Markus Schweighofer - Aktuelle Lehrveranstaltungen

WS 2026/2027 Lineare Algebra I mit Sebastian Debus und sieben anderen Tutoren
4V+2Ü, 9cr
Für die Teilnahme an den Übungsgruppen, den Zugang zu Lytris, die Teilnahme an Tests, Probeklausuren, Klausur und Nachklausur ist eine vorherige Einschreibung zur Lehrveranstaltung auf dem Studienportal ZEUS dringend erforderlich. Die Einschreibung auf ZEUS zieht vermutlich mit Verzögerung eine Einschreibung auf dem Lernportal ILIAS nach sich. Die Einschreibung auf ILIAS ist obligatorisch. Insbesondere wird die Kommunikation über ILIAS abgewickelt. Wie der Zugang zu Lytris erfolgt wird derzeit noch geklärt.
Plenumsübung (Sebastian Debus): Montags von 15:15 bis 16:45 Uhr im Raum R611
Einführung in das mathematische Arbeiten (Anna von Pippich): Mittwochs von 10:00 bis 11:30 Uhr in A703 und donnerstags von 8:15 bis 8:45 Uhr in D406
Vorlesungstermine: Montags in R611 und donnerstags in R711, jeweils von 10:00 bis 11:30 Uhr
Klausuren: Nach derzeitigem Stand voraussichtlich
- Haupttermin Mittwoch, 24. Februar 2027, von 8:30 Uhr bis 11:30 Uhr in den Räumen A600 und A702 (Raumbuchung: 8:00–12:00 Uhr)
- Nachtermin Mittwoch, 24. März 2027, von 9:00 Uhr bis 12:00 Uhr in den Räumen R611 und R513 (Raumbuchung: 8:30–13:00 Uhr)
Beschreibung: Die Lineare Algebra bildet die unentbehrliche Grundlage für die meisten Bereiche in der Mathematik und ist das Fundament für Ihr gesamtes späteres Studium. Dieser Kurs ist nicht nur intellektuell anspruchsvoll sondern auch inhaltlich sehr umfangreich. Während die inhaltliche Tiefe unabdingbar ist für eine sehr gute Mathematikausbildung, ist der hohe Stoffumfang dadurch bedingt, dass die Physiker (selbst jene mit Schwerpunkt in Mathematik) und die Finanzmathematiker unsere Lineare Algebra II leider nicht hören müssen. Die Lineare Algebra II wird dann wesentlich entspannter sein und im Gegensatz zu dieser Vorlesung auch sehr viele Einblicke in die zahlreichen Anwendungen der Linearen Algebra erlauben.

Wir beginnen bei den absoluten Grundlagen und erarbeiten uns Mengen und Abbildungen, Gruppen und Permutationen, Ringe, Matrizen und Polynome sowie Körper und komplexe Zahlen. Ausgerüstet mit diesem Handwerkszeug wenden wir uns dann den linearen Gleichungssystemen, Vektorräumen und linearen Abbildungen zu. Im weiteren Verlauf analysieren wir tiefere Strukturkonzepte wie direkte Produkte und Summen sowie Matrizen und Basen. Dies bereitet den Boden für die fortgeschrittenen Themengebiete der Vorlesung: die Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit, den berühmten Satz von Cayley-Hamilton, das Arbeiten mit Skalarprodukten und schließlich, als eines der zentralen Ziele, den Spektralsatz.

Aufgrund dieses enormen Pensums ist es zwingend erforderlich, dass Sie das begleitende Skript, welches im Laufe des Semesters nach und nach herausgegeben wird, selbstständig lesen und durcharbeiten. Bitte beachten Sie dabei: Dieses aktuelle Skript unterscheidet sich wesentlich von meinen früheren Skripten. Wenn Sie dennoch vergleichen oder einen Blick in die Vergangenheit werfen möchten, können Sie gerne mein früheres Skript anschauen oder die alten Vorlesungsaufzeichnungen auf meinem YouTube-Kanal ansehen.

Die Vorlesungen im Hörsaal werden jedoch nicht einfach dazu dienen, das Skript Seite für Seite abzulesen. Im Gegenteil: Wir werden versuchen, den Stoff in nichtlinearer Weise durchzugehen, sodass die vielfältigen Querverbindungen zwischen den Kapiteln viel klarer zutage treten. Dies wird stark mit Interaktion verbunden sein, weshalb ein bloßes Nachlesen im Nachhinein nicht denselben Effekt hat. Ein regelmäßiger Vorlesungsbesuch und vor allem das Anfertigen einer eigenen Mitschrift sind daher wärmstens zu empfehlen.

Um diese anspruchsvollen Inhalte erfolgreich zu verinnerlichen, reicht reines Zuhören nicht aus. Zusätzlich zu den wöchentlich anzufertigenden Übungsaufgaben wird es daher teilweise bewertete Präsenzaufgaben in der Vorlesung und/oder in den Übungen geben. Bei diesen Aufgaben sind bewusst keine oder nur sehr eingeschränkte Hilfsmittel erlaubt. So können Sie unter realistischen Bedingungen überprüfen, ob Sie das Gelernte bereits aktiv anwenden können.
Literatur: Es ist nicht notwendig, außer dem nach und nach herausgegebenen Skript andere Quellen zu Rate zu ziehen. Andere Quellen können jedoch selbstverständlich nützlich sein, wenn man die Zeit dafür findet. Es gibt unzählige Lehrbücher über Lineare Algebra, die (genauso wie mein Skript) jeweils andere Stärken und Schwächen haben. Am ehesten eine Alternative zur Vorlesung ist das aus dem Universitätsnetzwerk (oder mit VPN) herunterladbare Buch von Liesen und Mehrmann ("Lies mehr, Mann!"). Ebenfalls über die Universität ist das Buch von Müller verfügbar, welches ein sehr hohes Gewicht auf Anwendungen legt. Schließlich bietet das frei erhältliche Buch von Axler einen sehr unkonventionellen aber gut durchdachten Zugang zu der Theorie.
KI-Einsatz in der Lehre: Ich beabsichtige den sokratischen Tutor und das Feedback- und Vorkorrektursystem Lytris für alle Studenten verfügbar zu machen. Es kann (aber muss nicht) sinnvoll sein, zusätzlich oder alternativ eine weitere kommerzielle oder frei verfügbare KI zu benutzen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass man mit einem Abonnement von maximal 20€ pro Monat hier bestens versorgt ist. Es kann aber auch jetzt oder in naher Zukunft so sein, dass eines der besseren freien Modelle schon fast ebenso gut ist für den Zweck, die Lineare Algebra zu lernen. Wenn man die KI ganz gezielt einsetzt statt sich davon abhängig zu machen, hatte man wahrscheinlich noch nie so gute Chancen den Stoff gut zu lernen. Der Mensch ist allerdings ein soziales Wesen und man sollte sich daher auch weiterhin unbedingt mit seinen Mitstudenten, Übungsleitern und Professoren über den Stoff austauschen. Wer die KI bei jeder Gelegenheit ausnutzt und die Gegenstände des Studiums gar nicht mehr selber im Detail durchdenkt, der wird hingegen schon bald aufgeben müssen. Wer die KI nur in dem Maße nutzt wie es durch das Studium vorgegeben ist (etwa als verpflichtendes Feedbacksystem), der wird ebenfalls sehr gut studieren können und läuft nicht Gefahr von ihr abhängig zu werden.
Lohnt es sich noch Mathematiker zu werden? Sie beginnen Ihr Studium mitten in einem aufregenden Umbruch der Mathematik und der Wissenschaft im Allgemeinen, der sich erst seit wenigen Jahren andeutet und in dieser Geschwindigkeit kaum von jemandem erwartet wurde. Beinahe täglich wird es deutlicher, dass der Einsatz von KI in der Forschung extreme Fortschritte bringt bis hin zu dem Gefühl, dass Teile der mathematischen Forschung fast automatisierbar sind. Die Mathematik ist von dieser rasanten Entwicklung derzeit besonders betroffen, weil sie anderen Wissenschaften etwas entscheidendes voraus hat: In keiner Disziplin können wissenschaftliche Leistungen so objektiv bewertet werden wie in der Mathematik, da es einen unmissverständlichen Beweisbegriff und sogar formalisierte Beweiskalküle und Beweisassistenten (wie LEAN) gibt. Halluzinationen werden dadurch weitgehend unschädlich. Obwohl Menschen voreingenommen gegenüber einer KI sind (ebenso wie übrigens gegenüber Tieren), kann niemand der KI die Lösung mathematischer Probleme absprechen. Andere Disziplinen müssen teilweise erst noch Wege finden, mit möglichen Halluzinationen seitens der KI umzugehen und werden dazu möglicherweise ebenfalls spezielle Protokolle oder Plausibilitätskalküle finden müssen. Sie können sich hier möglicherweise am Vorbild der Mathematik orientieren. Während sich das Berufsbild eines Mathematikers drastisch ändern wird, ist damit zu rechnen, dass der Wert einer guten mathematischen Ausbildung weiter zunimmt. Sollte der Mensch eher Sand als Öl im Getriebe der zukünftigen KI-Systeme für die Wissenschaft sein, so würde es der Mathematik am Ende so gehen wie dem Sport: Es macht Spaß und hält gesund. Das wäre dann aber für alle ernsthaften Wissenschaften, die diese Bezeichnung verdienen, bald ebenso.

WS 2026/2027 More Topics in Mathematics of Data Science
4.5 ECTS credits, 2V+1Ü
Content. This course is a direct continuation of the preceding course on Topics in Mathematics of Data Science. It builds extensively on foundational probability theory, concentration inequalities, and high-dimensional geometry developed in the previous course. Specifically, the algebraic properties of the graph Laplacian and spectral decomposition are required to formulate and evaluate semidefinite programming relaxations for combinatorial tasks like the Max-Cut problem and exact recovery in community detection. To analyze these relaxations, the course develops a robust framework for matrix concentration, elevating basic probability tail bounds to advanced tools like the non-commutative Khintchine inequality. The curriculum also introduces deep techniques in Gaussian analysis—such as Gaussian interpolation and Slepian's comparison principles—to prove Gordon's Theorem. Finally, relying on the mechanics of distance-preserving random projections, the course establishes the mathematical conditions for sparse signal recovery in compressive sensing, focusing on the Restricted Isometry Property.
Target audience. Students who have participated in the preceding course on Topics in Mathematics of Data Science.
Credit eligibilities.

The lecture can be taken as an elective module (Wahlmodul) or specialization module (Spezialisierungsmodul) for students of mathematics in the Master's programs.
The lecture is admissible in Block 1 (basics) of the Advanced Data and Information Literacy Track (ADILT).

Literature. This lecture closely follows Chapters 7 to 10 of the recent textbook draft Topics in Mathematics of Data Science by Afonso S. Bandeira, Amit Singer, and Thomas Strohmer.
Plan of the course. This plan is subject to change but is currently scheduled as follows (the session distribution is approximate):

Community Detection and the Power of Convex Relaxation
Session 01:	Max-Cut, lifting, and approximation algorithms (Theory)
Session 02:	Max-Cut, lifting, and approximation algorithms (Exercises)
Session 03:	Community Detection (Theory)
Session 04:	Community Detection (Exercises)
Concentration of Measure and Gaussian Analysis
Session 05:	Gaussian integration by parts and Wick's formula
Session 06:	Gaussian interpolation
Session 07:	Poincaré, and concentration
Session 08:	Gaussian comparison principles (Theory)
Session 09:	Gaussian comparison principles (Exercises)
Session 10:	Gordon's Theorem
Matrix Concentration Inequalities
Session 11:	Non-commutative Khintchine inequality (Theory)
Session 12:	Non-commutative Khintchine inequality (Exercises)
Session 13:	Matrix concentration inequalities
Session 14:	Improvements leveraging intrinsic freeness
Compressive Sensing and Sparsity
Session 15:	Sparse recovery
Session 16:	Null space property and exact recovery (Theory)
Session 17:	Null space property and exact recovery (Exercises)
Session 18:	The Restricted Isometry Property
Session 19:	Duality and exact recovery
Session 20:	Compressive sensing: from theory to practice

Assessment Methods. Active and frequent participation in the lectures, into which the exercise course is integrated, is a basic requirement for the successful completion of the module. Exams will be oral and can be scheduled at individually agreed times.
Assignments. Exercises that are integrated in the course notes are individually assigned to students. They are presented by the students at the appropriate place in the lectures. The solutions are discussed and the students are expected to be able to explain their solutions.
Weekly Schedule. We will meet on average three times every two weeks for lectures with integrated tutorials. We will reserve two time slots, one of which is planned to be:

Fridays from 11:45 AM to 1:15 PM in room F426.

Communication. Announcements concerning the course will be sent via ILIAS. I strongly recommend subscribing to the course on ZEUS, which usually results in an automatic registration on ILIAS.