%
% Voll nichtlineare Partielle Differentialgleichungen
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, September 2005
%
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\begin{document}

\frontmatter

\title{Voll nichtlineare Partielle Differentialgleichungen}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Freie Universit\"at Berlin, 
  Arnimallee 2-6, 14195 Berlin, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\fuaddress{@math.fu-berlin.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{35-01, 35-02, 35J25, 35J60, 35K20, 35K55,
  53A07, 53A10, 53C42, 53C44}
% 35-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.)
% 35-02 Research exposition (monographs, survey articles)
% 35J25 Boundary value problems for second-order, elliptic equations
% 35J60 Nonlinear PDE of elliptic type
% 35K20 Boundary value problems for second-order, parabolic equations 
% 35K55 Nonlinear PDE of parabolic type
% 53A07 Higher-dimensional and -codimensional surfaces in Euclidean $n$-space
% 53A10 Minimal surfaces, surfaces with prescribed mean curvature 
% 53C42 Immersions (minimal, prescribed curvature, tight, etc.) 
% 53C44 Geometric evolution equations (mean curvature flow)

\date{September 2005-\today.}

\dedicatory{}

\keywords{Voll nichtlinear, partielle Differentialgleichung,
  Monge-Am\`ere, Gau\ss{}kr\"ummung, Schoutentensor,
  Dirichletproblem, Neumannrandbedingung, Krylov-Safonov}

\begin{abstract}
Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer 
zweist\"undigen Vorlesung an der Freien Universit\"at Berlin im 
Wintersemester 2005/6. 
Wir danken Herrn Felix Schulze f\"ur
ein kritisches Kontrolllesen w\"ahrend der Vorlesung.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

\mainmatter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{Dirichletproblem f\"ur Monge-Amp\`ere Gleichungen}
\label{dirichlet section}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Geometrische Motivation}

Sei $M^n\subset\R^{n+1}$ eine Mannigfaltigkeit, lokal dargestellt
als Graph einer $C^2$-Funktion $u$.\\
Wir wollen die Gau\ss{}kr\"ummung von $M$ mit Hilfe von $u$
bestimmen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Differentialgeometrie}
Die induzierte Metrik von $\graph u$ ist gegeben durch
\begin{align*}
g_{ij}=&\delta_{ij}+u_iu_j,\quad 1\le i,j\le n,\\
u_i=&\fracp u{x^i}.
\end{align*}
Die zweite Fundamentalform von $\graph u$ ist
\begin{align*}
h_{ij}=&\frac{u_{ij}}v,\\
v=&\sqrt{1+|Du|^2},\\
u_{ij}=&\fracp{^2u}{x^i\partial x^j}.
\end{align*}
Die Hauptkr\"ummungen von $\graph u$ sind die Eigenwerte von 
$h_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$, \dh $\lambda$ ist 
Hauptkr\"ummung, falls f\"ur ein $0\neq\xi\in\R^n$
$$h_{ij}\xi^j=\lambda g_{ij}\xi^j$$
unter Benutzung der Einsteinschen Summenkonvention gilt. 
Die Gau\ss{}kr\"ummung $K[u]$ ist das Produkt der 
Hauptkr\"ummungen. Es gilt
$$g^{ki}h_{ij}\xi^j=\lambda\xi^k,$$
wobei $\left(g^{ij}\right)$ die Inverse der Metrik
$(g_{ij})$ ist. 
Somit folgt
\begin{align*}
K[u]=&\det\left(g^{ki}h_{ij}\right)\\
=&\det\left(g^{ij}\right)\cdot\det(h_{ij})\\
=&\frac{\det(h_{ij})}{\det(g_{ij})}\\
=&\frac{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}},
\end{align*}
da $\det(g_{ij})=1+|Du|^2$. Es gilt also
$$K[u]=\frac{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}.$$ 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Dirichletproblem f\"ur Monge-Amp\`ere Gleichungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Problemstellung}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Sei $\Omega\subset\R^n$ offen. 

Eine $C^2$-Funktion $u:\Omega\to\R$
hei\ss{}t lokal konvex, falls $D^2u\ge0$, \dh falls die Hessische
ist positive semidefinit ist. Ist $D^2u>0$, so hei\ss{}t $u$
lokal strikt konvex.

Eine $C^1$-Funktion $u:\Omega\to\R$ hei\ss{}t konvex, falls
ihr Graph oberhalb der Tangentialebene an den Graphen in 
einem beliebigen Punkt liegt. 
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Sei $u:\Omega\to\R$ gegeben. Die folgende Charakterisierung
von Konvexit\"at ist im Falle $u\in C^1$ \"aquivalent zur
obigen Definition: F\"ur $x,\,y\in\Omega$, $\tau\in(0,1)$,
so dass $\tau x+(1-\tau y)\in\Omega$ ist, gilt
$$u(\tau x+(1-\tau)y)\le\tau u(x)+(1-\tau)u(y).$$

Ist $\Omega$ konvex, \dh falls mit $x,\,y\in\Omega$ und
$\tau\in(0,1)$ auch $\tau x+(1-\tau)y\in\Omega$ ist, stimmen
die Definitionen f\"ur lokal konvexe und konvexe Funktionen
\"uberein, falls $u\in C^2$. 

Ist $\Omega$ nicht konvex, so braucht eine lokal konvexe
Funktion nicht konvex zu sein. 

Konvexe Funktionen sind lokal Lipschitzstetig und damit
fast \"uberall differenzierbar. Sei $u$ konvex und in $x\in
\Omega$ diffbar, so gilt 
$$u(y)\ge u(x)+\langle\nabla u(x),y-x\rangle$$
f\"ur beliebiges $y\in\Omega$. 
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Eine elliptische Differentialgleichung $F\left(x,u,Du,D^2u\right)=0$
hei\ss{}t voll nichtlinear, wenn die Eigenwerte von 
$$a^{ij}\equiv\left.\fracp F{r_{ij}}\right|_{(x,z,p,r)
=\left(x,u,Du,D^2u\right)}$$
von $D^2u$ abh\"angen. 
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{dirichlet exist}
Sei $\Omega\subset\R^n$ ein offes beschr\"anktes Gebiet
mit glattem Rand, $\partial\Omega\subset C^\infty$. Sei
$f\in C^\infty\left(\ol\Omega\times\R\times\R^n\right)$ positiv.
Sei $\ul u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ lokal strikt konvex
und gelte
$$\det D^2\ul u\ge f(\cdot,\ul u,D\ul u)\quad\text{in~}\Omega.$$
Dann gibt es eine lokal strikt konvexe Funktion
$u\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, die das Dirichletproblem
\begin{equation}\label{dirichlet eqn}
\begin{cases}
\det D^2u=f(\cdot,u,Du)&\text{in~}\Omega,\\
u=\ul u&\text{auf~}\partial\Omega
\end{cases}\end{equation}
l\"ost.
\end{theorem}

\begin{remark}\rule{1mm}{0mm}\\[-2ex]\rule{0mm}{1mm}
\begin{itemize}
\item Einen solchen Existenzsatz bekommt man auch f\"ur weniger
  regul\"are Daten, etwa $C^{5,\alpha}$-Daten.
\item Neuere Ergebinisse von Neil Trudinger and Xu-Jia Wang
  erlauben es sogar, lediglich H\"older-stetige rechte Seiten
  und Randwerte der Klasse $C^3$ zu betrachten \cite{TrudWangMAHoelder}.
\item Wir finden sogar eine L\"osung $u$ mit $u\ge\ul u$. 
\end{itemize}
\end{remark}

Literatur: \cite{CNS1,CNS1Corr,BGuanTrans,Trud95,GT,OSSchouten,%
OSMathZ}.

Der Beweis von Theorem \ref{dirichlet exist} erstreckt sich auf
den Rest dieses Kapitels.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^0$-Absch\"atzungen}

Nehme f\"ur den Beweis der a priori Absch\"atzungen stets an,
dass $u$ eine L\"osung von \eqref{dirichlet eqn}
mit $u\ge\ul u$ in $\Omega$ ist.

Die Funktion $u$ is lokal strikt konvex. Daher nimmt $u$ in
$\Omega$ kein lokales inneres Maximum an. Es folgt
$$u\le\sup\limits_{\partial\Omega}u
=\sup\limits_{\partial\Omega}\ul u.$$
Nach Annahme gilt
$$u\ge\ul u\ge\inf\limits_{\Omega}\ul u.$$
Daher gilt
$$\Vert u\Vert_{C^0}\le c$$
f\"ur eine universelle Konstante.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^1$-Absch\"atzungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Normalabsch\"atzungen auf $\partial\Omega$}

Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\partial\Omega$.
Wegen $u\ge\ul u$ mit Gleichheit auf $\partial\Omega$ folgt
$$u_\nu\equiv u_i\nu^i\equiv\langle Du,\nu\rangle
\le\langle D\ul u,\nu\rangle\quad\text{auf~}\partial\Omega.$$
Fixiere $x_0\in\partial\Omega$. Sei $\lambda>0$ so gew\"ahlt,
dass $$x_0-\lambda\mu(x_0)\in\partial\Omega$$
und $$x_0-\tau\nu(x_0)\in\Omega$$
f\"ur $0<\tau<\lambda$.
Benutze, dass
$$[0,\lambda]\ni\tau\mapsto u(x_0-\tau\nu(x_0))$$
eine konvexe Funktion ist. F\"ur eine konvexe Funktion $u$ gilt
stets
$$\langle Du(x),y-x\rangle+u(x)\le u(y).$$
Daher folgt
\begin{align*}
\left.\frac d{d\tau}u(x_0-\tau\nu(x_0))\right|_{\tau=0}
(\lambda-0)+u(x_0)\le&u(x_0-\lambda\nu(x_0))\\
=&\ul u(x_0-\lambda\nu(x_0)),\quad\text{da~}
x_0-\lambda\nu(x_0)\in\partial\Omega\\
\le&\sup\limits_{\partial\Omega}\ul u.
\end{align*}
Damit schlie\ss{}en wir nun
\begin{align*}
\langle Du(x_0),-\nu(x_0)\rangle\lambda\le&\sup\limits_{\partial\Omega}
\ul u-u(x_0)\\
\le&\sup\limits_{\partial\Omega}\ul u-\inf\limits_{\partial\Omega} \ul u.
\end{align*}
\par
Da $\partial\Omega\in C^2$ ist, ist $\lambda$ auf $\partial\Omega$
unabh\"angig von der speziellen Wahl von $x_0$ gleichm\"a\ss{}ig
nach unten durch eine positive Konstante beschr\"ankt. Daher gilt
$$|u_\nu|\le c\quad\text{auf~}\partial\Omega.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Tangentialabsch\"atzungen auf $\partial\Omega$}
Stelle $\partial\Omega$ lokal als Graphen \"uber einer offenen
Menge in $\R^{n-1}$ dar:
\begin{align*}
\partial\Omega=&\graph\omega\quad\text{(lokal),}\\
\omega:&\R^n\to\R.
\end{align*}
Es gilt
$$(u-\ul u)(\hat x,\omega(\hat x))=0\quad\text{f\"ur~}
\hat x\in\R^{n-1}.$$
Sei $r<n$. Dann folgt
$$(u-\ul u)_r+(u-\ul u)_n\omega_r=0.$$
F\"ur einen festen Punkt $x_0\in\partial\Omega$ kann man das
Koordinatensystem so w\"ahlen, dass
$(0,\omega(0))=x_0$ und $D\omega(0)=0$ gelten.
Dort folgt $(u-\ul u)_r=0$ und somit $|u_\tau|\le c$.
\par
Wir haben somit gezeigt, dass
$$|Du|\le c\quad\text{auf~}\partial\Omega.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Innere Absch\"atzungen}\rule{1mm}{0mm}\\
Der Betrag des Gradienten einer lokal konvexen Funktion auf
einem beschr\"ankten Gebiet nimmt sein Maximum am Rand an:
\par
Sei $u$ lokal strikt konvex (addiere sonst gegebenenfallss
$\epsilon|x|^2$) und betrachte
$$w=\tfrac12|Du|^2.$$
In einem inneren Extremum von $w$ gilt
$$0=w_i\equiv\fracp w{x^i}=u^ku_{ki}.$$
Wir multiplizieren mit $u^i$ und wenden die Einsteinsche
Summenkonvention an. Somit erhalten wir
$$0=u_{ki}u^ku^i.$$
Da $u$ lokal strikt konvex ist, folgt $|Du|=0$ im Extremum.
Also wird das Extremum am Rand angenommen,
$$\sup\limits_\Omega|Du|\le\sup\limits_{\partial\Omega}|Du|\le c.$$
Insgesamt erhalten wir also
$$\Vert u\Vert_{C^1}\le c.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^2$-Absch\"atzungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Randabsch\"atzungen -- doppelt tangentiale Ableitungen:}
Stelle $\partial\Omega$ wieder lokal als $\graph\omega$ dar und nehme
an, dass f\"ur einen festen Punkt $x_0\in\partial\Omega$ gilt
\begin{align*}
x=&(0,\omega(0)),\\
D\omega(0)=&0.
\end{align*}
Die Randbedingung liefert
$$(u-\ul u)(\hat x,\omega(\hat x))=0.$$
Seien $r$, $s<n$. Differenzieren liefert
\begin{align*}
(u-\ul u)_r+(u-\ul u)_n\omega_r=&0,\\
(u-\ul u)_{rs}+(u-\ul u)_{rn}\omega_s
+(u-\ul u)_{ns}\omega_r+(u-\ul u)_{nn}\omega_r\omega_s
+(u-\ul u)_n\omega_{rs}=&0.
\end{align*}
Im Ursprung folgt
$$(u-\ul u)_{rs}+(u-\ul u)_n\omega_{rs}=0,$$
wobei $\omega_{rs}$ hier auch gerade die zweite Fundamentalform
des Randes ist. Es gilt daher f\"ur beliebige Tangentialvektoren
$\tau$, $\sigma$ auf $\partial\Omega$
$$\left|u_{ij}\tau^i\sigma^j\right|\equiv
|u_{\tau\sigma}|\le c.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Gemischt tangential-normale $C^2$-Absch\"atzungen
am Rand}
Sei $x_0\in\partial\Omega$. W\"ahle ein Koordinatensystem, so dass
$x_0=(0,\omega(0))$, $D\omega(0)=0$ und lokal nahe $x_0$
$$\Omega=\left\{\left(\hat x,x^n\right):x^n>\omega(\hat x)\right\}.$$
Sei $\Omega_\delta:=\Omega\cap B_\delta(x_0)$.
Schreibe das Dirichletproblem um als
$$\begin{cases}
\log\det D^2u=\log f\equiv\hat f&\text{in~}\Omega,\\
u=\ul u&\text{auf~}\partial\Omega.
\end{cases}$$
Differenzieren ergibt f\"ur $k\le n$, $t<n$ 
$$u^{ij}u_{ijk}=\hat f_k+\hat f_zu_k+\hat f_{p_i}u_{ik}
\quad\text{in~}\Omega,$$
wobei $u^{ij}$ die Inverse von $u_{ij}$ ist und
$$(u-\ul u)_t(\hat x,\omega(\hat x))
+(u-\ul u)_n(\hat x,\omega(\hat x))\omega_t=0$$
nahe $\hat x=0$. Fixiere $t<n$ und definiere die
Differentialoperatoren
$$Tw:=w_t+w_n\omega_t,$$
wobei $\omega$ an der Projektion von $x$ auf die ersten
$n-1$ Komponenten ausgewertet wird, und
$$Lw:=u^{ij}w_{ij}-\hat f_{p_i}w_i.$$
Nach Definition gilt
$$T(u-\ul u)=0\quad\text{auf~}\partial\Omega,$$
also auch aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen
$$|T(u-\ul u)|\le c(\delta)\cdot|x-x_0|^2\quad
\text{auf~}\partial\Omega_\delta.$$
$L$ und $T$ sind so definiert, dass sich auch $LT(u-\ul u)$
gut absch\"atzen l\"asst. In der folgenden Rechnung wird
$u-\ul u$ nat\"urlich wieder an der Stelle $x$ und nicht
in $(\hat x,\omega(\hat x))$ ausgewertet. Weiterhin 
verschwinden alle Ableitungen von $\omega$ in Richtung
$e_n$. Wir erhalten
\begin{align*}
LT(u-\ul u)=&L((u-\ul u)_t+(u-\ul u)_n\omega_t)\\
=&u^{ij}u_{tij}-u^{ij}\ul u_{tij}
+u^{ij}u_{nij}\omega_t-u^{ij}\ul u_{nij}\omega_t\\
&+u^{ij}(u_{ni}\omega_{tj}+u_{nj}\omega_{ti}+u_n\omega_{tij})
-u^{ij}(\ul u_{ni}\omega_{tj}+\ul u_{nj}\omega_{ti}+\ul u_n\omega_{tij})\\
&-\hat f_{p_i}(u_{ti}-\ul u_{ti}+u_{ni}\omega_t-\ul u_{ni}\omega_t
+u_n\omega_{ti}-\ul u_n\omega_{ti}).
\end{align*}
Aufgrund der differenzierten Gleichung sind
$$u^{ij}u_{tij}-\hat f_{p_i}u_{ti}$$
und 
$$\left(u^{ij}u_{nij}-\hat f_{p_i}u_{ni}\right)\omega_t$$
betragsm\"a\ss{}ig durch eine Konstante beschr\"ankt. 
Dies benutzt auch die $C^1$-Ab\-sch\"atz\-un\-gen f\"ur $u$ zum
Beschr\"anken der Terme mit $Du$ und von $\hat f$. 
\par
Somit gilt
\begin{align*}
|LT(u-\ul u)|\le&
c+u^{ij}(u_{ni}\omega_{tj}+u_{nj}\omega_{ti}+u_n\omega_{tij})
-\hat f_{p_i}u_n\omega_{ti}\\
&-u^{ij}\ul u_{tij}-u^{ij}\ul u_{nij}\omega_t
-u^{ij}(\ul u_{ni}\omega_{tj}+\ul u_{nj}\omega_{ti}
+\ul u_n\omega_{tij})\\
&-\hat f_{p_i}(-\ul u_{ti}-\ul u_{ni}\omega_t-\ul u_n\omega_{ti}).
\end{align*}
Wir wollen die folgende Ungleichung nachweisen:
$$|LT(u-\ul u)|\le c\cdot\left(1+\tr u^{ij}\right).$$
Es gilt aufgrund der Inversenbeziehung
$$u^{ij}(u_{ni}\omega_{tj}+u_{nj}\omega_{ti})
=\delta^j_n\omega_{tj}+\delta^i_n\omega_{ti}=2\omega_{ti}$$
und dieser Ausdruck ist somit beschr\"ankt.
Offensichtlicherweise sind au\ss{}erdem die folgenden Terme
beschr\"ankt
$$-\hat f_{p_i}u_n\omega_{ti}
-\hat f_{p_i}(-\ul u_{ti}+\ul u_{ni}\omega_t-\ul u_n\omega_{ti}).$$
Die noch \"ubrigen Terme beschr\"ankt man wie folgt. 
\par
\begin{lemma}
Sei $U^{ij}$ positiv semidefinit, symmetrisch,
$A_{ij}$ beschr\"ankt, so gilt
$$\left|U^{ij}A_{ij}\right|\le c(A)\cdot\tr U^{ij}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt n\"amlich f\"ur eine orthogonale Matrix $O$
\begin{align*}
\tr\left(UO^\text{tr}\right)=&\tr\left(UO^\text{tr}O\right)
=\tr U,\\
U^{ij}A_{ij}=&\tr\left(OUO^\text{tr}OAO^\text{tr}\right).
\end{align*}
W\"ahlt man $O$ so, dass $OUO^\text{tr}$ diagonal ist, so gilt
$$U^{ij}A_{ij}=\sum\limits_i\left(OUO^\text{tr}\right)^{ii}
\left(OAO^\text{tr}\right)_{ii}$$
und
\begin{align*}
\left|U^{ij}A_{ij}\right|\le&\tr U\cdot\sum\limits_i
\left|\left(OAO^\text{tr}\right)_{ii}\right|\\
\le&c(A)\cdot\tr U,
\end{align*}
da sich alle Terme in der letzten Summe mit Hilfe von Testvektoren
der L\"ange $1$ darstellen lassen und daher unabh\"angig von $O$ 
gleichm\"a\ss{}ig besch\"ankt sind. 
\end{proof}
\par
Damit beschr\"ankt man nun
$$u^{ij}(u_n\omega_{tij}-\ul u_{tij}-\ul u_{nij}\omega_t
-\ul u_{ni}\omega_{tj}-\ul u_{nj}\omega_{ti}-\ul u_n\omega_{tij})$$
und somit folgt
$$|LT(u-\ul u)|\le c\cdot\left(1+\tr u^{ij}\right).$$
Zusammengefasst ergibt sich
\begin{align*}
|LT(u-\ul u)|\le&c\cdot\left(1+\tr u^{ij}\right)\quad
\text{in~}\Omega_\delta,\\
|T(u-\ul u)|\le&c(\delta)\cdot|x-x_0|^2\text{auf~}
\partial\Omega_\delta\\
\text{mit~}T(u-\ul u)=&0\quad\text{auf~}\partial\Omega
\text{~nahe~}x_0.
\end{align*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Barrierenkonstruktion}
Definiere f\"ur noch zu w\"ahlende Konstanten
$$\theta:=(u-\ul u)+\alpha d-\mu d^2,$$
wobei $1\gg\alpha>0$ und $\mu\gg1$ sind.
$d$ ist die Distanzfunktion zu $\partial\Omega$.
Nimm an, dass $\delta$ so klein ist, dass $d$ glatt und 
$$\Vert d\Vert_{C^2}$$ beschr\"ankt ist. 
Es gilt
\begin{align*}
\theta_i=&u_i-\ul u_i+\alpha d_i-2\mu dd_i,\\
\theta_{ij}=&u_{ij}-\ul u_{ij}+\alpha d_{ij}
-2\mu dd_{ij}-2\mu d_id_j,\\
L\theta=&u^{ij}(u_{ij}-\ul u_{ij}+\alpha d_{ij}-2\mu dd_{ij}
-2\mu d_id_j)\\
&-\hat f_{p_i}(u_i-\ul u_i+\alpha d_i-2\mu dd_i)\\
\le&n-u^{ij}\ul u_{ij}+c\cdot\alpha\cdot\tr u^{ij}
+c\cdot(\mu\delta)\cdot\tr u^{ij}
-2\mu u^{ij}d_id_j+c+c\cdot(\mu\delta).
\end{align*}
Da $\ul u$ strikt konvex ist, gibt es $\epsilon>0$,
so dass 
$$\ul u_{ij}\ge4\epsilon\delta_{ij}$$
im Sinne von Matrizen gilt. Fixiere $\alpha>0$ gen\"ugend klein, so
dass
$$c\alpha\tr u^{ij}\le\epsilon\tr u^{ij}.$$ 
Es gilt 
$$L\theta\le c(1+\mu\delta)-3\epsilon\tr u^{ij}
+c(\mu\delta)\tr u^{ij}-2\mu u^{ij}d_id_j.$$
\begin{lemma}
W\"ahlt man $\mu\gg1$ gen\"ugend gro\ss{},
so gilt
$$2c-\epsilon\tr u^{ij}-2\mu u^{ij}d_id_j\le 0.$$
\end{lemma}
\begin{proof} 
Es gilt stets $|Dd|=1$. Betrachte diesen
Ausdruck in einem Koordinatensystem, das so gedreht ist, dass
$Dd=e_n$ gilt und $\left(u^{kl}\right)_{1\le k,\,l<n}$
diagonal ist. Es gilt dann
\begin{align*}
2c-\epsilon\tr u^{ij}-2\mu u^{ij}d_id_j=&
2c-\epsilon\left(u^{11}+\cdots+u^{nn}\right)-2\mu u^{nn}\\
\le&2c-\epsilon u^{11}-\epsilon u^{22}-\cdots-\epsilon u^{n-1\,n-1}
-2\mu u^{nn}.
\end{align*}
Die geometrisch-arithmetische Ungleichung besagt f\"ur
$a_1,\,\ldots,\,a_n\ge0$, das
$$\frac1n\sum\limits_{i=1}^na_i\ge\left(\prod\limits_{i=1}^na_i
\right)^{1/n}$$
gilt. Daher folgt
\begin{align*}
2c-\epsilon\tr u^{ij}-2\mu u^{ij}d_id_j
\le&2c-\left(\left(\prod\limits_{i=1}^{n-1}\epsilon
nu^{ii}\right)\cdot2\mu nu^{nn}\right)^{1/n}\\
\le&2c-\epsilon^\frac{n-1}n\cdot\mu^{1/n}\cdot
\left(\prod u^{ii}\right)^{1/n}.
\end{align*}
Mit Hilfe der Differentialgleichung l\"a\ss{}t sich 
$\prod\limits_iu^{ii}$ nach unten durch eine positive 
Konstante absch\"atzen: Nach Wahl des Koordinatensystems
gilt 
\begin{align*}
\frac1f=&\frac1{\det D^2u}\\
=&\det u^{ij}\\
=&\det\begin{pmatrix}
u^{11}&0&\hdots&0&u^{1n}\\
0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&u^{n-2\,n}\\
0&\hdots&0&u^{n-1\,n-1}&u^{n-1\,n}\\
u^{1n}&\hdots&u^{n-2\,n}&u^{n-1\,n}&u^{nn}
\end{pmatrix}\\
=&\prod\limits_{i=1}^nu^{ii}
-\sum\limits_{i<n}\left|u^{in}\right|^2
\cdot\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j<n}}u^{jj}\\
\le&\prod\limits_{i=1}^nu^{ii}.
\end{align*}
Aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen ist $f$ beschr\"ankt. Fixiert
man also $\mu\gg1$ gro\ss{} genug, so folgt
$$2c-\epsilon\tr u^{ij}-2\mu u^{ij}d_id_j\le0$$
und die Behauptung ist bewiesen.
\end{proof}
\par
W\"ahle nun $\delta>0$ so klein, dass
$$\mu\delta\le1$$
und 
$$c\mu\delta\le\epsilon$$
gelten. Es folgt
$$L\theta\le-\epsilon\tr u^{ij}\quad\text{in~}\Omega_\delta.$$
Weiterhin gilt
\begin{align*}
\theta=&(u-\ul u)+\alpha d-\mu d^2\\
\ge&(\alpha-\mu d).
\end{align*}
Fixiere nun $\delta>0$ so klein, dass $\alpha-\mu\delta\ge0$
gilt und somit 
$$\theta\ge0\quad\text{in~}\Omega_\delta.$$
Definiere nun die eigentliche Barriere
$$\Theta^\pm:=A\theta+B|x-x_0|^2\pm T(u-\ul u)$$
f\"ur noch zu w\"ahlende Konstanten $1\ll B\ll A$.
Fixiert man $B\gg1$ hinreichend gro\ss{}, so gilt
$$B|x-x_0|^2\pm T(u-\ul u)\ge0\quad\text{auf~}
\partial\Omega_\delta$$
mit Gleichheit in $x=x_0$ und somit
$$\Theta^\pm\ge0\quad\text{auf~}\partial\Omega_\delta,$$
wiederum mit Gleichheit in $x=x_0$. Da $|x-x_0|^2\in C^2$
ist, folgt
$$\left|L|x-x_0|^2\right|\le c\cdot\left(1+\tr u^{ij}\right).$$
Somit gilt
$$L\Theta^\pm\le-A\epsilon\tr u^{ij}
+c\left(1+\tr u^{ij}\right),$$
wobei $c$ nun auch von $B$ abh\"angt, was aber nun fixiert ist.
Genau wie oben erh\"alt man aus der geometrisch-arithmetischen
Ungleichung, dass
$$\tr u^{ij}\ge\frac1c>0.$$
Somit kann man $A\gg1$ fixieren, so dass
$$L\Theta^\pm\le0\quad\text{in~}\Omega_\delta$$
gilt. Da $\Theta^\pm\ge0$ auf $\partial\Omega_\delta$,
liefert das Maximumprinzip 
$$\Theta^\pm\ge0\quad\text{in~}\Omega_\delta.$$
Da $\Theta^\pm(x_0)=0$ gilt, folgt 
$$\left\langle D\Theta^\pm(x_0),\nu\right\rangle(x_0)\le0,$$
wobei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $\partial\Omega$ ist.
Somit gilt in $x_0$
$$\langle AD\theta,\nu\rangle+2B\langle x-x_0,\nu\rangle
\pm\langle DT(u-\ul u),\nu\rangle\le0.$$
Aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen ist die erste Ableitung
von $\theta=(u-\ul u)+\alpha d-\mu d^2$ beschr\"ankt. 
Der zweite Term verschwindet. Nach Wahl des Koordinatensystems
folgt also
$$|(T(u-\ul u))_n|\le c.$$
Wir erhalten
\begin{align*}
\fracp{}{x^n}T(u-\ul u)=&
\fracp{}{x^n}(u_t+u_n\omega_t-\ul u_t-\ul u_n\omega_t)\\
=&u_{tn}+u_{nn}\omega_t+u_n\omega_{tn}
-\ul u_{tn}-\ul u_{nn}\omega_t-\ul u_n\omega_{tn}.
\end{align*}
Da $D\omega=0$ f\"ur $\hat x=0$, folgt in $x_0$
$$|u_{tn}|\le c.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Doppelt normale $C^2$-Absch\"atzungen am Rand}
Ziel ist es, eine positive untere Schranke f\"ur die doppelt
tangentialen Ableitungen am Rand zu bewiesen. Dann kann man
die Differentialgleichung f\"ur eine obere Schranke an die
doppelt normalen zweiten Ableitungen von $u$ am Rand ben\"utzen.
(Eine untere Schranke folgt aus der Konvexit\"at von $u$.)
\par
Betrachte
$$\partial\Omega\ni x\mapsto\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
{\xi\in T_x\partial\Omega}{|\xi|=1}}u_{ij}\xi^i\xi^j.$$
Aufgrund der Kompaktheit nimmt diese Funktion ihr Minimum
in einem Punkt $x_0\in\partial\Omega$ an. W\"ahle ein 
Koordinatensystem, so dass
$\left(\hat x,x^n\right)=(0,0)=x_0$.
Lokal gelte $\partial\Omega=\graph\omega$, wobei
$\omega:\R^{n-1}\to\R$ und weiterhin sei 
$w(0)=0$, $D\omega(0)=0$. Sei das Koordinatensystem so 
gedreht, dass
$$u_{11}=\inf\limits_{x\in\partial\Omega}
\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\xi\in T_x\partial\Omega}{|\xi|=1}}
u_{ij}\xi^i\xi^j.$$
Definiere eine Vektorfeld $\xi:\R^n\to\R^n$ nahe $0$ durch
$$\xi:=\frac{e_1-\langle e_1,\nu\rangle\nu}
{|e_1-\langle e_1,\nu\rangle\nu|},$$
wobei
$$\nu\left(\hat x,x^n\right)=
\frac{(D\omega(\hat x),-1)}{\sqrt{1+|D\omega|^2}}.$$
Da $|\xi|=1$ und da $\xi$ auf $\partial\Omega$ tangential ist,
folgt
$$u_{ij}\xi^i\xi^j(x)\ge\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
{\zeta\in T_x\partial\Omega}{|\zeta|=1}}u_{ij}\zeta^i\zeta^j(x)$$
f\"ur $x\in\partial\Omega$ mit Gleichheit in $x=x_0=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Konvexit\"atsbedingung an den Rand}
Auf $\partial\Omega$ gilt $u=\ul u$ und $\xi$ ist tangential.
Also folge auf $\partial\Omega$
$$0=(u-\ul u)_i\xi^i$$
und 
$$0=\left((u-\ul u)_i\xi^i\right)_j\xi^j.$$
Es gilt
\begin{align*}
\xi=&\frac{(1,\,0,\,\ldots,\,0)-\frac{\omega_1(D\omega,-1)}
{1+|D\omega|^2}}{\left|(1,\,0,\,\ldots,\,0)-\frac{\omega_1(D\omega,-1)}
{1+|D\omega|^2}\right|}\\
=&\frac{\left(1+|D\omega|^2-\omega_1^2,\,-\omega_1\omega_2,\,
\ldots,\,-\omega_1\omega_{n-1},\,\omega_1\right)}
{\left|\left(1+|D\omega|^2-\omega_1^2,\,-\omega_1\omega_2,\,
\ldots,\,-\omega_1\omega_{n-1},\,\omega_1\right)\right|}.
\end{align*}
Daher ergibt sich im Punkt $x_0$ 
$$\xi^n_1\equiv\fracp{\xi^n}{x^1}=\omega_{11}.$$
Benutze nun, dass sich die Identit\"at als Summe von 
Tensorprodukten einer Orthonormalbasis darstellen l\"a\ss{}t.
Da die Tangentialableitungen von $u-\ul u$ am Rand verschwinden,
folgt 
$$0=(u-\ul u)_{ij}\xi^i\xi^j+(u-\ul u)_k\nu^k\cdot
\nu_i\xi^i_j\xi^j,$$
wobei $\nu_i$ keine Ableitung ist.
Im Punkt $x_0$ vereinfacht sich dies zu
$$0=(u-\ul u)_{ij}\xi^i\xi^j+(u-\ul u)_n\omega_{11}.$$
Da die Subl\"osung strikt konvex ist, gibt es $c_{\ul u}>0$,
so dass
$$\ul u_{11}\ge\frac1{c_{\ul u}}>0,$$
insbesondere in $x_0$. Nehme weiterhin an, dass in $x_0$
$$0<u_{11}\le\tfrac12\ul u_{11}$$
gilt. Falls $u_{11}(x_0)\ge\frac12\ul u_{11}(x_0)$ gilt,
sind tangentiale zweite Ableitungen gleichm\"a\ss{}ig durch
eine positive Konstante nach unten beschr\"ankt und die n\"achsten
Schritte sind nicht n\"otig.
\par
Es folgt in $x_0$
\begin{align*}
(u-\ul u)_n\omega_{11}=&(\ul u-u)_{11}\\
\ge&\tfrac12\ul u_{11}\ge\tfrac12\frac1{c_{\ul u}}>0.
\end{align*}
Da $u\ge\ul u$ mit Gleichheit auf $\partial\Omega$ gilt, folgt
$$(u-\ul u)_n(x_0)\ge0.$$
Daher ist $\omega_{11}(x_0)$ (eigentlich im Punkte $0$ ausgewertet)
durch eine positive Konstante nach unten abgesch\"atzt. Dies
gilt auch f\"ur $\hat x$ nahe $0$. Ebenso ist
$\nu_i\xi^i_j\xi^j$ f\"ur $\hat x$ nach $0$ nach oben durch
eine negative Konstante gleichm\"a\ss{}ig abgesch\"atzt.
\par
Definiere $\tilde\omega_{11}(x):=-\nu_i\xi^i_j\xi^j>0.$
Es gilt 
$$u_{ij}\xi^i\xi^j=\ul u_{ij}\xi^i\xi^j
+(u-\ul u)_k\nu^k\cdot\tilde\omega_{11}.$$
Aufgrund der Extremalbedingung f\"ur $u_{ij}\xi^i\xi^j$ auf
$\partial\Omega$ folgt dort
\begin{align*}
u_{ij}\xi^i\xi^j(x_0)\le&u_{ij}\xi^i\xi^j(x)\\
=&\ul u_{ij}\xi^i\xi^j(x)+(u-\ul u)_k\nu^k(x)\cdot\tilde\omega_{11}(x).
\end{align*}
Umordnen ergibt
\begin{align*}
(\ul u-u)_\nu(x)\le&\tilde\omega^{-1}_{11}(x)
\left[\ul u_{ij}\xi^i\xi^j(x)-u_{ij}\xi^i\xi^j(x_0)\right]\\
\equiv&\Psi(x). 
\end{align*}
Nach Definition ist $\Psi$ nahe $x_0$ von der Klasse $C^2$ mit
entsprechenden a priori Absch\"atzungen. Es gilt
$$\Psi-\ul u_\nu+u_\nu\ge0\quad\text{auf~}\partial\Omega$$
mit Gleichheit in $x=x_0$. Da $\Psi-\ul u_\nu+u_\nu$ nahe $x_0$
beschr\"ankt ist, gibt es f\"ur gen\"ugend kleines $\delta>0$
ein $B\gg1$, so dass
$$B|x-x_0|^2+\Psi-\ul u_\nu+u_\nu\ge0\quad
\text{auf~}\partial\Omega_\delta.$$
Ist $\delta>0$ klein genug, so existiert $A\gg1$, so dass
$$\Theta:=A\theta+B|x-x_0|^2+\Psi-\ul u_\nu+u_\nu$$
die Differentialungleichung
$$\begin{cases}
L\Theta\le0&\text{in~}\Omega_\delta,\\
\Theta\ge0&\text{auf~}\partial\Omega_\delta
\end{cases}$$
erf\"ullt.
Dazu benutzt man, dass
\begin{align*}
L(u_k\nu^k)\le&\left(u^{ij}u_{ijk}-\hat f_{p_i}u_{ik}\right)\nu^k
+2u^{ij}u_{ki}\nu^k_j+u^{ij}u_k\nu^k_{ij}+c\\
\le&c\left(1+\tr u^{ij}\right)
\intertext{und somit auch}
L\Theta\le&-\epsilon A\tr u^{ij}+c(B+1)\left(1+\tr u^{ij}\right)
\end{align*}
folgt. 
Nach Maximumprinzip gilt somit
$$\Theta\ge0\quad\text{in~}\Omega_\delta$$
mit Gleichheit in $x=x_0$. Damit folgt $\Theta_\nu\le0$
und somit
$$u_{\nu\nu}(x_0)\le c.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Untere Schranke an doppelt tangentiale 
Ableitungen in $x_0$}
W\"ahle ein Koordinatensystem, so dass in $x_0$ f\"ur die 
\"au\ss{}ere Normale $\nu=-e_n$ gilt und so dass
$(u_{ij})_{1\le i,\,j\le n-1}$ in $x_0$ diagonal ist.
\par
Aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen ist $\det D^2u$ 
beiderseitig durch positive Konstanten a priori 
beschr\"ankt. Es gilt in $x_0$
\begin{align*}
\det D^2u=&\det\begin{pmatrix}
u_{11}&0&\hdots&0&u_{1n}\\
0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&u_{n-2\,n}\\
0&\hdots&0&u_{n-1\,n-1}&u_{n-1\,n}\\
u_{1n}&\hdots&u_{n-2\,n}&u_{n-1\,n}&u_{nn}
\end{pmatrix}\\
\le&\prod\limits_{i=1}^nu_{ii}
%-\sum\limits_{j=1}^{n-1}left(\prod\limits^n_{\genfrac{}{}{0pt}{}
%{i=1}{i\neq j}}u_{ii}\right)u_{jn}^2\ge c_1.
\end{align*}
Somit gilt sogar
$$\prod\limits_{i=1}^nu_{ii}\ge c_1.$$
Da alle Faktoren $u_{ii}$ nach oben beschr\"ankt und positiv 
sind, ist auch $u_{11}(x_0)$ nach unten durch eine positive
Konstante beschr\"ankt.
\par
Nach Wahl von $x_0$ ist $u_{11}(x_0)$ die kleinste doppelt
tangentiale Ableitung \"uberhaupt. Somit sind alle doppelt
tangentialen Ableitungen nach unten durch eine positive
Konstante beschr\"ankt. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Obere Schranke an doppelt normale Ableitungen am Rand}
W\"ahle in einem beliebigen Randpunkt ein Koordinatensystem wie
im letzten Abschnitt. Dort gilt
$$c_2\ge\prod\limits_{i=1}^nu_{ii}
-\sum\limits_{j=1}^{n-1}u^2_{jn}\cdot
\prod\limits^{n-1}_{\genfrac{}{}{0pt}{}{i=1}{i\neq j}}u_{ii}.$$
Da alle zweiten Ableitungen im zweiten Term a priori beschr\"ankt
sind, ist $\prod\limits_{i=1}^nu_{ii}$ nach oben gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt. Aufgrund des letzten Abschnittes sind die Faktoren
$u_{ii}$, $1\le i\le n-1$, gleichm\"a\ss{}ig durch positive
Konstanten nach unten beschr\"ankt. Damit ist auch $u_{nn}$
a priori beschr\"ankt und es gilt somit 
$$|D^2u|\le C\quad\text{auf~}\partial\Omega.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Innere $C^2$-Absch\"atzungen}

Betrachte f\"ur $\beta\gg1$ die Abbildung $\tilde w$:
$$\Omega\times\S^{n-1}\ni(x,\xi)\mapsto
\tfrac12\beta|Du|^2+\log u_{\xi\xi}.$$
Es gen\"ugt zu zeigen, dass $\tilde w$ in einem 
inneren lokalen Maximum beschr\"ankt ist. 
\par
Nehme also $\tilde w$ in $x_0\in\Omega$ ein lokales
inneres Maximum an. Nach Rotation des Koordinatensystems 
d\"urfen wir annehmen, dass $\xi=e_1$. Dann nimmt die
Funktion
\begin{align*}
w:\Omega\to&\R,\\
x\mapsto&\tfrac12\beta|Du|^2+\log u_{11}
\end{align*}
in $x_0$ ein lokales inneres Maximum an. Somit gilt dort
\begin{align*}
0=&w_i=\beta u^ku_{ki}+\frac1{u_{11}}u_{11i},\\
0\ge&w_{ij}=\beta u^ku_{kij}+\beta u^k_ju_{ki}
+\frac1{u_{11}}u_{11ij}-\frac1{u_{11}^2}u_{11i}u_{11j}.
\end{align*}
Da $u^{ij}$ positiv definit ist, gilt in diesem Punkt
\begin{align*}
0\ge&\beta u^ku^{ij}u_{ijk}+\beta u^{ij}u^k_ju_{ki}
+\frac1{u_{11}}u^{ij}u_{ij11}
-\frac1{u_{11}^2}u^{ij}u_{11i}u_{11j}\\
=&\beta u^ku^{ij}u_{ijk}+\beta\Delta u
+\frac1{u_{11}}u^{ij}u_{ij11}
-\frac1{u_{11}^2}u^{ij}u_{11i}u_{11j}.
\end{align*}
Differenziere die Gleichung
\begin{align*}
\log\det D^2u=&\hat f(x,u,Du)\\
=&\log f(x,u,Du)
\end{align*}
und erhalte
\begin{align*}
u^{ij}u_{ijk}=&\hat f_k+\hat f_ku_k+\hat f_{p_i}u_{ik},\\
u^{ij}u_{ij11}-u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}=&
\hat f_{11}+2\hat f_{1z}u_1+2\hat f_{1p_i}u_{i1}
+\hat f_{zz}u_1u_1\\
&+2\hat f_{zp_i}u_1u_{i1}
+\hat f_zu_{11}+\hat f_{p_ip_j}u_{i1}u_{j1}
+\hat f_{p_i}u_{i11}.
\end{align*}
Aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen gilt
im Falle $u_{11}\ge1$, was wir ohne Einschr\"ankung
annehmen d\"urfen,
$$\frac1{u_{11}}u^{ij}u_{ij11}\ge
\frac1{u_{11}}u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}
+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_ip_j}u_{i1}u_{j1}
+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_i}u_{i11}-c.$$
Oben eingesetzt ergibt sich daraus
\begin{align*}
0\ge&\beta u^ku^{ij}u_{ijk}+\beta\Delta u\\
&+\frac1{u_{11}}\left(u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}
-\frac1{u_{11}}u^{ij}u_{11i}u_{11j}\right)\\
&+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_ip_j}u_{i1}u_{j1}
+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_i}u_{i11}-c.
\end{align*}
Wir d\"urfen annehmen, dass $u_{ij}$ diagonal ist.
Es folgt
\begin{align*}
u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}\ge&
u^{ik}u^{11}u_{i11}u_{k11}\\
=&u^{ik}\frac1{u_{11}}u_{i11}u_{k11}.
\end{align*}
Somit gilt 
$$0\ge\beta u^ku^{ij}u_{ijk}+\beta\Delta u
+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_ip_j}u_{i1}u_{j1}
+\frac1{u_{11}}\hat f_{p_i}u_{i11}-c.$$
Benutze f\"ur den ersten Term die differenzierte
Gleichung und die Extremalit\"atsbedingung f\"ur 
den letzten Term
\begin{align*}
0\ge&\beta u^k(\hat f_k+\hat f_zu_k+\hat f_{p_i}u_{ik})
+\beta\Delta u-\beta\hat f_{p_i}u^ku_{ki}
-c\left(1+\left|D^2u\right|\right)\\
\ge&(\beta-c)\Delta u-c(1+\beta),
\end{align*}
wobei sich zwei Terme gerade gegenseitig wegheben.
F\"ur hinreichend gro\ss{}es $\beta\gg1$ ist daher
$\Delta u(x_0)\ge u_{11}(x_0)$ nach oben a priori
beschr\"ankt. Wie man durch Testen von $u_{ij}$ mit Vektoren der
Form $(1,1)$ und $(1,-1)$, geeignet mit Nullen 
aufgef\"ullt, sieht, sind damit alle Komponenten von
$u_{ij}(x_0)$ aufgrund der positiven Definitheit
von $D^2u$ a priori beschr\"ankt. 
Es folgt
$$\sup\limits_\Omega\left|D^2u\right|\le
c+\sup\limits_{\partial\Omega}\left|D^2u\right|.$$
Zusammen mit den vorherigen Absch\"atzungen
folgt demnach
$$\Vert u\Vert_{C^2\left(\ol\Omega\right)}\le c.$$
Mit Hilfe der Differentialgleichung sehen wir, dass
die Eigenwerte von $D^2u$ auch nach unten durch eine
positive Konstante a priori beschr\"ankt sind.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Weitere a priori Absch\"atzungen und Existenz}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$C^{2,\alpha}$-Absch\"atzungen}
Da $$D^2u\mapsto\log\det D^2u,$$ 
aufgrund der a priori Absch\"atzungen,
ein gleichm\"a\ss{}ig strikt konkaver,  
gleichm\"a\ss{}ig elliptischer Operator 
ist, sind die Absch\"atzungen von Krylov und 
Safonov \cite{LiebermanBook,GT,Taylor3,KrylovBook} anwendbar.
Wir erhalten 
$$\Vert u\Vert_{C^{2,\alpha}(\Omega)}\le c.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$C^k$-Absch\"atzungen}
Nun wissen wir, dass ``$a^{ij}=u^{ij}$'' in der einmal 
differenzierten Gleichung H\"older-stetig ist. 
Daher liefert die Schaudertheorie, iterativ angewandt 
auf die mehrfach differenzierte Gleichung, $C^k$-Absch\"atzungen
f\"ur beliebiges $k$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Existenz}
Aufgrund der a priori Absch\"atzungen liefert nun 
die Stetigkeitsmethode (im Falle geeigneter Monotonie in $u$)
oder eine Abbildungsgradmethode wie in \cite{BGuanTrans}
die Existenz einer L\"osung.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{appendix}
\chapter{Etwas elementare Algebra}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Differenzieren der Determinante}
\begin{lemma}
Es gilt
$$\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})
=\det(a_{kl})a^{ji},$$
falls $a_{ij}$ invertierbar ist und $a^{ij}$
die Inverse ist, \dh wenn $a^{ij}a_{jk}=\delta^i_k$ gilt.
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gen\"ugt, diese Gleichung nach Multiplikation mit $a_{ik}$
und Summation \"uber $i$ nachzurechnen. Zeige also, dass
$$\frac\partial{\partial a_{ij}}
\det(a_{kl})a_{ik}=\det(a_{kl})\delta^j_k$$ 
gilt. Wir erhalten unmittelbar
$$\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})=
\det\begin{pmatrix}
a_{1\,1} & \hdots & a_{1\,j-1} & 0      & a_{1\,j+1} & \hdots & a_{1\,n}\\
\vdots &        & \vdots    & \vdots & \vdots    &        & \vdots\\
a_{i-1\,1} & \hdots & a_{i-1\,j-1} & 0 & a_{i-1\,j+1} & \hdots & a_{i-1\,n}\\
0 & \hdots & 0 & 1 & 0 & \hdots & 0\\
a_{i+1\,1} & \hdots & a_{i+1\,j-1} & 0 & a_{i+1\,j+1} & \hdots & a_{i+1\,n}\\
\vdots &        & \vdots    & \vdots & \vdots    &        & \vdots\\
a_{n\,1} & \hdots & a_{n\,j-1} & 0 & a_{n\,j+1} & \hdots & a_{n\,n}\\
\end{pmatrix}.$$
Daher gilt
\begin{align*}
\frac\partial{\partial a_{ij}}\det(a_{kl})\cdot a_{ik}=&
\det\begin{pmatrix}
0&\hdots&0&a_{1\,k}&0&\hdots&0\\
a_{2\,1}&\hdots&a_{2\,j-1}&0&a_{2\,j+1}&\hdots&a_{2\,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n\,1}&\hdots&a_{n\,j-1}&0&a_{n\,j+1}&\hdots&a_{n\,n}
\end{pmatrix}\umbruch\\
&+\det\begin{pmatrix}
a_{1\,1}&\hdots&a_{1\,j-1}&0&a_{1\,j+1}&\hdots&a_{1\,n}\\
0&\hdots&0&a_{2\,k}&0&\hdots&0\\
a_{3\,1}&\hdots&a_{3\,j-1}&0&a_{3\,j+1}&\hdots&a_{3\,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n\,1}&\hdots&a_{n\,j-1}&0&a_{n\,j+1}&\hdots&a_{n\,n}
\end{pmatrix}\umbruch\\
&+\hdots\\
=&\det\begin{pmatrix}
a_{1\,1}&\hdots&a_{1\,j-1}&a_{1\,k}&a_{1\,j+1}&\hdots&a_{1\,n}\\
a_{2\,1}&\hdots&a_{2\,j-1}&0&a_{2\,j+1}&\hdots&a_{2\,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n\,1}&\hdots&a_{n\,j-1}&0&a_{n\,j+1}&\hdots&a_{n\,n}
\end{pmatrix}\umbruch\\
&+\det\begin{pmatrix}
a_{1\,1}&\hdots&a_{1\,j-1}&0&a_{1\,j+1}&\hdots&a_{1\,n}\\
a_{2\,1}&\hdots&a_{2\,j-1}&a_{1\,k}&a_{2\,j+1}&\hdots&a_{2\,n}\\
a_{3\,1}&\hdots&a_{3\,j-1}&0&a_{3\,j+1}&\hdots&a_{3\,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n\,1}&\hdots&a_{n\,j-1}&0&a_{n\,j+1}&\hdots&a_{n\,n}
\end{pmatrix}\umbruch\\
&+\hdots\\
=&\det\begin{pmatrix}
a_{1\,1}&\hdots&a_{1\,j-1}&a_{1\,k}&a_{1\,j+1}&\hdots&a_{1\,n}\\
\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{n\,1}&\hdots&a_{n\,j-1}&a_{n\,k}&a_{n\,j+1}&\hdots&a_{n\,n}
\end{pmatrix}\umbruch\\
=&\delta^j_k\det(a_{rs}).
\end{align*}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Differenzieren der Inversen}
\begin{lemma}
Sei $a_{ij}(t)$ differenzierbar von $t$ abh\"angig mit 
Inverser $a^{ij}(t)$. Dann gilt
$$\dt a^{ij}=-a^{ik}a^{lj}\dt a_{kl}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt
$$a^{ik}a_{kj}=\delta^i_j.$$
Nehme an, es gibt $\tilde a^{ij}$ mit
$$a_{ik}\tilde a^{kj}=\delta^j_i.$$
Dann gilt $a^{ij}=\tilde a^{ij}$, da
\begin{align*}
a^{ij}=&a^{ik}\delta^j_k=a^{ik}\left(a_{kl}\tilde a^{lj}\right)\\
=&\left(a^{ik}a_{kl}\right)\tilde a^{lj}=\tilde a^{ij}.
\end{align*}
Differenzieren liefert 
\begin{align*}
0=&\dt\delta^i_j=\dt\left(a^{ik}a_{kj}\right)\\
=&\dt a^{ik}a_{kj}+a^{ik}\dt a_{kj}
\end{align*}
und somit folgt
\begin{align*}
\dt a^{il}=&\dt a^{ik}\delta^l_k\\
=&\dt a^{ik}a_{kj}a^{jl}\\
=&-a^{ik}\dt a_{kj}a^{jl}.
\end{align*}
\end{proof}
\end{appendix}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{Schoutentensorgleichungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\addtocounter{chapter}{2}
% Scheint aufgrund des zuvor eingef\"ugten Anhanges n\"otig 
% zu sein.
\chapter{Grundlagen}
Wir m\"ochten innere a priori Absch\"atzungen beweisen.
Diese finden sich in \cite{GuanLocalSchouten}
und in \"uberarbeiteter Version in \cite{TrudWangYamabe}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Zul\"assige Kegel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Sei $\sigma_k:\R^n\to\R$, $0\le k\le n$, die $k$-te 
elementarsymmetrische Funktion, $\sigma_0\equiv1$.
$\sigma_k=1$ f\"ur $k<0$ und $\sigma_k=0$ f\"ur $k>n$. 
F\"ur $1\le k\le n$ gilt
$$\sigma_k(\lambda)=\sum\limits_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}
\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_k}.$$
Definiere
$$\Gamma_k:=\left\{\lambda\in\R^n:\sigma_l(\lambda)>0
\text{~f\"ur alle~}0\le l\le k\right\}$$
und
$$\sigma_{k;i}(\lambda):=\sigma_k(\lambda)|_{\lambda_i=0}.$$
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{sigma k lem}
Sei $\lambda\in\Gamma_k$, $1\le k\le n$, 
und sei $\lambda_1\ge\ldots\ge\lambda_n$.
Dann gilt
\begin{align}
\fracp{\sigma_{k}}{\lambda_i}(\lambda)=&
\sigma_{k-1;i}(\lambda),\tag{i}\label{a}\umbruch\\
\fracp{\sigma_k}{\lambda_i}(\lambda)>&0,
\tag{ii}\label{b}\umbruch\\
\lambda_k\ge&0,\tag{iii}\label{c}\umbruch\\
\sigma_k(\lambda)=&\sigma_{k;i}(\lambda)+\lambda_i\sigma_{k-1;i}(\lambda),
\tag{iv}\label{d}\umbruch\\
\sum\limits_{i=1}^n\sigma_{k-1;i}(\lambda)=&(n-k+1)\sigma_{k-1}(\lambda),
\tag{v}\label{e}\umbruch\\
\sigma_{k-1;n}(\lambda)\ge&\ldots\ge\sigma_{k-1;1}(\lambda)>0,
\tag{vi}\label{f}\umbruch\\
\sigma_{k-1;k}(\lambda)\ge& c_{n,k}\sum\limits_{i=1}^n
\sigma_{k-1;i}(\lambda),\quad c_{n,k}>0,\tag{vii}\label{g}\umbruch\\
\sigma_{k-1}(\lambda)\ge&\frac k{n-k+1}
\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}^{1/k}
(\sigma_k(\lambda))^\frac{k-1}k.\tag{viii}\label{h}
\end{align}
Weiterhin ist $(\sigma_k(\lambda))^{1/k}$ in $\Gamma_k$ konkav.
\"Uberdies ist $\sigma_k$ konkav, wenn man es als Funktion einer 
symmetrischen Matrix betrachtet.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweisskizze]
\eqref{a} ist elementar.

\eqref{b} folgt aus \cite{CNS3} und \cite{GardingHyperbolic}.

\eqref{c} folgt durch wiederholte Anwendung von
\cite[Lemma 2.4]{HuiskenSinestrari2}, das besagt, dass
$\lambda\in\Gamma_k$ auch impliziert, dass
$\sigma_{h;i}(\lambda)>0$ ist f\"ur $0\le h\le k-1$
und beliebiges $i$. Die Behauptung folgt dann aus
$\lambda_k+\lambda_{k+1}+\ldots+\lambda_n>0$.

\eqref{d} folgt direkt nach Definition, siehe auch
\cite{LinTrudingerInequ}.

\eqref{e} folgt auch direkt nach Definition, 
siehe aber auch \cite{HuiskenSinestrari2,LinTrudingerInequ}.

\eqref{f} findet sich in \cite{ChouWangVariational},
dort aber auch ohne Beweis. Die Behauptung folgt aber aus
$$\sigma_{k-1}(\lambda)=\lambda_i\lambda_j\sigma_{k-3;ij}(\lambda)+
\lambda_i\sigma_{k-2;ij}+\lambda_j\sigma_{k-2;ij}
+\sigma_{k-1;ij},$$
da \cite[Lemma 2.4]{HuiskenSinestrari2} 
die Ungleichung $\sigma_{k-2;ij}>0$ liefert.
Setze nun $\lambda_i=0$.
Falls $k=2$ ist, ersetze $\sigma_{k-3;ij}$ in der obigen Formel
durch $0$. F\"ur $k=1$ ist die Behauptung offensichtlich und die
obige Formel wird \"uberhaupt nicht ben\"otigt.  

\eqref{g} folgt aus \eqref{e} und \cite{LinTrudingerInequ}.

\eqref{h} folgt aus der MacLaurinschen Ungleichung  
\cite{MitrinovicInequalities,IvochkinaCones}
$$\left(\frac1{\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{k}}
\sigma_k(\lambda)\right)^{1/k}\le
\left(\frac1{\genfrac{(}{)}{0pt}{}{n}{l}}\sigma_l(\lambda)\right)^{1/l}$$
for $\lambda\in\Gamma_k$ and $k\ge l\ge1$, hier
angewandt f\"ur $l=k-1$. 

Die Konkavit\"at folgt aus \cite{CNS3} und
\cite{GardingHyperbolic} und \cite{IvochkinaCones}
sowie \cite{AndrewsContractCalc,CGJDG1996}
$$F^{ij,kl}\eta_{ij}\eta_{kl}=\sum\limits_{i,j}
\fracp{^2F}{\lambda_i\partial\lambda_j}\eta_{ii}\eta_{jj}
+\sum\limits_{i\neq j}\frac{\fracp F{\lambda_i}-\fracp F{\lambda_j}}
{\lambda_i-\lambda_j}(\eta_{ij})^2.$$
\end{proof}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Geometrie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Der Schoutentensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der
Dimension $n\ge3$ ist definiert als
$$S_{ij}=\frac1{n-2}\left(R_{ij}-\frac1{2(n-1)}Rg_{ij}\right).$$
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Der Riemannsche Kr\"ummungstensor ist die Summe des konform
invarianten Weyltensors (mit einem gehobenen Index) und des
Kulkarni-Nomizu-Produktes der Metrik mit dem Schoutentensor.
Also beinhaltet der Schou\-ten\-ten\-sor die geometrisch 
interessante Information bei konformen Deformationen der
Metrik. 
\end{remark}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}\label{e schouten}
Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $v\in C^2(M)$. Dann 
ist der Schoutentensor $\tilde S_{ij}$ der konform \"aquivalenten
Mannigfaltigkeit $\left(\tilde M,\tilde g\right)=\left(M,e^{-2v}g\right)$
gegeben durch
$$\tilde S_{ij}=v_{ij}+v_iv_j-\tfrac12\vert\nabla v\vert^2g_{ij}
+S_{ij},$$
wobei wir Indices f\"ur kovariante Ableitungen schreiben.
\end{lemma}
\begin{proof}
Durch direktes Einsetzen in die Definitionen erh\"alt man 
nacheinander Ausdr\"ucke f\"ur $\tilde\Gamma^i_{jk}$,
$\tilde R^i{}_{jkl}$, $\tilde R_{ij}$, $\tilde R$ und
$\tilde S_{ij}$. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Man verwendet unterschiedliche Schreibweisen f\"ur den konformen
Faktor. Wir ben\"otigen noch das folgende
\begin{lemma}
Die Mannigfaltigkeit $\left(\tilde M,\tilde g\right)
=\left(M,u^{-2}g\right)$, $u\in C^2(M,\R_{>0})$ besitzt den
Schoutentensor $\tilde S_{ij}$ gegeben durch
$$u\tilde S_{ij}=u_{ij}-\tfrac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
+uS_{ij}.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt $e^{-2v}=u^{-2}$ mit $v$ wie in Lemma \ref{e schouten}.
Wir erhalten
\begin{align*}
v=&\log u,\\
v_i=&\frac1uu_i,\\
v_{ij}=&\frac1uu_{ij}-\frac1{u^2}u_iu_j.
\end{align*}
Somit folgt
\begin{align*}
\tilde S_{ij}=&v_{ij}+v_iv_j-\tfrac12\vert\nabla v\vert^2g_{ij}+S_{ij}\\
=&\frac1uu_{ij}-\frac1{u^2}u_iu_j+\frac1{u^2}u_iu_j
-\frac1{2u^2}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}+S_{ij},
\end{align*}
woraus die Behauptung folgt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}
Die $k$-te elementarsymmetrische Funktion der Eigenwerte des
Schou\-ten\-ten\-sors bez\"uglich der Metrik ist $f$, falls
$$\sigma_k\left(\lambda\left(u\tilde S_{il}g^{lj}\right)\right)
=u^{-k}f$$
gilt, wobei $\lambda\left(u\tilde S_{il}g^{lj}\right)$
die Eigenwerte von $u\tilde S_{il}g^{lj}$ bezeichnet. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Es gilt
\begin{align*}
f=&\sigma_k\left(\lambda\left(\tilde S_{il}\tilde g^{lj}\right)\right)\\
=&\sigma_k\left(u\lambda\left(\tilde S_{il}\frac1uu^2g^{lj}\right)\right)\\
=&u^k\sigma_k\left(\lambda\left(u\tilde S_{il}g^{lj}\right)\right).
\end{align*}
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Wir schreiben auch
$$\sigma_k\left(u_{ij}-\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
+uS_{ij}\right)=u^{-k}f,$$
falls die Hintergrundmetrik $g_{ij}$ fixiert ist. 
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
Eine konforme Deformation (oder die zugeh\"orige Funktion, die
diese Deformation induziert) heisst (f\"ur festes $k$) zul\"assig,
falls die Eigenwerte des Schoutentensors der konform deformierten
Metrik in $\Gamma_k$ liegen.
\end{definition}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Lokale a priori Absch\"atzungen}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Lokale $C^1$-Absch\"atzungen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
F\"ur die $C^1$-Absch\"atzungen, die der kompliziertere Teil 
der inneren a priori Ab\-sch\"a\-tzun\-gen sind, erhalten wir
\cite{GuanLocalSchouten,TrudWangYamabe}.

\begin{theorem}\label{local schouten thm}
Sei $1\le k<n$, $0<p\in\R$. Die Funktion $u$ 
sei eine zul\"assige $C^3$-L\"osung von
$$\sigma_k\left(u_{ij}-\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
+uS_{ij}\right)=f(x)u^{-p}$$
in einem geod\"atischen Ball $B_r(x_0)$, $x_0$ ein 
beliebiger Punkt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Sei $u\in C^3\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$ positiv und zul\"assig,
$S_{ij}\in C^1\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$
und $0<f(x)\in C^1\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$. Dann gilt
$$\frac{\vert\nabla u\vert}u(x_0)\le
c\left(n,k,p,r,\inf\limits_{B_r(x_0)}u,
\Vert f\Vert_{C^1(B_r(x_0))},
\inf\limits_{B_r(x_0)}f,
\Vert S_{ij}\Vert_{C^1}\right).$$
\end{theorem}

\begin{remark}
Auch f\"ur allgemeinere rechte Seiten $f(x,u)$ gilt eine
solche Ab\-sch\"atz\-ung, die dann aber auch von $\sup u$ 
abh\"angt. 

Die Absch\"atzungen vereinfachen sich, wenn man statt
$\frac1{u^2}$ in der Testfunktion 
$\left(\frac1{u-\delta}\right)^2$,
$\delta=\frac12\inf u$ verwendet. Die Absch\"atzung 
h\"angt dann allerdings auch von $\sup u$ ab. 
(Habe diese Behauptung nicht \"uberpr\"uft.)

Siehe dazu \cite{TrudWangYamabe}.

Der Beweis dort scheint im Falle $k=n$ nicht zu funktionieren.
Das Resultat ist aber trotzdem richtig. Wir werden es im 
Anschlu\ss{} separat beweisen. Neil Trudinger verweist
auf \cite{SophieChenLocal} f\"ur eine sch\"one Darstellung, 
die in allen F\"allen funktioniert.
\end{remark}

\begin{proof}[Proof of Theorem \ref{local schouten thm}]
Schreibe die Differentialgleichung in der Form
$$F[u]=f(x)u^{-p}.$$
Definiere
$$z:=\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\rho^2,$$
wobei 
$$\rho(x):=\left(1-\frac{(\dist(x,x_0))^2}{r^2}\right)^+$$
eine Abschneidefunktion ist. 

Die Behauptung folgt, falls $z$ in einem Maximum durch
eine Konstante wie in der Behauptung nach oben 
abgesch\"atzt ist.

Nehme daher an, dass $z$ in $x_1\in B_r(x_0)$ maximal sei.
Fixiere ein Riemannsches Normalkoordinatensystem, so dass
$g_{ij}=\delta_{ij}$, $g_{ij,k}=0$, $\Gamma^k_{ij}=0$
in $x_1$ gilt. Nehme an, dass 
$$\vert\nabla u\vert=u_1>0$$
im Punkt $x_1$ gilt. 

Differenzieren der betrachteten Testfunktion liefert
\begin{align*}
\tfrac12\log z=&\tfrac12\log\vert\nabla u\vert^2
-\log u+\log\rho,\\
0=&\left(\tfrac12\log z\right)_i\\
=&\frac{u^ku_{ki}}{\vert\nabla u\vert^2}
-\frac{u_i}u+\frac{\rho_i}\rho,\\
0\ge&\left(\tfrac12\log z\right)_{ij}\\
=&\frac{u^ku_{kij}+u^k_ju_{ki}}{\vert\nabla u\vert^2}
-2\frac{u^ku_{ki}u^lu_{lj}}{\vert\nabla u\vert^4}
-\frac{u_{ij}}u+\frac{u_iu_j}{u^2}
+\frac{\rho_{ij}}\rho-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}.
\end{align*}
Beachte hierbei, dass in $x_1$ die erste Ableitung von
$\log z$ verschwindet. Somit stimmen in diesem Punkt 
kovariante zweite Ableitungen und partielle zweite
Ableitungen \"uberein und es folgt die angegebene
Semidefinitheit.

Im Punkt $x_1$ vereinfacht sich dies zu
\begin{align*}
0=&\frac{u_{1i}}{u_1}-\frac{u_i}u+\frac{\rho_i}\rho,\\
0\ge&\frac{u_{1ij}}{u_1}+\frac{u^k_ju_{ki}}{u^2_1}
-2\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}
-\frac{u_{ij}}u+\frac{u_iu_j}{u^2}
+\frac{\rho_{ij}}\rho-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}\\
=&\frac{u_{1ij}}{u_1}+\sum\limits_{\alpha>1}
\frac{u_{\alpha j}u_{\alpha i}}{u^2_1}
-\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}
-\frac{u_{ij}}u+\frac{u_iu_j}{u^2}
+\frac{\rho_{ij}}\rho-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}.
\end{align*}
Betrachte $F$ als Funktion von 
$$\left(r_{ij}=u_{ij}-\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
+uS_{ij},g_{ij}\right)$$
und setze 
$$F^{ij}=\fracp{}{r_{ij}}\sigma_k(\lambda(r)).$$
Differenzieren der Gleichung $F[u]=f(x)u^{-p}$
liefert
$$F^{ij}\left(u_{ij1}+\left(\frac{\vert\nabla u\vert^2u_1}{2u^2}
-\frac{u^ku_{k1}}{u}\right)g_{ij}
+(uS_{ij})_1\right)=\left(f(x)u^{-p}\right)_1.$$
Dies vereinfacht sich im Punkt $x_1$ zu
$$F^{ij}\left(u_{ij1}+\left(\frac{u_1^3}{2u^2}
-\frac{u_1u_{11}}{u}\right)g_{ij}
\right)=\left(f(x)u^{-p}\right)_1-F^{ij}(uS_{ij})_1.$$
Dritte Ableitungen lassen sich wie folgt vertauschen
$$u_{ij1}=u_{1ij}+R^l{}_{ij1}u_l.$$
Wir erhalten somit in $x_1$ mit $F^{ij}g_{ij}=\tr F^{ij}$
\begin{align*}
0\ge&F^{ij}\left(\tfrac12\log z\right)_{ij}\\
=&\frac1{u_1}F^{ij}\left(u_{ij1}-R^l{}_{ij1}u_l\right)
+\sum\limits_{\alpha>1}F^{ij}\frac{u_{\alpha j}u_{\alpha i}}{u_1^2}
-F^{ij}\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}\\
&-F^{ij}\frac{u_{ij}}u+F^{ij}\frac{u_iu_j}{u^2}
+F^{ij}\left(\frac{\rho_{ij}}\rho-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}\right)\\
\ge&\frac1{u_1}\left(\left(fu^{-p}\right)_1
-F^{ij}(uS_{ij})_1
-\left(\frac{u^3_1}{2u^2}-\frac{u_1u_{11}}{u}\right)\tr F^{ij}\right)\\
&-c\tr F^{ij}
+\sum\limits_{\alpha>1}F^{ij}\frac{u_{\alpha j}u_{\alpha i}}{u_1^2}
-F^{ij}\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}\\
&-F^{ij}\frac{u_{ij}}u+F^{11}\frac{u_1^2}{u^2}
+F^{ij}\left(\frac{\rho_{ij}}\rho-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}\right).
\end{align*}
Aufgrund der Eulerschen Homogenit\"atsrelation erhalten wir
\begin{align*}
-\frac1uF^{ij}u_{ij}=&-\frac1uF^{ij}
\left(u_{ij}-\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}+uS_{ij}\right)\\
&-\frac1{2u^2}\vert\nabla u\vert^2\tr F^{ij}+F^{ij}S_{ij}\\
=&-\frac1ukF-\frac1{2u^2}\vert\nabla u\vert^2\tr F^{ij}
+F^{ij}S_{ij}\\
\ge&-\frac1ukfu^{-p}-\frac{u_1^2}{2u^2}\tr F^{ij}-c\tr F^{ij}\\
\ge&-\frac c{u^{p+1}}-\frac{u_1^2}{2u^2}\tr F^{ij}-c\tr F^{ij}.
\end{align*}
Weiterhin gilt die folgende einfache Absch\"atzung
\begin{align*}
&\frac1{u_1}\left(\left(fu^{-p}\right)_1
-F^{ij}(uS_{ij})_1\right)\\
\ge&-c\frac{u^{-p}}{u_1}-cu^{-p-1}-c\tr F^{ij}
-c\frac u{u_1}\tr F^{ij}\\
\ge&-c\left(u^{-p-1}+\frac{u^{-p}}{u_1}\right)
-c\left(1+\frac u{u_1}\right)\tr F^{ij}.
\end{align*}
Nun gilt mit $d=\dist(x,x_0)$ in $B_r(x_0)$
\begin{align*}
\rho_i=&-\frac{2dd_i}{r^2},\\
\rho_{ij}=&-\frac{2dd_{ij}+2d_id_j}{r^2},\\
F^{ij}\left(\frac{\rho_{ij}}{\rho}-\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}\right)=&
-\frac2{\rho r^2}F^{ij}(dd_{ij}+d_id_j)
-\frac{4d^2}{r^4\rho^2}F^{ij}d_id_j\\
\ge&-\frac c{\rho r^2}\tr F^{ij}
-\frac4{r^2\rho^2}\tr F^{ij}\\
\ge&-c\frac1{r^2\rho^2}\tr F^{ij},
\end{align*}
da $d\le r$, $\vert\nabla d\vert\le1$ fast \"uberall und
$0\le\rho\le1$. Diese Absch\"atzung gilt zun\"achst nur
f\"ur $x\neq x_0$, da $d$ in $x_0$ nicht differenzierbar ist.

Da $\rho\in C^2(B_r(x_0))$ folgt die Absch\"atzung dann aus
Stetigkeitsgr\"unden aber auch in ganz $B_r(x_0)$.

Oben eingesetzt ergibt sich
\begin{align*}
0\ge&\sum\limits_{\alpha>1}F^{ij}\frac{u_{\alpha i}u_{\alpha j}}
{u_1^2}-F^{ij}\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}\\
&-\frac c{u^{p+1}}-\frac{u_1^2}{2u^2}\tr F^{ij}-c\tr F^{ij}
+F^{11}\frac{u_1^2}{u^2}-\frac c{r^2\rho^2}\tr F^{ij}\\
&-\frac c{u_1u^p}-c\left(1+\frac u{u_1}\right)\tr F^{ij}
-\frac{u_1^2}{2u^2}\tr F^{ij}
+\frac{u_{11}}u\tr F^{ij}.
\end{align*}
Hier heben sich drei Terme gegenseitig weg.

Benutze nun 
$$\frac{\vert\nabla \rho\vert}\rho\le\frac c{r\rho}$$
und die Extremalbedingung in $x_1$
\begin{align*}
&\frac{u_{11}}{u_1}\frac{u_1}u\tr F^{ij}-F^{ij}\frac{u_{1i}u_{1j}}{u_1^2}\\
=&\frac{u_1}u\left(\frac{u_1}u-\frac{\rho_1}\rho\right)\tr F^{ij}
-F^{ij}\left(\frac{u_i}u-\frac{\rho_i}\rho\right)
\left(\frac{u_j}u-\frac{\rho_j}\rho\right)\\
=&\frac{u_1^2}u\tr F^{ij}-c\frac{u_1}{u}\frac1{r\rho}\tr F^{ij}
-F^{ij}\frac{u_iu_j}{u^2}+2F^{ij}\frac{u_i}u\frac{\rho_j}\rho
-F^{ij}\frac{\rho_i\rho_j}{\rho^2}\\
\ge&-c\frac{u_1}u\frac1{r\rho}\tr F^{ij}
-\frac c{r^2\rho^2}\tr F^{ij}.
\end{align*}
Ist $\frac{u_1}u\le1$, so ist die Behauptung trivial, da $z$
gleichm\"a\ss{}ig nach oben beschr\"ankt ist. Sonst folgt 
in $x_1$
$$0\ge\sum\limits_{\alpha_1}F^{ij}\frac{u_{\alpha i}u_{\alpha j}}{u_1^2}
-c\left(\frac1{r^2\rho^2}+\frac{u_1}u\frac1{r\rho}+1\right)\tr F^{ij}
-\frac c{u_1u^p}-\frac c{u^{p+1}}.$$
Nehme zun\"achst an, dass es $\epsilon>0$ gibt, so dass
$$\sum\limits_{\alpha>1}u_{\alpha i}u_{\alpha j}\ge
\epsilon\frac{\vert\nabla u\vert^4}{u^2}\tr F^{ij}
-cu^2\tr F^{ij}$$
gilt, was wir im n\"achsten Lemma beweisen wollen.

Nach Lemma \ref{sigma k lem} \eqref{a}, \eqref{e} und \eqref{h}
erhalten wir
\begin{align*}
\tr F^{ij}=&\sum\limits_i\fracp{\sigma_k}{\lambda_i}\umbruch\\
=&\sum\limits_i\sigma_{k-1;i}(\lambda)\umbruch\\
=&(n-k+1)\sigma_{k-1}(\lambda)\umbruch\\
\ge&k{\genfrac{(}{)}{0pt}{}nk}^{1/k}
(\sigma_k(\lambda))^\frac{k-1}k\umbruch\\
=&k{\genfrac{(}{)}{0pt}{}nk}^{1/k}(f(x))^\frac{k-1}k
u^{-p\frac{k-1}k}\umbruch\\
\ge&\frac1ck{\genfrac{(}{)}{0pt}{}nk}^{1/k}\frac1{u^p},
\end{align*}
wobei $c$ insbesondere von $\inf f$ und $\inf u$ abh\"angt. 

Wir erhalten also
\begin{align*}
&\frac\epsilon2\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\tr F^{ij}
+\frac\epsilon{2c}\frac1{u^p}\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\\
\le&c\left(\frac{u^2}{u_1^2}+\frac1{r^2\rho^2}
+\frac{u_1}uu\frac1{r\rho}+1\right)\tr F^{ij}
+\left(\frac c{u_1u^p}+\frac c{u^{p+1}}\right).
\end{align*}

Nehme zun\"achst an, dass der Term mit der Spur der gr\"o\ss{}te 
der beiden Ausdr\"ucke auf der rechten Seite ist. Dann erhalten
wir
\begin{align*}
\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\le& c\left(\frac{u^2}{u_1^2}
+\frac1{r^2\rho^2}+\frac{u_1}u\frac1{r\rho}+1\right)\\
\le&\frac12\frac{u_1^2}{u^2}
+c\left(1+\frac1{r^2\rho^2}\right)
\end{align*}
aufgrund der Cauchyschen Ungleichung und da $\frac{u_1}u\ge1$.
Wir multiplizieren mit $\rho^2$ un benutzen, dass $0\le\rho\le1$
$$\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}(x_0)=
\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\rho^2(x_0)\le
\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\rho^2(x_1)\le
c\left(1+\frac1{r^2}\right)\le c.$$
Damit folgt die Behauptung in diesem Fall.

Sonst erhalten wir in $x_1$
$$\frac{\vert\nabla u\vert^2}{u^2}\le c\left(\frac1{u_1}+\frac1u\right)
\le c\left(\frac u{u_1}+1\right)\frac1u\le c,$$
da die Konstante von $\inf u$ abh\"angen darf. Der Rest des 
Argumentes folgt nun wie oben.

Somit bleibt noch das angek\"undigte Lemma zu beweisen.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lemma}
Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{local schouten thm}
und den ohne Einschr\"ankungen gemachten Annahmen
gibt es $\epsilon>0$, das von denselben Gr\"o\ss{}en wie $c$
im Theorem abh\"angt, so dass in einem Normalkoordinatensystem
wie im Theorem
$$\sum\limits_{\alpha>1}F^{ij}u_{\alpha i}u_{\alpha j}\ge
\epsilon\frac{\vert\nabla u\vert^4}{4u^2}\tr F^{ij}
-cu^2\tr F^{ij}$$
gilt oder es gilt die Behauptung von Theorem \ref{local schouten thm}.
\end{lemma}
\begin{proof}
(Erst hier ist das modifizierte Argument in \cite{TrudWangYamabe}
deutlich k\"urzer.)

Definiere $b:=\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2$ und
$\tilde u_{ij}=u_{ij}+uS_{ij}$.

Es gen\"ugt, die folgende Ungleichung nachzuweisen
$$A:=\sum\limits_{\alpha>1}F^{ij}\tilde u_{\alpha i}\tilde u_{\alpha j}
\ge\epsilon b^2\tr F^{ij}.$$
Der allgemeine Fall folgt dann direkt durch Einsetzen der Definition
von $\tilde u_{ij}$ aus der Cauchyschen Ungleichung.

Nach Rotation des Koordinatensystems
d\"urfen wir annehmen, dass $\tilde u_{ij}$ in einem festen 
Punkt diagonal ist. 
Dann ist auch $F^{kl}$ in diesem Punkt diagonal. 
(Dies sieht man direkt, wenn man $\sigma_k$ durch
Unterdeterminanten ausdr\"uckt.)
Dann sind die Eigenwerte von 
$$\tilde u_{ij}-\tfrac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
=u_{ij}-\tfrac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}+uS_{ij}$$
gegeben durch 
$$\lambda_1=\tilde u_{11}-b,\ldots,\lambda_n=\tilde u_{nn}-b.$$
Sei $\xi$ ein Einheitsvektor, der so gew\"ahlt ist, dass
$u_\xi=|\nabla u|$ im betrachteten Punkt gilt. Nehme weiterhin 
an, dass nach einer weiteren Rotation des Koordinatensystems
zus\"atzlich noch $\lambda_1\ge\ldots\ge\lambda_n$ gilt.

In diesen neuen Koordinaten gilt 
$$A=\sum\limits_i\left(F^{ii}\tilde u_{ii}^2
-F^{ii}\tilde u_{\xi i}^2\right).$$

Nehme zun\"achst an, dass es ein kleines, noch zu fixierendes, 
$\delta_0$ gibt, so dass f\"ur alle 
Einheitsvektoren $e_i$ die Ungleichung 
$\langle e_i,\xi\rangle\le1-\delta_0$ gilt. Dann folgt
mit $a_{ij}=F^{kl}\tilde u_{ki}\tilde u_{lj}$
\begin{align*}
A=&\tr a_{ij}-\sum\limits_{i,j}
a_{ij}\langle\xi,e_i\rangle\langle\xi,e_j\rangle\umbruch\\
=&\sum\limits_ia_{ii}
-\sum\limits_ia_{ii}\langle\xi,e_i\rangle^2\umbruch\\
\ge&\sum\limits_ia_{ii}\left(1-(1-\delta)^2\right)\umbruch\\
=&\left(2\delta_0-\delta_0^2\right)\tr a_{ij}\umbruch\\
\ge&\delta_0\tr a_{ij}.
\end{align*}
Da $\lambda\in\Gamma_k$ folgt insbesondere $\lambda_k>0$
oder \"aquivalent $\tilde u_{kk}>b$. 
Wir benutzen Lemma \ref{sigma k lem} \eqref{a}, \eqref{g}
$$A\ge\delta_0b^2F^{kk}
\ge\delta_1b^2\tr F^{ij}$$
f\"ur ein $\delta_1$ mit $\delta_0>\delta_1>0$
und beschr\"anktem Quotienten $\delta_0/\delta_1$.
In diesem Fall folgt also die Behauptung des Lemmas. 

Betrachte nun den Fall, dass ein $i^*$ existiert, so dass
$\langle e_{i^*},\xi\rangle>1-\delta_0$ gilt.
Nehme an, dass $\delta_0<\frac14$ gilt.
Wir erhalten f\"ur $i\neq i^*$
$$\langle e_i,\xi\rangle^2\le\sum\limits_{j\neq i^*}
\langle e_j,\xi\rangle^2+\langle e_{i^*},\xi\rangle^2
-\langle e_{i^*},\xi\rangle^2
\le1-(1-\delta_0)^2=(2-\delta_0)\delta_0<2\cdot\tfrac14
=\tfrac12.$$
Es folgt
\begin{equation}\label{A est}
A\ge\tfrac12\sum\limits_{i\neq i^*}F^{ii}\tilde u_{ii}^2.
\end{equation}
Nehme an, dass es $j\ge k$, $j\neq i^*$, gibt, so dass
$\tilde u_{jj}\ge\alpha b$ f\"ur eine nach unten 
kontrollierte Konstante $\alpha>0$. Dann erhalten
wir mit Lemma \ref{sigma k lem} \eqref{a}, \eqref{f} und 
\eqref{g}
$$A\ge\tfrac12 F^{jj}\tilde u_{jj}^2
\ge\tfrac12 F^{kk}(\alpha b)^2\ge\delta_2 b^2\tr F^{ij}$$
f\"ur eine Konstante $\delta_2$ mit $\delta_0>\delta_2>0$ 
und kontrolliertem Quotienten $\delta_0/\delta_2$.
Falls dies nicht erf\"ullt ist, muss dies an der Bedingung
an $j$ liegen, da stets $\tilde u_{kk}=\lambda_k+b\ge b$
gilt. Daher gilt in diesem Fall $i^*=k$.

Nehme also im Folgenden an, dass $i^*=k$ gilt mit 
$\langle e_{i^*},\xi\rangle>1-\delta_0$ und dass 
es kein $j$ wie oben beschrieben gibt.

Wir unterscheinen zwei F\"alle:

1. Fall: Gelte zun\"achst $k\le n-2$. 
Aus dem Beweis von Lemma \ref{sigma k lem} \eqref{c} 
erhalten wir $\lambda_k+\cdots+\lambda_n\ge0$, also 
auch $\lambda_k\ge-(\lambda_{k+1}+\cdots+\lambda_n)$.
Nach Annahme gilt f\"ur alle $j\ge k+1$ die Ungleichung
$\tilde u_{jj}\le\alpha b$ und somit nach Definition
von $\lambda$ auch $\lambda_j\le-(1-\alpha)b$. 
Somit folgt
$$\lambda_k\ge(n-k)(1-\alpha)b\ge2(1-\alpha)b,$$
da wir $k\le n-2$ angenommen hatten.

Andererseits d\"urfen wir annehmen, dass
$$\left\vert\frac{\rho_\xi}\rho\right\vert
\le\alpha\frac{u_\xi}u$$
gilt. Sonst erhalten wir mit einer Absch\"atzung
f\"ur $\nabla\rho$ wie im Beweis von Theorem 
\ref{local schouten thm}
\begin{equation}\label{uxiu eqn}
\alpha\frac{u_\xi}u\le
\left\vert\frac{\rho_\xi}\rho\right\vert
\le\left\vert\frac{\nabla\rho}\rho\right\vert
\le\frac c{r\rho}
\end{equation}
und Theorem \ref{local schouten thm} folgt direkt
aus dieser Ungleichung. Weiterhin d\"urfen wir
annehmen, dass auch $1+|S_{\xi\xi}|\le\epsilon\frac{\vert\nabla u\vert}u$
f\"ur eine kleine Konstante $\epsilon>0$ gilt, 
da auch sonst das Theorem direkt
folgt. Somit erhalten wir mit Hilfe der Extremalit\"atsbedingung
in der Testfunktion in Theorem \ref{local schouten thm}, wobei hier
$e_1$ dem Vektor $\xi$ entspricht
\begin{align*}
\tilde u_{\xi\xi}=&u_{\xi\xi}+uS_{\xi\xi}\\
\le&u_\xi\frac{u_{\xi\xi}}{u_\xi}+\epsilon\vert\nabla u\vert\\
\le&\vert\nabla u\vert
\left(\frac{u_\xi}u-\frac{\rho_\xi}\rho\right)+\epsilon
\frac{\vert\nabla u\vert^2}u\\
\le&\vert\nabla u\vert(1+\alpha)\frac{\vert\nabla u\vert}u
+\epsilon\frac{\vert\nabla u\vert^2}u\\
=&\left(2+2\alpha+2\epsilon\right)b\\
\equiv&(2+\tilde\alpha)b.
\end{align*}
Hier haben wir zum Schluss $\epsilon=\epsilon(\alpha)$ hinreichend
klein fixiert. Somit kann $\tilde\alpha$ klein gew\"ahlt werden. 
Im Falle $\tilde u_{nn}\ge0$ gilt
$$\tilde u_{\xi\xi}=\sum\limits_i\xi^2_i\tilde u_{ii}
\ge\xi^2_k\tilde u_{kk}.$$
Sonst argumentieren wir wie folgt.
Aufgrund der Zul\"assigkeit erhalten wir
\begin{align*}
\lambda_k+\ldots+\lambda_n\ge&0,\umbruch\\
\tilde u_{kk}+\ldots+\tilde u_{nn}-b(n-k+1)\ge&0.
\end{align*}
W\"ahle $l$, $k<l\le n+1$, so dass
$$\tilde u_{kk}\ge\ldots\ge\tilde u_{l-1\,l-1}\ge0
>\tilde u_{ll}\ge\ldots\ge\tilde u_{nn}.$$
Somit gilt
\begin{align*}
\tilde u_{kk}+\ldots+\tilde u_{kk}+\tilde u_{ll}+\ldots+\tilde u_{nn}\ge&0,
\umbruch\\
\xi^2_l\tilde u_{ll}+\ldots+\xi_n^2\tilde u_{nn}\ge&
\left(\tilde u_{ll}+\ldots+\tilde u_{nn}\right)
\cdot\max\limits_{i\neq k}|\xi_i|^2\umbruch\\
\ge&-n\tilde u_{kk}\cdot\max\limits_{i\neq k}|\xi_i|^2,\umbruch\\
\tilde u_{\xi\xi}=&\sum\limits_i\xi^2_i\tilde u_{ii}\umbruch\\
\ge&\xi^2_k\tilde u_{kk}-n\tilde u_{kk}\cdot\max\limits_{i\neq k}|\xi_i|^2
\umbruch\\
\ge&\left(\xi^2_k-\hat\alpha(\delta_0)\right)\tilde u_{kk}
\end{align*}
f\"ur eine $\hat\alpha(\delta_0)>0$ mit $\hat\alpha(\delta_0)\to0$
f\"ur $\delta_0\to0$. Benutze, dass $i^*=k$ gilt und 
$u_{\xi\xi}\le(2+\tilde \alpha)b$
\begin{align*}
(1-\delta_0)^2\hat u_{kk}\le&\xi^2_k\tilde u_{kk}\umbruch\\
\le&\frac{\xi^2_k}{\xi^2_k-\hat\alpha(\delta_0)}\tilde u_{\xi\xi}\umbruch\\
\le&(2+\tilde\alpha)\frac{\xi^2_k}{\xi^2_k-\hat\alpha(\delta_0)}b.
\end{align*}
Hieraus folgt
$$\lambda_k=\tilde u_{kk}-b\le
\left(\frac{2+\tilde\alpha}{(1-\delta_0)^2}
\frac{\xi^2_k}{\xi^2_k-\hat\alpha(\delta_0)}-1\right)b\approx b$$
und aufgrund des letzten Abschnittes
$$\lambda_k\ge2(1-\alpha)b\approx2b.$$
F\"ur hinreichend klein gew\"ahlte Konstanten $\delta_0$,
$\alpha$ und $\tilde\alpha$ gelten die \glqq$\approx$\grqq-Zeichen
n\"aherungsweise und wir erhalten demnach einen Widerspruch.

2. Fall: Sei nun $k=n-1$. 
Indem man nach Termen mit $\lambda_{k-1}$ und nach solchen
ohne sortiert, erh\"alt man
\begin{equation}\label{sigma kme}
\fracp{\sigma_k}{\lambda_{k-1}}\lambda_{k-1}=
\sigma_k(\lambda)-\frac{\lambda_1\cdot\cdots\cdot\lambda_n}{\lambda_{k-1}}
\ge-\frac{\lambda_1\cdot\cdots\cdot\lambda_n}{\lambda_{k-1}}.
\end{equation}
Da wir angenommen haben, dass kein $j$ wie oben beschrieben existiert,
gilt $\tilde u_{nn}\le\alpha b$ und somit ergibt sich
$$\lambda_n=\tilde u_{nn}-b\le-(1-\alpha)b.$$
Durch direktes Differenzieren und wie im Beweis von Lemma
\ref{sigma k lem} \eqref{c} erhalten wir
$$\fracp{}{\lambda_1}\ldots\fracp{}{\lambda_{n-2}}\sigma_k(\lambda)
=\lambda_{n-1}+\lambda_n\ge0.$$
Hieraus folgt insbesondere auch, dass die $\lambda$'s nicht nur
nach ihrer Gr\"o\ss{}e, sondern auch betragsm\"assig nach ihrer
Gr\"o\ss{}e geordnet sind. 
Wir kombinieren die letzten beiden Ungleichungen und erhalten
$\lambda_{n-1}\ge(1-\alpha)b$. Somit gilt 
$\lambda_i\ge(1-\alpha)b$ f\"ur alle $i$ mit $1\le i\le n-1$.
Wir erhalten mit \eqref{sigma kme} und den obigen Absch\"atzungen
f\"ur $\lambda_{n-1}$ und $\lambda_n$
$$\fracp{\sigma_k}{\lambda_{k-1}}\lambda_{k-1}\ge
-\lambda_1\cdots\lambda_{n-3}\cdot\lambda_{n-1}\cdot\lambda_n
\ge(1-\alpha)^2 b^2\lambda_1\cdots\lambda_{n-3}.$$
Aus \eqref{A est} erhalten wir
\begin{align*}
A\ge&\tfrac12\fracp{\sigma_k}{\lambda_{k-1}}\tilde u^2_{k-1\,k-1}\\
\ge&\tfrac12\fracp{\sigma_k}{\lambda_{k-1}}\lambda_{k-1}^2
\quad\text{nach Definition von }\lambda_{k-1}\\
\ge&\tfrac12(1-\alpha)^2b^2\lambda_1\cdots\lambda_{n-2}\\
\ge&\tfrac1cb^2\tr F^{ij},
\end{align*}
da $\lambda_1\cdot\cdots\cdot\lambda_{n-2}>0$ ist und es sich
um den gr\"o\ss{}ten einzelnen Summanden im Ausdruck f\"ur die
Spur handelt. Beachte auch, dass die $\lambda$'s betragsm\"a\ss{}ig
angeordnet sind. 

Somit folgt das Lemma.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Das folgende Theorem behandelt den noch ausstehenden 
Fall $k=n$. Es ist etwas spezieller, $p$ tritt nicht auf.
Wir folgen dabei \cite{GuanLocalSchouten}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}\label{local schouten thm 2}
Die Funktion $u$ 
sei eine zul\"assige $C^3$-L\"osung von
$$\frac{\det w_{ij}}{\det (g_{ij}e^{-2u})}
\equiv\frac{\det\left(u_{ij}+u_iu_j
-\tfrac12\vert\nabla u\vert^2g_{ij}+S_{ij}\right)}
{e^{-2nu}\det g_{ij}}
=f(x)$$
in einem geod\"atischen Ball $B_r(x_0)$, $x_0$ ein 
beliebiger Punkt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Sei $u\in C^3\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$ positiv und zul\"assig,
$S_{ij}\in C^1\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$
und $0<f(x)\in C^1\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$. Dann gilt
$$\vert\nabla u\vert(x_0)\le
c\left(n,r,\inf\limits_{B_r(x_0)}u,
\Vert f\Vert_{C^1(B_r(x_0))},
\inf\limits_{B_r(x_0)}f,
\Vert S_{ij}\Vert_{C^1}\right).$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Wir betrachten die Funktion $H:=\rho\vert\nabla u\vert^2$,
wobei $\rho$ eine $C^2$-Ab\-schnei\-de\-funk\-tion ist mit
$\rho(x_0)=1$, $\rho(x)=0$ f\"ur $x\not\in B_r(x_0)$,
$0\le\rho\le1$. Sei $b\ge1$ so gew\"ahlt, dass
$\vert\nabla\rho\vert^2\le b\rho$ und 
$\vert\nabla^2\rho\vert\le b$. Sei $x_1$ in $B_r(x_0)$
so gew\"ahlt, dass $H(x_1)\ge H(x)$ f\"ur alle $x$.
W\"ahle in $x_1$ Normalkoordinaten, so dass $w_{ij}(x_1)$
diagonal ist.

Im Maximum erhalten wir aufgrund der Extremalit\"at
\begin{align*}
0=H_i=&\rho_i\vert\nabla u\vert^2+2\rho u^ku_{ki}
\intertext{und}
0\ge H_{ij}=&\rho_{ij}\vert\nabla u\vert^2+2\rho u^ku_{kij}\\
&+2\rho_iu^ku_{kj}+2\rho_ju^ku_{ki}+2\rho g^{kl}u_{ki}u_{lj}\umbruch\\
=&\left(\rho_{ij}-2\frac{\rho_i\rho_j}\rho\right)
\vert\nabla u\vert^2+2\rho u^ku_{kij}+2\rho g^{kl}u_{ki}u_{lj}.
\end{align*}

Somit gilt in diesem Punkt
\begin{equation}\label{wH Bed}
0\ge w^{ij}H_{ij}=w^{ij}\left(\rho_{ij}-2\frac{\rho_i\rho_j}\rho\right)
\vert\nabla u\vert^2+2\rho u^kw^{ij}u_{kij}
+2\rho w^{ij}g^{kl}u_{ki}u_{lj}.
\end{equation}

Wir behandeln jeden der hier auftretenden Terme separat.

Zun\"achst gilt
$$w^{ij}\left(\rho_{ij}-2\frac{\rho_i\rho_j}\rho\right)\vert\nabla u
\vert^2\ge-c(b)\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2.$$

F\"ur den zweiten Term d\"urfen wir annehmen, dass
$$H(x_1)\ge A^2b^2$$
f\"ur eine Konstante $A\gg1$ gilt. Wir schlie\ss{}en, dass
$$\rho^{-1/2}\le\frac{\vert\nabla u\vert}{Ab}.$$
Nehme f\"ur sp\"ater weiterhin an, dass $\vert\nabla u\vert\ge1$
im Extremum gilt. Die Extremalbedingung liefert
$$u^ku_{ki}=-\frac{\rho_i}{2\rho}\vert\nabla u\vert^2.$$
Wir erhalten aufgrund der Annahmen an $\rho$ die folgende Absch\"atzung
$$\left\vert u^ku_{ki}\right\vert=\frac{\vert\nabla\rho\vert}{2\rho}
\vert\nabla u\vert^2\le\tfrac12\rho^{-1/2}\vert\nabla u\vert^2\sqrt b
\le\frac12\frac1{A\sqrt b}\vert\nabla u\vert^3\le\frac12\frac1A
\vert\nabla u\vert^3$$
f\"ur jedes $1\le i\le n$. 

Im zweiten Term auf der rechten Seite von \eqref{wH Bed}
vertauschen wir
kovariante Ableitungen mit Hilfe der Formel 
$$u_{kij}=u_{ijk}-R_{mijk}g^{ml}u_l$$
und benutzen die differenzierte Gleichung 
\begin{align*}
\log\frac{\det w_{ij}}{\det g_{ij}}=&\log f(x)-2nu,\umbruch\\
w^{ij}w_{ij;k}=\frac1ff_k-2nu_k
\end{align*}
sowie die Definition von $w_{ij}$
\begin{align*}
2\rho u^kw^{ij}u_{kij}=&
2\rho u^kw^{ij}\left(u_{ijk}-R_{mijk}g^{ml}u_l\right)\umbruch\\
\ge&2\rho u^kw^{ij}u_{ijk}-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
=&2\rho u^kw^{ij}w_{ij;k}-2\rho u^kw^{ij}
\left(u_iu_j-\tfrac12\vert\nabla u\vert^2g_{ij}+S_{ij}\right)_k
-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
\ge&2\rho u^k\left(\frac1ff_k-2nu_k\right)
-4\rho u^kw^{ij}u_{ik}u_j+2\rho u^kw^{ij}u^lu_{lk}g_{ij}\\
&-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
\ge&-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert
\sum\limits_i\left\vert u^ku_{ki}\right\vert
-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
\ge&-\frac{c}A\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^4
-c\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
\ge&-\frac{c}A\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^4,
\end{align*}
wenn wir ohne Einschr\"ankung $\frac{\vert\nabla u\vert}A\ge1$
annehmen.
Hier haben wir auch benutzt, dass die untere Schranke an $u$
aufgrund der Gleichung eine obere Schranke an das Produkt der
Eigenwerte von $w_{ij}$ bez\"uglich $g_{ij}$ impliziert. 
Daraus leiten wir eine untere Schranke an das Produkt der
Eigenwerte von $w^{ij}$ her. Mit Hilfe der geometrisch-arithmetischen
Ungleichung folgt daraus eine positive untere Schranke f\"ur
$\tr w^{ij}$, was wir oben bereits benutzt haben. 

Wir wollen noch den dritten \glqq guten\grqq\ Term in \eqref{wH Bed}
ausnutzen
\begin{align*}
\lefteqn{w^{ij}g^{kl}u_{ki}u_{lj}=}\\
=&w^{ij}g^{kl}
\left(w_{kj}-u_ku_j+\tfrac12\vert\nabla u\vert^2g_{kj}-S_{kj}\right)
\left(w_{li}-u_lu_i+\tfrac12\vert\nabla u\vert^2g_{li}-S_{li}\right)\umbruch\\
=&w^{ij}w_{kj}w_{li}g^{kl}+w^{ij}u_iu_j\vert\nabla u\vert^2
+\tfrac14\vert\nabla u\vert^4\tr w^{ij}
+w^{ij}S_{kj}S_{li}g^{kl}-2\delta^i_ku_lu_ig^{kl}\\
&+\delta^i_k\vert\nabla u\vert^2\delta^k_i
-2\delta^i_kS_{li}g^{kl}-w^{ij}\vert\nabla u\vert^2u_ku_j\delta^k_i
+2w^{ij}u_ku_jS_{li}g^{kl}\\
&-w^{ij}\vert\nabla u\vert^2g_{kj}S_{li}g^{kl}\umbruch\\
\ge&w_{ij}g^{ij}+\tfrac14\vert\nabla u\vert^4\tr w^{ij}
-c\tr w^{ij}-c\vert\nabla u\vert^2-c-c\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2\umbruch\\
\ge&\tfrac18\vert\nabla u\vert^4\tr w^{ij}.
\end{align*}
In dieser Rechnung tauchte ein Term mit unterschiedlichen
Vorzeichen zweimal auf; er f\"allt daher weg.

Somit folgt aus \eqref{wH Bed} unter Benutzung der unteren 
Schranke an $H(x_1)$ und $b$
\begin{align*}
0\ge&-c(b)\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^2 
-\frac{c}A\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^4
+\tfrac14\rho\vert\nabla u\vert^4\tr w^{ij}\umbruch\\
\ge&-\left(\frac{c(b)}{A^2}+\frac{c}{A}\right)
\rho\tr w^{ij}\vert\nabla u\vert^4
+\tfrac14\rho\vert\nabla u\vert^4\tr w^{ij}.
\end{align*}

W\"ahlen wir $A\gg1$ gen\"ugend gro\ss{}, so erhalten wir einen
Widerspruch. Folglich war eine unserer ohne Einschr\"ankung 
gemachten Annahmen falsch. Dies beschr\"ankt dann aber $H$
wie gew\"unscht und das Lemma folgt. 
\end{proof}

Zu den lokalen $C^1$-Absch\"atzungen, Theorem \ref{local schouten thm},
erhalten wir das folgende

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{corollary}
Sei $1\le k\le n$, $0<p\in\R$. Die Funktion $u$ 
sei eine zul\"assige $C^3$-L\"osung von
$$\sigma_k\left(u_{ij}-\frac1{2u}\vert\nabla u\vert^2g_{ij}
+uS_{ij}\right)=f(x)u^{-p}$$
in einem geod\"atischen Ball $B_{2r}(x_0)$, $x_0$ ein 
beliebiger Punkt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Sei $u\in C^3\left(\ol{B_{2r}(x_0)}\right)$ positiv und zul\"assig,
$S_{ij}\in C^1\left(\ol{B_{2r}(x_0)}\right)$
und $0<f(x)\in C^1\left(\ol{B_{2r}(x_0)}\right)$. Dann gilt
$$\sup\limits_{B_r(x_0)} u\le
c\left(n,k,p,r,\inf\limits_{B_r(x_0)}u,
\Vert f\Vert_{C^1(B_r(x_0))},
\inf\limits_{B_r(x_0)}f,
\Vert S_{ij}\Vert_{C^1}\right).$$
\end{corollary}
\begin{proof}
W\"ahle $x_1$ und $x_2$ in $B_r(x_0)$, so dass
$$u(x_1)\le2\inf\limits_{B_r} u\quad\text{und}
\quad u(x_2)\ge\tfrac12\sup\limits_{B_r} u$$
und eine differenzierbare Kurve $\gamma:[0,1]\to B_r(x_0)$
der L\"ange $L(\gamma)\le3r$ mit $\gamma(0)=x_1$ und
$\gamma(1)=x_2$. Nach Theorem \ref{local schouten thm}
gibt es eine Konstante $c_1>0$, so dass
$$\frac{\lvert\nabla u\rvert}u\le c_1\quad\text{in~}B_r(x_0).$$
Es gilt
\begin{align*}
\log u(x_2)=&\log u(x_1)+\int\limits_0^1
\dt\log u(\gamma(\tau))d\tau\\
=&\log u(x_1)+\int\limits_0^1\frac{\langle\nabla u(\gamma(\tau)),
\gamma'(\tau)\rangle}{u(\gamma(\tau))}d\tau\\
\le&\log u(x_1)+\int\limits_0^1\frac{\lvert\nabla u\rvert}u
\cdot\vert\gamma'\vert d\tau\\
\le&\log u(x_1)+c_1\cdot3r.
\end{align*}
und wir erhalten eine obere Schranke f\"ur $u(x_2)$ und damit
auch f\"ur $\sup\limits_{B_r(x_0)}u$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
Durch genauere Analyse der Abh\"angigkeiten der Konstanten 
erh\"alt man f\"ur solche Gleichungen ein Bernsteintheorem,
siehe \cite{TrudWangYamabe}.
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Lokale $C^2$-Absch\"atzungen}
\begin{remark}
Im Zusammenhang von Reflektorgleichungen treten solche lokalen 
Absch\"atzungen auch schon bei \cite{GuanWang} auf. Sie 
betrachten nur den Fall $k=n$. Dort darf
die rechte Seite $f$ auch von $Du$ abh\"angen. Dann maximiert
man allerdings eine Gr\"o\ss{}e, die die Summe der Eigenwerte
enth\"alt. Selbst wenn man im hier betrachteten Fall ein
Maximumprinzip f\"ur eine entsprechende Gr\"o\ss{}e aufstellen
k\"onnte, w\"urde dies noch keine $C^2$-Schranken liefern.

Im Fall $k=n$ darf $f$ auch von $Du$ abh\"angen.
Hiervon \"uberzeugt man sich leicht anhand der Modellgleichung
$$\log\det\left(u_{ij}-\tfrac12\vert Du\vert^2\delta_{ij}\right)=f(Du)
\quad\text{in~}\R^n.$$
Hierzu maximiert man die Gr\"o\ss{}e
\begin{align*}
W=&\log w_{11}+2\log\rho\\
\equiv&\log\left(u_{11}-\tfrac12\vert Du\vert^2\delta_{11}\right)
+2\log\rho.
\end{align*}
Mit Hilfe der \"ublichen \"Anderungen erh\"alt man ein analoges
Resultat auch f\"ur 
$$\log\det\left(u_{ij}-\tfrac1{2u}\vert Du\vert^2g_{ij}+uS_{ij}\right)
=f(x,u,Du)$$
in Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Beachte insbesondere, dass $\tr F^{ij}\to\infty$, falls $k=n$ ist
und falls eine Eigenwert unbeschr\"ankt wird, das Produkt aber
beschr\"ankt bleibt. Dies braucht f\"ur $k<n$ nicht zu gelten 
(Gegenbeispiel: $\sigma_1$. Die Spur ist konstant.) und
man bekommt dann Probleme beim Term
$$\tr F^{ij}u^k_1u_{k1}+f_{p_ip_j}u_{i1}u_{j1}.$$

Die Wahl der Abschneidefunktion $\rho$ ist f\"ur die inneren 
$C^2$-Absch\"atzungen nicht wesentlich. Dieselben
Absch\"atzungen erh\"alt man, falls man $\log\phi$ mit
$\phi\in C^2$ und $0\le\phi\le1$ verwendet.

Die f\"ur innere Absch\"atzungen n\"otigen Strukturbedingungen 
werden in \cite{SophieChenLocal} noch genauer untersucht.
\end{remark}

Es gelten die folgenden lokalen inneren Absch\"atzungen f\"ur 
zweite kovariante Ableitungen von $u$. 

\begin{theorem}
Sei $1<k\le n$. Sei $u\in C^4\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$ 
eine zul\"assige L\"osung von
$$F[u]\equiv\left(\sigma_k\left(\lambda\left(
u_{ij}-\frac1{2u}\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}
+uS_{ij}\right)\right)\right)^{1/k}=f(x,u)$$
in einem geod\"atischen Ball $B_r(x_0)$, $x_0$ ein beliebiger 
Punkt auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Seien
$S_{ij}\in C^2\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$ und 
$0<f\in C^2\left(\ol{B_r(x_0)}\right)$. Dann gilt
$$\lvert u_{ij}\rvert(x_0)\le\left(n,k,r,\Vert u\Vert_{C^1},
\inf u, \inf f, \Vert f\Vert_{C^2}, \Vert S_{ij}\Vert_{C^2}\right).$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Setze $U_{ij}:=u_{ij}-\frac1{2u}\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}
+uS_{ij}$. Differenzieren liefert
\begin{align*}
F^{ij}U_{ij;k}=&\nabla_kf,\\
F^{ij}U_{ij;11}+F^{ij,kl}U_{ij;1}U_{kl;1}=&\nabla_1\nabla_1f,
\end{align*}
wobei wir zur Verdeutlichung \glqq;\grqq{} und \glqq$\nabla$\grqq
f\"ur kovariante Ableitungen verwenden. Da $U_{ij}\mapsto
\left(\sigma_k\left(U_{ij}\right)\right)^{1/k}
\equiv\left(\sigma_k\left(\lambda\left(U_{ij}\right)\right)\right)^{1/k}$ 
eine konkave Funktion ist, folgt
$$F^{ij}U_{ij;11}\ge\nabla_1\nabla_1f.$$
Sei wieder $\tilde u_{ij}=u_{ij}+uS_{ij}$.
Betrachte f\"ur $\eta\neq0$ die Funktion 
$$TM\supset\pi^{-1}(B_r(x_0))\ni(x,\eta)\mapsto
W=\log\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j}{g_{ij}\eta^i\eta^j}
+2\log\rho,$$
wobei wiederum
$$\rho=\left(1-\frac{d^2}{r^2}\right)^+
\equiv\left(1-\frac{(\dist(\cdot,x_0))^2}{r^2}\right)^+.$$
Dann gibt es $x_1\in B_r(x_0)$ und einen Einheitstangentialvektor
$\eta_1\in T_xM$, so dass $W$ in $(x_1,\eta_1)$ maximal wird. 

Wir bemerken, dass die betrachtete Funktion nur wohldefiniert
ist, wenn $$\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j>0$$ ist. Da aber sogar
$$U_{ij}=\tilde u_{ij}-\frac1{2u}\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}$$
zul\"assig ist und somit mindestens einen positiven Eigenwert 
besitzt, ist dies auch f\"ur $U_{ij}$ der Fall und die betrachtete
Gr\"o\ss{}e ist f\"ur jedes $x$ und einen geeigneten Vektor $\eta$
wohldefiniert. 

W\"ahle Normalkoordinaten um $x_1$ und nehme an, dass in diesen
Koordinaten $\eta_1=(1,0,\ldots,0)$ gilt. Setze $\eta=\eta_1$
in diesen Koordinaten konstant fort. Wir behaupten (vgl.\ 
\cite{CGJDG1996}), dass 
$$\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j}{g_{ij}\eta^i\eta^j}
\quad\text{und}\quad \tilde u_{11}$$
im Punkt $x_0$ dieselben kovarianten Ableitungen (bis zur
zweiten Ordnung) haben. Es gilt n\"amlich
\begin{align*}
\left(\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j}{g_{ij}\eta^i\eta^j}\right)_{;k}=&
\frac{\tilde u_{ij;k}\eta^i\eta^j+2\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j_{;k}}
{g_{ij}\eta^i\eta^j}
-\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j\cdot2g_{ij}\eta^i\eta^j_{;k}}
{\left(g_{ij}\eta^i\eta^j\right)^2},\\
\eta^j_{;k}=&\eta^j_{,k}+\Gamma^j_{kr}\eta^r,
\end{align*}
wobei wir hier zur Verdeutlichung \glqq;\grqq{} f\"ur kovariante
Ableitungen und \glqq,\grqq{} f\"ur partielle Ableitungen schreiben.
In Normalkoordinaten gilt damit in $x_1$
$$\left(\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j}{g_{ij}\eta^i\eta^j}\right)_{;k}
=\tilde u_{11;k}.$$
Weiterhin gilt in $x_1$
\begin{align*}
\left(\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j}{g_{ij}\eta^i\eta^j}\right)_{;kl}=&
\frac{\tilde u_{ij;kl}\eta^i\eta^j+2\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j_{;kl}}
{g_{ij}\eta^i\eta^j}
-\frac{\tilde u_{ij}\eta^i\eta^j\cdot2g_{ij}\eta^i\eta^j_{;kl}}
{\left(g_{ij}\eta^i\eta^j\right)^2}\\
=&\tilde u_{11;kl}+2\tilde u_{1j}\eta^j_{;kl}
-2\tilde u_{11}g_{ij}\eta^i\eta^j_{;kl}\\
=&\tilde u_{11;kl}.
\end{align*}
Hier geht dann auch ein, dass wir im Extremalpunkt $\tilde u_{ij}$
als diagonal annehmen d\"urfen. 

Daher d\"urfen wir im Folgenden
$$W=\log\tilde u_{11}+2\log\rho$$
annehmen. Aufgrund der Extremalit\"at ergibt sich in $x_1$
\begin{align*}
0=&W_i=\frac{\tilde u_{11;i}}{\tilde u_{11}}+2\frac{\rho_{;i}}\rho,\\
0\ge&\frac{\tilde u_{11;ij}}{\tilde u_{11}}
-\frac{\tilde u_{11;i}\tilde u_{11;j}}{\tilde u_{11}}
+2\left(\frac{\rho_{;ij}}\rho-\frac{\rho_{;i}\rho_{;j}}{\rho^2}\right)\\
=&\frac{\tilde u_{11;ij}}{\tilde u_{11}}+2\frac{\rho_{;ij}}\rho
-6\frac{\rho_{;i}\rho_{;j}}{\rho^2}.
\end{align*}
Wir erhalten 
$$0\ge\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}\tilde u_{11;ij}
+\frac2\rho F^{ij}\rho_{;ij}
-\frac6{\rho^2}F^{ij}\rho_{;i}\rho_{;j}.$$
F\"ur den Term mit vierten Ableitungen von $u$ berechnen wir
\begin{align*}
\tilde u_{11}=&u_{11}+uS_{11},\\
\tilde u_{11;i}=&u_{11i}+u_iS_{11}+uS_{11;i},\\
\tilde u_{11;ij}=&u_{11ij}+u_{ij}S_{11}+u_iS_{11;j}
+u_jS_{11;i}+uS_{11;ij}\\
\ge&u_{11ij}-cu_{11}-c\\
\ge&u_{11ij}-cu_{11},
\end{align*}
wobei wir ohne Einschr\"ankung angenommen haben, dass
$\tilde u_{11}$ gro\ss{} ist und dass $\tilde u_{ij}$
diagonal ist. Damit werden $u_{11}$ und $\tilde u_{11}$
vergleichbar. Falls dies im Maximum nicht der Fall ist,
bekommen wir eine globale Schranke an $W$ und das 
Theorem folgt direkt. 

Wir benutzen die folgenden Vertauschungsregeln
\begin{align*}
u_{ijk}=&u_{kij}+u_ag^{ab}R_{bijk},\\
u_{iklj}=&u_{ikjl}+u_{ka}g^{ab}R_{bilj}+u_{ia}g^{ab}R_{bklj}
\end{align*}
und erhalten im nichttrivialen Fall
$$\tilde u_{11ij}\ge u_{ij11}-cu_{11}.$$

Differenzieren der Gleichung liefert
\begin{align*}
F^{ij}U_{ij;11}\ge&\nabla_1\nabla_1f(x,u)\\
\ge&-cu_{11}.
\end{align*}

Setze $\tr F^{ij}=F^{ij}g_{ij}$.
Somit ergibt sich aufgrund der unteren Schranke
$\tr F^{ij}\ge c>0$ aus Lemma \ref{sigma k lem} \eqref{e},
da $\rho\le1$
\begin{align*}
0\ge&\frac1{\tilde u_{11}}\left(F^{ij}u_{ij11}-cu_{11}\tr F^{ij}
-F^{ij}U_{ij;11}\right)+\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}U_{ij;11}
-c\frac1{\rho^2}\tr F^{ij}\umbruch\\
\ge&\frac1{\tilde u_{11}}
F^{ij}\left(\frac1{2u}\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}-uS_{ij}\right)_{11}
-c\frac1{\rho^2}\tr F^{ij}\umbruch\\
=&\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}
\left(-\frac1{2u^2}u_1\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}
+\frac1uu^ku_{k1}g_{ij}-u_1S_{ij}-uS_{ij;1}\right)_1
-c\frac1{\rho^2}\tr F^{ij}\umbruch\\
=&\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}
\left(\frac{1}{u^3}u_1^2\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}
-\frac1{2u^2}u_{11}\lvert\nabla u\rvert^2g_{ij}
-\frac1{u^2}u_1u^ku_{k1}g_{ij}\right)\\
&+\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}
\left(-\frac1{u^2}u_1u^ku_{k1}g_{ij}+\frac1uu^k{}_1u_{k1}g_{ij}
+\frac1uu^ku_{k11}g_{ij}\right)\\
&+\frac1{\tilde u_{11}}F^{ij}
\left(-u_{11}S_{ij}-2u_1S_{ij;1}-uS_{ij;11}\right)\\
&-c\frac1{\rho^2}\tr F^{ij}\umbruch\\
\ge&\left(\frac1u\tilde u_{11}
+\frac1u\frac1{\tilde u_{11}}u^ku_{k11}-\frac c{\rho^2}\right)\tr F^{ij}
\end{align*}
Hier haben wir wieder h\"aufiger $u_{11}$ und $\tilde u_{11}$ 
verglichen. Benutzen wir nochmals die Extremalbedingung, so
ergibt sich
$$\tilde u_{11}\rho^2\le c$$
und das Maximum ist kontrolliert.

Dies kontrolliert den gr\"o\ss{}ten Eigenwert $\lambda_1$.
Da aufgrund der Zul\"assigkeit $\lambda_k+\ldots+\lambda_n>0$
gilt und $\lambda_1\ge\lambda_k$ ist, sind alle Eigenwerte
kontrolliert und die $C^2$-Absch\"atzungen folgen. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{remark}
In \cite{TrudWangYamabe} werden auch Gegenbeispiele zur
inneren Regularit\"at f\"ur solche Gleichungen behandelt,
wenn sich das Vorzeichen der Gradiententerme aufgrund einer
anderen Form der Zul\"assigkeit von L\"osungen umdreht. 
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{Neumannproblem f\"ur Monge-Amp\`ere-Gleichungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Problemstellung und erste Absch\"atzungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Existenzsatz}
Dieses Kapitel ist teilweise ziemlich knapp geschrieben und sollte
erst nach Lekt\"ure des Kapitels \"uber das Dirichletproblem gelesen
werden.

Wir folgen hier \cite{LTU}, benutzen jedoch die $C^1$-Absch\"atzungen
von \cite[Theorem 3.1]{OSHartmutPacific} und benutzen f\"ur die 
$C^2$-Absch\"atzungen \cite[Lemma 4.1]{OSMM}.

Ziel dieses Kapitels ist der Beweis des folgenden Theorems.

\begin{theorem}\label{neumann thm}
Sei $\Omega\subset R^n$ strikt konvex. Die Funktion $f:\ol\Omega\times
\R\times\R^n\to\R$ sei positiv und erf\"ulle $f_z\ge0$. 
Sei weiterhin $\phi:\partial\Omega\times\R\to\R$ 
mit $\phi_z\le0$ gegeben.

Dann gibt es unter den zus\"atzlichen Voraussetzungen aus
Kapitel \ref{neum C0}, die nur f\"ur die $C^0$-Absch\"atzungen
n\"otig sind, eine glatte strikt konvexe
Funktion $u:\ol\Omega\to\R$, die das folgende Randwertproblem
l\"ost.
\begin{equation}\label{Neumann eqn}
\begin{cases}
\det D^2u=f(\cdot,u,Du)&\text{in~}\Omega,\\
u_\nu=\langle Du,\nu\rangle=\phi(\cdot,u)&\text{auf~}\partial\Omega.
\end{cases}
\end{equation}
\end{theorem}

Die in der Originalversion vorausgesetzte strikte Monotonie
an $\phi$, $\phi_z\le\frac1c<0$, ben\"otigt man nicht; 
man nutzt stattdessen die strikte Konvexit\"at des 
Randes $\partial\Omega$ aus. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^0$-Absch\"atzungen}\label{neum C0}
Die $C^0$-Absch\"atzungen ben\"otigen einige technische 
Voraussetzungen, die im Rest des Beweises nicht mehr ben\"otigt
werden.

Wir betrachten eine glatte strikt konvexe L\"osung $u:\Omega\to\R$
von \eqref{Neumann eqn}. 

Nehme an, dass es positive Funktionen $g\in L^1(\Omega)$ und
$h\in L^1_{\text{loc}}\left(\R^n\right)$ gibt, so dass
$$f(x,z,p)\le\frac{g(x)}{h(p)}$$
f\"ur alle $x\in\Omega$, $z\le N$ und $p\in\R^n$ f\"ur
eine Konstante $N$ gilt. Nehme weiterhin an, dass
$$\int\limits_\Omega g<\int\limits_{\R^n}h$$
gilt. Gelte f\"ur eine Konstante $N_1$
$$\phi(x,z)<0\quad\text{f\"ur~alle~}
x\in\partial\Omega,\ z>N_1$$
und auf dem Rand konvergiere
$$\phi(x,z)\to\infty\quad\text{gleichm\"a\ss{}ig~f\"ur~}z\to-\infty.$$

Dann gilt das folgende Theorem, das mit demselben
Beweis auch f\"ur oblique Randbedingungen gilt.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{theorem}
Sei $\Omega\subset\R^n$ ein beschr\"anktes Gebiet
und sei $u$ eine L\"osung von \eqref{Neumann eqn}.
Dann ist $u$ in Abh\"angigkeit von den Daten in
$C^0$ a priori beschr\"ankt.
\end{theorem}
\begin{proof}
Aufgrund der Konvexit\"at von $u$ tritt das Maximum
von $u$ am Rand auf. Dort gilt $u_\nu\ge0$. Somit
kann dieses Maximum nicht gr\"o\ss{}er als $N_1$
sein und die obere Schranke folgt.

F\"ur die untere Schranke w\"ahlen wir $R_0>0$, so
dass 
$$\int\limits_\Omega g=\int\limits_{|x|\le R_0}h$$
gilt. Definiere die Menge 
$$\Omega_N:=\{x\in\Omega:u(x)<N\}.$$
Aufgrund der Integraltransformationsformel erhalten wir
f\"ur $R>R_0$
$$\int\limits_{Du(\Omega_N)}h(y)dy
=\int\limits_{\Omega_N}h(Du(x))\det D^2u(x)dx
\le\int\limits_{\Omega_N} g
\le\int\limits_\Omega g<\int\limits_{|x|<R}h.$$
Daher gibt es einen Vektor $p\in B_R(0)\setminus Du(\Omega_N)$.
Sei $w$ eine affine Funktion, so dass $w\le u$ in $\Omega$,
$Dw=p$ und $w(x_0)=u(x_0)$ in einen Punkt $x_0\in\ol\Omega$
gelten. Nach Wahl von $p$ gilt $x_0\in\ol\Omega\setminus\Omega_N$.

Sei zun\"achst $x_0\in\Omega\setminus\Omega_N$. Dann gilt
$u(x_0)\ge N$. Da $|Dw|\le R$ nach Wahl von $p$ ist, folgt
$u\ge N-R\diam\Omega$.

Betrachte nun den Fall $x_0\in\partial\Omega$. Im Punkte $x_0$
gilt dann
$$\phi(x_0,u)=\langle Du,\nu\rangle\le\langle Dw,\nu\rangle\le R.$$
Da am Rand $\phi$ unendlich wird, wenn $z\to-\infty$ konvergiert,
erhalten wir hieraus eine untere Schranke an $u(x_0)$. In diesem
Falle folgt dann die untere Schranke analog zu oben, da
$u(x_0)$ nach unten beschr\"ankt ist und der Graph von $u$ \"uber
dem Graphen der affin linearen Funktion $w$, die einen
beschr\"ankten Gradienten hat, liegt.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^1$-Absch\"atzungen (Eist\"utenabsch\"atzung)}

Im folgenden geben wir einen Beweis f\"ur $C^1$-Ab\-sch\"atz\-un\-gen,
bei dem die Ab\-sch\"atz\-ung im Gegensatz zu \cite{LTU}
nicht von der Oszillation der L\"osung abh\"angt. 
Dies ist zwar hier nicht n\"otig, dieser Beweis ist aber
weiter anwendbar als die urspr\"unglichen $C^1$-Absch\"atzungen
in \cite{LTU}.

Hier ist der Fall f\"ur oblique Randbedingungen etwas komplizierter
als der Fall f\"ur Neumannrandbedingungen und kann nicht direkt
aus diesem abgeleitet werden. Daher f\"uhren wir hier den Beweis
f\"ur oblique Randbedingungen. 

\begin{theorem}[Eist\"utenabsch\"atzung]\label{iccl}
Sei $\Omega\subset\R^n$ glatt und beschr\"ankt,
$u:\ol\Omega\to\R$ eine glatte strikt konvexe Funktion,
f\"ur die $|u_\beta|$ auf $\partial\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig
beschr\"ankt ist, wobei $\beta$ ein auf L\"ange eins
normiertes Vektorfeld auf $\partial\Omega$ ist, so dass
$\langle\beta,\nu\rangle\ge \tilde c_\beta$
f\"ur eine positive Konstante $\tilde c_\beta>0$ gilt.
Dann ist $\sup|Du|$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt.
Die Schranke h\"angt insbesondere nicht von der Oszillation
von $u$ ab. 
\end{theorem}

\begin{proof}
Der Name des Satzes stammt von der Art und Weise, wie wir 
B\"alle in Kegeln platzieren. Dies erinnert an eine Eist\"ute mit
einer Kugel Eis darin.

Wir f\"uhren einen Widerspruchsbeweis.

Nehme an, dass es einen Punkt $x_0$ gibt, in dem 
$|Du|$ ein gro\ss{}es Maximum der Gr\"o\ss{}e $M$ annimmt.
Falls $M$ gr\"o\ss{}er als eine geeignet gew\"ahlte Konstante
$M_0$ ist, k\"onnen wir einen Widerspruch herleiten.
Da $u$ strikt konvex ist, gilt automatisch $x_0\in\partial\Omega$.
Im Punkte $x_0$ w\"ahlen wir eine Tangentialrichtung $\xi_0$ 
(wobei \glqq Richtung\grqq\ f\"ur einen Vektor der L\"ange 
eins steht) so dass $\langle Du(x_0),\xi_0\rangle$ gr\"o\ss{}er 
ist, als wenn wir irgendeine andere Tangentialrichtung einsetzen.

Wir wollen zun\"achst eine untere Absch\"atzung f\"ur  
$\langle Du(x_0),\xi_0\rangle$ im Verh\"altnis zu $M$
beweisen.

Sei $\xi_1$ eine Richtung mit $\langle Du(x_0),\xi_1\rangle=M$. 
Wie in \cite{UrbasOblique} zerlegen wir eine Richtung $\xi$ 
mit Hilfe von $\beta$ und einem Tangentialvektor $\tau(\xi)$ in 
\begin{equation}\label{dec xi}
\xi=\tau(\xi)+\frac{\langle\nu,\xi\rangle}{\langle\beta,\nu
\rangle}\beta,
\end{equation}
wobei 
$$\tau(\xi)=\xi-\langle\nu,\xi\rangle\nu
-\frac{\langle\nu,\xi\rangle}{\langle\beta,\nu\rangle}\beta^T,
\quad\beta^T=\beta-\langle\beta,\nu\rangle\nu.$$
Beachte, dass $|\tau(\xi)|$ nach Annahme an $\beta$ beschr\"ankt ist. 
Zerlegen wir nun $\xi_1$ entsprechend, so erhalten wir
\begin{align*}
M=&\langle Du,\xi_1\rangle=\langle Du,\tau(\xi_1)\rangle
+\frac{\langle\nu,\xi_1\rangle}{\langle\beta,\nu\rangle}
\langle Du,\beta\rangle\\
\le&|\tau(\xi_1)|\cdot\max\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}
{\tau\in T_{x_0}\partial\Omega}{|\tau|=1}}
\langle Du,\tau\rangle+c\\
=&|\tau(\xi_1)|\cdot\langle Du(x_0),\xi_0\rangle+c.
\end{align*}
Somit schlie\ss{}en wir, dass 
$\langle Du(x_0),\xi_0\rangle\ge\frac{M}{c}$,
gilt, falls $M\ge M_0$ ist und wir $M_0$ 
gro\ss{} genug gew\"ahlt haben.
F\"ur eine Richtung  $\xi$ in der N\"ahe von $\xi_0$,
genauer, f\"ur $|\xi-\xi_0|<\epsilon=\frac1{2c}<1$, erhalten wir
\begin{equation}\label{cone found}
\langle Du(x_0),\xi\rangle=
\langle Du,\xi_0\rangle+\langle Du,\xi-\xi_0\rangle
\ge\genfrac{}{}{}1{M}{c}-M|\xi-\xi_0|\ge\epsilon M.
\end{equation} 
Aufgrund der Konvexit\"at von $u$ schlie\ss{}en wir, dass
$\langle Du(y),\xi\rangle\ge\epsilon M$
f\"ur alle Punkte $y\in\ol\Omega$ der Form  
$y=x_0+\lambda\cdot\xi$ gilt.
Hier sind $\lambda>0$ und $\xi$ so zu w\"ahlen, dass
$|\xi-\xi_0|\le\epsilon$ und
$x_0+t\cdot\lambda\cdot\xi\in\ol\Omega$ f\"ur alle $t\in[0,1]$
gilt.

Aufgrund der gleichm\"a\ss{}igen Schranke an die Hauptkr\"ummungen
von $\partial\Omega\subset\R^{n}$ sehen wir, dass es ein $R>0$ und
ein $x_1\in\partial\Omega$ gibt, so dass $|x_0-x_1|>2R$ und
so, dass weiterhin jedes $x\in B_R(x_1)\cap\partial\Omega$
sich in der Form $x_0+\lambda\cdot\xi$ wie oben beschrieben
darstellen l\"asst.
Demnach gilt aufgrund von \eqref{cone found}
in $\partial\Omega\cap B_{R}(x_1)$
die Ungleichung $|Du|\ge\epsilon M$.
Nach Konstruktion gilt
$$\inf\limits_{x\in B_R(x_1)\cap\partial\Omega}u(x)>u(x_0).$$

Betrachten wir den von den beschriebenen Richtungen $\xi$ 
erzeugten Kegel und die gerade darin gefundene Kugel, 
so erkl\"art sich der Name des Satzes.

Nun gehen wir induktiv vor.
Beachte dabei, dass $R$ und $\varepsilon$ als von $x_0$
unabh\"angige Konstanten gew\"ahlt werden k\"onnen.
Solange noch $|Du(x_i)|\ge M \epsilon^i\ge M_0$ gilt
k\"onnen wir einen weiteren Punkt $x_{i+1}$ von
$x_i$ ausgehend in genau derselben Weise finden, wie wir von
$x_0$ ausgehend den Punkt $x_1$ gefunden haben.
Daher k\"onnen wir, falls nur $M=\sup|Du|$ gen\"ugend 
gro\ss{} ist, eine Folge von Punkten $\{x_i\}_{i=0,\ldots,N}$ 
beliebiger L\"ange $N$ konstruieren, so dass f\"ur alle 
$i\ge1$ 
$$|Du|\ge M\epsilon^i\quad\text{auf~}\partial\Omega\cap B_{R}(x_i)$$
und
$$\inf\limits_{x\in B_R(x_i)\cap\partial\Omega}u(x)>u(x_{i-1})$$
gelten. 

Da $\partial\Omega$ aber endliches Ma\ss{} und beschr\"ankte
Hauptkr\"ummungen hat, gibt es eine obere Schranke $N_0(\rho)$ 
an die Anzahl Kugeln der Gestalt $B_\rho(y_j)$
f\"ur $y_j\in\partial\Omega$,
deren Schnitt in $\partial\Omega$ paarweise disjunkt ist,
wenn wir $\rho>0$ fixieren.

Gilt also $M=\sup|Du|>M_0\epsilon^{-N_0\left(\frac R2\right)}$, 
so finden wir zwei Punkte $x_{i_0}$ und $x_{j_0}$ mit $i_0>j_0>0$,
so dass
$$B_{\frac R2}(x_{i_0})\cap B_{\frac R2}(x_{j_0})
\cap\partial\Omega\not=\emptyset.$$
Andererseits liefert $x_{j_0}\in B_R(x_{i_0})$ aber
$$u(x_{j_0})<u(x_{j_0+1})<\ldots<u(x_{i_0-1})<
\inf\limits_{x\in B_R(x_{i_0})\cap\partial\Omega}u(x)
\le u(x_{j_0})$$ 
und wir erhalten einen Widerspruch. Somit folgt das Theorem.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{$C^2$-Absch\"atzungen}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Gemischt tangential-normale Absch\"atzungen}

Die im folgenden behandelten Absch\"atzungen erh\"alt man analog zu den
doppelt tangentialen Absch\"atzungen beim Dirichletproblem.

Sei der Rand wie dort als Graph dargestellt. Dann
l\"a\ss{}t sich die Randbedingung lokal als
$$\nu^i(\hat x)u_i(\hat x,\omega(\hat x))=
\phi((\hat x,\omega(\hat x)),u(\hat x,\omega(\hat x)))$$
schreiben. Wir differenzieren dies in eine Richtung
$r<n$ und erhalten
$$\nu^i_ru_i+\nu^iu_{ir}+\nu^iu_{in}\omega_r=
\phi_r+\phi_n\omega_r+\phi_zu_r+\phi_zu_n\omega_r.$$
In einem Punkt mit $D\omega=0$ vereinfacht sich dies zu
$$\nu^i_ru_i+\nu^iu_{ir}=
\phi_r+\phi_zu_r.$$
Damit ist $\nu^iu_{ir}$ und damit auch $u_{\nu\tau}$ 
beschr\"ankt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Doppelt normale Absch\"atzungen}

Diese doppelt normalen Absch\"atzungen beim Neumannrandwertproblem
entsprechen den gemischt 
tangential-normalen Absch\"atzungen beim Dirichletproblem. 

Die differenzierte Gleichung lautet
mit $\hat f=\log f$
$$u^{ij}u_{ijk}=\hat f_k+\hat f_zu_k+\hat f_{p_i}u_{ik}.$$
Wir definieren den Operator 
$$Lw:=u^{ij}w_{ij}-\hat f_{p_i}w_i.$$
Wie beim Dirichletproblem rechnet man direkt nach,
dass f\"ur 
$$\theta:=d-\mu d^2$$
bei hinreichend gro\ss{} gew\"ahlter Konstante $\mu\gg1$ 
in einem Gebiet $\Omega_\delta$ mit $0<\delta$ hinreichend
klein
\begin{align*}
L\theta\le&-\epsilon\tr u^{ij}&&\text{in~}\Omega_\delta,\\
\theta\ge&0&&\text{auf~}\partial\Omega_\delta
\end{align*}
gilt. Beachte, dass hier die Konstante $\epsilon$ aufgrund
der strikten Konvexit\"at des Gebietes $\Omega$ positiv
gew\"ahlt werden kann. 

Wir setzen $\phi$ und $\nu$ glatt ins Innere von $\Omega$ 
fort und erhalten
$$L(\nu^iu_i-\phi)\le c\tr u^{ij}.$$

Somit k\"onnen wir mit Hilfe einer Testfunktion der Form
$$\Theta:=A\theta+B|x-x_0|^2\pm(\nu^iu_i-\phi)$$
analog zum Dirichletproblem schlie\ss{}en, dass
die Normalenableitung von $(\nu^iu_i-\phi)$
a priori beschr\"ankt ist. Dies liefert eine
Schranke an $u_{\nu\nu}$ in jedem Randpunkt. Eine
untere Schranke war allerdings bereits aufgrund
der Konvexit\"at von $u$ bekannt. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Doppelt tangentiale $C^2$-Absch\"atzungen}

Hier k\"onnen wir nicht sofort die allgemeine Gleichung
\eqref{Neumann eqn} behandeln. Wir beschr\"anken und
daher zun\"achst auf den Fall, dass $f=f(x)$ gilt.

Man \"uberzeugt sich direkt, dass auch in diesem Fall die
bisherigen a priori Absch\"atzungen g\"ultig bleiben.
Insbesondere kann man f\"ur die $C^0$-Absch\"atzungen
die Funktionen $g=f$ und $h\equiv1$ w\"ahlen.

Wir definieren f\"ur einen Vektor $\xi\in\mathbb{S}^{n-1}$
$$v:=u_{\xi\xi}-v'(x,\xi)+K|x|^2$$
mit
$$v':=2\langle\xi,\nu\rangle\xi'^i(\phi_i+\phi_zu_i-\nu^k_iu_k)$$
und dem tangential projizierten Vektor
$$\xi':=\xi-\langle\xi,\nu\rangle\nu.$$
Beachte dabei, dass aufgrund der differenzierten
Randbedingung am Rand
$$v'=2\langle\xi,\nu\rangle\xi'^iu_{ik}\nu^k$$
gilt.

Wir wollen nun nachweisen, dass $v$ a priori beschr\"ankt ist.
Dazu maximieren wir die Funktion \"uber alle $(x,\xi)\in\ol\Omega
\times\mathbb{S}^{n-1}$ und fixieren $\xi$ entsprechend f\"ur
den Rest des Beweises. Werde also das Maximum in einem  
Punkt $(x_0,\xi)$ angenommen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Maximum im Inneren}
Nehme dazu zun\"achst an, dass $v$ im Inneren maximal wird.
Die Funktion $v'$ hat die Gestalt $v'=-a^ku_k-b$, wobei $a^k$ und
$b$ $C^2$-Funktionen sind. Setze wieder $\hat f=\log f$. 
Nach Drehung des Koordinatensystems k\"onnen wir annehmen,
dass $\xi=e_1$ gilt.
Wir erhalten somit im Maximum die folgenden Beziehungen
\begin{align*}
u^{ij}u_{ijk}=&\hat f_k,\umbruch\\
u^{ij}u_{ij11}-u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}=&\hat f_{11},\umbruch\\
0=v_i=&u_{11i}+a^k_iu_k+a^ku_{ki}+b_i+2Kx_i,\umbruch\\
0\ge v_{ij}=&u_{11ij}+a^k_{ij}u_k+a^k_iu_{kj}+a^k_ju_{ki}
+a^ku_{kij}+b_{ij}+2K\delta_{ij}.
\end{align*}
Wir erhalten dort unter Benutzung der Inversenbeziehung
\begin{align*}
0\ge&u^{ij}v_{ij}\umbruch\\
\ge&u^{ij}u_{ij11}-c\tr u^{ij}-c+a^ku^{ij}u_{kij}+2K\tr u^{ij}\umbruch\\
=&u^{ik}u^{jl}u_{ij1}u_{kl1}+\hat f_{11}-c\tr u^{ij}
+a^k\hat f_k+2K\tr u^{ij}\umbruch\\
\ge&-c\tr u^{ij}+2K\tr u^{ij}.
\end{align*}
Somit kann das Maximum von $v$ (bei geeignet fixiertem $\xi$)
nicht im Inneren angenommen werden, falls $K$ gro\ss{} genug 
gew\"ahlt worden ist. Wir wollen dies im Folgenden annehmen. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Maximum am Rand}\label{max rand eins}

Wir unterscheiden nun drei F\"alle. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{$\xi$ tangential}
Nehme zun\"achst einmal an, dass $\xi$ im Maximum ein
Tangentialvektor ist. Dann gilt aufgrund der Extremalit\"at
von $v$
\begin{align*}
0\le&\nu^iv_i\umbruch\\
\le&u_{\xi\xi\nu}+a^ku_{k\nu}+c\umbruch\\
\le&u_{\xi\xi\nu}+c.
\end{align*}
Andererseits erhalten wir durch doppeltes Differenzieren der
Randbedingung, indem wir die bereits in Richtung $r<n$ differenzierte
Randbedingung noch einmal in Richtung $s<n$ differenzieren 
(Zur Vereinfachung betrachten wir nur einen Punkt mit $D\omega=0$.)
\begin{align*}
\nu^i_{rs}u_i+\nu^i_ru_{is}+\nu^i_su_{ir}
+\nu^iu_{irs}+\nu^iu_{in}\omega_{rs}=&
\phi_{rs}+\phi_{rz}u_s+\phi_n\omega_{rs}
+\phi_{zs}u_r\\
&+\phi_{zz}u_ru_s+\phi_zu_{rs}
+\phi_zu_n\omega_{rs}.
\end{align*}
Wir multiplizieren dies nun mit $\xi^r\xi^s$ und erhalten
$$2\nu^i_\xi u_{i\xi}+u_{\nu\xi\xi}-\phi_zu_{\xi\xi}\le c$$
aufgrund der bereits bewiesenen a priori Absch\"atzungen.
Da $\phi$ monoton ist, k\"onnen wir den letzten Term auf
der linken Seite weglassen und erhalten
$$\nu^i_\xi u_{i\xi}\le c.$$
Beachte, dass wir nach Wahl der Testfunktion 
$D^2u|_{T_{x_0}\partial\Omega\times T_{x_0}\partial\Omega}$
als diagonal annehmen d\"urfen und dass $\xi$
einer Koordinatenrichtung entspricht. Daher ist
$$\nu^\xi_\xi u_{\xi\xi}\le c.$$
Somit folgt aufgrund der strikten Konvexit\"at von $\partial
\Omega$ eine obere Schranke an $u_{\xi\xi}$. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{$\xi$ normal}
Ist $\xi$ normal, so ist nichts mehr zu beweisen,
da wir bereits a priori Absch\"atzungen f\"ur $u_{\nu\nu}$
bewiesen haben.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{$\xi$ weder tangential noch normal}
Sei nun $\xi$ weder tangential noch normal. Dies ist der
Fall, der die recht komplizierte Testfunktion mit $v$ und
$v'$ erfordert. Wir stellen $\xi$ mit Hilfe von einer 
Tangentialrichtung $\tau$ sowie $\alpha$ und $\beta$ dar,
wobei $\alpha^2+\beta^2=1$ gilt
$$\xi=\alpha\tau+\beta\nu.$$
Es ist $\alpha=\langle\xi,\tau\rangle\neq0$ und
$\beta=\langle\xi,\nu\rangle\neq0$.
Nach Definition von $v'$ und der direkt darauf folgenden
Bemerkung gilt
\begin{align*}
u_{\xi\xi}=&\alpha^2u_{\tau\tau}+\beta^2u_{\nu\nu}
+2\alpha\beta u_{\tau\nu}\umbruch\\
=&\alpha^2u_{\tau\tau}+\beta^2u_{\nu\nu}+v'(x,\xi).
\end{align*}
Da $v'(\cdot,\xi)$ sowohl f\"ur tangentiale Vektoren $\xi$
als auch f\"ur normale Vektoren $\xi$ verschwindet,
wegen der obigen Rechnung und
aufgrund der Extremalbedingung erhalten wir
\begin{align*}
v(x_0,\xi)=&\alpha^2v(x_0,\tau)+\beta^2v(x_0,\nu)\umbruch\\
\le&\alpha^2v(x_0,\xi)+\beta^2v(x_0,\nu).
\end{align*}
Umordnen der Terme ergibt wegen $\beta\neq0$
$$v(x_0,\xi)\le v(x_0,\nu).$$
Nach Definition von $v$ gilt also 
$$u_{\xi\xi}(x_0)\le u_{\nu\nu}(x_0)+c.$$
Damit haben wir auch in diesen Fall $C^2$-Absch\"atzungen
und f\"ur diesen Modellfall erhalten wir globale 
$C^2$-Schranken.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Existenz (im Modellfall)}

Die Absch\"atzungen von Krylov-Safonov in der Form f\"ur
oblique Randbedingungen liefern
$C^{2,\alpha}$-Absch\"atzungen f\"ur die Funktion $u$
\cite{LTLinObl,LTNonLinObl,TrudMini1984}. Ab\-sch\"atz\-un\-gen
f\"ur h\"ohere Ableitungen folgen nun mit Hilfe der
Schaudertheorie. Dies gen\"ugt, um Existenz zu zeigen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$C^2$-Absch\"atzungen f\"ur allgemeines $f$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Eine Matrixungleichung}

F\"ur die noch folgenden $C^2$-Ab\-sch\"atz\-un\-gen 
beweisen wir zun\"achst das folgende Lemma aus \cite{OSMM}. 
(Dies vereinfacht doch weniger als zun\"achst gedacht.
N\"utzlich wird das folgende Lemma insbesondere, 
wenn man solche Absch\"atzungen au\ss{}erhalb von
Extremalpunkten ben\"otigt.)

\begin{lemma}\label{matr inequ}
Seien $\left(a^{ij}\right)$ und $(A_{ij})$ symmetrische 
$n\times n$-Matrizen. Nehme an, dass $(A_{ij})$ 
positive semidefinit ist und dass $\left(a^{ij}\right)$ 
positiv definit ist. Die Inverse von $\left(a^{ij}\right)$
wollen wir mit $(\tilde a_{ij})$ bezeichnen. Dann gilt die
Ungleichung
$$-a^{ij}A_{ij}+\frac 1{\tilde a_{11}}A_{11}\le0.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Seien $\left(b^{ij}\right)_{1\le i,\, j\le n}$ und $\left(c_{ij}
\right)_{1\le i,\, j\le n}$ positiv semidefinite symmetrische
Matrizen. Dann k\"onnen wir eine orthogonale Basistransformation
vornehmen, so dass eine der beiden Matrizen zus\"atzlich noch
diagonal ist und erhalten $b^{ij}c_{ij}\ge0$. Diese Ungleichung
gilt nat\"urlich auch in der urspr\"unglichen Basis.
Somit gen\"ugt es, nachzuweisen, dass
$$a^{ij}-\delta^i_1\delta^j_1\frac 1{\tilde a_{11}}=:d^{ij}$$
positiv semidefinit ist. Nach einem Basiswechsel mit Hilfe
einer Blockdiagonalmatrix der Form  $\left(\begin{array}{cc} 
1&0\\0&T\\\end{array}\right)$, wobei $T$ eine orthogonale
$(n-1)\times(n-1)$-Matrix ist, d\"urfen wir also annehmen, dass
$(d^{rs})_{2\le r,\,s\le n}$ und $(a^{rs})_{2\le 
r,\,s\le n}$ diagonal sind. Beachte hierbei, dass die Matrix
$\left(d^{ij}\right)$ in einer unter dieser Transformation
invarianten Art und Weise definiert ist. 

F\"ur Matrizen dieser Form haben wir die Ungleichung
\begin{equation}\label{nuetzl ungl}
\det\left(\begin{array}{ccccc}
a^{11} & a^{12} & \cdots  & \cdots & a^{1n} \\
a^{12} & a^{22} & 0       & \cdots & 0      \\
\vdots & 0      & \ddots  & \ddots & \vdots \\ 
\vdots & \vdots & \ddots  & \ddots & 0      \\ 
a^{1n} & 0      & \cdots  & 0      & a^{nn} \\
\end{array}\right)=\prod\limits_{i=1}^n a^{ii}
-\sum\limits_{i>1}\left|a^{1i}\right|^2\cdot 
\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j>1}} a^{jj}.
\end{equation}

Wir berechnen f\"ur $\tilde a_{11}$
$$\tilde a_{11}=\frac{\det\left(a^{rs}\right)_{2\le r,\, s\le n}}
{\det\left(a^{ij}\right)_{1\le i,\, j\le n}}
=\frac{\prod\limits_{i=2}^{n}a^{ii}}{\prod\limits_{i=1}^n
a^{ii}-\sum\limits_{i>1}\left|a^{1i}\right|^2\cdot
\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j>1}}a^{jj}},$$
und erhalten somit
$$d^{11}=a^{11}-\frac1{\tilde a_{11}}=
\frac{\sum\limits_{i>1}\left|a^{1i}\right|^2\cdot
\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j>1}}a^{jj}}
{\prod\limits_{i=2}^{n}a^{ii}}.$$

Wir sollten nun nachweisen, dass $\left(d^{ij}\right)$
positiv semidefinit ist. Es gen\"ugt aber auch, hierf\"ur
nachzuweisen, dass f\"ur $\epsilon>0$ die wie folgt
definierte Matrix $\left(\tilde d^{ij}\right)$ positiv
semidefinit ist
$$\tilde d^{ij}=\left\{\begin{array}{cl}
d^{ij}, & i + j > 2,\\
d^{11}+\varepsilon, & i = j = 1,\end{array}\right..$$
Die urspr\"ungliche Behauptung folgt dann verm\"oge 
$\varepsilon\downarrow 0$.
F\"ur den Nachweis der positiven Definitheit von 
$\left(\tilde d^{ij}\right)$ zeigen wir, dass die
Unterdeterminanten $$\det\left(\tilde d^{ij}\right)_{k\le
i,\,j\le n}$$ f\"ur $1\le k\le n$ positiv definit sind. 
F\"ur $k>1$ ist dies offensichtlich. Im Falle $k=1$
benutzen wir wiederum die Formel \eqref{nuetzl ungl} 
und erhalten
$$\det \tilde d^{ij}
=\sum\limits_{i>1}\left|a^{1i}\right|^2\cdot
\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j>1}}a^{jj}+
\varepsilon\cdot\prod\limits_{i=2}^{n}a^{ii}-
\sum\limits_{i>1}\left|a^{1i}\right|^2\cdot
\prod\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j\neq i}{j>1}}a^{jj}>0.$$
Somit folgt die Behauptung des Lemmas.
\end{proof}

Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
$0\in\Omega$ gilt. Dann ist $\langle x,\nu\rangle$
auf $\partial\Omega$ gleichm\"a\ss{}ig durch eine
positive Konstante nach unten abgesch\"atzt.

Aufgrund der $C^1$-Absch\"atzungen gibt es eine
positive Konstante $\mu_0$, so dass
$f(x,u,Du)\ge\mu_0>0$ gilt. Um den allgemeinen Fall behandeln
zu k\"onnen, l\"osen wir zun\"achst das Randwertproblem
\begin{align*}
\det D^2\psi=&\tfrac12\mu_0&&\text{in~}\Omega,\\
\psi_\nu=&\phi\left(x,\psi+\rho|x|^2\right)-2\rho\langle x,\nu\rangle
&&\text{auf~}\partial\Omega.
\end{align*}
Aufgrund der bisherigen Absch\"atzungen existiert eine
L\"osung $\psi=\psi_\rho$ mit von $\rho\in(0,1)$ 
unabh\"angigen a priori
Absch\"atzungen. Da $\mu_0>0$ gilt, finden wir eine von
$\rho$ unabh\"angige Konstante $\lambda>0$, so dass
$$D^2\psi_\rho\ge\lambda\,\text{Id}.$$
Definiere nun $\ol\psi:=\psi+\rho|x|^2$. W\"ahlen wir nun
$\rho>0$ hinreichend klein, so k\"onnen wir 
$$\det D^2\ol\psi<\mu_0\quad\text{in~}\Omega$$
annehmen. Fixiere $\rho$ entsprechend und unterdr\"ucke
den Index $\rho$ ab jetzt wieder. 

Aufgrund des Mittelwertsatzes finden wir $a^{ij}>0$, so
dass $a^{ij}(u_{ij}-\ol\psi_{ij})\ge0$ gilt. 
Wiederum aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es eine Funktion
$\gamma\le0$, so dass
$$(u-\ol\psi)_\nu=\gamma(u-\ol\psi)$$
gilt. Daher folgt aufgrund des Maximumprinzips $u-\ol\psi\le0$
in $\Omega$. Aufgrund der Randbedingung folgt daher
$(u-\ol\psi)_\nu\ge0$ auf $\partial\Omega$.
Wir erhalten somit auf dem Rand
\begin{equation}\label{psi u nu}
(\psi-u)_\nu\le-2\rho\langle x,\nu\rangle\le-2\rho\delta_0
\end{equation}
f\"ur eine positive abgesch\"atzte Konstante $\delta_0$.

Wir definieren nun eine neue Testfunktion $w$ durch
$$w:=\log v+\beta\left(|Du|^2+M(\psi-u)\right).$$
Hier ist $v$ fast wie oben, wir addieren lediglich eine positive 
Konstante, so dass die Terme bis zu erster Ordnung positiv werden, 
$\beta\gg1$ ist eine noch zu w\"ahlende
positive Konstante und $M\gg1$ ist so gew\"ahlt, dass
\begin{equation}\label{fix M}
\left|u^ku_{k\nu}\right|\le\rho\delta_0M
\end{equation}
auf dem Rand gilt. Solch eine Konstante $M$ existiert aufgrund
der obigen a priori Absch\"atzungen. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Maximum im Inneren}

Nehme zun\"achst an, dass die Funktion $w$ ihr Maximum 
im Inneren annimmt.

Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
im Maximum $v\gg1$ und $u_{\xi\xi}\gg1$ (f\"ur geeignet
fixiertes $\xi$) gelten und damit $w$ in einer Umgebung
des Maximums wohldefiniert ist. 

Die Extremalbedingung impliziert nun
\begin{align*}
0=w_i=&\frac{v_i}v+2\beta u^ku_{ki}+M\beta(\psi-u)_i,\umbruch\\
0\ge vw_{ij}=&v_{ij}-\frac{v_iv_j}v+2\beta vu^ku_{kij}
+2\beta vu^k_iu_{kj}+M\beta v(\psi-u)_{ij}.
\end{align*}
Hieraus folgt
$$0\ge u^{ij}v_{ij}-\frac1vu^{ij}v_iv_j+2\beta vu^ku^{ij}u_{ijk}
+2\beta v\Delta u+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-n\right).$$
Wir differenzieren die Gleichung
\begin{align*}
\log\det D^2u=&\log f(x,u,Du)\equiv\hat f(x,u,Du),\\
u^{ij}u_{ijk}=&\hat f_k+\hat f_zu_k+\hat f_{p_i}u_{ik},\\
u^{ij}u_{ij\xi\xi}=&u^{ik}u^{jl}u_{ij\xi}u_{kl\xi}
+\hat f_{\xi\xi}+2\hat f_{\xi z}u_\xi+2\hat f_{\xi p_i}u_{i\xi}
+\hat f_z u_{\xi\xi}+\hat f_{zz}u_\xi u_\xi\\
&+2\hat f_{zp_i}u_\xi u_{i\xi}+\hat f_{p_ip_j}u_{i\xi}u_{j\xi}
+\hat f_{p_i}u_{i\xi\xi}.
\end{align*}
Weiterhin gilt
\begin{align*}
v=&u_{\xi\xi}+a^ku_k+b+K|x|^2,\\
v_i=&u_{\xi\xi i}+a^k_iu_k+a^ku_{ki}+b_i+2Kx_i,\\
v_{ij}=&u_{\xi\xi ij}+a^k_{ij}u_k+a^k_iu_{kj}+a^k_ju_{ki}
+a^ku_{kij}+b_{ij}+2K\delta_{ij}.
\end{align*}
Es folgt mit Hilfe von Lemma \ref{matr inequ} f\"ur ein noch
zu fixierendes $\epsilon>0$ unter der Annahme, dass $u_{\xi\xi}\gg1$ ist,
\begin{align*}
0\ge&u^{ij}u_{ij\xi\xi}-c\tr u^{ij}+a^ku^{ij}u_{ijk}+2K\tr u^{ij}\\
&-\frac1vu^{ij}v_iv_j+2\beta vu^ku^{ij}u_{kij}+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-n\right)\umbruch\\
\ge&u^{ik}u^{jl}u_{ij\xi}u_{kl\xi}-\frac1{u_{\xi\xi}}u^{ij}v_iv_j
-c\tr u^{ij}-cu_{\xi\xi}^2+\hat f_{p_i}u_{i\xi\xi}+2K\tr u^{ij}\\
&+2\beta v\left(-c+u^k\hat f_{p_i}u_{ik}\right)+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-n\right)\umbruch\\
\ge&u^{ik}u^{jl}u_{ij\xi}u_{kl\xi}-\frac1{u_{\xi\xi}}u^{ij}
\left(u_{\xi\xi i}+c_i+a^ku_{ki}\right)
\left(u_{\xi\xi j}+c_j+a^lu_{lj}\right)\\
&-c\tr u^{ij}-cu_{\xi\xi}^2+\hat f_{p_i}u_{i\xi\xi}+2K\tr u^{ij}\\
&+2\beta v\left(-c+u^k\hat f_{p_i}u_{ik}\right)+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-n\right)\\
\ge&-\frac1{u_{\xi\xi}}\epsilon u^{ij}u_{\xi\xi i}u_{\xi\xi j}
-\frac c\epsilon\frac1{u_{\xi\xi}}\left(\tr u^{ij}+u_{\xi\xi}\right)\\
&-c\tr u^{ij}-cu_{\xi\xi}^2
+\hat f_{p_i}\left(-\left(a^ku_k\right)_i-b_i-2Kx_i
-2\beta vu^ku_{ki}-M\beta v(\psi-u)_i\right)\\
&+2K\tr u^{ij}+2\beta v\left(-c+u^k\hat f_{p_i}u_{ik}\right)+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-n\right)\\
\ge&-\frac1{u_{\xi\xi}}\epsilon u^{ij}
\left(c_i-a^ku_{ki}-2\beta v u^ku_{ki}-M\beta v(\psi-u)_i\right)\cdot\\
&\quad\cdot
\left(c_j-a^lu_{lj}-2\beta v u^lu_{lj}-M\beta v(\psi-u)_j\right)\\
&-\frac c\epsilon\frac1{u_{\xi\xi}}\left(\tr u^{ij}+u_{\xi\xi}\right)
-c\tr u^{ij}-cu_{\xi\xi}^2+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-c\right)\umbruch\\
\ge&-c(M)\epsilon\beta^2v\left(1+\tr u^{ij}+u_{\xi\xi}\right)\\
&-\frac c\epsilon\frac1{u_{\xi\xi}}\left(\tr u^{ij}+u_{\xi\xi}\right)
-c\tr u^{ij}-cu_{\xi\xi}^2+2\beta v\Delta u
+M\beta v\left(\lambda\tr u^{ij}-c\right).
\end{align*}
Nehme ohne Einschr\"ankung an, dass $u_{\xi\xi}$ und $\tr u^{ij}$
gro\ss{} sind. Wir wollen zun\"achst den ersten Term schlucken.
Dazu setzen wir zun\"achst $\epsilon\beta^2=1$ und w\"ahlen
dann $\beta\gg1$. Damit lassen sich alle negativen Terme leicht
schlucken. Somit erhalten wir einen Widerspruch, falls 
$\left|D^2u\right|$ nicht beschr\"ankt ist. 
Innere $C^2$-Absch\"atzungen folgen. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Maximum am Rand}
Da die Zusatzterme in $w$ gegen\"uber den Rechnungen im Modellfall
beschr\"ankt sind, gen\"ugt es, den Fall zu betrachten, wenn
$\xi$ ein Tangentialvektor ist. Die anderen F\"alle funktionieren
analog zu Kapitel \ref{max rand eins}.

Im noch ausstehenden Fall gilt aufgrund der Extremalit\"at
\begin{align*}
0\le&\nu^iw_i\umbruch\\
=&\nu^iv_i\frac1v+\beta\left(2u^ku_{ki}\nu^i
+M(\psi-u)_i\nu^i\right)\umbruch\\
\le&\nu^iv_i\frac1v+\beta\left(2\rho\delta_0M-2\rho\delta_0M\right)
\quad\text{ nach \eqref{psi u nu} und \eqref{fix M}}\umbruch\\
\le&\nu^iv_i\frac1v.
\end{align*}
Der Rest der Argumentation folgt dann wieder genau dem
entsprechenden Argument aus Kapitel \ref{max rand eins}.

Globale $C^2$-Absch\"atzungen folgen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Existenz}
Absch\"atungen h\"oherer Ordnung und Existenz folgen auch
in diesem Fall wie im Modellfall. 

Das Theorem folgt.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{/home/napier/schnuere/os/tools/amsplain}
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  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
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}
\providecommand{\href}[2]{#2}
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