% 
% Mathematik f\"ur Physiker III
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2011/2012
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Mathematik f\"ur Physiker III\\ Gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen }

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
%\subjclass[2000]{34-01}

\date{Februar 2012.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Mathematik f\"ur Physiker III an der Universit\"at Konstanz im
  Wintersemester 2011/2012.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen
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  \def\unterabschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
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{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

Wir orientieren uns an
\cite{DenkMPh3,CGAnalysisII,Dieudonne,WittumNumerikI,WalterODEs}.  

\Section{Existenzs\"atze} 
\Subsection{Existenz}

\begin{definition}
  Eine implizite gew\"ohnliche Differentialgleichung $k$-ter Ordnung
  ist eine Gleichung der Form \[F\left(t,x(t),\dot
    x(t),x^{(2)}(t),\ldots,x^{(k)}(t)\right)=0.\] Eine (explizite)
  gew\"ohnliche Differentialgleichung $k$-ter Ordnung ist eine
  Gleichung der Form \[x^{(k)}(t) =F\left(t,x(t),\dot x(t),x^{(2)}(t),
    \ldots,x^{(k-1)}(t)\right).\] Gesucht ist jeweils eine $k$-mal
  differenzierbare Funktion $x\colon I\to\R^n$ f\"ur ein offenes
  Intervall $I\subset\R$. \par
  Im Folgenden nehmen wir stets an, dass $F\colon
  I\times\R^n\times\R^n \times\cdots\times\R^n\to\R^n$ mindestens
  stetig ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir untersuchen gew\"ohnliche Differentialgleichungen auf
    \begin{itemize}
    \item (globale) L\"osbarkeit,
    \item Eindeutigkeit (der L\"osung),
    \item Abh\"angigkeit der L\"osung von (Anfangs-)daten.
    \end{itemize}
  \item Ist $F$ eine Funktion mit Werten in $\R^n$, so sprechen wir
    von einem System von gew\"ohnlichen Differentialgleichungen.\par
    Eine Differentialgleichung $k$-ter Ordnung l\"asst sich als System
    von Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen:
    \[
    \frac d{dt}X(t) \equiv \frac d{dt}
    \begin{pmatrix}
      x(t)\\ \dot x(t)\\ \vdots\\ x^{(k-2)}(t)\\ x^{(k-1)}(t)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      \dot x(t)\\ x^{(2)}(t)\\ \vdots\\ x^{(k-1)}(t)\\
      F\left(t,x(t),\dot x(t),\ldots,x^{k-1}(t)\right)
    \end{pmatrix}
    \equiv \tilde F\left(t,X(t)\right).
    \]
    Daher gen\"ugt es h\"aufig, gew\"ohnliche Differentialgleichungen
    erster Ordnung zu untersuchen. 
  \item Ist $F$ stetig und $x$ eine $k$-mal differenzierbare Funktion,
    so ist $x$ auch $k$-mal stetig differenzierbar. 
  \item Wir klassifizieren gew\"ohnliche Differentialgleichungen ein
    wenig. 
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Ein System hei\ss{}t linear, wenn es sich in der Form
      $A(t)\dot x(t)=0$ mit einer Matrix $A(t)$ darstellen l\"asst.
    \item Eine gew\"ohnliche Differentialgleichung hei\ss{}t autonom,
      falls sie die Form \[F\left(x(t),\dot x(t),\ldots,
        x^{(k)}(t)\right)=0\] hat, wenn $F$ also nicht explizit von
      $t$ abh\"angt. 
    \item Explizite und implizite gew\"ohnliche
      Differentialgleichungen haben wir bereits unterscheiden. 
    \item Man klassifiziert gew\"ohnliche Differentialgleichungen nach
      ihrer Ordnung. 
    \end{enumerate}
  \item Ist $F$ stetig, so ist die Gleichung $\dot x(t)=F(t,x(t))$ in $I$
    mit $x(t_0)=x_0$ f\"ur ein $t_0\in I$ \"aquivalent zur
    Integralgleichung \[x(t)=x_0+\int\limits_{t_0}^t
    F(\tau,x(\tau))\,d\tau.\]  
  \end{enumerate}
\end{remark}

Erinnerung:
\begin{definition}
  Sei $E$ ein normierter Raum und sei $M\subset E$. Dann hei\ss{}t
  eine Abbildung $\Phi\colon M\to M$ kontrahierend, falls es ein $c$
  mit $0\le c<1$ und \[\Vert\Phi(x)-\Phi(y)\Vert\le c\cdot\Vert
  x-y\Vert\] f\"ur alle $x,y\in M$ gibt.
\end{definition}

Erinnerung:
\begin{theorem}[Banachscher Fixpunktsatz]
  Sei $E$ ein Banachraum und $M\subset E$ abgeschlossen. Sei 
  \[\Phi\colon M\to M\] eine kontrahierende Abbildung. Dann besitzt
  $\Phi$ genau einen Fixpunkt, \dh es gibt genau ein $x\in M$ mit
  $\Phi(x)=x$. 
\end{theorem}

\begin{definition}
  Seien $E,F$ normierte R\"aume.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann hei\ss{}t $f\colon E\to F$ (global) lipschitzstetig
    (auch: Lipschitz stetig), falls es ein $L>0$ mit \[\Vert
    f(x)-f(y)\Vert_F\le L\cdot\Vert x-y\Vert_E\] f\"ur alle $x,y\in E$
    gibt. Die kleinste solche Zahl $L$ hei\ss{}t Lipschitzkonstante
    der Abbildung $f$.
  \item Sei $f_j\colon E\to F$, $j\in J$, eine Familie von
    lipschitzstetigen Funktionen mit Lipschitzkonstanten $L_j$. Dann
    hei\ss{}t $(f_j)_{j\in J}$ gleichm\"a\ss{}ig lipschitzstetig, falls
    die Lipschitzkonstanten $L_j$, $j\in J$, gleichm\"a\ss{}ig
    beschr\"ankt sind.
  \item Eine Funktion $f\colon E\to F$ hei\ss{}t lokal
    lipschitzstetig, falls es zu jedem Punkt $x_0\in E$ eine Umgebung
    $U$ mit $x_0\in U$ und ein $L=L(U)$ mit \[\Vert f(x)-f(y)\Vert_F\le
    L(U)\cdot\Vert x-y\Vert_E\] f\"ur alle $x,y\in U$ gibt.
  \item Eine Familie von Funktionen $f_j\colon E\to F$, $j\in J$,
    hei\ss{}t gleichm\"a\ss{}ig lokal lipschitzstetig, falls es zu
    jedem Punkt $x\in E$ eine Umgebung $U$ mit $x\in U$ und ein
    $L=L(U)$ mit \[\Vert f_j(x)-f_j(y)\Vert_F\le L(U)\cdot\Vert
    x-y\Vert_E\] f\"ur alle $x,y\in U$ und alle $j\in J$ gibt.
  \end{enumerate}
  Entsprechende Definitionen verwenden wir f\"ur Funktionen
  $f\colon\Omega\to F$, die auf Teilmengen $\Omega\subset E$ von $E$
  definiert sind. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien $E,F$ ein Banchr\"aume.  Ist $f\in C^1(E,F)$, so erhalten
  wir 
  \begin{align*}
    \Vert f(x)-f(y)\Vert_F =&\,\left\Vert \int\limits_0^1\frac
      d{dt}f(tx+(1-t)y)\,dt\right\Vert \le \int\limits_0^1\Vert
    Df(tx+(1-t)y)\langle x-y\rangle\Vert\,dt \\
    \le&\, \sup_{t\in[0,1]} \Vert Df(tx+(1-t)y)\Vert\cdot\Vert
    x-y\Vert. 
  \end{align*}
  Da $Df$ stetig ist, ist $f$ lokal lipschitzstetig. Ist $\Vert
  Df\Vert$ \"uberall beschr\"ankt, so ist $f$ global lipschitzstetig.
\end{remark}

Wir beweisen den ersten Existenzsatz f\"ur gew\"ohnliche
Differentialgleichungen f\"ur Funktionen $x\colon I\to E$ mit einem
beliebigen Banachraum $E$ statt $\R^n$ oder $\C^n$, da dies keinen
Zusatzaufwand bedeutet. 
\begin{theorem}[Picard-Lindel\"of]
  Sei $E$ ein Banachraum und $x_0\in E$. Sei $\Omega\subset E$ offen
  mit $x_0\in\Omega$. Sei $I\subset\R$ offen mit $t_0\in I$. Sei
  $f\colon I\times \Omega\to E$ stetig und sei die Familie
  $(f(t,\cdot))_{t\in I}$ lokal gleichm\"a\ss{}ig
  lipschitzstetig. Dann gibt es $\epsilon>0$, so dass das
  Anfangswertproblem (AWP)
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=f(t,x(t)),& t\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon),\\
    x(t_0)=x_0
  \end{cases}
  \]
  genau eine L\"osung $x\in C^1((t_0-\epsilon,t_0+\epsilon),E)$
  besitzt.  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wollen die \"aquivalente Integralgleichung l\"osen. Setze
  \[M:=2\Vert f(t_0,x_0)\Vert+1.\] Aufgrund der Stetigkeit von $f$ und
  der lokalen Lipschitzstetigkeit gibt es ein $r>0$ und ein $L>0$ 
  mit
  \begin{align*}
    \sup\limits_{(t_0-r,t_0+r)\times B_r(x_0)}\Vert f\Vert <&\,M
    \intertext{und} \Vert f(t,x)-f(t,y)\Vert\le&\, L\cdot\Vert x-y\Vert
  \end{align*}
  f\"ur alle $x,y\in B_r(x_0)$ und alle $t\in(t_0-r,t_0+r)$. 
  W\"ahle $\epsilon$ mit $0<\epsilon<r$, $\epsilon\cdot M\le r$ und
  $\epsilon\cdot L\le \frac12$. 
  Definiere
  \[\mathcal M:=\left\{x\in C^0([t_0-\epsilon,t_0+\epsilon],E)\colon
    x(t)\in\ol B_r(x_0)\,\forall\, t\in
    [t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]\right\}.\] $\mathcal M$ ist eine
  bez\"uglich der $C^0$-Norm abgeschlossene Teilmenge von
  $C^0([t_0-\epsilon,t_0+\epsilon],E)$ und daher
  vollst\"andig. Definiere $T\colon\mathcal M\to C^0([t_0-\epsilon,
  t_0+\epsilon],E)$ durch
  \[(T(x))(t):=x_0+\int\limits_{t_0}^t f(\tau,x(\tau))\,d\tau.\] Wir
  behaupten, dass $T(\mathcal M)\subset\mathcal M$ gilt. Wir erhalten
  n\"amlich f\"ur $|t_0-t|\le\epsilon$
  \begin{align*}
    \Vert (T(x))(t)-x_0\Vert =&\,\left\Vert\int\limits_{t_0}^t
      f(\tau,x(\tau))\,d\tau\right\Vert \le
    |t-t_0|\cdot\sup_{(t_0-r,t_0+r)\times B_r(x_0)}\Vert f\Vert\\
    \le&\,\epsilon\cdot M\le r.
  \end{align*}
  Wir behaupten weiterhin, dass $T$ sogar eine Kontraktion ist. Es
  gilt n\"amlich f\"ur $x,y\in\mathcal M$
  \begin{align*}
    \Vert(Tx)(t)-(Ty)(t)\Vert =&\, \left\Vert\,\int\limits_{t_0}^t
      f(\tau,x(\tau))
      -f(\tau,y(\tau))\,d\tau \right\Vert\\
    \le&\,|t-t_0|\cdot\sup_{\tau\in[t_0-r,t_0+r]} \Vert
    f(\tau,x(\tau)) -f(\tau,y(\tau))\Vert\\ \le
    &\,\underbrace{\epsilon\cdot L}_{\le\frac12}\cdot\sup_{\tau\in
      [t_0-\epsilon,t_0+\epsilon]} \Vert x(\tau)-y(\tau)\Vert
    \le\frac12\Vert x-y\Vert_{C^0}.
  \end{align*}
  Somit ist $T$ eine Kontraktion. Der Banachsche Fixpunktsatz liefert,
  dass $T$ einen eindeutigen Fixpunkt besitzt, die gesuchte L\"osung. 
\end{proof}

\begin{remark}\label{max exist int rem}
  Unter den Voraussetzungen des Theorems von Picard-Lindel\"of wollen
  wir das maximale Intervall $J\subset I$ mit $t_0\in J$ finden, in
  dem das Anfangswertproblem eine L\"osung besitzt.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_1$ in $J_1$ eine L\"osung des Anfangswertproblems und
    sei $x_2$ in $J_2$ ebenfalls eine L\"osung des
    Anfangswertproblems. Betrachte \[G:=\{t\in J_1\cap J_2\colon
    x_1(t)=x_2(t)\}.\] Diese Menge ist
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item nichtleer, da $t_0\in J_1\cap J_2$ gilt,
    \item abgeschlossen in $J_1\cap J_2$, da $x_i$ stetige Abbildungen
      sind,
    \item offen. Dies folgt aus dem Satz von Picard-Lindel\"of,
      angewandt mit $t_1\in G$ und Anfangswert
      $x(t_1)=x_1(t_1)=x_2(t_1)$.
    \end{enumerate}
  \item Betrachte alle L\"osungen $(x_i,J_i)$ des Anfangswertproblems,
    wobei $J_i$ mit $t_0\in J_i$ die Definitionsbereiche der
    L\"osungen sind. Setze $J:=\bigcup\limits_iJ_i$ und $x(t):=x_i(t)$
    f\"ur $t\in J_i$. Dann ist $x$ auf dem offenen Intervall $J$
    definiert. $x$ ist wohldefiniert, da wir gesehen haben, dass
    $x_i=x_j$ auf $J_i\cap J_j$ gilt. Offenbar l\"ost $x$ das
    Anfangswertproblem. 
  \item Nehme an, dass $J$ strikt in $I$ enthalten sei. Dann gibt es
    $t_1\in\ol J$ mit $t_1\in I$ aber $t_1\not\in J$, ohne
    Einschr\"ankung sei $J\subset(-\infty,t_1)$. Wir behaupten, dass
    $\lim\limits_{t\nearrow t_1} x(t)$ nicht in $\Omega$
    existiert. (Man kann zeigen, dass $x$ unbeschr\"ankt wird oder
    $(t,x(t))$ das Definitionsgebiet von $f$ \glqq
    verl\"asst\grqq.) Sonst h\"atte $x$ auf $[t_0,t_1]$ eine
    stetige Fortsetzung $\tilde x$ und die Differentialgleichung
    w\"are in Integralform bis $t_1$ g\"ultig. Nach Picard-Lindel\"of
    existiert aber eine L\"osung $x_1$ des Anfangswertproblems mit
    Anfangswert $x_1(t_1)=\bar x(t_1)$ auf einem offenen Intervall
    um $t_1$. Mit Hilfe der Integralformulierung sehen wir, dass
    $\bar x$, mit Hilfe von $x_1$ f\"ur $t>t_1$ als $\bar x$
    fortgesetzt, f\"ur $t>t_1$ ebenfalls eine L\"osung des
    Anfangswertproblems ist: F\"ur $t>t_1$ erhalten wir n\"amlich
    \begin{align*}
      \bar x(t)=&\,x_1(t_1)+\int\limits_{t_1}^t f(\tau,\bar
      x(\tau))\,d\tau,\quad\text{da $x_1=\bar x$ f\"ur $t>t_1$}\\
      =&\,x_0+\int_{t_0}^{t_1} f(\tau,\bar
      x(\tau))\,d\tau+\int_{t_1}^t f(\tau,\bar x(\tau))\,d\tau,\quad
      \text{da $x=\bar x$ auf $[t_0,t_1]$}\\
      =&\,x_0+\int\limits_{t_0}^t f(\tau,\bar x(\tau))\,d\tau.
    \end{align*}
    $\bar x$ w\"are also eine L\"osung auf einem gr\"o\ss{}eren
    Intervall. Widerspruch zur Maximalit\"at. 
  \item Variiert man den Anfangswert $x_0$, so erh\"alt man
    zugeh\"orige maximale Existenzintervalle $J_{x_0}$ und L\"osungen
    $x_{x_0}(t)$. Man kann zeigen, dass \[\mathcal
    D(f):=\bigcup\limits_{x\in\Omega}J_x\times\{x\}\] in
    $I\times\Omega$ offen ist. Ist dar\"uber hinaus $f$ im
    Definitionsgebiet von der Klasse $C^m$, so gilt auch $x,\dot x\in
    C^m(\mathcal D(f),E)$. Dies erfordert einen komplizierteren
    Beweis. Wir werden sp\"ater nur zeigen, dass L\"osungen stetig vom
    Anfangswert abh\"angen. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Obwohl ich zum Anfangswertproblem \[\dot x(t)=t^2+x^2(t),\quad
  x(0)=1\] keine explizite L\"osung kenne, kann man doch Aussagen
  \"uber das Existenzintervall machen.\par Eine L\"osung des
  Anfangswertproblems $\dot y(t)=y^2(t)$ mit $y(0)=1$ erf\"ullt
  $y(t)\le x(t)$ f\"ur alle $t\ge0$: Sei $\epsilon>0$. Eine L\"osung
  $y_\epsilon(t)= \frac1{\frac1{1-\epsilon}-t}$ der
  Differentialgleichung f\"ur $y$ mit Anfangswert $1-\epsilon$
  erf\"ullt n\"amlich $y_\epsilon(0)<x(0)$. Daher gilt aufgrund der
  Stetigkeit von $y_\epsilon$ und $x$ auch $y_\epsilon(t)<x(t)$ f\"ur
  kleine Werte von $t>0$. Angenommen, es gibt ein minimales $t_0>0$ im
  Definitionsbereich von $x$ und $y_\epsilon$ mit
  $x(t_0)=y_\epsilon(t_0)$. Dann folgt aus $x(t)\ge y_\epsilon(t)$
  f\"ur alle $0\le t\le t_0$, dass $\dot x(t_0)\le\dot
  y_\epsilon(t_0)$ gilt. Andererseits folgt jedoch aufgrund der
  Differentialgleichung \[\dot x(t_0)=t_0^2+x^2(t_0)
  >0+y_\epsilon^2(t_0) =\dot y_\epsilon(t_0).\] Widerspruch. Wir
  erhalten $x(t)\ge y_\epsilon(t)$ f\"ur alle $t\ge0$ im gemeinsamen
  Definitionsgebiet. Mit $\epsilon\searrow0$ folgt $x(t)\ge
  y(t)$. Wegen $y(t)=\frac1{1-t}$ kann auch $x(t)$ h\"ochstens bis
  $t=1$ existieren. \par Betrachte also alle $0\le t<T\le1$, f\"ur die
  eine L\"osung $x(t)$ existiert. Dort gilt \[\dot x(t)\le 1+x^2(t).\]
  Im Falle der Gleichheit l\"ost $\tan(t-t_0)$ diese
  Differentialgleichung, konkret $x(t)=\tan\left(t
    +\frac\pi4\right)$. Somit erhalten wir \"ahnlich wie oben mit
  Hilfe von $\tan\left(t+\frac\pi4+\epsilon\right)$,
  $\epsilon\searrow0$, $\tan\left(t+\frac\pi4\right)\ge x(t)$. \par
  Daher existiert die L\"osung $x(t)$ in einem Intervall $[0,T)$ mit
  $0,785<\frac\pi4\le T\le 1$.
\end{remark}

\begin{remark}
  Ein analoges Existenzresultat gilt auch f\"ur stetige Funktionen $f$
  ohne Lipschitzbedingung: Existenzsatz von Peano. Der Beweis
  ben\"otigt jedoch nicht vorhandene Hilfsmittel (Satz von
  Arzel\`a-Ascoli). Die Eindeutigkeitsaussage gilt nicht mehr, da
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=\sqrt{|x(t)|},&t\in\R,\\
    x(0)=0
  \end{cases}
  \]
  f\"ur jedes $t_0>0$ durch 
  \[
  x(t)=
  \begin{cases}
    0,&t\le t_0,\\
    \frac14(t-t_0)^2,&t>t_0
  \end{cases}
  \]
  gel\"ost wird. F\"ur $t<0$ gibt es analoge Nichteindeutigkeiten mit
  negativen L\"osungen. \par
  Beschreibt man die Wasserh\"ohe in einem Eimer mit einem Loch durch
  eine gew\"ohnliche Differentialgleichung, so sollte diese nicht
  eindeutig l\"osbar sein. Zwar ist die Voraussage m\"oglich, wie das
  Wasser ausstr\"omt. Ist jedoch bereits alles Wasser herausgeflossen,
  so ist nicht mehr rekonstruierbar, seit wann der Eimer leer ist.
\end{remark}

\Subsection{Vergleichss\"atze}

\begin{lemma}[Lemma von Gronwall]
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall der Form $[t_0,t_1)$ oder $[t_0,t_1]$
  ($t_1=\infty$ ist erlaubt), $0\le\phi,\psi\in C^0(I,\R)$. Sei
  $a\ge0$. Nehme an, dass \[\phi(t)\le
  a+\int\limits_{t_0}^t\psi(\tau)\phi(\tau)\,d\tau\] f\"ur alle $t\in
  I$ gilt. Dann folgt \[\phi(t)\le
  a\cdot\exp\left(\,\int\limits_{t_0}^t\psi(\tau)\,d\tau\right)\]
  f\"ur alle $t\in I$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen annehmen, dass $a>0$ gilt. Sonst ersetzen wir $a$ durch
  $\epsilon>0$ und lassen am Ende $\epsilon\searrow0$. Definiere 
  \[h(t):=a+\int\limits_{t_0}^t\psi(\tau)\phi(\tau)\,d\tau.\] Es folgt
  $h\in C^1$ und wir erhalten f\"ur $t\in(t_0,t_1)$
  \[\dot h(t)=\psi(t)\phi(t)\le \psi(t)h(t)\] nach Annahme an $\phi$. Da
  $h\ge a>0$ gilt, schlie\ss{}en wir, dass \[\frac d{dt}\log h(t)
  =\frac{\dot h(t)}{h(t)}\le\psi(t)\] gilt. Somit erhalten wir
  \[\log h(t)-\log h(t_0)\le\int\limits_{t_0}^t\psi(\tau)\,d\tau\]
  und hieraus, nochmals nach Annahme an $\phi$,
  \[\phi(t)\le h(t)\le h(t_0)\cdot\exp\left(\,\int\limits_{t_0}^t
    \psi(\tau)\,d\tau\right) = a\cdot\exp\left(\,\int\limits_{t_0}^t
    \psi(\tau)\,d\tau\right). \] Das Lemma folgt.
\end{proof}

Hiermit schlie\ss{}en wir, dass L\"osungen gew\"ohnlicher
Differentialgleichungen stetig vom Anfangswert abh\"angen. Dies
bedeutet physikalisch, dass eine Rechnung mit einem kleinen Messfehler
auch nur kleine Abweichungen liefert. 
\begin{theorem}\label{stet abh eind thm}
  Sei $I$ ein offenes Intervall. Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge
  eines Banachraumes $E$. Seien $x_0,y_0\in\Omega$. 
  Sei $f\in C^0(I\times\Omega,E)$ und sei $(f(t,\cdot))_t$
  gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz stetig mit Lipschitzkonstante $L$. Sei
  $J\subset I$ ein offenes Intervall mit $t_0\in J$. Gelte
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=f(t,x(t))&\text{in }J,\\
    x(t_0)=x_0
  \end{cases}
  \quad\text{und}\quad
  \begin{cases}
    \dot y(t)=f(t,y(t))&\text{in }J,\\
    y(t_0)=y_0.
  \end{cases}
  \]
  Dann gilt \[\Vert x(t)-y(t)\Vert \le \Vert x_0-y_0\Vert\cdot
  \exp(L\cdot|t-t_0|)\] f\"ur alle $t\in J$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $\phi(t):=\Vert x(t)-y(t)\Vert $. Dann folgt
  \begin{align*}
    \phi(t)=&\, \Vert x(t)-y(t)\Vert\\
    =&\,\left\Vert x_0+\int\limits_{t_0}^t f(\tau,x(\tau))\,d\tau
      -y_0-\int\limits_{t_0}^t f(\tau,y(\tau))\,d\tau\right\Vert\\
    \le&\,\Vert x_0-y_0\Vert +\int\limits_{t_0}^t\Vert f(\tau,x(\tau))
    -f(\tau,y(\tau))\Vert\,d\tau\\ 
    \le&\,\Vert x_0-y_0\Vert +\int\limits_{t_0}^tL\cdot\underbrace{\Vert
    x(\tau)-y(\tau)\Vert}_{=\phi(\tau)}\,d\tau.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt nun direkt aus dem Lemma von Gronwall. 
\end{proof}

\Section{Spezielle Rechenmethoden}
\Subsection{Separation der Variablen}

\begin{example}[Separation der Variablen]
  Sei $x$ die Geschwindigkeit eines fallenden K\"orpers, auf den
  Gravitation und Luftwiderstand wirken. Dabei ist die
  Geschwindigkeits\"anderung (= die Beschleunigung) durch den
  Luftwiderstand proportional zur Kraft und damit zu $x^2$. Es
  gilt \[\dot x=g-lx^2.\] In den folgenden Rechnungen k\"ummern wir
  uns nicht genauer um m\"ogliche Divisionen durch Null. Man
  \"uberpr\"uft am Ende, dass es sich tats\"achlich um eine L\"osung
  handelt. Wir formen wie folgt um
  \begin{align*}
    \dot x(t) =&\,l\left(\frac gl-x^2(t)\right),\umbruch\\
    l=&\,\frac{\dot x(t)}{\frac gl-x^2(t)},\umbruch\\
    l\cdot t=&\,\int\limits_0^t\frac{\dot x(\tau)}{\frac
      gl-x^2(\tau)}\,d\tau =\int\limits_0^t\frac{\dot
      x(\tau)}{\left(\sqrt{\frac
          gl}-x(\tau)\right)\left(\sqrt{\frac
          gl}+x(\tau)\right)}\,d\tau\umbruch\\ 
    =&\,\frac12\sqrt{\frac lg}\int\limits_0^t\frac{\dot
      x(\tau)}{\sqrt{\frac gl}-x(\tau)}\,d\tau +\frac12\sqrt{\frac
      lg}\int\limits_0^t\frac{\dot
      x(\tau)}{\sqrt{\frac gl}+x(\tau)}\,d\tau\umbruch\\
    =&\,\left.-\frac12\sqrt{\frac lg}\log\left(\sqrt{\frac
          gl}-x(\tau)\right)\right|_0^t +\left.\frac12\sqrt{\frac
        lg}\log\left(\sqrt{\frac gl}+x(\tau)\right)\right|_0^t
    \umbruch\\
    =&\,\frac12\sqrt{\frac lg}\log\frac{\sqrt{\frac
        gl}+x(t)}{\sqrt{\frac gl}-x(t)}+l\cdot t_0,\quad t_0\text{
      geeignet},\umbruch\\
    \frac{\sqrt{\frac
        gl} +x(t)}{\sqrt{\frac gl} -x(t)}
    =&\,\exp\left(2l\sqrt{\frac gl}(t-t_0)\right),\\
    \wbla+x(t)=&\,\wbla\ebla -x(t)\ebla,\\
    x(t)=&\,\sqrt{\frac gl}\frac{e^{2l\sqrt{\frac
          gl}(t-t_0)}-1}{e^{2l\sqrt{\frac gl}(t-t_0)}+1}.
    \intertext{Es folgt} \dot
    x(t)=&\,\wbla\frac{\ebla(\ebla+1)-\ebla(\ebla-1)}{(\ebla+1)^2}
    2l\wbla =4l\frac gl\frac{\ebla}{(\ebla+1)^2},\umbruch\\
    \frac gl-x(t)^2 =&\,\frac gl-\frac
    gl\left(\frac{\ebla-1}{\ebla+1}\right)^2 =\frac
    gl\frac{(\ebla+1)^2-(\ebla-1)^2}{(\ebla+1)^2} =\frac
    gl\frac{4\ebla}{(\ebla+1)^2}. 
  \end{align*} 
  Somit haben wir f\"ur jedes $t_0$ eine L\"osung gefunden.\par
  Als wir den Logarithmus als Stammfunktion verwendet haben, haben wir
  ein Vorzeichen fixiert. Somit erhalten wir L\"osungen f\"ur manche
  Anfangswerte $x(0)$. Weitere L\"osungen erhalten wir durch eine
  andere Vorzeichenwahl. 
\end{example}

\begin{example}
  Ist $\dot x(t)=f(at+bx(t)+c)$, so erf\"ullt $y(t):=at+bx(t)+c$ die
  Differentialgleichung \[\dot y(t) =a+b\dot x(t) =a+bf(y(t)).\] Dies
  k\"onnen wir mit Separation der Variablen l\"osen.\par
  Zu einem konkreten Beispiel:
  \begin{align*}
    \dot x(t)=&\,(t+x(t))^2,\\
    y(t):=&\,t+x(t),\\
    \dot y(t)=&\,1+y^2(t).  \intertext{Wir rechnen wieder formal und
      ben\"otigen zun\"achst eine Stammfunktion.}
    \int\frac1{1+x^2}\,dx=&\,\int\frac1{(x+i)(x-i)}\,dx
    =\frac1{2i}\int\frac{-1}{x+i} +\frac1{x-i}\,dx\\
    =&\,\frac1{2i}\left(-\log(x+i)+\log(x-i)\right)
    =\frac1{2i}\log\frac{x-i}{x+i}
    =\frac1{2i}\log\left(-\frac{1+ix}{1-ix}\right). \intertext{Mit
      $1+ix=\sqrt{1+x^2}\cdot e^{i\phi}$, $1-ix=\sqrt{1+x^2}\cdot
      e^{-i\phi}$ und $\phi=\arctan x$ erhalten wir weiter}
    \ldots=&\,\frac1{2i}\log e^{i\pi+2i\phi} =\frac\pi2+\arctan x.
  \end{align*}
  Die Konstante in der Stammfunktion ist nat\"urlich beliebig. Wir
  erhalten weiter
  \begin{align*}
    \int\frac{\dot y(t)}{1+y^2(t)}\,dt =&\,\int 1\,dt,\\
    \arctan y(t)=&\,t-t_0, \quad\text{$t_0$ geeignet f\"ur
      Anfangsbedingungen,} \\
    y(t)=&\,\tan(t-t_0),\\
    x(t)=&\,\tan(t-t_0)-t. 
  \end{align*}
  Nun gelten $\dt\tan t=\frac1{\cos^2t}$ (Quotientenregel und
  $\sin^2t+\cos^2t=1$) und $\tan^2 t+1=\frac1{\cos^2t}$. Somit
  erhalten wir \[\dot x(t) =\dt(\tan(t-t_0)-t)
  =\frac1{\cos^2(t-t_0)}-1 =\tan^2(t-t_0) =(x(t)+t)^2.\]
  Damit haben wir f\"ur jedes $t_0$ eine L\"osung gefunden. 
\end{example}

\begin{example}
  Aus einer Differentialgleichung der Form $\dot
  x=f\left(\frac{x(t)}t\right)$ erhalten wir mit $u(t)=\frac{x(t)}t$
  f\"ur $t\neq0$ \[\dot x(t) =u(t)+t\dot u(t) =f(u).\] Man kann
  nun \[\dot u(t)=\frac{f(u(t))-u(t)}t\] l\"osen und aus dem Ergebnis
  $x(t)$ rekonstruieren.\par Als Beispiel wollen wir das
  Anfangswertproblem \[\dot x(t)=\frac{x(t)}t-\frac{t^2}{x^2(t)},\quad
  x(1)=1\] l\"osen. Mit $u(t)=\frac{x(t)}t$ erhalten wir
  bei unterschiedlicher Differentiation von $x(t)$
  \[\dot x(t) =u(t)-\frac1{u^2(t)} =u(t)+t\dot u(t)\] und somit
  folgt \[\dot u(t)=-\frac1{tu^2(t)}.\] Weiterhin gilt $u(1)=1$. Es
  folgt (vom Umbruch her gelesen) 
  \begin{align*}
    \frac13u^3(t)-\frac13\underbrace{u^3(1)}_{=1}
    =&\,\int\limits_1^t\frac
    d{d\tau}\left(\frac13u^3(\tau)\right)\,d\tau
    =\int\limits_1^tu^2(\tau)\dot u(\tau)\,d\tau\umbruch\\
    =&\,\int\limits_1^t-\frac1\tau\,d\tau =-\log t+\log 1
    =-\log t,\umbruch\\
    u(t)=&\,\sqrt[3]{1-3\log t},\umbruch\\
    x(t)=&\,t\sqrt[3]{1-3\log t},\quad 0<t<e^{1/3}\approx1,396.
  \end{align*}
\end{example}

\Subsection{Exakte Differentialgleichungen}

\begin{remark}
  Seien $g,h$ in einer offenen Teilmenge $\Omega\subset\R^2$ stetig
  differenzierbar. Wir suchen eine Kurve $(x(t),y(t))\colon I\to\R^2$,
  die die Differentialgleichung $g(x(t),y(t))\dot x(t)
  +h(x(t),y(t))\dot y(t)=0$ l\"ost. \par
  Sei $F\colon\Omega\to\R$ stetig
  differenzierbar. Gelte \[\fracp{F(x,y)}x=g(x,y) \quad\text{und}\quad
  \fracp{F(x,y)}y=h(x,y).\] Die Differentialgleichung hei\ss{}t dann
  exakt.  Dann ist $F(x(t),y(t))$ konstant, denn es gilt \[\dt
  F(x(t),y(t)) =\fracp Fx\dot x(t) +\fracp Fy\dot y(t) =g\cdot\dot x
  +h\cdot\dot y=0.\] \par
  Die Differentialgleichung \[y\dot x+2x\dot y=0\] ist nicht exakt
  (siehe \zB n\"achster Abschnitt). Nach Multiplikation mit $y$
  (Eulerscher Multiplikator/integrierender Faktor) erh\"alt man
  jedoch \[y^2\dot x+2xy\dot y=0,\] eine exakte Differentialgleichung
  mit $F(x,y)=xy^2$. \par Die Exaktheit einer Differentialgleichung
  erfordert im Falle $F\in C^2$, dass $\fracp{^2F}{x\partial y}$
  unabh\"angig von der Differentiationsreihenfolge ist, also
  \[\fracp gy =\fracp{}y\fracp Fx =\fracp{}x\fracp Fy =\fracp hx.\] In
  einem einfach zusammenh\"angenden Gebiet ist diese Bedingung auch
  hinreichend f\"ur die Exaktheit. 
\end{remark}

\Section{Lineare Differentialgleichungen} 

Die Resultate in diesem Abschnitt gelten auch f\"ur Funktionen mit
Werten in $\C$ oder in einem komplexen Vektorraum. 

\Subsection{Einf\"uhrung und Beispiele}
\begin{definition}
  Sei $I\subset\R$ ein offenes Intervall. Eine lineare
  Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Form \[\dot
  x(t)+g(t)x(t)=h(t).\] Dieselbe Form haben lineare Systeme
  gew\"ohnlicher Differentialgleichungen. Wir wollen annehmen, dass
  $g$ und $h$ stetig sind. Die Differentialgleichung hei\ss{}t 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item homogen, falls $h(t)\equiv0$ gilt.
  \item inhomogen, wenn $h$ beliebig ist. Ersetzen wir $h(t)$ durch
    $0$, so hei\ss{}t die resultierende Differentialgleichung die
    zugeh\"orige homogene Differentialgleichung. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  Lokal sind L\"osungen linearer Differentialgleichungen stets
  eindeutig, da der Term $g(t)x(t)$ bez\"uglich $x(t)$ linear und
  damit Lipschitz stetig ist.
\end{remark}

\begin{beispiel}[Homogene Differentialgleichung, eindimensional]
  Die homogene Differentialgleichung \[\dot x(t)=g(t)x(t)\] k\"onnen
  wir durch Separation der Variablen l\"osen. Wir rechnen formal
  \begin{align*}
    \dt\log x(t) =\frac{\dot x(t)}{x(t)} =&\,g(t),\umbruch\\
    \log x(t)=&\,\int\limits_{t_0}^tg(\tau)\,d\tau+\log C,\umbruch\\
    x(t)=&\,C\cdot
    \exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^tg(\tau)\,d\tau\right).
  \end{align*}
  Man rechnet direkt nach, dass dies eine L\"osung ist. Mit
  $C:=x(t_0)$ kann man beliebige Anfangswerte realisieren. Aufgrund
  der Lipschitzstetigkeit im zweiten Argument sind diese L\"osungen
  auch eindeutig bestimmt. 
\end{beispiel}

\begin{lemma}\label{lin syst vr lem}
  Sei \[\dot x(t)+g(t)x(t)=h(t)\] eine lineare Differentialgleichung.
  Seien $x_1(t),x_2(t)$ L\"osungen der Differentialgleichung und
  $x_0(t)$ eine L\"osung der zugeh\"origen homogenen
  Differentialgleichung. Dann ist
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(x_1-x_2)(t):=x_1(t)-x_2(t)$ eine L\"osung der zugeh\"origen
    homogenen Differentialgleichung.
  \item\label{sum lsg item} $x_1+x_0$ eine L\"osung der inhomogenen
    Differentialgleichung.
  \item Eine beliebige L\"osung der inhomogenen Differentialgleichung
    ist die Summe aus einer fixierten L\"osung der inhomogenen
    Differentialgleichung und einer L\"osung der homogenen
    Differentialgleichung. Anders ausgedr\"uckt: Die Menge aller
    L\"osungen der inhomogenen Differentialgleichung erhalten wir,
    indem wir zur Menge der L\"osungen der homogenen Gleichung eine
    spezielle L\"osung (zu jedem Element) hinzuz\"ahlen. Solch eine
    Menge (Unterraum plus spezielles Element) bezeichnet man auch als
    affinen Unterraum.
  \item Die L\"osungen der homogenen Differentialgleichung bilden
    einen Unterraum der $C^1$-Funktionen. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
Dasselbe Resultat gilt auch f\"ur Systeme gew\"ohnlicher
Differentialgleichungen. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt 
    \begin{align*}
      \dt(x_1-x_2)(t) =&\,\dot x_1(t)-\dot x_2(t) =h(t)-g(t)x_1(t)
      -(h(t)-g(t)x_2(t))\\ =&\,-g(t)(x_1(t)-x_2(t)).
    \end{align*}
  \item Dies folgt wieder aus einer direkten
    Rechnung \[\dt(x_1(t)+x_0(t)) =h(t)-g(t)x_1(t)-g(t)x_0(t)
    =h(t)-g(t)(x_1(t)+x_0(t)).\]
  \item Die ist eine Umformulierung der obigen Aussagen.
  \item Wie in \eqref{sum lsg item} erhalten wir, dass die Summe von
    zwei L\"osungen der homogenen Differentialgleichung wieder eine
    L\"osung der homogenen Differentialgleichung ist. Sei
    $\lambda\in\R$ beliebig. Dann gilt \[\dt(\lambda x(t))
    =\lambda\dot x(t) =-\lambda g(t)x(t).\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{beispiel}[Inhomogene Differentialgleichung, eindimensional]
  Wir untersuchen die Differentialgleichung \[\dot
  x(t)=g(t)x(t)+h(t).\] Die \glqq Methode der Variation der
  Konstanten\grqq{} von Lagrange besteht darin, einen Ansatz der
  Form \[x(t)=C(t)\cdot\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^t
    g(\tau)\,d\tau\right)\] zu machen, also die L\"osung f\"ur die
  zugeh\"orige homogene Differentialgleichung durch Ersetzen der
  Konstanten $C$ durch eine Funktion $C(t)$ zu modifizieren. Dies ist
  genau dann eine L\"osung, wenn \[\dot C(t)e^{\ldots}
  +\underline{C(t)e^{\ldots} g(t)} =\underline{g(t)C(t)e^{\ldots}}
  +h(t)\] gilt. Wir erhalten \[C(t)=\int\limits_{t_0}^t h(\tau)\cdot
  \exp\left(-\int\limits_{t_0}^\tau g(\rho)\,d\rho\right)\,d\tau
  +C_0.\] Mit Hilfe des Eindeutigkeitsresultates f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen erhalten wir also: 
\end{beispiel}

\begin{theorem}
  Die eindeutig bestimmte L\"osung von $\dot x(t)=g(t)x(t)+h(t)$ mit
  Anfangswert $x(t_0)=C_0$ ist durch \[x(t)
  =\left[C_0+\int\limits_{t_0}^t h(\tau)\cdot
    \exp\left(-\int\limits_{t_0}^\tau g(\rho)\,d\rho\right)\,d\tau
  \right]\cdot\exp\left(\,\,\int\limits_{t_0}^tg(\sigma)\,
    d\sigma\right)\] gegeben.
\end{theorem}


\Subsection{Homogene lineare Systeme}

\begin{lemma}
  Sei $I\subset\R$ ein offenes Intervall und $I\ni t\mapsto
  A(t)\in\R^{n\times n}$ stetig. Dann gibt es zu jedem $t_0\in I$ und
  jedem $x_0\in\R^n$ eine eindeutig bestimmte L\"osung $x\in
  C^1(I,\R^n)$ des Anfangswertproblems
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t) =A(t)x(t),\\
    x(t_0)=x_0.
  \end{cases}
  \]
\end{lemma}
Entscheidend ist hier, dass die L\"osung auf ganz $I$ existiert. Eine
analoge Argumentation funktioniert f\"ur die inhomogene Gleichung
$\dot x(t)=A(t)x(t)+b(t)$ und stetigem $b\in\R^n$.
\begin{proof}[Beweis]
  Theorem \ref{stet abh eind thm}, angewandt auf Teilintervalle von
  $I$, liefert die Eindeutigkeit der L\"osung. Das Theorem von
  Picard-Lindel\"of liefert die Existenz einer L\"osung auf einem
  kleinen Zeitintervall. \par In Bemerkung \ref{max exist int rem}
  hatten wir bereits die Existenz eines maximalen Existenzintervalles
  diskutiert. Im konkreten linearen Fall sieht dies so aus: Auf $\R^n$
  und $\R^{n\times n}$ betrachten wir Normen mit $\Vert
  Ax\Vert_{\R^n}\le\Vert A\Vert_{\R^{n\times n}}\cdot\Vert
  x\Vert_{\R^n}$. Sei $(a,b)$ das maximale offene Existenzintervall,
  auf dem eine $C^1$-L\"osung $\bar x$ existiert. Sei ohne
  Einschr\"ankung $(b-3\delta,b+3\delta) \subset I$ f\"ur ein
  $\delta>0$ und $t_0<b-3\delta$ sowie $t_0-3\delta>a$. Sei $C_A\ge1$
  mit $\Vert A(t)\Vert\le C_A$ f\"ur
  $t\in[t_0-2\delta,b+2\delta]$. F\"ur die L\"osung $x(t)$ erhalten
  wir aus \[x(t)=x(t_0)+\int\limits_{t_0}^t A(\tau)\cdot
  x(\tau)\,d\tau\] f\"ur alle $t\in[t_0,b)$ \[\Vert x(t)\Vert \le
  \Vert x(t_0)\Vert +\int\limits_{t_0}^t C_A\cdot\Vert
  x(\tau)\Vert\,d\tau\] und somit mit dem Lemma von Gronwall \[\Vert
  x(t)\Vert \le \Vert x_0\Vert \cdot e^{C_A\cdot|b-t_0|}\equiv C_x,\]
  also eine gleichm\"a\ss{}ige Schranke, \dh $C_x$ h\"angt nicht von
  $t$ ab. Analog zum Beweis des Satzes von Picard-Lindel\"of wollen
  wir zeigen, dass
  \begin{equation}
    \label{hom lin syst eq}
    \begin{cases}
      \dot x(t)=A(t)x(t),\\
      x(t_1)=x_1
    \end{cases}
  \end{equation}
  f\"ur alle $t_1\in[b-\delta,b)$ und alle $\Vert x_1\Vert\le C_x$ auf
  $(t_1-\epsilon, t_1+\epsilon)$ f\"ur ein festes $\epsilon>0$ (das
  weder von $x_1$ noch von $t_1$ abh\"angt) l\"osbar ist. Setze
  $f(t,y):=A(t)\cdot y$. Es gilt
  \begin{align*}
    \sup\limits_{[b-2\delta,b+2\delta]\times B_{2C_x}(0)} \Vert f\Vert
    \le &\,2\cdot C_A\cdot C_x \intertext{sowie} \Vert
    f(t,x)-f(t,y)\Vert\le &\,C_A\cdot\Vert x-y\Vert
  \end{align*}
  f\"ur alle $t\in[b-2\delta,b+2\delta]$ und alle
  $x,y\in\R^n$. W\"ahle nun $\epsilon>0$ mit $\epsilon<\delta$ und
  $\epsilon\cdot C_A\le\frac12$. Setze \[\mathcal M:=\left\{x\in
    C^0\left([t_1-\epsilon,t_1+\epsilon],\R^n\right)\colon x(t)\in\ol
    B_{2C_x}(0)\,\forall t\in[t_1-\epsilon,t_1+\epsilon]\right\}.\]
  Setze weiterhin \[(T(x))(t):=x_1+\int\limits_{t_1}^t A(\tau)\cdot
  x(\tau)\,d\tau\] f\"ur $x\in\mathcal M$. Wegen \[\Vert
  (T(x))(t)\Vert \le\Vert x_1\Vert +\epsilon\cdot C_A\cdot 2\cdot C_x
  \le C_x+C_x=2C_x\] ist $T(\mathcal M)\subset\mathcal M$. Weiterhin
  ist
  \begin{align*}
    \Vert(T(x))(t)-(T(y))(t)\Vert
    =&\,\left\Vert\,\,\int\limits_{t_1}^t
      A(\tau)\cdot(x(\tau)-y(\tau))\,d\tau\right\Vert\\
    \le&\,\epsilon\cdot
    C_A\cdot\sup\limits_{\tau\in[t_1-\epsilon,t_1+\epsilon]} \Vert
    x(\tau)-y(\tau)\Vert \le\tfrac12\Vert x-y\Vert_{C^0}.
  \end{align*}
  Da $T\colon\mathcal M\to\mathcal M$ also eine Kontraktion ist, folgt
  aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes, dass \eqref{hom lin syst
    eq} auf $[t_1-\epsilon,t_1+\epsilon]$ f\"ur jedes
  $t_1\in[b-\delta,b)$ und jedes $x_1\in B_{C_x}(0)$ l\"osbar ist. Wir
  wenden dies mit $t_1=b-\frac\epsilon2$ und $x_1=\bar
  x\left(b-\frac\epsilon2\right)$ als Anfangswert an. Somit l\"asst
  sich $\bar x$ bis $t=b+\frac\epsilon2$ fortsetzen.  Dies
  widerspricht der Maximalit\"at von $b$. Damit existiert die maximale
  L\"osung auf ganz $I$.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $I\subset\R$ ein offenes Intervall und sei $I\ni t\mapsto A(t)$
  stetig. Dann bilden die L\"osungen $x(t)$ der homogenen linearen
  Differentialgleichung $\dot x(t)=A(t)x(t)$ einen Unterraum $U$ von
  $C^1(I,\R^n)$. Bezeichne mit $x(t;t_0,x_0)$ die L\"osung mit
  $x(t_0)=x_0$. Dann ist die Abbildung \[\R^n\ni x_0\mapsto (I\ni
  t\mapsto x(t;t_0,x_0))\in U\] f\"ur festes $t_0\in I$ ein
  Vektorraumisomorphismus.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben bereits in Lemma \ref{lin syst vr lem} gesehen, dass $U$
  ein Vektorraum ist. Daraus folgt auch, dass $x_0\mapsto
  x(\cdot;t_0,x_0)$ eine lineare Abbildung ist: Die L\"osung zum
  Anfangswert $\lambda x_0$ ist $\lambda
  x(\cdot;t_0,x_0)=x(\cdot;t_0,\lambda x_0)$, da beides L\"osungen
  sind und denselben Anfangswert haben. Ebenso erhalten wir
  $x(\cdot;t_0,x_1)+x(\cdot;t_0,x_2)=x(\cdot,t_0,x_1+x_2)$. Da jede
  L\"osung der linearen homogenen Differentialgleichung einen
  Anfangswert zur Zeit $t_0$ besitzt und dieser die L\"osung eindeutig
  bestimmt, ist die Abbildung surjektiv und injektiv. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die L\"osungen $(x(\cdot;t_0,e_i))_{1\le i\le n}$ bilden eine Basis
  aller L\"osungen der homogenen Differentialgleichung $\dot
  x(t)=A(t)x(t)$. 
\end{corollary}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(x_i)_{1\le i\le n}$ eine Basis des L\"osungsraumes. Dann
    nennen wir $(x_i)_i$ ein Fundamentalsystem. 
  \item Setze $X(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$. $X(t)$ mit $(x_i)_i$ wie
    oben hei\ss{}t L\"osungsmatrix. Sie erf\"ullt $\dot
    X(t)=A(t)X(t)$. Jede L\"osung hat die Gestalt $X(t)v$ f\"ur ein
    $v\in\R^n$. Ist $B\in\R^{n\times n}$ regul\"ar, so ist $X(t)B$
    ebenfalls eine L\"osungsmatrix. Alle L\"osungsmatrizen sind von
    dieser Form.
  \item Ist $X_e(t)$ die L\"osungsmatrix mit $X_e(t_0)=\eins$, so
    erf\"ullt eine beliebige L\"osungsmatrix $X(t)$ \[X(t)=X_e(t)\cdot
    X(t_0),\] denn auf beiden Seiten stehen L\"osungsmatrizen mit
    den gleichen Anfangswerten. 
  \item Eine L\"osung zum Anfangswert $x(t_0)=x_0$ ist durch
    $X_e(t)x_0$ gegeben.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{diff det lem}
  Sei $A=(a^i_j)_{1\le i,j\le n}\in\R^{n\times n}$ invertierbar. Dann
  gilt \[\fracp{\det A}{a^i_j} =\det A\cdot \left(a^{-1}\right)^j_i.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir verwenden Resultate \"uber die Determinante und die Inverse
  einer Matrix; vergleiche \cite[Lemma 2.14]{MDreherMPh2} und
  benachbarte Resultate. Setze \[b^i_j:=(-1)^{i+j}\det A^j_i,\] wobei
  $\left(A^i_j\right)$ die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man
  die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte streicht, also die Zeile und
  Spalte, in der $a^i_j$ steht. Es gilt
  \begin{align*}
    \left(a^{-1}\right)^j_i =&\,(-1)^{i+j}\frac{\det A^i_j}{\det A}
    =\frac{b^j_i}{\det A},\\
    \det A\cdot \delta ^i_k =&\,\sum\limits_{j=1}^na^i_j b^j_k.
    \intertext{Daraus erhalten wir, da $b^j_i$ nicht von $a^i_j$
      abh\"angt mit $i=k$}
    \fracp{\det A}{a^i_j} =&\, b^j_i =\det
    A\cdot\left(a^{-1}\right)^j_i.
    \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{theorem}[Wronski-Determinante]\label{Wronski det thm}
  Sei $X(t)=(x^i_j(t))$ eine L\"osungsmatrix des linearen
  Differentialgleichungssystems $\dot x(t)=A(t)x(t)$ mit
  $A=\left(a^i_j\right)\in C^0(I,\R^{n\times n})$. Setze
  $\phi(t):=\det X(t)$. Dann gilt \[\dot\phi(t)= \tr
  A(t)\cdot\phi(t).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir benutzen Lemma \ref{diff det lem} und erhalten
  \begin{align*}
    \dt\phi(t) =&\,\sum\limits_{i,j=1}^n \fracp{\det
      X(t)}{x^i_j(t)}\fracp{x^i_j(t)}t =\det X(t)\cdot
    \sum\limits_{i,j=1}^n\left(x^{-1}\right)^j_i \dot x^i_j\\
    =&\,\det X(t)\cdot\sum\limits_{i,j,k=1}^n \left(x^{-1}\right)^j_i
    a^i_k x^k_j =\det X(t)\cdot\tr\left((X(t))^{-1}A(t)X(t)\right)\\
    =&\,\det X(t)\cdot \tr\left(X(t)(X(t))^{-1}A(t)\right)
    =\det X(t)\cdot\tr A(t).\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sind die Spalten $x_i$, $1\le i\le n$, einer Matrix $X$ mit $\dot
  X(t)=A(t)X(t)$ f\"ur ein $t$ linear unabh\"angig, so gilt dies auch
  f\"ur alle anderen Zeiten in einem Intervall, in dem $A(t)$ stetig
  ist.
\end{corollary}

\Subsection{Inhomogene lineare Systeme}

\begin{remark}
  Wir wollen das System \[\dot x(t)=A(t)x(t)+b(t)\] f\"ur stetige
  Funktionen $t\mapsto A(t)\in\R^{n\times n}$ und $t\mapsto
  b(t)\in\R^n$ l\"osen. Sei $X(t)$ die L\"osungsmatrix des homogenen
  Systems $\dot x(t)=A(t)x(t)$ mit $\dot X(t)=A(t)X(t)$ und
  $X(t_0)=\eins$. Wie bei der Variation der Konstanten machen wir
  einen Ansatz \[x(t)=X(t)\cdot v(t)\] und versuchen, den im homogenen
  Fall konstanten Vektor $v$ so zu w\"ahlen, dass wir eine L\"osung
  der inhomogenen Gleichung mit Anfangswert $x_0$ erhalten. Es
  ist \[Ax+b\overset!= \dot x =\dot Xv+X\dot v =AXv +X\dot v.\] Also
  sollte $b=X\dot v$ gelten. Setze daher
  $v(t):=x_0+\int\limits_{t_0}^tX^{-1}(\tau) b(\tau)\,d\tau$. Somit
  ist die L\"osung
  durch \[x(t)=X(t)\left(x_0+\int\limits_{t_0}^tX^{-1}(\tau)
    b(\tau)\,d\tau\right)\] gegeben, denn man rechnet nach, dass diese
  Formel eine L\"osung liefert. 
\end{remark}

\Subsection{Die Exponentialfunktion f\"ur Matrizen}
\begin{definition}
  Eine Norm auf dem Raum $\R^{n\times n}$ der Matrizen und eine Norm
  auf $\R^n$ hei\ss{}en vertr\"aglich, wenn
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert A\cdot B\Vert\le\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$,
  \item $\Vert Ax\Vert\le \Vert A\Vert\cdot\Vert x\Vert$
  \end{enumerate}
  f\"ur alle $A,B\in\R^{n\times n}$ und alle $x\in\R^n$ gilt. 
\end{definition}

\begin{beispiele}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert x\Vert =\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\left(x^i\right)^2}$
    und $\Vert A\Vert =\sqrt{\sum\limits_{i,j=1}^n
      \left(a^i_j\right)^2}$, siehe \cite[vor Lemma
    1.23]{MDreherMPh2}. Mit dieser Norm ist $\R^{n\times n}$ ein
    vollst\"andiger normierter Raum, \dh ein Banachraum, jede
    Cauchyfolge konvergiert also. \par Ebenso gilt, dass jeder
    normierte endlichdimensionale $\R$- oder $\C$-Vek\-tor\-raum ein
    Banachraum ist, denn f\"ur endlichdimensionale Vektorr\"aume sind
    alle Normen \"aquivalent, \dh f\"ur beliebige Normen
    $\Vert\cdot\Vert_1$ und $\Vert\cdot\Vert_2$ gibt es ein $C>0$
    mit \[\frac1C\Vert x\Vert_1 \le\Vert x\Vert_2\le C\cdot\Vert
    x\Vert_1\] f\"ur alle $x$.
  \item Sei $\Vert\cdot\Vert$ eine beliebige Norm auf
    $\R^n$. Definiere 
    \[\Vert A\Vert:=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert.\] 
    Hier ist $\Vert Ax\Vert\le\Vert A\Vert\cdot\Vert x\Vert$ f\"ur
    $\Vert x\Vert=1$ nach Definition klar und folgt sonst durch
    Skalierung. Wegen $\Vert Bx\Vert\le\Vert B\Vert$ f\"ur alle $\Vert
    x\Vert=1$ und \[\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Ax\Vert =
    \sup\limits_{\Vert x\Vert\le1}\Vert Ax\Vert\] erhalten wir \[\Vert
    A\cdot B\Vert =\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert ABx\Vert
    \le\sup\limits_{\Vert y\Vert=\Vert B\Vert}\Vert Ay\Vert =\Vert
    B\Vert \cdot\sup\limits_{\Vert y\Vert =1}\Vert Ay\Vert =\Vert
    A\Vert\cdot\Vert B\Vert.\]
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}
  Sei $I\subset\R$ offen, $I\ni t\mapsto A(t)\in\R^{n\times n}$
  differenzierbar, ebenso $B(t)$ und $I\ni t\mapsto x(t)\in\R^{n\times
    n}$. Dann sind auch die folgenden Ausdr\"ucke differenzierbar und
  es gilt
  \begin{align*}
    \dt(A(t)B(t)) =&\,\dt A(t)\cdot B(t)+A(t)\cdot\dt B(t),\\
    \dt(A(t)x(t)) =&\,\dt A(t)\cdot x(t)+A(t)\cdot\dt x(t).\\
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt direkt aus der Produktregel, angewandt auf die Definition
  der entsprechenden Matrixprodukte.
\end{proof}

Wir wollen $e^A$, $A$ eine Matrix, bestimmen und auch ableiten. Dies
kann man in diesem konkreten Fall explizit machen, indem man den
eindimensionalen Beweis anpasst. Das folgende Theorem liefert eine
allgemeine Methode daf\"ur. Eindimensional wurde es bereits in
\cite[Proposition 3.32]{MDreherMPh2} bewiesen. 
\begin{theorem}\label{diff lim vert thm}
  Seien $E,F$ Banachr\"aume, $\Omega\subset E$ offen und
  zusammenh\"angend. Sei $(f_n)$ eine Folge differenzierbarer
  Abbildungen $f_n\colon\Omega\to F$. Gelte:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gibt $x_0\in\Omega$, so dass $f_n(x_0)$ in $F$
    konvergiert. 
  \item Zu jedem Punkt $x\in\Omega$ gibt es eine Umgebung
    $B_r(x)\subset\Omega$, so dass $(f_n')$ gleichm\"a\ss{}ig
    konvergiert. 
  \end{enumerate}
  Dann konvergiert die Folge $(f_n)$ in jeder solchen Umgebung
  $B_r(x)$ gleichm\"a\ss{}ig. F\"ur $x\in\Omega$
  gilt \[\left(\lim\limits_{n\to\infty}
    f_n(x)\right)'=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x).\] 
\end{theorem}
Beide Voraussetzungen sind n\"otig; Gegenbeispiele sind die
Funktionenfolgen \[f_n(x)=n\quad\text{und}\quad
f_n(x)=\tfrac1n\sin(nx).\] Beim zweiten Beispiel ist $f_n'$ sogar
gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt, $\lim\limits_{n\to\infty}
\frac{\sin(nx)}n\equiv 0$ ist differenzierbar, aber der Grenzwert der
Ableitungen $\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x)
=\lim\limits_{n\to\infty}\cos(nx)$ existiert nicht.
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $y,z\in B_r(x)$ gilt
  \begin{align}
    \Vert f_n(y)-f_m(y)-(f_n(z)-f_m(z))\Vert
    =&\,\left\Vert\int\limits_0^1\dt (f_n-f_m)(ty+(1-t)z)\,dt
    \right\Vert\nonumber\\
    =&\,\left\Vert\int\limits_0^1 (f'_n-f'_m)(ty+(1-t)z)\langle
      y-z\rangle \,dt \right\Vert\nonumber\\
    \le &\, \Vert z-y\Vert\cdot \sup\limits_{w\in B_r(x)}\Vert
    f'_n(w)-f'_m(w)\Vert\nonumber\\
    \le &\,2r\cdot \sup\limits_{w\in B_r(x)}\Vert
    f'_n(w)-f'_m(w)\Vert.\label{vert n D eq}
  \end{align}
  Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung k\"onnen wir die linke Seite
  nach unten mit $\ldots\ge|\Vert f_n(y)-f_m(y)\Vert-\Vert
  f_n(z)-f_m(z)\Vert|$ absch\"atzen. Wir erhalten \[\Vert
  f_n(y)-f_m(y)\Vert \le 2r\cdot\sup\limits_{w\in B_r(x)} \Vert
  f'_n(w)-f'_m(w)\Vert +\Vert f_n(z)-f_m(z)\Vert.\] Konvergiert
  $f_n(z)$ f\"ur $n\to\infty$, so konvergiert daher $f_n$
  gleichm\"a\ss{}ig in $B_r(x)$. \par Dies liefert, dass die Menge der
  Punkte $x$, in der $f_n(x)$ f\"ur $n\to\infty$ konvergiert, in
  $\Omega$ offen, abgeschlossen und nicht leer ist. Somit konvergiert
  $f_n$ in ganz $\Omega$. (Dies ben\"otigt etwas Topologie oder ein
  elementares Argument f\"ur $E=\R$.) \par Wir
  definieren \[f(y):=\lim\limits_{n\to\infty} f_n(y)\quad \text{und}
  \quad g(y):=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(y).\] \par Zur
  Vertauschbarkeit der Grenzwertbildung mit der Ableitung: Sei
  $\epsilon>0$. W\"ahle eine Kugel $B_r(x)$ wie in der Annahme. Dann
  gibt es ein $n_0$, so dass f\"ur alle $m,n\ge n_0$ die Absch\"atzung
  $\Vert f'_n(w)-f'_m(w) \Vert\le\epsilon$ f\"ur alle $w\in B_r(x)$
  gilt. Sei weiterhin $n$ so gro\ss{}, dass $\Vert
  g(x)-f'_n(x)\Vert\le\epsilon$ f\"ur alle $a\in B_r(x)$ gilt. In
  \eqref{vert n D eq} betrachten wir den Grenzwert $m\to\infty$ und
  erhalten f\"ur $n\ge n_0$ in $B_r(x)$ \[\Vert
  f(y)-f(z)-(f_n(y)-f_n(z))\Vert \le \epsilon\cdot\Vert y-z\Vert.\]
  Nach Definition der Ableitung im Punkt $x$ gibt es zu jedem $n\ge
  n_0$ ein $r'\le r$, so dass f\"ur $y\in B_{r'}(x)$ die Absch\"atzung
  $\Vert f_n(y)-f_n(x)-f'_n(x)\langle y-x\rangle\Vert
  \le\epsilon\cdot\Vert y-x\Vert$ gilt. F\"ur $\Vert y-x\Vert\le r'$
  erhalten wir daher mit Hilfe der obigen Ungleichungen und der
  Dreiecksungleichung
  \begin{align*}
    \Vert f(y)-f(x)-g(x)\langle y-x\rangle\Vert \le&\, \Vert
    f(y)-f(x)-(f_n(y)-f_n(x))\Vert\\ &\,\quad+\Vert f_n(y)-f_n(x)
    -f'_n(x)\langle y-x\rangle\Vert\\ &\,\quad+\Vert
    f'_n(x)-g(x)\Vert\cdot\Vert y-x\Vert\\ \le&\, 3\epsilon\cdot\Vert 
    y-x\Vert.
  \end{align*}
  Wir haben f\"ur ein beliebiges $\epsilon>0$ ein
  $r'>0$ gefunden, so dass $\Vert f(y)-f(x)-g(x)\langle
  y-x\rangle\Vert \le \epsilon\cdot\Vert y-x\Vert$ f\"ur $y\in
  B_{r'}(x)$ gilt. Damit ist $g(x)=f'(x)$. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $g(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ eine Potenzreihe, die in
  $B_r(0)$ konvergiert. Sei $I\ni t\to A(t)\in\R^{N\times N}$
  differenzierbar mit $\Vert A(t)\Vert<r$ f\"ur alle $t\in I$ f\"ur
  eine vertr\"agliche Norm $\Vert\cdot\Vert$.  Gelte \[A(t)\dot
  A(t)-\dot A(t)A(t)=\left[A(t),\dot A(t)\right]=0.\] (Ohne diese
  Bedingung sieht die Ableitung deutlich komplizierter aus.) Dann
  existiert \[g(A(t)):= \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=0}^n
  a_iA^i(t) \equiv \sum\limits_{i=0}^\infty a_iA^i(t),\] ist in
  $I$ differenzierbar und die Ableitung erf\"ullt \[\dt
  g(A(t))=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n
  ia_iA^{i-1}(t)\dot A(t) =\sum\limits_{i=1}^\infty ia_iA^{i-1}(t)
  \dot A(t).\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Hierbei ist $A^i$ induktiv durch $A^0=\eins$ und $A^{i+1}:=A\cdot
  A^i$ definiert. Wir wollen Theorem \ref{diff lim vert thm}
  anwenden. Setze \[f_n(t):=\sum\limits_{i=0}^na_iA^i(t).\]
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt f\"ur $m>n$ \[\Vert f_m(t)-f_n(t)\Vert
    =\left\Vert\sum\limits_{i=n+1}^m a_iA^i(t)\right\Vert
    \le\sum\limits_{i=n+1}^m |a_i|\Vert A(t)\Vert^i.\] Wegen $\Vert
    A(t)\Vert<r$ und da die Potenzreihe f\"ur reelle $x$ absolut
    konvergiert, ist $(f_n(t))$ f\"ur festes $t\in I$ eine Cauchyfolge
    in $\left(\R^{N\times N},\Vert\cdot\Vert\right)$. Da
    $\left(\R^{N\times N},\Vert\cdot\Vert\right)$ ein Banachraum ist,
    existiert der Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty} f_n(t)\in
    \R^{N\times N}$.
  \item Es gilt aufgrund der Produktregel \[\dt f_n(t) \equiv f'_n(t)
    =\sum\limits_{i=1}^n ia_iA^{i-1}(t)\dot A(t),\] da $A(t)$ und
    $\dot A(t)$ vertauschen. Wie oben sieht man, dass der Grenzwert
    $\lim\limits_{n\to\infty} f'_n(t)=:h(t)$ existiert, da
    Potenzreihen im Inneren ihres Konvergenzradiusses differenzierbar
    sind und die Ableitung durch die absolut konvergente Potenzreihe
    der Ableitungen der Summanden gegeben ist. Sei $t$ in einem
    Intervall $J$, in dem $\Vert A(t)\Vert\le r_0<r$ gilt. Dort gilt
    f\"ur $m>n$
    \begin{align*}
      \Vert f'_m(t)-f'_n(t)\Vert =&\,\left\Vert\sum\limits_{i=n+1}^m
        ia_iA^{i-1}(t)\dot A(t)\right\Vert
      \le\left\Vert\sum\limits_{i=n+1}^m
        ia_iA^{i-1}(t)\right\Vert\cdot\left\Vert\dot A(t)\right\Vert\\
      \le&\, \left(\sum\limits_{i=n+1}^m i|a_i|\Vert
        A(t)\Vert^{i-1}\right)\cdot\left\Vert\dot A(t)\right\Vert.
    \end{align*}
    Wegen $\Vert A(t)\Vert\le r_0$ und der gleichm\"a\ss{}igen
    absoluten Konvergenz von $\sum\limits_{i=0}^\infty ia_ix^i$ auf
    $\ol{B_{r_0}(0)}$ konvergiert auch $f'_n$ f\"ur $t\in J$
    gleichm\"a\ss{}ig: F\"ur jedes $\epsilon>0$ gibt es ein $n_0$, so
    dass f\"ur alle $m>n\ge n_0$ die Absch\"atzung $\Vert
    f'_m(t)-f'_n(t)\Vert \le\epsilon$ f\"ur alle $t\in J$ gilt. Mit
    $m\to\infty$ sieht man, dass $f'_n$ gleichm\"a\ss{}ig gegen ein
    $h(t)$ konvergiert.
  \end{enumerate}
  Nach Theorem \ref{diff lim vert thm} erhalten wir
  also \[\dt\left(\lim\limits_{n\to\infty} f_n(t)\right)
  =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dt f_n(t)\right)\] und die
  Behauptung folgt.  
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $A\in\R^{n\times n}$. 
  \[\dt e^{tA} =e^{tA}A =Ae^{tA}.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur die zweite Darstellung schreibt man $\dot A(t)$ im Beweis der
  Ableitungsregeln f\"ur Potenzreihen auch bei $f'_n$ bereits nach
  links. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Seien $B,C\in\R^{n\times n}$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{exp add matr rel} $e^{B+C}=e^B\cdot e^C$, falls $BC=CB$, 
  \item $\left(e^A\right)^{-1}=e^{-A}$,
  \item $e^{(s+t)A} =e^{sA}+e^{tA}$ f\"ur $s,t\in\R$, 
  \item $e^{A+\lambda\eins}=e^\lambda\cdot e^A$ f\"ur $\lambda\in\R$, 
  \item $e^{C^{-1}BC}=C^{-1}e^BC$, falls $C$ invertierbar ist,
  \item $e^{\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)}
    =\diag\left(e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n}\right)$ f\"ur
    $\lambda_i\in\R$.  
  \end{enumerate} 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $e^B$ und $e^C$ konvergieren absolut. Daher d\"urfen wir die
    Reihen gliedweise miteinander multiplizieren (Beweis wie im
    Reellen) und erhalten
    \begin{align*}
      e^B\cdot e^C =&\, \sum\limits_{p=0}^\infty \frac{B^p}{p!} \cdot
      \sum\limits_{q=0}^\infty \frac{C^q}{q!}
      =\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n
      \frac{B^kC^{n-k}}{k!(n-k)!}\\
      =&\,\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n
      \genfrac{(}{)}{0pt}{}nk \frac{B^kC^{n-k}}{n!}
      =\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(B+C)^n}{n!} =e^{B+C}. 
    \end{align*}
  \item Folgt aus \eqref{exp add matr rel} mit der Rechnung \[\eins
    =e^0 =e^{A-A} =e^A\cdot e^{-A}.\] 
  \item Dies folgt unmittelbar aus \eqref{exp add matr rel}. 
  \item Dies folgt ebenso aus \eqref{exp add matr rel}, da
    $A\eins=\eins A$ gilt. 
  \item Per Induktion erh\"alt man $\left(C^{-1}BC\right)^k
    =C^{-1}B^kC$ f\"ur alle $k$. Dies setzt man in die Anfangsst\"ucke
    der Potenzreihe ein und erh\"alt die Behauptung durch
    Grenz\"ubergang.
  \item Dies funktioniert analog, denn per Induktion erh\"alt
    man \[\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)^k
    =\diag\left(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k\right).\qedhere\] 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Systeme mit konstanten Koeffizienten}

Analog zum eindimensionalen Fall erhalten wir
\begin{lemma}
  Seien $A\in\R^{n\times n}$, $x_0\in\R^n$, $t_0\in\R$. Dann hat das
  Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=Ax(t),\\
    x(t_0)=x_0
  \end{cases}
  \]
  die L\"osung \[x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0.\]
\end{lemma}
F\"ur $A=A(t)$ funktioniert solch ein Vorgehen, mit $(t-t_0)A$ durch
ein Integral ersetzt, falls alle Matrizen $A(t)$, $t\in\R$,
kommutieren.
\begin{proof}[Beweis]
  Die Eindeutigkeit ist klar. Es gilt 
  \[\dot x(t) =e^{A(t-t_0)} Ax_0 = Ae^{A(t-t_0)} x_0 =Ax(t)\] und der
  Anfangswert ist wie gew\"unscht. 
\end{proof}

\begin{remark}
  L\"asst sich $A$ mit Hilfe einer invertierbaren Matrix $B$ auf eine
  einfache Gestalt $C=BAB^{-1}$ bringen, so k\"onnen wir
  $e^A=B^{-1}e^CB$ einfacher bestimmen, \zB wenn $C$ eine
  Diagonalmatrix ist. \par
  Ist $A$ eine Matrix, die aus genau einem Jordank\"astchen besteht,
  so k\"onnen wir $e^A$ wie folgt ausrechnen: Sei $\lambda\in\R$ oder
  $\C$ und
  \begin{align*}
  A=&\,
  \begin{pmatrix}
    \lambda&1&0&\ldots&0\\
    0&\lambda&\ddots&\ddots&\vdots\\
    \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
    \vdots&&\ddots&\lambda&1\\
    0&\ldots&\ldots&0&\lambda
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \lambda&0&\ldots&\ldots&0\\
    0&\lambda&\ddots&&\vdots\\
    \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
    \vdots&&\ddots&\lambda&0\\
    0&\ldots&\ldots&0&\lambda
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    0&1&0&\ldots&0\\
    0&0&\ddots&\ddots&\vdots\\
    \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
    \vdots&&\ddots&0&1\\
    0&\ldots&\ldots&0&0
  \end{pmatrix}\\
  \equiv&\, D+N.
  \end{align*}
  Per Induktion folgt, dass $N^k=\left({}^km^i_j\right)$, $k\ge 1$,
  mit ${}^km^i_j=\delta^{i+k}_j$ gilt. $N^k$ ist also eine Matrix, die
  in der $k$-ten oberen Nebendiagonalen Einsen und sonst Nullen
  enth\"alt.  Die Matrizen $D$ und $N$ kommutieren, somit auch $D$ und
  alle Potenzen $N^k$, sowie beliebige Potenzen $N^k$
  untereinander. Beachte auch, dass $N^i=0$ f\"ur alle $i\ge n$ gilt.
  Somit erhalten wir
  \begin{align*}
    e^{tA} =&\,e^{tD+tN} =e^{tD}\cdot e^{tN} =e^{t\lambda} \eins\cdot
    \left(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{t^iN^i}{i!}\right)\\ =&\,
    e^{t\lambda}
    \begin{pmatrix}
      1&\frac{t}{1!}&\frac{t^2}{2!}&\ldots&\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\\
      0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\
      \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\frac{t^2}{2!}\\
      \vdots&&\ddots&1&\frac{t}{1!}\\
      0&\ldots&\ldots&0&1
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  \par Besteht $A$ (oder $C$) aus mehreren Jordank\"astchen, so ist
  f\"ur jeden Block entsprechend zu verfahren. \par
  Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung sind wie \"ublich
  zun\"achst als Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung
  umzuschreiben.
\end{remark}

\Section{Numerik gew\"ohnlicher Differentialgleichungen}

Wir benutzen \cite{WittumNumerikI} und beschr\"anken uns auf den Fall
einer skalaren Differentialgleichung. Mehr Details gibt es in einer
Numerikveranstaltung \"uber gew\"ohnliche Differentialgleichungen. 

\Subsection{Begriffe}

\begin{remark}[Explizites Eulerverfahren]
  Man ersetzt die Ableitung $\dot u(t)=\lim\limits_{h\to
    0}\frac{u(t+h)-u(t)}h$ in einer Differentialgleichung $\dot u(t)
  =f(t,u(t))$ durch eine diskrete Approximation, \zB
  $\frac{u(t+h)-u(t)}h$, $h\neq0$. Damit erh\"alt man die Gleichung
  \begin{align*}
    \frac{u_h(t+h)-u_h(t)}h =&\,f(t,u_h(t)),\\
    u_h(t+h) =&\,u_h(t)+h\cdot f(t,u_h(t)).
  \end{align*}
  Diese l\"ost man von einem Startwert $u_h(t_0)=x_0$ ausgehend f\"ur
  $t_0+h,t_0+2h,t_0+3h,\ldots$.
\end{remark}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Verfahren der Form \[u_h(t+h):=u_h(t) +h\cdot
    \phi_h(t,u_h(t),u_h(t+h))\] hei\ss{}t Einschrittverfahren.  Bei
    Mehrschrittverfahren h\"angt $u_h(t+h)$ zus\"atzlich noch von
    weiteren Werten $u_h(t-h),\ldots,u_h(t-kh)$ ab.  H\"angt $\phi_h$
    nicht von $u_h(t+h)$ ab, so hei\ss{} das Verfahren explizit, sonst
    implizit.
  \item Sei $u(t)$ eine exakte L\"osung. Die
    Gr\"o\ss{}e \[\tau_h:=\frac{u(t+h)-u(t)}h -\phi_h(t,u(t),u(t+h))\]
    hei\ss{}t lokaler Diskretisierungsfehler. 
  \item Ein Einschrittverfahren hei\ss{}t konsistent, wenn
    \begin{align*}
      \lim\limits_{h\to 0}\tau_h(t,u)=\underbrace{\lim\limits_{h\to0}
        \frac{u(t+h)-u(t)}h}_{=\dot u(t) =f(t,u(t))}
      -&\,\lim\limits_{h\to 0} \phi_h(t,u(t),u(t+h))\to 0
      \intertext{f\"ur die L\"osung $u$ gilt, oder, \"aquivalent
        dazu,} \lim\limits_{h\to 0}\phi_h(t,u(t),u(t+h))=&\,f(t,u(t))
    \end{align*}
    f\"ur die L\"osung $u$ gilt. \par Das Eulerverfahren ist nach
    Definition konsistent.
  \item Gilt $\tau_h(t,u)=O(h^p)$ f\"ur $|h|\to0$ und $u\in C^p$, so
    hei\ss{}t ein Verfahren von der Ordnung $p$. Dabei schreiben wir
    $g(h)=O(h^p)$ f\"ur eine Funktion $g$, wenn es ein $C>0$ und ein
    $h_0>0$ mit $|g(h)|\le C\cdot |h|^p$ f\"ur alle $|h|\le h_0$
    gibt.  \par F\"ur das Eulerverfahren erhalten wir f\"ur $u\in C^p$
    mit Taylorentwicklung
      \[u(t+h)=u(t)+h\dot u(t)+\frac{h^2}{2!}\ddot u(t) +\ldots+
      \frac{h^p}{p!} u^{(p)}(t+\theta h)\] f\"ur ein $0\le\theta\le
      1$. Es folgt
      \begin{align*}
        \dot u(t) =&\, f(t,u(t)),\\
        \ddot u(t) =&\, \dt f(t,u(t)) =\fracp ft(t,u(t)) +\fracp
        fu(t,u(t))\dot u(t)\\ =&\,\fracp ft(t,u(t)) +\fracp
        fu(t,u(t))f(t,u(t)).
      \end{align*}
      Durch weiteres Differenzieren kann man auch die h\"oheren
      Ableitungen von $u$ durch $f$ und Ableitungen davon
      ausdr\"ucken. Wir erhalten
      \begin{align*}
        \frac{u(t+h)-u(t)}h =&\,\dot u(t)+\frac h{2!}\ddot u(t)
        +\ldots+ \frac{h^{p-1}}{p!}u^{(p)}(t+\theta h)\\
        =&\, f(t,u) +\frac h2\left(\fracp ft(t,u(t)) +\fracp
          fu(t,u(t))f(t,u(t))\right) +\ldots
        \intertext{und somit bekommen wir beim expliziten
          Eulerverfahren} 
        \tau_h(t,u) =&\,\frac{u(t+h)-u(t)}h -\phi_h(t,u(t))\\
        =&\,\frac h2\left(\fracp ft(t,u(t)) +\fracp                    
          fu(t,u(t))f(t,u(t))\right) +\ldots =O(h),
      \end{align*}
      das Eulerverfahren ist also ein Verfahren erster Ordnung. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Konvergenz von Einschrittverfahren}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $u(t)$ eine exakte L\"osung einer gew\"ohnlichen
    Differentialgleichung, $u_h$ die durch ein Einschrittverfahren
    bestimmte diskrete L\"osung. Dann hei\ss{}t \[e_h(t_i):=
    u_h(t_i)-u(t_i),\] $t_i=t_0+ih$, globaler Diskretisierungsfehler.
  \item Ein Einschrittverfahren hei\ss{}t konvergent,
    falls \[\lim\limits_{h\to0} e_h(t)=0\] f\"ur alle $t$ gilt. Ist
      $t$ fest, so ist die Folge der $h$'s so zu w\"ahlen, dass
      $e_h(t)$ definiert ist. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

F\"ur die Konvergenzaussage des diskreten Verfahrens ben\"otigen wir
ein technisches Lemma.
\begin{lemma}\label{techn lemma fuer numerik}
  Sei $(\xi_i)_{i\in\N}$ eine Folge mit $\xi_i\ge0$ f\"ur alle
  $i$. Gibt es Konstanten $\delta>0$ und $b\ge0$, so
  dass \[\xi_{i+1}\le(1+\delta)\xi_i+b\] f\"ur alle $i$ gilt, so
  folgt \[\xi_i\le e^{i\delta}\xi_0+b\cdot
  \frac{e^{i\delta}-1}\delta.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir erhalten induktiv
  \begin{align*}
    \xi_1\le&\, (1+\delta)\xi_0+b,\\
    \xi_2\le&\, (1+\delta)\xi_1+b \le (1+\delta)^2\xi_0 +(1+\delta)b
    +b\\
    \xi_i\le&\, (1+\delta)^i\xi_0 +b\left(1+(1+\delta)+(1+\delta)^2+
      \ldots+(1+\delta)^{i-1}\right)\\
    =&\, (1+\delta)^i\xi_0+b\cdot
      \sum\limits_{j=0}^{i-1}(1+\delta)^j. 
  \end{align*}
  Wir benutzen eine Teleskopsumme und erhalten die Absch\"atzung 
  \begin{align*}
    \sum\limits_{j=0}^{i-1}(1+\delta)^j
      =&\,\frac{1-(1+\delta)^i}{1-(1+\delta)}
      =\frac{(1+\delta)^i-1}\delta. 
  \end{align*}
  Mit $1+\delta\le e^\delta$ der Folgerung
  $(1+\delta)^i\le\left(e^\delta\right)^i =e^{\delta i}$ daraus folgt
  nun die Behauptung.
\end{proof}

F\"ur das diskrete Verfahren erhalten wir die folgende
Konvergenzaussage:
\begin{theorem}
  Betrachte das Anfangswertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u(t)=f(t,u(t)),\\
    u(t_0)=u_0
  \end{cases}
  \]
  und das explizite Einschrittverfahren 
  \[
  \begin{cases}
    u_h(t+h)=u_h(t)+h\cdot\phi_h(t,u(t)),\\
    u_h(t_0)=u_0.
  \end{cases}
  \]
  Sei $h>0$. Erf\"ulle $\phi_h=\phi_h(t,u(t))$ (der Einfachheit
  halber) f\"ur alle $v_i\in\R$, $t\in\R$ und die L\"osung $u\in C^p$,
  $p\ge1$,
  \begin{align*}
    |\phi_h(t,v_1)-\phi_h(t,v_2)|\le&\,L\cdot| v_1-v_2|,\\
    |\tau_h(t,u)|\le&\,C\cdot h^p
  \end{align*}
  f\"ur Konstanten $C,L>0$. Dann gilt f\"ur $t>t_0$ mit $t=t_0+ih$,
  $i\in\N$,
  \[| e_h(t)|\le h^p\cdot C\cdot
      \frac{e^{L\cdot(t-t_0)}-1}L.\] 
\end{theorem}
Vergleiche dies mit dem Lemma von Gronwall im kontinuierlichen Fall. 
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \begin{align*}
    e_h(t+h)=&\,u_h(t+h)-u(t+h)\\
    =&\,u_h(t) +h\cdot\phi_h(t,u_h(t)) -u(t+h)\\
    =&\,e_h(t) +h\cdot\phi_h(t,u_h(t))-h\frac{u(t+h)-u(t)}h\\
    =&\,e_h(t)
    +h\cdot\underbrace{(\phi_h(t,u_h(t))-\phi_h(t,u(t)))}_{\le
      L\cdot|u_h(t)-u(t)|=L\cdot|e_h(t)|}\\
    &\,+h\cdot\underbrace{\left(\phi_h(t,u(t))-\frac{u(t+h)-u(t)}
        h\right)}_{=\tau_h}, \intertext{also}
    |e_h(t+h)|\le&\,|e_h(t)|+h\cdot L\cdot|e_h(t)| +Ch^{p+1}\\
    =&\,(1+h\cdot L)\cdot|e_h(t)|+Ch^{p+1}.
  \end{align*}
  Diese Absch\"atzungen verwenden wir nun in Lemma \ref{techn lemma
    fuer numerik} mit $\xi_i=|e_h(t_0+ih)|$ und erhalten
  $\xi_0=|e_h(t_0)|=0$ und daher 
  \[|e_h(t_i)|\le Ch^{p+1}\frac{e^{ihL}-1}{hL}
  =Ch^p\frac{e^{ihL}-1}L.\] F\"ur $t=t_0+ih\equiv t_i$ folgt daraus
  \[|e_h(t)| \le Ch^p\frac{e^{(t-t_0)L}-1}L\] wie behauptet.
\end{proof}
Dieses Theorem liefert insbesondere, dass $u_h$ f\"ur $h\searrow0$ an
den Stellen, an denen es definiert ist, gegen die tats\"achliche
L\"osung der Differentialgleichung konvergiert. Interpolieren wir
zwischen den Stellen, an denen $u_h$ definiert ist, linear, so
erhalten wir eine Approximation, die lokal in $C^0$ gegen eine
L\"osung der gew\"ohnlichen Differentialgleichung konvergiert.

\Section{Stabilit\"at}
\Subsection{Stabilit\"at linearer Systeme}

In einer Vorlesung \"uber dynamische Systeme besch\"aftigt man sich
mit dem Verhalten von L\"osungen. Wir werden Stabilit\"atsfragen nur
im generischen Fall einer linearen gew\"ohnlichen
Differentialgleichung in zwei Raumdimensionen betrachten. 

\begin{definition}
  Sei $\dot x(t)=f(t,x(t))$ eine gew\"ohnliche Differentialgleichung. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Punkt $x_0$ hei\ss{}t station\"ar, wenn jede L\"osung der
    Differentialgleichung mit Anfangswert $x(t_0)=x_0$ f\"ur ein
    beliebiges $t_0\in I$, $I$ ein Intervall, $x(t)\equiv x_0$ f\"ur
    alle $t\in I$ erf\"ullt.\par Ist $f$ im zweiten Argument
    Lipschitz, so ist $x_0$ genau dann station\"ar, falls $f(t,x_0)=0$
    f\"ur alle $t\in I$ gilt. 
  \item Ein station\"arer Punkt $x_0$ hei\ss{}t stabil (vereinfachte
    Definition im linearen Fall), falls jede L\"osung
    $x(t)$ \[\lim\limits_{t\to\infty}x(t) =x_0\] erf\"ullt. 
  \item Andere station\"are Punkte hei\ss{}en instabil. 
  \end{enumerate}
  Die Definitionen sind hier nicht \"uberall einheitlich. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $A\in\R^{2\times 2}$. Sei $\dot x(t)=Ax(t)$ ein generisches
  zweidimensionales lineares System gew\"ohnlicher
  Differentialgleichungen. Generisch bedeutet hier, dass das
  charakteristische Polynom von $A$ in $\C[X]$ keine doppelten
  Nullstellen hat und $0$ kein Eigenwert ist. Somit ist $A$
  diagonalisierbar und $0$ der einzige station\"are Punkt. \par Seien
  $\lambda_1,\lambda_2\in\C^2$ die (m\"oglicherweise komplexen)
  Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Ist ein Eigenwert nicht
  reell, so gilt $\bar\lambda_1=\lambda_2$, die Eigenwerte sind also
  komplex konjugiert zueinander, da sonst das charakteristische
  Polynom keine reellen Koeffizienten h\"atte. Seien $x_1,x_2\in\C$
  die Eigenvektoren von $A$ zu den Eigenwerten
  $\lambda_1,\lambda_2$. Dann l\"osen $y_1(t):=e^{\lambda_1t}x_1$ und
  $y_2(t):=e^{\lambda_2t}x_2$ die Differentialgleichung und bilden ein
  Fundamentalsystem. \par
  Es treten die folgenden F\"alle auf:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda_1,\lambda_2<0$: $0$ ist stabil.
  \item $\lambda_1>0$, $\lambda_2<0$ oder umgekehrt: $0$ ist instabil,
    L\"osungen laufen entlang von Kurven, die im Fall
    $|\lambda_1|=|\lambda_2|$ Hyperbeln sind. (Phasenportrait
    zeichnen.)
  \item $\lambda_1,\lambda_2>0$: $0$ ist instabil. 
  \item $\lambda_i\in\C\setminus\R$:
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item $\lambda_1=ir$, $\lambda_2=-ir$, $r\in\R$: Komplexe
      L\"osungen sind $e^{irt}x_1\equiv e^{irt}(a+ib)$ und
      $e^{-irt}(a-ib)$, $a,b\in\R^2$ da aus $Ax_1=\lambda_1x_1$ direkt
      $A\bar x_1=\bar\lambda_1\bar x_1$ folgt. Eine reelle
      Fundamentall\"osung ist durch
      \begin{align*}
        e^{irt}(a+ib)+e^{-irt}(a-ib) =&\,(\cos(rt)+i\sin(rt))(a+ib)\\
        &\,+(\cos(rt)-i\sin(rt))(a-ib)\\ =&\,2\cos(rt) a-2\sin(rt) b
        \intertext{und} i\left(e^{irt}(a+ib)-e^{-irt}(a-ib)\right)
        =&\, (-\sin(rt)+i\cos(rt))(a+ib)\\
        &\,+(-\sin(rt)-i\cos(rt))(a-ib)\\ =&\, -2\sin(rt) a -2\cos(rt)
        b\\
        =&\,2\cos\left(rt+\tfrac\pi2\right)a
        -2\sin\left(rt+\tfrac\pi2\right)b.
      \end{align*}
      gegeben. L\"osungen \glqq rotieren\grqq{} also um den Ursprung
      herum. 
    \item Gilt $\lambda_1=s+ir$, $\lambda_2=s-ir$, so erhalten wir
      dieselben L\"osungen wie im Falle $s=0$, jedoch mit $e^{st}$
      multipliziert. L\"osungen \glqq schrauben\grqq{} sich also um
      den Ursprung herum und n\"ahern sich ihm, falls $s<0$ gilt und
      entfernen sich f\"ur $s>0$. 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}
  Bei nichtlinearen gew\"ohnlichen Differentialgleichungen hei\ss{}t
  ein station\"arer Punkt linear stabil, falls $x_0$ ein stabiler
  Punkt der affin linearen Differentialgleichung $\dot
  x(t)=df(x_0)\langle x(t)-x_0\rangle$ ist. Dies ist \"aquivalent zur
  Stabilit\"at von $0$ f\"ur $y(t):=x(t)-x_0$ unter der linearen
  Differentialgleichung $\dot y(t)=df(x_0)\langle y(t)\rangle$.
\end{remark}

\begin{remark}
  Im nichtlinearen Fall kann man Stabilit\"at mit Hilfe von
  Lyapunovfunktionen untersuchen. Eine Lyapunovfunktion ist eine
  Funktion $L$, die \[\dt L(x(t))\le 0\] erf\"ullt. Hiermit kann man
  unter geeigneten Voraussetzungen folgern, dass $x(t)$ gegen ein
  Minimum von $L$ konvergiert.\par
  Beispiel: Sei $L\colon\R^n\to\R$ in $C^1$. Dann erf\"ullt eine
  L\"osung der Differentialgleichung $\dot x(t)=-\nabla L(x(t))$ \[\dt
  L(x(t))=\nabla L(x(t))\langle\dot x(t)\rangle =-\nabla
  L(x(t))\langle\nabla L(x(t))\rangle =-\Vert\nabla
  L(x(t))\Vert^2\le0.\] 
\end{remark}

\Section{Rand- und Eigenwertprobleme}

Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Wir erinnern daran, dass $C^k(\Omega)$
f\"ur $k=0,1,\ldots,\infty$ der Raum aller $k$-fach (beliebig oft,
falls $k=\infty$) in $\Omega$ stetig differenzierbaren Funktionen
ist. $C^k\left(\ol\Omega\right)$ ist der Raum aller dieser Funktionen,
deren (partielle) Ableitungen bis zur Ordnung $k$ sich stetig und
beschr\"ankt auf $\ol\Omega$ fortsetzen lassen. Ist $k<\infty$, so
versehen wir ihn mit der $C^k$-Norm $\Vert u\Vert_{C^k(\Omega)}
:=\sum\limits_{i=0}^k\sum\limits_{|\alpha|=i}\left\Vert D^\alpha
  u\right\Vert_{C^0(\Omega)}$, wobei $\Vert
u\Vert_{C^0(\Omega)}:=\sup\limits_{x\in\Omega}|u(x)|$ die
Supremumsnorm und $\alpha$ ein Multiindex ist. Vergleiche \cite{GT}.
 
\Subsection{Charakteristische Matrix}

Die Schwingung einer Membran oder Seite wird durch \[\frac{d^2}{dt^2}
u(x,t)=\Delta u(x,t)\quad\text{in }\Omega\times\R,\]
$\Omega\subset\R^n$ offen, beschrieben. Der Ansatz
$u(x,t)=\alpha(t)v(x)$ f\"uhrt zu der Gleichung \[\ddot \alpha\cdot
v=\alpha\Delta v.\] F\"ur eine schwingende nicht
ged\"ampfte Seite ist $\alpha(t)=\sin(\mu(t-t_0))$, also $\ddot
\alpha=-\mu^2 \alpha$. Als Gleichung im Ort erh\"alt man mit
$\lambda=\mu^2$
\[
\begin{cases}
  v''(x)+\lambda v(x)=0 &\text{in }(a,b),\\
  v(a)=v(b)=0.
\end{cases}
\]
L\"osungen sind die Funktionen $v(x)=\sin\left(\frac{k\pi(x-a)}
  {b-a}\right)$, $k\in\N$, f\"ur $\lambda=\frac{k^2\pi^2}{(b-a)^2}$.  

\begin{remark}
  Wir hatten gesehen, dass das System \[\dot x(t)=F(t)x(t)+g(t),\]
  $F\in C^0\left([a,b],\R^{n\times n}\right)$, $g\in
  C^0\left([a,b],\R^n\right)$ mit einer Fundamentalmatrix \[\dot
  X(t)=F(t)X(t)\] des inhomogenen Systems die L\"osung \[x(t)=X(t)d
  +X(t)\left(\int\limits_a^t X^{-1}(\tau)g(\tau)\,d\tau\right)\]
  besitzt.\par Dies bleibt auch auf dem abgeschlossenen Intervall
  richtig, man kann die Daten n\"amlich stetig \"uber $[a,b]$ hinaus
  fortsetzen. 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{rwp eind krit thm}
 Seien $F\in C^0\left([a,b],\R^{n\times n}\right)$, $g\in
  C^0\left([a,b],\R^n\right)$, $A,B\in\R^{n\times n}$ und $c\in\R^n$. 
  Betrachte das Randwertproblem 
  \[
  \begin{cases}
    \dot x(t)=F(t)x(t)+g(t),\\
    Ax(a)+Bx(b)=c. 
  \end{cases}
  \]
  Sei $X$ eine Fundamentalmatrix des zugeh\"origen linearen
  Systems. Dann sind die folgenden Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Das Randwertproblem ist f\"ur beliebige $g\in
    C^0\left([a,b],\R^n\right)$ und $c\in\R^n$ l\"osbar. 
  \item Die charakteristische Matrix $C_X:=AX(a)+BX(b)$ ist
    invertierbar. 
  \item Das zugeh\"orige homogene Randwertproblem 
    \[
    \begin{cases}
      \dot x(t)=F(t)x(t),\\
      Ax(a)+Bx(b)=0
    \end{cases}
    \]
    besitzt nur die triviale L\"osung $x=0$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die allgemeine L\"osung des inhomogenen Systems hat die
  Form \[x(t)=X(t)d +X(t)\left(\int\limits_a^t
    X^{-1}(\tau)g(\tau)\,d\tau\right).\] Wir setzen dies in die
  Randbedingung ein und erhalten 
  \begin{equation}
    \label{rb cm eq}
    \underbrace{(AX(a)+BX(b))}_{=C_X}d
    +BX(b)\int\limits_a^bX^{-1} (\tau)g(\tau)\,d\tau =c.
  \end{equation}
  Dies ist f\"ur beliebige $c\in\R^n$ genau dann nach $d$
  auf{}l\"osbar, wenn $C_X$ regul\"ar ist. \par Im Spezialfall
  $g\equiv0$ und $c=0$ erh\"alt man eine Bedingung daf\"ur, dass eine
  L\"osung der homogenen Differentialgleichung existiert. Sie ist
  genau dann eindeutig l\"osbar, wenn es nur ein $d$ gibt, das die
  Bedingung erf\"ullt. Aus $(AX(a)+BX(b))d=C_Xd=0$ sieht man, dass
  dies genau dann der Fall ist, wenn $C_X$ regul\"ar und damit
  invertierbar ist.
\end{proof}

\Subsection{Die Greensche Funktion}

Wir betrachten wieder das Randwertproblem
\begin{equation}
  \label{rwp green eq}
  \begin{cases}
    \dot x(t)=F(t)x(t)+g(t)&\text{in }[a,b],\\
    Ax(a)+Bx(b)=0. 
  \end{cases}
\end{equation}

\begin{theorem}\label{green fkt exist}
  Sei $C_X$ invertierbar. Dann existiert eine
  Abbildung \[G\colon[a,b]\times[a,b]\to\R^{n\times n},\] die
  Greensche Matrix, mit folgenden Eigenschaften: 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Einschr\"ankungen von $G$ auf $\{(t,s)\colon a\le t<s\le
    b\}$ (\glqq oberhalb der Diagonalen\grqq) und $\{(t,s)\colon a\le
    s\le t\le b\}$ sind stetig.
  \item F\"ur $a<t<b$ gilt \[\lim\limits_{\tau\searrow t}G(\tau,t)
    -\lim\limits_{\tau\nearrow t}G(\tau,t)=\eins.\]
  \item Sei $g\in C^0\left([a,b],\R^n\right)$. Dann
    ist \[x(t)=\int\limits_a^bG(t,s)g(s)\,ds\] eine L\"osung des
    Randwertproblems \eqref{rwp green eq}. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In der bisherigen Notation ist die eindeutige L\"osung von
  \eqref{rwp green eq} durch \[x(t) =X(t)\int\limits_a^tX^{-1}
  (\tau)g(\tau)\,d\tau +X(t)d \equiv x_0(t)+X(t)d\] mit
  $d:=-C_X^{-1}Bx_0(b)$ gegeben (beachte \eqref{rb cm
    eq}). Ausgeschrieben bedeutet das
  \begin{align*}
    x(t) =&\,\int\limits_a^tX(t)X^{-1}(s)g(s)\,ds -X(t)C_X^{-1}B
    \int\limits_a^bX(b)X^{-1}(s)g(s)\,ds\\ \equiv&\,\int\limits_a^b
    G(t,s)g(s)\,ds \intertext{mit} G(t,s):=&\,
    \begin{cases}
      (X(t)-X(t)C_X^{-1}BX(b))X^{-1}(s)&\\
      =X(t)\left(\eins-C_X^{-1}BX(b)\right)X^{-1}(s),&a\le s\le t\le
      b,\\ 
      -X(t)C_X^{-1}BX(b)X^{-1}(s),&a\le t<s\le b.
    \end{cases}
  \end{align*}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Stetigkeit ist klar.
  \item Es gilt 
    \[\lim\limits_{\tau\searrow t}G(\tau,t)
    -\lim\limits_{\tau\nearrow t}G(\tau,t)=
    \eins-X(t)C_X^{-1}BX(b)X^{-1}(t) +X(t)C_X^{-1}BX(b)X^{-1}(t)
    =\eins.\]   
  \item Gilt nach Definition von $G$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Aus $C_X=AX(a)+BX(b)$ erhalten wir
  $\eins-C_X^{-1}BX(b)=C_X^{-1}AX(a)$ und daher eine weitere
  Darstellung von $G$
  \[G(t,s)=
  \begin{cases}
    X(t)C_X^{-1}AX(a)X^{-1}(s),&a\le s\le t\le b,\\
    -X(t)C_X^{-1}BX(b)X^{-1}(s),&a\le t<s\le b.
  \end{cases}
  \]
  Die Werte auf der Diagonalen $\Delta=\{(t,t)\colon t\in[a,b]\}$ sind
  beliebig, da sie bei der Integration keine Rolle spielen. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  Seien die Voraussetzungen wie in Theorem \ref{green fkt exist},
  insbesondere sei $C_X$ invertierbar. \par
  Folgende vier Eigenschaften bestimmen die Greensche Funktion
  au\ss{}erhalb der Diagonalen eindeutig:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $G$ ist auf $[a,b]^2\setminus\Delta$ stetig,
  \item F\"ur $a<t<b$ gilt 
    \[\lim\limits_{\tau\searrow t}G(\tau,t)
    -\lim\limits_{\tau\nearrow t}G(\tau,t) =\eins.\]   
  \item F\"ur jedes feste $s\in[a,b]$ l\"ost $G(\cdot,s)$ die homogene
    Matrix-Differentialgleichung \[\fracp{}tG(t,s)=F(t)G(t,s)\] f\"ur
    $t\in[a,b]\setminus\{s\}$.
  \item F\"ur jedes feste $s\in(a,b)$ erf\"ullt $G(\cdot,s)$ die
    homogenen Randbedingungen $AG(a,s)+BG(b,s)=0$. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $G$ eine Greensche Funktion wie in Theorem
  \ref{green fkt exist}.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Stetigkeit folgt aus Theorem \ref{green fkt exist}.
  \item Die Grenzwertbeziehung folgt ebenso aus \ref{green fkt exist}.
  \item F\"ur $t<s$ oder $t>s$ ist $G(t,s)$ von der Form $X(t)S(s)$
    f\"ur eine Matrix $S(s)$. Da $X(t)$ eine Fundamentalmatrix ist,
    folgt die Behauptung.
  \item Sei $s\in(a,b)$ fest. Dann folgt mit $C_X=BX(b)+AX(a)$
    \begin{align*}
      AG(a,s)+BG(b,s)=&\,A\left(-X(a)C_X^{-1}\underline{BX(b)}
        X^{-1}(s)\right)\\  &\qquad+\ul B\left(\underline{X(b)}
        C_X^{-1}AX(a)X^{-1}(s)\right)\\ 
      =&\,\left[-AX(a)C_X^{-1}(C_X-AX(a))\right.\\ 
        &\qquad\left.+(C_X-AX(a))C_X^{-1}AX(a)\right]
      X^{-1}(s)\\ 
      =&\,0. 
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  \par
  \Rueckrichtung Sei $\tilde G$ eine weitere Funktion, die diese
  Eigenschaften besitzt. Setze $H:=G-\tilde G$. Da beide Funktionen
  dieselbe Sprungbedingung f\"ur $s=t$ erf\"ullen, l\"asst sich $H$
  stetig auf ganz $[a,b]^2$ fortsetzen. Nehme dies an. Die
  Differentialgleichung \[\fracp{}tH(t,s)=F(t)H(t,s)\] ist ebenso
  f\"ur alle $t$ erf\"ullt. $H(t,s)$ erf\"ullt die Randbedingungen
  \[AH(a,s)+BH(b,s)=0\] f\"ur alle $a<s<b$. Da $C_X$ invertierbar ist,
  gilt nach Theorem \ref{rwp eind krit thm} $H(t,s)=0$ f\"ur alle
  $a<s<t$. Da $H$ stetig ist, folgt \"uberall -- bis auf die Diagonale
  -- $G=\tilde G$.   
\end{proof}

\Subsection{Randwertprobleme f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung}
\def\unterabschnitt{RWP -- h\"ohere Ordnung}

Indem man gew\"ohnliche Differentialgleichungen h\"oherer Ordnung als
Systeme gew\"ohnlicher Differentialgleichungen schreibt, erh\"alt man
analoge Aussagen auch f\"ur diese Gleichungen. 

Betrachte die Gleichung 
\begin{equation}
  \label{gl syst h ord gl}
  \begin{cases}
    f_0(t)u^{(n)}(t)+f_1(t)u^{(n-1)}(t)+\ldots+f_n(t)u(t)
    =\gamma(t)&\text{in }[a,b],\\
    R^iu:=\sum\limits_{j=1}^n\alpha^i_ju^{(j-1)}(a)
    +\sum\limits_{j=1}^n\beta^i_ju^{(j-1)}(b) =\gamma^i,& i=1,\ldots,n
  \end{cases}
\end{equation}
mit $a<b$, $f_0,\ldots,f_n,\gamma\in C^0([a,b],\R)$, $f_0(t)\neq0$
f\"ur $t\in[a,b]$, und $\alpha^i_j,\beta^i_j,\gamma^i\in\R$. Wir
schreiben dies als System
\begin{align}
  &\,
  \begin{cases}
    \dot x(t)=F(t)x(t)+g(t)&\text{in }[a,b],\\
    Ax(a)+Bx(b)=c
  \end{cases}\label{homog syst hohe ord}\\
  \intertext{mit}
  F(t)=&\,
  \begin{pmatrix}
    0&1&0&\ldots&\ldots&0\\
    \vdots&\ddots&1&\ddots&&\vdots\\
    \vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
    \vdots&&&\ddots&1&0\\
    0&\ldots&\ldots&\ldots&0&1\\
    -\frac{f_n}{f_0}(t)&\ldots&\ldots&\ldots&-\frac{f_2}{f_0}(t)
    &-\frac{f_1}{f_0}(t)  
  \end{pmatrix},
  \quad 
  g(t)=
  \begin{pmatrix}
    0\\ \vdots\\ 0\\ \frac{\gamma}{f_0}(t)
  \end{pmatrix},\nonumber\\
  x(t)=&\,
  \begin{pmatrix}
    u(t)\\ \vdots\\ u^{(n-1)}(t)
  \end{pmatrix},
  \nonumber\\
  A=&\,\left(\alpha^i_j\right)_{1\le i,j\le n},\quad
  B=\left(\beta^i_j\right)_{1\le i,j\le n} \quad\text{und}\quad
    c=\left(\gamma^i\right)_{1\le i\le n}.\nonumber
\end{align}

\begin{theorem}
  Angenommen, das homogene System \eqref{homog syst hohe ord} mit
  $\gamma=0$, $\gamma^i=0$, $1\le i\le n$ besitze nur die triviale
  L\"osung $x\equiv0$. Dann gibt es eine Funktion
  $G\colon[a,b]^2\to\R$, die in $[a,b]^2\setminus\Delta$ stetig ist,
  so dass \[u(t):=\int\limits_a^bG(t,s)\gamma(s)\,ds,\quad
  t\in[a,b],\] die Differentialgleichung in \eqref{gl syst h ord gl}
  mit homogenen Randbedingungen $R^iu=0$, $1\le i\le n$, l\"ost. $G$
  hei\ss{}t Greensche Funktion des Randwertproblems.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $M$ die Greensche Matrix des zugeh\"origen linearen Systems
  erster Ordnung. Wir haben gezeigt, dass
  dann \[x(t)=\int\limits_a^bM(t,s)g(s)\,ds\] eine L\"osung dieses
  Systems ist. Aus den Eintr\"agen von $x$ und $g$ folgt, dass wir
  $G(t,s)$ als den Eintrag in der rechten oberen Ecke von $M(t,s)$,
  dividiert durch $f_0(s)$, also $G(t,s)=\frac{M^1_n(t,s)}{f_0(s)}$,
  w\"ahlen k\"onnen.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{vier bed green fkt lem}
  Sei $n>1$. Angenommen, das homogene System zu \eqref{homog syst hohe ord}
  besitze nur die triviale L\"osung. Dann ist die Greensche Funktion
  $G\colon[a,b]^2\to\R$ zum Randwertproblem \eqref{gl syst h ord gl}
  durch die folgenden vier Eigenschaften eindeutig bestimmt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $G$ ist stetig. F\"ur festes $s\in[a,b]$ ist $G(\cdot,s)\in
    C^{n-2}([a,b],\R)$. 
  \item F\"ur festes $s\in[a,b]$ ist $G(\cdot,s)$ in
    $[a,b]\setminus\{s\}$ sogar $n$-mal stetig differenzierbar und es
    gilt f\"ur $s\in(a,b)$ \[\lim\limits_{\tau\searrow t}
    \fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}}G(\tau,t) -\lim\limits_{\tau\nearrow t}
    \fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}}G(\tau,t) =\frac1{f_0(t)}.\]
  \item F\"ur festes $s\in[a,b]$ l\"ost $G(\cdot,s)$ die homogene
    Differentialgleichung in \eqref{gl syst h ord gl}, \dh $G(\cdot,s)$
    erf\"ullt die Differentialgleichung mit $\gamma=0$, in
    $[a,b]\setminus\{s\}$.
  \item F\"ur festes $s\in[a,b]$ erf\"ullt $G(\cdot,s)$ die homogenen
    Randbedingungen in \eqref{gl syst h ord gl}, \dh $G(\cdot,s)$
    erf\"ullt die Randbedingungen mit $\gamma^i=0$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $M=(M^i_j)_{1\le i,j\le n}$ die Greensche
  Matrix. Daher gilt die folgende Differentialgleichung f\"ur $s\neq
  t$, die wir mehrfach im Beweis verwenden werden:
  \begin{align*}
    \delt&\,
    \begin{pmatrix}
      M^1_1&M^1_2&\ldots&M^1_n\\
      M^2_1&M^2_2&\ldots&M^2_n\\
      \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
      M^n_1&M^n_2&\ldots&M^n_n
    \end{pmatrix}\\
    =&\,
    \begin{pmatrix}
      0&1&0&\ldots&\ldots&0\\
      \vdots&\ddots&1&\ddots&&\vdots\\
      \vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
      \vdots&&&\ddots&1&0\\
      0&\ldots&\ldots&\ldots&0&1\\
      -\frac{f_n}{f_0}(t)&\ldots&\ldots&\ldots&-\frac{f_2}{f_0}(t)
      &-\frac{f_1}{f_0}(t)
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
      M^1_1&M^1_2&\ldots&M^1_n\\
      M^2_1&M^2_2&\ldots&M^2_n\\
      \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
      M^n_1&M^n_2&\ldots&M^n_n
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  Es ist $G(t,s)=\frac{M^1_n(t,s)}{f_0(s)}$. Es folgt
  \begin{align*}
    M^2_n=&\,\dot M^1_n,\\
    M^3_n=&\,\dot M^2_n =\ddot M^1_n,\quad\ldots,\\
    M^n_n=&\,\left(\delt\right)^{n-1}M^1_n.
  \end{align*}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da $M^n_n(\cdot,s)$ f\"ur $t\neq s$ in $C^1$ ist, ist
    $M^1_n(\cdot,s)$ dort in $C^n$ und es gibt von jeder Seite
    $C^n$-Fortsetzungen bis $t=s$. Induktiv erhalten wir \"uberall, da
    $M^i_j$ f\"ur $i\neq j$ f\"ur alle $s,t\in[a,b]$ stetig ist,
    $M^{n-2}_n(\cdot,s)\in C^1$, $M^{n-3}_n(\cdot,s)\in C^2$, \ldots,
    $\frac{M^1_n(\cdot,s)}{f_0(s)}\equiv G(\cdot,s)\in C^{n-2}$.
  \item Sei $s\in(a,b)$, $t\in[a,b]\setminus\{s\}$. Die
    Differenzierbarkeit haben wir uns bereits \"uberlegt. Es gilt
    \begin{align*}
      &\,\lim\limits_{\tau\searrow t}\fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}}
      G(\tau,t) -\lim\limits_{\tau\nearrow
        t}\fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}} G(\tau,t)\\
      =&\,\frac1{f_0(t)}\left(\lim\limits_{\tau\searrow
          t}\fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}} M^1_n(\tau,t)
        -\lim\limits_{\tau\nearrow t}\fracp{^{n-1}}{\tau^{n-1}}
        M^1_n(\tau,t)\right)
      =\ldots\\
      =&\,\frac1{f_0(t)}\left(\lim\limits_{\tau\searrow
          t}M^n_n(\tau,t) -\lim\limits_{\tau\nearrow
          t}M^n_n(\tau,t)\right) =\frac1{f_0(t)}.
    \end{align*}
    \item Sei $s\in[a,b]$, $t\in[a,b]\setminus\{s\}$. Betrachte den
      Eintrag rechts unten bei der Matrizenmultiplikation $\dot
      M(t)=F(t)M(t)$:
    \begin{align*}
      \delt M^n_n=&\,-\frac{f_n}{f_0}M^1_n-\frac{f_{n-1}}{f_0}M^2_n
      -\ldots-\frac{f_1}{f_0}M^n_n,\\ 
      0=&\,f_0\dot M^n_n+f_1M^n_n+f_2M^{n-1}_n+\ldots+f_nM^1_n,\\
      =&\,f_0\left(M^1_n\right)^{(n)} +f_1\left(M^1_n\right)^{(n-1)}
      +\ldots +f_{n-1}\left(M^1_n\right)^{(1)}+f_nM^1_n.
    \end{align*}
  \item Die Greensche Matrix erf\"ullt die homogenen
    Randbedingungen. Wie oben folgt auch hier aus der letzten Spalte
    der Gleichung $AM(a)+BM(b)=0$
    \begin{align*}
      0=&\,\alpha^1_1M^1_n(a)+\alpha^1_2M^2_n(a) +\ldots
      +\beta^1_1M^1_n(b)+\ldots\\
      =&\,\alpha^1_1M^1_n(a)+\alpha^1_2\left(M^1_n\right)^{(1)}(a)
      +\ldots
      +\beta^1_1M^1_n(b)+\ldots\equiv R^1M^1_n,\\
      0=&\,\alpha^2_1M^1_n(a)+\alpha^2_2M^2_n(a) +\ldots
      +\beta^2_1M^1_n(b)+\ldots\\
      =&\,\alpha^2_1M^1_n(a)+\alpha^2_2\left(M^1_n\right)^{(1)}(a)
      +\ldots
      +\beta^2_1M^1_n(b)+\ldots\equiv R^2M^1_n,\quad \ldots. 
    \end{align*}
  \end{enumerate}
  \Rueckrichtung
  Argumentiere wie beim entsprechenden Satz f\"ur Systeme. Benutze
  jedoch $C^{n-1}$-Funktionen statt stetiger Funktionen und die
  Differentialgleichung statt der Matrixdifferentialgleichung f\"ur
  die Greensche Matrix. 
\end{proof}

\Subsection{Sturm-Liouville Randwertprobleme}

Wir betrachten Randwertprobleme der Form 
\begin{equation}
  \label{s l rwp}
  \begin{cases}
    (Lx)(t)\equiv -\dt(p(t)\dot x(t)) +q(t)x(t)=r(t) &\text{in
    }[a,b],\\
    R^1x\equiv \alpha^1_1x(a)+\alpha^1_2\dot x(a) =\gamma^1,\\
    R^2x\equiv \beta^2_1x(b)+\beta^2_2\dot x(b) =\gamma^2
  \end{cases}
\end{equation}
mit $p\in C^1([a,b],\R)$, $p(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$, $q,r\in
C^0([a,b],\R)$ und $\alpha^i_j,\beta^i_j,\gamma^i\in\R$ mit
$\left(\alpha^1_1,\alpha^1_2\right)\neq0$,
$\left(\beta^2_1,\beta^2_2\right)\neq0$. Solch ein Randwertproblem
hei\ss{}t Sturm-Liou"-ville"-sches Randwertproblem.

\begin{theorem}\label{green sl konstr thm}
  Nehme an, dass das homogene Randwertproblem zu \eqref{s l rwp} nur
  die triviale L\"osung besitzt. Seien $\phi,\psi\in C^2([a,b],\R)$
  mit $L\phi=L\psi=0$, $R^1\phi=0$, $R^2\phi\neq0$ und $R^1\psi\neq0$,
  $R^2\psi=0$. Sei \[W(t)\equiv
  W(\phi,\psi)(t):=\phi(t)\dot\psi(t) -\dot\phi(t)\psi(t) =\det
  \begin{pmatrix}
    \phi(t)&\psi(t)\\
    \dot\phi(t)&\dot\psi(t)
  \end{pmatrix}\] die Wronski-Determinante der als System zweiter
  Ordnung geschriebenen Gleichung. Dann ist
  \[
  G(t,s):=
  \begin{cases}
    -\frac1{p(a)W(a)}\phi(t)\psi(s),&a\le t\le s\le b,\\
    -\frac1{p(a)W(a)}\phi(s)\psi(t),&a\le s\le t\le b
  \end{cases}
  \]
  die Greensche Funktion von \eqref{s l rwp}.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zur Existenz von $\phi$ und $\psi$: Fixiere $\phi(a)\neq0$ und
  $\phi'(a)$ mit $R^1\phi=0$. L\"ose das zugeh\"orige
  Anfangswertproblem f\"ur die homogene Differentialgleichung. Dann
  gilt $R^2\phi\neq0$. Sonst widerspr\"ache dies der eindeutigen
  L\"osbarkeit des homogenen Systems zu \eqref{s l rwp}, das bereits
  die Nulll\"osung besitzt. Verfahre analog mit $\psi$, $b$ und
  $R^2$. $\phi$ und $\psi$ sind linear unabh\"angig, wie man mit Hilfe
  der Randbedingungen sieht. \par
  Wir wollen nun die Bedingungen aus Lemma \ref{vier bed green fkt
    lem} nachrechnen um zu sehen, dass $G$ ein Greensche Funktion
  ist. Aus den Randbedingungen an der Stelle $a$ sehen wir, dass
  $W(a)\neq0$ gilt.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Stetigkeit ist offensichtlich. 
  \item $G(\cdot,s)\in C^2$ in $[a,b]\setminus\{s\}$ ist klar. Wir
    behaupten zun\"achst, dass $W(t)p(t)$ in $t$ konstant ist. Dazu
    k\"onnten wir Theorem \ref{Wronski det thm} verwenden, m\"uss{}ten
    die Gleichung daf\"ur aber zun\"achst auf Standardform
    bringen. Wir rechnen stattdessen direkt
    \begin{align*}
      0=&\,-\dt(p\dot\phi)+q\phi=-p\ddot\phi-\dot p\dot\phi+q\phi,\\
      0=&\,-p\ddot\psi-\dot p\dot\psi+q\psi,\\
      W(t)=&\,\phi\dot\psi-\dot\phi\psi,\\
      \dt(W(t)\cdot p(t))=&\,(\phi\ddot\psi-\ddot\phi\psi)p
      +(\phi\dot\psi-\dot\phi\psi)\dot p\\
      =&\,\underbrace{(-p\ddot\phi-\dot p\dot\phi+q\phi)}_{=0}\psi
      -\underbrace{(-p\ddot\psi-\dot p\dot\psi+q\psi)}_{=0}\phi =0.
      \intertext{Damit folgt}
      &\,\lim\limits_{\tau\searrow t}\fracp{}\tau G(\tau,t)
      -\lim\limits_{\tau\nearrow t}\fracp{}\tau G(\tau,t)\\
      =&\,-\frac1{p(a)W(a)} (\phi(t)\dot\psi(t)-\dot\phi(t)\psi(t))\\
      =&\,-\frac1{p(a)W(a)}W(t) =-\frac1{p(t)}. 
    \end{align*}
  \item Dies folgt unmittelbar, da die homogene Differentialgleichung
    linear ist und $G(\cdot,s)$ f\"ur $t<s$ und f\"ur $t>s$ jeweils
    die Differentialgleichung erf\"ullt.
  \item Dies folgt wieder direkt aus $R^1\phi=0=R^2\psi$. 
  \end{enumerate}
  Somit ist $G$ nach Lemma \ref{vier bed green fkt lem} die gesuchte
  Greensche Funktion.  
\end{proof}

\Subsection{Selbstadjungierte Eigenwertprobleme}

Wir untersuchen das Sturm-Liou\-ville\-sche Eigenwertproblem 
\begin{equation}
  \label{sl ewp}
  \begin{cases}
    (Lx)(t)\equiv-\frac1{r(t)}\left[\dt(p(t)\dot x(t))
      -q(t)x(t)\right] =\lambda x(t)&\text{in }[a,b],\\
    R^1x\equiv \alpha^1_1x(a) +\alpha^1_2\dot x(a) =\gamma^1,\\
    R^2x\equiv \beta^2_1x(b) +\beta^2_2\dot x(b) =\gamma^2
  \end{cases}
\end{equation}
mit $p\in C^1([a,b],\R)$, $p(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$, $q,r\in
C^0([a,b],\R)$ mit $r(t)>0$ f\"ur alle $t\in[a,b]$,
$\alpha^i_j,\beta^i_j,\gamma^i\in\R$ mit
$\left(\alpha^1_1,\alpha^1_2\right)\neq0$ und
$\left(\beta^2_1,\beta^2_2\right)\neq0$ sowie $\lambda\in\C$ und $x\in
C^2([a,b],\C)$. Hier ist es wichtig, dass die auftretenden
Koeffizienten reellwertig sind.

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Definiere den Operator \[A\colon \underbrace{\left\{x\in
      C^2([a,b],\C)\colon R^1x=0=R^2x\right\}}_{\equiv\mathcal
    D(A)\subset C^0([a,b],\C)}\to C^0([a,b],\C)\] durch $Ax:=Lx$ f\"ur
    $x\in\mathcal D(A)$.   
  \item Eine Zahl $\lambda\in\C$ hei\ss{}t Eigenwert von $A$, falls es
    ein $u\in\mathcal D(A)\setminus\{0\}$ mit $Au=\lambda u$ gibt. $u$
    hei\ss{}t Eigenfunktion von $A$ zum Eigenwert $\lambda$. 
  \item Zum Eigenwertproblem \eqref{sl ewp} definieren wir ein
    zugeh\"origes unit\"ares Skalarprodukt durch \[\langle
    u,v\rangle_L :=\int\limits_a^b r(t)u(t)\ol{v(t)}\,dt\] f\"ur
    $u,v\in C^0([a,b],\C)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$, wenn
    $Au=\lambda u$ nicht eindeutig l\"osbar ist, da $Au=\lambda u$
    stets die triviale L\"osung $u\equiv0$ besitzt. 
  \item Sei $\{\phi_1=\phi_1(t,\lambda), \phi_2=\phi_2(t,\lambda)\}$
    ein Fundamentalsystem der gew\"ohnlichen Differentialgleichung
    $Au-\lambda u=0$. Dann ist eine beliebige L\"osung
    $x=c^1\phi_1+c^2\phi_2$, $c^i\in\C$, genau dann eine L\"osung von
    \eqref{sl ewp}, falls
    \begin{align*}
      \sum\limits_{j=1}^2c^jR^i\phi_j(\cdot,\lambda)=&\,0\\
      \intertext{f\"ur $i=1,2$ gilt. Mit Linearer Algebra erhalten
        wir, dass L\"osungen $\left(c^1,c^2\right)\neq0$ genau dann
        existieren, falls} \Delta(\lambda):=&\,\det
      \begin{pmatrix}
        R^1\phi_1(\cdot,\lambda) &R^1\phi_2(\cdot,\lambda)\\
        R^2\phi_1(\cdot,\lambda) &R^2\phi_2(\cdot\lambda)
      \end{pmatrix}
      =0
    \end{align*}
    gilt. 
  \item Die Konstruktion aus Theorem \ref{green sl konstr thm}
    liefert, dass die Greensche Funktion reell ist.  
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $A$ ist ein symmetrischer Operator, \dh f\"ur $u,v\in\mathcal
    D(A)$ gilt \[\langle Au,v\rangle_L=\langle u,Av\rangle_L.\]
  \item Alle Eigenwerte $\lambda$ sind reell. Die zugeh\"origen
    Eigenfunktionen k\"onnen wir ebenfalls reellwertig w\"ahlen. 
  \item Seien $u_1,u_2\in\mathcal D(A)$ Eigenfunktionen zu Eigenwerten
    $\lambda_1\neq\lambda_2$. Dann gilt \[\langle
    u_1,u_2\rangle_L=0.\]
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Mit partieller Integration erhalten wir 
    \begin{align*}
      \langle Au,v\rangle_L =&\,-\int\limits_a^b\dt(p(t)\dot
      u(t))\ol{v(t)} -q(t)u(t)\ol{v(t)}\,dt\\
      =&\,\int\limits_a^bp(t)\dot u(t)\ol{\dot v(t)}
      +q(t)u(t)\ol{v(t)}\,dt -\left.p(t)\dot
        u(t)\ol{v(t)}\right|^b_a,\\
      \langle u,Av\rangle_L =&\,\int\limits_a^b p(t)\dot u(t)\ol{\dot
        v(t)} +q(t)u(t)\ol{v(t)}\,dt -\left.p(t)u(t)\ol{\dot
          v(t)}\right|^b_a,\\
      \langle Au,v\rangle_L-\langle u,Av\rangle_L =&\,
      \left.p(t)\left(u(t)\ol{\dot v(t)}-\dot u(t)\ol{v(t)}
        \right)\right|^b_a =0.
    \end{align*}
    Die beiden Randterme fallen einzeln, \dh f\"ur $t=a$ und $t=b$,
    weg, denn aus den Randbedingungen folgt (hier nur f\"ur $t=b$
    vorgerechnet)
    \begin{align*}
      R^2u=&\,\beta^2_1u(b)+\beta^2_2\dot u(b)=0,\\
      \ol{R^2 v} =&\,\beta^2_1\ol{v(b)} +\beta^2_2\ol{\dot v(b)}=0. 
    \end{align*}
    Wegen $\left(\beta^2_1,\beta^2_2\right)\neq0$ hat die Matrix
    \[
    \begin{pmatrix}
      u(b) & \dot u(b)\\
      \ol{v(b)} & \ol{\dot v(b)}
    \end{pmatrix}
    \]
    also einen nichttrivialen Kern. Daher verschwindet die oben als
    Randterm auftretende Determinante davon. 
  \item Gelte $Au=\lambda u$ mit $u\in\mathcal
    D(A)\setminus\{0\}$. Es folgt
    \[\lambda\langle u,u\rangle_L =\langle \lambda u,u\rangle_L
    =\langle Au,u\rangle_L =\langle u,Au\rangle_L =\langle u,\lambda
    u\rangle_L =\bar\lambda\langle u,u\rangle_L.\] Daher ist $\lambda$
    reell. \par Sei $u$ eine Eigenfunktion. Da die Koeffizienten und
    $\lambda$ in der linearen Gleichung $(A-\lambda)u=0$ alle reell
    sind, sind auch der Realteil und der Imagin\"arteil von $u$
    Eigenfunktionen zum selben Eigenwert. Eine dieser beiden
    Funktionen ist von Null verschieden. 
  \item Zur Orthogonalit\"at bez\"uglich des
    $\langle\cdot,\cdot\rangle_L$-Skalarproduktes: Auch hier rechnet
    man genau wie in der Linearen Algebra unter Benutzung von
    $\lambda_i\in\R$ \[\lambda_1\langle u_1,u_2\rangle_L
    =\langle\lambda_1u_1,u_2\rangle_L =\langle Au_1,u_2\rangle_L
    =\langle u_1,Au_2\rangle_L =\ol{\lambda_2}\langle u_1,u_2\rangle_L
    =\lambda_2\langle u_1,u_2\rangle_L.\] Hieraus folgt $\langle
    u_1,u_2\rangle_L=0$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Man kann mit Zusatzaufwand folgendes zeigen: Ist $0$ kein Eigenwert
  von $A$, so besitzt $A$ unendlich viele Eigenwerte $\lambda_i\in\R$,
  $i\in\N$. Nach Umnummerierung gilt $|\lambda_i|\to\infty$ f\"ur
  $i\to\infty$. \par
  Seien $u_i$ zugeh\"orige normierte und paarweise orthogonale
  Eigenfunktionen, \dh gelte $Au_i=\lambda_iu_i$ und $\langle
  u_i,u_j\rangle_L=\delta_{ij}$ f\"ur alle $i,\,j$. Dann k\"onnen wir
  $f\in\mathcal D(A)$ als
  \[f(t)=\sum\limits_{i=1}^\infty\langle f,u_i\rangle_L u_i\] mit noch
  genauer zu definierender Konvergenz schreiben.\par
  F\"ur weitere Details, auch im Falle von mehreren Raumdimensionen,
  siehe \cite{ShowalterBook}. 
\end{remark}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\weg#1{} 
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{DenkMPh3}
Robert Denk\weg{DenkMPh3}, \emph{{Mathematik f\"ur Physiker III}}, 2007, Skript
  zur Vorlesung.

\bibitem{Dieudonne}
Jean Dieudonn{\'e}, \emph{Foundations of modern analysis}, Academic Press, New
  York, 1969, Enlarged and corrected printing, Pure and Applied Mathematics,
  Vol. 10-I.

\bibitem{MDreherMPh2}
Michael Dreher\weg{MDreherMPh2}, \emph{{Mathematik f\"ur Physiker II}}, 2009,
  Skript zur Vorlesung.

\bibitem{CGAnalysisII}
Claus Gerhardt, \emph{Analysis. {II}}, International Series in Analysis,
  International Press, Cambridge, MA, 2005.

\bibitem{GT}
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  Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical
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\bibitem{ShowalterBook}
Ralph~E. Showalter, \emph{{Hilbert space methods for partial differential
  equations. Electronic reprint of the 1977 original}}, {Electronic Journal of
  Differential Equations. Monograph. 1. San Marcos, TX: Southwest Texas State
  University, iii, 242 p. }, 1994.

\bibitem{WalterODEs}
Wolfgang Walter, \emph{Gew\"ohnliche {D}ifferentialgleichungen}, fifth ed.,
  Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin, 1993, Eine Einf{\"u}hrung.

\bibitem{WittumNumerikI}
Gabriel Wittum\weg{WittumNumerikI}, \emph{{Numerik I, Teil I: Gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen}}, 2005, Skript zur Vorlesung.

\end{thebibliography}

\end{document}
