Themen

Arbeitsgebiet und Abschlussarbeiten

Wir bearbeiten differentialgeometrische Fragestellungen mit Hilfe von analytischen Methoden, insbesondere mit Hilfe von geometrischen Evolutionsgleichungen. Solche Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flächen (oder allgemeiner Mannigfaltigkeiten) unter dem Einfluss ihrer Krümmung. Wichtige Beispiele hierfür sind der mittlere Krümmungsfluss, der Gaußkrümmungsfluss und der Riccifluss. Dies sind drei nichtlineare parabolische partielle Differentialgleichungen.

Hier sind geometrische Evolutionsgleichungen wie oben nützlich:

Eine geschlossene, dreidimensionale Mannigfaltigkeit, in der sich jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammenziehen lässt, ist diffeomorph zu einer Sphäre (Poincaré-Vermutung, Fieldsmedaille angeboten, Millenium Price Problem, G. Perelman 2003).
Der mittlere Krümmungsfluss beschreibt, wie sich Grenzflächen in Materialien verändern.
Der Gaußkrümmungsfluss beschreibt, wie ein konvexer Stein schrumpft, wenn Material durch Stöße abgetragen wird: Er wird asymptotisch rund ("The fate of the rolling stones", B. Andrews 1999).

Voraussetzungen

Bachelor- oder Staatsexamen: Gewöhnliche Differentialgleichungen mit geometrischen Anwendungen. Andere Bereiche nach Absprache.
Später sind zusätzlich Kenntnisse in Differentialgeometrie und partiellen Differentialgleichungen, insbesondere parabolischen, erforderlich.
Weiterhin nützlich: Topologie (alle Arten), Funktionalanalysis, gute Analysiskenntnisse, Computeralgebra.

Bitte kommen Sie frühzeitig einmal vorbei, wenn Sie es sich überlegen, Ihr Studium im Bereich der Differentialgeometrie oder geometrischen Analysis zu vertiefen. Dabei sollten wir insbesondere über Ihre mathematischen Vorlieben, ein entsprechendes Thema für eine Abschlussarbeit und über die Auswahl von Vorlesungen und Seminaren sprechen.