +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}+N_{ij}\left(\tilde
    M_{kl},\cdot\right) +\epsilon\delta_{ij}
  -c\cdot\epsilon\cdot(\delta+t)\delta_{ij}.\] Wir nehmen nun an, dass
  $0\le t\le\delta$ gilt und fixieren $\delta>0$ mit
  $c\cdot2\delta\le\frac12$. Somit gilt
  $\epsilon\delta_{ij}-c\epsilon(\delta+t)\delta_{ij}
  \mge\frac12\epsilon\delta_{ij}$. Wir zeigen anschlie\ss{}end dass
  $\tilde M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le t\le\delta$ gilt. Mit
  $\epsilon\searrow0$ folgt dann auch $M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le
  t\le\delta$. Dies wenden wir endlich oft an und erhalten
  $M_{ij}\mge0$ f\"ur $0\le t\le T$. \par Da $\tilde M_{ij}(x,0)$
  f\"ur $x\in\R^n$ strikt positiv ist $\big(\tilde M_{ij}\succ0\big)$,
  gilt entweder $\tilde M_{ij}\succ0$ in $\R^n\times[0,\delta]$ oder
  es gibt (aufgrund der Periodizit\"at) $(x_0,t_0)\in\R^n\times(0,T]$
  mit $\tilde M_{ij}(x,t)\succ0$ f\"ur alle
  $(x,t)\in\R^n\times[0,t_0)$ und $\xi\in\R^n$ mit $|\xi|=1$ und
  $\tilde M_{ij}(x_0,t_0)\xi^j=0$ f\"ur alle $1\le i\le n$. Fixiere
  dieses $\xi$ und definiere
  $f(x,t):=\tilde M_{ij}(x,t) \xi^i\xi^j$. Dann erf\"ullt $f$ die
  Differentialungleichung
  \begin{align*}
    \delt f=&\,\delt\tilde M_{ij}\xi^i\xi^j\umbruch\\
    \ge&\,\left(\Delta\tilde M_{ij} +u^k\fracp{}{x^k}\tilde M_{ij}
      +N_{ij}\left(\tilde M_{kl},\cdot\right)
      +\frac12\epsilon\delta_{ij}\right)\xi^i\xi^j\umbruch\\ 
    =&\,\Delta f +u^k\fracp{}{x^k}f +N_{ij}\left(\tilde
      M_{kl},\cdot\right)\xi^i\xi^j +\frac12\epsilon. 
  \end{align*}
  Mit der Null-Eigenvektor-Bedingung und da $(x_0,t_0)$ der erste
  Punkt mit einem Null-Eigenvektor ist, folgt in $(x_0,t_0)$
  \[\underbrace{\delt f}_{\le0}\ge\underbrace{\Delta f}_{\ge0}
  +u^k\underbrace{\fracp{}{x^k}f}_{=0} +\underbrace{N_{ij}\left(\tilde
      M_{kl},\cdot\right)\xi^i\xi^j}_{\ge0} +\frac12\epsilon.\]
  Widerspruch. 
\end{proof}

\subsection{Matrixharnackungleichung}
\begin{theorem}[Harnackungleichung mit Matrizen]
  \label{matrix harnack thm}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n\text{ und }t\ge0.\]
  Dann gilt \[u_{ij}-\frac1uu_iu_j +\frac
  ut\delta_{ij}\mge0\quad\text{in }\R^n\times(0,T).\]
\end{theorem}
\begin{proof}
  Definiere \[M_{ij}:=u_{ij}-\frac1uu_iu_j+\frac ut\delta_{ij}\] f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times(0,T)$. Aufgrund des strikten Maximumprinzips
  gilt $u(x,t)>0$ f\"ur $t>0$, $M_{ij}$ ist also wohldefiniert. Sei
  $\epsilon>0$. Dann erf\"ullt auch $u+\epsilon$ die
  Voraussetzungen. Definieren wir $M^\epsilon_{ij}$ mit $u+\epsilon$
  statt $u$, so ist $\frac{u+\epsilon}t\delta_{ij}$ aufgrund der
  vorausgesetzten Regularit\"at und $\frac{|Du|^2}u\le
  c\cdot\left\Vert D^2u\right\Vert_{L^\infty}$ f\"ur $0<t\approx0$ der
  dominante Term in $M^\epsilon_{ij}$ und es folgt
  $M^\epsilon_{ij}\mge0$, falls $t>0$ klein genug ist. Es gen\"ugt nun
  zu zeigen, dass $M^\epsilon_{ij}(x,t)\mge0$ f\"ur
  $(x,t)\in\R^n\times(0,T)$ gilt. Mit $\epsilon\searrow0$ f\"ur festes
  $(x,t,\xi)$ folgt dann die Behauptung. Aus Bequemlichkeit schreiben
  wir ab jetzt wieder $u$ statt $u+\epsilon$.\par Wir wollen das
  Maximumprinzip f\"ur Tensoren anwenden und berechnen dazu die
  Evolutionsgleichung von $M_{ij}$. Es gilt
  \begin{align*}
    \dot M_{ij} =&\,\dot u_{ij} +\frac1{u^2}\dot uu_iu_j -\frac1u\dot
    u_iu_j -\frac1uu_i\dot u_j +\frac{\dot u}t\delta_{ij} -\frac
    u{t^2}\delta_{ij},\umbruch\\
    M_{ij,k}\equiv&\,\fracp{}{x^k}M_{ij}\umbruch\\
    =&\,u_{ijk} +\frac1{u^2}u_ku_iu_j
    -\frac1uu_{ik}u_j-\frac1uu_iu_{jk}
    +\frac{u_k}t\delta_{ij},\umbruch\\
    M_{ij,kl}=&\,u_{ijkl} +\frac1{u^2}u_{kl}u_iu_j -\frac1uu_{ikl}u_j
    -\frac1uu_iu_{jkl} +\frac{u_{kl}}t\delta_{ij}\\
    &\,-2\frac1{u^3}u_iu_ju_ku_l +\frac1{u^2}u_ku_{il}u_j
    +\frac1{u^2}u_ku_iu_{jl} +\frac1{u^2}u_{ik}u_ju_l\\
    &\,-\frac1uu_{ik}u_{jl} +\frac1{u^2}u_iu_{jk}u_l
    -\frac1uu_{il}u_{jk},\umbruch\\
    \dot M_{ij}-\Delta M_{ij} =&\,-\frac u{t^2}\delta_{ij}
    +\frac2{u^3}|\nabla u|^2u_iu_j -\frac2{u^2}u^ku_{ki}u_j
    -\frac2{u^2}u^ku_{kj}u_i +\frac2uu_{ik}\delta^{kl}u_{lj}\umbruch\\ 
    \equiv&\,N_{ij}.
  \end{align*}
  Wir m\"ochten nun nachweisen, dass $N_{ij}$ die
  Null-Eigenvektor-Bedingung erf\"ullt. Sei dazu $\xi\in\R^n$ mit
  $|\xi|=1$ und $M_{ij}\xi^j=0$ f\"ur $1\le i\le n$, also 
  \begin{align*}
    0=&\,M_{ij}\xi^j =u_{ij}\xi^j -\frac1uu_iu_j\xi^j +\frac
    ut\delta_{ij}\xi^j
    \intertext{oder}
    u_{ij}\xi^j=&\,\frac1uu_iu_j\xi^j -\frac ut\delta_{ij}\xi^j.
  \end{align*}
  Es gilt
  \begin{align*}
    N_{ij}\xi^i\xi^j=&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2
    \langle\nabla u,\xi\rangle^2
    -\frac4{u^2}u^ku_{kj}\xi^j\langle\nabla u,\xi\rangle
    +\frac2u\xi^iu_{ik}\delta^{kl}u_{lj}\xi^j\umbruch\\
    =&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2\\ &\,-\frac4{u^2}u^k\left(\frac1uu_k\langle\nabla
      u,\xi\rangle^2 -\frac ut\delta_{kj}\xi^j\langle\nabla
      u,\xi\rangle\right)\\ &\,+\frac2u\left(\frac1uu_k\langle\nabla
      u,\xi\rangle -\frac ut\delta_{kj}\xi^j\right)\delta^{kl}
    \left(\frac1u u_l\langle\nabla u,\xi\rangle-\frac
      ut\delta_{li}\xi^i\right)\\
    =&\,-\frac u{t^2} +\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2 -\frac4{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla
    u,\xi\rangle^2 +\frac4{ut}\langle\nabla u,\xi\rangle^2\\
    &\,+\frac2{u^3}|\nabla u|^2\langle\nabla u,\xi\rangle^2
    -\frac4{ut}\langle\nabla u,\xi\rangle^2 +\frac{2u}{t^2}\umbruch\\
    =&\,\frac u{t^2}>0.
  \end{align*}
  Somit folgt die Behauptung aus dem Maximumprinzip f\"ur Tensoren. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Differentielle Harnackungleichung]
  \label{harnack diff thm}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n \text{ und }t\ge0.\]
  Dann gilt \[\dot u-\frac{|\nabla u|^2}u +\frac{n\cdot
    u}t\ge0\quad\text{in }\R^n\times(0,T).\]
\end{theorem}
\begin{proof}
  Bilde die Spur in der Harnackungleichung f\"ur Matrizen, Theorem
  \ref{matrix harnack thm}, und benutze $\dot u=\Delta u$. 
\end{proof}

Damit k\"onnen wir die Abfallrate von $u$ in einem festen Punkt
beschr\"anken. 
\begin{corollary}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,t)=u(y,t)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n\text{ und }t\ge0.\]
  Seien $0<t_1\le t_2<T$. Dann gilt f\"ur alle
  $x\in\R^n$ \[u(x,t_2)\ge
  u(x,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n.\]
\end{corollary}
\begin{proof}
  Wir verwenden die Absch\"atzung aus Theorem \ref{harnack diff thm}
  und erhalten f\"ur alle $x\in\R^n$ die Differentialungleichung $\dot
  u+\frac{nu}t\ge0$. Eine L\"osung der zugeh\"origen
  Differentialgleichung ist durch $c\cdot t^{-n}$ gegeben,
  insbesondere l\"ost also $t\mapsto u(x,t_1)\cdot
  \left(\frac{t_1}t\right)^n$ die Differentialgleichung. Da eine
  L\"osung der Gleichung bei gleichem Anfangswert zur Zeit $t_1$ f\"ur
  $t>t_1$ unterhalb einer L\"osung der Ungleichung liegt, folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

Wir k\"onnen auch die Funktionswerte in verschiedenen Punkten
miteinander vergleichen:
\begin{corollary}
  Sei $T>0$. Sei \[u\in C^{4;2}\left(\R^n\times(0,T)\right) \cap
  C^{2;1}\left(\R^n\times[0,T)\right)\] eine L\"osung der
  W\"armeleitungsgleichung \[\dot u=\Delta u\quad\text{in
  }\R^n\times(0,T)\] mit $u(\cdot,0)\ge0$, $u(\cdot,0)\not\equiv0$
  und \[u(x,0)=u(y,0)\quad\text{f\"ur }x-y\in\Z^n.\] Seien $0<t_1\le
  t_2<T$. Dann gilt f\"ur alle $x_1,x_2\in\R^n$ \[u(x_2,t_2)\ge
  u(x_1,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n\cdot
  e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}}.\]  
\end{corollary}
\begin{proof}
  Wir definieren \[f(s):=u((1-s)x_1+sx_2,(1-s)t_1+st_2)\] f\"ur
  $s\in[0,1]$ und erhalten mit Theorem \ref{harnack diff thm}
  \begin{align*}
    \frac d{ds}f(s)=&\,\langle\nabla u(\ldots),x_2-x_1\rangle
    +\dot u(\ldots)\cdot(t_2-t_1)\umbruch\\
    \ge&\,\langle\nabla u,x_2-x_1\rangle
    +(t_2-t_1)\cdot\left(\frac{|\nabla
        u|^2}u -\frac{n\cdot u}t\right),\quad t=(1-s)t_1+st_2,\umbruch\\
    \ge&\,-\frac{|\nabla u|^2}u\cdot(t_2-t_1)
    -\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot u +(t_2-t_1)\cdot\frac{|\nabla
      u|^2}u -\frac{n\cdot u}t\cdot(t_2-t_1)\umbruch\\
    =&\,-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot f(s) -\frac{n\cdot
      f(s)}{(1-s)t_1+st_2}\cdot (t_2-t_1).
  \end{align*}
  Man rechnet direkt nach, dass (die mit Hilfe von SAGE gefundene
  Funktion) \[s\mapsto\text{konst.}\cdot \frac{\displaystyle
    e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}\cdot s}}{\displaystyle
    (t_1+s(t_2-t_1))^n} \equiv g(s)\] eine L\"osung der zugeh\"origen
  Differentialgleichung ist. Wir w\"ahlen die Konstante als
  $u(x_1,t_1)\cdot t_1^n$, so dass $g(0)=u(x_1,t_1)$ gilt. Aufgrund
  der Differentialungleichung gilt $f(s)\ge g(s)$ f\"ur alle
  $s\in[0,1]$. Mit $u(x_2,t_2)=f(1)\ge g(1)$ folgt daraus
  \[u(x_2,t_2)\ge u(x_1,t_1)\cdot\left(\frac{t_1}{t_2}\right)^n
  \cdot e^{-\frac{|x_2-x_1|^2}{t_2-t_1}}\]
    wie behauptet. 
  \end{proof}

\subsection{Lokalisierte Harnackungleichung}  
Es gilt die folgende lokalisierte Variante einer Harnackungleichung,
vergleiche \cite[Theorem 1.2]{LiYauHarnack}.
\begin{theorem}
  Sei $u:B_{2R}(0)\times[0,T]\rightarrow \R$ mit $u>0$ eine bis zum
  Rand glatte L\"osung der W\"armeleitungsgleichung
\[
\dot{u}=\Delta u .
\]
Dann gilt f\"ur beliebige $\alpha>1$ die Absch\"atzung 
\begin{align*}
  \frac {|\nabla u|^2}{u^2}-\alpha \frac{\dot u}{u}\leq
  &\,c(n)\alpha^2\left(1+\frac{\alpha^2}{\alpha-1}\right)
    \frac{1}{R^2} +\frac{n}{2}\alpha^2\frac{1}{t}
    \intertext{bzw.}
    \frac {|\nabla u|^2}{u^2}-\alpha \frac{\dot u}{u}\leq
  &\,c(n,\alpha)\left(\frac{1}{R^2}+\frac{1}{t}\right) 
\end{align*}
in $B_R(0)\times[0,T]$.
\end{theorem}
\begin{proof}
\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Wir definieren $f=\log u$ und 
\[F(x,t):\,= t\left(|\nabla f|^2-\alpha\dot{f}\right).
\]
Zun\"achst leiten wir eine Differentialungleichung f\"ur $F$ her: Es
gilt
\begin{align*}
  \dot{f}=&\,\frac{1}{u}\dot{u},\\
  f_i=&\,\frac{1}{u}u_i,\\
  f_{ij}=&\,\frac{1}{u}u_{ij}-\frac{1}{u^2}u_iu_j,\\
  \dot{f}-\Delta f=&\,\frac{1}{u}\left(\dot{u}-\Delta u\right)
                     +\frac{1}{u^2}|\nabla u|^2\\ 
  =&\,|\nabla f|^2,\\
  \dot{F}=&\,\left(|\nabla f|^2-\alpha \dot{f}\right)+2t
            f^i\dot{f}_i-t\alpha\ddot{f},\\ 
  F_k=&\,t\left(2f^	if_{ik}-\alpha\dot{f}_k\right),\\
  F_{kl}=&\,t\left(2f^if_{ikl}+2f^i_lf_{ik}-\alpha \dot
           f_{kl}\right),\\ 
  \dot{F}-\Delta F=
          &\,\left(|\nabla f|^2-\alpha
            \dot{f}\right)+2tf^i\left(\dot{f}_i-\delta^{kl}
            f_{ikl}\right)-2tf^i_jf^j_i-t\alpha\left(\ddot{f}
            -\Delta\dot{f}\right)\\   
  =&\,\left(|\nabla f|^2-\alpha\dot{f}\right)
     +4tf^if^jf_{ij}-2tf^i_jf^j_i-2t\alpha f^i\dot{f}_i, 
\end{align*}
wobei wir im letzten Schritt die Differentialgleichung f\"ur $f$
benutzt haben. \par
Wegen
\[2\langle\nabla f,\nabla F\rangle=4tf^if^jf_{ij}-2\alpha
  tf^i\dot{f}_i\] erhalten wir
\[\dot{F}-\Delta F=\frac{F}{t}+2\langle\nabla f, \nabla
  F\rangle-2\,tf^i_jf^j_i.\] Den letzten Term wollen wir mit
$\Delta f$ vergleichen. Es gilt:
\[\left(\Delta f\right)^2=\,\sum\limits_{i,j} f_{ii}f_{jj}\leq
  \sum\limits_{i,j}\left(\frac{1}{2} f^2_{ii}+\frac{1}{2}
    f^2_{jj}\right)=n\sum\limits_if^2_{ii}
  =n\sum\limits_{i=j}f_{ij}f_{ij}\leq
  n\sum\limits_{i,j}f_{ij}f_{ij}.\] Somit erhalten wir
\[\dot{F}-\Delta F\leq \frac{F}{t}+2\langle\nabla f,\nabla
  F\rangle-\frac{2t}{n}\left(\Delta
    f\right)^2=\frac{F}{t}+2\langle\nabla f,\nabla
  F\rangle-\frac{2t}{n}\left(|\nabla f|^2-\dot{f}\right)^2.\]
\item Sei $\psi:[0,\infty)\rightarrow \R$ eine fixierte $C^2$-Funktion
  mit $0\leq\psi\leq1$ und
  \[\psi(r)=
    \begin{cases}1,&r\in[0,1],\\
      0, &r\in[2,\infty).\end{cases}\] Definiere $\phi$ durch
  $\phi(x)=\psi\left(\frac{|x|}{R}\right)$. Dann ist $\phi \in C^2$
  und es gilt
  \begin{align*}
    \phi_i(x)=
    &\,\psi'\left(\frac{|x|}{R}\right)
      \frac{1}{R}\frac{x_i}{|x|},\\ 
    \phi_{ij}(x)=
    &\,\psi'\left(\frac{|x|}{R}\right)\frac
      {1}{R}\frac{1}{|x|}\left(\delta_{ij}
      -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)+\psi 
      ''\left(\frac{|x|}{R}\right)\frac{1}{R^2}
      \frac{x_ix_j}{|x|^2},\\  
    |\nabla\phi|\leq&\,\frac{C}{R},\\
    |\nabla^2\phi| \leq&\,\frac{C}{R^2},
  \end{align*}
  da $\psi'\left(\frac{|x|}{R}\right)\neq0$ nur f\"ur $R\leq|x|\leq2R$
  gelten kann.\par Aus
  \begin{align*}
    \frac{|\nabla\psi|^2}{\psi}\leq&\, c\\ \intertext{erhalten wir
    au\ss{}erdem}\frac{|\nabla\phi|^2}{\phi}\leq&\,\frac{c}{R^2}, 
  \end{align*} wobei hier und nachfolgend stets $c=c(n)$ ist.
\item Wir wollen nun das Maximumprinzip auf $\phi F$ in
  $B_{2R}(0)\times[0,T]$ anwenden. Sei $(x_0,t_0)$ ein (zeitlich
  erster) Punkt, in dem $\phi F$ ein positives Maximum annimmt. Ist
  \"uberall $\phi F\leq 0$, so ist die Behauptung klar. Die
  Positivit\"at von $(\phi F)(t_0,x_0)$ liefert $t_0>0$ und
  $|x_0|<2R$. Wir erhalten somit in $(x_0,t_0)$
  \begin{align*}
    0=&\,\nabla(\phi F),\\
    0\leq&\, \frac{d}{dt}(\phi F)-\Delta(\phi F)\\
    =&\,\left(\frac{d}{dt}\phi -\Delta\phi\right)
       F+\phi\left(\frac{d}{dt}F-\Delta
       F\right)-2\langle\nabla\phi,\nabla F\rangle\\ 
    \leq&\,\frac{cF}{R^2}+\frac{\phi F}{t_0}+2\phi\langle\nabla
          f,\nabla F\rangle-\frac{2t_0}{n}\phi\left(|\nabla
          f|^2-\dot{f}\right)^2-2\langle\nabla\phi,\nabla F\rangle. 
  \end{align*}
  Dies multiplizieren wir nun mit $\phi t_0$. Es ergibt sich:
  \begin{align*}
    0\leq&\,\frac{c\phi F\,t_0}{R^2}+\phi^2F+2\,t_0\phi^2\langle\nabla
           f,\nabla F\rangle-\frac{2t_0^2}{n}\left(\phi |\nabla
           f|^2-\phi\dot{f}\right)^2\\
         &\,-2t_0\phi\langle\nabla\phi,\nabla F\rangle\\ 
    =&\,\frac{c\phi Ft_0}{R^2}+\phi^2F+2\,t_0\phi\langle\nabla f,
       \underbrace{\nabla (\phi F)}_{=0}\rangle-2t_0\phi
       F\langle\nabla f,\nabla\phi\rangle\\ 
         &\,-\frac{2t_0^2}{n}\left(\phi|\nabla
           f|^2-\phi\dot{f}\right)^2  
           -2t_0\langle\nabla\phi,\underbrace{\nabla(\phi
           F)}_{=0}\rangle +2t_0F|\nabla\phi |^2. 
  \end{align*}
  Es gelten
  \begin{align*}
    \phi^2F\le
    &\,\phi F,\umbruch\\
    -2\,t_0\phi F\langle\nabla f,\nabla\phi\rangle\leq
    &\, 2t_0\phi
      F|\nabla f|\frac{|\nabla\phi |}{\phi^{\frac{1}{2}}}
      \phi^{\frac12}\umbruch\\
    \leq&\, ct_0\phi F|\nabla f|\frac{1}{R}\phi^{\frac12}
          \intertext{und}\umbruch
          2t_0F|\nabla\phi|^2\leq&\,\frac{c\,\phi Ft_0}{R^2}.
  \end{align*}                             
  Somit gilt 
  \[0\leq \frac{c\,\phi Ft_0}{R^2}+\phi F+c\,t_0\phi F|\nabla
    f|\frac{1}{R}\phi^{\frac{1}{2}}-\frac{2t_0^2}{n}\left(\phi|\nabla
      f|^2-\phi\dot{f}\right)^2.\] Wir f\"uhren nun die Bezeichnungen
  $y=\phi|\nabla f|^2$ und $z=\phi\dot{f}$ ein. Damit ergibt sich
  \[0\leq \frac{c\,\phi Ft_0}{R^2}+\phi F+ \frac{c\,\phi
      Ft_0}{R}y^{\frac{1}{2}}-\frac{2t^2_0}{n}\left(y-z\right)^2.\]
\item Wir untersuchen nun den Ausdruck
  \[-\frac{2t^2_0}{n}(y-z)^2 +\frac{c\,\phi
      Ft_0}{R}y^{\frac{1}{2}}=\frac{2t^2_0}{n}
    \left[-(y-z)^2+\frac{c_1}{R}y^{\frac{1}{2}}(y-\alpha z)\right]\]
  mit $c_1=c_1(n)$ genauer. Dabei haben wir
  \[\phi F=t\left(\phi|\nabla
      f|^2-\alpha\,\phi\dot{f}\right)=t(y-\alpha z)\] benutzt. Wir
  wollen nun $-(y-z)^2$ durch $-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha\,z)^2$
  ersetzen. \par In der Originalarbeit werden hier noch diverse
  Konstanten eingef\"uhrt, so dass sich der Vorfaktor
  $\frac{1}{\alpha^2}$ vor $(y-\alpha z)^2$, der hier etwas
  willk\"urlich erscheint, ergibt. \par
  Dies erfordert jedoch l\"angere Rechnungen. \par
  Es gilt
  \begin{align*}
    &\,-(y-z)^2+\frac{c_1}{R}y^{\frac{1}{2}}(y-\alpha z)\\
    =&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha z)^2+\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha
       z)^2-(y-z)^2+\frac{c_1}{R} y^{\frac12}(y-\alpha z)\\ 
    =&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha
       z)^2+\frac{1}{\alpha^2}y^2 -\frac{2}{\alpha}yz+z^2
       -y^2+2yz-z^2+\frac{c_1}{R}y^{\frac12}(y-\alpha z)\\ 
    =&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha
       z)^2-\left(1-\frac{1}{\alpha^2}\right)y^2
       +2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)yz
       +\frac{c_1}{R}y^{\frac12}(y-\alpha z). 
  \end{align*}
  Wegen $(y-\alpha z)=\frac{\phi F}{t}>0$ und da wir das Vorzeichen
  von $yz$ nicht kennen, m\"ussen wir den Term mit $y^\frac12$ so
  absch\"atzen, dass der Term mit $yz$ gerade wegf\"allt. Es gilt
  \begin{align*}
    \frac{c_1}{R}y^{\frac12}=
    &\,2\cdot\frac{c_1}{2R} \frac{\sqrt{\frac{2}{\alpha^2}
      (\alpha-1)y}}{\sqrt{\frac{2}{\alpha^2}(\alpha-1)}}\\  
    \leq&\,\frac{2}{\alpha^2}(\alpha-1)y+\frac{c^2_1}{4R^2}
          \frac{\alpha^2}{2}\frac{1}{\alpha-1}\\ 
    =&\,\frac{2}{\alpha^2}(\alpha-1)y+\frac{c^2_1}
       {8R^2}\frac{\alpha^2}{\alpha-1}.\\
  \end{align*}
  Damit folgt also
  \begin{align*}
    &\,-(y-z)^2+\frac{c_1}{R} y^\frac12 (y-\alpha z)\\
    \leq&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha z)^2
          -\left(1-\frac{1}{\alpha^2}\right)y^2
          +2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)yz\\  
    &\,+\frac{2}{\alpha^2}(\alpha-1)y(y-\alpha z)
      +\frac{c^2_1}{8R^2} \frac{\alpha^2}{\alpha-1}(y-\alpha z)\\  
    =&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha z)^2
       -\left(1-\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}\right)y^2 +0\cdot
       yz+\frac{c^2_1}{8R^2} \frac{\alpha^2}{\alpha-1}(y-\alpha z)\\ 
    =&\,-\frac{1}{\alpha^2}(y-\alpha z)^2
       -\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)^2y^2
       +\frac{c^2_1}{8R^2}\frac{\alpha^2}{\alpha-1}(y-\alpha z). 
  \end{align*}
\item Aus den letzten beiden Abschnitten erhalten wir
  \begin{align*}
    0\leq
    &\,\frac{c\phi Ft_0}{R^2}+\phi F\\
    &\,+\frac{2t^2_0}{n}\left(-\frac{1}{\alpha^2} (y-\alpha
      z)^2-\left(1-\frac1\alpha\right)^2y^2
      +\frac{c^2_1}{8R^2}\frac{\alpha^2}{\alpha-1}(y-\alpha 
      z)\right)\\ 
    \leq&\,\frac{c\phi Ft_0}{R^2}+\phi F -\frac{2}{n\alpha^2}(\phi
          F)^2+0+\frac{c\phi Ft_0}{R^2}\frac{\alpha^2}{\alpha-1}. 
  \end{align*}
  Also gilt
  \[(\phi F)(x_0,t_0)\leq\frac{n\alpha^2}{2}
    \left(\frac{ct_0}{R^2}+1+\frac{ct_0}{R^2}
      \frac{\alpha^2}{\alpha-1}\right).\] 
  Daraus erhalten wir f\"ur $(x,t)\in B_R(0)\times[0,T]$ wegen
  $\phi(x)=1$. 
  \begin{align*}
    t\left(|\nabla f|^2-\alpha\dot{f}\right)(x,t)=
    &\,\phi(x)\cdot t \left(|\nabla f|^2-\alpha\dot{f}\right)(x,t)\\ 
    \leq &\,\phi(x_0)\cdot t_0\left(|\nabla f|^2-\alpha\dot{f}\right)
           (x_0,t_0)\\ 
    \leq&\,\frac{n\alpha^2}{2}c
          \left(1+\frac{\alpha^2}{\alpha-1}\right) 
          \frac{t_0}{R^2}+\frac{n\alpha^2}{2}.
  \end{align*}
  Ist $t\geq t_0$, so gilt $\frac{t_0}{tR^2}\leq\frac{1}{R^2}$ und die
  Behauptung folgt nach Division durch $t$. Sonst wenden wir die
  obigen \"Uberlegungen mit $T=t$ an. Dann erf\"ullt die Maximalstelle
  $(x_0,t_0)$ automatisch $t_0\leq t=T$. Daher folgt auch in diesem
  Fall die Behauptung, da die Konstanten auf der rechten Seite der
  Ungleichung nicht von $T$ abh\"angen. \par Alternativ k\"onnte man
  auch am Anfang des Beweises $T=t$ annehmen. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{appendix}
  \section{Erg\"anzung: Analytizit\"at harmonischer Funktionen}
  \begin{theorem}[Analytizit\"at]
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $u:\Omega\to\R$ harmonisch. Dann
    ist $u$ in $\Omega$ analytisch.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Sei $x_0\in\Omega$. Wir werden nachweisen, dass die Taylorreihe
    von $u$ in $x_0$ in einer Kugel um $x_0$ konvergiert. Definiere
    \[r:=\frac14\dist(x_0,\partial\Omega)\] bzw.{} $r:=1$ falls
    $\Omega=\R^n$ und
    \[M:=\frac1{\omega_nr^n}\Vert u\Vert_{L^1(B_{2r}(x_0))}.\] Da
    $u\in C^\infty(\Omega)$ ist, erhalten wir $M<\infty$.\par
    \textbf{Absch\"atzungen f\"ur Ableitungen:} Wir kombinieren
    \[\left|D^\alpha u(x)\right|\le
    \frac{\left(2^{n+1}n|\alpha|\right)^{|\alpha|}}{\omega_n}
    \frac1{r^{n+|\alpha|}} \Vert u\Vert_{L^1(B_r(x))}\] und
    $B_r(x)\subset B_{2r}(x_0)\subset\Omega$ f\"ur $x\in B_r(x_0)$ und
    erhalten
    \[\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))}\le
    M\left(\frac{2^{n+1}n}r\right)^{|\alpha|}\cdot|\alpha|^{|\alpha|}.\]
    F\"ur $k\in\N$ gilt $\frac1{k!}k^k\le e^k$ oder \"aquivalent dazu
    $k^k\le e^kk!$. Also ist $|\alpha|^{|\alpha|}\le
    e^{|\alpha|}|\alpha|!$. Das Multinomialtheorem liefert f\"ur
    $|\alpha|=k$
    \[n^k=(1+\ldots+1)^k=\sum\limits_{|\beta|=k}\frac{|\beta|!}{\beta!}
    \ge\frac{|\alpha|!}{\alpha!}.\] Also ist $|\alpha|!\le
    n^{|\alpha|}\alpha!$. Wir erhalten
    \[\left\Vert D^\alpha u\right\Vert_{L^\infty(B_r(x_0))} \le
    M\left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^{|\alpha|}\alpha!.\]
    \textbf{Potenzreihe:} Wir behaupten, dass (zumindest) f\"ur
    $|x-x_0|<\frac r{2^{n+2}n^3e}$ die Taylorreihe
    \[\sum\limits_\alpha\frac{D^\alpha u(x_0)}{\alpha!}(x-x_0)^\alpha\]
    gegen $u$ konvergiert. Dazu betrachten wir die
    Restglieddarstellung
    \begin{align*}
      R_N(x):=&\,u(x)-\sum\limits_{k=0}^{N-1}
      \sum\limits_{|\alpha|=k}\frac{D^\alpha
        u(x_0)(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}\umbruch\\
      =&\,\sum\limits_{|\alpha|=N}
      \frac{D^\alpha(x_0+t(x-x_0))(x-x_0)^\alpha}{\alpha!}
    \end{align*}
    f\"ur ein $t\in[0,1]$. Dies erh\"alt man durch Betrachtung der
    Funktion $g(t):=u(x+t(x-x_0))$, Entwicklung f\"ur $t=0$ und Auswertung
    bei $t=1$. Die obigen Absch\"atzungen f\"ur die Ableitungen von $u$
    liefern
    \begin{align*}
      |R_N(x)|\le&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}
      \left(\frac{2^{n+1}n^2e}r\right)^N \left(\frac
        r{2^{n+2}n^3e}\right)^N\umbruch\\
      =&\,M\sum\limits_{|\alpha|=N}\left(\frac1{2n}\right)^N
      \le Mn^N\left(\frac1{2n}\right)^N=\frac M{2^N}\umbruch\\
      \to&\,0\quad\text{f\"ur }N\to\infty.
    \end{align*}
    Bemerkung: Die Absch\"atzung $\sum\limits_{|\alpha|=N}1\le n^N$
    erh\"alt man wie folgt; Analogie: $N$ Kugeln sind auf $n$ K\"orbe
    zu verteilen; f\"ur jede Kugel hat man $n$ M\"oglichkeiten, also
    insgesamt h\"ochstens $n\cdots n=n^N$ M\"oglichkeiten.
    % $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die erste Kugel, $n$ M\"oglichkeiten
    % f\"ur die zweite Kugel, ...  $n$ M\"oglichkeiten f\"ur die
    % $n$-te Kugel.  Dies liefert die Absch\"atzung.
  \end{proof}
  
  \section{H\"olderr\"aume}
  Die im folgenden definierten R\"aume
  $C^{\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ und
  $C^{\cdot,\cdot}\left(\ol\Omega\right)$ sind Banachr\"aume.
  \begin{definition}[H\"olderr\"aume]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u:\Omega\to\R$. Es ist
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$, falls $u$ sich stetig bis
    zum Rand fortsetzen l\"a\ss{}t und
    $$\Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}:=\sup\limits_{x\in\Omega}|u|<\infty.$$
  \item $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$, falls $D^\alpha
    u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ f\"ur alle $|\alpha|\le k$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}:= \sum\limits_{|\alpha|\le
      k}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha u| <\infty.$$
  \item $u\in C^{0,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $0\le\alpha\le 1$,
    falls $u\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{0,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +\sup\limits_{x\neq y\in\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}
    \equiv \Vert u\Vert_{C^0(\Omega)}
    +[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$, $k\in\N$,
    $0\le\alpha\le 1$, falls $u\in C^k\left(\ol\Omega\right)$ und
    $$\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}:= \Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}
    +\sum\limits_{|\alpha|=k}\left[D^\alpha
      u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\infty.$$
  \item $u\in C^{k,\alpha}(\Omega)$, $k\in\N$, $0\le\alpha\le1$, falls
    $u\in C^{k,\alpha}\left(\ol{\Omega'}\right)$ f\"ur alle
    $\Omega'\Subset\Omega$. $C^{k,\alpha}(\Omega)$ ist kein
    Banachraum.
  \end{enumerate}
  F\"ur $0<\alpha<1$ hei\ss{}en die R\"aume $C^{k,\alpha}$
  H\"olderr\"aume. $\Vert\cdot\Vert_{C^{k,\alpha}}$ hei\ss{}t
  H\"oldernorm, $[\cdot]_{C^{0,\alpha}}$ hei\ss{}t H\"olderhalbnorm.
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R$ mit $\Omega=(-1,1)$ und $0<\alpha<1$. Dann ist
  $u(x):=|x|^\alpha$ h\"olderstetig. Es ist $u\in
  C^{0,\alpha}(\Omega)$.
\end{beispiel}

\section{Differenzenquotienten}
% Direkt aus dem Funktionalanalysis-Skript \"ubernommen. 

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $x\in\Omega'\Subset\Omega$, $1\le
  i\le n$ und $h\neq0$. Sei $0<|h|<\dist(\Omega',\partial\Omega)$ und
  $u:\Omega\to\R$.  Definiere den $i$-ten Differenzenquotienten der
  G\"o\ss{}e $h$ durch
  \begin{align*}
    D^h_iu(x):=&\,\frac{u(x+he_i)-u(x)}h,\umbruch\\
    D^hu:=&\,\left(D^h_1u,\,\ldots,\,D^h_nu\right).
  \end{align*}
\end{definition}

% Wir werden nun folgendes benutzen: 
% \begin{remark}[Funktionalanalysis]
%   \neueZeile
%   \begin{enumerate}[(i)]
%   \item Eine Folge $u_k$ in einem Banachraum $X$ konvergiert schwach
%     gegen $u\in X$,
%     $$u_k\rightharpoondown u,$$
%     falls
%     $$u^*(u_k)\to u^*(u)$$
%     f\"ur jedes beschr\"ankte lineare Funktional $u^*\in X^*$ gilt.
%   \item Beispiel $\R^n$. \par
%     Beispiel in $l^2$ f\"ur schwache Konvergenz von
%     $e_i=(\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1\text{ St\"uck}},1,0,\ldots)$
%     ohne Konvergenz: $e_i\rightharpoondown 0$, aber $e_i\not\to0$.
%     (ausf\"uhren).
%   \item Es gilt
%     $$u_k\to u\quad\Longrightarrow u_k\rightharpoondown u.$$
%   \item Jede schwach konvergente Folge ist beschr\"ankt
%     (Banach-Steinhaus),
%     $$\Vert u\Vert\le\liminf\limits_{k\to\infty}\Vert u_k\Vert.$$
%   \item Ein Banachraum heisst reflexiv, falls die kanonische
%     Einbettung in den Bidualraum ein Isomorphismus ist.
%   \item F\"ur $1\le p<\infty$ und eine offenen Menge
%     $\Omega\subset\R^n$ gilt
%     $$\left(L^p(\Omega)\right)^*=L^q(\Omega)$$
%     mit 
%     $$\frac1p+\frac1q=1.$$
%     Somit ist $L^p(\Omega)$ f\"ur $1<p<\infty$ reflexiv.
%   \item Weiterhin ist jeder Hilbertraum reflexiv.
%   \item In einem reflexiven Banachraum gilt: Jede 
%     beschr\"ankte Folge enth\"alt eine schwach konvergente Teilfolge.
%   \end{enumerate}
% \end{remark}

\begin{theorem}[Differenzenquotienten und schwache Ableitungen]
  \label{diff quot thm}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $1\le p<\infty$ und $u\in
    W^{1,p}(\Omega)$. F\"ur $\Omega'\Subset\Omega$ gibt es ein
    $c=c(\Omega,\Omega',n,p)>0$, so dass
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c\cdot
    \Vert Du\Vert_{L^p(\Omega)}$$ f\"ur alle
    $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$.
  \item Sei $1<p<\infty$, $u\in L^p(\Omega)$ und $\Omega\subset \R^n$
    offen. Gibt es $c>0$ und $\Omega'\Subset\Omega$ mit
    $$\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$$
    f\"ur alle $0<|h|<\frac12\dist(\Omega',\partial\Omega)$, so gilt
    $u\in W^{1,p}(\Omega')$ und
    $$\Vert Du\Vert_{L^p(\Omega')}\le c.$$
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $1\le p<\infty$ und sei $u$ glatt.  Sei $x\in\Omega'$,
    $1\le i\le n$ und $0<|h|<\frac12
    \dist(\Omega',\partial\Omega)$. Es gilt
    \begin{align*}
      u(x+he_i)-u(x)=&\,\int\limits_0^1u_i(x+the_i)h\,dt\umbruch\\
      |u(x+he_i)-u(x)|\le&\,|h|\cdot\int\limits_0^1 |Du(x+the_i)|\,dt
      \intertext{und aufgrund der H\"olderschen Ungleichung}
      \int\limits_{\Omega'}\left|D^hu\right|^p\le&\,
      c\sum\limits_i\int\limits_{\Omega'}\int\limits_0^1
      |Du(x+the_i)|^p\,dt\,dx\umbruch\\
      =&\,c\sum\limits_i\int\limits_0^1\int\limits_{\Omega'}
      |Du(x+the_i)|^p\,dx\,dt
      \le c\int\limits_\Omega|Du|^p.
    \end{align*}
    Da $\Omega'$ von $\partial\Omega$ mindestens Abstand $2|h|$ hat,
    folgt die Behauptung durch Approximation.
  \item Gelte $\left\Vert D^hu\right\Vert_{L^p(\Omega')}\le c$.  Sei
    $\phi\in C^\infty_c(\Omega')$ eine Testfunktion. Dann gilt die
    folgende ``partielle Integrationsformel'', falls $|h|\le c(\phi)$
    klein genug ist
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u(x)\frac{\phi(x+he_i)-\phi(x)}{h}dx=&\, 
      -\int\limits_{\Omega'}\frac{u(x)-u(x-he_i)}
      h\phi(x)\,dx,\umbruch\\ 
      \int\limits_{\Omega'}u\left(D^h_i\phi\right)
      =&\,-\int\limits_\Omega  
      \left(D^{-h}_iu\right)\phi.
    \end{align*}
    Nach Voraussetzung ist
    $$\sup\limits_h\left\Vert
      D^{-h}_iu\right\Vert_{L^p(\Omega')}<\infty.$$ 
    Daher existiert $v_i\in L^p(\Omega')$ und eine Folge $h_k\to0$, so 
    dass
    $$D^{-h_k}_iu\rightharpoondown v_i\quad\text{in }L^p(\Omega').$$
    Es folgt
    \begin{align*}
      \int\limits_{\Omega'}u\phi_i=&\, \int\limits_\Omega u\phi_i
      =\lim\limits_{h_k\to0}\int\limits_\Omega u\cdot D^{h_k}_i\phi
      =\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_\Omega
      D^{-h_k}_iu\phi\umbruch\\
      =&\,\lim\limits_{h_k\to0}-\int\limits_{\Omega'} D^{-h_k}_iu\phi
      =-\int\limits_{\Omega'}v_i\phi.
    \end{align*}
    Somit gilt $v_i=u_i$ im schwachen Sinne.  Wegen der schwachen
    Konvergenz ist $v_i\in L^p(\Omega')$ und wir erhalten $Du\in
    L^p(\Omega')$.  Da auch $u\in L^p(\Omega')$ ist, folgt $u\in
    W^{1,p}(\Omega')$.  Die Normabsch\"atzung folgt aus der
    Unterhalbstetigkeit der Norm.\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

% \begin{xca}
%   \neueZeile
%   \begin{itemize}
%   \item Zeige, dass der zweite Teil von Theorem \ref{diff quot thm}
%     f\"ur $p=1$ falsch ist.
%   \item Lies \cite[S. 279-281]{EvansPDE}.
%   \item Zeige, dass
%     $$u\in W^{1,\infty}\quad\Longleftrightarrow\quad u
%     \text{ ist gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz}.$$
%   \item Zeige, dass eine Funktion $u\in W^{1,p}$ f\"ur $p>n$ fast
%     \"uberall differenzierbar ist.
%   \end{itemize}
% \end{xca}
\end{appendix}
%
% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
% Folgende Zeile bitte bei bibtex nicht herauskommentieren!
% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
\rule{0mm}{1mm}\phantom{\cite{EvansPDE,GT,JostPDE,FritzJohnPDE,ProtterWeinberger,AdamsSobolev}}\rule{0mm}{1mm}\\[-10ex]\rule{1mm}{0mm}
\bibliographystyle{amsplain}
\def\emph#1{\textit{#1}}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
% ab hier aus bbl-File. 
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  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{AdamsSobolev}
  Robert~A. Adams, \emph{Sobolev spaces}, Academic Press, New
  York-London, 1975, Pure and Applied Mathematics, Vol. 65.

\bibitem{EvansPDE}
Lawrence~C. Evans, \emph{Partial differential equations}, Graduate Studies in
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\bibitem{CGPDE}
Claus Gerhardt\weg{CGPDE}, \emph{{Partielle
      Differentialgleichungen}}, 1997-1998, Vorlesungsmitschrift.
  
\bibitem{GT}
David Gilbarg and Neil~S.\weg{GT} Trudinger, \emph{Elliptic partial
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Fritz John, \emph{Partial differential equations}, fourth ed., Applied
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J{\"u}rgen Jost, \emph{Partial differential equations}, Graduate Texts in
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  Gary~M. Lieberman, \emph{Second order parabolic differential
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\bibitem{LiYauHarnack}
Peter Li and Shing-Tung Yau, \emph{On the parabolic kernel of the
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Murray~H. Protter and Hans~F. Weinberger, \emph{Maximum principles in
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  of the 1967 original.

\end{thebibliography}

\end{document}
