Schwerpunkt Reelle Geometrie und Algebra > Prof. Dr. C. Scheiderer > Mitarbeiter > Daniel Plaumann > Vorlesung im Sommersemester 2012

Lie-Gruppen

Vorlesung mit Übung (2+2 Stunden)

Daniel Plaumann

Inhalt

Lie-Gruppen sind differenzierbare Gruppen (benannt nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie). Ihre Theorie stellt eine faszinierende Mischung aus Algebra, Analysis und Geometrie dar. Lie-Gruppen spielen in diesen Gebieten, aber auch in der theoretischen Physik und weiteren Anwendungen, eine wichtige Rolle. Wie viele moderne mathematische Theorien hat die Lie-Theorie eine abstrakte Seite, als Strukturtheorie, und eine konkrete Seite, als Theorie von reellen und komplexen Matrixgruppen. Diese stellen die wichtigsten Beispiele dar und können weitgehend mit elementaren Methoden aus den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra angegangen werden. Beide Aspekte werden durch die Darstellungstheorie miteinander verbunden.
Die Vorlesung wird, in der Kürze der Zeit, die allgemeine Lie-Theorie nicht systematisch aufbauen können. Stattdessen werden wir die Matrix-Gruppen elementar behandeln und als Hintergrund und Motivation für eine eher informelle Einführung in die abstrakte Theorie und die Darstellungstheorie benutzen. Die Vorlesung wird sich stark an dem unten angegebenen Buch von B.C. Hall orientieren.

Skript

Endfassung (31. Juli)

Übungsaufgaben

Die in den Text eingebundenen Aufgaben sind als Präsenzübungen (und manchmal nur als Bemerkungen) gedacht und werden in der Übungsstunde besprochen. Die beiden mit H gekennzeichneten Aufgaben am Ende jeder Vorlesung sollen für die folgende Woche vorbereitet und in der Vorlesung abgegeben werden.

Termin

Vorlesung: Donnerstags 13:30-15:00 Uhr in F426.
Übung: Montags 11:45-13:15 Uhr in F426.

Kalender

Mo. 16. April	1. Vorlesung: Matrix-Lie-Gruppen
Do. 19. April	Übung
Mo. 23. April	Übung
Do. 26. April	2. Vorlesung: Lie-Gruppen
Mo. 30. April	Übung
Do. 3. Mai	3. Vorlesung: Die Matrix-Exponentialabbildung
Mo. 7. Mai	Übung
Do. 10. Mai	4. Vorlesung: Lie-Algebren
Mo. 14. Mai	Übung
Mi. 16. Mai	5. Vorlesung: Die Exponentialabbildung (17:00 Uhr, F426)
~~Do. 17. Mai~~	entfällt
Mo. 21. Mai	Übung
Do. 24. Mai	6. Vorlesung: Die Lie-Algebra als Tangentialraum
~~Mo. 28. Mai~~	entfällt
Do. 31. Mai	7. Vorlesung und Übung: Homomorphismen
Mo. 4. Juni	8. Vorlesung und Übung: Einfach zusammenhängende Gruppen
~~Do. 7. Juni~~	entfällt
Mo. 11. Juni	Übung
Do. 14. Juni	9. Vorlesung: Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel und Überlagerungen von Lie-Gruppen
Mo. 18. Juni	10. Vorlesung und Übung: Untergruppen und Unteralgebren
~~Do. 21. Juni~~	entfällt
Mo. 25. Juni	Übung
Do. 28. Juni	11. Vorlesung: Grundlagen der Darstellungstheorie
Mo. 2. Juli	Übung
Do. 5. Juli	12. Vorlesung: Grundlagen der Darstellungstheorie II
Mo. 9. Juli	Übung
Mi. 11. Juli	13. Vorlesung: Darstellungen von SU2 und SO3(R) (17:00 Uhr, F426)
~~Do. 12. Juli~~	entfällt
Mo. 16. Juli	Übung
Do. 19. Juli	14. Vorlesung: Darstellungen von sl3(C) und Ausblick

Zielgruppe

Die Vorlesung setzt nur mathematische Grundkenntnisse in linearer Algebra und Analysis voraus und kann ab dem zweiten Studienjahr gehört werden. Die Voraussetzungen für das Bestehen des Moduls bzw. den Scheinerwerb werden ggf. individuell angepasst.

Studiengänge

Bachelor (Ergänzungsmodul)
Master (Wahl- oder Spezialisierungsmodul)
Lehramt (Übungsschein)
Diplom (Übungsschein)
Physik (Nebenfach Mathematik)

ECTS Credits: 6

Literatur

B.C. Hall: "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction", GTM 222, Springer (2003)
T. Bröcker, T. tom Dieck: "Representations of Compact Lie Groups", GTM 98, Springer (1985)
M.L. Curtis: "Matrix Groups", Universitext, Springer (1984)
W. Fulton, J. Harris: "Representation Theory: A First Course", GTM 129, Springer (1991)
W. Hein: "Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen", Springer (1990)
J. Hilgert, K.-H. Neeb: "Lie-Gruppen und Lie-Algebren", Vieweg (1991)
V.S. Varadarajan: "Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations", GTM 102, Springer 1974

zuletzt geändert am 31. Juli 2012