Blog: MJ

Muster

Wenn man das Wort Muster hört, denkt man vielleicht zuerst an regelmäßige Anordnungen von geometrisch ähnlichen Figuren. Als allgemeine Definition findet man im Wiktionary: Ein Muster ist eine gleichbleibende Struktur, die einer sich wiederholenden Sache zu Grunde liegt, oder im übertragenen Sinn ein Handlungsablauf oder eine Denk-, Gestaltungs- oder Verhaltensweise, die zur gleichförmigen Wiederholung (Reproduktion) bestimmt ist.

Die zunächst erwähnte regelmäßige Anordnung von geometrisch ähnlichen Figuren passt insofern auf diese Definition, als sich hier Ausschnitte der Gesamtfigur räumlich an anderen Stellen wiederholen, wobei diese Wiederholung gewissen Regeln folgt. Es passen aber auch ganz andere Beispiele. Betrachten wir etwa das Zeichenmuster 4, 36, 16, 64, 144, 100, Read more…

Lernziele Mathematik

Mit Erstaunen stellen viele Mathematikstudierende in ihren ersten Semesterwochen fest, dass Mathematik an Schule und Uni neben der Fachbezeichnung nicht viel gemeinsam haben. Insbesondere helfen die erlernten Techniken aus der Schule so wenig, dass selbst sehr gute schulische Leistungen an der Uni kein Erfolgsgarant sind.

Während sich Studierende im Bachelor-Programm mit den geänderten Rahmenbedingungen abfinden können (getreu dem Motto dann ist das halt jetzt Mathe), haben Studierende mit dem Abschlussziel Lehramt ein echtes Problem: Für sie wird das nur ein paar Jahre lang Mathe sein - was danach kommt, kennen sie ja schon aus ihrer eigenen Schulzeit. Aber was bringt es dann, sich einem Thema voll und ganz zu widmen und alle Details zu verfolgen, wenn dieses Thema später keine Rolle mehr spielen wird? Klar, dass sich hier die Sinnfrage stellt! (Eine ähnliche Sinnfrage stellt sich übrigens auch für SchülerInnen, die nach dem Abitur keine mathematiknahe Ausbildung anstreben.)

Dieser scheinbare Widerspruch klärt sich erst dann, Read more…

Über's Schreiben schreiben

Beim Schreiben bringe ich Buchstaben in eine bestimmte Reihenfolge, die Sie beim Lesen in eine Sequenz von Lauten und somit in Sprache verwandeln (schauen Sie doch mal zurück, wie viele ei und en Gruppen Sie bereits als Zeichen für bestimmte Laute gedeutet haben).

Genauso sind bestimmte Lautkombinationen (Wörter) wieder Zeichen, die wir als Gegenstände in der Welt deuten. Im einfachsten Fall sind die Gegenstände dabei greifbar oder mit anderen Sinnen unmittelbar zu erfassen. Sie können aber auch abstrakter sein, wie zum Beispiel das oben benutzte Wort Reihenfolge.

Nun besteht der Sinn eines Textes normalerweise nicht darin, Gegenstände nur aufzulisten. Statt dessen will der Autor von ihm wahrgenommene Zusammenhänge zwischen Gegenständen mitteilen, d.h. er möchte Aussagen über Gegenstände machen. Dazu werden wieder Zeichen eingesetzt (in diesem Fall Sätze), die von den Lesern gedeutet werden können, weil es vereinbarte Deutungsregeln gibt (in diesem Fall grammatikalische Regeln).

Genau die gleichen Mechanismen treten auch in formalen mathematischen Sprachen auf, wobei die Sprachregeln viel überschaubarer und gleichzeitig deutlich präziser sind als in der Umgangssprache. Die Gegenstände, deren Eigenschaften und Zusammenhänge beschrieben werden sollen, nennt man hier mathematische Objekte. Sie werden oft mit einzelnen Symbolen bezeichnet wie $0,\pi$ oder $x$, aber auch mit Symbolketten wie $42,\sin$ oder $\text{Menge}$. Eine mathematische Aussage über Objekte hat dann zum Beispiel die Form $\sin(\pi)=0$, wobei der Bildungsprozess von Aussagen allgemein in Form von Kochrezepten angegeben wird. Read more…

Objekte

Unsere Alltagserfahrung bezieht sich auf Dinge wie Marmeladengläser, Bleistifte und Verkehrsampeln, deren Bedeutung für uns aus ihren Nutzungsmöglichkeiten entsteht, die wiederum mit ihrer Konstruktion zu tun haben.

So ist zum Beispiel ein Bleistift das Ergebnis eines speziellen Herstellungsprozesses mit gewissen Zutaten: Holz für den Schaft, Graphit-Ton-Gemisch für die Mine, Lack für den Griffbereich. Die Nutzungsmöglichkeiten (dazu gehören neben dem Zeichnen oder Schreiben auch das Rückenkratzen) ergeben sich aus den Eigenschaften der Zutaten und der Art und Weise ihrer Verbindung bei der Herstellung.

In den Gedankenwelten der Mathematik sind die mathematischen Objekte das Pendant zu Dingen in der realen Welt. Auch sie werden aus anderen Objekten hergestellt, wobei sich ihre Eigenschaften aus dem benutzten Herstellungsprozess und den verwendeten Zutaten ergeben, die jeweils symbolisch (also mit Zeichen) beschrieben werden. Read more…

Geschichten

Es war einmal ein König, der hatte drei Söhne, davon waren zwei klug und gescheit, aber der dritte sprach nicht viel, war einfältig und hieß nur der Dummling ...

Nur wenige Worte genügen, uns in eine Gedankenwelt zu entführen, in der wir spannende Abenteuer mit glücklichen oder traurigen Wendungen erwarten. Die dazu benötigte Fähigkeit, sich die handelnden Personen und deren Eigenschaften und Beziehungen zueinander zu merken, besitzen schon kleine Kinder und es stört überhaupt nicht, dass die Personen nur sehr knapp beschrieben sind, ohne Angabe von Größe, Kleidung oder Haarfarbe - im Gegenteil es lässt mehr Freiraum, sie gedanklich durch reale oder fiktive Personen zu ersetzen.

Genau die gleichen Fähigkeiten benötigt man beim Lesen einer Definition oder eines Satzes mit zugehörigem Beweis in der Mathematik, denn auch dabei handelt es sich um Geschichten: Sei $K$ eine Menge und seien $A,B,D\subset K$. Weiter seien $A,B$ abzählbar und $D$ sei endlich ...

In der Metasprache $\mmath$ sind mathematische Geschichten (bzw. gedankliche Rahmen) die Grundobjekte. Sie werden beschrieben durch eine Liste von Namen für die Hauptdarsteller der Geschichte (die Rahmen-Parameter), eine Liste ihrer angenommenen Eigenschaften und wechselseitigen Beziehungen in Form von mathematischen Aussagen, eine Liste von Folgerungen, die sich für die Parameter und die aus ihnen gebildeten Objekte ergeben, sowie ein spezieller Ausdruck, der die Geschichte gewissermaßen zusammenfasst.

Mit diesen Grundobjekten lassen sich dann Mengen, Funktionen, Definitionen, Sätze, Modelle und Theorien in einer gemeinsamen Form kodieren. Read more…