https://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/index.htmlArchiv der vorhandenen Seitenhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/AngewandtUndRein/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/AngewandtUndRein/index.htmlInnerhalb der Mathematik spricht man informell und etwas diffus von einem reinen und einem angewandten Zweig, wobei je nach Standpunkt auch etwas deutlicher gefärbte Einteilungen mitschwingen können: So werden Themen der reinen Mathematik von Angehörigen des angewandten Zweigs schon mal als lebensfern, abgedreht und unnötig eingestuft, während angewandte Fragestellungen aus der reinen Perspektive wegen eines geringeren Abstraktionsniveaus oder unpräzisen Begriffsbildungen auch als unmathematisch oder elementar gelten können. Während solche pointierten Meinungen zum Teil auf die menschliche Eigenart zurückgehen, den eigenen Standpunkt aufwerten zu wollen, so stellt sich doch die Frage, ob sich die beiden Zweige objektiv in ihrer benutzen Arbeitsweise unterscheiden. Oberflächlich betrachtet fällt zunächst auf, dass sich Arbeiten der angewandten Mathematik nicht nur um mathematische Begriffe drehen, sondern dass auch Konzepte und Begriffe der Anwendungswissenschaften und der Informhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Ausprobieren/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Ausprobieren/index.htmlEin Rabe setzt sich auf die Verkehrsampel über einem Fußgängerüberweg, lässt eine Nuss fallen und wartet dass sie von einem Fahrzeug überrollt wird. Bei der nächsten Grünphase der Fußgängerampel hüpft er hin, um den Inhalt aufzupicken. Die Entwicklung einer solchen Lösungstechnik, ist ohne die Fähigkeit Regelmäßigkeiten zu erkennen, schwer vorstellbar. Wahrscheinlich wurde der Gedanke hierzu durch eine zufällige Beobachtung ausgelöst. Zur Vollendung gelangt die Methode allerdings erst, wenn sie durch wiederholtes Ausprobieren und Beobachten schrittweise verfeinert wird. Grundsätzlich greifen die selben Mechanismen auch dann, wenn man eine harte Nuss in der Mathematik knacken möchte. Beobachtungen beim Arbeiten mit konkreten Beispielen erlauben das schrittweise Kennenlernen eines Sachverhalts und öffnen möglicherweise die Tür zu einer allgemeinen Aussage, die auch für wesentlich mehr Beispiele gilt. Der große Vorteil des entdeckungsfreudigen Raben besteht aber darin, dass die für das Khttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/DasUniversumDerMetaobjekte/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/DasUniversumDerMetaobjekte/index.htmlWir Menschen erleben die Welt als eine Ansammlung von Dingen, die in einem geregelten Zusammenhang stehen. Aufgrund dieser Regeln können unsere Sinnesorgane einzelnen Dingen, oder speziellen Ding-Kombinationen, Eigenschaften zuweisen, was dann eine Repräsentation in unseren Gedanken ermöglicht. Als abstraktes Modell dieser Sachlage führen wir die Konzepte Objekt und Bedingung ein, wobei ein Objekt $x$ eine Bedingung $B$ erfüllen kann. In diesem Fall nennen wir $B$ eine Eigenschaft von $x$ und schreiben abkürzend $x:B$. Während Objekte und Bedingungen inhaltlich zunächst klar voneinander abgegrenzt erscheinen, zeigt eine kurze Überlegung, dass die Grenzen nicht scharf sind: Ausgehend von einem Objekt $x$ kann man nämlich die Forderung an beliebige Bedingungen formulieren Eigenschaft von $x$ zu sein . Bedingungen werden dadurch selbst zu Objekten anderer Bedingungen, d.h. sie tragen ihrerseits Eigenschaften. Da sich die gleiche Konstruktion erneut anwenden lässt, haben auch die Bedinguhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/ElektrischeSuS/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/ElektrischeSuS/index.htmlIn der Grundschule gehört Mathematik von Anfang an zu den Hauptfächern. Implizit wird also von allen Schülern und Schülerinnen erwartet, dass sie in einem gewissen Umfang mathematisches Arbeiten erlernen können, wobei solch ein vielschichtiger Prozess natürlich unterschiedlichste Fähigkeiten umfasst. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage: Welche Lernziele sind Voraussetzung für erfolgreiches Mathematikmachen? Betrachten wir den Computer als ein Wesen mit sehr gutem Gedächtnis, absolutem Regelgehorsam aber ohne Weltwissen und Kreativität, so kann man ihn als ein sehr grobes Mensch-Modell durchgehen lassen, zumindest in dem Sinne, dass sich Menschen annähernd wie Computer verhalten können: Indem wir uns Notizen machen, lässt sich ein sehr gutes Gedächtnis simulieren. Das strenge Regeleinhalten ist zwar nicht leicht, aber die Vielzahl an (geregelten) Spielen zeigt, dass es prinzipiell möglich ist. Schließlich können wir uns auch dumm und stur stellen und unser Weltwissen gezielthttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Geschichten/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Geschichten/index.htmlEs war einmal ein König, der hatte drei Söhne, davon waren zwei klug und gescheit, aber der dritte sprach nicht viel, war einfältig und hieß nur der Dummling ... Nur wenige Worte genügen, uns in eine Gedankenwelt zu entführen, in der wir spannende Abenteuer mit glücklichen oder traurigen Wendungen erwarten. Die dazu benötigte Fähigkeit, sich die handelnden Personen und deren Eigenschaften und Beziehungen zueinander zu merken, besitzen schon kleine Kinder und es stört überhaupt nicht, dass die Personen nur sehr knapp beschrieben sind, ohne Angabe von Größe, Kleidung oder Haarfarbe - im Gegenteil es lässt mehr Freiraum, sie gedanklich durch reale oder fiktive Personen zu ersetzen. Genau die gleichen Fähigkeiten benötigt man beim Lesen einer Definition oder eines Satzes mit zugehörigem Beweis in der Mathematik, denn auch dabei handelt es sich um Geschichten: Sei $K$ eine Menge und seien $A,B,D\subset K$. Weiter seien $A,B$ abzählbar und $D$ sei endlich ... In der Metasprache $\mmath$ sihttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/HokusPokusZuordnung/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/HokusPokusZuordnung/index.html... und aus dem Kaninchen wurde ein Huhn. Etwas weniger magische Verwandlungsprozesse kennen wir zuhauf aus unserem Alltag: Eier, Mehl und Milch werden in einen Pfannkuchen verwandelt, Früchte und Zucker in Marmelade, ein Automat wandelt Geldstücke in Getränkedosen und Holz wird in einem Kamin in Wärme und Abgase umgesetzt. In der Mathematik abstrahiert man solche Prozesse durch Zuordnungen , die Ausgangsobjekten (sog. Argumenten ) eindeutig bestimmte Ergebnisobjekte zuweisen. Wie der Prozess genau vonstatten geht, ist in einer Zuordnungsvorschrift festgehalten. Im Unterschied zu realen Prozessen ist die Vorschrift dabei so präzise, dass bei gleichem Argument stets genau das gleiche Ergebnis resultiert. Genauso wie man aus Birnen aber keinen Apfelkuchen backen kann, sind für eine Zuordnung normalerweise nicht alle denkbaren Argumente zulässig. Zu jeder Zuordnung gibt es deshalb eine Bedingung an die Argumente und nur wenn diese erfüllt ist, kann die Vorschrift ausgeführt werden. Alshttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/IchGlaubeDerBeweisIstFalsch/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/IchGlaubeDerBeweisIstFalsch/index.htmlOb ein mathematischer Beweis korrekt ist oder nicht, lässt sich prinzipiell maschinell überprüfen, weil die zulässigen Argumentationsmöglichkeiten präzise geregelt sind. Im einfachsten Fall müssen dafür aber alle Beweisschritte in einer festen syntaktischen Form angegeben werden, was wiederum für menschliche Leser sehr unangenehm ist: Niemand will sich einen Text in sperriger Sprache durchlesen, in dem der entscheidende argumentative Schritt zwischen einem Wust von anderen Details verschwindet. Da versierte Leser in der Lage sind, typische argumentative Lücken schnell gedanklich auszufüllen, beschränken sich Beweistexte in der Praxis auf die Details, welche neue Techniken, Tricks und Ideen beinhalten. Die Übermittlung solcher Neuheiten ist dabei ein wichtiges Ziel mathematischer Kommunikation. In Kombination mit einer immer stärkeren Aufspaltung der Mathematik in Spezialgebiete ergibt sich allerdings die Schwierigkeit, dass die Einteilung in unterdrückbare oder wichtige Details nicht uhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/ImmerDerReiheNach/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/ImmerDerReiheNach/index.htmlÄußerlich betrachtet ist jeder mathematische Text genau wie dieser Text nur eine Aneinanderreihung von Schriftzeichen eines Alphabets. Die Reihenfolge der Zeichen wird dabei nach bestimmten Konventionen räumlich hergestellt (z.B. von links nach rechts und von oben nach unten). Der große Vorteil der Reihung besteht darin, dass bereits aus einem sehr kleinen Alphabet sehr viele unterschiedliche Zeichenketten erzeugt werden können (man denke an das Morse- Alphabet, das binäre 0/1 Alphabet in der Computertechnik, oder das Alphabet aus Basenpaaren in der Biologie). Durch Benutzung spezieller Trennzeichen lässt sich eine Zeichenkette hierarchisch in Teilketten untergliedern, die wir in üblichen Texten Kapitel, Abschnitt, Satz oder Wort nennen. Dabei sind Wörter Symbole für sprachliche Laute, die wiederum auf Dinge, Eigenschaften oder Prozesse verweisen. Die räumliche Sequenz der Schriftzeichen symbolisiert dadurch die zeitliche Reihenfolge der Sprachlaute. Wenn man nun noch bedenkt, dass zuhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Lernziele/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Lernziele/index.htmlMit Erstaunen stellen viele Mathematikstudierende in ihren ersten Semesterwochen fest, dass Mathematik an Schule und Uni neben der Fachbezeichnung nicht viel gemeinsam haben. Insbesondere helfen die erlernten Techniken aus der Schule so wenig, dass selbst sehr gute schulische Leistungen an der Uni kein Erfolgsgarant sind. Während sich Studierende im Bachelor-Programm mit den geänderten Rahmenbedingungen abfinden können (getreu dem Motto dann ist das halt jetzt Mathe ), haben Studierende mit dem Abschlussziel Lehramt ein echtes Problem: Für sie wird das nur ein paar Jahre lang Mathe sein - was danach kommt, kennen sie ja schon aus ihrer eigenen Schulzeit. Aber was bringt es dann, sich einem Thema voll und ganz zu widmen und alle Details zu verfolgen, wenn dieses Thema später keine Rolle mehr spielen wird? Klar, dass sich hier die Sinnfrage stellt! (Eine ähnliche Sinnfrage stellt sich übrigens auch für SchülerInnen, die nach dem Abitur keine mathematiknahe Ausbildung anstreben.) Dieser https://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MamaMamaMathe/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MamaMamaMathe/index.htmlWenn Kinder ihre Muttersprache lernen, dann geschieht das ohne explizite Kenntnis der Sprachregeln. Durch Zuhören, Ausprobieren und Feedback in Form von Korrekturvorschlägen wird die Sprachnutzung vom Gehirn immer besser erlernt. Perfektioniert wird sie dann in der Schule, wo die Sprachregeln im Unterricht erarbeitet und rational durchdrungen werden. Hier dient die Sprache nicht nur zum Übermitteln von Inhalten, sondern sie wird selbst zum Studienobjekt, wobei besseres Verständnis mit besserer Nutzung einhergeht. Im Unterschied zum Erstspracherwerb wird der Vorteil des rationalen Sprachverständnisses beim Erlernen von Fremdsprachen von Anfang an ausgenutzt, um den Lernprozess zu beschleunigen. Wie aber funktioniert das Erlernen der mathematischen Sprache - eine Sprache mit präzise formulierten Begriffen und streng geregelten Argumentationsweisen? Der Ansatz zur Vermittlung von Sprachaspekten an den Universitäten ist eher indirekt: Durch reichliches Vor- und Nachmachen mit einigen https://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MathematikLesenLernen/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MathematikLesenLernen/index.htmlWas ist der Grund dafür, dass Jahr für Jahr überdurchschnittlich viele Studierende das Mathematikstudium bereits nach kurzer Zeit frustriert wieder aufgeben? Was genau macht den Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik so schwierig? Liegt es an den komplizierten Inhalten, oder doch eher an der Form der Vermittlung? Die Erfahrung nach vielen Gesprächen mit Schülern und Studierenden, der Begleitung mehrerer Anfängerjahrgänge, der Durchführung spezieller Lehrveranstaltungen zu den Anfangsschwierigkeiten und der routinemäßigen Durchsicht von vielen Übungsblättern, Klausuren und Hausarbeiten führt zu folgender Einschätzung: Der größte Stolperstein ist nicht das inhaltliche Verständnis der mathematischen Konzepte und Zusammenhänge sondern das formale Vorgehen in der Mathematik. Es fehlt nicht das intuitive Verständnis dafür, dass zum Beispiel konvergente Folgen beschränkt sind, sondern die Fähigkeit, die Begründung mathematisch korrekt aufzuschreiben. Sehr eng verknüpft und vielleichthttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MathematischeBegriffe/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/MathematischeBegriffe/index.htmlWenn wir über konkrete Dinge sprechen, benutzen wir Wörter wie Apfel, Wolke oder Brille. Das Wort Brille im Satz "Ich trage eine Brille." steht aber nicht nur für das Ding auf meiner Nase, sondern es ist Stellvertreter für viele Dinge mit der Funktion, Sehfehler zu korrigieren. Dabei unterscheiden sich Brillen von anderen Sehhilfen wie Zwickern, Monokeln oder Kontaktlinsen dadurch, dass Brillen zwei Bügel haben, die in Kombination mit den Ohren für Halt auf der Nase sorgen. Schon dieses kleine Beispiel zeigt, wie wir Dinge nach gewissen Ähnlichkeiten zusammenfassen oder bei fehlender Ähnlichkeit unterscheiden. Für weitere Beispiele brauchen wir uns nur umzuschauen: Eine Buche ist anders als eine Eiche, aber beides sind Laubbäume. Ein Kugelschreiber unterscheidet sich von einem Bleistift, aber beides sind Schreibgeräte usw. Nennen wir das, was Dinge unterscheidbar bzw. zusammenfassbar macht Eigenschaften, dann sind Namen wie Apfel, Wolke oder Brille Abkürzungen für spezielle Eigenschhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Modellierungsbeispiel/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Modellierungsbeispiel/index.htmlIn einem über 2500 Jahre alten ägyptischen Mathematikbuch, dem Papyrus Rhind , ist ein Mathematikrätsel aufgeführt, das übersetzt ungefähr so lautet: Es gibt sieben Häuser, in jedem Haus wohnen sieben Katzen. Jede Katze fängt sieben Mäuse, von denen jede sieben Kornähren gefressen hat. In jeder Ähre sind sieben Samen. Da die eigentliche Frage fehlt, ergänzen wir Wieviele Dinge kommen insgesamt in dieser Geschichte vor? und betrachten dieses zugegebenermaßen künstliche Szenario als eine mathematische Modellierungsaufgabe. Unsere Vorgehensweise gliedert sich dabei nach folgendem Schema: Einführung von Namen für die mathematischen Objekte, die die Rolle relevanter Gegenstände der Geschichte übernehmen. Beschreiben von Beziehungen dieser Objekte untereinander und zu anderen Objekten aus dem mathematischen Rahmen, in dem das Modell formuliert wird. Nachweis einer Aussage duch mathematische Argumentationen, die als Antwort auf die Frage dienen kann. In der praktischen Durchführung ist es https://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Muster/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Muster/index.htmlWenn man das Wort Muster hört, denkt man vielleicht zuerst an regelmäßige Anordnungen von geometrisch ähnlichen Figuren. Als allgemeine Definition findet man im Wiktionary : Ein Muster ist eine gleichbleibende Struktur, die einer sich wiederholenden Sache zu Grunde liegt, oder im übertragenen Sinn ein Handlungsablauf oder eine Denk-, Gestaltungs- oder Verhaltensweise, die zur gleichförmigen Wiederholung (Reproduktion) bestimmt ist. Die zunächst erwähnte regelmäßige Anordnung von geometrisch ähnlichen Figuren passt insofern auf diese Definition, als sich hier Ausschnitte der Gesamtfigur räumlich an anderen Stellen wiederholen, wobei diese Wiederholung gewissen Regeln folgt. Es passen aber auch ganz andere Beispiele. Betrachten wir etwa das Zeichenmuster 4, 36, 16, 64, 144, 100, so besteht die Wiederholung zunächst darin, dass mehrere kommagetrennte Dezimalzahlen in Leserichtung auftreten. Dabei erkennt man, dass alle Zahlen gerade sind und dass es sich jeweils um Quadratzahlen handelhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Objekte/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Objekte/index.htmlUnsere Alltagserfahrung bezieht sich auf Dinge wie Marmeladengläser, Bleistifte und Verkehrsampeln, deren Bedeutung für uns aus ihren Nutzungsmöglichkeiten entsteht, die wiederum mit ihrer Konstruktion zu tun haben. So ist zum Beispiel ein Bleistift das Ergebnis eines speziellen Herstellungsprozesses mit gewissen Zutaten: Holz für den Schaft, Graphit-Ton-Gemisch für die Mine, Lack für den Griffbereich. Die Nutzungsmöglichkeiten (dazu gehören neben dem Zeichnen oder Schreiben auch das Rückenkratzen) ergeben sich aus den Eigenschaften der Zutaten und der Art und Weise ihrer Verbindung bei der Herstellung. In den Gedankenwelten der Mathematik sind die mathematischen Objekte das Pendant zu Dingen in der realen Welt. Auch sie werden aus anderen Objekten hergestellt, wobei sich ihre Eigenschaften aus dem benutzten Herstellungsprozess und den verwendeten Zutaten ergeben, die jeweils symbolisch (also mit Zeichen) beschrieben werden. Beispielsweise wird die Zahl 4 in der Gedankenwelt der Peanohttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Programmfehler/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Programmfehler/index.htmlIn jedem größeren Softwareprojekt stellt sich früher oder später die Frage, ob unentdeckte Fehler im Code schlummern und den korrekten Ablauf des eigentlich gewünschten Prozesses in bestimmten Situationen sabotieren. Unter dem Wikipedia-Stichwort Programmfehler findet man hierzu die Aussage, dass als stabil geltende Programme durchaus eine Fehlerdichte von bis zu einem Fehler je 2000 Programmzeilen aufweisen können. Welche Bedeutung dem Thema zukommt, wird klar, wenn man an die Unfallgefahren in sicherheitskritischen Bereichen und auch die immensen wirtschaftlichen Schäden denkt, die durch Programmfehler entstehen. In der Informatik wird daher über Fehlererkennung und -vermeidung intensiv geforscht und ein großes Sortiment an Lösungsansätzen steht bereits zur Verfügung, wobei man in der Praxis nur eine Verringerung der Fehlerhäufigkeit und keinen hundertprozentigen Schutz erwarten kann. Das liegt auch daran, dass die Fehlerdetektion eine Definition des korrekten Prozessablaufs für ahttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/RegelRegeln/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/RegelRegeln/index.htmlIn der Mathematik arbeitet man mit zwei Sorten von Regeln: Solche über die Mathematik (Metaregeln) und solche über die mathematischen Objekte (Sätze). Im Projekt $\mmath$ werden Metaregeln programmiert, um den Rahmen für kontrolliertes mathematisches Arbeiten am Rechner zu schaffen. Der Nutzer kann dann Sätze über mathematische Objekte mit dem Programm formulieren und beweisen. Dabei ist er den Metaregeln unterworfen, während die mathematischen Objekte seinen Sätzen unterworfen sind. Betreibt man Mathematik mit Papier und Bleistift, so muss man selbst für die Einhaltung der Metaregeln sorgen, was ein ständiges Kontrollieren der eigenen Argumentationsschritte verlangt. Eine zentrale Aufgabe für Mathematiknovizen ist daher das Kennen- und Befolgenlernen der mathematischen Metaregeln, um dann in diesem Rahmen wiederum viele Regeln in Form von Sätzen kennenzulernen und neu zu entdecken. Regeln spielen also eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik, aber wie sind eigentlich Regeln gerehttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Schreiben/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Schreiben/index.htmlBeim Schreiben bringe ich Buchstaben in eine bestimmte Reihenfolge, die Sie beim Lesen in eine Sequenz von Lauten und somit in Sprache verwandeln (schauen Sie doch mal zurück, wie viele ei und en Gruppen Sie bereits als Zeichen für bestimmte Laute gedeutet haben). Genauso sind bestimmte Lautkombinationen (Wörter) wieder Zeichen, die wir als Gegenstände in der Welt deuten. Im einfachsten Fall sind die Gegenstände dabei greifbar oder mit anderen Sinnen unmittelbar zu erfassen. Sie können aber auch abstrakter sein, wie zum Beispiel das oben benutzte Wort Reihenfolge . Nun besteht der Sinn eines Textes normalerweise nicht darin, Gegenstände nur aufzulisten. Statt dessen will der Autor von ihm wahrgenommene Zusammenhänge zwischen Gegenständen mitteilen, d.h. er möchte Aussagen über Gegenstände machen. Dazu werden wieder Zeichen eingesetzt (in diesem Fall Sätze ), die von den Lesern gedeutet werden können, weil es vereinbarte Deutungsregeln gibt (in diesem Fall grammatikalische Regeln). Ghttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/SchuleHochschule/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/SchuleHochschule/index.htmlEine typische Szene aus dem Wintersemester: Erwartungsvolle Studienanfänger und -anfängerinnen sitzen in den ersten Mathevorlesungen und an den ersten Übungsblättern. Aber irgendwie hakt und klemmt es, die Anforderungen sind ungewohnt, die Aufgaben schwierig, neue Inhalte kommen zu schnell, Überforderung und Frust stellen sich ein und schon nach der Weihnachtspause ist deutlich mehr Platz im Hörsaal. Nach der ersten Klausur ist dann oft weniger als die Hälfte der Studierenden übrig und die ehemals gewohnten 13 bis 15 Punkte aus den Mathearbeiten sind vielleicht durch ein gerade noch bestanden oder sogar eine 5.0 ersetzt worden. Wie kann es eigentlich sein, dass selbst sehr gute schulische Leistungen in Mathematik kein Erfolgsgarant in diesem Fach an der Uni sind? Wieso helfen die erlernten Techniken aus der Schule so wenig an der Uni? Es sieht fast so aus, als hätten Mathematik an Schule und Uni neben der Fachbezeichnung nicht viele Gemeinsamkeiten, aber worin besteht denn genau derhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Textaufgaben/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/Textaufgaben/index.htmlFragt man in einer Schulklasse, wer lieber Textaufgaben als Rechenaufgaben mag, so meldet sich meist nur eine kleine Minderheit. Als Grund findet man schnell heraus, dass bei Rechenaufgaben das generelle Vorgehen und die zugehörigen Regeln klar sind, während dies bei Textaufgaben nicht der Fall ist. Diese Unklarheit erzeugt Gefühle von Unsicherheit bis hin zur Angst. Damit das nicht passiert, muss auch für den Umgang mit Textaufgaben ein systematisches Vorgehen mit zugehörigen Regeln trainiert werden. Wichtig ist, dass Textaufgaben vor dem mathematischen Lösungsschritt einen separaten Modellierungsschritt benötigen. Unter mathematischer Modellierung versteht man dabei den Prozess, einen nicht-mathematischen Sachverhalt mit mathematischen Objekten wie Zahlen, Funktionen, Gleichungen usw. zu beschreiben. Modellierung ist also eine Übersetzungstätigkeit, bei der konkrete Fragestellungen aus unserer Lebensumwelt in mathematische Problemstellungen überführt werden. Die beiden entscheidendhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/VerstehstDu/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/VerstehstDu/index.htmlBeim Thema Verstehen erinnere ich mich gerne an eine Physikvorlesung in Kaiserslautern, wo Professor Wolfgang Demtröder nebenbei Folgendes erklärte: Verstehen heißt neues Unverstandenes auf altes Unverstandenes zurückzuführen . Das klingt im ersten Moment lustig, weil es nicht zu dem Gefühl von Sicherheit und Kontrolle passt, das mit dem Gefühl des Verstehens einhergeht: Wenn man einen Sachverhalt versteht, kann man mit ihm kontrolliert umgehen, man kennt die zugehörigen Ursache-Wirkung-Beziehungen, kann sie zielgerichtet einsetzen und erklären. Schaut man aber etwas genauer hin und hinterfragt die Gefühle, so stellt sich die Situation ganz anders dar: Die empfundene Sicherheit beim Verstehen ist nur relativ zu einem Rahmen an Vorwissen, das bei kritischem Hinterfragen schnell löchrig werden kann, wobei dann auch die gefühlte Sicherheit rasch abnimmt. Etwas günstiger sieht es beim mathematischen Verstehen aus, weil es hier eine Ebene gibt, die so in keiner anderen Disziplin zu finhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/WerkzeugMathematik/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/WerkzeugMathematik/index.htmlWas unterscheidet den Mensch von anderen Tieren auf unserem Planeten? Der Mensch umgibt sich mit Baumärkten, Drogerien, Möbelhäusern und Kurzwarenabteilungen! Etwas abstrakter formuliert: Menschen erfinden und benutzen Werkzeuge und die Warenhäuser sind voll davon, angefangen bei Nähnadeln über Schränke und Zahnpasta bis hin zum Rasenmäher. Werkzeuge erlauben uns im Kleinen einzelne Zellen zu manipulieren oder im Großen das Sonnensystems zu erforschen. Dabei kann man Werkzeuge als Materialisierung von Regeln verstehen. So setzen Stemmeisen oder Türgriffe zum Beispiel die Regeln der Hebelwirkung um und zeigen indirekt, wie wir Menschen ticken: Durch Beobachtung stellen wir Regelmäßigkeiten zunächst in Form von wenn-dann-Beziehungen fest, wir isolieren und reproduzieren die Effekte durch Experimente und konservieren sie schließlich als Geräte oder Werkzeuge, die in speziellen Situationen die gefundenen Regelmäßigkeiten zur Wirkung kommen lassen. Die Grundlage all diesen Handelns ist dhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/WoLerntManDefinieren/index.htmlhttps://www.math.uni-konstanz.de/mmath/de/blog/WoLerntManDefinieren/index.htmlDie Entwicklung des Projekts $\mmath$ lief auf verschlungenen Pfaden. So war die erste Version des zugehörigen Programms nur in der Lage, Beweise im Bereich der Aussagenlogik und Mengenlehre zu überprüfen. Die Erschließung weiterer mathematischer Theorien war im Programmkonzept sehr mühsam, da jeweils eine Programmerweiterung für die neuen Objekte der Theorie benötigt wurde, bevor man damit argumentieren konnte. In der Praxis ist aber das Schaffen neuer Objekte durch Definitionen ein Prozess, der mit dem Beweisen von Eigenschaften zwischen diesen Objekten in einem engen und dynamischen Wechselverhältnis steht. Verkürzt gesagt steckte hinter dem ersten Zugang die Sichtweise, dass Mathematik hauptsächlich Beweisen bedeutet, was sicherlich auch dem vorherrschenden Eindruck der Mathematikstudierenden entspricht. In der Praxis stellt sich die Situation aber eigentlich ganz anders dar: Bevor irgend etwas bewiesen werden kann, muss erst ein mathematischer Kontext vorhanden sein, in dem sich