% 
% Variationsrechnung
% Oliver Schn\"urer
% Uni Konstanz, Winter 2012/3
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}

\title{Variationsrechnung}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, FB Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{35A15}
% 35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 
% 35Axx General theory 
% 35A15 Variational methods 

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

%\setlength{\parindent}{0pt}
%\setlength{\parskip}{0.5em}

\begin{abstract}
  Dies ist ein Vorlesungsmanuskript f\"ur eine Vorlesung \"uber
  Variationsrechnung, gehalten im Wintersemester 2012/13 an der
  Universit\"at Konstanz. 
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

%\mainmatter
%\addtocounter{section}{-1}

\markboth{\footnotesize{\textsc{\thesection.{} \currenttitle}}}
{\footnotesize{\textsc{\thesection.{} \currenttitle}}}

\noindent Wir benutzen insbesondere \cite{GiustiCalcVar} und empfehlen
dar\"uber hinaus \cite{DacorognaDirect,EvansPDE,SweersVari}.

Die Kapitel \ref{eindim sec} und \ref{Delta u f sec} sind als
Einf\"uhrung zu verstehen.

\section{Eindimensionale Beispiele}
\label{eindim sec}
\subsection{Brachistochrone}
\begin{beispiel}
  Auf welcher Kurve gleitet eine anf\"anglich ruhende punktf\"ormige
  Masse (Kugel) unter dem Einfluss der Schwerkraft und ohne Reibung am
  schnellsten von $(0,0)$ nach $(1,-a)$, $a>0$?\par
  Sei $(x(t),y(t))_{0\le t\le T}$ f\"ur ein $T>0$ der Ort der Kugel.
  Es gilt Energieerhaltung, also ist die Summe aus potentieller und
  kinetischer Energie konstant: \[0=mgy(t)+\tfrac12m\left(\dot
    x(t)^2+\dot y(t)^2\right),\] wobei $m$ die Masse und $g$ die
  Gravitationskonstante ist. Wir schreiben (ohne formale Begr\"undung
  nehmen wir $\dot x>0$ an) $t=t(x)$ und erhalten \[T=t(1)-t(0)
  =\int\limits_0^1\frac{dt}{dx}\,dx
  =\int\limits_0^1\frac1{\frac{dx}{dt}}\,dx.\] Aufgrund der
  Energieerhaltung ist $u(x):=-y(t(x))\ge0$. Es gilt $\dot y\equiv
  \frac{dy}{dt} =-\frac{du}{dx} \frac{dx}{dt} \equiv -u'\dot x$. Die
  Energieerhaltung liefert also $gu=\tfrac12 \left(1+(u')^2\right)\dot
  x^2$. Somit ist \[T=\int\limits_0^1\sqrt{\frac{1+(u'(x))^2}
    {2gu(x)}}\,dx.\] Wir suchen also eine Funktion $u\colon[0,1]\to\R$
  mit $u(0)=0$ und $u(1)=a$, so dass $T$ f\"ur diese Funktion minimal
  wird. Dies ist ein eindimensionales Variationsproblem.\par
  Nehme nun an, dass $T=T(u)$ f\"ur eine positive gen\"ugend glatte
  Funktion $u$ minimal sei. Dann gilt $T(u+\phi)\ge T(u)$ f\"ur alle
  $\phi\in C^\infty_c((0,1))$, also auch $T(u+\tau\phi)\ge T(u)$ f\"ur
  alle $\tau\in\R$. Wir nehmen an, dass $\tau\mapsto T(u+\tau\phi)$
  differenzierbar ist und dass wir unter dem Integral differenzieren
  d\"urfen. Dann folgt
  \begin{align*}
    0=&\,\left.\frac{d}{d\tau} T(u+\tau\phi)\right|_{\tau=0}
    =\int\limits_0^1 \left.\frac
      d{d\tau}\sqrt{\frac{1+(u'(x)+\tau\phi'(x))^2}
        {2g(u(x)+\tau\phi(x))}}\right|_{\tau=0}\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_0^1 \frac12\sqrt{\frac{2gu}{1+(u')^2}}\cdot
    \frac{2u'\phi'2gu-2g\phi\left(1+(u')^2\right)}{(2gu)^2}\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{2g}}\int\limits_0^1
    \frac{2guu'\phi'-g\phi\left(1+(u')^2\right)}{2gu\sqrt
      u\sqrt{1+(u')^2}}\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{2g}}\int\limits_0^1 \frac{u'}{\sqrt
      u\sqrt{1+(u')^2}}\phi' -\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{2u\sqrt
      u}\phi\,dx\umbruch\\
    =&\,\frac1{\sqrt{2g}}\int\limits_0^1-\left(\frac{u'}{\sqrt
        u\sqrt{1+(u')^2}}\right)'\phi -\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{2u\sqrt
      u}\phi\,dx,
  \end{align*}
  da $\phi$ Randwerte Null hat. Da $\phi$ beliebig war, erhalten wir
  nach DuBois-Reymond \[\left(\frac{u'}{\sqrt
      u\sqrt{1+(u')^2}}\right)' +\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{2u\sqrt u}
  =0.\] Der Rest des Beispiels geh\"ort nicht zum Thema der Vorlesung:
  Durch einen Trick kann man dies l\"osen; es gilt n\"amlich (wobei
  man die erste Gleichheit am besten r\"uckw\"arts nachrechnet)
  \begin{align*}
    &\,\left\{\frac1{\sqrt u\sqrt{1+(u')^2}}\right\}'\umbruch\\
    =&\,\left\{\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{\sqrt u} -\left(\frac{u'}{\sqrt
          u\sqrt{1+(u')^2}}\right)u'\right\}'\umbruch\\
    =&\,\underline{\frac{u'u''}{\sqrt u\sqrt{1+(u')^2}}}
    -\frac12\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{\sqrt uu}u'\\&\qquad
    -\left(\frac{u'}{\sqrt u\sqrt{1+(u')^2}}\right)'u'
    -\underline{\left(\frac{u'}{\sqrt
          u\sqrt{1+(u')^2}}\right)u''}\umbruch\\
    =&\,\left\{-\left(\frac{u'}{\sqrt u\sqrt{1+(u')^2}}\right)'
      -\frac{\sqrt{1+(u')^2}}{2\sqrt uu}\right\}u' =0.
  \end{align*}
  Wir \"uberpr\"ufen nur noch, dass durch $x=\frac12 c(s-\sin s)$ und
  $u=\frac 12 c(1-\cos s)$ f\"ur alle $c$ eine L\"osung gegeben
  ist. Es gilt n\"amlich 
  \begin{align*}
    u\left(1+(u')^2\right) =&\,\frac 12 c(1-\cos
    s)\left(1+\left(\frac{\frac{du}{ds}}
        {\frac{dx}{ds}}\right)^2\right)\umbruch\\
    =&\,\frac12c(1-\cos s)\left(1+\left(\frac{\frac12c\sin
          s}{\frac12c(1-\cos s)}\right)^2\right)\umbruch\\
    =&\,\frac12c\frac{(1-\cos s)^2+\sin^2 s}{1-\cos s}
    =c\frac{1-2\cos s+\cos^2 s+\sin^2 s}{2-2\cos s}\umbruch\\
    =&\,c\frac{2-2\cos s}{2-2\cos s}=c. 
  \end{align*}
  F\"ur einen geeigneten Parameter $c$ erhalten wir die gesuchte
  L\"osung. 
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Untersucht man die Differentialgleichung, die ein Minimum eines
  Variationsproblems erf\"ullen muss und versucht mit Hilfe der
  Differentialgleichung eine L\"osung zu bekommen, so spricht man von
  der indirekten Methode der Variationsrechnung. \par
  Bei der direkten Methode der Variationsrechnung minimiert man ein
  Funktional und bekommt mit Hilfe einer Minimalfolge eine schwache
  L\"osung, von der man sp\"ater nachzuweisen versucht, dass dies auch
  eine klassische L\"osung ist.
\end{remark}

\subsection{Minimalfl\"achen}
\begin{beispiel}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $\phi\colon\partial\Omega\to\R$ stetig. Sei $u\colon\Omega\to\R$ in
  $C^1\left(\ol\Omega\right)$. Gelte $u=\phi$ auf $\partial\Omega$,
  wobei hier $u$ die stetige Fortsetzung auf den Rand bezeichnet. Der
  Fl\"acheninhalt der Hyperfl\"ache $\graph u =\{(x,u(x))\colon
  x\in\Omega\}$ ist
  durch \[A[u]:=\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\,dx\] gegeben.
  $\graph u$ -- oder ungenau: $u$ -- hat minimalen Fl\"acheninhalt
  unter allen Graphen \"uber $\Omega$ mit Randwerten $\phi$, falls
  $A[u]\le A[v]$ f\"ur alle Funktionen $v\in
  C^1\left(\ol\Omega\right)$ mit $v=\phi$ auf $\partial\Omega$ gilt. 
\end{beispiel}

Eingeb\"urgert hat sich die folgende Definition. Beachte, dass nicht
gefordert wird, dass eine Minimalfl\"ache den Fl\"acheninhalt
tats\"achlich minimiert.
\begin{definition}
  Seien $\Omega$, $\phi$ und $A$ wie oben.  Eine Minimalfl\"ache mit
  Randwerten $\phi$ ist ein kritischer Punkt des Funktionals \[X\ni
  u\mapsto A[u]\] mit \[X=\left\{u\in C^1\left(\ol\Omega\right)\colon
    u=\phi\text{ auf }\partial\Omega\right\}.\]
\end{definition}

\begin{remark}
  Wir erinnern daran, dass eine Funktion $\phi\colon E\to F$ zwischen
  zwei Banachr\"aumen (und analog zwischen offenen Teilmengen oder wie
  im obigen Beispiel affinen Teilr\"aumen) in $x_0$ differenzierbar
  ist, falls $A\in L(E,F)$ mit \[\phi(x)=\phi(x_0)+A\langle
  x-x_0\rangle +o(\Vert x-x_0\Vert)\] existiert. Wir schreiben
  $A=:d\phi(x_0)$ oder $A=D\phi(x_0)$. \par
  $x_0$ hei\ss{}t kritischer Punkt von $\phi\in C^1(E,F)$, falls
  $df(x_0)=0$ gilt. Dies ist \"aquivalent dazu, dass die Ableitung von
  $\psi\colon t\mapsto \phi(x_0+ty)$ f\"ur alle $y\in E$ in $t=0$
  verschwindet.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Es gilt aufgrund der Kettenregel
  $\psi'(0)=d\phi(x_0)\langle y\rangle =0$, $\psi'(0)$ verschwindet
  also, falls $x_0$ ein kritischer Punkt ist.\par
  \Rueckrichtung Sei umgekehrt $d\phi(x_0)\neq0$. Dann existiert ein
  $y\in E$ mit $d\phi(x_0)\langle y\rangle\neq0$. Wir erhalten f\"ur
  $\psi(t)=\phi(x_0+ty)$ wiederum nach Kettenregel $\psi'(0)
  =d\phi(x_0)\langle y\rangle\neq0$. Somit gibt es eine solche
  Abbildung $\psi$ mit $\psi'(0)\neq0$. 
\end{proof}

\begin{beispiel}[Triviales Beispiel]
  Gesucht ist die Verbindung von $(0,0)$ nach $(a,b)$ mit $a>0$, so
  dass die Verbindung den kleinstm\"oglichen Fl\"acheninhalt hat.
  Dazu minimieren wir (ohne formale Begr\"undung, warum wir nach
  graphischen Verbindungen suchen) die L\"ange von $\graph u$ f\"ur
  Funktionen $u\in C^1([0,a])$ mit $u(0)=0$ und $u(a)=b$. Das
  L\"angenfunktional ist durch \[L[u]=\int\limits_0^a
  \sqrt{1+(u'(x))^2}\,dx\] gegeben. Sei $u$ ein Minimum mit $u\in
  C^2((0,a))$. Dann folgt $L[u+\tau\phi]\ge L[u]$ f\"ur alle
  $\tau\in\R$ und alle $\phi\in C^1_c((0,a))$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,\left.\frac d{d\tau}\int\limits_0^a
      \sqrt{1+(u'+\tau\phi')^2}\,dx
    \right|_{\tau=0} \equiv\delta L[u]\langle\phi\rangle\umbruch\\
    =&\,\int\limits_0^a\frac{u'\phi'}{\sqrt{1+(u')^2}}\,dx
    =-\int\limits_0^a\left(\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}\right)'\phi\,dx,
  \end{align*}
  da $\phi$ Randwerte Null hat. Dabei bezeichnet $\delta
  L[u]\langle\phi\rangle$ die erste Variation von $L$ an der Stelle
  $u$ in Richtung $\phi$. Nach DuBois-Reymond schlie\ss{}en wir also,
  dass \[0=\left(\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}\right)'
  =\frac{u''}{\sqrt{1+(u')^2}} -\frac{(u')^2u''}
  {\left(1+(u')^2\right)^{3/2}}
  =\frac{u''}{\left(1+(u')^2\right)^{3/2}}\] gilt. Somit ist $u''=0$,
  $u$ also affin linear und es gilt $u(x)=\frac bax$.   
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[Rotationssymmetrische Minimalfl\"achen]
  Wir suchen eine minimale Rotationsfl\"ache im $\R^{n+1}$, die
  durch \[M=\left\{(x,u(x)\cdot p)\colon p\in\S^{n-1},
    x\in[a,b]\right\}\] mit Hilfe einer positiven Funktion
  $u\colon[a,b]\to\R$ mit $u(a)=A$ und $u(b)=B$ gegeben ist. Mit
  Methoden der elementaren Differentialgeometrie oder Analysis
  berechnen wir den Fl\"acheninhalt: $X\colon(x,p)\mapsto (x,p\cdot
  u(x))$, $X_0=(1,p\cdot u')$, $X_i=(0,p_iu)$, $1\le i\le
  n-1$, \[g_{ij}=
  \begin{pmatrix}
    1+(u')^2&0\\ 0&u^2(\sigma_{ij})
  \end{pmatrix},\] $A=\int\sqrt{\det g_{ij}}$ ergibt
  \[A[u]=\int\limits_a^b \sqrt{1+(u')^2}\cdot u^{n-1}\cdot
  \underbrace{\vol\left(\S^{n-1}\right)}_{=n\omega_n} \,dx.\] F\"ur
  ein glattes Minimum $u$ erhalten wir also f\"ur $\phi\in
  C^\infty_c((a,b))$
  \begin{align*}
    0=&\,\frac1{n\omega_n}\delta A[u]\langle\phi\rangle
    =\int\limits_a^b \frac{u'\phi'}{\sqrt{1+(u')^2}}u^{n-1} +(n-1)
    \sqrt{1+(u')^2}u^{n-2}\phi\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_a^b\left(-\left(\frac{u'u^{n-1}}
        {\sqrt{1+(u')^2}}\right)' +(n-1)\sqrt{1+(u')^2}
      u^{n-2}\right)\phi\,dx. 
  \end{align*}
  Wir erhalten damit 
  \begin{align*}
    0=&\,\left(\frac{u'u^{n-1}}{\sqrt{1+(u')^2}}\right)'
    -(n-1)\sqrt{1+(u')^2}u^{n-2}\umbruch\\
    =&\,\frac{u''u^{n-1}}{\sqrt{1+(u')^2}}
    +\frac{(n-1)(u')^2u^{n-2}}{\sqrt{1+(u')^2}}
    -\frac{u^{n-1}(u')^2u''}{\left(1+(u')^2\right)^{3/2}}
    -(n-1)\sqrt{1+(u')^2}u^{n-2},\umbruch\\
    0=&\,\frac{u''u}{1+(u')^2} -(n-1). 
  \end{align*}
  F\"ur $n=2$ ist eine L\"osung durch $u(x)=c\cdot\cosh\frac xc$,
  $c>0$, gegeben, denn es gilt $\cosh
  x=\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)$, $\cosh''(x)=\sinh'(x)=\cosh(x)$
  und $1=\cosh^2x-\sinh^2x$. Durch die Wahl von $c$ und durch
  Ersetzen von $x$ durch $x-x_0$ k\"onnen wir die L\"osung an die
  Randwerte anpassen. Dies ist nicht immer m\"oglich, z.\,B. existiert
  f\"ur $a=-1$, $b=1$ und $A=B=1$ keine L\"osung, da aus $\cosh x\ge
  x$ dieselbe Ungleichung auch f\"ur beliebige Konstanten $c$ folgt. 
  \par F\"ur $n\ge 3$ kenne ich keine
  explizite L\"osung. 
\end{beispiel}

\subsection{Mikrostrukturen}
Das folgende Beispiel stammt aus \cite{MuellerCetraro}. 

Wir wollen das materialwissenschaftlich motivierte Funktional
\[I(u)=\int\limits_0^1\left(\left(u'\right)^2-1\right)^2+u^2\] mit
Randwerten $u(0)=u(1)=0$ minimieren. Es ist naheliegend, dies f\"ur
$u\in C^{0,1}([0,1])$ oder $u\in W^{1,4}_0((0,1))$ zu versuchen, da
das Funktional f\"ur solche Funktionen wohldefiniert (und endlich)
ist. 

Wir definieren die Funktion $t:[0,1]\to\R$ durch \[t(x):=
\begin{cases}
  x&\text{f\"ur }x\le\frac12,\\
  1-x&\text{f\"ur }x\ge\frac12
\end{cases}\] uns setzen sie (ohne eine Umbenennung) periodisch mit
Periode eins nach $\R$ fort. Dann ist $t\in C^{0,1}\subset
W^{1,4}_{loc}$. Wir erhalten eine \glqq
S\"agezahnfunktion\grqq. Definiere weiterhin $t_n(x):=\frac1nt(nx)$,
also eine skalierte S\"agezahnfunktion. Es gilt fast \"uberall
$|t_n'|=1$. Somit erhalten wir $0\le I(t_n)\le\frac1{n^2}\to 0$ f\"ur
$n\to\infty$. Daher ist es naheliegend, dass $\lim\limits_{n\to\infty}
t_n$ das gesuchte Minimum ist. Wegen $t_n\rightrightarrows 0$ und
$I(0)=1$ erhalten wir so jedoch kein Minimum. Die in der Minimalfolge
auftretenden Zacken entsprechen Mikrostrukturen.
\par Das Problem beim Grenz\"ubergang ist, dass $I$ nicht konvex und
daher unter der betrachteten Konvergenz nicht unterhalbstetig
ist. F\"ur dieses Problem gibt es jedoch auch einen Minimierer. Dazu
ben\"otigen wir Youngsche Ma\ss{}e. $I$ wird durch die Nullfunktion
minimiert, in jedem Punkt ist das zugeh\"orige
Wahrscheinlichkeitsma\ss{}, das dem Gradienten entspricht mit
Wahrscheinlichkeit $1/2$ gleich $+1$ und mit Wahrscheinlichkeit $1/2$
gleich $-1$.

Im Jahr 1900 hat D. Hilbert beim Internationalen Mathematiker-Kongress
in Paris eine Rede gehalten, in der er 23 mathematische Probleme
vorstellte
(\texttt{http:// www.mathematik.uni-bielefeld.de/$\sim$kersten/hilbert/}):
Im 20. Problem spekuliert D. Hilbert, ob es nicht m\"oglich ist, f\"ur
jedes Variationsproblem durch einen geeigneten schwachen
L\"osungsbegriff eine L\"osung zu bekommen: \glqq Ich bin \"uberzeugt,
da\ss{} es m\"oglich sein wird, diese Existenzbeweise durch einen
allgemeinen Grundgedanken zu f\"uhren, auf den das Dirichletsche
Princip hinweist und der uns dann vielleicht in den Stand setzen wird,
der Frage n\"aher zu treten, ob nicht jedes regul\"are
Variationsproblem eine L\"osung besitzt, sobald hinsichtlich der
gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen - etwa die Stetigkeit und
st\"uckweise \"oftere Differenziirbarkeit, der f\"ur die
Randbedingungen ma\ss{}gebenden Functionen - erf\"ullt sind und
n\"otigenfalls der Begriff der L\"osung eine sinngem\"a\ss{}e
Erweiterung erf\"ahrt.\grqq

\subsection{Konvexit\"at und Minimierer}
\rule{1mm}{0mm}\\
In diesem Abschnitt werden wir sehen, warum es wichtig ist, dass die
Integranden der betrachteten Funktionale bez\"uglich $Du$ konvex
sind. 

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $F\in
  C^2\left(\R^n,\R,\Omega\right)$. Schreibe $F=F(p_i,z,x)$. Sei $u\in
  C^1\left(\ol{\Omega}\right)$ ein Minimierer
  von \[I[u]:=\int\limits_\Omega F(Du,u,\cdot),\] gelte also
  insbesondere $I[u]\le I[u+\phi]$ f\"ur alle $\phi\in
  C^1_c(\Omega)$. Dann ist $F$ bez\"uglich $p_i$ konvex, \dh es
  gilt \[F_{p_ip_j}(Du(x),u(x),x) \xi_i\xi_j\ge0\] f\"ur alle
  $\xi\in\R^n$ und alle $x\in\Omega$.
\end{theorem}
Die Beschr\"anktheit von $\Omega$ ist nicht n\"otig solange das
Integral endlich ausf\"allt. Die Differenzierbarkeitsvoraussetzungen
k\"onnen abgeschw\"acht werden.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\phi\in C^1_c(\Omega)$. Dann ist $I[u]\le I[u+t\phi]$. Die
  rechte Seite ist bez\"uglich $t$ zweimal differenzierbar wie man
  sich \zB unten beim Ausrechnen der Ableitungen \"uberlegt. Es folgt
  $\left.\frac{d^2}{dt^2}I[u+t\phi]\right|_{t=0}\ge0$, \dh die zweite
  Variation von $I$ ist nichtnegativ. Wir erhalten
  \begin{align*}
    \dt I[u+t\phi]=&\,\int\limits_\Omega F_{p_i}(Du+tD\phi, u+t\phi,
    \cdot) \phi_i +F_{z}(\ldots)\phi,\umbruch\\
    \frac{d^2}{dt^2} I[u+t\phi]=&\,\int\limits_\Omega
    F_{p_ip_j}\phi_i\phi_j +2F_{p_iz}\phi_i\phi
    +F_{zz}\phi^2.\umbruch\\ 
  \end{align*}
  Den Wert an der Stelle $t=0$ erhalten wir indem wir s\"amtliche
  Ableitungen von $F$ an der Stelle $(Du,u,\cdot)$ auswerten. Durch
  Approximation erhalten wir 
  \begin{equation}
    \label{2te var eq}
    0\le\int\limits_\Omega
    F_{p_ip_j}(Du,u,\cdot)\phi_i\phi_j +2F_{p_iz}(\ldots)\phi_i\phi
    +F_{zz}\phi^2
  \end{equation}
  f\"ur alle $\phi\in H^{1,2}_0(\Omega)$ und damit auch f\"ur alle
  $\phi\in C^{0,1}_0(\Omega)$, also f\"ur alle Lipschitzfunktionen
  $\phi$ mit $\phi=0$ auf $\partial\Omega$. Sei nun $\zeta\in
  C^\infty_c(\Omega)$ und $\rho\colon\R\to\R$ eine durch
  \[\rho(x)=
  \begin{cases}
    x&\text{f\"ur }0\le x\le\frac12,\\
    1-x&\text{f\"ur }\frac12\le x\le 1
  \end{cases}\]
  und $1$-periodische Fortsetzung nach $\R$ definierte
  S\"agezahnfunktion. Es gilt $|\rho'|=1$ fast \"uberall.  Sei
  $\xi\in\R^n$ und $\epsilon>0$. Definiere die
  Testfunktion \[v(x):=\epsilon\cdot\rho\left(\frac{\langle
      x,\xi\rangle}\epsilon\right)\zeta(x).\]
  Es gilt fast \"uberall \[Dv=\rho'\left(\frac{\langle
      x,\xi\rangle}\epsilon\right)\zeta(x)\xi
  +\epsilon\rho\left(\frac{\langle
      x,\xi\rangle}\epsilon\right)D\zeta(x) =\rho'\left(\frac{\langle
      x,\xi\rangle}\epsilon\right)\zeta(x)\xi +O(\epsilon)
  \quad\text{f\"ur }\epsilon\searrow0.\] 
  Wir setzen dies in \eqref{2te var eq} ein und erhalten
  \[0\le\int\limits_\Omega F_{p_ip_j}(Du,u,\cdot)(\rho')^2 \xi_i\xi_j
  \zeta^2 +O(\epsilon).\] F\"ur $\epsilon\searrow0$ erhalten wir
  \[0\le\int\limits_\Omega F_{p_ip_j}(Du,u,\cdot)\xi_i\xi_j \zeta^2.\]
  Da dies f\"ur alle $\zeta\in C^\infty_c(\Omega)$ gilt, erhalten wir,
  da $F_{p_ip_j}$ stetig ist \[0\le
  F_{p_ip_j}(Du(x),u(x),x)\xi_i\xi_j\] wie behauptet f\"ur alle
  $x\in\Omega$ und alle $\xi\in\R^n$.
\end{proof}

Im obigen Beweis h\"atten wir die Stetigkeit von $F_{p_ip_j}$ nicht
gebraucht. Dies folgt aus dem folgenden Lemma, das wir aber f\"ur die
weitere Vorlesung nicht ben\"otigen.
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $f\in L^1_{loc}(\Omega)$ und
  gelte \[\int\limits_\Omega f\phi\ge0\quad\text{f\"ur alle }0\le\phi\in
  C^\infty_c(\Omega).\] Dann gilt $f\ge0$ fast \"uberall. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\eta_\epsilon$ ein symmetrischer nichtnegativer
  Gl\"attungskern. Dann gilt in der \"ublichen Notation f\"ur kleine
  $\epsilon>0$ \[\int\limits_\Omega f_\epsilon(x)\phi(x)
  =\int\limits_\Omega \int\limits_\Omega
  f(y)\eta_\epsilon(x-y)\phi(x)\,dy\,dx =\int\limits_\Omega
  f(y)\eta_\epsilon(y)\,dy\ge0,\] da $\eta_\epsilon\ge0$ gilt und
  $\eta_\epsilon$ f\"ur kleine $\epsilon>0$ in $C^\infty_c(\Omega)$
  ist. Da $f_\epsilon$ stetig ist, folgt $f_\epsilon(x)\ge0$ f\"ur
  alle $x\in\Omega$. Lasse $\epsilon\searrow0$. Eine Teilfolge der
  $f_\epsilon$ konvergiert punktweise fast \"uberall gegen $f$. Somit
  folgt die Behauptung.
\end{proof}

\section{Variationelle Betrachtung der Laplacegleichung}
\label{Delta u f sec}
Als Modellfall wollen wir die Laplacegleichung genauer betrachten. 
\subsection{Das Dirichletprinzip}
Zun\"achst stellen wir f\"ur glatte L\"osungen der Laplacegleichung
einen Zusammenhang zu einem Funktional her. 
\begin{theorem}[Dirichletprinzip]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und $\partial\Omega\in
  C^1$. Definiere
  \begin{align*}
    I[w]:=&\,\int\limits_\Omega\frac12|Dw|^2-wf,\\ \intertext{und}
    \mathcal A:=&\,\left\{w\in C^2\left(\ol\Omega\right)\,:\,w=g\text{
        auf }\partial\Omega\right\},
  \end{align*}
  wobei $f\in C^0\left(\ol\Omega\right)$ und $g\in
  C^2(U(\partial\Omega))$, also in $C^2$ in einer Umgebung $U$ von
  $\partial\Omega$.\par
  Sei $u\in C^2\left(\ol\Omega\right)$ eine L\"osung zu
  \begin{equation}\label{fg dirichlet}
    \begin{cases} 
      -\Delta u=f&\text{in }\Omega,\\
      u=g&\text{auf }\partial\Omega.
    \end{cases}
  \end{equation}
  Dann gilt
  $$I[u]=\min\limits_{w\in\mathcal A}I[w].$$
  Ist umgedreht $u\in\mathcal A$ ein Minimierer f\"ur $I$,
  $$I[u]=\min\limits_{w\in\mathcal A}I[w],$$ so l\"ost $u$ das
  Randwertproblem \eqref{fg dirichlet}.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $u$ eine L\"osung zu \eqref{fg dirichlet} und sei
  $w\in\mathcal A$ beliebig. Dann gilt
  $$0=\int\limits_\Omega(-\Delta u-f)(u-w) =\int\limits_\Omega \langle
  Du,D(u-w)\rangle -f\cdot(u-w),$$ wobei wir partiell integrieren
  durften, da $u-w$ Randwerte Null hat. Es folgt
  \begin{align*}
    \int\limits_\Omega |Du|^2-uf=&\,\int\limits_\Omega \langle
    Du,Dw\rangle -wf\umbruch\\ \le&\,\int\limits_\Omega
    |Du|\cdot|Dw|-wf\umbruch\\
    \le&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du|^2+\frac12|Dw|^2-wf.\umbruch\\
    \intertext{Daher gilt} \int\limits_\Omega\frac12|Du|^2-uf\le&\,
    \int\limits_\Omega\frac12|Dw|^2-wf.
  \end{align*}
  Somit minimiert $u$ das Funktional $I$ in $\mathcal A$. \par
  \Rueckrichtung Sei nun $u$ ein Minimum von $I$ in $\mathcal A$. Wir
  leiten die Euler-Lagrange Gleichung des Funktionals $I$ her. Sei
  dazu $v\in C^\infty_c(\Omega)$. Definiere
  $$i(\tau):=I[u+\tau v].$$ F\"ur $\tau\in\R$ gilt $u+\tau v\in\mathcal
  A$. Somit nimmt $i$ f\"ur $\tau=0$ ein Minimum an. Wir werden nun
  nachweisen, dass $i$ in $\tau$ differenzierbar ist. Also folgt
  $i'(0)=0$. Es gilt
  \begin{align*}
    i(\tau)=&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du+\tau Dv|^2-(u+\tau
    v)f\umbruch\\ =&\,\int\limits_\Omega\frac12|Du|^2+\tau\langle
    Du,Dv\rangle +\frac12\tau^2|Dv|^2 -(u+\tau v)f\umbruch\\
    \intertext{und daraus folgt} 0=&\,i'(0)=\left.\frac
      d{d\tau}i\right|_{\tau=0}= \text{``}\delta i\text{''}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\langle Du,Dv\rangle-vf=\int\limits_\Omega
    (-\Delta u-f)v.
  \end{align*}
  Dies gilt f\"ur beliebiges $v\in C^\infty_c(\Omega)$. Somit folgt
  $-\Delta u=f$ in $\Omega$.
\end{proof}

\subsection{Variationeller Existenzbeweis}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.
Sei $f\in L^2(\Omega)$. Wir suchen eine schwache L\"osung $u\in
W^{1,2}$ von
\[\begin{cases}
  \Delta u=f &\text{in }\Omega,\\
  u=0&\text{auf }\partial\Omega, 
\end{cases}\] \dh ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$
mit \[\int\limits_\Omega \langle\nabla u,\nabla\phi\rangle
+f\phi=0\quad\text{f\"ur alle }\phi\in W^{1,2}_0(\Omega).\]
(Vergleiche dies mit der Definition der schwachen Ableitung. Auch hier
gen\"ugt es, die Gleichheit f\"ur $\phi\in W^{1,2}_0(\Omega)$ zu
fordern, da sie sonst durch Approximation folgt.)  Dazu wollen
wir \[I(u):=\int\limits_\Omega \tfrac12|\nabla u|^2+fu\] unter allen
Funktionen $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$ minimieren. \par
Sei $g\in W^{1,2}(\Omega)$. Minimiert man nun $I$ unter allen
Funktionen $u$ mit $u-g\in W^{1,2}_0(\Omega)$, so kann man auch noch
eine Randbedingung $u=g$ erhalten.

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei $u_k\schwachto
  u$ eine schwach konvergente Folge in $W^{1,2}_0(\Omega)$. Dann
  gilt \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega |\nabla u_k|^2
  \ge \int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Auf $W^{1,2}_0(\Omega)$ ist (die Wurzel von)
  $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$ eine zu $\int\limits_\Omega|\nabla
  u|^2+\int\limits_\Omega u^2$ \"aquivalente Norm und ist vom
  Skalarprodukt $\langle u,v\rangle =\int\limits_\Omega \langle \nabla
  u,\nabla v\rangle$ induziert. Die Behauptung folgt nun aus der
  Unterhalbstetigkeit der Norm. 
\end{proof}
Einfacher w\"are es, wenn wenn $\int\limits_\Omega|\nabla u|^2$
bez\"uglich der schwachen Topologie stetig w\"are, denn dann g\"alte
Gleichheit in \[\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
\underset{\text{i.\,a.}}\ne\int\limits_\Omega |\nabla u|^2.\]
Unterhalbstetigkeit des Funktionals gen\"ugt jedoch um
einen Minimierer zu finden. 

Sei nun $(u_k)_k$, $u_k\in W^{1,2}_0(\Omega)$, eine Minimalfolge f\"ur
$I(u)$, \dh es gelte
\[\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k)= \inf\limits_{u\in
  W^{1,2}_0(\Omega)} I(u).\] Im folgenden werden wir h\"aufiger
$\int\limits_\Omega |\nabla u|^2\ge\lambda \int\limits_\Omega u^2$
f\"ur ein $\lambda=\lambda(\Omega)>0$ verwenden.

Zun\"achst wollen wir nachweisen, dass das betrachtete Infimum endlich
ist. Es gilt 
\[I(u)=\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +fu
\ge\frac12\lambda\int\limits_\Omega u^2 -\frac\epsilon2
\int\limits_\Omega u^2 -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\ge
-\frac1{2\epsilon}\Vert f\Vert^2_{L^2(\Omega)}>-\infty,\] falls
$\epsilon>0$ klein genug ist. \par
Mit einer analogen Rechnung k\"onnen wir die $W^{1,2}$-Norm der
$u_k$'s gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anken: Aufgrund der
Minimalfolgeneigenschaft gilt
\begin{align*}
  c\ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2+\int\limits_\Omega
  fu_k \ge\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon2\int\limits_\Omega u_k^2
  -\frac1{2\epsilon}\int\limits_\Omega f^2\umbruch\\
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  -\frac\epsilon{2\lambda}\int\limits_\Omega|\nabla u_k|^2
  -\int\limits_\Omega\frac1{2\epsilon}f^2.
\end{align*}
Nun w\"ahlen wir $\epsilon>0$ klein und bringen den
$\int\limits_\Omega f^2$-Term auf die linke Seite. Die Behauptung
folgt. Aufgrund der \"Aquivalenz der Normen mit und ohne $L^2$-Term
auf $W^{1,2}_0$ ist auch $\int\limits_\Omega u_k^2$ gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt. \par
Nach Banach-Alaoglu besitzt $u_k$ also eine Teilfolge (wir benennen
nicht um), die in $W^{1,2}$ schwach gegen $u$ konvergiert. Nach
Definition ist $W^{1,2}_0$ ein abgeschlossener Unterraum von
$W^{1,2}$. Ein abgeschlossener Unterraum ist, wie man durch Testen mit
einem Vektor aus dem orthogonalen Komplement sieht, auch unter
schwacher Konvergenz abgeschlossen. Daher hat auch der Grenzwert $u$
wieder Randwerte Null. Da $W^{1,2}\Subset L^2$ ist, d\"urfen wir
weiterhin annehmen, dass diese Folge in $L^2(\Omega)$ (schwach) gegen
$u$ konvergiert. Somit ist
\begin{align*}
  \inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)} I(w)
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} I(u_k) =\lim\limits_{k\to\infty}
  \left(\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
    +\int\limits_\Omega fu_k\right)\umbruch\\
  =&\,\lim\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2
  +\int\limits_\Omega fu
  \ge\liminf_{k\to\infty} \int\limits_\Omega\frac12|\nabla u_k|^2 
  +\int\limits_\Omega fu\umbruch\\ 
  \ge&\,\int\limits_\Omega\frac12|\nabla u|^2 +\int\limits_\Omega fu
  =I(u)\ge\inf\limits_{w\in W^{1,2}_0(\Omega)}I(w)
\end{align*}
Somit gilt \"uberall Gleichheit. $u$ minimiert also $I$ in $W^{1,2}_0$
und die Euler-Lagrange-Gleichung besagt gerade, dass $u$ eine schwache
L\"osung ist: Sei $v\in W^{1,2}_0(\Omega)$. Wir erhalten
\begin{align*}
  0=&\,\left.\frac d{dt}I(u+tv)\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\frac d{dt}\left.\int\limits_\Omega\frac 12 \left(|\nabla u|^2
      +2t\langle\nabla u,\nabla v\rangle +|\nabla v|^2\right)
    +fu+tfv\,\right|_{t=0}\umbruch\\
  =&\,\int\limits_\Omega\langle\nabla u,\nabla v\rangle +fv.
\end{align*}

Damit haben wir folgendes bewiesen:
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in L^2$. Dann
  gibt es ein $u\in W^{1,2}_0(\Omega)$, das das
  Funktional \[I(u)=\int\limits_\Omega \frac12|\nabla u|^2+fu\]
  minimiert. 
\end{theorem}

% \subsection{Eigenwerte des Laplaceoperators}

\subsection{Harmonische Abbildungen}
Bei der Laplacegleichung kann man bei glatten Daten zeigen, dass die
L\"osung selbst glatt ist. Daher ist noch nicht klar, dass man in
Sobolevr\"aumen arbeiten muss.\par
Im folgenden Beispiel sehen wir, dass wir aus topologischen Gr\"unden
auch bei \glqq sch\"onen\grqq{} Funktionalen nicht immer Glattheit von
kritischen Punkten erwarten d\"urfen. Es gibt n\"amlich keine stetige
Abbildung $\ol{B^n_1(0)}\to\S^{n-1}$, deren Ein\-schr\"an\-kung auf
$\S^{n-1}$ die Identit\"at ist (Brouwerscher Fixpunktsatz). Daher ist
es n\"otig, in Sobolevr\"aumen zu arbeiten.
\begin{definition}
  Sei $u\colon B_1^n(0)\to\S^{n-1}\subset \R^n$ mit $u\in
  H^{1,2}\left(B_1(0),\R^n\right)$. Wir schreiben
  auch \[H^{1,2}\left(B_1(0),\S^{n-1}\right) =\left\{u\in
    H^{1,2}\left(B_1(0),\R^n\right)\colon u(x)\in\S^{n-1} \text{ f\"ur
      fast alle } x\right\}\] und setzen \[\Vert
  u\Vert_{H^{1,2}\left(B_1(0),\S^{n-1}\right)} =\Vert
  u\Vert_{H^{1,2}\left(B_1(0),\R^n\right)} \equiv\Vert
  u\Vert_{H^{1,2}}.\] Wir definieren die Energie von $u$, $E(u)$,
  durch \[E(u)=\frac12\int\limits_{B_1(0)}|Du|^2
  \equiv\frac12\int\limits_{B_1(0)}\sum\limits_{i,j=1}^n
  \left(\fracp{u^i}{x^j}\right)^2 \equiv\frac12\int\limits_{B_1(0)}
  \sum\limits_{i,j=1}^nu^i_ju^i_j.\] Dann hei\ss{}t $u$ harmonische
  Abbildung, falls in $u$ die erste Variation von $E$ verschwindet,
  \dh falls \[\left.\dt E(u(x,t))\right|_{t=0}=0\] f\"ur alle
  Abbildungen der Form \[u(x,t)=\frac{u(x)+t\phi(x)}
  {|u(x)+t\phi(x)|}\] mit $\phi\in C^\infty_c\left(B_1(0),\R^n\right)$
  und $\Vert\phi\Vert_{L^\infty}<1$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Allgemeiner k\"onnte man in der Definition auch differenzierbare
  Funktionen $t\mapsto u(\cdot,t)\in
  H^{1,2}\left(B_1(0),\S^{n-1}\right)$ mit $u(\cdot,t)-u(\cdot,0)\in
  H^{1,2}_0$ betrachten. Hier ist jedoch Vorsicht geboten, sobald
  $H^{1,2}\not\hookrightarrow L^\infty$ gilt. 
\end{remark}

Die folgende Aussage gilt bereits f\"ur $n\ge3$, siehe
\cite{HildebrandtKaulWidmanHarmonicMaps}. 
\begin{lemma}
  Sei $n\ge 7$. Dann ist die Abbildung \[u\colon x\mapsto\frac
  x{|x|}\] eine harmonische Abbildung. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Beweis folgt durch direkte Rechnung. Im Fall
  $\frac{n-2}2>\alpha$ ist $x\mapsto|x|^{-\alpha}\in
  H^{1,2}(B_1(0))$. Dies rechtfertigt die partielle Integration in der
  nachfolgenden Rechnung. Sei $\phi\in
  C^\infty_c\left(B_1(0),\R^n\right)$. Es folgt
  \begin{align*}
    u(x,t)=&\,\frac{x+t\phi(x)}{|x+t\phi(x)|}
    \equiv\left(\frac{x^i+t\phi^i(x)}
      {|x+t\phi(x)|}\right)_{1\le i\le n},\umbruch\\
    u^i_j=&\,\frac{\delta^i_j+t\phi^i_j}{|x+t\phi|}
    -\frac{\left(x^i+t\phi^i\right) \left(x^k+t\phi^k\right)
      \delta_{kl}
      \left(\delta^l_j+t\phi^l_j\right)}{|x+t\phi|^3},\umbruch\\
    \left.\dt u^i_j\right|_{t=0} =&\,\frac{\phi^i_j}{|x|}
    -\frac{\delta^i_jx_k\phi^k}{|x|^3} -\frac{\phi^ix_j
      +x^i\phi^k\delta_{kj} +x^ix_k\phi^k_j}{|x|^3}
    +3\frac{x^ix_jx_k\phi^k}{|x|^5},\umbruch\\
    \left.u^i_j\right|_{t=0} =&\,\frac{\delta^i_j}{|x|}
    -\frac{x^ix_j}{|x|^3} =\frac1{|x|}\left(\delta^i_j
      -\frac{x^ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
    \delta E(u)\langle\phi\rangle
    =&\,\frac12\left.\dt\int\limits_{B_1(0)}
      \left|D\frac{x+t\phi}{|x+t\phi|}\right|^2 \right|_{t=0}
    =\int\limits_{B_1(0)} \left.\sum\limits_{i,j=1}^n u^i_j\dt
      u^i_j\right|_{t=0}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_1(0)}\frac1{|x|}\sum\limits_{i,j=1}^n
    \left(\delta^i_j-\frac{x^ix_j}{|x|^2}\right)
    \left(\frac{\phi^i_j}{|x|}
      -\frac{\delta^i_jx_k\phi^k}{|x|^3}\right), \intertext{da Terme
      mit $x^i$ oder $x_j$ beim Ausmultiplizieren der rechten Klammer
      verschwinden}
    =&\,\int\limits_{B_1(0)}\frac1{|x|}
    \left(\delta^j_i-\frac{x^jx_i}{|x|^2}\right)
    \left(\frac{\phi^i_j}{|x|}
      -\frac{\delta^i_jx_k\phi^k}{|x|^3}\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_1(0)} \left(\frac{\phi^i_i}{|x|^2}
      -\frac{nx_k\phi^k}{|x|^4} -\frac{x^jx_i\phi^i_j}{|x|^4}
      +\frac{x_k\phi^k}{|x|^4}\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_1(0)}-\left(\frac1{|x|^2}\right)_i\phi^i
    -\frac{(n-1)x_k\phi^k}{|x|^4}
    +\left(\frac{x^jx_i}{|x|^4}\right)_j\phi^i\umbruch\\
    =&\,\int\limits_{B_1(0)}\frac{2x_i\phi^i}{|x|^4}
    -\frac{(n-1)x_k\phi^k}{|x|^4} +\frac{nx_i\phi^i+x_i\phi^i}{|x|^4}
    -4\frac{x^jx_ix_j\phi^i}{|x|^6}\umbruch\\ =&\,\int\limits_{B_1(0)}
    \frac{2-n+1+n+1-4}{|x|^4}x_i\phi^i=0. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\section{Klassische Theorie} 
Wir folgen \cite{GiustiCalcVar}.\par
In diesem Kapitel minimieren wir Funktionale der Form \[\mathcal
F(u,\Omega)=\int\limits_\Omega F(Du)\] f\"ur konvexe Integranden $F$
\"uber skalarwertige Lipschitzstetige Funktionen $u$. Falls nicht
anders angegeben nehmen wir an, dass $F$ auf ganz $\R^n$ definiert
ist. 

\subsection{Maximumprinzip und Existenz von Minimierern}
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen.  Wir schreiben $\Lip(\Omega)\equiv
  C^{0,1}\left(\ol\Omega\right)$ und bezeichnen die Norm mit
  $\Vert\cdot\Vert_{\Lip(\Omega)}
  =\Vert\cdot\Vert_{C^{0,1}(\Omega)}$. Wir benutzen auch die
  Lipschitzhalbnorm \[[u]_{C^{0,1}(\Omega)}
  :=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x,y\in\Omega}{x\neq
      y}}\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|}.\] (Manchmal schreiben wir $x\neq
  y$ nicht explizit dazu.) Sei $U\in\Lip(\partial\Omega)$. Definiere
  \begin{align*}
    \Lip(\Omega):=&\,C^{0,1}\left(\ol\Omega\right)
    =\left\{u\colon\ol\Omega\to\R\colon \Vert
    u\Vert_{C^{0,1}(\Omega)}<\infty\right\},\umbruch\\ 
    \Lip_k(\Omega):=&\,\{u\in\Lip(\Omega)\colon [u]_{0,1}\le
    k\},\umbruch\\
    \Lip(\Omega,U):=&\,\{u\in\Lip(\Omega)\colon u=U \text{ auf
    }\partial\Omega\}
    \intertext{sowie}
    \Lip_k(\Omega,U):=&\,\Lip_k(\Omega)\cap \Lip(\Omega,U).
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Definition \"andert sich nicht, wenn man zun\"achst
    Funktionen $u\colon\Omega\to\R$ betrachtet und diese danach stetig
    auf den Rand fortsetzt.
  \item Lipschitzstetige Funktionen sind fast \"uberall
    differenzierbar, siehe \cite[S. 311]{SaksTheoryIntegral}, und die
    Ableitung stimmt mit der schwachen Ableitung, die wegen
    $\Lip(\Omega)\subset W^{1,\infty}_{loc}(\Omega)$ existiert,
    \"uberein.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Zun\"achst minimieren wir $\mathcal F$ \"uber Funktionen mit
gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankter Lipschitzkonstante. F\"ur solche
Funktionen liefert uns Arzel\`a-Ascoli ein Kompaktheitsresultat. Mit
Hilfe von Proposition \ref{innen min abs prop} k\"onnen wir diese
zus\"atzliche Einschr\"ankung wieder loswerden, wenn wir geeignete
Lipschitzschranken an einen Minimierer haben.
\begin{proposition}
  \label{existenz lip k prop C1}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei
  $F\in C^1_{loc}\left(\R^n\right)$ konvex und $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $U\in\Lip_k(\Omega)$.
  Dann gibt es $u\in\Lip_k(\Omega,U)$
  mit \[\inf\limits_{\Lip_k(\Omega,U)} \mathcal
  F(\cdot,\Omega)=\mathcal F(u,\Omega).\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(u_j)\subset\Lip_k(\Omega,U)$ eine Minimalfolge
  mit \[\lim\limits_{j\to\infty} \mathcal F(u_j,\Omega)
  =\inf\limits_{\Lip_k(\Omega,U)} \mathcal F(\cdot,\Omega)=: \mu.\]
  Wegen $|Du|\le k$ fast \"uberall f\"ur $u\in\Lip_k(\Omega)$ f\"allt
  das Infimum endlich aus. Wegen \[\sup\limits_\Omega |u_j|\le
  \sup\limits_\Omega |U| +\underbrace{[u_j]_{C^{0,1}}}_{\le
    k}\cdot\diam(\Omega)\] ist $(u_j)\subset\Lip(\Omega)$
  beschr\"ankt. Nach Arzel\`a-Ascoli d\"urfen wir daher ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass $u_j\rightrightarrows u$
  (gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz) f\"ur eine Funktion
  $u\in\Lip_k(\Omega,U)$ gilt. \par Da $F$ konvex ist, gibt es eine
  Funktion $\lambda\colon\R^n\to\R^n$, so dass 
  \[F(w)\ge F(z)+\langle\lambda(z), w-z\rangle\] f\"ur alle
  $w,z\in\R^n$ gilt. Wegen $F\in C^1_{loc}$ ist $\lambda$ stetig,
  insbesondere also Borel messbar. (Hier k\"onnte man mit Hilfe von
  Theorem \ref{Borel thm} auch direkt eine Borel messbare Funktion
  $\lambda$ ausw\"ahlen, wobei wir dort $f$ als die abgeschlossene
  Menge w\"ahlen, die alle hier m\"oglichen $(z,\lambda(z))$
  enth\"alt.) Wir erhalten \[\int\limits_\Omega F(Du_j)\ge
  \int\limits_\Omega F(Du) +\int\limits_\Omega
  \langle\lambda(Du),Du_j-Du\rangle.\] Die Abbildung $x\mapsto
  \lambda(Du(x))$ ist als Verkettung einer Borel messbaren Funktion
  und einer messbaren Funktion selbst wieder messbar \cite[Theorem
  1.12]{Rudin}. Da $x\mapsto\lambda(Du(x))$ beschr\"ankt und messbar
  ist, k\"onnen wir das letzte Integral ausf\"uhren. Sei
  $\epsilon>0$. Aufgrund der Messbarkeit k\"onnen wir
  $x\mapsto\lambda(Du(x))$ zun\"achst durch stetige und dann durch
  $C^1$-Funktionen approximieren. Somit gibt es $g\in
  C^1\left(\ol\Omega,\R^n\right)$ mit \[\int\limits_\Omega
  |\lambda(Du)-g|<\epsilon.\] Es folgt \[\int\limits_\Omega
  \langle\lambda(Du),Du_j-Du\rangle \ge \int\limits_\Omega\langle
  g,Du_j-Du\rangle \underbrace{-\int\limits_\Omega
    |\lambda(Du)-g|\cdot\underbrace{|Du_j-Du|}_{\le 2k}}_{\ge-2
    k\epsilon},\] da $u_j,u\in\Lip_k(\Omega)$ sind. Da $u=u_j=U$ auf
  $\partial\Omega$ gilt, k\"onnen wir im ersten Integral partiell
  integrieren und erhalten \[\int\limits_\Omega\langle
  g,Du_j-Du\rangle =-\int\limits_\Omega(u_j-u)\divergenz g\to 0\]
  aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $u_j\rightrightarrows
  u$. Also erhalten wir \[\mu =\lim\limits_{j\to\infty} \mathcal
  F(u_j,\Omega) \ge\mathcal F(u,\Omega)-2k\epsilon.\] Da $\epsilon>0$
  beliebig war, folgt $\mathcal F(u,\Omega)=\mu$, also die Behauptung.
\end{proof}

Im Beweis von Proposition \ref{existenz lip k prop C1} haben wir auch
gleich die Unterhalbstetigkeit von $\mathcal F$ gezeigt.
\begin{corollary}[Unterhalbstetigkeit von $\mathcal F$]
  \label{F Du unterhalb stet cor}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $F\colon\R^n\to\R$ konvex und $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $k>0$ und
  $U\in\Lip_k(\Omega)$. Sei $(u_l)\subset\Lip_k(\Omega,U)$ und gelte
  $u_l\rightrightarrows u$. Dann ist \[\liminf\limits_{l\to\infty}
  \mathcal F(u_l,\Omega) \ge\mathcal F(u,\Omega).\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur $F\in C^1$ k\"onnen wir wie in Proposition \ref{existenz lip k
    prop C1} argumentieren. Sonst approximieren wir $F$ und schlie\ss{}en
  wie im Beweis von Proposition \ref{existenz lip k prop}. 
\end{proof}

Im folgenden Resultat werden wir die zus\"atzliche Annahme $F\in
C^1_{loc}$ wieder los: 
\begin{proposition}
  \label{existenz lip k prop}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt.  Sei
  $F\colon\R^n\to\R$ konvex und $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $U\in\Lip_k(\Omega)$.
  Dann gibt es $u\in\Lip_k(\Omega,U)$
  mit \[\inf\limits_{\Lip_k(\Omega,U)} \mathcal
  F(\cdot,\Omega)=\mathcal F(u,\Omega).\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $F_\epsilon$ eine glatte konvexe Approximation von $F$ mit
  $|F-F_\epsilon|\le\epsilon$ f\"ur Argumente $|\cdot|\le k$. Die
  Konvexit\"at wird bei der \"ublichen Gl\"attung mittels Faltung mit
  einer nicht-negativen Funktion $\eta_\epsilon$ nicht zerst\"ort.\par
  Sei $(u_l)_{l\in\N}\subset\Lip_k(\Omega,U)$ eine Minimalfolge f\"ur
  $\mathcal F(\cdot,\Omega)$. Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir nach
  Arzel\`a-Ascoli annehmen, dass $u_l\rightrightarrows u$ f\"ur ein
  $u\in\Lip_k(\Omega,U)$ gilt. Damit erhalten wir von der Mitte der
  Formel ausgehend mit Korollar \ref{F Du unterhalb stet
    cor} \[\liminf\limits_{l\to\infty}\mathcal F(u_l,\Omega)
  +\epsilon|\Omega|\ge \liminf\limits_{l\to\infty}\mathcal
  F_\epsilon(u_l,\Omega) \ge\mathcal F_\epsilon(u,\Omega) \ge\mathcal
  F(u,\Omega)-\epsilon|\Omega|.\] Mit $\epsilon\searrow0$ folgt der
  nichttriviale Teil der behaupteten Gleichheit.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wenn wir ab jetzt davon sprechen, dass $u$ das Funktional
    $\mathcal F$ in $\Lip_k(\Omega)$ minimiert, meinen wir damit, dass
    $u\in\Lip_k(\Omega)$ ist und dass \[\mathcal F(u,\Omega)
    \le\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{v\in\Lip_k(\Omega)}{v=u\text{
          auf }\partial\Omega}} \mathcal F(v,\Omega)\] gilt. 
  \item Offensichtlich ist, dass ein solcher Minimierer auch ein
    Minimierer von $\mathcal F(\cdot,A)$ f\"ur alle offenen Mengen
    $A\subset\Omega$ ist.
  \item Wir erwarten, dass die Lipschitzkonstante von Minimierern
    $u^k$ in $\Lip_k$ in $k$ w\"achst w\"ahrend das Minimum
    f\"allt. Dies ist beweisbar, wenn man jeweils einen Minimierer mit
    minimaler Lipschitzkonstante w\"ahlt. Jedoch haben wir einen
    Minimierer gefunden, wenn der Minimierer in $\Lip_k$ nicht mehr
    die Lipschitzkonstante $k$ besitzt (Proposition \ref{innen min abs
      prop}).
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition}
  \label{innen min abs prop}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $F\colon\R^n\to\R$ konvex und $\mathcal
  F(u,\Omega)=\int\limits_\Omega F(Du)$.  Sei $u^k$ ein Minimierer von
  $\mathcal F$ in $\Lip_k(\Omega,U)$. Gilt
  $\left[u^k\right]_{C^{0,1}}<k$, so minimiert $u^k$ das Funktional
  $\mathcal F$ in $\Lip(\Omega,U)$.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $v\in\Lip(\Omega,U)$ beliebig. Definiere
  $v_t:=u^k+t\left(v-u^k\right) =(1-t)u^k+tv$. Dann gilt $v_t=u^k=U$
  auf $\partial\Omega$. Ist $t>0$ klein genug, so erhalten wir
  $[v_t]_{C^{0,1}}<k$. Die Funktion $u^k$ minimiert $\mathcal F$ in
  $\Lip_k$. Da sich die Konvexit\"at von $F$ auf $\mathcal F$
  \"ubertr\"agt, erhalten wir \[\mathcal F\left(u^k,\Omega\right) \le
  \mathcal F(v_t,\Omega)\le(1-t)\mathcal F\left(u^k,\Omega\right)
  +t\mathcal F(v,\Omega).\] Umsortieren liefert $\mathcal
  F\left(u^k,\Omega\right) \le\mathcal F(v,\Omega)$, also die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{definition}
  Eine Funktion $w\in\Lip_k(\Omega)$ hei\ss{}t ein Super-Minimum
  (bzw.{} ein Sub-Minimum) f\"ur ein Funktional $\mathcal F$, falls
  f\"ur jedes $\theta\in\Lip_k(\Omega,w)$ mit $\theta\ge w$ (bzw.{}
  $\theta\le w$) \[\mathcal F(w,\Omega)\le\mathcal F(\theta,\Omega)\]
  folgt. 
\end{definition}

\begin{lemma}[Maximumprinzip]
  \label{max prinz lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei die Funktion
  $F\colon\R^n\to\R$ strikt konvex.  Definiere $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$.  Sei $v$ ein Super-Minimum
  und $w$ ein Sub-Minimum in $\Lip_k(\Omega)$ f\"ur $\mathcal F$. Nehme
  an, dass $w\le v$ auf $\partial\Omega$ gilt. Dann folgt $w\le v$ in
  $\Omega$.
\end{lemma}
Strikte Konvexit\"at ist hier als $F(ta+(1-t)b)< tF(a)+(1-t)F(b)$
f\"ur $t\in(0,1)$ und $a\neq b$ zu verstehen. 
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis und nehmen an,
  dass \[A:=\{x\in\Omega\colon v(x)<w(x)\}\ne\emptyset\]
  gilt. Definiere $\theta(x):=\max\{v(x),w(x)\}$. Dann ist
  $\theta\in\Lip_k(\Omega,v)$ und es gilt $\theta\ge v$ in
  $\Omega$. Da $v$ ein Super-Minimum ist, folgt $\mathcal
  F(v,\Omega)\le \mathcal F(\theta,\Omega)$. Dies ist \"aquivalent zu
  \[\mathcal F(v,A)\le \mathcal F(w,A).\] Vergleichen wir analog das
  Sub-Minimum $w$ mit $\min\{v,w\}$ in $A$, so erhalten wir $\mathcal
  F(w,A)\le\mathcal F(v,A)$. Also folgt $\mathcal F(v,A) =\mathcal
  F(w,A)$. \par Nun gilt nach Definition $w=v$ auf $\partial A$ und
  $w>v$ in $A$. Somit ist $Dw\neq Dv$ auf einer Menge von positivem
  Ma\ss{}. Damit erhalten wir aus der strikten Konvexit\"at von
  $\mathcal F$ \[\mathcal F\left(\frac{v+w}2,A\right) <\frac12\mathcal
  F(v,A) +\frac12\mathcal F(w,A) =\mathcal F(v,A).\] Die Funktion
  $u:=\frac{v+w}2$ erf\"ullt $u=v$ auf $\partial A$ und $u\ge v$ in
  $A$. Da $v$ ein Super-Minimum ist, erhalten wir \[\mathcal
  F\left(\frac{v+w}2,A\right)\ge \mathcal F(v,A).\] Wir erhalten einen
  Widerspruch zur obigen Ungleichung.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{sup super C0 Schranke lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ strikt konvex.  Definiere $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$.  Sei $v$ ein Super-Minimum
  und $w$ ein Sub-Minimum in $\Lip_k(\Omega)$ f\"ur $\mathcal F$. Dann
  gilt \[\sup\limits_\Omega(w-v) =\sup\limits_{\partial\Omega}(w-v).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst ist, da $\mathcal F$ lediglich von Gradienten abh\"angt,
  mit $v$ auch $v+\alpha$ f\"ur beliebiges $\alpha\in\R$ ebenfalls ein
  Sub-Minimum in $\Lip_k(\Omega)$. F\"ur $x\in\partial\Omega$
  gilt offensichtlicherweise \[w(x)\le
  v(x)+\sup\limits_{\partial\Omega}(w-v).\] Nach Lemma \ref{max prinz
    lem} gilt diese Ungleichung auch f\"ur beliebige
  $x\in\Omega$. Durch Umstellen und \"Ubergang zum Supremum erhalten
  wir den \glqq$\le$\grqq-Teil der Behauptung. Die andere Ungleichung
  ist trivial. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{schw mp cor}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ strikt konvex.  Definiere $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Seien $u,v$ Minimierer von
  $\mathcal F$ in $\Lip_k(\Omega)$. Dann
  gilt \[\sup\limits_\Omega|u-v| =\sup\limits_{\partial\Omega}|u-v|.\]
  Somit ist der Minimierer eindeutig bestimmt. Dies gilt, da $k$
  beliebig ist, auch in $\Lip(\Omega)$.
\end{corollary}
Ohne strikte Konvexit\"at ist dieses Resultat falsch, \zB f\"ur
$F\equiv0$. 

\subsection{Funktionen beschr\"ankter Steigung}
Um Proposition \ref{innen min abs prop} anwenden zu k\"onnen, m\"ussen
wir zeigen, dass die Steigung von Minimierern in $\Lip_k(\Omega)$
strikt kleiner als $k$ ist. Dazu m\"ussen wir insbesondere Punkte auf
dem Rand betrachten.

\begin{lemma}
  \label{rand redukt lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ strikt konvex sowie $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $u$ ein Minimierer von
  $\mathcal F$ in $\Lip_k(\Omega)$. Dann gilt \[[u]_{C^{0,1}}
  =\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in\Omega}{y\in\partial\Omega}}
  \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|}.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $x_1,x_2\in\Omega$ mit $x_1\ne x_2$. Definiere
  $\tau:=x_2-x_1$. Die Funktion $F$ h\"angt nicht von $x$ ab. Daher
  k\"onnen wir die Situation verschieben und sehen f\"ur
  $\Omega_\tau:=\left\{x\in\R^n\colon x+\tau\in\Omega\right\}$, dass 
  $u_\tau(x):=u(x+\tau)$ das Funktional $\mathcal
  F(\cdot,\Omega_\tau)$ in $\Lip_k(\Omega_\tau)$ minimiert.\par Es gilt
  $x_1\in\Omega\cap\Omega_\tau\neq\emptyset$. Sowohl $u$ als auch
  $u_\tau$ minimieren $\mathcal F$ in
  $\Lip_k(\Omega\cap\Omega_\tau)$. Nach Korollar \ref{schw mp cor}
  gibt es daher ein $x_0\in\partial(\Omega\cap\Omega_\tau)$, so dass
  \[|u(x_1)-u(x_2)| =|u(x_1)-u_\tau(x_1)| \le|u(x_0)-u_\tau(x_0)|
  =|u(x_0)-u(x_0+\tau)|\] gilt. Wegen $x_0\in\partial\Omega$ oder
  $x_0\in\partial\Omega_\tau$ gilt $x_0\in\partial\Omega$ oder
  $x_0+\tau\in\partial\Omega$. Wir dividieren nun auf beiden Seiten
  durch $|\tau|$ und erhalten 
  \[\frac{|u(x_1)-u(x_2)|}{|x_1-x_2|}\le
  \frac{|u(x_0)-u(x_0+\tau)|}{|\tau|}
  \le\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x\in\Omega}{y\in\partial\Omega}}
  \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|}.\] Dies liefert den nichttrivialen Teil
  der Behauptung. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{affin min lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ konvex.  Definiere $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$.  Dann
  minimiert \[w(x):=a+\langle z_0,x\rangle\] f\"ur $a\in\R$ und
  $z_0\in\R^n$ das Funktional $\mathcal F$ in $\Lip(\Omega)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $w\in\Lip_{|z_0|}(\Omega)$. Damit folgt aus der Behauptung
  auch, dass $w$ das Funktional $\mathcal F$ in $\Lip_k(\Omega)$ f\"ur
  alle $k\ge|z_0|$ minimiert.\par
  Sei $\eta\in\Lip(\Omega)$ mit $\eta=0$ auf $\partial\Omega$. Da $F$
  konvex ist, gibt es $\lambda\in\R^n$ mit \[F(z_0+\xi)\ge F(z_0)
  +\langle\lambda,\xi\rangle\] f\"ur beliebige $\xi\in\R^n$. Wir
  verwenden speziell $\xi=D\eta(x)$, integrieren \"uber $\Omega$
  und erhalten \[\mathcal F(w+\eta,\Omega) =\int\limits_\Omega F(z_0+D\eta)
  \ge \underbrace{F(z_0)\cdot|\Omega|}_{=\mathcal F(w,\Omega)}
  +\underbrace{\int\limits_\Omega \langle\lambda,D\eta\rangle}_{=0},\]
  wobei wir im letzten Integral partiell integriert und $\eta=0$ auf
  $\partial\Omega$ benutzt haben.   
\end{proof}

\begin{definition}
  \label{BSB def}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Wir sagen, dass
  $U\colon\partial\Omega\to\R$ eine Funktion von beschr\"ankter
  Steigung sei oder die Beschr\"ankte-Steigungs-Bedingung (BSB)
  f\"ur eine Konstante $Q\ge0$ erf\"ullt, falls es zu jedem Punkt
  $x_0\in\partial\Omega$ zwei affine Funktionen $w^+\equiv w^+_{x_0},
  w^-\equiv w^-_{x_0}\colon\R^n\to\R$ mit 
  \begin{align*}
    w^-\le&\, U\le w^+\quad\text{auf }\partial\Omega,\umbruch\\
    w^-(x_0)=&\,U(x_0)=w^+(x_0)
    \intertext{und}
    \left[w^\pm\right]_{C^{0,1}}\le&\, Q
  \end{align*}
  gibt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die BSB kann f\"ur nicht affine Funktionen $U$ nur f\"ur
    konvexe Mengen $\Omega$ erf\"ullt sein (\"Ubung).
  \item F\"ur einen $C^2$-Rand mit positiven Hauptkr\"ummungen und
    $C^2$-Funktionen $U$ ist sie erf\"ullt (\"Ubung unter Benutzung
    des folgenden Theorems. Dann ist $E$ eine Tangentialebene.).
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und
  zusammenh\"angend. Gibt es ein $c=c(\Omega)$ und f\"ur jeden Punkt
  $x_0\in\partial\Omega$ eine Hyperebene $E$ mit $x_0\in E$, so
  dass \[|x-x_0|^2\le c\cdot\dist(x,E)\quad\text{f\"ur alle
  }x\in\partial\Omega\] gilt, dann erf\"ullt $U|_{\partial\Omega}$
  f\"ur jedes $U\in C^2\left(\R^n\right)$ BSB auf $\partial\Omega$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Voraussetzung impliziert, dass $\Omega$ strikt auf einer Seite
  von $E$ liegt. Also ist $\Omega$ konvex. \par
  Da $\Omega$ beschr\"ankt ist, d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  $U\in C^2_c\left(\R^n\right)$ annehmen. Sei
  $x_0\in\partial\Omega$. Seien weiterhin ohne Einschr\"ankung $x_0=0$
  und $E=\{x^n=0\}$ und nehme an, dass
  $\partial\Omega\setminus\{0\}\subset\{x^n>0\}$ gilt. Definiere f\"ur
  $\mu\in\R$ \[w(x):=U(0)+DU(0)\langle x\rangle +\mu x^n.\] Es gilt
  $w(0)=U(0)$ f\"ur beliebige $\mu\in\R$. \par Angenommen, es gibt
  einen Punkt $y\neq0$ mit $y\in\partial\Omega$ und $w(y)=U(y)$. Dann
  folgt durch Umordnen der
  Terme \[\mu=\frac1{y^n}(U(y)-U(0)-DU(0)\langle y\rangle)
  =\frac1{2y^n} D^2U(\xi)\left\langle y,y\right\rangle\] f\"ur ein
  $\xi\in\R^n$, wobei wir f\"ur die letzte Gleichheit den
  Mittelwertsatz f\"ur $t\mapsto U(ty)$ benutzt haben. Also
  folgt \[|\mu|\le\underbrace{\frac{|y|^2}{2|y^n|}}_{\le
    c(\Omega)}\left\Vert D^2U\right\Vert_{L^\infty}.\] Also folgt
  f\"ur $\mu=\pm\left(c(\Omega)\left\Vert D^2U\right\Vert_{L^\infty}
    +1\right)$ je nach Vorzeichen $w>U$ oder $w<U$ auf
  $\partial\Omega\setminus\{x_0\}$. Direkt nach Definition von $w$
  folgt $[w]_{C^{0,1}}\le \Vert DU\Vert_{L^\infty} +1
  +c(\Omega)\left\Vert D^2U\right\Vert_{L^\infty}$. Die Funktion $w$
  erf\"ullt also die Bedingungen aus Definition \ref{BSB def}.
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{BSB exist thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ konvex.  Erf\"ulle $U\colon\partial\Omega\to\R$
  BSB mit Konstante $Q$. Dann besitzt $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$ ein Minimum $u$ in
  $\Lip(\Omega,U)$ und mindestens einer der Minimierer erf\"ullt
  $[u]_{C^{0,1}}\le Q$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir nehmen zun\"achst an, dass $F$ strikt konvex ist. Dann ist
  $\Lip_Q(\Omega,U)\neq\emptyset$, es ist
  n\"amlich \[\psi^+(x):=\inf\limits_{x_0\in\partial\Omega}
  w^+_{x_0}(x) \in\Lip_Q(\Omega,U).\] Sei $k>Q$. Nach Proposition
  \ref{existenz lip k prop} gibt es eine Funktion $u$, die $\mathcal
  F$ in $\Lip_k(\Omega,U)$ minimiert. Nach Korollar \ref{schw mp cor}
  ist dieser Minimierer eindeutig bestimmt, da $F$ strikt konvex ist.
  Nach Lemma \ref{affin min lem} sind die affinen Barrieren Minimierer
  in $\Lip_k(\Omega,w^\pm_{x_0})$ und aufgrund des Maximumprinzips,
  Lemma \ref{max prinz lem}, gilt daher \[w^-_{x_0}(x)\le u(x)\le
  w^+_{x_0}(x)\] f\"ur alle $x\in\Omega$. Wegen
  $u(x_0)=w^\pm_{x_0}(x_0)$ f\"ur $x_0\in\partial\Omega$
  folgt \[w^-_{x_0}(x)-w^-_{x_0}(x_0)\le u(x)-u(x_0)\le
  w^+_{x_0}(x)-w^+_{x_0}(x_0).\] Mit Lemma \ref{rand redukt lem} und
  da BSB mit $Q$ erf\"ullt ist liefert Proposition \ref{innen min abs
    prop}, dass $u$ der gesuchte Minimierer in $\Lip(\Omega,U)$
  ist. \par
  Falls $F$ nicht strikt konvex ist, definieren wir $F_\epsilon(p):=
  F(p)+\epsilon|p|^2$ f\"ur $\epsilon>0$. Sei $u_\epsilon$ der im
  ersten Teil gefundene Minimierer von $\mathcal F_\epsilon$ in
  $\Lip(\Omega,U)$. Da die Schranke $Q$ nicht von $\epsilon$
  abh\"angt, gilt $[u_\epsilon]_{C^{0,1}}\le Q$ f\"ur alle
  $\epsilon>0$. Aufgrund des Maximumprinzips gilt
  $\sup\limits_\Omega|u_\epsilon|
  =\sup\limits_{\partial\Omega}|U|$. Nach Arzel\`a-Ascoli finden wir
  eine Teilfolge, $(u_{\epsilon_l})_l$, die f\"ur
  $\epsilon_l\searrow0$ gleichm\"a\ss{}ig gegen ein
  $u\in\Lip_Q(\Omega,U)$ konvergiert.  Nach Korollar \ref{F Du
    unterhalb stet cor} erhalten
  wir \[\mathcal F(u,\Omega)\le\liminf\limits_{l\to\infty}\mathcal
  F(u_{\epsilon_l},\Omega).\] Wir wollen nun
  nachweisen, dass $u$ ein Minimierer von $\mathcal F$ in
  $\Lip(\Omega,U)$ ist. Wir zeigen dies f\"ur $\Lip_k(\Omega,U)$ und
  benutzen dann Proposition \ref{innen min abs prop}. Sei also
  $w\in\Lip_k(\Omega,U)$. Dann folgt \[\mathcal
  F(u_{\epsilon_l},\Omega) \le \mathcal
  F_{\epsilon_l}(u_{\epsilon_l},\Omega) \le\mathcal
  F_{\epsilon_l}(w,\Omega) \le\mathcal F(w,\Omega) +\epsilon_l\cdot
  k^2\cdot|\Omega|.\] Die Kombination der letzten beiden Ungleichungen
  liefert die Behauptung \[\mathcal F(u,\Omega)\le \mathcal
  F(w,\Omega).\qedhere\]
\end{proof}

\subsection{Die Distanzfunktion}
Um nicht mehr fordern zu m\"ussen, dass $\Omega$ konvex ist, werden
wir im n\"achsten Kapitel Barrieren konstruieren. Diese h\"angen von
der Distanzfunktion zum Rand ab. Daher werden wir uns zun\"achst mit
der Distanzfunktion besch\"aftigen. 

\begin{remark}[Generalvoraussetzung]
  \label{rand glatt vor}
  In diesem Kapitel wollen wir stets annehmen, dass
  $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und von der Klasse $C^k$ mit
  $k\ge2$ ist. \par Definiere die (signierte) Distanzfunktion
  $d\colon\R^n\to\R$ durch \[d(x):=\dist(x,\R^n\setminus\Omega)
  -\dist(x,\Omega),\] so dass $d$ in $\Omega$ positiv ist. In $\Omega$
  gilt dann auch $d(x)=\dist(x,\partial\Omega)$. \par
  Sei $\epsilon>0$. Definiere eine $\epsilon$-Umgebung des Randes
  durch \[(\partial\Omega)_\epsilon:=\{x\in\R^n\colon
  |d(x)|<\epsilon\}.\]
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{tubenumg d lem}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gibt es $\epsilon>0$, so
  dass $d$ in $(\partial\Omega)_\epsilon$ von der Klasse $C^k$
  ist. \par Solch eine Umgebung $(\partial\Omega)_\epsilon$ hei\ss{}t
  Tubenumgebung von $\partial\Omega$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $x_0\in\partial\Omega$. Dann d\"urfen wir nach einer Rotation
  und Verschiebung des Koordinatensystems ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass es $\omega\colon\R^{n-1}\to\R$
  in $C^k$ mit $D\omega(0)=0$ und \[\Omega\cap B_r(0)
  =\left\{\left(\hat x,x^n\right)\colon x^n>\omega\left(\hat
      x\right)\right\}\cap B_r(0)\] f\"ur ein $r>0$ gibt. Sei
  $\rho>0$, so dass f\"ur alle $\hat x\in B^{n-1}_\rho(0)$ auch
  $\left(\hat x,\omega\left(\hat x\right)\right)\in B_r(0)$ gilt.
  Dann ist die \"au\ss{}ere Normale an $\Omega$ f\"ur $\hat x\in
  B_\rho(0)$ durch \[\nu(\hat x,\omega(\hat x))=\frac{(D\omega(\hat
    x),-1)}{\sqrt{1+|D\omega(\hat x)|^2}}\] gegeben. Setze $\nu$ durch
  $\nu\left(\hat x,x^n\right):=\nu(\hat x,\omega(\hat x))$ nach $\R^n$
  fort.\par Definiere die Abbildung
  \begin{align*}
    \Phi\colon&\,\R^{n-1}\times\R\to\R^n \intertext{durch}
    \Phi(\hat x,t)=&\,(\hat x,\omega(\hat x)) -t\nu(\hat x,\omega(\hat
    x)), 
  \end{align*}
  wobei wir die Formel f\"ur $\nu$ auch f\"ur $x\not\in B_\rho(0)$
  verwenden.  Nat\"urlich interessieren wir uns nur dort f\"ur die
  Abbildung $\Phi$, wo $\graph\omega$ mit $\partial\Omega$
  \"ubereinstimmt.  Wir k\"onnen diese Abbildung auch auf ganz
  $\partial\Omega\times\R$ durch $\Psi(x,t):=x-t\nu(x)$
  definieren. Wir haben sie oben lediglich mit Hilfe von $\omega$
  lokal in einer Karte dargestellt. \par Wir behaupten, dass $\Phi$
  nahe $(0,0)$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Es gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    \fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t) =&\,(e_i,\omega_i) -t\nu_i
    -t\nu_n\omega_i,\umbruch\\
    \left.\fracp{}{x^i}\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,(e_i,0),\umbruch\\
    \left.\fracp{}t\Phi(\hat x,t)\right|_{(\hat x,t)=0}
    =&\,-\nu(0,0)=e_n, \intertext{also} D\Phi(0) =&\,
    \begin{pmatrix}
      \eins& 0\\ 
      0& 1
    \end{pmatrix}. 
  \end{align*}
  Somit ist $\Phi$ und daher auch $\Psi$ nach dem Satz \"uber
  implizite Funktionen ein lokaler Diffeomorphismus. Da
  $\partial\Omega$ kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte, deren
  Umgebungen, in denen $\Psi$ (bzw.{} $\Phi$) ein Diffeomorphismus
  ist, nach Projektion auf die nicht-$t$-Komponenten bereits
  $\partial\Omega$ \"uberdecken. Somit ist $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\delta,\delta)$ f\"ur ein $\delta>0$ ein
  lokaler Diffeomorphismus. Wir behaupten, dass (ggf.{} nach
  Verkleinerung von $\delta>0$) $\Psi$ sogar ein Diffeomorphismus auf
  sein Bild ist. W\"are dem nicht so, so w\"are die Injektivit\"at
  verletzt, es g\"abe also zu jedem $k\in\N$ auch
  $(x_k,t_k)\neq(y_k,\tau_k)\in\partial\Omega
  \times\left(-\frac1k,\frac1k\right)$ mit
  $\Psi(x_k,t_k)=\Psi(y_k,\tau_k)$. Nach \"Ubergang zu einer nicht
  umbenannten Teilfolge d\"urfen wir $x_k\to x\in\partial\Omega$
  annehmen. Wegen $|x_k-\Psi(x_k,t_k)|<\frac1k$ und
  $|y_k-\Psi(y_k,t_k)|<\frac1k$ folgt auch $y_k\to x$. Dies
  widerspricht aber der Tatsache, dass $\Psi$ bzw.{} $\Phi$ in einer
  geeigneten Umgebung von $(x,0)$ f\"ur einen beliebigen Punkte
  $x\in\partial\Omega$ ein lokaler Diffeomorphismus ist. Nehme also ab
  jetzt an, dass $\Psi\colon\partial\Omega\times (-\epsilon,\epsilon)
  \to\R^n$ ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist. \par Wir behaupten,
  dass f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \begin{equation}
    \label{exp abb d rel}
    \{x\in\R^n\colon d(x)=t\}
    =\Psi(\partial\Omega,t)
  \end{equation} gilt. F\"ur $t=0$ ist dies
  offensichtlich. Sei also $x\in\Psi(\partial\Omega,t)$ f\"ur ein $t$
  mit $0<|t|<\epsilon$. Da $|\nu|=1$ ist, folgt $|d(x)|\le |t|$. W\"are
  $|d(x)|<|t|$, so g\"abe es aufgrund der Kompaktheit ein
  $y\in\partial\Omega$ mit $|x-y|=|d(x)|<|t|$. Wir behaupten, dass
  $\frac{x-y}{|x-y|}=\pm\nu(y)$ gilt. Sei
  $\alpha\colon(-\delta,\delta)\to\partial\Omega$ eine $C^1$-Kurve mit
  $\alpha(0)=y$. Dann ist $|x-\alpha(\tau)|^2$ nach Definition von $d$
  f\"ur $\tau=0$ minimal. Es gilt also \[0=2\langle
  x-\alpha(0),-\alpha'(0)\rangle =-2\langle x-y,\alpha'\rangle.\] Da
  also $x-y$ zu einem beliebigen Tangentialvektor $\alpha'$ in $y$
  senkrecht steht folgt die Behauptung. Somit ist aber f\"ur ein
  geeignetes
  Vorzeichen \[\Psi(y,\pm|x-y|)=x \in\Psi(\partial\Omega,t).\] Dies
  ist jedoch nicht m\"oglich, da $|x-y|<|t|$ gilt und da $\Psi$ auf
  $\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)$ ein Diffeomorphismus
  ist. Somit folgt \glqq$\supseteq$\grqq{} in \eqref{exp abb d
    rel}.\par Die umgekehrte Inklusion funktioniert analog. F\"ur
  $x\in\R^n$ mit $|d(x)|<\epsilon$ und $d(x)\ne0$ finden 
  wir wie oben einen n\"achsten Punkt $y\in\partial\Omega$ mit
  Normalenvektor $\pm\frac{x-y}{|x-y|}$. Dann gilt $\Psi(y,d(x))=x$,
  da das Vorzeichen vor $t$ in der Definition von $\Psi$ geeignet
  gew\"ahlt ist bzw.{} da nach Definition der \"au\ss{}eren Normalen
  $x+t\nu(x)\not\in\Omega$ f\"ur kleine $t>0$ gilt. Es folgt \eqref{exp
    abb d rel}. \par 
  Damit ist $d(x)=\pi_n\Psi^{-1}(x)$, wobei $\pi_n$ die Projektion auf
  die $n$-te bzw.{} $t$-Komponente bezeichnet.\par Ist
  $\partial\Omega\in C^k$, so ist $\nu\in C^{k-1}$, $\Psi\in C^{k-1}$
  und daher auch $d\in C^{k-1}$. \par 
  Da $d$ die Abstandsfunktion zu einer Menge ist, folgt $|\nabla d|\le
  1$. Nun gilt $d(x-t\nu) =\pi_n\Psi^{-1}(x-t\nu)
  =\pi_n(x,t)=t$. Da also
  bereits $\dt d(x-t\nu)=1=\nabla d(x-t\nu)\langle-\nu\rangle$ gilt,
  verschwindet die zu $\nu$ orthogonale Komponente von $\nabla d$ und
  es gilt $\nabla d(x-t\nu)=-\nu(x)$. Wegen $\nu\in C^{k-1}$ folgt also
  auch $d\in C^k$. 
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{tuben bew bem}
  Im Beweis des Lemmas haben wir noch folgendes gezeigt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Psi\colon\partial\Omega\times(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$
    mit $(x,t)\mapsto x-t\nu(x)$ ist ein $C^{k-1}$ Diffeomorphismus auf
    sein Bild, falls $\epsilon>0$ klein genug ist.
  \item In $\Omega_\epsilon$ gilt $|\nabla d|=1$. 
  \item $\nabla d(\Psi(x,t))=-\nu(x)$. 
  \item Zu $y\in(\partial\Omega)_\epsilon$ gibt es stets einen
    eindeutig bestimmten Punkt $x=\pi(y)\in\partial\Omega$, der
    $|\pi(y)-y|$ minimiert. Es gilt also $d(y)=|\pi(y)-y|$ f\"ur
    $y\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.
  \item Daraus folgt auch $\ol{B_{d(y)}(y)}\cap\partial\Omega
    =\{\pi(y)\}$ f\"ur $x\in\Omega\cap(\partial\Omega)_\epsilon$.    
  \item Es gilt $\pi(\Psi(x,t))=x$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und
    $|t|<\epsilon$. 
  \item Es gilt $d(\Psi(x,t))=t$ f\"ur $x\in\partial\Omega$ und
    $|t|<\epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Um die zweiten Ableitungen der Distanzfunktion mit der Geometrie des
Randes in Verbindung zu bringen, ben\"otigen wir ein paar
Vorbereitungen.
\begin{lemma}
  \label{gleicher tang grad lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^1$. Seien
  $f,g\colon\R^n\to\R$ mit $f=g$ auf $\partial\Omega$. Sei
  $x_0\in\partial\Omega$ und $\xi\in T_{x_0}\partial\Omega$, \dh sei
  $\xi$ im Punkte $x_0$ ein Tangentialvektor an $\partial\Omega$. Dann
  gilt \[\langle \nabla(f-g)(x_0),\xi\rangle\equiv
  D(f-g)(x_0)\langle\xi\rangle=0.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach einer Rotation und Translation des Koordinatensystems d\"urfen
  wir annehmen, dass $x_0=0$ gilt und dass lokal in der N\"ahe des
  Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\] f\"ur
  eine $C^1$-Funktion $\omega\colon\R^n\to\R$ mit $D\omega(0)=0$
  gilt. Weiterhin d\"urfen wir annehmen, dass $\xi=e_1$ gilt. Gelte
  zus\"atzlich ohne Einschr\"ankung $g\equiv0$, denn sonst k\"onnen
  wir das Lemma f\"ur $f-g$ und $0$ statt $f$ und $g$ zeigen.\par
  Definiere $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to\R^n$ durch
  $\alpha(t)=(te_1,\omega(te_1))$. Dann ist $\alpha'(0)=e_1=\xi$ und
  es gilt $f\circ\alpha\equiv0$, falls $\epsilon>0$ so klein ist, dass
  $\alpha$ in einer Umgebung des Ursprungs bleibt, in der
  $\partial\Omega$ als $\graph\omega$ dargestellt ist. Nach
  Kettenregel erhalten wir daraus \[Df(\alpha(t))
  \langle\alpha'(t)\rangle=0\] f\"ur alle
  $t\in(-\epsilon,\epsilon)$. F\"ur $t=0$ erhalten wir die Behauptung.
\end{proof}

\begin{definition}
  \label{def hauptkr}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^2$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $0\in\partial\Omega$ und gelte in der N\"ahe des
    Ursprungs \[\Omega=\{(\hat x,x^n)\colon x^n>\omega(\hat x)\}\]
    f\"ur eine $C^2$-Funktion $\omega$ mit $D\omega(0)=0$. Dann
    definieren wir die $n-1$ Hauptkr\"ummungen
    $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ von $\partial\Omega$ in $0$ als
    die Eigenwerte von $D^2\omega(0)$.
  \item Sei $x_0\in\partial\Omega$. Dann definieren wir die
    Hauptkr\"ummungen in $x_0$ als die Eigenwerte, die wir erhalten,
    wenn wir $\Omega$ und $x_0$ mit Hilfe einer Translation und einer
    orthogonalen Transformation in die obige Situation \"uberf\"uhren.
  \item Wir definieren die mittlere Kr\"ummung $H$
    von $\partial\Omega$ als die Summe der Hauptkr\"ummungen. 
  \item Wir nennen ein Gebiet strikt konvex, wenn s\"amtliche
    Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ positiv sind.
  \end{enumerate}
\end{definition}

Das folgende Lemma zeigt, dass die Definition der Hauptkr\"ummungen
des Randes nicht von der n\"otigen Translation und Rotation abh\"angt,
da die Eigenwerte von $D^2d$ unter diesen Operationen invariant sind.
\begin{lemma}
  \label{d hauptkr lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ von der Klasse $C^2$. Sei $d\colon\R^n\to\R$
  die signierte Distanzfunktion zu $\partial\Omega$. Dann sind die
  Eigenwerte von $-D^2d$ in einem Randpunkt durch die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ und $0$ gegeben. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $|Dd|\le 1$. Im Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem} haben
  wir bereits gesehen, dass in $\Omega_\epsilon$ sogar $|Dd|=1$ gilt.
  Wir differenzieren das Quadrat dieser Gleichung und erhalten
  $0=D^2d\langle Dd\rangle\equiv \sum\limits_{j=1}^n d_{ij}d_j$. Damit
  ist der Normalenvektor $\nu=-\nabla d$ ein Eigenvektor von $D^2d$
  zum Eigenwert $0$. \par
  F\"ur den Vergleich der Eigenwerte mit den anderen Hauptkr\"ummungen
  w\"ahlen wir ein Koordinatensystem wie in der Definition der
  Hauptkr\"ummungen, Definition \ref{def hauptkr}. Zus\"atzlich
  d\"urfen wir nach einer weiteren Rotation annehmen, dass
  $D^2\omega(0)$ diagonal ist. Um die zweiten Ableitungen von $d$ zu
  bestimmen, benutzen wir, dass $\nabla d=-\nu$ auf $\partial\Omega$
  gilt. Es ist $-\nu=\frac{(-D\omega,1)} {\sqrt{1+|D\omega|^2}}$ auf
  $\partial\Omega$. Wenden wir Lemma \ref{gleicher tang grad lem}
  komponentenweise an, so sehen wir, dass $D^2d\langle\xi\rangle
  =-D\tilde\nu\langle\xi\rangle$ f\"ur beliebige Tangentialvektoren
  $\xi\in T_0\partial\Omega$ gilt, wobei wir f\"ur $\tilde\nu$ eine
  beliebige $C^1$-Fortsetzung von $\nu$ w\"ahlen
  d\"urfen. Setze \[-\tilde\nu(\hat x,x^n):=\frac{(-D\omega(\hat
    x),1)} {\sqrt{1+|D\omega|^2}}.\] Wir erhalten \[D(-\tilde\nu)(0) =
  \begin{pmatrix}
    (-\omega_{ij})&(0)\\
    (0)&0
  \end{pmatrix}.
  \]
  Die Behauptung folgt. \par Wir bemerken, dass sich die
  $0$-Eintr\"age von $D(-\tilde\nu)$ bei einer anderen
  Fortsetzung von $\nu$ \"andern k\"onnen. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}.  Sei
  $0\in\partial\Omega$.  Sei $D^2d(0)$ in einem Koordinatensystem wie
  im Beweis von Lemma \ref{d hauptkr lem} diagonal,
  \[-D^2d(0)=\diag\{\lambda_1(0),\ldots, \lambda_{n-1}(0),0\}.\] Sei
  $(\partial\Omega)_\epsilon$ eine Tubenumgebung des Randes. Dann gilt
  f\"ur $t\in(-\epsilon,\epsilon)$
  \[D^2d(te_n)
  =\diag\left\{\frac{-\lambda_1(0)}{1-t\lambda_1(0)},\ldots,
    \frac{-\lambda_n(0)}{1-t\lambda_n(0)},0\right\}.\] Allgemein gilt
  somit f\"ur $y\in\Omega_\epsilon$, dass $D^2d(y)$ die
  Eigenwerte \[\frac{-\lambda_1(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_1(\pi(y))},\ldots,
  \frac{-\lambda_n(\pi(y))}{1-d(y)\lambda_n(\pi(y))},0\] besitzt,
  wobei $\pi(y)$ die Projektion auf den n\"achsten Punkt in
  $\partial\Omega$ ist und $\lambda_i(\pi(y))$, $1\le i\le n-1$, die
  Hauptkr\"ummungen von $\partial\Omega$ in $\pi(y)$ sind.
\end{lemma}
Das folgende Argument haben wir von G. Bellettini gelernt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Aus dem Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}, siehe Bemerkung
  \ref{tuben bew bem}, folgt, dass $\pi$ in $\Omega_\epsilon$
  wohldefiniert ist. \par Sei zun\"achst $k\ge3$.  Aus $|\nabla
  d|^2=1$ erhalten wir
  \[0=\sum\limits_{l=1}^n d_{il}d_l\quad\text{und}\quad
  0=\sum\limits_{l=1}^n d_{ilj}d_l+\sum\limits_{l=1}^nd_{il}d_{lj}.\]
  Setze $D(t):=\left(d_{ij}(x-t\nu(x))\right)_{1\le i,j\le n}$ f\"ur
  $x\in\partial\Omega$. Dann folgt
  \begin{align*}
    \dot D(t) =&\,\left(\sum\limits_{l=1}^n -\underbrace{d_{ijl}(x-
        t\nu(x))}_{=d_{ilj}(x-t\nu(x))}
      \underbrace{\nu_l(x)}_{\genfrac
        {}{}{0pt}{}{=-d_l(x)} {=-d_l(x-t\nu(x))}}\right)_{i,j}\umbruch\\
    =&\,-\left(\sum\limits_{l=1}^n
      d_{il}d_{lj}(x-t\nu(x))\right)_{i,j} =-D^2(t).
  \end{align*}
  Die gew\"ohnliche Differentialgleichung $\dot f(t)=-f^2(t)$ mit
  $f(0)=a$ wird durch $f(t)=\frac a{1+ta}$ gel\"ost. Beachte, dass
  $d(x-t\nu(x))=t$ gilt. Setze $y=x-t\nu(x)$ und spezialisiere auf den
  Fall $x=0$. Somit erf\"ullen die Eintr\"age der Diagonalmatrix die
  Differentialgleichung mit dem gew\"unschten Anfangswert f\"ur
  $t=0$. Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes f\"ur L\"osungen
  gew\"ohnlicher Differentialgleichungen mit Lipschitz stetiger
  rechter Seite folgt die erste Behauptung f\"ur $k\ge3$. \par Durch
  Approximation erh\"alt man die Behauptung auch f\"ur
  $k\ge2$. Einige Details dazu sind nachfolgend aufgef\"uhrt. \par
  Da die Eigenwerte von $D^2d$ sich unter einer Rotation oder
  Translation des Koordinatensystems nicht \"andern, folgt die
  allgemeine Behauptung aus der Behauptung im diagonalen Fall.
\end{proof}

Das folgende Lemma zeigt, dass die Menge, in der eine approximierende
Funktion $\Psi_\epsilon$ von $\Psi$ ein Diffeomorphismus ist, sich im
Grenzwert nicht verkleinert. 
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $\phi\colon\Omega\to\R^n$ ein
  Diffeomorphismus auf $\im\phi$. Sei $K\Subset\Omega$. Dann gibt es
  ein $\epsilon>0$, so dass jede $C^1$-Abbildung
  $\psi\colon\Omega\to\R^n$ mit $\Vert \phi-\psi
  \Vert_{C^1(\Omega)}<\epsilon$ einen Diffeomorphismus $\psi\colon
  K\to\psi(K)$ liefert.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $K$ ohne Einschr\"ankung kompakt. F\"ur $\epsilon>0$ klein genug
  folgt $\det d\psi\neq0$ in $K$. Somit ist $\psi$ ein lokaler
  Diffeomorphismus. Wir m\"ussen also noch nachweisen, dass $\psi$
  auch injektiv ist. Aufgrund der Kompaktheit von $K$ gibt es ein
  $\delta>0$ (Le\-bes\-gue\-zahl), so dass f\"ur jedes $x\in K$ die
  Abbildung $\psi|_{B_\delta(x)}$ ein Diffeomorphismus auf ihr Bild
  ist. Seien also $x_0\ne y_0\in K$ mit $\psi(x_0)=\psi(x_0)$. Dann
  gilt $|x_0-y_0|\ge\delta$. Die Menge \[(\phi\times\phi)\{(x,y)\in
  K\times K\colon |x-y|\ge\delta\}\] ist als stetiges Bild einer
  kompakten Menge selbst wieder kompakt. Dabei haben wir
  $(\phi\times\phi)(x,y) =(\phi(x),\phi(x))$ verwendet. Da $\phi$
  injektiv ist, hat diese Menge einen positiven Abstand $\zeta>0$ zur
  Diagonalen $\{(x,x)\colon x\in\R^n\}$. Somit folgt
  $|\phi(x_0)-\phi(y_0)|\ge\zeta>0$. Wir erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,|\psi(x_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    =&\,|(\psi(x_0)-\phi(x_0)) +(\phi(x_0)-\phi(y_0))
    +(\phi(y_0)-\psi(y_0))|\umbruch\\  
    \ge&\,|\phi(x_0)-\phi(y_0)| -|\psi(x_0)-\phi(x_0)|
    -|\phi(y_0)-\psi(y_0)|\umbruch\\
    \ge&\,\zeta-2\epsilon. 
  \end{align*}
  Ist $\epsilon>0$ klein genug gew\"ahlt, so erhalten wir einen
  Widerspruch. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Approximieren wir den Rand in $C^2$, so erhalten wir f\"ur die
  zugeh\"origen Diffeomorphismen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in $C^1$. Sei
  $x$ aus $\partial\Omega$ beliebig und $y=x-t\nu(x)$ f\"ur ein
  kleines $t$. Dann ist $x=\pi_1\Psi^{-1}(y)$ und wir
  erhalten \[\nabla d(y)=\nabla d(x-t\nu(x)) =\nu(x)
  =\nu\left(\pi_1\Psi^{-1}(y)\right).\] 
  Die Rechnung
  \begin{align*}
    &\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,|\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi_\epsilon(x)|
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|\umbruch\\
    \le&\,\Vert\phi_\epsilon-\phi\Vert_{C^0}
    +|\phi\circ\psi_\epsilon(x)-\phi\circ\psi(x)|
  \end{align*}
  zeigt, dass $\phi_\epsilon\to\phi$ und $\psi_\epsilon\to\psi$ in
  $C^0$ auch $\phi_\epsilon\circ\psi_\epsilon\to\phi\circ\psi$
  impliziert. Auf Kompakta ist das Stetigkeitsmodul von $\phi$ (die
  Wahl von $\delta$ in Abh\"angigkeit von $\epsilon$ in der \"ublichen
  Stetigkeitsdefinition) gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt. Daher
  konvergiert der zweite Term auch lokal gleichm\"a\ss{}ig in $x$
  gegen Null. Analog zeigt man, dass auch $C^1$-Konvergenz unter
  Verkettungen erhalten ist, wobei man noch die Stetigkeit der
  Multiplikation ben\"otigt. \par
  Wegen $\Psi_\epsilon\to\Psi$ in $C^1$ folgt
  $\pi_2\circ\Psi^{-1}_\epsilon =d_\epsilon\to d$ in $C^1$. Wir gehen
  nun analog zum Beweis von Lemma \ref{tubenumg d lem}
  vor. Aus \[\nabla d_\epsilon
  =\nu_\epsilon\circ\pi_1\circ\Psi^{-1}_\epsilon
  \to\nu\circ\pi_1\circ\Psi^{-1} =\nabla d\quad\text{in }C^1\]
  erhalten wir lokal auch $d_\epsilon\to d$ in $C^2$.
\end{remark}

\begin{corollary}
  \label{H Delta d cor}
  Gelte Bemerkung \ref{rand glatt vor}. Dann gilt f\"ur $y$ in einer
  Tubenumgebung $(\partial\Omega)_\epsilon\cap\Omega$ \[-\Delta
  d(y)\ge H(\pi(y)),\] wobei
  $\pi\colon(\partial\Omega)_\epsilon\to\partial\Omega$ die Projektion
  auf den n\"achsten Randpunkt ist.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Aussage gilt f\"ur $y\in\partial\Omega$ mit Gleichheit und folgt
  allgemein aus \[\frac d{dt}\left(\frac{\lambda_i(\pi(y))}
    {1-t\lambda_i(\pi(y))}\right)\ge0.\qedhere\]
\end{proof}

Wir werden die Distanzfunktion insbesondere in $\Omega$ betrachten. 

\subsection{Barrieren}
Wir benutzen nun Barrieren um $\mathcal F$ auf nichtkonvexen Gebieten
$\Omega$ minimieren zu k\"onnen. 

\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ und $d$ die Distanzfunktion zu
  $\partial\Omega$. Sei $t>0$. Definiere
  \begin{align*}
    \Sigma_t:=&\,\{x\in\Omega\colon d(x)<t\},
    \intertext{und}
    \Gamma_t:=&\,\{x\in\Omega\colon d(x)=t\}. 
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{definition}[Barrieren]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Sei
  $U\colon\partial\Omega\to\R$ Lipschitz stetig und ohne
  Einschr\"ankung auf $\Omega$ fortgesetzt. Sei $t>0$.
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item Eine Lipschitz stetige Funktion $v^+\colon\ol\Sigma_t\to\R$
    hei\ss{}t obere Barriere (f\"ur ein Funktional $\mathcal F$),
    falls
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item $v^+=U$ auf $\partial\Omega$ gilt,
    \item $v^+$ in $\Sigma_t$ ein Super-Minimum ist und
    \item $v^+\ge\sup\limits_\Omega U$ auf $\Gamma_t$ gilt. 
    \end{enumerate} 
  \item Eine Lipschitz stetige Funktion $v^-\colon\ol\Sigma_t\to\R$
    hei\ss{}t untere Barriere (f\"ur ein Funktional $\mathcal F$),
    falls
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item $v^-=U$ auf $\partial\Omega$ gilt,
    \item $v^-$ in $\Sigma_t$ ein Sub-Minimum ist und
    \item $v^-\le\inf\limits_\Omega U$ auf $\Gamma_t$ gilt. 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  H\"aufig gen\"ugt es, obere Barrieren zu finden. Ist n\"amlich $v^+$
  eine obere Barriere f\"ur $-U$, so ist $-v^+$ h\"aufig eine untere
  Barriere f\"ur $U$.
\end{remark}

In Theorem \ref{BSB exist thm} konnten wir die Existenz eines
Minimierers zeigen, falls BSB erf\"ullt ist. Ein entsprechendes
Resultat bekommen wir, falls Barrieren existieren. 
\begin{theorem}
  \label{barrier exist thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei
  $F\colon\R^n\to\R$ strikt konvex.  Definiere $\mathcal
  F(u,\Omega):=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei
  $U\colon\partial\Omega\to\R$ Lipschitz stetig. Nehme an, dass es
  eine obere Barriere $v^+$ und eine untere Barriere $v^-$ in
  $\Sigma_t$ gibt. Dann besitzt $\mathcal F$ ein Minimum in
  $\Lip(\Omega,U)$.
\end{theorem}
Die strikte Konvexit\"at von $F$ ist hier wie in Lemma \ref{max prinz
  lem} als strikte Ungleichung in der definierenden Gleichung f\"ur
Konvexit\"at zu verstehen.
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere Funktionen $w^+,\,w^-\colon\ol\Omega\to\R$ durch
  \begin{align*}
    w^+(x):=
    \begin{cases}
      \min\left\{v^+(x),\sup\limits_{\partial\Omega}U\right\}
      &\text{f\"ur }x\in\ol\Sigma_t,\\
      \sup\limits_{\partial\Omega}U &\text{f\"ur
      }x\in\Omega\setminus\ol\Sigma_t 
    \end{cases}
    \intertext{sowie}
    w^-(x):=
    \begin{cases}
      \max\left\{v^-(x),\inf\limits_{\partial\Omega}U\right\}
      &\text{f\"ur }x\in\ol\Sigma_t,\\
      \inf\limits_{\partial\Omega}U &\text{f\"ur
      }x\in\Omega\setminus\ol\Sigma_t.
    \end{cases}
  \end{align*}
  Die Funktionen $w^\pm$ sind in $\ol\Omega$ Lipschitzstetig. Sei $Q$
  eine obere Schranke f\"ur beide Lipschitzkonstanten. \par Sei
  $k>Q$. Dann ist $\Lip_k(\Omega,U)\neq\emptyset$. Somit besitzt
  $\mathcal F$ nach Proposition \ref{existenz lip k prop} einen
  Minimierer $u$ in $\Lip_k(\Omega,U)$. Nach Lemma \ref{sup super C0
    Schranke lem} gilt f\"ur
  $x\in\Omega$ \[\inf\limits_{\partial\Omega} U\le
  u(x)\le\sup\limits_{\partial\Omega} U.\] Damit ist $v^-\le u\le v^+$
  auf $\partial\Sigma_t$. Nach Lemma \ref{max prinz lem} folgt \[w^-
  \le u\le w^+\quad\text{in }\Omega.\] Auf dem Rand gilt
  $w^-=u=w^+$. Daher ist $[u]_{C^{0,1}}\le Q$. Die Behauptung folgt
  nun mit Proposition \ref{innen min abs prop}.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus dem Beweis folgt, dass $w^+$ ein Super-Minimum und $w^-$
    ein Sub-Minimum ist. Somit ist es eine hinreichende und notwendige
    Bedingung f\"ur die Existenz eines Minimierers in $\Lip(\Omega,U)$
    eines Funktionals $\mathcal F$ zu einer strikt konvexen Funktion
    $F$, dass es ein Super-Minimum und ein Sub-Minimum gibt, die
    jeweils die Randwerte annehmen. \par Die noch nicht gezeigte
    Richtung folgt, da ein Minimierer auch ein Super- bzw.{}
    Sub-Minimierer ist.
  \item Theorem \ref{barrier exist thm} verallgemeinert Theorem
    \ref{BSB exist thm},
    da \[\psi^+(x):=\inf\limits_{x_0\in\partial\Omega} w^+_{x_0}(x)
    \quad\text{und}\quad \psi^-(x):=\sup\limits_{x_0\in\partial\Omega}
    w^-_{x_0}(x)\] Super- bzw.{} Sub-Minima sind. Beachte dazu, dass
    $\Gamma_t=\emptyset$ f\"ur gro\ss{}e $t>0$ gilt.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei $F\in
  C^2\left(\R^n\right)$ konvex.  Definiere $\mathcal F(u,\Omega)
  :=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $\Sigma\subset\Omega$ offen. Sei
  $v\in C^2\left(\ol\Sigma\right)$. Dann sind die folgenden Aussagen
  \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $v$ ist ein Super-Minimum in $\Sigma$.
  \item Es gilt \[\mathcal L(v):= F_{p_ip_j}(Dv)
    \fracp{^2v}{x^i\partial x^j}\le0 \quad\text{in }\Sigma.\] (Ein $v$
    mit $\mathcal L(v)\le 0$ hei\ss{}t auch eine Super-L\"osung der
    Differentialgleichung $\mathcal L(w)=0$.)
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \Hinrichtung Sei $v$ ein Super-Minimum. Sei $0\le\eta\in
  C^\infty_c(\Sigma)$. Dann besitzt 
  \begin{align*}
    g\colon&\,[0,\infty)\to\R,\\
    g(t):=&\,\mathcal F(v+t\eta,\Sigma)
  \end{align*}
  ein Minimum f\"ur $t=0$. Somit gilt $g'(0)\ge0$. Wir differenzieren
  unter dem Integral und erhalten nach partieller Integration
  \[0\le g'(0) =\int\limits_\Sigma F_{p_j}(Dv)\eta_j
  =-\int\limits_\Sigma F_{p_ip_j}(Dv)\fracp{^2v}{x^ix^j}\eta.\] Da
  dies f\"ur beliebige nichtnegative Testfunktionen gilt, folgt die
  Behauptung. \par \Rueckrichtung Analog zum Beweis der ersten
  Implikation folgt $g'(0)\ge0$. Da $t\mapsto g(t)$ konvex ist, folgt
  damit $g(1)\ge g(0)$. Somit erf\"ullt $v$ die Ungleichung f\"ur ein
  Super-Minimum, wenn die hinzuaddierte Funktion $\eta$ in
  $C^\infty_c$ ist. \par Ist $\partial\Sigma$ Lipschitz stetig, so
  k\"onnen wir $u_\epsilon\to u$ in $W^{1,2}$ mit $0\le
  u_\epsilon-v\in C^\infty_c(\Sigma)$ approximieren. Daraus folgt
  $\mathcal F(u_\epsilon)\ge\mathcal F(v)$. Da $Du_\epsilon\to Du$
  ohne Einschr\"ankung fast \"uberall punktweise gilt, folgt ebenso
  fast \"uberall punktweise $F(Du_\epsilon)\to F(Du)$. Da die
  Ableitungen beschr\"ankt sind, konvergiert $\mathcal F(v)\le\mathcal 
  F(u_\epsilon)\to\mathcal F(u)$.\par Ist schlie\ss{}lich $\Sigma$
  nicht regul\"ar, so stellen wir zun\"achst $u=v$ in einer Umgebung
  von $\partial\Sigma$ verm\"oge $\max\{u-\epsilon,v\}\to u$
  her. F\"ur $\epsilon\searrow0$ erhalten wir $W^{1,2}$-Konvergenz
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{diff ungl fuer barrieren rem}
  Somit gen\"ugt es, $v$ mit $\mathcal L(v)\le0$ und den
  Randbedingungen f\"ur eine obere Barriere auf $\partial\Sigma_t$
  f\"ur ein $t>0$ zu finden.
\end{remark}

\begin{notation}
  Setze $A^{ij}(p):=F_{p_ip_j}(p)$. Da $F$ konvex ist, ist $A^{ij}$
  positiv semidefinit. Wir wollen nun annehmen, dass $F$ in dem Sinne
  strikt konvex ist, dass Funktionen
  $\lambda,\Lambda\colon\R^n\to\R$ mit $\lambda(p)>0$ f\"ur alle
  $p\in\R^n$ und \[\lambda(p)|\xi|^2\le A^{ij}(p)\xi_i\xi_j
  \le\Lambda(p)|\xi|^2\] f\"ur alle $\xi\in\R^n$ existieren. \par Wir
  definieren die Bernsteinfunktion \[\mathcal E(p):=A^{ij}(p)p_ip_j\]
  und erhalten insbesondere $\lambda(p)|p|^2\le \mathcal E(p)\le
  \Lambda(p)|p|^2$ f\"ur alle $p\in\R^n$. 
\end{notation}

Wir wollen nun mit Hilfe der Distanzfunktion Barrieren
konstruieren. \par Sei $U\in C^2_c\left(\R^n\right)$. Wir suchen
Barrieren mit einem Ansatz der Form \[v(x)=U(x)+\psi(d(x))\] f\"ur
eine $C^2$-Funktion $\psi$ mit $\psi(0)=0$, $\psi'(t)>0$ und
$\psi''(t)<0$ f\"ur alle $0<t$ f\"ur die $\psi$ definiert ist. Es gilt
\begin{align*}
  v_i=&\,U_i +\psi'd_i,\umbruch\\
  v_{ij}=&\,U_{ij} +\psi'd_{ij} +\psi''d_id_j,\umbruch\\ 
  \mathcal L(v)=&\,A^{ij}(Dv)v_{ij} =A^{ij}U_{ij} +\psi'A^{ij}d_{ij}
  +\frac{\psi''}{(\psi')^2}A^{ij}(\psi')^2d_id_j\umbruch\\
  =&\,A^{ij}U_{ij} +\psi'A^{ij}d_{ij} +\frac{\psi''}{(\psi')^2}
  A^{ij}(v_i-U_i)(v_j-U_j)\umbruch\\ 
  =&\,A^{ij}U_{ij} +\psi'A^{ij}d_{ij}
  +\frac{-\psi''}{(\psi')^2}\big(-\underbrace{A^{ij}v_iv_j}_{=\mathcal
      E} +2A^{ij}v_iU_j -A^{ij}U_iU_j\big). 
\end{align*}
Hier haben wir den Faktor $-1$ wegen $\psi''<0$ nach vorne gezogen.
Da $U\in C^2$ ist, erhalten wir nach Definition der
Elliptizit\"atskonstanten $\Lambda$ die Absch\"atzungen
$A^{ij}U_{ij}\le c\Lambda(Dv)$ und $A^{ij}U_iU_j\le c\Lambda(Dv)$. Die
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung liefert
\begin{align*}
  \left|2A^{ij}v_iU_j\right|\le&\,
  2\sqrt{A^{ij}v_iv_j}\sqrt{A^{ij}U_iU_j} \le\frac12A^{ij}v_iv_j
  +2A^{ij}U_iU_j,
  \intertext{und somit wegen $\psi''<0$}
  \frac{-\psi''}{(\psi')^2} 2A^{ij}v_iU_j
  \le&\,\frac{-\psi''}{(\psi')^2} 2\left|A^{ij}v_iU_j\right| \le
  \frac{-\psi''}{(\psi')^2}\left(\frac12 A^{ij}v_iv_j
    +2A^{ij}U_iU_j\right). 
\end{align*}
Wir erhalten also 
\begin{align*}
  \mathcal L(v)\le &\,c\Lambda +\psi'A^{ij}d_{ij}
  +\frac{-\psi''}{(\psi')^2} \left(-\frac12 A^{ij}v_iv_j
    +A^{ij}U_iU_j\right)\umbruch\\
  \le&\,c\Lambda +\psi'A^{ij}d_{ij} +\frac{-\psi''}{(\psi')^2}
  \left(-\frac12\mathcal E+c\Lambda\right).
\end{align*}

F\"ur die weiteren \"Uberlegungen unterscheiden wir zwei F\"alle: 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\Omega$ ist konvex. Wir ben\"otigen in diesem Fall eine
  Zusatzannahme an $\Lambda$ und $\mathcal E$ und damit an $F$.
\item Sonst werden wir eine restriktivere Zusatzannahme machen. 
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[(i)]
\item \textbf{Sei $\Omega$ konvex:} Dann ist $(d_{ij})$ in einer
  Tubenumgebung des Randes negativ semidefinit. Also gilt
  $A^{ij}d_{ij}\le0$. Somit ist \[\mathcal L(v)\le
  c\Lambda+\frac{-\psi''}{(\psi')^2}\left(-\frac12\mathcal
    E+c\Lambda\right) .\] Wir nehmen an, dass
  \begin{equation}
    \label{lambda epsilon growth eq}
    \lim\limits_{|p|\to\infty} \frac{\Lambda(p)}{\mathcal E(p)}=0 
  \end{equation}
  gilt. Es gilt $|Dv|\ge\psi'-\sup\limits_\Omega|DU|$, da wir
  $\psi'>0$ angenommen haben. Nach Annahme \eqref{lambda epsilon
    growth eq} erhalten wir $c\Lambda<\frac14\mathcal E$ falls
  $\psi'\ge L$ f\"ur ein gen\"ugend gro\ss{}es $L\ge1$ ist, wobei wir
  $\Lambda$ und $\mathcal E$ an der Stelle $Dv$ auswerten. Dies wenden
  wir nun doppelt in unserer Absch\"atzung f\"ur $\mathcal L(v)$ an
  und erhalten \[\mathcal L(v)\le\frac14\mathcal E
  \left\{\frac{\psi''}{(\psi')^2} +1\right\}.\] Seien $\sigma,\,t_0>0$
  noch zu fixierende Konstanten. In $\Sigma_{t_0}$ machen wir den
  Ansatz \[\psi(d)=\log(1+\sigma d)\] f\"ur die obere Barriere. Dabei
  wollen wir annehmen, dass $t_0$ so klein ist, dass $\Sigma_{t_0}$ in
  einer Tubenumgebung enthalten ist, in der $d$ differenzierbar
  ist. Wir erhalten
  \begin{align*}
    \psi'=&\,\frac{\sigma}{1+\sigma d} \ge \frac{\sigma}{1+\sigma t_0}
    \overset!\ge L,\umbruch\\
    \psi''=&\,-\frac{\sigma^2}{(1+\sigma d)^2} =-(\psi')^2.
  \end{align*}
  Gilt $\psi'\ge L$, so folgt $\mathcal L(v)\le 0$. Damit ist
  $v=U+\psi(d)$ in $\Sigma_{t_0}$ eine Superl\"osung. F\"ur den
  Nachweis, dass es sich auch um eine obere Barriere handelt,
  betrachten wir die Randwerte auf dem \glqq inneren Rand\grqq{} von
  $\Sigma_{t_0}$. Dort gilt \[\psi(t_0)=\log(1+\sigma t_0)
  \overset!\ge\sup\limits_\Omega U-\inf\limits_\Omega U.\] Beide
  geforderten Ungleichungen k\"onnen wir erf\"ullen, indem wir
  $t_0=\frac1{\sqrt\sigma}$ fixieren und dann $\sigma\to\infty$
  betrachten. Dann gilt n\"amlich
  \begin{align*}
    \log(1+\sigma t_0) =&\,\log\left(1+\sqrt\sigma\right)\to\infty,\\
    \frac{\sigma}{1+\sigma t_0}
    =&\,\frac{\sigma}{1+\sqrt\sigma}\to\infty \qquad\text{f\"ur
    }\sigma\to\infty. 
  \end{align*}
  Damit haben wir das folgende Resultat gezeigt: 
  \begin{theorem}
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt, von der Klasse $C^2$
    und konvex. Sei $F\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ konvex, so dass
    \eqref{lambda epsilon growth eq} erf\"ullt ist. Definiere
    $\mathcal F(u,\Omega) :=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $U\in
    C^2(\R^n)$. Dann besitzt $\mathcal F(\cdot,\Omega)$ ein Minimum in
    $\Lip(\Omega,U)$.
  \end{theorem}

\item \textbf{Nichtkonvexes $\Omega$:} Wir starten hier ebenfalls bei
  der Absch\"atzung \[\mathcal L(v)\le c\Lambda +\psi'A^{ij}d_{ij}
  +\frac{-\psi''}{(\psi')^2}\left(-\frac12\mathcal
    E+c\Lambda\right).\] Benutzen wir $v_i=U_i+\psi'd_i$ und dass die
  Ableitungen von $U$ beschr\"ankt sind, so k\"onnen wir damit $\psi'$
  nach oben mit Hilfe von $|Dv|$ absch\"atzen. Weiterhin benutzen wir
  die Beschr\"anktheit der zweiten Ableitungen von $d$ und erhalten
  zun\"achst
  \[\psi'A^{ij}d_{ij}\le c(1+|Dv|)\Lambda\] und daraus \[\mathcal
  L(v)\le c(1+|Dv|)\Lambda +\frac{-\psi''}{(\psi')^2}
  \left(-\frac12\mathcal E+c\Lambda\right).\] Da wir nun nicht mehr
  nur konvexe Gebiete $\Omega$ zulassen, machen wir eine st\"arkere
  Annahme als \eqref{lambda epsilon growth eq}, n\"amlich
  \begin{equation}
    \label{ple growth eq}
    \limsup\limits_{|p|\to\infty} \frac{|p|\Lambda(p)}{\mathcal
      E(p)}<+\infty.     
  \end{equation}
  Wir w\"ahlen nun eine Testfunktion $\psi$ mit sehr gro\ss{}em
  $\psi'$. Dann folgt $|Dv|\gg1$ und somit ist $|p|\gg1$ in der
  Wachstumsbedingung. Wir erhalten mit \eqref{ple growth
    eq} \[c\Lambda \le\frac14\mathcal E\quad\text{sowie}\quad
  (1+|Dv|)\Lambda \le\frac14c\mathcal E.\] Damit folgt \[\mathcal
  L(v)\le\frac14\mathcal E\left\{\frac{\psi''}{(\psi')^2}
    +c\right\}.\] Wir w\"ahlen nun
  \begin{align*}
    \psi(d):=&\,\frac1c\log(1+\sigma d)
    \intertext{und erhalten}
    \psi'=&\,\frac1c\frac{\sigma}{1+\sigma d},\umbruch\\
    \psi''=&\,-\frac1c\frac{\sigma^2}{(1+\sigma d)^2} =-c\frac1{c^2}
    \frac{\sigma^2}{(1+\sigma d)^2} =-c(\psi')^2. 
  \end{align*}
  Aus $\frac{\psi''}{(\psi')^2}=-c$ erhalten wir $\mathcal
  L(v)\le0$. \par Wiederum m\"ussen wir durch die Wahl von $\sigma$
  und $t_0$ sicherstellen, dass $\psi'$ gro\ss{} genug ist und dass
  die Randwerte auf dem inneren Rand von $\Sigma_{t_0}$ gro\ss{} genug
  sind. Wir w\"ahlen dazu wieder $t_0=\frac1{\sqrt\sigma}$ und
  erhalten f\"ur $\sigma\to\infty$
  \begin{align*}
    \psi'\ge&\,\frac1c\frac{\sigma}{1+\sigma t_0}
    =\frac1c\frac{\sigma}{1+\sqrt\sigma} \to\infty,\umbruch\\
    \psi(t_0)=&\,\frac1c\log(1+\sigma t_0)
    =\frac1c\log\left(1+\sqrt\sigma\right)\to\infty \quad\text{f\"ur
    }\sigma\to\infty. 
  \end{align*}

  Damit haben wir folgendes Resultat f\"ur nicht notwendigerweise
  konvexe Gebiete $\Omega$ gezeigt:
  \begin{theorem}
    Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt und von der Klasse
    $C^2$.  Sei $F\in C^2_{loc}\left(\R^n\right)$ konvex, so dass
    \eqref{ple growth eq} erf\"ullt ist. Definiere $\mathcal
    F(u,\Omega) :=\int\limits_\Omega F(Du)$. Sei $U\in
    C^2(\R^n)$. Dann besitzt $\mathcal F(\cdot,\Omega)$ ein Minimum in
    $\Lip(\Omega,U)$.
  \end{theorem}
\end{enumerate}

\begin{beispiele}
  \label{wachs bed bsp}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $F$ in dem Sinne gleichm\"a\ss{}ig elliptisch, dass es ein
    $\nu>0$ mit $\lambda(p)\ge\nu\cdot\Lambda(p)$ f\"ur alle
    $p\in\R^n$ gibt. Dann folgt
    \[\frac{|p|\Lambda(p)}{\mathcal E(p)} \le
    \frac{|p|\frac1\nu\lambda(p)}{A^{ij}(p)p_ip_j}
    \le\frac{|p|\frac1\nu\lambda(p)}{|p|^2\lambda(p)} =\frac1{\nu|p|}
    \to0\quad\text{f\"ur }|p|\to\infty.\] Dies sichert, dass die
    Wachstumsbedingung \eqref{ple growth eq} erf\"ullt ist.
  \item Sei $r>1$ und $F(p)=|p|^r$. Dann erhalten wir
    \begin{align*}
      F_{p_i}=&\,r|p|^{r-1}\frac{p^i}{|p|},\umbruch\\
      F_{p_ip_j}=&\,r(r-1)|p|^{r-2}\frac{p^i}{|p|}\frac{p^j}{|p|}
      +r|p|^{r-1}\frac1{|p|} \left(\delta^{ij}
        -\frac{p^ip^j}{|p|^2}\right).
    \end{align*}
    Ist $r>1$, so erhalten wir die gleichm\"a\ss{}ige Elliptizit\"at
    im oben angegebenen Sinne. F\"ur $r=1$ w\"are $\lambda=0$ und
    f\"ur $r<1$ w\"are sogar $\lambda<0$. 
  \item Sei wiederum $r>1$. Definiere \[F(p):=
    \left(1+|p|^2\right)^{r/2}.\] Dann folgt
    \begin{align*}
      F_{p_i}=&\,\frac r2\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-1}\cdot2p^i
      =r\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-1}\cdot p^i,\umbruch\\
      F_{p_ip_j}=&\,r\left(\tfrac
        r2-1\right)\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-2}\cdot 2p^ip^j
      +r\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-1}\delta^{ij}\umbruch\\
      =&\,r(r-2)\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-2}p^ip^j
      +r\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-1}\delta^{ij}.
    \end{align*}
    Die Eigenwerte von $F_{p_ip_j}$ bez\"uglich $\delta^{ij}$ sind bis
    auf einen \"uberall auftretenden Faktor
    $r\left(1+|p|^2\right)^{\frac r2-2}$ durch
    $(r-2)|p|^2+\left(1+|p|^2\right)$ und $(n-1)$-mal $1+|p|^2$
    gegeben. \par F\"ur $r>1$ erhalten wir im obigen Sinne
    gleichm\"a\ss{}ige Elliptizit\"at. F\"ur $r=1$ gilt bis auf diese
    Konstanten $\Lambda=1+|p|^2$ und $\mathcal E=|p|^2$. Somit ist
    weder \eqref{ple growth eq} noch \eqref{lambda epsilon growth eq}
    erf\"ullt. F\"ur $r<1$ ist ein Eigenwert f\"ur gro\ss{}e Werte von
    $|p|$ negativ.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\subsection{Das Oberfl\"achenfunktional und Minimalfl\"achen}
In diesem Kapitel betrachten wir ausschlie\ss{}lich das
Oberfl\"achenfunktional \[\mathcal A(u,\Omega):=\int\limits_\Omega
F(Du)=\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\] mit
$F(p)=\sqrt{1+|p|^2}$. Wie wir bereits in den Beispielen \ref{wachs
  bed bsp} gesehen haben, ist keine der Wachstumsbedingungen
\eqref{ple growth eq} oder \eqref{lambda epsilon growth eq} erf\"ullt.

Wir machen wieder den speziellen Ansatz $v(x)=U(x)+\psi(d(x))$ mit
$\psi(0)=0$, $\psi'(t)>0$ und $\psi''(t)<0$ f\"ur alle $t\ge0$. Es
folgt
\begin{align*}
  v_i=&\,U_i+\psi'd_i,\umbruch\\
  v_{ij}=&\,U_{ij}+\psi'd_{ij} +\psi''d_id_j,\umbruch\\
  \mathcal L(v)=&\,A^{ij}v_{ij} \equiv A^{ij}(Dv)v_{ij}\umbruch\\
  =&\,A^{ij}(U_{ij}+\psi'd_{ij}) +\psi''A^{ij}d_id_j. 
\end{align*}
Wir nehmen nun an, dass es ein $c>0$ mit 
\begin{equation}
  \label{min fl ann eq}
  A^{ij}d_{ij}\le c\cdot(1+|Dv|)\cdot\lambda
\end{equation}
gibt. Es gilt $A^{ij}d_id_j\ge\lambda|Dd|^2=\lambda$. Somit erhalten
wir \[\mathcal L(v)\le c\cdot\Lambda
+\lambda\cdot\left\{c\cdot\psi'\cdot(1+|Dv|) +\psi''\right\}.\] Wir
benutzen $|Dv|\le c+\psi'$ und erhalten daraus
\[\mathcal L(v)\le\lambda\cdot\left\{\psi''+c\cdot\psi'\cdot(1+\psi')
  +c\frac{\Lambda}{\lambda}\right\}.\] Aus den Rechnungen in den
Beispielen \ref{wachs bed bsp} erhalten wir im Fall $r=1$ bis auf
irrelevante Vorfaktoren $\lambda=1$ und $\Lambda=1+|p|^2$. Daher
ist \[\frac\Lambda\lambda =1+|Dv|^2 \le 1+(c+\psi')^2 \le c+\psi'^2
\le c\psi'^2,\] wobei wir $\psi'\ge1$ angenommen haben. Es
folgt \[\mathcal L(v)\le\lambda\cdot\left\{\psi''+c\psi'^2\right\}.\]
Wie bereits im letzten Abschnitt k\"onnen wir mit
$\psi(d)=\frac1c\log(1+\sigma d)$, $t_0=\frac1{\sqrt\sigma}$ und
$\sigma\to\infty$ die Differentialungleichung $\mathcal L(v)\le0$ und
die gew\"unschte Randbedingung auf dem inneren Rand von $\Sigma_{t_0}$
bekommen. \par Wir wollen nun noch die Bedingung \eqref{min fl ann eq}
geometrisch interpretieren. Es gilt aufgrund der Rechnung in den
Beispielen \ref{wachs bed bsp} 
\begin{align*}
  A^{ij}d_{ij}=&\,F_{p_ip_j}d_{ij} =\left(1+|Dv|^2\right)^{-3/2}
  \left(\left(1+|Dv|^2\right)\delta^{ij} -v^iv^j\right)
  d_{ij}\umbruch\\
  =&\,\lambda(Dv)\cdot\left\{\left(1+|Dv|^2\right)\Delta
    d-v^iv^jd_{ij}\right\}\umbruch\\
  =&\,\lambda\cdot\left\{\left(1+|Dv|^2\right)\Delta d
    -\left(U^i+\psi'd^i\right)
    \left(U^j+\psi'd^j\right)d_{ij}\right\}\umbruch\\
  =&\,\lambda\cdot\left\{\left(1+|Dv|^2\right)\Delta d
    -U^iU^jd_{ij}\right\}, \quad\text{da }d_{ij}d^j=0,\umbruch\\
  \le&\,\lambda\cdot\left\{\left(1+|Dv|^2\right)\Delta d
    +c\right\}\umbruch\\
  \overset!\le&\,c(1+|Dv|)\cdot\lambda.
\end{align*}
Diese Ungleichung gilt sicherlich, wenn $\Delta d\le0$ in der N\"ahe
des Randes gilt. Nach Korollar \ref{H Delta d cor} ist dies erf\"ullt,
falls die mittlere Kr\"ummung $H$ des Randes \"uberall (auf
$\partial\Omega$) $H\ge0$ erf\"ullt. Dies ist f\"ur $n\ge3$ eine
schw\"achere Bedingung als die Konvexit\"at des Randes. \par
Damit folgt
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, beschr\"ankt, von der Klasse $C^2$
  und gelte $H(\partial\Omega)\ge0$. Sei $U\in
  C^2\left(\R^n\right)$. Dann besitzt das Funktional \[\mathcal
  A(u,\Omega):=\int\limits_\Omega \sqrt{1+|Du|^2}\] ein eindeutig
  bestimmtes Minimum in $\Lip(\Omega,U)$. 
\end{theorem}
Die Eindeutigkeit folgt aus der strikten Konvexit\"at von
$p\mapsto\sqrt{1+|p|^2}$. 

\section{Unterhalbstetigkeit in Sobolevr\"aumen} 
Wir folgen \cite{GiustiCalcVar}.
\subsection{Unterhalbstetigkeit}
Wir m\"ochten zeigen, dass Funktionale der Form \[\mathcal F(u)
=\mathcal F(u,\Omega) =\int\limits_\Omega F(x,u,Du)\,dx\] in $W^{1,p}$
unterhalbstetig sind.

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Funktion $\mathcal F\colon
  X\to\R\cup\{\infty\}$ hei\ss{}t unterhalbstetig, falls f\"ur alle
  $t\in\R$ die Menge \[\mathcal F_t=\{x\in X\colon \mathcal F(x)>t\}\]
  offen ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  \label{uhs aequiv bem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Forderung in der Definition der Unterhalbstetigkeit ist
    \"aquivalent zur Abgeschlossenheit der Mengen $\mathcal G_t=\{x\in
    X\colon F(x)\le t\}$. 
  \item Wir erlauben Werte in $\R\cup\{\infty\}$, wollen aber den
    trivialen Fall $\mathcal F\equiv\infty$ stets ausschlie\ss{}en.
  \item $\mathcal F$ ist genau dann unterhalbstetig, wenn der Epigraph
    \[\Sigma(\mathcal F)=\{(x,t)\in X\times\R\colon \mathcal
    F(x)\le t\}\] abgeschlossen ist: Das Komplement von
    $\Sigma(\mathcal F)$ in $X\times\R$ ist
    n\"amlich \[\bigcup\limits_{t\in\R} \mathcal
    F_t\times(-\infty,t),\] das nach Definition der
    Unterhalbstetigkeit offen ist.
  \item Ist umgekehrt $\Sigma(\mathcal F)$ abgeschlossen, so ist wegen
    $\mathcal G_t\times\{t\} =\Sigma(\mathcal F)\cap (X\times\{t\})$
    auch $\mathcal G_t$ abgeschlossen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Funktion $\mathcal F\colon
  X\to\R\cup\{\infty\}$ hei\ss{}t (folgen-)unterhalbstetig, wenn f\"ur
  jede Folge $(v_k)_k\in X$ mit $v_k\to v\in X$ \[\mathcal F(v)\le
  \liminf\limits_{k\to\infty} \mathcal F(v_k)\] gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Unterhalbstetigkeit impliziert Folgenunterhalbstetigkeit. Erf\"ullt
  $X$ das erste Abz\"ahlbarkeitsaxiom (jeder Punkt besitzt eine
  h\"ochstens abz\"ahlbare Umgebungsbasis), so sind
  Unterhalbstetigkeit und Folgenunterhalbstetigkeit \"aquivalent. Dies
  gilt insbesondere in metrischen R\"aumen. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  Seien $\mathcal F_\alpha$, $\alpha\in I$, unterhalbstetige
  Funktionen. Dann ist \[\mathcal F(x):=\sup\limits_{\alpha\in
    I} \mathcal F_\alpha(x)\] ebenfalls unterhalbstetig. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt aus \[\mathcal F_t=\{x\in X\colon \mathcal F(x)>t\}
  =\bigcup\limits_{\alpha\in I} (\mathcal F_\alpha)_t
  =\bigcup\limits_{\alpha\in I}\{x\in X\colon \mathcal
  F_\alpha(x)>t\}.\] F\"ur Folgenunterhalbstetigkeit folgt dies auch
  aus
  \begin{align*}
    \mathcal F(x) =&\,\sup\limits_{\alpha\in I}\mathcal F_\alpha(x)
    \le\sup\limits_{\alpha\in I}\liminf\limits_{k\to\infty} \mathcal
    F_\alpha(x_k)\umbruch\\
    \le&\,\liminf\limits_{k\to\infty} \sup\limits_{\alpha\in
      I}\mathcal F_\alpha(x_k) =\liminf\limits_{k\to\infty} \mathcal
    F(x_k).\\[-2.8ex]& \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $V\subset X$. Dann hei\ss{}t eine
  Folge $(x_k)_k\subset V$ Minimalfolge in $V$,
  falls \[\lim\limits_{k\to\infty} \mathcal F(x_k) =\inf\limits_V
  \mathcal F\] gilt.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $V\subset X$. Sei $\mathcal F\colon
  V\to\R\cup\{\infty\}$ unterhalbstetig. Sei $(x_k)_k\subset V$ eine
  Minimalfolge mit $x_k\to x_0\in V$. Dann ist $\mathcal
  F(x_0)=\inf\limits_V\mathcal F$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt \[\inf\limits_V\mathcal F\le \mathcal
  F(x_0)\le\liminf\limits_{k\to\infty} \mathcal F(x_k)
  =\inf\limits_V\mathcal F.\] Daraus folgt die Behauptung.
\end{proof}

\subsection{Carath\'eodory Funktionen}
Carath\'eodory Funktionen sichern, dass die Verkettung einer Funktion
mit einer messbaren Funktion wieder messbar ist. 
\begin{definition}
  Eine Funktion $F\colon\Omega\times\R^s\to\R\cup\{\infty\}$ hei\ss{}t
  Carath\'eodory Funktion, falls
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $F(\cdot,y)$ f\"ur jedes $y\in\R^s$ messbar und
  \item $F(x,\cdot)$ f\"ur fast jedes $x\in\Omega$ stetig ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $F\colon\Omega\times\R^s\to\R\cup\{\infty\}$ eine Carath\'eodory
  Funktion. Sei $y\colon\Omega\to\R^s$ messbar. Dann ist
  $g\colon\Omega\to\R\cup\{\infty\}$ mit \[g(x):=F(x,y(x))\] ebenfalls
  messbar. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir nehmen zun\"achst an, dass $y$ eine Treppenfunktion ist, \dh es
  gilt \[y(x)=\sum\limits_{i=1}^N\lambda_i\chi_i(x)\] mit
  $\lambda_i\in\R^s$ und $\chi_i\equiv\chi_{E_i}$ sind charakteristische
  Funktionen messbarer Mengen $E_i$. Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass die Mengen $E_i$ disjunkt sind und dass
  $\bigcup\limits_{i=1}^N E_i=\Omega$ gilt. Sei $t\in\R$. Dann folgt 
  \[\{x\in\Omega\colon g(x)>t\} =\bigcup\limits_{i=1}^N \{x\in
  E_i\colon F(x,\lambda_i)>t\}.\] Da $F$ eine Carath\'eodory Funktion
  ist, sind alle Mengen auf der rechten Seite dieser Gleichung
  messbar. Somit sind Urbilder offener Mengen messbar und damit ist
  $g$ messbar.\par
  Sei nun $y$ eine beliebige messbare Funktion. Dann gibt es
  Treppenfunktionen $y_k\colon\Omega\to\R^s\cup\{\infty\}$ mit
  $y_k(x)\to y(x)$ f\"ur $k\to\infty$ und jedes $x\in\Omega$.
  % Siehe Rudin, Thm. 1.17.
  Da $F$ eine Carath\'eodory Funktion ist, folgt \[F(x,y(x))
  =\lim\limits_{k\to\infty} F(x,y_k(x))\quad\text{f\"ur fast alle
  }x\in\Omega.\] Als punktweiser Grenzwert messbarer Funktionen ist
  $x\mapsto F(x,y(x))$ selbst wieder messbar. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{l1 lsc thm}
  Sei $F\colon\Omega\times\R^s\to\R_{\ge0}\cup\{\infty\}$ eine Carath\'eodory
  Funktion. Seien $y_k,y\in L^1(\Omega,\R^s)$ und gelte $y_k\to y$ in
  $L^1$. Dann folgt \[\int\limits_\Omega F(x,y(x))\,dx
  \le\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega F(x,y_k(x))\,dx.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Auswahl einer Teilfolge d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung
  annehmen, dass der Limes inferior auf der rechten Seite ein Limes
  ist. Nach \"Ubergang zu einer weiteren Teilfolge d\"urfen wir
  zus\"atzlich ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $y_k(x)\to y(x)$
  f\"ur $k\to\infty$ und fast alle $x\in\Omega$ gilt. Da $F$ eine
  Carath\'eodory Funktion ist, folgt auch $F(x,y_k(x))\to F(x,y(x))$
  f\"ur $k\to\infty$ und fast alle $x\in\Omega$. Somit erhalten wir
  die Behauptung aus dem Lemma von Fatou. 
  % Rudin Lemma 1.28
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{uhs eine var thm}
  Sei $F\colon\Omega\times\R^s\to\R_{\ge0}\cup\{\infty\}$ eine
  Carath\'eodory Funktion. Angenommen, $F(x,\cdot)$ ist f\"ur fast
  alle $x\in\Omega$ konvex. Dann ist \[\mathcal
  F(y,\Omega)=\int\limits_\Omega F(x,y(x))\,dx\] in der schwachen
  Topologie auf $L^1(\Omega,\R^s)$ unterhalbstetig.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  In Theorem \ref{l1 lsc thm} haben wir gesehen, dass $\mathcal F$ in
  $L^1$ (mit der starken Topologie) unterhalbstetig ist. Somit ist der
  Epigraph $\Sigma(\mathcal F) =\{(y,t)\in
  L^1(\Omega,\R^s)\times\R\colon \mathcal F(x,y)\le t\}$ nach
  Bemerkung \ref{uhs aequiv bem} abgeschlossen. Da $F(x,\cdot)$ f\"ur
  fast alle $x\in\Omega$ konvex ist, ist $\mathcal
  F(\cdot,\Omega)\colon L^1(\Omega,\R^s)\to\R\cup\{\infty\}$ konvex.
  Daher ist $\Sigma(\mathcal F)$ konvex. 
  Somit ist $\Sigma(\mathcal F)$ der Durchschnitt von abgeschlossenen
  Halbr\"aumen. Diese sind auch schwach abgeschlossen. Somit ist
  $\Sigma(\mathcal F)$ schwach abgeschlossen. Daher ist $\mathcal F$
  bez\"uglich der schwachen Topologie auf $L^1$ unterhalbstetig.
\end{proof}

Dies liefert die gew\"unschte Unterhalbstetigkeit, wenn $F(x,z,p)$ in
$(z,p)$ konvex ist. Ohne die Konvexit\"at in $p$ k\"onnen wir kein
solches Resultat erwarten, die Konvexit\"at in $(z,p)$ ist jedoch zu
einschr\"ankend. Da schwache Konvergenz in $W^{1,1}$ aber Konvergenz
in $L^1$ impliziert, kann man dieses Resultat mit deutlich
gr\"o\ss{}erem Aufwand auch f\"ur solche Funktionen $F$ zeigen, die
nur bez\"uglich $p$ konvex sind.

\subsection{Halbstetigkeit}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $F\colon\Omega\times M\times\R^\nu\to\R$ gegeben, wobei
    $M\subset\R^N$ abgeschlossen ist. Definiere \[
    L^1(\Omega,M):=\left\{u\in L^1\left(\Omega,\R^N\right)\colon
      u(x)\in M\quad\text{f\"ur fast alle }x\in\Omega\right\}.\] Sei
    $(u_k)_k\subset L^1(\Omega,M)$ und gelte $u_k\to u$ in
    $L^1_{loc}\left(\Omega,\R^N\right)$ f\"ur $k\to\infty$ mit $u\in
    L^1\left(\Omega,\R^N\right)$. Dann gilt f\"ur eine umbenannte
    Teilfolge $u_k(x)\to u(x)$ f\"ur fast alle $x\in\Omega$. Somit ist
    $u\in L^1(\Omega,M)$.
  \item Wir weisen auf die notationstechnische \"Uberlappung zwischen
    $p\in L^1$ und $p\mapsto F(x,z,p)$ f\"ur $p$ hin und hoffen, dass
    dies keine Verwirrung stiftet.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}
  \label{leins leins loc thm}
  Sei $F\colon\Omega\times M\times\R^\nu\to\R$ stetig. Sei
  $F\ge0$. Sei $p\mapsto F(x,z,p)$ in $C^1_{loc}$. Sei $p\mapsto
  F(x,z,p)$ konvex. Seien $u_k,u\in L^1(\Omega,M)$, $p_k,p\in
  L^1(\Omega,\R^\nu)$. Gelte $u_k\to u$ in
  $L^1_{loc}\left(\Omega,\R^N\right)$ sowie $p_k\wto p$ in
  $L^1_{loc}\left(\Omega,\R^\nu\right)$. Dann folgt \[\mathcal
  F(u,p)\equiv\int\limits_\Omega F(x,u,p)\,dx \le
  \liminf\limits_{k\to\infty} \mathcal F(u_k,p_k).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $D\Subset\Omega$. Wir d\"urfen annehmen, dass $u_k\to u$
  punktweise fast \"uberall konvergiert. Nach Egoroff gibt es zu
  $\epsilon>0$ eine messbare Teilmenge $E$ von $D$ mit $|D\setminus
  E|<\epsilon$, auf der $u_k\rightrightarrows u$ gilt. Nach Lusin gibt
  es stetige Funktionen, die mit $u$ bzw.{} $p$ au\ss{}erhalb einer
  Menge von kleinem Ma\ss{} \"ubereinstimmen. Den Schnitt dieser
  Mengen k\"onnen wir von innen durch kompakte Mengen
  approximieren. % \cite[Theorem 2.17]{Rudin}.
  \par Also finden wir zu $\epsilon>0$ eine kompakte Menge $K\subset
  D$ mit $|D\setminus K|<\epsilon$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u_k\glmto u$ in $K$,
  \item $u$ und $p$ sind in $K$ stetig und
  \item
    $\int\limits_KF(x,u,p)\,dx\ge\int\limits_DF(x,u,p)\,dx-\epsilon$
    bzw.{} 
  \item $\int\limits_DF(x,u,p)\,dx>\frac1\epsilon$, falls
    $\int\limits_K F(x,u,p)\,dx=\infty$ gilt. (Dies ist m\"oglich:
    Schneide dazu auf H\"ohe $H$ ab, so dass
    $\int\limits_\Omega\max{F,H}>\frac2\epsilon$ gilt. Benutze dann
    die \"ubliche Absolutstetigkeit und lasse am Ende wieder
    $H\to\infty$.)
  \end{enumerate}
  Es folgt
  \begin{align*}
    \int\limits_KF(x,u_k,p_k)\,dx =&\,\int\limits_K
    F(x,u_k,p)+(F(x,u_k,p_k) -F(x,u_k,p))\,dx\umbruch\\
    \ge&\,\int\limits_K F(x,u_k,p)\,dx +\int\limits_K\langle
    F_p(x,u_k,p),p_k-p\rangle\,dx\umbruch\\
    =&\,\int\limits_KF(x,u_k,p)\,dx +\int\limits_K\langle
    F_p(x,u,p),p_k-p\rangle\,dx\\ &\quad+\int\limits_K\langle
    F_p(x,u_k,p) -F_p(x,u,p),p_k-p\rangle\,dx. 
  \end{align*}
  Lasse nun $k\to\infty$.  Da $F$ stetig ist, $p$ in $K$ stetig ist
  und $u_k\glmto u$ gilt, erhalten wir f\"ur das erste Integral auf
  der rechten
  Seite \[\int\limits_KF(x,u_k,p)\,dx\to\int\limits_KF(x,u,p)\,dx.\]
  F\"ur das zweite Integral benutzen wir die Stetigkeit von
  $F_p(x,u,p)$ und die schwache Konvergenz $p_k\wto p$ in
  $L^1_{loc}$. Dieses Integral konvergiert gegen Null. Das dritte
  Integral sch\"atzen wir durch \[\Vert
  p_k-p\Vert_{L^1(K,\R^\nu)}\cdot \sup\limits_K
  |F_p(\cdot,u_k,p)-F_p(\cdot,u,p)|\] nach oben ab. Aufgrund der
  gleichm\"a\ss{}igen Konvergenz $u_k\glmto u$ und der Stetigkeit von
  $F_p$ konvergiert dies ebenfalls gegen Null. Insgesamt erhalten wir
  also \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_K F(x,u_k,p_k)\,dx
  \ge\int\limits_KF(x,u,p)\,dx
  \ge\int\limits_DF(x,u,z)\,dx-\epsilon.\] Den Fall
  $\int\limits_KF(x,u,p)\,dx=\infty$ behandelt man analog. \par Da
  $F\ge0$ ist und $\epsilon>0$ beliebig war
  folgt \[\liminf\limits_{k\to\infty} \int\limits_\Omega
  F(x,u_k,p_k)\,dx \ge\int\limits_D F(x,u,p)\,dx.\] Wir gehen nun auf
  der rechten Seite zum Supremum \"uber alle $D\Subset\Omega$ \"uber
  und erhalten die Behauptung.
\end{proof}

Wir m\"ochten nun die Stetigkeitsannahmen an $F$ und $F_p$ wieder
loswerden. Dazu schreiben wir \[\int\limits_\Omega F(x,u_k,p_k)\,dx
=\int\limits_\Omega F(x,u,p_k)\,dx +\int\limits_\Omega
(F(x,u_k,p_k)-F(x,u,p_k))\,dx.\] Die Messbarkeit des ersten
Integranden folgt, wenn wir $F$ als Carath\'eodory Funktion
bez\"uglich $x$ und $(z,p)$ voraussetzen. Nach Theorem \ref{uhs eine
  var thm} ist das erste Integral unterhalbstetig. Wir wollen daher
noch nachweisen, dass der Limes inferior des zweiten Integranden
nichtnegativ ist. 

\begin{lemma}
  \label{abgeschn folge konv lem}
  Sei $\Sigma\subset\R^n$ offen, $|\Sigma|<\infty$. Gelte $p_k\wto p$
  in $L^q(\Sigma)$ f\"ur $q\ge1$. Definiere f\"ur $L>0$
  \[p^L:=
  \begin{cases}
    p&\text{f\"ur }|p|\le L,\\
    0&\text{sonst.}
  \end{cases}
  \] Dann gibt zu jedem $L\in\N$ eine (nicht umbenannte) Teilfolge und
  ein $v^L\in L^2(\Sigma)$ mit $p_k^L\wto v^L$ in $L^2(\Sigma)$. Es
  gilt $v^L\to p$ in $L^1$ f\"ur $L\to\infty$.
\end{lemma}
Eine vektorwertige Variante diese Lemmas gilt auch.
\begin{proof}[Beweis f\"ur $q>1$]
  Wegen $|p^L_k|\le L$ und $|\Sigma|<\infty$ ist $p^L_k$ in
  $L^2(\Sigma)$ beschr\"ankt. Somit gibt es eine (nicht umbenannte)
  Teilfolge mit $p^L_k\wto v^L$ in $L^2(\Sigma)$ f\"ur ein $v^L\in
  L^2(\Sigma)$. (Wir behaupten nicht, dass $v^L=p^L$ gilt.) \par Sei
  nun $\phi\in L^\infty(\Sigma)$. Definiere
  $\Sigma_{k,L}:=\{x\in\Sigma\colon |p_k(x)|>L\}$. Dann
  folgt 
  \begin{equation}
    \label{pkplk ungl}
    \int\limits_\Sigma \left(p_k-p^L_k\right)\phi\,dx
    =\int\limits_{\Sigma_{k,L}} p_k\phi\,dx
    \le\sup|\phi|\cdot\int\limits_{\Sigma_{k,L}} |p_k|\,dx.    
  \end{equation}
  Nun ist nach Voraussetzung $p_k\in L^q$ mit $q>1$. Daher erhalten
  wir mit der H\"olderschen Ungleichung
  \[\int\limits_{\Sigma_{k,L}} |p_k|\,dx
  \le|\Sigma_{k,L}|^{1-\frac1q} \cdot\Vert p_k\Vert_{L^q(\Sigma)}.\]
  Da in $\Sigma_{k,L}$ die Ungleichung $|p_k|>L$ gilt, erhalten wir
  f\"ur das Ma\ss{} dieser Menge
  aus \[L^q\cdot|\Sigma_{k,L}|=\int\limits_{\Sigma_{k,L}}L^q\le
  \int\limits_\Sigma|p_k|^q\] und damit \[|\Sigma_{k,L}|
  \le\frac{\Vert p_k\Vert^q_{L^q(\Sigma)}}{L^q}\le c\cdot L^{-q}.\]
  Wir erhalten also zusammengenommen \[\int\limits_{\Sigma_{k,L}}
  |p_k|\,dx \le c\cdot L^{-q\left(1-\frac1q\right)} \to
  0\quad\text{f\"ur }L\to\infty,\] gleichm\"a\ss{}ig in $k$. Wir gehen
  nun in \eqref{pkplk ungl} zum Grenzwert $k\to\infty$ f\"ur festes
  $L\in\N$ \"uber. Da $p_k\wto p$ und $\phi\in L^\infty\subset
  L^{q^*}$ ist, konvergiert der erste Summand. Analog konvergiert der
  zweite Summand. Wir erhalten \[\int\limits_\Sigma
  \left(p-v^L\right)\phi\, dx\le c\cdot\sup|\phi|\cdot
  L^{-q\left(1-\frac1q\right)}.\] W\"ahle nun \[\phi(x):=
  \begin{cases}
    1&\text{f\"ur }\left(p-v^L\right)(x)>0,\\
    -1&\text{sonst.}
  \end{cases}\]
  Damit folgt \[\int\limits_\Sigma\left|p-v^L\right|\le c\cdot
  L^{-q\left(1-\frac1q\right)}.\]
  Dies liefert die Behauptung. 
\end{proof}

Den Beweis im Fall $q=1$ erhalten wir als einfache Variation des
Beweises f\"ur $q>1$ unter Benutzung des folgenden Lemmas f\"ur die
Absch\"atzung von $\int\limits_{\Sigma_{k,L}}|p_k|\,dx$. 
\begin{lemma}
  Sei $\Sigma\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt. Gelte $f_k\wto f$ in
  $L^1(\Sigma)$. Dann gelten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\Vert f_k\Vert_{L^1}$ ist gleichm\"a\ss{}ig in $k$
    beschr\"ankt.
  \item Die Funktionen $A\mapsto\int\limits_A|f_k|$ sind
    gleichm\"a\ss{}ig in $k$ absolutstetig, \dh f\"ur beliebiges
    $\epsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass f\"ur alle messbaren
    Mengen $B\subset\Sigma$ mit $|B|<\delta$ auch
    $\int\limits_B|f_k|<\epsilon$ f\"ur alle $k$ folgt. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus der Funktionalanalysis bekannt.
  \item Dies folgt aus dem nachfolgend angegebenen Satz von
    Vitali-Hahn-Sachs, Theorem \ref{vit hahn sachs thm}. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \label{L1 metr raum}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ messbar. Dann ist die
  Menge aller messbaren Teilmengen von $\Omega$ mit \[d(E,F):=
  \arctan\int\limits_\Omega |\chi_E-\chi_F|\] ein vollst\"andiger
  metrischer Raum. \par
  \"Ubung; benutze die Vollst\"andigkeit von $L^1$ und dass
  $L^1$-konvergente Folgen fast \"uberall punktweise konvergente
  Teilfolgen besitzen.
\end{remark}

Das nachfolgende Theorem zeigen wir nur f\"ur Teilmengen des $\R^n$
und das Lebesguema\ss{}, siehe \cite[Theorem III.7.2,
S. 158]{DunfordSchwartzI} f\"ur die allgemeine Formulierung. 
\begin{theorem}[Vitali-Hahn-Sachs]
  \label{vit hahn sachs thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ messbar. Seien $f_i,f\in L^1(\Omega)$,
  $i\in\N$. Gilt $f_i\wto f$ in $L^1(\Omega)$, dann sind die
  Funktionen $f_i$ gleichm\"a\ss{}ig absolutstetig, \dh es gilt 
  \[\lim\limits_{\delta\searrow 0} \sup\limits_{|E|<\delta}
  \sup\limits_{i\in\N} \int\limits_E|f_i|=0,\] wobei wir das Supremum
  \"uber alle messbaren Teilmengen $E\subset\Omega$ genommen haben.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte den Raum der messbaren Teilmengen $\Sigma$ von $\Omega$
  mit der Metrik aus Bemerkung \ref{L1 metr raum}. F\"ur $\epsilon>0$
  und $n,m\in\N$ definieren
  wir \[\Sigma_{n,m}:=\left\{E\in\Sigma\colon \left|\int\limits_E
      f_n-f_m\right|\le\epsilon\right\}.\] Wegen $f_i\in L^1$ ist dies
  eine abgeschlossene Teilmenge von $\Sigma$. Definiere weiterhin
  f\"ur $p\in\N$ die abgeschlossenen
  Teilmengen \[\Sigma_p=\bigcap\limits_{n,m\ge p} \Sigma_{n,m}.\]
  F\"ur eine beliebige fixierte Menge $E$ existiert
  $\lim\limits_{i\to\infty} \int\limits_Ef_i$. Daher folgt
  $\Sigma=\bigcup\limits_{p\in\N}\Sigma_p$. Nach dem Baireschen
  Kategoriesatz existiert daher eine Menge $\Sigma_q$ mit einem
  inneren Punkt $A\subset\Omega$. Daher gibt es ein $r>0$, so dass aus
  $|A\vartriangle E|<r$, $E\subset\Omega$
  messbar, \[\left|\int\limits_Ef_n-f_m\right|\le\epsilon
  \quad\text{f\"ur }n,m\ge q\] folgt. W\"ahle $0<\delta<r$, so
  dass \[\left|\int\limits_B f_n\right|<\epsilon\] f\"ur alle
  $n\in\N_{\le q}$ und alle messbaren Mengen $B\subset\Omega$ mit
  $|B|<\delta$ folgt. Aus $|B|<\delta$ folgen $|(A\cup B)\vartriangle
  A|<\delta<r$ sowie $|(A\setminus B)\vartriangle A|<\delta<r$.  Wir
  erhalten nun f\"ur beliebiges $n\in\N$
  \begin{align*}
    \int\limits_Bf_n=&\,\int\limits_B f_q+\left(\,\int\limits_B f_n
      -f_q\right)\umbruch\\
    =&\,\int\limits_Bf_q +\left(\,\,\int\limits_{A\cup
        B}f_n-f_q\right)
    -\left(\,\,\int\limits_{A\setminus B}f_n-f_q\right).
  \end{align*}
  Damit folgt $\left|\int\limits_Bf_n\right|<3\epsilon$ f\"ur
  beliebige $n\in\N$ und durch Auf{}teilung von $B$ je nach Vorzeichen
  von $f_n$ auch $\int\limits_B|f_n|<6\epsilon$ wie behauptet.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{stet komp uhs lem}
  Sei $K\subset\R^n$ kompakt. Sei $F\colon K\times M\times\R^\nu\to\R$
  stetig und nichtnegativ. Sei $p\mapsto F(x,z,p)$ f\"ur alle
  $(x,z)\in K\times M$ konvex. Nehme an, dass $u_h\to u$ in
  $L^\infty(K,M)$ und $p_h\wto p$ in $L^q(K,\R^\nu)$ f\"ur ein $q\ge1$
  konvergieren. Dann gilt
  \[\int\limits_K F(x,u,p)\,dx\le \liminf\limits_{h\to\infty}
  \int\limits_K F(x,u_h,p_h)\,dx.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass der Limes inferior
  auf der rechten Seite ein Limes ist. Sei $R\ge\sup\limits_h\Vert
  u_h\Vert_{L^\infty\left(K,\R^N\right)}$. Definiere $M_R:=M\cap
  \ol{B_R(0)}$. Definiere weiterhin \[T:=\sup\limits_{(x,z)\in K\times
    M_R} F(x,z,0) \quad\text{und}\quad\Lambda:=\sup\limits_h\Vert
  p_h\Vert_{L^q(K,\R^\nu)}.\] Wir setzen $K_{h,L}:=\{x\in
  K\colon|p_h(x)|>L\}$. Dann folgt aus \[\Lambda^q
  \ge\int\limits_{K_{h,L}} |p_h|^q\ge\int\limits_{K_{h,L}} L^q
  =|K_{h,L}|\cdot L^q\] die Absch\"atzung $|K_{h,L}|\le
  \left(\frac\Lambda L\right)^q$. Seien $p^L_h,\,v^L$ wie in Lemma
  \ref{abgeschn folge konv lem}. Dann folgt aus Lemma \ref{abgeschn
    folge konv lem} $v^L\to p$ in $L^1$. Nach Theorem \ref{l1 lsc thm}
  oder Theorem \ref{uhs eine var thm} erhalten wir somit
  \begin{equation}
    \label{liminf 1 eq}
    \int\limits_KF(x,u,p)\,dx\le \liminf\limits_{L\to\infty}
    \int\limits_K F(x,u,v^L)\,dx.
  \end{equation}
  Lemma \ref{abgeschn folge konv lem} liefert ebenso $p^L_h\wto v^L$
  in $L^2(K)$ f\"ur $h\to\infty$ und wir erhalten wieder mit Theorem
  \ref{uhs eine var thm}
  \begin{equation}
    \label{liminf 2 eq}
    \int\limits_K F\left(x,u,v^L\right)\,dx\le
    \liminf\limits_{h\to\infty} \int\limits_K
    F\left(x,u,p^L_h\right)\,dx.
  \end{equation}
  Andererseits ist $F\ge0$. Daher erhalten wir 
  \begin{align}
    \int\limits_KF\left(x,u,p^L_h\right)\,dx
    =&\,\int\limits_KF\left(x,u_h,p^L_h\right)\,dx +\int\limits_K
    \left[F\left(x,u,p^L_h\right)
      -F\left(x,u_hp^L_h\right)\right]\,dx\nonumber\umbruch\\ 
    \label{aufspalt eq}
    \le&\,\int\limits_KF(x,u_h,p_h)\,dx +\int\limits_{K_{h,L}}
    F(x,u_h,0)\,dx\\
    &\quad+\int\limits_K\left[F\left(x,u,p^L_h\right)
      -F\left(x,u_h,p^L_h\right)\right]\,dx.     
    \nonumber
  \end{align}
  Dabei haben wir bei der Ungleichung das erste Integral je nachdem
  aufgespalten, ob $\left|p^L_h\right|>L$ gilt oder nicht. Nach
  Voraussetzung gilt $u_h\glmto u$ fast \"uberall. Auf der kompakten
  Menge $K\times M_R\times \ol{B^\nu_L(0)}$ ist $F$ gleichm\"a\ss{}ig
  stetig. Daher konvergiert der Integrand im letzten Integral f\"ur
  $h\to\infty$ gleichm\"a\ss{}ig gegen Null. Somit konvergiert dieses
  Integral f\"ur $h\to\infty$ gegen
  Null, \[\int\limits_K\left[F\left(x,u,p^L_h\right)
    -F\left(x,u_h,p^L_h\right)\right]\,dx
  \underset{h\to\infty}{\longrightarrow}0.\] Weiterhin
  gilt \[\int\limits_{K_{h,L}}F(x,u_h,0)\,dx \le
  |K_{h,L}|\cdot\sup\limits_{K\times M_R} F(\cdot,\cdot,0) \le
  \left(\frac\Lambda L\right)^q\cdot T.\] Somit erhalten wir mit
  \eqref{liminf 2 eq} und \eqref{aufspalt eq}
  \begin{align*}
    \int\limits_K F\left(x,u,v^L\right)\,dx\le&\, \liminf_{h\to\infty}
    \int\limits_K F\left(x,u,p^L_h\right)\,dx\umbruch\\
    \le&\,\liminf_{h\to\infty} \int\limits_K F(x,u_h,p_h)\,dx
    +T\cdot\left(\frac\Lambda L\right)^q
  \end{align*}
  Nach \eqref{liminf 1 eq} folgt weiter
  \begin{align*}
    \int\limits_K F(x,u,p)\,dx \le&\,\liminf\limits_{L\to\infty}
    \int\limits_K F\left(x,u,v^L\right)\,dx\umbruch\\
    \le&\,\liminf\limits_{h\to\infty} \int\limits_K
    F(x,u_h,p_h)\,dx.
  \end{align*}
  Dies ist die Behauptung. 
\end{proof}

Als Verallgemeinerung des Lemmas von Lusin erhalten wir 
\begin{lemma}
  \label{lusin verallg lem}
  Sei $\Sigma\subset\R^n$ messbar, $|\Sigma|<\infty$. Sei
  $S\subset\R^s$. Sei $h\colon\Sigma\times S\to\R$ f\"ur jedes $y\in
  S$ in $x\in\Sigma$ messbar und f\"ur fast alle $x\in\Sigma$ in $y\in
  S$ gleichm\"a\ss{}ig stetig.\par Dann gibt es f\"ur beliebige
  $\delta>0$ eine kompakte Teilmenge $K\subset\Sigma$ mit
  $|\Sigma\setminus K|<\delta$, so dass $h|_{K\times S}$ stetig ist. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere f\"ur $i\in\N$ \[\omega_i(x):=\sup \left\{|h(x,y_1)
    -h(x,y_2)|\colon y_1,\,y_2\in S,\quad
    |y_1-y_2|<\tfrac1i\right\}.\] Da $h(x,\cdot)$ f\"ur fast alle
  $x\in \Sigma$ gleichm\"a\ss{}ig stetig ist, folgt $\omega_i\to0$
  fast \"uberall in $\Sigma$. (Die Messbarkeit von $\omega_i$ folgt,
  da wir das Supremum f\"ur fast alle $x\in\Sigma$ als Supremum \"uber
  eine abz\"ahlbare dichte Teilmenge bekommen und somit als Limes
  superior schreiben k\"onnen.)  Nach Egoroff gibt es eine messbare
  Menge in $\Sigma$, deren Ma\ss{} nur geringf\"ugig kleiner als das
  von $\Sigma$ ist, in der die Funktionen $\omega_i$ gleichm\"a\ss{}ig
  konvergieren. Somit gibt es eine kompakte Menge $K_1\subset\Sigma$
  mit $|\Sigma\setminus K_1|<\frac \delta2$, auf der $\omega_i\glmto0$
  gilt. Dies bedeutet, dass $h(x,\cdot)$, $x\in K_1$, eine
  (gleichm\"a\ss{}ig) gleichgradig stetige Familie von Funktionen
  ist. \par
  Sei nun $\tilde S=\{\tilde y_1,\tilde y_2,\ldots\}$ eine abz\"ahlbar
  dichte Teilmenge von $S$ und seien $\delta_j>0$ mit
  $\sum\limits_{j=1}^\infty \delta_j<\frac\delta 2$. Nach dem Satz von
  Lusin gibt es kompakte Mengen $\tilde K_j\subset\Sigma$,
  $j\in\N\setminus\{0\}$, mit $\big|\Sigma\setminus\tilde
  K_j\big|<\delta_j$ so dass $h(\cdot,\tilde y_j)$ in $\tilde K_j$
  stetig ist. \par Definiere $K_2:=\bigcap\limits_{j=1}^\infty \tilde
  K_j$. Dann ist $K_2\subset\Sigma$ kompakt, es gilt $|\Sigma\setminus
  K_2|<\frac\delta2$ und die Funktionen $h(\cdot,\tilde y_j)$,
  $j\in\N\setminus\{0\}$, sind in $K_2$ stetig. \par Setze $K:=K_1\cap
  K_2$. Wir wollen nun nachweisen, dass $h$ auf $K\times S$ stetig
  ist. Sei dazu $((x_n,y_n))_n\subset K\times S$ eine Folge mit
  $(x_n,y_n)\to(x,y)\in K\times S$. Dann folgt \[|h(x_n,y_n)-h(x,y)|
  \le\underbrace{|h(x_n,y_n)-h(x_n,y)|}_{\to0} +|h(x_n,y)-h(x,y)|.\]
  Da die Funktionen $h(x,\cdot)$ f\"ur beliebiges $x\in K\subset K_1$
  (gleichm\"a\ss{}ig und damit insbesondere in $y\in S$) gleichgradig
  stetig sind, konvergiert der erste Term wie angegeben gegen
  Null. Betrachte nun den zweiten Term. Dazu w\"ahlen wir zun\"achst
  $\tilde y\in\tilde S$, so dass \[|h(x,\tilde y)-h(x,y)|
  <\tfrac\epsilon2\] f\"ur alle $x\in K$ gilt. Dies ist aufgrund der
  gleichgradigen Stetigkeit von $h(x,\cdot)$ und der Dichtheit von
  $\tilde S$ in $S$ m\"oglich. Dann folgt
  \begin{align*}
    |h(x_n,y)-h(x,y)| \le&\,|h(x,\tilde y)-h(x,y)| +|h(x_n,\tilde
    y)-h(x,\tilde y)|\\ &\quad+|h(x_n,\tilde y)-h(x_n,y)|\umbruch\\
    \le&\,\tfrac\epsilon2 +\underbrace{|h(x_n,\tilde y)-h(x,\tilde
      y)|}_{\to 0} +\tfrac\epsilon2,
  \end{align*}
  wobei wir f\"ur den mittleren Term die Stetigkeit von
  $h(\cdot,\tilde y)$ f\"ur ein beliebiges $\tilde y\in\tilde S$
  benutzt haben. Somit folgt \[\limsup\limits_{n\to\infty}
  |h(x_n,y_n)-h(x,y)|<\epsilon.\] Wir erhalten die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{theorem}[Unterhalbstetigkeit]
  \label{uhs thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $M\subset\R^N$ abgeschlossen. Sei
  $F\colon\Omega\times M\times\R^\nu\to\R$ eine Funktion mit den
  folgenden Eigenschaften
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $F\colon\Omega\times\left(M\times\R^\nu\right)\to\R$ ist eine
    Carath\'eodory Funktion, \dh $x\mapsto F(x,z,p)$ ist f\"ur alle
    $(z,p)\in M\times\R^\nu$ messbar und $(z,p)\mapsto F(x,z,p)$ ist
    f\"ur fast alle $x\in\Omega$ stetig. 
  \item $p\mapsto F(x,z,p)$ ist f\"ur fast alle $x\in\Omega$ und f\"ur
    alle $z\in M$ konvex.
  \item $F\ge0$. 
  \end{enumerate}
  Seien $u_h,\,u\in L^1(\Omega,M)$ und $p_h,p\in
  L^1\left(\Omega,\R^\nu\right)$. Nehme an, dass $u_h\to u$ in
  $L^1_{loc}(\Omega,M)$ und $p_h\wto p$ in
  $L^1_{loc}\left(\Omega,\R^\nu\right)$ gelten. Dann
  folgt \[\int\limits_\Omega F(x,u,p)\,dx
  \le\liminf\limits_{h\to\infty} \int\limits_\Omega
  F(x,u_h,p_h)\,dx.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere \[\mathcal F(u,p,A):=\int\limits_A F(x,u,p)\,dx.\] Wir
  d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass der
  Grenzwert \[\lim\limits_{h\to\infty} \mathcal
  F(u_h,p_h,\Omega)=:\lambda\in\R\cup\{\infty\}\] existiert. Weiterhin
  d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung annehmen, dass $u_h\to u$ fast
  \"uberall in $\Omega$ gilt. \par Sei
  $\tilde\Omega\Subset\Omega$. Wir unterscheiden zwei F\"alle: Sei
  $\mathcal F\big(u,p,\tilde\Omega\big)<\infty$. Dann gibt es
  aufgrund der Absolutstetigkeit des Integrals zu jedem $\epsilon>0$
  ein $\delta>0$, so dass f\"ur $\Sigma\subset\tilde\Omega$ mit
  $|\Sigma|<\delta$ auch $\mathcal F(u,p,\Sigma)<\epsilon$ folgt.
  % Rudin Thm. 6.11
  \par Ist $\mathcal F\big(u,p,\tilde\Omega\big)=\infty$, so gibt
  es ebenso zu jedem $\epsilon>0$ ein $\delta>0$, so dass aus
  $\Sigma\subset\tilde\Omega$ und $|\Sigma|<\delta$ noch $\mathcal
  F\big(u,p,\tilde\Omega\setminus\Sigma\big)>\frac1\epsilon$
  folgt. \par Nun gibt es eine kompakte Menge $K\subset\tilde\Omega$
  mit $\big|\tilde\Omega\setminus K\big|<\delta$ 
  und ein $R>0$, so dass die folgenden Bedingungen erf\"ullt sind:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $u_h,u\in C^0(K,M)$ (Lusin; betrachte eine Folge kompakter
    Mengen $K_h$ mit $\big|\tilde\Omega\setminus K_h\big|<
    \tilde\delta\cdot 2^{-h}$, $\tilde\delta>0$ geeignet, und dann den
    Durchschnitt), $\sup\limits_K|u|\le R$ (klar) und
    $\sup\limits_K|u_h|\le R$ (mit der Konvergenz im n\"achsten
    Punkt).
  \item $u_h\glmto u$ in $K$ (Egoroff).
  \item $F$ ist auf $K\times M\times\R^\nu$ stetig (benutze Lemma
    \ref{lusin verallg lem}; die gleichm\"a\ss{}ige Stetigkeit im
    Argument \glqq$(z,p)$\grqq{} erhalten wir, indem wir zun\"achst
    $|z|,\,|p|\le L$ betrachten, aus dem Lemma Mengen
    $K_L\subset\tilde\Omega$ mit $\big|\tilde\Omega\setminus
    K_L\big|\le\tilde\delta\cdot 2^{-L}$ erhalten, so dass $F$ auf
    $K_L\times \big(M\cap\ol{B_L(0)}\big)
    \times\big(\R^\nu\cap\ol{B_L(0)}\big)$ stetig ist und dann den
    Schnitt $\bigcap\limits_LK_L=:K$ w\"ahlen).
  \item $p\mapsto F(x,z,p)$ ist f\"ur alle $(x,z)\in K\times M$
    konvex. 
  \end{enumerate}
  Um alle diese Aussagen gleichzeitig zu bekommen, m\"ussen wir die
  kompakten Mengen f\"ur jede der drei Teilaussagen am Ende noch
  schneiden. Ist $\tilde\delta=\tilde\delta(\delta)>0$ klein genug, so
  ist auch $\big|\tilde\Omega\setminus K\big|<\delta$ erf\"ullt. \par
  Nun erhalten wir aus Lemma \ref{stet komp uhs lem}
  \begin{align*}
    \mathcal F(u,p,K)\equiv&\, \int\limits_K F(x,u,p)\,dx \le
    \liminf\limits_{h\to\infty} \int\limits_K F(x,u_h,p_h)\,dx\umbruch\\
    \equiv&\,\liminf\limits_{h\to\infty} \mathcal
    F(u_h,p_h,K)\le\lambda.
  \end{align*}
  Also erhalten wir im Falle $\mathcal
  F\big(u,p,\tilde\Omega\big)<\infty$ \[\mathcal
  F\big(u,p,\tilde\Omega\big)\le\lambda+\epsilon\]
  f\"ur alle $\tilde\Omega\Subset\Omega$. Daraus folgt die
  Behauptung. \par Ist $\mathcal F\big(u,p,\tilde\Omega\big)=\infty$,
  so folgt aus der obigen Ungleichung \[\tfrac1\epsilon\le \mathcal
  F(u,p,K)\le\lambda.\] Also ist $\lambda=\infty$ und die Behauptung
  gilt trivialerweise. 
\end{proof}

% Vergleiche Giusti f\"ur Abschw\"achungen an die Voraussetzungen. 

Aufgrund des Rellichschen Einbettungssatzes (wir ben\"otigen keine
Voraussetzung an die Randregularit\"at, da es um lokale Konvergenz
geht) folgt aus der schwachen Konvergenz in $W^{1,1}_{loc}$ die starke
Konvergenz in $L^1_{loc}$ und wir erhalten
\begin{corollary}
  Seien $F$, $\Omega$ und $M$ wie in Theorem \ref{uhs thm}. Dann
  ist \[\mathcal F(u,\Omega) =\int\limits_\Omega F(x,u(x),Du(x))\,dx\]
  in der schwachen Topologie auf $W^{1,1}_{loc}(\Omega,M)$
  unterhalbstetig. 
\end{corollary}

\subsection{Dualr\"aume von Sobolevr\"aumen}
\label{Wmp dual kap}
Als technische Vorbereitung f\"ur den folgenden Existenzsatz geben wir
eine Beschreibung f\"ur $(W^{m,p}(\Omega))^*$. 

\begin{remark}
  \label{iota rem}
  Wir wollen $W^{m,p}(\Omega)$ als abgeschlossenen Teilraum in einem
  Produktraum von $L^p(\Omega)$ auf{}fassen. Definiere
  $N:=\sum\limits_{0\le|\alpha|\le m} 1$ als die Anzahl der
  Multiindices $\alpha$ mit $|\alpha|\le m$. Definiere
  \begin{align*}
    L^p_N(\Omega):=&\,\prod\limits_{i=1}^N L^p(\Omega)\umbruch
    \intertext{mit der Norm}
    \Vert u\Vert_{L^p_N(\Omega)}:=&\,
    \begin{cases}
      \left(\sum\limits_{|\alpha|\le m} \Vert
        v_\alpha\Vert_{L^p(\Omega)}^p \right)^{1/p}
      &\text{f\"ur }1\le p<\infty,\\
      \max\limits_{|\alpha|\le m} \Vert
      v_\alpha\Vert_{L^\infty(\Omega)} 
      &\text{f\"ur }p=\infty
    \end{cases}
  \end{align*}
  f\"ur $v=(v_\alpha)_\alpha \in L^p_N(\Omega)$. Definieren wir
  $\iota\colon W^{m,p}(\Omega)\to L^p_N(\Omega)$ durch $u\mapsto
  (D^\alpha u)_{\alpha}$, so ist $\iota$ linear, injektiv, stetig und
  normerhaltend. Daher ist das Bild von $\iota$ in $L^p_N(\Omega)$
  abgeschlossen. 
\end{remark}

\begin{lemma}
  \label{prod dual lem}
  Seien $(E_i)_{1\le i\le N}$ Banachr\"aume. Dann
  gilt \[\left(\prod\limits_{i=1}^N E_i\right)^*\cong
  \prod\limits_{i=1}^N E_i^*.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zu $T\in (\prod E_i)^*$ definieren wir $(\phi_i)_{1\le i\le N}
  \in\prod E_i^*$ durch \[\phi_i(x_i) :=T(0,\ldots,0,
  x_i,0,\ldots,0).\] Diese Zuordnung ist linear, injektiv und
  surjektiv. Die Stetigkeit folgt aus
  \begin{align*}
    \Vert T\Vert =&\,\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Tx\Vert
    =\sup\limits_{\left(\sum\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}=1}
    \left|\sum\limits_{i=1}^N
      T(0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)\right|\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{\left(\sum\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}=1}
    \left|\sum\limits_{i=1}^N\phi_i(x_i)\right|
    \le\sup\limits_{\left(\sum\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}=1}
    \sum\limits_{i=1}^N|\phi_i(x_i)|\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\left(\sum\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}=1}
    \sum\limits_{i=1}^N\Vert\phi_i\Vert\cdot\Vert(x_i)\Vert\umbruch\\
    \le&\,\sup\limits_{\left(\sum\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}=1}
    \left(\sum\limits_{i=1}^N\Vert\phi_i\Vert^q\right)^{1/p}
    \cdot\left(\sum\limits_{i=1}^N\Vert x_i\Vert^p\right)^{1/p}
    =\Vert(\Vert\phi_i\Vert)_i\Vert_{\ell^q} \intertext{f\"ur
      beliebige konjugierte $p$, $q$ sowie}
    \Vert(\Vert\phi_i\Vert)_i\Vert_{\ell^\infty} =&\,\sup\limits_{1\le
      i\le n}\Vert\phi_i\Vert =\sup\limits_{1\le i\le n}
    \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x_i\in E_i} {\Vert x_i\Vert=1}}
    |\phi_i(x_i)|\umbruch\\
    =&\,\sup\limits_{1\le i\le n}
    \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x_i\in E_i}{\Vert x_i\Vert=1}}
    |T(0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)|\umbruch\\ \le&\,\sup\limits_{1\le
      i\le n} \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x_i\in E_i}{\Vert
        x_i\Vert=1}}\Vert
    T\Vert\cdot\Vert(0,\ldots,0,x_i,0,\ldots,0)\Vert\umbruch\\
    =&\,\Vert T\Vert.
  \end{align*}
  Benutze nun, dass beliebige $\ell^p$-Normen f\"ur
  endlichdimensionale Vektorr\"aume \"aquivalent sind. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. Sei $T\in(W^{m,p}(\Omega))^*$ mit
  $1\le p<\infty$. Sei $p'$ der zu $p$ konjugierte Exponent. Dann gibt
  es ein $v=(v_\alpha)_\alpha\in L^{p'}_N(\Omega)$ mit
  \begin{equation}
    \label{def Tu eq}
    Tu =\sum\limits_{|\alpha|\le m} \int\limits_\Omega v_\alpha(x)
    D^\alpha u(x)\,dx
  \end{equation}
  f\"ur alle $u\in W^{m,p}(\Omega)$.
\end{theorem}
Wir behaupten nicht, dass unterschiedliche Elemente $v\in
L^p_N(\Omega)$ verm\"oge dieser Formel unterschiedlichen Elementen des
Dualraums zugeordnet werden.
\begin{proof}[Beweis]
  Klar ist, dass durch die rechte Seite von \eqref{def Tu eq} f\"ur
  $v\in L^p_N(\Omega)$ ein Element $T\in(W^{m,p}(\Omega))^*$ mit
  $\Vert T\Vert\le C\Vert v\Vert_{L^{p'}_N(\Omega)}$ definiert
  wird.\par
  Sei $\iota$ wie in Bemerkung \ref{iota rem}. Dann definieren wir auf
  $\im\iota\subset L^p_N(\Omega)$ zu $T$ einen linearen stetigen
  Operator durch \[T^*(\iota u):=Tu \quad\text{f\"ur }u\in
  W^{m,p}(\Omega).\] Sei $T'$ eine normerhaltende Fortsetzung von
  $T^*$ nach $L^p_N(\Omega)$. Nach Lemma \ref{prod dual lem} ist
  $\left(L^p_N(\Omega)\right)^*$ isomorph zu $L^{p'}_N(\Omega)$. Somit
  gibt es $v=(v_\alpha)_\alpha\in L^{p'}_N(\Omega)$
  mit \[T'(w)=\sum\limits_{|\alpha|\le m} \int\limits_\Omega
  v_\alpha(x) w^\alpha(x)\,dx\] f\"ur alle $w=(w^\alpha)_\alpha\in
  L^p_N(\Omega)$. Sei nun $u\in W^{m,p}(\Omega)$. Dann ist $\iota
  u=(D^\alpha u)_\alpha\in L^p_N(\Omega)$. Somit folgt \[Tu =T^*(\iota
  u) =T'(\iota u) =\sum\limits_{|\alpha|\le m} \int\limits_\Omega
  v_\alpha(x) D^\alpha u(x)\,dx.\] Die Behauptung folgt.
\end{proof}

\subsection{Ein Existenzsatz}

Wir skizzieren hier, wie man aus Theorem \ref{uhs thm} einen
Existenzsatz bekommt. \par Da schwache Konvergenz in $W^{1,q}_{loc}$,
$q>1$, auch schwache Konvergenz in $W^{1,1}_{loc}$ impliziert
(vergleiche Kapitel \ref{Wmp dual kap}),
gen\"ugt es aufgrund der Reflexivit\"at von $W^{1,q}$, eine in
$W^{1,q}_{loc}$ beschr\"ankte Minimalfolge zu finden. Eine Teilfolge
davon konvergiert dann schwach in $W^{1,q}_{loc}$. 

\begin{definition}
  Sei $X$ ein Banachraum. 
  Eine Funktion $\mathcal F\colon X\to\R$ hei\ss{}t koerziv,
  falls \[\lim\limits_{\Vert x\Vert\to\infty} \mathcal F(x)=\infty\]
  gilt. 
\end{definition}

In unserem Fall folgt dies beispielsweise aus \[F(x,u,p)\ge
\nu\left(|u|^q+|p|^q\right)\] f\"ur $\nu>0$.

Als Alternative k\"onnen wir Randwerte vorgeben und Funktionale auf
schwach abgeschlossenen Teilr\"aumen $V\subset W^{1,q}$
minimieren. Die schwache Abgeschlossenheit sichert, dass auch der
Grenzwert einer schwach konvergenten Folge wieder in $V$ liegt. 
\begin{theorem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $M\subset\R^N$ abgeschlossen. Sei
  $\mathcal F(u)$ bez\"uglich der schwachen Topologie von
  $W^{1,q}_{loc}(\Omega,M)$ unterhalbstetig und $q>1$. Sei $V\subset
  W^{1,q}(\Omega,M)$ schwach abgeschlossen. Ist $\mathcal F$ in $V$
  koerziv, gilt also \[\lim\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\Vert
      u\Vert_{W^{1,p}}\to\infty}{u\in V}} \mathcal F(u) =\infty,\] so
  besitzt $\mathcal F$ ein Minimum in $V$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ergibt sich aus den dar\"uber stehenden Kommentaren und dem letzten
  Abschnitt. 
\end{proof}

Im folgenden Beispiel ist dieses Resultat anwendbar: Sei $U\in
W^{1,q}\left(\Omega,\R^N\right)$ und \[V=\left\{u\in
  W^{1,q}\left(\Omega,\R^N\right)\colon u-U\in
  W^{1,q}_0\left(\Omega,\R^N\right)\right\}.\]
Gelte \[F(x,u,p)\ge|p|^q-b(x)|u|^\delta(x)-a(x)\] f\"ur
$0\le\delta<q$, $a\in L^1(\Omega)$ und $b\in L^{\frac q{q-\delta}}$.
Gelte weiterhin $|\Omega|<\infty$. Dann folgt
\[|u|^\delta\le c\cdot\left(|U|^\delta +|u-U|^\delta\right)\] und
somit erhalten wir punktweise \[b|u|^\delta \le cb|U|^\delta
+\epsilon|u-U|^q +c(\epsilon)b^{\frac q{q-\delta}}.\] Da $u-U\in
W^{1,q}_0\left(\Omega,\R^N\right)$ ist und $|\Omega|<\infty$ gilt,
haben wir die Poincar\'esche Ungleichung \cite[S. 353]{AltFA}
\[\int\limits_\Omega|u-U|^q\,dx\le c(\Omega,q)\int\limits_\Omega
|D(u-U)|^q\,dx.\] Hieraus erhalten wir f\"ur kleine $\epsilon>0$
\begin{align*}
  \mathcal F(u)\ge&\,\int\limits_\Omega|Du|^q\,dx -\int\limits_\Omega
  \left(b|u|^\delta+a\right)\,dx\umbruch\\
  \ge&\,\int\limits_\Omega|Du|^q\,dx-\epsilon\cdot
  c(\Omega,q)\int\limits_\Omega |D(u-U)|^q\,dx -c\umbruch\\
  \ge&\,\frac12\int\limits_\Omega |Du|^q\,dx-c.
\end{align*}
Somit erhalten wir nochmals mit der Poincar\'eschen Ungleichung f\"ur
$u-U$ 
\[\Vert u\Vert_{W^{1,q}}^q=\int\limits_\Omega|Du|^q+|u|^q\,dx \le
c\{\mathcal F(u)+1\}.\] In dieser Situation ist der obige Existenzsatz
also anwendbar. 

\begin{appendix}

\section{Lipschitz stetige Funktionen}
 
Wir betrachten Fortsetzungseigenschaften und Infima f\"ur Lipschitz
stetige Funktionen.  
\begin{lemma}
  \label{inf lip lem}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und konvex. Seien
  $u_i\colon\Omega\to\R$, $i\in I$, Funktionen mit $[u_i]_{C^{0,1}}\le
  Q$. Sei $x_0\in\Omega$ mit $\inf\limits_{i\in
    I}u_i(x_0)>-\infty$. Definiere \[u(x):=\inf\limits_{i\in I}
  u_i(x).\] Dann ist $u\colon\Omega\to\R$ wieder Lipschitz stetig und
  erf\"ullt die Absch\"atzung \[[u]_{C^{0,1}}\le Q.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Lipschitz Stetigkeit der Funktionen $u_i$ sichert, dass das
  Infimum \"uberall endlich ($>-\infty$) ist. Seien $x,\,y\in\Omega$
  beliebig. Dann gibt es Folgen $(i_k)_{k\in\N},\,(j_k)_{k\in\N}
  \subset I$ mit \[\lim\limits_{k\to\infty} u_{i_k}(x)\to
  \inf\limits_{i\in I} u_i(x)= u(x)\quad\text{und}\quad
  \lim\limits_{k\to\infty} u_{j_k}(y)\to \inf\limits_{i\in I}
  u_i(y)=u(y).\] Ohne Einschr\"ankung d\"urfen wir annehmen, dass
  $u_{i_k}(x)\le u_{j_k}(x)$ und $u_{j_k}(y)\le u_{i_k}(y)$ gelten;
  sonst ersetzen wir $i_k$ durch $j_k$ bzw.{} $j_k$ durch $i_k$. Somit
  gibt es f\"ur jedes $k\in\N$ ein $t\in[0,1]$ mit $u_{i_k}(tx+(1-t)y)
  =u_{j_k}(tx+(1-t)y)$. Wir erhalten die Absch\"atzung
  \begin{align*}
    |u_{i_k}(x)-u_{j_k}(y)| \le&\,|u_{i_k}(x) -u_{i_k}(tx+(1-t)y)|\\
    &\quad+|u_{i_k}(tx+(1-t)y)-u_{j_k}(tx+(1-t)y)|\\
    &\quad+|u_{j_k}(tx+(1-t)y)-u_{j_k}(y)|\umbruch\\
    \le&\,Q\cdot(1-t)\cdot|x-y| +0 +Q\cdot t\cdot|x-y|\umbruch\\
    =&\,Q\cdot|x-y|.
  \end{align*}
  Wir lassen nun $k\to\infty$ und erhalten $|u(x)-u(y)|\le
  Q\cdot|x-y|$. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{lip fortsetz lem}
  Sei $S\subset\R^n$ beliebig. Sei $u\colon S\to\R$ eine Lipschitz
  stetige Funktion mit $[u]_{C^{0,1}}\le Q$. Dann gibt es eine
  Lipschitz stetige Fortsetzung $U\colon\R^n\to\R$ von $u$ mit
  $[U]_{C^{0,1}}\le Q$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung $S\neq\emptyset$ annehmen. F\"ur
  $x_0\in S$ definieren wir die Funktion $u_{x_0}\colon\R^n\to\R$
  durch $u_{x_0}(x):=u(x_0)+Q\cdot|x-x_0|$. Wegen
  $u_{x_0}(x)=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{p\in\R^n}{|p|=1}}
  (u(x_0)+Q\cdot\langle p,x-x_0\rangle)$ folgt $[u_{x_0}]_{C^{0,1}}\le
  Q$ nach Lemma \ref{inf lip lem}, was auch f\"ur Suprema gilt. Nach
  Definition gelten $u_{x_0}(x)\ge u(x)$ und $u_{x_0}(x_0)=u(x_0)$
  f\"ur alle $x,\,x_0\in S$. Definiere nun $U\colon\R^n\to\R$
  durch \[U(x) :=\inf\limits_{x_0\in S} u_{x_0}(x).\] Es folgt $U=u$
  in $S$ und nach Lemma \ref{inf lip lem} erhalten wir
  $[U]_{C^{0,1}}\le Q$.
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{inf lip cor}
  Sei $S\subset\R^n$ beliebig. Seien $u_i\colon S\to\R$, $i\in I$,
  Funktionen mit $[u_i]_{C^{0,1}}\le Q$. Sei $x_0\in S$ mit
  $\inf\limits_{i\in I}u_i(x_0)>-\infty$. Definiere
  \[u(x):=\inf\limits_{i\in I} u_i(x).\] Dann ist $u\colon S\to\R$
  wieder Lipschitz stetig und erf\"ullt die
  Absch\"atzung \[[u]_{C^{0,1}}\le Q.\] 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst setzen wir die Funktionen $u_i$ mit Hilfe von Lemma
  \ref{lip fortsetz lem} auf $\R^n$ fort, so dass sich die
  Lipschitzkonstante nicht vergr\"o\ss{}ert. Dann benutzen wir Lemma
  \ref{inf lip lem}. Somit ist dass Infimum der Fortsetzungen wieder
  Lipschitz stetig. Dieses Infimum stimmt aber mit dem Infimum der
  urspr\"unglichen Funktionen \"uberein.
\end{proof}

Lemma \ref{lip fortsetz lem} und Korollar \ref{inf lip cor} gelten
auch auf metrischen R\"aumen. Dazu ben\"otigen wir zun\"achst
\begin{lemma}
  \label{min lip lem}
  Seien $a,\,b,\,c,\,d\in\R$. Dann gilt
  \[|\min\{a,b\}-\min\{c,d\}|\le\max\{|a-c|,\,|b-d|\}.\] Somit ist
  $\min\colon\R^2\to\R$ mit der $\ell^\infty$-Norm auf $\R^2$
  Lipschitz stetig mit Konstante eins.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir f\"uhren einen Beweis mit Fallunterscheidungen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $a\le b$ und $c\le d$, so ist die Behauptung
    wegen \[|a-c|\le\max\{|a-c|,\,|b-d|\}\] klar. 
  \item Sei $a\le b$, $d\le c$ und $d\le a$. Dann erhalten wir 
    \[|a-d|=a-d\le b-d\le |b-d|.\]
  \item Sei $a\le b$, $d\le c$ und $d\ge a$. Dann folgt \[|a-d|=d-a
    \le c-a\le |c-a|.\] 
  \end{enumerate}
  Die restlichen F\"alle ergeben sich leicht aus
  Symmetrie\"uberlegungen.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Seien $u_i\colon X\to\R$, $i\in I$,
  Funktionen mit $[u_i]_{C^{0,1}}\le Q$. Sei $x_0\in X$ mit
  $\inf\limits_{i\in I}
  u_i(x_0)>-\infty$. Definiere \[u(x):=\inf\limits_{i\in I} u_i(x).\]
  Dann ist $u\colon X\to\R$ wieder Lipschitz stetig und erf\"ullt die
  Absch\"atzung \[[u]_{C^{0,1}}\le Q.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Lemma \ref{min lip lem} folgt 
  \begin{align*}
    &\,|\min\{u_{i_k}(x),u_{j_k}(x)\}
    -\min\{u_{i_k}(y),u_{j_k}(y)\}|\umbruch\\
    \le&\,\max\{|u_{i_k}(x)-u_{i_k}(y)|,\,|u_{j_k}(x)-u_{j_k}(y)|\}
    \le Q\cdot d(x,y).
  \end{align*}
  Argumentiere nun wie im Beweis von Lemma \ref{inf lip lem}.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Sei $S\subset X$ beliebig. Sei
  $u\colon S\to\R$ eine Lipschitz stetige Funktion mit
  $[u]_{C^{0,1}}\le Q$. Dann gibt es eine Lipschitz stetige
  Fortsetzung $U\colon X\to\R$ von $u$ mit $[U]_{C^{0,1}}\le Q$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Argumentiere wie im Beweis von Lemma \ref{lip fortsetz lem} und
  benutze $u_{x_0}(x):=u(x_0)+Q\cdot d(x,x_0)$. Beachte, dass
  $[d(\cdot,x_0)]_{C^{0,1}}\le 1$ gilt. 
\end{proof}

\section{Borel messbare Funktionen}

Den folgenden Auswahlsatz habe ich von Ulrich Menne gelernt: 
\begin{theorem}
  \label{Borel thm}
  Seien $X=\R^n$, $Y=\R^m$ und sei $f\subset X\times Y$ abgeschlossen
  mit $\pi_1(f)=X$. Dann gibt es eine Borel Funktion $g\colon X\to Y$
  mit $\graph g\subset f$. 
\end{theorem}
Die Forderung $\pi_1(f)=X$ kann man fallen lassen und erh\"alt dann
eine Borel Funktion $g\colon\pi_1(f)\to Y$.  
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir konstruieren zun\"achst eine Folge $(F_i)_{i\in\N}$ von
    Familien $F_i$ von abgeschlossenen nichtleeren Teilmengen von $Y$
    mit $\bigcup\limits_{S\in F_i} S=Y$ und $\diam S\le\frac1i$ f\"ur
    alle $S\in F_i$ und alle $i\in\N$. Der Anschaulichkeit halber
    wollen wir zus\"atzlich fordern, dass jedes $S\in F_i$,
    $i\in\N\setminus\{0\}$, ein achsenparalleler W\"urfel ist.
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Setze $F_0:=\{Y\}$.
    \item Sei $i=1$: Sei $(Q_j)_{j\in\N}$ eine Familie von
      abgeschlossenen nichtleeren achsenparallelen W\"urfeln in $Y$
      mit $\bigcup\limits_{j\in\N} Q_j=Y$ und $\diam Q_j\le
      1=\frac1i$. Setze $F_1:=\{Q_j\colon j\in\N\}$. 
    \item Sei $i\ge1$: Wir nehmen an, dass $F_i$ bereits konstruiert
      sei. Unterteile jeden W\"urfel $Q_j\in F_i$ in endlich viele
      abgeschlossene nichtleere achsenparallele (nicht disjunkte)
      W\"urfel $Q_j^k$ mit $\diam Q_j^k\le\frac1{i+1}$. Es folgt
      $\bigcup\limits_k Q^k_j=Q_j$. Definiere $F_{i+1}:=\{Q_j^k\colon
      j\in\N, k\}$.
    \end{enumerate}
  \item Wir konstruieren nun Partitionen $G_i$, $i\in\N$, von $X$ aus
    abz\"ahlbar vielen Borel Mengen und Funktionen $\zeta_i\colon
    G_i\to F_i$. Eine Eigenschaft unserer Konstruktionen werden wir
    dann im n\"achsten Abschnitt nachweisen.
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Setze $G_0:=\{X\}$ und $\zeta_0(X):=Y$. 
    \item Sei $i\in\N$. Seien $G_i$ und $\zeta_i$ bereits
      konstruiert. Sei $B\in G_i$. Dann ist $\zeta_i(B)\in F_i$. Somit
      gibt es nach Konstruktion endlich viele W\"urfel $Q_j\in
      F_{i+1}$, $j=1,2,\ldots$, mit
      $\bigcup\limits_jQ_j=\zeta_i(B)$. Wir definieren
      \[C_j:=\left(B\cap f^{-1}[Q_j]\right)\setminus
      \bigcup\limits_{k=1}^{j-1} \left(B\cap f^{-1}[Q_k]\right),\]
      wobei wir $f^{-1}[A]:=\{x\in X\colon \exists\, y\in A\colon
      (x,y)\in f\}$ schreiben, also $f$ verm\"oge $f[A]:=\{y\in
      Y\colon\exists\, x\in A\colon (x,y)\in f\}$ als mengenwertige
      Funktion mit Umkehrfunktion $f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X\colon
      (x,y)\in f\}$ betrachten. \par
      Wir nehmen an, dass aus $x\in B\in G_i$ folgt, dass
      $\zeta_i(B)\cap f[\{x\}]\neq\emptyset$ gilt. Daraus folgt
      $B\subset f^{-1}[\zeta_i(B)] =\bigcup\limits_j
      f^{-1}[Q_j]$. Somit bilden die Mengen $C_j$ eine Partition von
      $B$: $\dot{\bigcup\limits_j}C_j=B$.  Nach Konstruktion sind
      s\"amtliche Mengen $C_j$ Borel.  Wir setzen
      $\zeta_{i+1}(C_j):=Q_j$. Definiere $G_{i+1}$ als Familie aller
      diesem Mengen $C_j$, die wir zu beliebigen $B\in G_i$ bekommen.
    \end{enumerate}
  \item 
    %\begin{enumerate}[(a)]
    %\item Wir setzen $f_i:=\bigcup\{B\times\zeta_i(B)\colon B\in
    %  G_i\}$.
    %\item Aus $C_j\subset B$ und
    %  $\zeta_{i+1}(C_j)=Q_j\subset\zeta_i(B)$ folgt $f_{i+1}\subset
    %  f_i$. 
    %\item 
    Wir wollen nun induktiv die oben bereits benutzte Aussage \[x\in
    B\in G_i\quad\Longrightarrow\quad \zeta_i(B)\cap
    f[\{x\}]\ne\emptyset\] zeigen: F\"ur $i=0$ ist die Aussage wegen
    $\zeta_0(X)=Y$ erf\"ullt.\par Sei nun $i\ge1$: Gelte $x\in C_j\in
    G_{i+1}$. Dann folgen $x\in f^{-1}[Q_j]$ und
    $\zeta_{i+1}(C_j)=Q_j$ nach Definition von $C_j$ bzw.{}
    $\zeta_{i+1}$. Daraus folgt dann $x\in f^{-1}[\zeta_{i+1}(C_j)]$
    und somit ist $f[\{x\}]\cap\zeta_{i+1}(C_j)\ne\emptyset$ wie
    behauptet.
    % \end{enumerate}
  \item Zu jedem $Q\in F_i$, $i\in\N$, w\"ahlen wir einen Punkt
    $p_Q\in Q\subset Y$. Wir definieren nun $g_i\colon X\to Y$ durch
    $g_i(x):=p_{\zeta_i(B)}$ f\"ur $x\in B\in G_i$. $g_i$ ist
    wohldefiniert, da jedes $G_i$ eine Partition von $X$ ist. Die
    Funktionen $g_i$ sind Borel messbar, da die Mengen $B\in G_i$
    Borel messbar sind. Aus $g_i(x),g_{i+1}(x)\in \zeta_i(B)$ f\"ur
    $x\in B$ folgen 
    % $g_i\subset f_i$, 
    $|g_i(x)-g_{i+1}(x)|\le\frac1i$ und
    $\dist(g_i(x),f[\{x\}])\le\diam(\zeta_i(B))\le\frac1i$.
  \item Wir definieren nun $g(x):=\lim\limits_{i\to\infty}g_i(x)$.
    Als Grenzwert Borel messbarer Funktionen ist $g$ selbst wieder
    Borel messbar und es gilt $\graph g\subset f$. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}
\end{appendix}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}
\def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

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